Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц
Получены выражения для коэффициентов диффузии частиц в пространстве импульсов на основе динамики движения частиц. Общие формулы используются для определения среднеквадратичного разброса по импульсам нерелятивистских заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, на временах, меньших времени...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85601 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц / В.В. Огнивенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 65–70. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859694822313426944 |
|---|---|
| author | Огнивенко, В.В. |
| author_facet | Огнивенко, В.В. |
| citation_txt | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц / В.В. Огнивенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 65–70. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Получены выражения для коэффициентов диффузии частиц в пространстве импульсов на основе динамики движения частиц. Общие формулы используются для определения среднеквадратичного разброса по импульсам нерелятивистских заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, на временах, меньших времени хаотизации
движения частиц, и бóльших, когда движение является полностью случайным.
Одержано вирази для коефiцiєнтiв дифузiї частинок у просторi iмпульсiв на основi динамiки руху частинок. Загальнi формули використовуються для визначення середньоквадратичного розкиду за iмпульсами нерелятивiстських заряджених частинок, взаємодiючих за законом Кулона, на часах, менших за час хаотизацiї руху частинок, та бiльших, коли рух є повнiстю випадковим.
Expressions for the diffusion coefficients in the momentum space for particles are derived on the
basis of the motion dynamics of particles. The general formulas are used to obtain estimations of
the mean square momentum spread of nonrelativistic charged particles interacting by the Coulomb
law for the time less than the motion chaotization time of particles and for the greater one when
the motion is completely random.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:59:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 530.1
В.В. Огнивенко
Динамический вывод коэффициента диффузии
по импульсам кулоновски взаимодействующих
заряженных частиц
(Представлено академиком НАН Украины С.В. Пелетминским)
Получены выражения для коэффициентов диффузии частиц в пространстве импуль-
сов на основе динамики движения частиц. Общие формулы используются для опреде-
ления среднеквадратичного разброса по импульсам нерелятивистских заряженных час-
тиц, взаимодействующих по закону Кулона, на временах, меньших времени хаотизации
движения частиц, и бо́льших, когда движение является полностью случайным.
Как известно, коэффициент диффузии в пространстве импульсов нерелятивистских заря-
женных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, следует из интеграла столкновений,
в котором малые отклонения импульса находились за бесконечно большое время парного
взаимодействия частиц [1]. Кинетическое уравнение с таким интегралом столкновений опи-
сывает диффузию частиц в импульсном пространстве на кинетическом этапе эволюции
системы, т. е. при временах, бо́льших некоторого характерного времени хаотизации движе-
ния заряженных частиц. Ниже изложен метод, позволяющий на основе динамики движе-
ния заряженных частиц описать диффузию частиц в пространстве импульсов не только
на кинетической стадии, но также на начальном этапе эволюции системы, на временах,
меньших времени хаотизации частиц. Указанный подход использован для нахождения ко-
эффициента диффузии в пространстве импульсов нерелятивистских заряженных частиц,
взаимодействующих по закону Кулона.
Рассмотрим систему, состоящую из N тождественных частиц, занимающих объем V
и подчиняющихся законам классической динамики. Уравнения движения отдельной (проб-
ной) частицы представим в виде
dp
dt
= F [r(t)] =
N
∑
s=1
F(s)[r(t), t;xs], (1)
где p и r — импульс и координата частицы; F (r, t) — микроскопическая сила, действующая
на частицу в координате r в момент времени t; F(s)(r, t;xs) — сила парного взаимодействия
двух частиц со стороны одной из них (s-й), xs(t) ≡ {rs(t),ps(t)} — совокупность координат
и импульс s-й частицы. В правой части уравнения (1) суммирование проводится по всем
частицам системы.
Определяя отклонение от среднего значения импульса частиц
∆p = p− 〈p〉 =
t
∫
t0
δF [r(t′), t′] dt′,
© В. В. Огнивенко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 65
уравнение для коэффициента диффузии в пространстве импульсов представим в следую-
щем виде:
Dij =
d
2dt
〈∆pi∆pj〉 =
1
2
t
∫
t0
〈δFi[r(t), t] · δFj [r(t
′), t′] + δFj [r(t), t] · δFi[r(t
′), t′]〉 dt′, (2)
где δF = F − 〈F〉, угловые скобки означают усреднение по ансамблю.
