Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання
Дослiджено властивостi операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва в узагальнених просторах типу S. Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi та двоточкової за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь з такими операторами в просторах
 основних та узагальнених функцiй. Исследованы сво...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85616 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860251376141991936 |
|---|---|
| author | Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. |
| author_facet | Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. |
| citation_txt | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено властивостi операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва в узагальнених просторах типу S. Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi та двоточкової за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь з такими операторами в просторах
основних та узагальнених функцiй.
Исследованы свойства операторов обобщенного дифференцирования Гельфонда–Леонтьева
в обобщенных пространствах типа S. Установлена разрешимость задачи Коши и двухточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с такими операторами в пространствах основных и обобщенных функций.
We have investigated the properties of the Gelfond–Leontiev operators of generalized differentiation
in generalized spaces of the S type. The solvability of the Cauchy problem and the two-point in
time problem for the evolution equations with such operators in the spaces of basic and generalized
functions is established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:43:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
В.В. Городецький, О. В. Мартинюк
Задача Кошi та двоточкова задача для еволюцiйних
рiвнянь iз операторами узагальненого диференцiювання
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
Дослiджено властивостi операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леон-
тьєва в узагальнених просторах типу S. Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi та дво-
точкової за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь з такими операторами в просторах
основних та узагальнених функцiй.
У теорiї аналiтичних у крузi функцiй вивчається питання про зображення лiнiйних непе-
рервних вiдображень у виглядi диференцiальних або iнтегральних операторiв скiнченного
та нескiнченного порядкiв, операторiв узагальненого диференцiювання та iнтегрування.
Рiзнi аспекти цiєї проблеми дослiджували Ж. Дельсарт, Ж.-Л. Лiонс, Ю.Ф. Коробейник,
М. I. Нагнибiда, С.С. Лiнчук, В.В. Напалков, В.А. Ткаченко, В.П. Подпорiн та iншi мате-
матики. Важливий клас операторiв узагальненого диференцiювання та iнтегрування утво-
рюють оператори Гельфонда–Леонтьєва, введенi в серединi XX ст. при вивченнi розкладiв
цiлих функцiй в узагальненi ряди Фур’є. Властивостi таких операторiв дослiджували i про-
довжують дослiджувати в просторi A∞ однозначних i цiлих в C функцiй з топологiєю
компактної збiжностi (A∞ не є нормованим простором, але в той же час A∞ — простiр
Фреше). Прикладами iнших просторiв, елементами яких є цiлi функцiї i якi використову-
ються при дослiдженнi проблеми про класи єдиностi та класи коректностi задачi Кошi для
рiвнянь з частинними похiдними, є простори типу S — простори Sβ
α, {α, β} ⊂ (0, 1), введенi
I. М. Гельфандом та Г.Є. Шиловим в [1]. Топологiя вказаних просторiв вiдмiнна вiд топо-
логiї простору A∞, функцiї з таких просторiв на дiйснiй осi разом з усiма своїми похiдними
при |x| → ∞ спадають швидше, нiж exp(−a|x|), a > 0, x ∈ R.
У цiй роботi дослiджуються оператори узагальненого диференцiювання Гельфонда–
Леонтьєва скiнченного та нескiнченного порядкiв в узагальнених просторах типу S — прос-
торах Smn
lk
, якi будуються за певними послiдовностями {mn, n ∈ Z+} та {lk, k ∈ Z+} до-
датних чисел. Це дозволяє розширити клас еволюцiйних рiвнянь, для яких природним се-
редовищем дослiдження задачi Кошi та нелокальних за часом задач є простори типу S.
© В. В. Городецький, О.В. Мартинюк, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 7
Зазначимо також, що на теперiшнiй час найбiльш повно вивченi простори Sβ
α, якi будують-
ся за послiдовностями mn = nnβ, β > 0, lk = kkα, α > 0, {n, k} ⊂ Z+. Тому в роботi
попередньо дослiджується топологiчна структура просторiв Smn
lk
та даються критерiї на-
лежностi нескiнченно диференцiйовних на R функцiй до таких просторiв.
