Теорема Хейде на a-адических соленоидах
Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых
 случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для a-адических соленоидов. Згiдно з теоремою Хейде,...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85630 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теорема Хейде на a-адических соленоидах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 14–18. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860170409152872448 |
|---|---|
| author | Миронюк, М.В. |
| author_facet | Миронюк, М.В. |
| citation_txt | Теорема Хейде на a-адических соленоидах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 14–18. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых
случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для a-адических соленоидов.
Згiдно з теоремою Хейде, гауссiв розподiл на дiйснiй прямiй характеризується симетрiєю
умовного розподiлу однiєї лiнiйної форми вiд незалежних випадкових величин при фiксованiй
iншiй. Розглянуто аналог теореми Хейде для a-адичних соленоїдiв.
According to the Heyde theorem, the Gaussian distribution on a real line is characterized by the
symmetry of a conditional distribution of one linear form of independent random variables given
another one. An analog of the Heyde theorem on a-adic solenoids is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:58:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517+519.2
М. В. Миронюк
Теорема Хейде на a-адических соленоидах
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характе-
ризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых
случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для
a-адических соленоидов.
Одна из наиболее известных теорем математической статистики теорема Скитовича–Дар-
муа утверждает, что гауссовское распределение на вещественной прямой характеризуется
независимостью линейных форм от независимых случайных величин [1, 2] (см. также [3,
§ 13.1]). Хейде доказал близкий результат, где вместо независимости линейных форм пред-
полагалось, что условное распределение одной линейной формы при фиксированной второй
симметрично.
Теорема Хейде [4] (см. также [3, § 13.4.1]). Пусть ξ1, . . . , ξn, n > 2, — независимые
случайные величины, αj , βj — ненулевые константы такие, что βiα
−1
i ± βjα
−1
j 6= 0 при
всех i 6= j. Если условное распределение линейной формы L2 = β1ξ1+· · ·+βnξn при фиксиро-
ванной L1 = α1ξ1 + · · ·+αnξn симметрично, то все случайные величины ξj — гауссовские.
В работах [5, 6] были доказаны аналоги теоремы Хейде для конечных абелевых групп, а
в работах [7, 8] — для дискретных абелевых групп. В работе [9] теорема Хейде изучалась для
произвольных локально компактных абелевых групп в случае, когда характеристические
функции рассматриваемых распределений не обращаются в нуль. В [10] была сформули-
рована задача обобщения теоремы Хейде на a-адические соленоиды. В настоящей работе
мы решаем эту задачу.
Прежде чем формулировать результаты работы, напомним некоторые определения и ус-
ловимся об обозначениях. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метри-
ческая группа, Aut(X) — группа топологических автоморфизмов X. Пусть Y = X∗ —
группа характеров группы X. Если δ : X 7→ X — непрерывный гомоморфизм, то сопряжен-
ный гомоморфизм δ̃ : Y 7→ Y определяется по формуле (x, δ̃y) = (δx, y) для всех x ∈ X,
y ∈ Y . Отметим, что δ ∈ Aut(X) тогда и только тогда, когда δ̃ ∈ Aut(Y ). Если n — це-
лое, n 6= 0, то через fn обозначим гомоморфизм fn : X 7→ X, определяемый формулой
fn(x) = nx. Обозначим через R — группу вещественных чисел, через Z — группу целых
чисел, через Q — рассматриваемую в дискретной топологии группу рациональных чисел,
через Z(n) — конечную циклическую группу порядка n. Обозначим через Z(p∞) рассма-
триваемую в дискретной топологии группу корней степени pn из единицы, где n принимает
все неотрицательные целые значения (эту группу мы отождествляем с группой вычетов по
модулю 1 группы p-ично рациональных чисел).