Для вычисления пространственно-временной корреляционной функции флуктуаций си-
лы введем функцию распределения динамических состояний рассматриваемой системы
DN (x1(t0), . . . , xN (t0); t0) в 6N -мерном фазовом пространстве координат и импульсов час-
тиц в начальный момент времени t0 [2], нормированную на единицу:
∫
Ωx
DN (x1(t0), . . . , xN (t0); t0) dx1(t0) · · · dxN (t0) = 1. (3)
Областью интегрирования в правой части этого уравнения являются все возможные зна-
чения координат и импульсов в начальный момент времени t0.
С помощью функции DN среднее значение силы и произведения микроскопических сил
в разных точках фазового пространства в разные моменты времени можно представить
в виде
〈F (x, t)〉 =
∫
Ωx
{
N
∑
s=1
F(s)[x, t;xs(t, x0s)]
}
DN (x01, . . . , x0N ; t0) dx01 · · · dx0N , (4)
〈Fi(x, t)Fj(x
′, t′)〉 =
∫
Ωx
{
N
∑
p=1
N
∑
s=1
F
(p)
i [x, t;xp(t, x0p)]F
(s)
j [x′, t′;xs(t
′, x0s)]
}
×
×DN (x01, . . . , x0N ; t0) dx01 · · · dx0N , (5)
где x0i = xi(t0).
С учетом симметричности функции DN относительно перестановки координат частиц
в фазовом пространстве выражения (4) и (5) принимают вид:
〈F (x, t)〉 =
∫
F(1)[x, t;x1(t, x01)]f1(x01, t0) dx01, (6)
〈Fi(x, t)Fj(x
′, t′)〉 =
∫
F
(1)
i [x, t;x1(t, x01)]F
(1)
j [x′, t′;x1(t
′, x01)]f1(x01; t0) dx01 +
+
(
1−
1
N
)
∫
F
(1)
i [x, t;x1(t, x01)]F
(2)
j [x′, t′;x2(t
′, x02)]f2(x01, x02; t0) dx01dx02, (7)
где f1(x, t) и f2(x, x
′, t) — одночастичная и двухчастичная функции распределения, опре-
деляемые соотношениями
f1(x, t0) = N
∫
DN (x, x02, . . . , x0N ; t0) dx02 · · · dx0N ,
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
f2(x, x
′, t0) = N2
∫
DN (x, x′, x03, . . . , x0N ; t0) dx03 · · · dx0N .
Воспользовавшись условием ослабления корреляций при t0 → −∞, двухчастичную
функцию распределения представим в виде f2(x0, x
′
0, t0) = f1(x0, t0)f1(x
′
0, t0). Учитывая
определение (6) и опуская индекс 1 у координаты x01, запишем уравнение (7) в виде
〈Fi(x, t)Fj(x
′, t′)〉 =
∫
F
(1)
i [x, t;x1(t, x0)]F
(1)
j [x′, t′;x1(t
′, x0)]f1(x0; t0) dx0 +
+
(
1−
1
N
)
〈F
(1)
i (x, t)〉〈F
(1)
j (x′, t′)〉. (8)
Используя далее тождество 〈δFi(r, t)δFj(r
′, t′) ≡ 〈Fi(r, t)Fj(r
′, t′)〉 − 〈Fi(r, t)〉〈Fj(r
′, t′)〉
и пренебрегая в правой части выражения (8) членом 1/N , получим
〈δFi(r, t)δFj(r
′, t′) =
∫
F
(1)
i [x, t;x1(t, x0)]F
(1)
j [x′, t′;x1(t
′, x0)]f1(x0; t0) dx0. (9)
Используя формулу (9), уравнение (2) можно теперь представить в виде
Dij =
d
2dt
〈∆pi∆pj〉 =
1
2
t
∫
t0
[Kij(t, t
′) +Kji(t, t
′)] dt′, (10)
где Kij =
∫
F
(1)
i [x, t;x1(t, x0)]F
(1)
j [x′, t′;x1(t
′, x0)]f1(x0; t0) dx0.
