Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень
У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженостi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення. В терминах абстрактных краевых операторов установлены условия взаимной сопряженности двух...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85631 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень / Ю.І. Оліяр, О.Г. Сторож // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 19–22. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859520067523313664 |
|---|---|
| author | Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г. |
| author_facet | Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г. |
| citation_txt | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень / Ю.І. Оліяр, О.Г. Сторож // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 19–22. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженостi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення.
В терминах абстрактных краевых операторов установлены условия взаимной сопряженности двух линейных отношений в гильбертовом пространстве, а также дано описание максимально диссипативных расширений симметрического отношения.
In terms of abstract boundary operators, the criteria of mutual adjointness for two relations in
a Hilbert space are established. The description of maximally dissipative extensions of a given
symmetric relation is given.
|
| first_indexed | 2025-11-25T21:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.88
Ю. I. Олiяр, О. Г. Сторож
Абстрактнi крайовi оператори та деякi класи лiнiйних
розширень лiнiйних вiдношень
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком)
У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженос-
тi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально
дисипативних розширень симетричного вiдношення.
Теорiя лiнiйних вiдношень (“багатозначних операторiв”) у гiльбертових просторах була за-
початкована, мабуть, у статтi Р. Аренса [1] i знайшла свiй подальший розвиток в [2, 3] та
в працях багатьох iнших математикiв. Нагадаємо, що якщо H — гiльбертiв простiр (зi ска-
лярним добутком (· | ·)), то (замкненим) лiнiйним вiдношенням у H називають (замкнений)
лiнiйний многовид у H2 def
= H ⊕H. Для кожного лiнiйного вiдношення T ⊂ H2 iснує спря-
жене T ∗ ⊂ H2 вiдношення, яке визначається так: T ∗ = ĴT⊥ = T ∗(= (ĴT )⊥), де ∀ (y, y′) ∈ T
Ĵ(y, y′) = (−iy′, iy) (тут ⊥ — символ ортогонального доповнення в H2). Вiдношення T ⊂ H2
називають симетричним (самоспряженим), якщо T ⊂ T ∗ (вiдповiдно T = T ∗). Це вiдно-
шення називається дисипативним (акумулятивним), якщо ∀ (y, y′) ∈ T Im(y′ | y) > 0 (6 0)
i максимально дисипативним (максимально акумулятивним), якщо, крiм цього, воно не має
в H2 нетривiальних дисипативних (акумулятивних) розширень.
Зазначимо, що лiнiйнi вiдношення, породженi диференцiальними рiвняннями (вираза-
ми), були об’єктами дослiдження, наприклад, у [4–6] i що нижче систематично застосовую-
ться такi позначення: D(T ), R(T ), kerT — вiдповiдно область визначення, область значень
та многовид нулiв оператора T; (· | ·)X — символ скалярного добутку в гiльбертовому просто-
рi X; IX — оператор тотожного перетворення в просторi X; ⊕, ⊖ — символи ортогональної
суми та ортогонального доповнення вiдповiдно; якщо Ai : X → Yi(1, . . . , n) — лiнiйнi опера-
тори, то запис A = A1 ⊕ · · · ⊕ An означає, що для будь-якого x ∈ X Ax = (A1x, . . . , Anx);
E — замикання множини E; T ∗ — оператор, спряжений з оператором T .
Роль вихiдного об’єкта вiдiграє пара (L,L0) замкнених лiнiйних вiдношень таких, що
L0 ⊂ L ⊂ H2.
Критерiй взаємної спряженостi двох замкнених лiнiйних вiдношень. Покладе-
мо M0 = L∗, M = L∗
0. Будь-яке замкнене лiнiйне вiдношення L1(M1) таке, що L0 ⊂ L1 ⊂ L
(вiдповiдно M0 ⊂ M1 ⊂ M) називатимемо власним розширенням L0(M0). Нижче встанов-
лено критерiй взаємної спряженостi вiдношень L1 та M1.
Означення 1. Нехай G — (допомiжний) гiльбертiв простiр, а U ∈ B(L,G). Пара (G,L)
називається крайовою парою для (L,L0), якщо R(U) = G, kerU = L0.