Пусть a = (a0, a1, . . .), где все aj ∈ Z, aj > 1. Напомним определение группы це-
лых a-адических чисел ∆a. Как множество, ∆a совпадает с декартовым произведением
∞
P
n=0
{0, 1, . . . , an − 1}. Рассмотрим x = (x0, x1, x2, . . .), y = (y0, y1, y2, . . .) ∈ ∆a, и определим
© М. В. Миронюк, 2013
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
сумму z = x + y следующим образом. Пусть x0 + y0 = t0a0 + z0, где z0 ∈ {0, 1, . . . , a0 − 1},
t0 ∈ {0, 1}. Предположим, что числа z0, z1, . . . , zk; t0, t1, . . . , tk уже определены. Положим то-
гда xk+1+yk+1+tk = tk+1ak+1+zk+1, где zk+1 ∈ {0, 1, . . . , ak+1−1}, tk+1 ∈ {0, 1}. Таким обра-
зом по индукции определена последовательность z = (z0, z1, z2, . . .). Множество ∆a с опре-
деленным выше сложением является абелевой группой, нейтральный элемент которой —
последовательность в ∆a, состоящая из нулей. Рассмотрим ∆a в топологии произведения.
Полученная группа называется группой целых a-адических чисел. Если a = (p, p, . . . , p, . . .),
где p — простое число, то соответствующая группа называется группой p-адических целых
чисел и обозначается через ∆p. Отметим, что ∆∗
p ≈ Z(p∞) (см. [11, § 25.2]).
Рассмотрим группу R×∆a. Пусть B — подгруппа в R×∆a вида B = {(n, nu)}∞n=−∞, где
u = (1, 0, . . . , 0, . . .). Фактор-группа Σa = (R ×∆a)/B называется a-адическим соленоидом.
Группа Σa компактна, связна и имеет размерность один [11, 10.12, 10.13, 24.28]. Группа
характеров группы Σa топологически изоморфна подгруппе Ha ⊂ Q вида
Ha =
{
m
a0a1 · · · an
: n = 0, 1, . . . ; m ∈ Z
}
.
Не ограничивая общности, мы будем считать, что если X = Σa, то Y = X∗ = Ha.
Пусть µ̂(y) =
∫
X
(x, y) dµ(x) — характеристическая функция распределения µ на X.
Распределение γ ∈ M1(X) называется гауссовским [12, § 4.6], если его характеристи-
ческая функция представима в виде
γ̂(y) = (x, y) exp{−ϕ(y)},
где x ∈ X, а ϕ(y) — непрерывная неотрицательная функция на Y , удовлетворяющая урав-
нению
ϕ(u+ v) + ϕ(u− v) = 2[ϕ(u) + ϕ(v)], u, v ∈ Y.
Отметим, что если X = Σa, то ϕ(y) = λy2, где λ > 0, y ∈ Y = Ha.
Заметим, что носитель гауссовского распределения на произвольной локально компакт-
ной абелевой группе X — это класс смежности некоторой связной подгруппы группы X.
Тогда если γ — невырожденное гауссовское распределение на группе X = Σa, то σ(γ) = X.
Обозначим через Γ(X) множество гауссовских распределений на X.
Обозначим через I(X) множество идемпотентных распределений на X, т. е. множество
сдвигов распределений Хаара mK компактных подгрупп K группы X. Отметим, что если
распределение µ ∈ Γ(X)∗I(X), т. е. µ = γ∗mK, где γ ∈ Γ(X), то µ инвариантно относительно
компактной подгруппы K ⊂ X и при естественном гомоморфизме X 7→ X/K µ индуцирует
на фактор-группе X/K гауссовское распределение.
Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями в группе X = Σa и с рас-
пределениями µ1, µ2. Рассмотрим линейные формы L1 = α1ξ1 + α2ξ2 и L2 = β1ξ1 + β2ξ2,
где αj , βj ∈ Aut(X) и β1α
−1
1
± β2α
−1
2
∈ Aut(X). Предположим, что условное распреде-
ление линейной формы L2 при фиксированной L1 симметрично. Изучая возможные рас-
пределения µj на X, можно считать, что L1 = ξ1 + ξ2 и L2 = δ1ξ1 + δ2ξ2, где δj ∈ Aut(X)
и δ1±δ2 ∈ Aut(X). Действительно, вводя новые независимые случайные величины ξ′j = αjξj,
j = 1, 2, мы сводим задачу к такому виду форм. Заметим, что любой топологический ав-
томорфизм δ группы X имеет вид
δ = fpf
−1
q
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 15
при некоторых взаимно простых p и q, где fp, fq ∈ Aut(X). Поскольку при любом δ ∈ Aut(X)
условное распределение линейной формы L2 при фиксированной L1 симметрично тогда
и только тогда, когда условное распределение линейной формы δL2 при фиксированной L1
симметрично, то, не ограничивая общности, можно с самого начала предполагать, что L1 =
= ξ1 + ξ2, L2 = pξ1 + qξ2, где p, q ∈ Z, pq 6= 0, p и q — взаимно просты, fp, fq, fp±q ∈ Aut(X).