Это соотношение дает общую связь между коэффициентом диффузии заряженных час-
тиц в пространстве импульсов и произведением сил парного взаимодействия частиц, усред-
ненным по распределению частиц в 6-мерном фазовом пространстве координат и импульсов
в начальный момент времени.
Найдем с помощью формулы (10) коэффициент диффузии по импульсам идентичных
заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Выражение для силы, дейст-
вующей на заряженную частицу, находящуюся в координате r в момент времени t со сто-
роны частицы, движущейся по траектории r1(t, x0), представим в виде
F(1)(r, t;x0) = −q gradϕ(r, t;x0) = −q2
∂
∂r
1
R(r, t;x0)
,
где R(r, t;x0) = r− r1(t, x0), x0 = (r0,p0), p = mv, r0 и v0 — координата и скорость заряда
в начальный момент времени; q, m — заряд и масса частицы; ϕ(r, t;x0) — потенциал поля
в координате r в момент времени t.
Выражение для корреляционной функции, входящей в уравнение (10), тогда примет вид
Kij = q4
∫
dp0
∂2
∂xi∂x
′
j
∫
V
f1(x0) dr0
R(r, t;x0)R(r′, t′;x0)
, (11)
где xi, x
′
j — декартовы компоненты вектора r и r′ соответственно, интеграл по r0 берется
по объему, занимаемому частицами.
Будем предполагать, что рассматриваемая система является однородной в пространстве,
т. е. одночастичная функция распределения не зависит от r0. Рассматривая промежутки
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 67
времени, за которые движение зарядов существенно не изменяется, уравнение траектории
отдельной частицы представим в виде r1(t, x0) = r0+v0(t−t0). В уравнении (11) в интеграле
по объему, вводя вместо r0 новые переменные R = r−r0−v(t−t0), придем к интегралам вида
Kij = q4
∫
Jij(ξ)f1(p0) dp0, (12)
Jij = −
∂2
∂ξi∂ξj
∫
V
dR
R|R− ξ|
, (13)
где ξ = r− r′ − v0(t− t′), а также учитываем, что ∂/∂xi = ∂/∂ξi, ∂/∂x
′
j = −∂/∂ξj .
Для интегрирования по объему в уравнении (13) введем сферическую систему координат
R, ϑ, ϕ, с центром в R = 0 и с полярной осью, параллельной ξ. Будем предполагать, что
границы области, занимаемой зарядами, уходят на бесконечность Rm → ∞, когда число
частиц N → ∞, а плотность частиц n = N/V остается постоянной. Используя тот факт, что
значение интеграла по объему в правой части уравнения (13) достаточно найти с точностью
до константы, не зависящей от ξ, получим:
Jij = −2π lim
Rm→∞
∂2
∂ξi∂ξj
Rm
∫
0
RdR
π
∫
0
sinϑdϑ
√
R2 − 2Rξ cos ϑ+ ξ2
= 2π
∂2
∂ξi∂ξj
ξ. (14)
Для нахождения зависимости правой части уравнения (10) от скорости частиц заменим
r и r′ в уравнении (14) координатами пробного заряда в моменты времени t и t′, соответст-
венно: r = r1(t, x0p) = r0p + v(t − t0), r
′ = r1(t
′, x0p), где r0p, v — координата и скорость
пробного заряда в начальный момент времени. В результате такой замены выражение (14)
примет вид
Jij =
2π
|t− t′|
∂2
∂vi∂vj
|v − v0|, (15)
где мы учли, что ξ = (v − v0)(t − t′) и ∂/∂ξi = ∂/(t − t′)∂vi.
