Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы
На основании результатов теории оптимального управления состояниями многокомпонентных распределенных систем получены явные выражения градиентов функционалов-невязок идентификации параметров наноматериалов с наблюдениями за суммарными концентрациями сорбируемых смесей. На основi результатiв теорiї оп...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85633 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы / В.С. Дейнека // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 26–32. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859736186753384448 |
|---|---|
| author | Дейнека, В.С. |
| author_facet | Дейнека, В.С. |
| citation_txt | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы / В.С. Дейнека // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 26–32. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | На основании результатов теории оптимального управления состояниями многокомпонентных распределенных систем получены явные выражения градиентов функционалов-невязок идентификации параметров наноматериалов с наблюдениями за суммарными концентрациями сорбируемых смесей.
На основi результатiв теорiї оптимального керування станами багатокомпонентних розподiлених систем отриманi явнi вирази градiєнтiв функцiоналiв-нев’язок iдентифiкацiї параметрiв наноматерiалiв зi спостереженнями за сумарними концентрацiями сорбуючих
сумiшей.
On the basis of the theory of optimal control of states of multicomponent distributed systems, the
explicit expressions for gradients of functionals-residuals for the identification of parameters of
nanomaterials with observations of the total concentrations of sorbed mixtures are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:16:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2013
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
Академик НАН Украины В.С. Дейнека
Идентификация параметров задач массопереноса
в нанопористых средах при известных суммарных
распределениях массы
На основании результатов теории оптимального управления состояниями многоком-
понентных распределенных систем получены явные выражения градиентов функциона-
лов-невязок идентификации параметров наноматериалов с наблюдениями за суммар-
ными концентрациями сорбируемых смесей.
В различных областях (медицине, нефтехимии, авиации и др.) широко используются нано-
материалы. Применение средств математического моделирования к исследованию процес-
сов массопереноса в наноматериалах позволяет создавать изделия, обеспечивающие высо-
кое качество конечной продукции, например, высокую степень очистки нефтепродуктов,
питьевой воды и др. Сложность широкого внедрения современных компьютерных средств
для исследования процессов в таких средах состоит не только в сложности построения
адекватных математических моделей, но и в задании их параметров. Ранее в работах [1–3]
рассматривались вопросы идентификации параметров задач массопереноса в нанопористых
средах при известных распределениях масс вещества в твердой и жидкой фазах. Одна-
ко, в силу сложности экспериментального разделения этих характеристик, целесообразно
использовать эффективные вычислительные алгоритмы идентификации параметров при
известных суммарных массах (в твердой и жидкой фазах) в определенных направлениях
зондирования исследуемых материалов.
В данной работе рассматривается вопрос построения явных выражений градиентов
функционалов-невязок для идентификации параметров задач массопереноса в нанопорис-
тых средах при известных суммарных распределениях массы в твердой и жидкой фазах
сорбируемого вещества.
Дифференциальная математическая модель массопереноса. Концентрация
c(x, t) вещества, диффундирующего через пористую пластину толщиной l, состоящую из
© В. С. Дейнека, 2013
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
большого числа сферических пористых составляющих радиусом R (0 < R ≪ l < ∞), опи-
сывается параболическим уравнением [4]
ε
∂c
∂t
= d1ε
∂2c
∂x2
− 3(1− ε)
d2
R
∂q
∂r
∣∣∣∣
r=R
, (x, t) ∈ ΩT , (1)
где Ω = (0, l), ΩT = Ω×(0, T ); ε — пористость; d1, d2 — коэффициенты диффузии соответст-
венно по макропорам и микрочастицам; q — концентрация диффундирующего вещества по
малым сферическим составляющим.
Диффузия вещества в сферических составляющих радиусом R с центром в точке x ∈ Ω
пористой среды описывается уравнением
∂q
∂t
= d2
(
∂2q
∂r2
+
2
r
∂q
∂r
)
, r ∈ (0, R), t ∈ (0, T ), x ∈ Ω. (2)
Начальные условия приняты однородными:
c(x, t = 0) = 0, q(r, x, t = 0) = 0, x ∈ Ω, r ∈ (0, R). (3)
Краевые условия для концентрации c следующие:
c(x = l, t) = c∞,
∂c
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0, t ∈ (0, T ). (4)
Краевые условия в каждой точке (x, t) ∈ ΩT для концентрации q такие:
∂q(r, x, t)
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0, q(r = R,x, t) = kc(x, t), t ∈ (0, T ), (5)
где k — некоторый коэффициент (k = k(t) > 0).
