Топологическая классификация функций
Рассмотрен вопрос о топологической классификации функций, в частности гармонических функций. С использованием графа Кронрода–Риба дано необходимое и достаточное
 условие, когда два гармонических полинома общего положения будут топологически эквивалентными. Розглянуто питання про топологiчну...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85632 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Топологическая классификация функций / В.В. Шарко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 23–25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860250649585778688 |
|---|---|
| author | Шарко, В.В. |
| author_facet | Шарко, В.В. |
| citation_txt | Топологическая классификация функций / В.В. Шарко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 23–25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрен вопрос о топологической классификации функций, в частности гармонических функций. С использованием графа Кронрода–Риба дано необходимое и достаточное
условие, когда два гармонических полинома общего положения будут топологически эквивалентными.
Розглянуто питання про топологiчну класифiкацiю функцiй, зокрема гармонiчних функцiй.
За допомогою графу Кронрода–Рiба дано необхiдну та достатню умову, коли два гармонiчних
полiнома загального положення будуть топологiчно еквiвалентними.
The problem of topological classification of functions, in particular harmonic functions, is considered. Using the Kronrod–Reeb graph, the necessary and sufficient condition for two harmonic
polynomials of general position be topologically equivalent is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:42:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.938.5
Член-корреспондент НАН Украины В.В. Шарко
Топологическая классификация функций
Рассмотрен вопрос о топологической классификации функций, в частности гармоничес-
ких функций. С использованием графа Кронрода–Риба дано необходимое и достаточное
условие, когда два гармонических полинома общего положения будут топологически эви-
валентными.
Пусть X и Y — топологические пространства, а f и g — непрерывные отображения из X в Y .
Определение 1. Непрерывные отображения f и g называются топологически эквива-
лентными, если существуют гомеоморфизмы h : X → X и k : Y → Y такие, что k · f = g · h.
Очевидно, что это отношение эквивалентности на множестве непрерывных отображе-
ний из X в Y . Заметим, что выбор гомеоморфизмов h и k не является однозначным. Таким
образом, если зафиксировать топологические пространства X и Y , то естественно возникает
две задачи: описать множество классов непрерывных отображений из X в Y относитель-
но введенного отношения эквивалентности; указать необходимые и достаточные условия,
когда два непрерывных отображения f и g из X в Y будут топологически эквивалентными.
Эти задачи сложны и ответ не известен даже, когда X = Y = R1.
Лемма 1. Существует непрерывная функция f : [0, 1] → [0, 1], которая не является
топологически эквивалентной никакой гладкой функции g : [0, 1] → [0, 1].
Доказательство. Пусть g : [0, 1] → [0, 1] — гладкая функция. По теореме Сарда ме-
ра образа множества критических точек функции g равна нулю. Следовательно, найдется
отрезок [α, β] ⊂ [0, 1], на который не отображаются критические точки. Обозначим через Γ
множество g−1[α, β]. Рассмотрим ту компоненту связности ∆ = [a, b] множества Γ, кото-
рая отображается на отрезок [α, β]. Очевидно, что сужение функции g на отрезок [a, b]
есть строго монотонная функция. Таким образом, у гладкой функции g существует отре-
зок, где она строго монотонная и этим свойством должна обладать любая непрерывная
функция f : [0, 1] → [0, 1], топологически эквивалентная функции g. Однако существуют
непрерывные функции, которые не обладают этим свойством. В качестве примера можна
взять функцию из [1, пример 21].
Сделаем несколько замечаний. В дальнейшем мы предполагаем, что гомеоморфизм
k : R1
→ R1 из определения 1 сохраняет ориентацию, т. е. задается строго монотонно
возрастающей функцией. Очевидно, что если функции f : X → R1 и g : X → R1 топологи-
чески эквивалентны и точка x0 ∈ X является точкой локального максимума (минимума)
функции f , то точка h(x0) ∈ X будет точкой локального максимума (минимума) функ-
ции g. Если f — строго монотонно возрастающая (убывающая) непрерывная функция, то
она топологически эквивалентна линейной возрастающей (убывающей) функции l.