1. Розглянемо послiдовнiсть {mn, n ∈ Z+} додатних чисел, яка має такi властивостi:
1) ∃n0 ∈ N ∀n > n0: mn 6 mn+1; mn > 1, n ∈ Z+;
2) ∀α > 0 ∃ cα > 0 ∀n ∈ Z+: mn > cα · αn;
3) ∃M > 0 ∃h > 0 ∀n ∈ Z+: mn+1 6 Mhnmn;
4) ∃ γ > 0 ∀n ∈ N: m2
n 6 γmn−1 · mn+1;
5) ∃A > 0 ∃L > 0 ∀ {n, l} ⊂ Z+: mn ·ml 6 ALn+lmn+l.
Прикладами даних послiдовностей є послiдовностi Жевре mn = (n!)β та mn = nnβ,
n ∈ Z+, де β > 0 — фiксований параметр [2].
Наслiдуючи [1], символом Smn позначимо сукупнiсть усiх функцiй ϕ ∈ C∞(R), якi за-
довольняють умову
∃B > 0 ∀ k ∈ Z+ ∃ ck > 0 ∀x ∈ R : |xkϕ(n)(x)| 6 ckB
nmn
(сталi ck, B > 0 залежать вiд ϕ). Топологiчна структура в Smn визначається так. Симво-
лом Smn,B позначимо сукупнiсть таких функцiй ϕ ∈ Smn , що
∀B > B ∀x ∈ R : |xkϕ(n)(x)| 6 ck,B · Bn
mn, {k, n} ⊂ Z+.
Iнакше, Smn,B складається з тих функцiй ϕ ∈ Smn , якi при довiльному δ > 0 задовольняють
нерiвностi
|xkϕ(n)(x)| 6 ckδ(B + δ)nmn, x ∈ R, {k, n} ⊂ Z+.
Ця множина перетворюється в повний злiченно-нормований простiр, якщо норми в нiй
ввести за допомогою формул
‖ϕ‖kδ = sup
x,n
|xkϕ(n)(x)|
(B + δ)nmn
, k ∈ Z+, δ ∈
{
1,
1
2
,
1
3
, . . .
}
.
Об’єднання просторiв Smn,B за всiма B ∈ N збiгається з простором Smn .
Покладемо ρ0(x) = sup
n∈Z+
(|x|n/mn), |x| > 1; ρ(x) = 1, якщо |x| < 1, i ρ(x) = ρ0(x), якщо
|x| > 1. Зазначимо, що ρ — неперервно диференцiйовна, парна на R функцiя, яка монотонно
зростає на промiжку [1,+∞), ρ(x) > 1, x ∈ R; при цьому ln ρ — опукла на (0,∞) функцiя.
Нехай ρn := inf
x 6=0
(ρ(x)/|x|n), n ∈ Z+. Послiдовнiсть {ρn, n ∈ Z+} має такi властивостi:
а) вона монотонно спадна; б) ∃ω > 1 ∀n > 1: ρn−1/ρn 6 ω; в) lim
n→∞
n
√
ρn = 0. Розглянемо
простiр Smn , де послiдовнiсть {mn, n ∈ Z+} має спецiальний вигляд, а саме, mn = n!ρn,
n ∈ Z+, послiдовностi {ρn, n ∈ Z+} притаманнi властивостi а–в (можна безпосередньо пере-
конатися в тому, що тодi послiдовнiсть {mn, n ∈ Z+} має властивостi 1–5).
Теорема 1. Функцiя ϕ ∈ C∞(R) є елементом простору Sn!ρn тодi й лише тодi, коли
вона аналiтично продовжується в комплексну площину до цiлої функцiї ϕ(z), z ∈ C, яка
задовольняє умову
∃ b > 0 ∀ k ∈ Z+ ∃ ck > 0 ∀ z = x+ iy ∈ C : |zkϕ(z)| 6 ckρ(by),
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
де
ρ(y) =
{
1, |y| < 1,
ρ0(y), |y| > 1,
ρ0(y) = sup
n∈Z+
|y|n
n!ρn
, |y| > 1.