Сформулируем теперь основной результат работы.
Теорема 1. Пусть X = Σa. Предположим, что fp, fq, fp±q ∈ Aut(X), p и q взаимно
просты. Имеют место следующие утверждения:
1. Пусть pq = −3. Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями
в группе X и с распределениями µ1, µ2. Если условное распределение линейной формы L2 =
= pξ1 + qξ2 при фиксированной L1 = ξ1 + ξ2 симметрично, то по крайней мере одно из
распределений µj ∈ Γ(X) ∗ I(X).
2. Пусть pq 6= −3. Тогда существуют независимые случайные величины ξ1, ξ2 со значе-
ниями в группе X и с распределениями µ1, µ2 такими, что условное распределение линей-
ной формы L2 = pξ1 + qξ2 при фиксированной L1 = ξ1 + ξ2 симметрично, а распределения
µj 6∈ Γ(X) ∗ I(X), j = 1, 2.
Теорему 1 можно рассматривать как групповой аналог теоремы Хейде для a-адических
соленоидов. Для доказательства теоремы 1 нам понадобится несколько утверждений.
Лемма 1. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метрическая груп-
па. Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями в группе X и с распре-
делениями µ1, µ2. Рассмотрим линейные формы L1 = α1ξ1+α2ξ2 и L2 = β1ξ1+β2ξ2, где αj,
βj — непрерывные гомоморфизмы группы X. Условное распределение линейной формы L2
при фиксированной L1 симметрично тогда и только тогда, когда характеристические
функции распределений µj удовлетворяют уравнению
µ̂1(α̃1u+ β̃1v)µ̂2(α̃2u+ β̃2v) = µ̂1(α̃1u− β̃1v)µ̂2(α̃2u− β̃2v), u, v ∈ Y.
Лемма 1 доказана в [10, 16.1] в случае, когда αj , βj ∈ Aut(X). Приведенное в [10,
16.1] доказательство справедливо для произвольных непрерывных гомоморфизмов αj , βj
группы X.
Лемма 2. Пусть либо |q| = 2, либо q = 4m+3, где m — некоторое целое число. Пусть
X = ∆2. Тогда существуют независимые одинаково распределенные случайные величины
ξ1, ξ2 со значениями в группе X и с распределением µ такие, что условное распределение
линейной формы L2 = ξ1+qξ2 при фиксированной L1 = ξ1+ξ2 симметрично, а распределение
µ 6∈ I(X).
Лемма 3. Пусть q = 4m + 1, где m 6∈ {0,−1}. Пусть |2m + 1| = pl1
1
× · · · × plkk —
разложение числа |2m + 1| на простые множители. Пусть X = ∆p1 × · · · × ∆pk. Тогда
существуют независимые одинаково распределенные случайные величины ξ1, ξ2 со значе-
ниями в группе X и с распределением µ такие, что условное распределение линейной формы
L2 = ξ1 + qξ2 при фиксированной L1 = ξ1 + ξ2 симметрично, а распределение µ 6∈ I(X).
Лемма 4. Пусть X = Σa. Если fn ∈ Aut(X), где n = pl1
1
×· · ·×plk
k
— разложение числа n
на простые множители, то группа X содержит подгруппу, топологически изоморфную
∆p1 × · · · × ∆pk .