Теорема 1. Нехай (GL, U) та (GM , U) — крайовi пари (L,L0) та (M,M0) вiдповiдно.
Тодi iснує єдине вiдображення E : GL → GM таке, що
E ∈ B(GL, GM ), E−1 ∈ B(GM , GL), (1)
© Ю. I. Олiяр, О. Г. Сторож, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 19
∀ ŷ = (y, y′) ∈ L, ∀ ẑ = (z, z′) ∈ MU (y′ | z)− (y | ź) = (iĴ ŷ | ẑ)H2 =
= (EU (̂y) |V ẑ)GM
= (Uŷ |E∗V ẑ)GL
. (2)
Наслiдок 1. Нехай G1, G2 — гiльбертовi простори, Ui ∈ B(L,Gi) (i = 1, 2), G = G1 ⊕
⊕G2, U = U1⊕U2. Припустимо, що (G,U) — крайова пара для (L,L0). Тодi iснують єдинi
Ũ1 ∈ B(M,G2), Ũ2 ∈ B(M,G1) такi, що (G̃, Ũ), де G̃ = G2 ⊕ G1, Ũ = Ũ1 ⊕ Ũ2, є крайовою
парою для (M,M0) i
(∀ ŷ ∈ L) (∀ ẑ ∈ M) (iĴ ŷ | ẑ)H2 = (iJUŷ | Ũ ẑ)
G̃
= (U1ŷ | Ũ2ẑ)G1
− (U2ŷ | Ũ1ẑ)G2
, (3)
де
(∀h1 ∈ G1) (∀h2 ∈ G2) J(h1, h2) = (ih2,−ih1). (4)
Зауваження 1. Мiркуючи так, як у [7], неважко переконатися, що в умовах наслiдку 1
U1Ĵ Ũ
∗
1 = 0, U1Ĵ Ũ
∗
2 = iIG1
, U2Ĵ Ũ
∗
1 = −iIG2
, U2Ĵ Ũ
∗
2 = 0. (5)
Твердження 1. Нехай Gi, Ui, Ũi (i = 1, 2) такi, як у наслiдку 1, а L1
def
= kerU1. Тодi
L∗
1
def
= ker Ũ1.
Теорема 2. Припустимо, що L0 ⊂ L1 = L1 ⊂ L, G — гiльбертiв простiр, причому
dimG = dim(L ⊖ L0). Тодi:
a) iснують ортогональний розклад G = G1 ⊕ G2 та оператори
U1 ∈ B(L,G1), V1 ∈ B(M,G2) (6)
такi, що
L1 = kerU1, L∗
1 = kerV1, (7)
а отже,
kerU1 ⊃ L0, ker V1 ⊃ M0; (8)
б) не зменшуючи загальностi, можна вважати, що
R(U1) = G1, R(V1) = G2. (9)
Беручи до уваги теорему 2, бачимо, що природним чином постає така задача.
Нехай:
а) G = G1 ⊕G2 (де G1, G2 — гiльбертовi простори), dimG = dim(L ⊖ L0), а оператори
U1, V1 задовольняють (6) та (8);
б)
L1 = kerU1, M1 = ker V1. (10)
Встановити критерiй взаємної спряженостi вiдношень L1 та M1.
Вiдповiдь на це питання дає така теорема.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
Теорема 3. Вiдношення L1 та M1 (див. (6), (8) та (10)) є взаємно спряженими тодi
i тiльки тодi, коли kerU1 = L0 ⊕ ĴR(V ∗
1 ).
Максимально дисипативнi розширення симетричних вiдношень. Розглянемо
ситуацiю, коли L0 — симетричне вiдношення в H, а L = L∗
0, i опишемо максимально ди-
сипативнi розширення вiдношення L0. У випадку, коли L0 — щiльно визначений оператор
з однаковими дефектними числами (в теорiї лiнiйних вiдношень оператор ототожнюють
з його графiком), такий опис наведено у [8–10]. Випадок, коли оператор є скiнченновимiр-
ним звуженням (щiльно визначеного) симетричного оператора, дослiджено в [11, 12].