Розглянемо послiдовностi mn = n!ρn, n ∈ Z+, та lk = k!dk, k ∈ Z+, де послiдовностi
{ρn, n ∈ Z+}, {lk, k ∈ Z+} мають властивостi а–в. Символом Smn
lk
позначимо сукупнiсть усiх
функцiй ϕ ∈ C∞(R), якi задовольняють умову
∃ c,A,B > 0 ∀ {k, n} ⊂ Z+ ∀x ∈ R : |xkϕ(n)(x)| 6 cAkBnlkmn.
Теорема 2. Функцiя ϕ ∈ C∞(R) належить до простору Smn
lk
тодi й лише тодi, коли
вона аналiтично продовжується в комплексну площину до цiлої функцiї ϕ(z), z ∈ C, яка
задовольняє умову
∃ a, b, c > 0 ∀ z = x+ iy ∈ C : |ϕ(z)| 6 cγ(ax)ρ(by),
де
γ(x) =
1, |x| < 1,
inf
k
lk
|x|k , |x| > 1,
ρ(y) =
1, |y| < 1,
sup
n
|y|n
mn
, |y| > 1.
Зауважимо, що γ(x) = 1/γ̃(x), де γ̃(x) = 1, |x| < 1 i γ̃(x) = sup
k
(|x|k/lk), якщо |x| > 1.
Отже, γ — неперервно диференцiйовна, парна на R функцiя, монотонно спадна на промiжку
[1,+∞), 0 < γ(x) 6 1, x ∈ R. Наприклад, якщо lk = kkα, α ∈ (0, 1), то γ задовольняє
нерiвностi [1]:
exp
(
−α
e
|x|1/α
)
6 γ(x) 6 c exp
(
−α
e
|x|1/α
)
, c = eαe/2.
Smn
lk
збiгається з об’єднанням злiченно-нормованих просторiв Smn,B
lk,A
за всiма iндексами
{A,B} ⊂ N; система норм в Smn,B
lk,A
визначається за допомогою формул
‖ϕ‖δρ = sup
x,k,n
|xkϕ(x)(x)|
(A+ δ)k(B + ρ)nlkmn
, {δ, ρ} ⊂
{
1,
1
2
,
1
3
, . . .
}
.
Зауваження 1. У введених просторах визначенi й обмеженi (а, отже, i неперервнi)
лiнiйнi оператори, важливi для аналiзу; насамперед це оператори множення на x, на
всi многочлени, на нескiнченно диференцiйовнi функцiї, якi задовольняють певнi умови
(зокрема, на функцiї iз вказаних просторiв), оператори диференцiювання, зсуву та роз-
тягу.
2. Нагадаємо, що оператор узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва (який
позначатимемо символом Dm(F, ·), m ∈ N — фiксоване) у просторi AR, 0 < R 6 +∞, —
просторi однозначних i аналiтичних у крузi KR = {z ∈ C : |z| < R} функцiй з топо-
логiєю компактної збiжностi, визначається за допомогою фiксованої аналiтичної функцiї
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 9
F (z) =
∞∑
k=0
akz
k, F ∈ AR, таким чином [3]: якщо ϕ(z) =
∞∑
k=0
bkz
k — довiльна функцiя з прос-
тору AR, то, за означенням,
Dm(F,ϕ)(z) =
∞∑
k=m
bk
ak−m
ak
zk−m, (1)
при цьому вважається, що lim
k→∞
k−m
√
|ak−m/ak| = 1.
Вiдзначимо вiдомi властивостi оператора Dm(F, ·) [3]:
1) Dm(F,ϕ1 + ϕ2) = Dm(F,ϕ1) + Dm(F,ϕ2);
2) Dm(F, cϕ) = cDm(F,ϕ), c = const;
3) Dm(ez, ϕ) = dmϕ/dzm;
4) Dm(F,Dn(F,ϕ)) = Dm+n(F,ϕ).
Цi властивостi вказують на те, що Dm(F,ϕ) дiйсно можна розумiти як узагальнену
похiдну порядку m функцiї ϕ, породжену функцiєю F (z) (замiсть функцiї ez).