Следуя [1], обобщенным решением начально-краевой задачи (1)–(5) назовем век-
тор-функцию U = (c, q) ∈ H1 ×H2, которая ∀ (v,w) ∈ H10 ×H20 удовлетворяет равенствам
(
ε
∂c
∂t
, v
)
+ a1(c, v) = l1(q, v), t ∈ (0, T ),
R∫
0
r2
∂q
∂t
wdr + a2(q, w) = 0, x ∈ (0, l), t ∈ (0, T ),
c(x, 0) = 0, q(r, x, 0) = 0, r ∈ (0, R), x ∈ (0, l),
q(r = R,x, t) = kc(x, t), x ∈ (0, l), t ∈ (0, T ),
(6)
где
H1 =
{
v(x, t) ∈ L2(0, T ;W 1
2 (0, l)) :
∂v
∂t
∈ L2(0, T ;L2(0, l)), v(x = l, t) = c∞, t ∈ (0, T )
}
,
H2 =
{
v(r, x, t) ∈ L2(0, T ; 0, l;W 1
2 (0, R)) :
∂v
∂t
∈ L2(0, T ; 0, l;L2(0, R))
}
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 27
L2(0, T ; 0, l;W 1
2 (0, R)) =
{
v(r, x, t) :
T∫
0
l∫
0
‖v‖2
W 1
2
(0,R)dxdt <∞
}
,
H10 = {v(x) ∈W 1
2 (0, l) : v(l) = 0}, H20 = {w(r) ∈W 1
2 (0, R), w(R) = 0},
a1(c, v) =
(
d1ε
∂c
∂x
,
∂v
∂x
)
, l1(q, v) = −
3(1− ε)
R
l∫
0
d2
(
∂q
∂r
)∣∣∣∣
r=R
v(x) dx,
a2(q, w) =
R∫
0
d2r
2∂q
∂r
∂w
∂r
dr.
Идентификация коэффициентов диффузии. Пусть в задаче (1)–(5) коэффициен-
ты диффузии d1, d2 неизвестны. При этом предполагаем, что в некоторых точках di ∈ (0, l),
i = 1,m, известны суммарные значения концентрации
m
∣∣
x=di
= (c+ q)
∣∣
x=di
= fi(t), i = 1,m, t ∈ (0, T ). (7)
Тем самым получена задача (6), (7), состоящая в определении вектор-функции u = (u1, u2) ∈
∈ U = C+([0, T ]) × C+([0, T ]), C+([0, T ]) = {v(t) ∈ C([0, T ]) : v > 0, t ∈ [0, T ]}, при которой
решение U = (c, q) задачи (6) удовлетворяет равенствам (7), где d1 = u1, d2 = u2.
Замечание 1. В силу особенностей постановки начально-краевой задачи (1)–(5) возни-
кает вопрос в том, что подразумевать под выражением q
∣∣
x=di
в равенстве (7). Возможны
некоторые предположения относительно того, к какой точке r ∈ [0, R] привязать значения
q
∣∣
x=di
, например, можно положить q
∣∣
x=di
= q(R/2, di, t) или q
∣∣
x=di
= q(R, di, t).
Полагая
(c+ q)
∣∣
x=di
= c(di, t) + q
(
R
2
, di, t
)
, i = 1,m,
можем составить функционал-невязку
J(u) =
m∑
i=1
1
2
T∫
0
(
c(di, t) + q
(
R
2
, di, t
)
− fi(t)
)2
dt. (8)
В этом случае вместо задачи (6), (7) будем решать задачу (6), (8), состоящую в опре-
делении вектор-функции u = (u1, u2) ∈ U , при которой решение U = (c, q) задачи (6)
минимизирует на U функционал (8).
Приближение un+1 решения u ∈ U задачи (6), (8) будем находить с помощью градиент-
ного метода
un+1 = un − βnpn, n = 0, 1, . . . , n∗, (9)
начиная с некоторого начального приближения u0 ∈ U , где направление спуска pn и коэф-
фициент βn определяются следующими выражениями [5]:
для метода минимальных ошибок
pn = J ′
un
, βn =
‖en‖
2
‖J ′
un
‖2
, (10)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
для метода скорейшего спуска
pn = J ′
un
, βn =
‖J ′
un
‖2
‖AJ ′
un
‖2
, (11)
для метода сопряженных градиентов
pn = J ′
un
+ γnpn−1, γ0 = 0, γn =
‖J ′
un
‖2
‖J ′
un−1
‖2
, βn =
(J ′
un
, pn)
‖Apn‖2
, (12)
где J ′
un
— градиент функционала J(u) в точке u = un, en = Aun − f , Aun = ({c(un; di, t) +
+ q(un;R/2, di, t)}
m
i=1), f = {fi(t)}
m
i=1.