Лемма 5. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метрическая груп-
па, δ1, δ2 ∈ Aut(X). Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные величины со значениями
в группе X и с распределениями µ1, µ2. Линейные формы L1 = ξ1 + ξ2 и L2 = δ1ξ1 + δ2ξ2
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
независимы тогда и только тогда, когда характеристические функции распределений µj
удовлетворяют уравнению
µ̂1(u+ δ̃1v)µ̂2(u+ δ̃2v) = µ̂1(u)µ̂1(δ̃1v)µ̂2(u)µ̂2(δ̃2v), u, v ∈ Y.
Лемма 5 доказана в [10, 10.1] в случае, когда αj , βj ∈ Aut(X). Приведенное в [10,
10.1] доказательство справедливо для произвольных непрерывных гомоморфизмов αj , βj
группы X.
Лемма 6. Пусть X — локально компактная сепарабельная абелева метрическая груп-
па, δ1, δ2 — непрерывные гомоморфизмы группы X. Пусть ξ1, ξ2 — независимые случайные
величины со значениями в группе X и с распределениями µ1, µ2. Тогда если условное рас-
пределение линейной формы L2 = δ1ξ1+δ2ξ2 при фиксированной L1 = ξ1+ξ2 симметрично,
то линейные формы L′
1 = (δ1 + δ2)ξ1 + 2δ2ξ2 и L′
2 = 2δ1ξ1 + (δ1 + δ2)ξ2 независимы.
Замечание 1. Из леммы 6 следует, что теорема Хейде на группе R при n = 2 может
быть получена из теоремы Скитовича–Дармуа.
Замечание 2. Утверждение 1 теоремы 1 не может быть усилено до утверждения, что оба
распределения µj ∈ Γ(X) ∗ I(X). Другими словами, при pq = −3 существуют независимые
случайные величины ξ1, ξ2 со значениями в группе X и с распределениями µ1, µ2 такими,
что условное распределение линейной формы L2 = pξ1+qξ2 при фиксированной L1 = ξ1+ξ2
симметрично, и одно из распределений µj 6∈ Γ(X) ∗ I(X).
Замечание 3. Заметим, что в теореме 1 мы предполагаем, что на группе X = Σa при
некоторых взаимно простых p и q существуют автоморфизмы fp и fq такие, что fp±q ∈
∈ Aut(X). Группы X = Σa, обладающие этим свойством, нетрудно описать. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы f2, f3 ∈ Aut(X).
Замечание 4. Отметим, что если в теореме 1 распределения µ1, µ2 такие, что их характе-
ристические функции не обращаются в нуль, то µ1, µ2 ∈ Γ(X). Действительно, из условий
на коэффициенты форм следует, что одно из чисел p, q, p ± q четно. Значит, f2 ∈ Aut(X).
Следовательно, группа X = Σa не содержит элементом порядка 2. Искомое утверждение
вытекает теперь из следующей теоремы, доказанной в [9]. Пусть X — локально компактная
сепарабельная абелева метрическая группа, не содержащая элементов порядка 2. Пусть ξ1,
ξ2 — независимые случайные величины со значениями в группе X и с распределениями µ1,
µ2. Рассмотрим линейные формы L1 = ξ1 + ξ2 и L2 = δ1ξ1 + δ2ξ2, где δj , δ1 ± δ2 ∈ Aut(X).
Если условное распределение линейной формы L2 при фиксированной L1 симметрично, то
распределения µ1, µ2 ∈ Γ(X).
Работа выполнена при поддержке украинско-французской программы DNIPRO 2013–2014 “Ве-
роятностные задачи в спектральной теории и на группах”.
1. Darmois G. Analyse generale des liaisons stochastiques // Rev. Inst. Intern. Stat. – 1953. – 21. – P. 2–8.
2. Скитович В.П. Об одном свойстве нормального распределения // Докл. АН СССР. – 1953. – 89,
№ 2. – С. 217–219.
3. Каган А.М., Линник Ю.В., Рао С. Р. Характеризационные задачи математической статистики. –
Москва: Наука, 1972. – 656 с.
4. Heyde C.C. Characterization of the normal law by the symmetry of a certain conditional distribution //
Sankhya. Ser. A. – 1970. – 32. – P. 115–118.