Нехай F (z) =
∞∑
k=0
akz
k — цiла функцiя, коефiцiєнти {ak, k ∈ Z+} якої задовольняють
умову
∃α > 0 ∃L > 1 ∀ k > m :
∣∣∣∣
ak
ak+m
∣∣∣∣ 6 αLk+m (m ∈ N — фiксоване). (2)
Визначимо формально оператор узагальненого диференцiювання в просторi Smn
mk
за фор-
мулою (1), де z = x ∈ R, ϕ(x) =
∞∑
k=0
bkx
k — довiльна функцiя з простору Smn
mk
.
Теорема 3. Оператор узагальненого диференцiювання Dm(F, ·) визначений коректно
на Smn
mk
для довiльно фiксованого m ∈ N i неперервно вiдображає цей простiр в себе.
Прикладом оператора Dm(F, ·), який дiє в просторi Smn
mk
, може служити оператор, по-
будований за цiлою функцiєю
F (z) =
∞∑
k=0
akz
k ≡ 1 +
∞∑
k=1
zk
Q(1)Q(2) . . . Q(k)
,
де Q — полiном: Q(x) = apx
p + . . . + a1x, причому Q(k) 6= 0, k ∈ {1, 2, . . .} (якщо Q(k) = k,
то F (z) = ez). У цьому випадку [3]
Dm(F,ϕ) =
mp∑
k=m
∆
(m)
k
k!
zk−mϕ(k)(z),
де коефiцiєнти ∆
(m)
k мають спецiальний вигляд. Можна також довести, що коефiцiєнти ak,
k ∈ N, задовольняють умову (2) зi сталою L = γL0 > 1, γ = max{1, a0p · 2p}, L0 = ec0 > 1,
c0 > 1.
Нехай g(z) =
∞∑
m=0
cmz
m, z ∈ C, — деяка цiла функцiя. Говоритимемо, що в просторi
Smn
mk
задано оператор узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва нескiнченного
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
порядку g(D(F, ·)) ≡
∞∑
m=0
cmD
m(F, ·), якщо для довiльної основної функцiї ϕ ∈ Smn
mk
ряд
g(D(F,ϕ))(x) :=
∞∑
m=0
cmD
m(F,ϕ)(x), x ∈ R,
зображає деяку функцiю з простору Smn
mk
.
Теорема 4. Якщо цiла функцiя g задовольняє умову
∃ a > 0 ∃ b > 0 ∃ c > 0 ∀ z = x+ iy ∈ C : |g(z)| 6 cρ(ax)ρ(by), (3)
то в просторi Smn
mk
визначений оператор Ag := g(D(F, ·)), який неперервно вiдображає
Smn
mk
в Smn
mk
.
Наприклад, функцiя g(z) = etz , z ∈ C, де t > 0 — фiксований параметр, задовольняє
умову (3). Справдi, скориставшись властивостями опуклих функцiй (функцiя ln ρ є опуклою
на (0,∞)), знайдемо, що
|eαz | 6 eα|x| 6 celn ρ(ax)+ln ρ(ay) = cρ(ax)ρ(ay), z = x+ iy ∈ C,
де a = tε, якщо t > 1, ε > 0 — довiльне фiксоване число, i a = ε, якщо α ∈ (0, 1). Отже,
в просторi Smn
mk
визначений i є неперервним оператор etD(F,·) =
∞∑
m=0
tmDm(F, ·)/m!, який
вiдображає простiр Smn
mk
в себе. У просторi Smn
mk
визначений i є неперервним також опера-
тор etP (A), де P (A) =
p0∑
k=1
αkD
k(F, ·).
3. У просторi Smn
mk
розглянемо задачу Кошi
∂u
∂t
= P (A)u, (t, x) ∈ [0, T ] × R ≡ Ω, 0 < T <∞, (4)
u(t, ·)|t=0 = ϕ0, ϕ0 ∈ Smn
mk
, (5)
де P (A) — оператор, визначений вище.
Пiд розв’язком задачi (4), (5) розумiтимемо функцiю u(t, x), диференцiйовну за t, яка
при кожному t ∈ [0, T ] є елементом простору Smn
mk
, задовольняє рiвняння (4) та початкову
умову (5) в тому сенсi, що u(t, ·) → ϕ0 при t→ +0 за топологiєю простору Smn
mk
; при цьому u
неперервно залежить вiд ϕ0. Правильним є таке твердження.