Лемма 2. Пусть f : [a, b] → R1 — непрерывная функция с конечным числом локальных
экстремумов такая, что если:
1) a = −∞, то lim
x→−∞
f(x) = ∞ или −∞;
2) b = ∞, то lim
x→∞
f(x) = ∞ или −∞;
© В. В. Шарко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 23
3) a = −∞ и b = ∞, то lim
x→−∞
f(x) = ∞ или −∞, lim
x→∞
f(x) = ∞ или −∞, то f
топологически эквивалентна кусочно-линейной функции.
Доказательство. Пусть x1, x2, . . . , xn — точки локальных экстремумов функции f . На
интервалах (xi, xi+1) функция f строго монотонно возрастает или убывает. Следовательно,
сужения функции f на эти интервалы топологически эквивалентны линейным функциям.
Следствие 1. Пусть f — полином, тогда он топологически эквивалентен кусочно-ли-
нейной функции.
Теорема 1. Для каждой кусочно-линейной функции f , заданной на R1 и имеющей m
локальных экстремумов, существует полином степени m + 1, который топологически
эквивалентен функции f .
Доказательство следует из результата, содержащегося в работе [2].
Известно [3], что существует конечное число топологически неэквивалентных полиномов
степени n > 1 от k > 0 переменных, однако неизвестно их число и нет условий, дающих
возможность установить, когда два полинома топологически эквивалентны. Существуют
полиномы разных степеней от двух переменных, которые топологически эквивалентные.
Полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Для
гармонического полинома P = P (x, y) существует комплексный полином P(z) такой, что
P (x, y) = ReP(z). Если P (x, y) = ReP(z) а Q(x, y) = ImP(z), то критические точки
P = P (x, y) совпадают с критическими точками Q(x, y) и в окрестностях критических
точек P = P (x, y) и Q(x, y) топологически эквивалентные. Однако в R
2 они могут быть
топологически неэквивалентными. В качестве примера рассмотрим сопряженные гармони-
ческие полиномы P (x, y) = x3 − 3xy2 − 3x и Q(x, y) = −y3 + 3x2y − 3y. Они имеют по две
невырожденные критические точки, координаты которых (±1, 0). Для P (x, y) эти крити-
ческие точки лежат на разных линиях уровня, а для Q(x, y) — на одной линии уровня.
Следовательно P (x, y) и Q(x, y) топологически неэквивалентные.
Лемма 3. Гармонические полиномы от двух переменных разных степеней всегда то-
пологически неэквивалентные.
Известно [4], что критические точки гармонической функции двух переменных f(x, y)
всегда изолированные и в окрестности критической точки непрерывной заменой коорди-
нат f(x, y) можно привести к виду f = Re zn + c (n > 2). Если c — критическое значение
гармонической функции f(x, y), заданной в R
2, то линия уровня f(x, y) = c гомеоморфна
бесконечному дереву, вложенному в R
2. Каждая вершина этого дерева имеет четную ва-
лентность и между вершинами дерева и критическими точками f(x, y), лежащими на этой
линии уровня, имеется биекция. Число вершин может быть не более чем счетным. Этот
факт следует из принципа максимума и локального представления гармонической функ-
ции в окрестности критической точки.
Лемма 4. В R
2 существует гармоническая функция с любым конечным (включая пус-
тое) или бесконечным множеством Ω = (m1, . . . ,mn, . . .) критических точек, имеющих
вырожденности любых порядков.
У гармонического полинома P = P (x, y) число компонент связности любой линии уров-
ня всегда конечное и линии уровня регулярного значения гомеоморфны числовой прямой.
Разбиения плоскости R
2 в объединение линий уровня полинома P = P (x, y) задает слое-
ние с особенностями. Принадлежность точки поверхности компоненте связности является
отношением эквивалентности и, введя естественную фактор-топологию в множество компо-
нент связности, получим фактор-множество. Это фактор-множество будет некомпактным
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
графом с конечным множеством вершин конечной валентности, которое обозначим через
ΓK−R(P ) и которое называется графом Кронрода–Риба для полинома P = P (x, y) [5].
Вершинам графа ΓK−R(P ) соответствуют связные компоненты линий уровня, на кото-
рых лежат критические точки полинома.
Лемма 5. Графы Кронрода–Риба гармонических полиномов разных степеней не изо-
морфны.