Перш нiж переходити до конкретних формулювань, зазначимо, що нижче використо-
вуються такi позначення:
ĤL = L⊖ L0, H±
L
= ker(L∓ iIH)(= {y ∈ H : (y,±iy) ∈ L}),
Ĥ±
L
= {(y,±iy) ∈ H2 : y ∈ Ĥ±
L
}, m± = dim(H±
L
)(= dim Ĥ±
L
).
Вiдомо [2], що ĤL = Ĥ+
L
⊕ Ĥ−
L
, тобто L = L0 ⊕ Ĥ+
L
⊕ Ĥ−
L
.
Означення 2. Нехай G+, G− — (допомiжнi) гiльбертовi простори, δ± ∈ B(L,G±),
G
def
= G+ ⊕ G−, δ = δ+ ⊕ δ−.
Набiр (G+, G−, δ+δ−) називається граничною четвiркою для L0 якщо:
а) dimG± = m±;
б) ker δ = L0;
в) R(δ) = G;
г) (∀ ŷ ∈ L) (∀ ẑ ∈ L) (iĴ ŷ | ẑ)H2 = i[(δ+ŷ | δ+ẑ)G+ − (δ−ŷ | δ−ẑ)G− ].
Зрозумiло, що (G, δ) є крайовою парою для (L,L0) i (∀ ŷ ∈ L) (∀ ẑ ∈ L) (iĴ ŷ | ẑ)H2 =
= (iIδŷ | δẑ)G, де
I =
(
IG+ 0
0 −IG−
)
.
Теорема 4. Нехай G — гiльбертiв простiр такий, що dimG = dim(L ⊖ L0). Тодi
iснують ортогональний розклад G = G+ ⊕ G− та оператори δ± ∈ B(L,G±) такi, що
(G+, G−, δ+, δ−) — гранична четвiрка для L0.
Теорема 5. Нехай (G+, G−, δ+, δ−) — гранична четвiрка для L0, G = G+ ⊕ G−, A±
1 ∈
∈ B(G±, G−) (вiдповiдно A±
1 ∈ B(G±, G+)),
L1 = {y ∈ L : A+
1 δ+y +A−
1 δ−y = 0}.
Такi твердження еквiвалентнi:
а) L1 — максимально дисипативне (максимально акумулятивне) вiдношення;
б) A±
1 (A
±
1 )
∗
6 A−
1 (A
−
1 )
∗, kerA−
1 = {0} (вiдповiдно A±
1 (A
±
1 )
∗
> A−
1 (A
−
1 )
∗, kerA+
1 = {0});
в) iснує стиск K ∈ B(G+, G−) такий, що L1 = {y ∈ L : δ−y = Kδ+y} (вiдповiдно iснує
стиск K ∈ B(G−, G+) такий, що L1 = {y ∈ L : δ+y = Kδ−y}).
Зауваження 1. Припустимо, що L0 має однаковi дефектнi числа (m+ = m−), а G+ = G−
(таке припущення не зменшує загальностi). В умовах теореми 4 вiдношення L1 є самоспря-
женим тодi i тiльки тодi, коли A±
1 (A
±
1 )
∗ = A−
1 (A
−
1 )
∗, kerA±
1 = {0}.
Зауваження 2. Як доведено в [11] (див. також [12]), будь-яке дисипативне (акумулятив-
не) розширення симетричного лiнiйного вiдношення L0 є звуженням вiдношення L = L∗
0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 21
тому в теоремi 5 фактично дано опис усiх максимально дисипативних та максимально аку-
мулятивних (а в деяких випадках i самоспряжених) розширень симетриного вiдношення
в термiнах абстрактних крайових умов.
1. Arens R. Operational calculus of linear relations // Pacif. J. Math. – 1961. – 11, No 1. – P. 9–23.
2. Coddington E.A. Stlf-adjoint subspace extensions of nondensely defined linear operators // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1973. – 79, No 4. – P. 712–715.
3. Dijksma A., de Snoo H. S. V. Self-adjoint extensions of symmetric subspaces // Pacif. J. Math. – 1974. –
54, No 1. – P. 71–100.
4. Hassi S., de Snoo H. S.V., Sterk A., Winkler H. Finite-dimensional graph perturbations of selfadjoint
Sturn–Liouville operators // Operator Theory, Structured Matrices, and Dilations: Tiberiu Constantinescu
Memorial Volume. – Theta Foundation, 2007. – P. 205–226.