Теорема 5. Задача Кошi (4), (5) розв’язна в просторi Smn
mk
(у вказаному розумiннi);
розв’язок цiєї задачi дається формулою
u(t, x) = etP (a)ϕ0(x) ≡
∞∑
n=0
tn
n!
Pn(A)ϕ0(x).
Символом A позначимо оператор Dp(F, ·), p > 1 — фiксоване. Для еволюцiйного рiв-
няння
∂u
∂t
= Au, (t, x) ∈ Ω, (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 11
розглянемо нелокальну двоточкову за часом задачу
µ1u(t, ·)|t=0 − µ2u(t, ·)|t=T = ϕ, ϕ ∈ Smn
mk
, (7)
де T ∈ (0,∞), {µ1, µ2} ⊂ (0,∞) — фiксованi числа, µ1 > µ2.
Як i у випадку задачi Кошi (4), (5), розв’язком задачi (6), (7) називатимемо функцiю
u(t, ·) ∈ C1([0, T ], Smn
mk
), яка є розв’язком рiвняння (6) i задовольняє умову (7) в тому розу-
мiннi, що µ1 lim
t→+0
u(t, ·) − µ2 lim
t→T−0
u(t, ·) = ϕ, де границi розглядаються в просторi Smn
mk
.
Теорема 6. Двоточкова задача (6), (7) розв’язна в просторi Smn
mk
; розв’язок цiєї задачi
дається формулою
u(t, x) = µ−1
2
∞∑
n=0
µ−(n+1)e(t+nT )Aϕ(x), µ =
µ1
µ2
> 1.
4. У просторi (Smn
mk
)′ (просторi, топологiчно спряженому до Smn
mk
) розглянемо рiвняння
du(t)
dt
= Bu(t), t ∈ [0, T ], 0 < T <∞, (8)
де B — оператор, спряжений до оператора Dn(F, ·), n ∈ N — фiксоване. Якщо для рiвнян-
ня (8) задано умову
µ1u(t)|t=0 − µ2u(t)|t=T = ψ, ψ ∈ (Smn
mk
)′ (9)
(µ1, µ2 > 0, µ1 6= µ2 — фiксованi параметри), то пiд розв’язком двоточкової задачi (8), (9)
розумiтимемо абстрактну функцiю параметра t ∈ [0, T ] iз значеннями в просторi (Smn
mk
)′, яка
задовольняє рiвняння (8) та умову (9) в просторi (Smn
mk
)′. Правильним є таке твердження.
Теорема 7. Двоточкова задача (8), (9) розв’язна в просторi (Smn
mk
)′, при цьому
〈u(t), ϕ〉 =
∞∑
k=0
ϕ(k)(0)
k!
gk(t), t ∈ [0, T ], ϕ ∈ Smn
mk
,
g(t) = (g0(t), g1(t), . . .) ∈ l1 ∼= c′0 при кожному t ∈ [0, T ].
Зауважимо, що компоненти gk(t) знаходимо за вiдповiдними формулами; для того щоб
уникнути громiздких записiв, наведемо лише деякi з них:
gi(t) =
ψi
µ1 − µ2
, i ∈ {0, 1, . . . , n− 1},
gn(t) =
a0
an
ψ0
µ1 − µ2
(
t+
µ2
µ1 − µ2
T
)
+
ψn
µ1 − µ2
i т. д. Тут (ψ0, ψ1, ψ2, . . .) = ψ̃ ∈ c′0
∼= l1, функцiонал ψ̃ породжується функцiоналом ψ ∈
∈ (Smn
mk
)′ за певним правилом, компоненти ψi, i ∈ {0, 1, . . .} знаходяться явно.
Зауваження 2. Якщо µ2 = 0, µ1 = 1, то умова (9) — початкова умова для рiвняння (8).