5. Feldman G.M. On the Heyde theorem for finite Abelian groups // J. Theoret. Probab. – 2004. – 17.
P. 929–941.
6. Миронюк М.В., Фельдман Г.М. Об одной характеризационной теореме на конечных абелевых груп-
пах // Сиб. мат. журн. – 2005. – 46, № 2. – С. 403–415.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 17
7. Feldman G.M. On the Heyde theorem for discrete Abelian groups // Studia Math. – 2006. – 177, No 1. –
P. 67–79.
8. Myronyuk M.V. Heyde’s characterization theorem for discrete Abelian groups // J. Austral. Math. S. –
2010. – 88. – P. 93–102.
9. Feldman G.M. On a characterization theorem for locally compact Abelian groups // Probab. Theory Relat.
Fields. – 2005. – 133. – P. 345–357.
10. Feldman G.M. Functional equations and characterization problems on locally compact Abelian groups.
EMS Tracts in Mathematics. Vol. 5. – Zürich: European Math. Society, 2008. – 256 p.
11. Hewitt E., Ross K.A. Abstract harmonic analysis. Vol. 1. – Berlin; Göttingen; Heildelberg: Springer, 1963. –
540 p.
12. Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. – New York; London: Academic Press, 1967. –
276 p.
Поступило в редакцию 15.10.2012Физико-технический институт
низких температур им. Б.И. Веркина
НАН Украины, Харьков
М.В. Миронюк
Теорема Хейде на a-адичних соленоїдах
Згiдно з теоремою Хейде, гауссiв розподiл на дiйснiй прямiй характеризується симетрiєю
умовного розподiлу однiєї лiнiйної форми вiд незалежних випадкових величин при фiксованiй
iншiй. Розглянуто аналог теореми Хейде для a-адичних соленоїдiв.
M.V. Myronyuk
The Heyde theorem on a-adic solenoids
According to the Heyde theorem, the Gaussian distribution on a real line is characterized by the
symmetry of a conditional distribution of one linear form of independent random variables given
another one. An analog of the Heyde theorem on a-adic solenoids is considered.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85630 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:58:04Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миронюк, М.В. 2015-08-11T13:09:40Z 2015-08-11T13:09:40Z 2013 Теорема Хейде на a-адических соленоидах / М.В. Миронюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 14–18. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85630 517+519.2 Согласно теореме Хейде, гауссовское распределение на действительной прямой характеризуется симметрией условного распределения одной линейной формы от независимых
 случайных величин при фиксированной другой. Рассмотрен аналог теоремы Хейде для a-адических соленоидов. Згiдно з теоремою Хейде, гауссiв розподiл на дiйснiй прямiй характеризується симетрiєю
 умовного розподiлу однiєї лiнiйної форми вiд незалежних випадкових величин при фiксованiй
 iншiй. Розглянуто аналог теореми Хейде для a-адичних соленоїдiв. According to the Heyde theorem, the Gaussian distribution on a real line is characterized by the
 symmetry of a conditional distribution of one linear form of independent random variables given
 another one. An analog of the Heyde theorem on a-adic solenoids is considered. Работа выполнена при поддержке украинско-французской программы DNIPRO 2013–2014 “Вероятностные задачи в спектральной теории и на группах”. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Теорема Хейде на a-адических соленоидах Теорема Хейде на a-адичних соленоїдах The Heyde theorem on a-adic solenoids Article published earlier |
| spellingShingle | Теорема Хейде на a-адических соленоидах Миронюк, М.В. Математика |
| title | Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_alt | Теорема Хейде на a-адичних соленоїдах The Heyde theorem on a-adic solenoids |
| title_full | Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_fullStr | Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_full_unstemmed | Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_short | Теорема Хейде на a-адических соленоидах |
| title_sort | теорема хейде на a-адических соленоидах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85630 |
| work_keys_str_mv | AT mironûkmv teoremaheidenaaadičeskihsolenoidah AT mironûkmv teoremaheidenaaadičnihsolenoídah AT mironûkmv theheydetheoremonaadicsolenoids |