Подставляя теперь выражение (12) в (10), с учетом (15) получим
Dij = 2πq4
∫
dp0f1(p0)
u2δij − uiuj
u3
τ
∫
0
dτ ′
τ ′
, (16)
где u = v − v0; τ = t − t0; τ
′ = t − t′; δij — символ Кронекера.
В уравнении (16) интеграл по τ ′ расходится на нижнем пределе. Причина этого заклю-
чается в том, что при t = t′ координата пробной частицы будет равна координате одной
из частиц, в поле которых она находится. При этом один из сомножителей в знаменателе
подынтегрального выражения (13) обращается в ноль. Для устранения этой расходимости
представим потенциал поля в координате r′, создаваемого точечным зарядом, движущимся
по траектории r1(t
′, x0p), в виде:
ϕ(r′, t′;x0) =
q
√
R2(r′, t′;x0) + r2min
,
где rmin — минимальное расстояние, на которое могут сближаться две частицы.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
Выражение для Jij , входящее в уравнение (12), тогда примет вид:
Jij = −
∂2
∂ξi∂ξj
∫
V
dR
R
√
(R− ξ)2 + r2min
.
Интегрируя по объему в правой части этого уравнения так, как это делается в урав-
нении (14), найдем
Jij = 2π
(
δij − 3
uiuj
u2
)
√
ξ2 + r2min
ξ2
−
r2min
ξ3
ln
ξ +
√
ξ2 + r2min
rmin
+
4πuiuj
u2
√
ξ2 + r2min
, (17)
где ξ = u(t − t′).
Подставляя теперь выражения (12) и (17) в уравнение (10) и проинтегрировав по t′,
находим:
d
dt
〈∆pi∆pj〉 = 4πq4
∫
dp0f1(p0)
[(
δij − 3
uiuj
u2
)
A(ζ)
u
+ 2
uiuj
u3
ln
(
ζ +
√
ζ2 + 1
)]
, (18)
где ζ = uτ/rmin, A(x) = (1 + 1/2x2) ln(x +
√
x2 + 1 ) −
√
x2 + 1/2x.
Рассмотрим два предельных случая — разброс по импульсам на начальном этапе эво-
люции системы, когда время τ мало́ по сравнению с некоторым характерным временем
хаотизации движения частиц τ0, и диффузию частиц в импульсном пространстве на време-
нах, бо́льших τ0. Здесь τ0 = rmin/u, где u — средняя скорость частиц.
При τ ≪ τ0, удерживая в правой части уравнения (18) линейные поправки по ζ, получим:
d
dt
〈∆pi∆pj〉 =
8πq4τ
3rmin
∫
dp0f1(p0)δij =
8πq4
3rmin
nτδij. (19)
Видно, что разброс по импульсам в этом случае является симметричным, а средний
квадрат отклонения импульса увеличивается пропорционально квадрату времени
〈(∆p)2〉 =
4πq4
rmin
nτ2. (20)
Описываемый формулами (19) и (20) процесс увеличения разброса по импульсам соот-
ветствует предброуновскому движению заряженных частиц.
В противоположном предельном случае при τ ≫ τ0, представляя подынтегральное выра-
жение в уравнении (18) в виде асимптотического разложения по ζ, находим:
Dij = 2πq4
∫
dp0f1(p0)
[(
δij − 3
uiuj
u2
)
1
u
(
Λ−
1
2
)
+ 2
uiuj
u3
Λ
]
,
где Λ = ln(2uτ/rmin).
При Λ ≫ 1 из этой формулы легко получить коэффициент диффузии
Dij = 2πq4
∫
dp0f1(p0)Λ
u2δij − uiuj
u3
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 69
совпадающий с коэффициентом диффузии в импульсном пространстве для случая куло-
новского взаимодействия нерелятивистских заряженных частиц [1]. Если за время τ проте-
кания рассматриваемого процесса диффузии в результате теплового разлета заряженные
частицы достигают границы Rm области, которую они занимают, то при uτ > Rm в выра-
жении для Λ величину uτ следует заменить на Rm. Заметим, что в классическом случае
минимальное расстояние между частицами определяется как rmin = q2/mu2.