Отже, в цьому випадку задача (8), (9) — задача Кошi.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №3
Як приклад, розглянемо задачу (8), (9) з граничним елементом ψ = δ, де δ — дель-
та-функцiя Дiрака. У цьому випадку безпосередньо знаходимо, що для довiльної функцiї
ϕ(x) =
∞∑
k=0
bkx
k ∈ Smn
mk
маємо
〈u(t), ϕ〉 = b0
µ1 − µ2
+
a0bn
an(µ1 − µ2)
(
t+
µ2T
µ1 − µ2
)
+ · · · .
Ця формула задає функцiонал u(t) на Smn
mk
при кожному t ∈ [0, T ], який є розв’язком
вказаної задачi.
1. Гельфанд И.М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – Москва: Физматгиз,
1958. – 307 с.
2. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные значения решений дифференциально-операторных урав-
нений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 283 с.
3. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. – Москва: Наука, 1981. – 320 с.
Надiйшло до редакцiї 26.07.2012Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
В.В. Городецкий, О.В. Мартынюк
Задача Коши и двухточечная задача для эволюционных уравнений
с операторами обобщенного дифференцирования
Исследованы свойства операторов обобщенного дифференцирования Гельфонда–Леонтьева
в обобщенных пространствах типа S. Установлена разрешимость задачи Коши и двухто-
чечной по времени задачи для эволюционных уравнений с такими операторами в прост-
ранствах основных и обобщенных функций.
V.V. Gorodetsky, O.V. Martynyuk
The Cauchy problem and the two-point problem for the evolution
equations with operators of generalized differentiation
We have investigated the properties of the Gelfond–Leontiev operators of generalized differentiation
in generalized spaces of the S type. The solvability of the Cauchy problem and the two-point in
time problem for the evolution equations with such operators in the spaces of basic and generalized
functions is established.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №3 13
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85616 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:43:29Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. 2015-08-08T18:38:13Z 2015-08-08T18:38:13Z 2013 Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 3. — С. 7-13. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85616 517.956 Дослiджено властивостi операторiв узагальненого диференцiювання Гельфонда–Леонтьєва в узагальнених просторах типу S. Встановлено розв’язнiсть задачi Кошi та двоточкової за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь з такими операторами в просторах
 основних та узагальнених функцiй. Исследованы свойства операторов обобщенного дифференцирования Гельфонда–Леонтьева
 в обобщенных пространствах типа S. Установлена разрешимость задачи Коши и двухточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с такими операторами в пространствах основных и обобщенных функций. We have investigated the properties of the Gelfond–Leontiev operators of generalized differentiation
 in generalized spaces of the S type. The solvability of the Cauchy problem and the two-point in
 time problem for the evolution equations with such operators in the spaces of basic and generalized
 functions is established. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання Задача Коши и двухточечная задача для эволюционных уравнений с операторами обобщенного дифференцирования The Cauchy problem and the two-point problem for the evolution equations with operators of generalized differentiation Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Математика |
| title | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання |
| title_alt | Задача Коши и двухточечная задача для эволюционных уравнений с операторами обобщенного дифференцирования The Cauchy problem and the two-point problem for the evolution equations with operators of generalized differentiation |
| title_full | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання |
| title_fullStr | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання |
| title_full_unstemmed | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання |
| title_short | Задача Коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання |
| title_sort | задача коші та двоточкова задача для еволюційних рівнянь із операторами узагальненого диференціювання |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85616 |
| work_keys_str_mv | AT gorodecʹkiivv zadačakošítadvotočkovazadačadlâevolûcíinihrívnânʹízoperatoramiuzagalʹnenogodiferencíûvannâ AT martinûkov zadačakošítadvotočkovazadačadlâevolûcíinihrívnânʹízoperatoramiuzagalʹnenogodiferencíûvannâ AT gorodecʹkiivv zadačakošiidvuhtočečnaâzadačadlâévolûcionnyhuravneniisoperatoramiobobŝennogodifferencirovaniâ AT martinûkov zadačakošiidvuhtočečnaâzadačadlâévolûcionnyhuravneniisoperatoramiobobŝennogodifferencirovaniâ AT gorodecʹkiivv thecauchyproblemandthetwopointproblemfortheevolutionequationswithoperatorsofgeneralizeddifferentiation AT martinûkov thecauchyproblemandthetwopointproblemfortheevolutionequationswithoperatorsofgeneralizeddifferentiation |