Гармонический полином P = P (x, y) каноническим образом задает функцию PK−R на ее
графе Кронрода–Риба ΓK−R(P ), которая называется K−R образом полинома P = P (x, y).
Значение PK−R в точке x ∈ ΓK−R(P ) равно значению P = P (x, y) на соответствующей x
компоненте связности линии уровня.
Определение 2. Пусть P = P (x, y) и Q = Q(x, y) — гармонические полиномы, а PK−R
и QK−R — их K−R образы на графах ΓK−R(P ) и ΓK−R(Q). Полиномы P и Q называются
K−R эквивалентными, если их K−R образы PK−R и QK−R эквивалентны, т. е. существует
изоморфизм s : ΓK−R(P ) → ΓK−R(Q) и гомеоморфизм t : R1
→ R1 такие, что t ·PK−R ·s−1 =
= QK−R.
Гармонический полином называется гармоническим полиномом общего положения, если
на его линии уровня лежит не более одной критической точки.
Теорема 2. Гармонические полиномы общего положения будут топологически эквива-
лентными тогда и только тогда, когда они K−R эквивалентные.
1. Гелбаум Б., Олмстед Д. Контрпримеры в анализе. – Москва: Мир, 1967. – 251 с.
2. Thom R. L’equivalence d’une fonction differentiable et de’un polynome // Topology. – 1965. – 3, No 2. –
P. 297–307.
3. Fukuda T. Types topologiques des polynomes // Publ. math. l’I. H. E. Sci. – 1976. – 46. – P. 87–106.
4. Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях // Укр. мат.
журн. – 2003. – 55, № 5. – С. 687–700.
5. Sharko V.V. About Kronrod–Reeb graph of function on a manifold // Meth. Funct. Anal. and Topol. –
2006. – 12, No 4. – P. 389–396.
Поступило в редакцию 28.12.2012Институт математики НАН Украины, Киев
Член-кореспондент НАН України В.В. Шарко
Топологiчна класифiкацiя функцiй
Розглянуто питання про топологiчну класифiкацiю функцiй, зокрема гармонiчних функцiй.
За допомогою графу Кронрода–Рiба дано необхiдну та достатню умову, коли два гармонiчних
полiнома загального положення будуть топологiчно еквiвалентними.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.V. Sharko
Topological classification of functions
The problem of topological classification of functions, in particular harmonic functions, is consi-
dered. Using the Kronrod–Reeb graph, the necessary and sufficient condition for two harmonic
polynomials of general position be topologically equivalent is given.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 25
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85632 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:42:25Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шарко, В.В. 2015-08-11T13:10:06Z 2015-08-11T13:10:06Z 2013 Топологическая классификация функций / В.В. Шарко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 23–25. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85632 517.938.5 Рассмотрен вопрос о топологической классификации функций, в частности гармонических функций. С использованием графа Кронрода–Риба дано необходимое и достаточное
 условие, когда два гармонических полинома общего положения будут топологически эквивалентными. Розглянуто питання про топологiчну класифiкацiю функцiй, зокрема гармонiчних функцiй.
 За допомогою графу Кронрода–Рiба дано необхiдну та достатню умову, коли два гармонiчних
 полiнома загального положення будуть топологiчно еквiвалентними. The problem of topological classification of functions, in particular harmonic functions, is considered. Using the Kronrod–Reeb graph, the necessary and sufficient condition for two harmonic
 polynomials of general position be topologically equivalent is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Топологическая классификация функций Топологiчна класифiкацiя функцiй Topological classification of functions Article published earlier |
| spellingShingle | Топологическая классификация функций Шарко, В.В. Математика |
| title | Топологическая классификация функций |
| title_alt | Топологiчна класифiкацiя функцiй Topological classification of functions |
| title_full | Топологическая классификация функций |
| title_fullStr | Топологическая классификация функций |
| title_full_unstemmed | Топологическая классификация функций |
| title_short | Топологическая классификация функций |
| title_sort | топологическая классификация функций |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85632 |
| work_keys_str_mv | AT šarkovv topologičeskaâklassifikaciâfunkcii AT šarkovv topologičnaklasifikaciâfunkcii AT šarkovv topologicalclassificationoffunctions |