Автор благодарен С. В. Пелетминскому за полезные обсуждения результатов работы.
1. Ландау Л.Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия // Журн. эксперим. и
теорет физики. – 1937. – 7, № 2. – С. 203–209.
2. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – Москва: Гостехиздат,
1946. – 119 с.
Поступило в редакцию 23.07.2012ННЦ “Харьковский физико-технический институт”
В.В. Огнiвенко
Динамiчне виведення коефiцiєнта дифузiї за iмпульсами
кулонiвськи взаємодiючих заряджених частинок
Одержано вирази для коефiцiєнтiв дифузiї частинок у просторi iмпульсiв на основi дина-
мiки руху частинок. Загальнi формули використовуються для визначення середньоквадра-
тичного розкиду за iмпульсами нерелятивiстських заряджених частинок, взаємодiючих за
законом Кулона, на часах, менших за час хаотизацiї руху частинок, та бiльших, коли рух
є повнiстю випадковим.
V.V. Ognivenko
Dynamical derivation of the diffusion coefficient by momenta of
Coulomb-interacting charged particles
Expressions for the diffusion coefficients in the momentum space for particles are derived on the
basis of the motion dynamics of particles. The general formulas are used to obtain estimations of
the mean square momentum spread of nonrelativistic charged particles interacting by the Coulomb
law for the time less than the motion chaotization time of particles and for the greater one when
the motion is completely random.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85601 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:59:49Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Огнивенко, В.В. 2015-08-08T18:33:58Z 2015-08-08T18:33:58Z 2013 Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц / В.В. Огнивенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 65–70. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85601 530.1 Получены выражения для коэффициентов диффузии частиц в пространстве импульсов на основе динамики движения частиц. Общие формулы используются для определения среднеквадратичного разброса по импульсам нерелятивистских заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона, на временах, меньших времени хаотизации движения частиц, и бóльших, когда движение является полностью случайным. Одержано вирази для коефiцiєнтiв дифузiї частинок у просторi iмпульсiв на основi динамiки руху частинок. Загальнi формули використовуються для визначення середньоквадратичного розкиду за iмпульсами нерелятивiстських заряджених частинок, взаємодiючих за законом Кулона, на часах, менших за час хаотизацiї руху частинок, та бiльших, коли рух є повнiстю випадковим. Expressions for the diffusion coefficients in the momentum space for particles are derived on the basis of the motion dynamics of particles. The general formulas are used to obtain estimations of the mean square momentum spread of nonrelativistic charged particles interacting by the Coulomb law for the time less than the motion chaotization time of particles and for the greater one when the motion is completely random. Автор благодарен С.В. Пелетминскому за полезные обсуждения результатов работы. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц Динамiчне виведення коефiцiєнта дифузiї за iмпульсами кулонiвськи взаємодiючих заряджених частинок Dynamical derivation of the diffusion coefficient by momenta of Coulomb-interacting charged particles Article published earlier |
| spellingShingle | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц Огнивенко, В.В. Фізика |
| title | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц |
| title_alt | Динамiчне виведення коефiцiєнта дифузiї за iмпульсами кулонiвськи взаємодiючих заряджених частинок Dynamical derivation of the diffusion coefficient by momenta of Coulomb-interacting charged particles |
| title_full | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц |
| title_fullStr | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц |
| title_full_unstemmed | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц |
| title_short | Динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц |
| title_sort | динамический вывод коэффициента диффузии по импульсам кулоновски взаимодействующих заряженных частиц |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85601 |
| work_keys_str_mv | AT ognivenkovv dinamičeskiivyvodkoéfficientadiffuziipoimpulʹsamkulonovskivzaimodeistvuûŝihzarâžennyhčastic AT ognivenkovv dinamičnevivedennâkoeficiêntadifuziízaimpulʹsamikulonivsʹkivzaêmodiûčihzarâdženihčastinok AT ognivenkovv dynamicalderivationofthediffusioncoefficientbymomentaofcoulombinteractingchargedparticles |