5. Bruk V.M. On linear relations generated by nonnegative operator function and degenerate elliptic dif-
ferential operator extension // J. Math. Physics, Analysis, Geometry. – 2009. – 5, No 2. – P. 123–144.
6. Bruk V.M. On linear relations generated by a differential expression and by a Nevanlinna operator func-
tion // Ibid. – 2011. – 7, No 2. – P. 115–140.
7. Лянце В.Э., Сторож О.Г. Методы теории неограниченных операторов. – Киев: Наук. думка, 1983. –
210 с.
8. Кочубей А.Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений //
Мат. заметки. – 1975. – 17, № 1. – С. 41–48.
9. Брук В.М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии //
Мат. сборник. – 1976. – 100, № 2. – С. 210–216.
10. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. –
Киев: Наук. думка, 1984. – 248 с.
11. Кочубей А.Н. О расширениях неплотно заданного симметрического оператора // Сиб. мат. журн. –
1977. – 18, № 2. – С. 314–320.
12. Сторож О.Г. Зв’язок мiж двома парами лiнiйних вiдношень та дисипативнi розширення деяких
нещiльно визначених операторiв // Карпат. мат. публ. – 2009. – 1, № 2. – С. 207–213.
Надiйшло до редакцiї 15.10.2012Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
Ю.И. Олияр, О. Г. Сторож
Абстрактные краевые операторы и некоторые классы расширений
линейных отношений
В терминах абстрактных краевых операторов установлены условия взаимной сопряжен-
ности двух линейных отношений в гильбертовом пространстве, а также дано описание
максимально диссипативных расширений симметрического отношения.
Yu. I. Olijar, O.G. Storozh
Abstract boundary operators and some classes of extensions of linear
relations
In terms of abstract boundary operators, the criteria of mutual adjointness for two relations in
a Hilbert space are established. The description of maximally dissipative extensions of a given
symmetric relation is given.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85631 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T21:02:12Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г. 2015-08-11T13:09:53Z 2015-08-11T13:09:53Z 2013 Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень / Ю.І. Оліяр, О.Г. Сторож // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 19–22. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85631 513.88 У термiнах абстрактних крайових операторiв встановлено умови взаємної спряженостi двох лiнiйних вiдношень у гiльбертовому просторi, а також дано опис максимально дисипативних розширень симетричного вiдношення. В терминах абстрактных краевых операторов установлены условия взаимной сопряженности двух линейных отношений в гильбертовом пространстве, а также дано описание максимально диссипативных расширений симметрического отношения. In terms of abstract boundary operators, the criteria of mutual adjointness for two relations in a Hilbert space are established. The description of maximally dissipative extensions of a given symmetric relation is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень Абстрактные краевые операторы и некоторые классы расширений линейных отношений Abstract boundary operators and some classes of extensions of linear relations Article published earlier |
| spellingShingle | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень Оліяр, Ю.І. Сторож, О.Г. Математика |
| title | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень |
| title_alt | Абстрактные краевые операторы и некоторые классы расширений линейных отношений Abstract boundary operators and some classes of extensions of linear relations |
| title_full | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень |
| title_fullStr | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень |
| title_full_unstemmed | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень |
| title_short | Абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень |
| title_sort | абстрактні крайові оператори та деякі класи лінійних розширень лінійних відношень |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85631 |
| work_keys_str_mv | AT olíârûí abstraktníkraiovíoperatoritadeâkíklasilíníinihrozširenʹlíníinihvídnošenʹ AT storožog abstraktníkraiovíoperatoritadeâkíklasilíníinihrozširenʹlíníinihvídnošenʹ AT olíârûí abstraktnyekraevyeoperatoryinekotoryeklassyrasšireniilineinyhotnošenii AT storožog abstraktnyekraevyeoperatoryinekotoryeklassyrasšireniilineinyhotnošenii AT olíârûí abstractboundaryoperatorsandsomeclassesofextensionsoflinearrelations AT storožog abstractboundaryoperatorsandsomeclassesofextensionsoflinearrelations |