Обозначим
π(u, v) = (Y (u)− Y (un), Y (v)− Y (un)), L(v) = (f − Y (un), Y (v)− Y (un)),
где Y (v) = Av.
Справедливо равенство
2J(v) = π(v, v) − 2L(v) + ‖f − Y (un)‖
2. (12′)
Пренебрегая членами второго порядка малости, для определения приращения θ = ∆U =
= (∆c,∆q) решения U = (c, q) задачи (6), соответствующего приращению ∆u вектора u,
получаем задачу:
(
ε
∂∆c
∂t
, v
)
+ a1(u1;∆c, v) = −a1(∆u
1; c, v) + l1(u2;∆q, v) + l1(∆u2; q, v), t ∈ (0, T ),
R∫
0
r2
∂∆q
∂t
wdr + a2(u2;∆q, w) = −a2(∆u
2; q, w), t ∈ (0, T ),
∆c(x, 0) = 0, ∆q(r, x, 0) = 0, r ∈ (0, R), x ∈ (0, l),
(13)
∆q(r = R,x, t) = k∆c(x, t), x ∈ (0, l), t ∈ (0, T ),
где
θ = (∆c,∆q) ∈ H0
1 ×H2, ∀ (v,w) ∈ H10 ×H20,
a1(z; c, v) =
(
zε
∂c
∂x
,
∂v
∂x
)
, a2(z; q, w) =
R∫
0
r2z
∂q
∂r
∂w
∂r
dr,
H0
1 =
{
v(x, t) ∈ L2(0, T ;W 1
2 (0, l)) :
∂v
∂t
∈ L2(0, T ;L2(0, l)), v(x = l, t) = 0, t ∈ (0, T )
}
,
l1(z,∆q, v) = −
3(1− ε)
R
l∫
0
z
∂∆q
∂r
∣∣∣∣
r=R
vdx.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 29
Пусть un+∆un ∈ U . Тогда ∀λ ∈ (0, 1) un+λ∆un ∈ U . Если обозначим Ũ(un+1) = U(un)+
+θ, где θ — решение задачи (13) при U = U(un), ∆u = ∆un, то, пренебрегая членами второго
порядка малости, при переходе от задачи (6) к задаче (13) получаем U(un+1) ≈ Ũ(un+1) и
Y (un + λ∆un)− Y (un) ≈ λ(Ỹ (un+1)− Y (un)), (14)
где Ỹ (un+1) = {c̃(un+1; di, t) + q̃(un+1;R/2, di, t)}
m
i=1.
Поскольку
J(un + λ∆un) = π(un + λ∆un, un + λ∆un)− L(un + λ∆un) + ‖Y (un)− f‖2,
то с учетом (12′), (14) имеем
〈J ′
un
,∆un〉 = lim
λ→0
J(un + λ∆un)− J(un)
λ
≈ (Y (un)− f, Ỹ (un+1)− Y (un)). (15)
На каждом шаге итерационного процесса (9) на основе [6], следуя [7], введем
в рассмотрение сопряженную задачу, состоящую в определении вектор-функции ψ =
= (ψ1(x, t), ψ2(r, x, t)), удовлетворяющей равенствам
−ε
∂ψ1
∂t
=
∂
∂x
(
u1nε
∂ψ1
∂x
)
+
m∑
i=1
(
c(un; di, t) + q
(
un;
R
2
, di, t
)
− fi
)
δ(x− di), t ∈ (0, T ),
−
R∫
0
r2
∂ψ2
∂t
wdr +
R∫
0
r2u2n
∂ψ2
∂r
∂w
∂r
dr +
(
3(1 − ε)
u2n
R
∂w
∂r
∣∣∣∣
r=R
ψ1
)
=
=
m∑
i=1
(
c(un; di, t) + q(un;
R
2
, di, t)
)
w
(
R
2
)
δ(x− di), x ∈ (0, l), (16)
ψ1(x, t = T ) = 0, x ∈ (0, l), ψ2(r, x, t = T ) = 0, r ∈ (0, R),
ψ1(x = l, t) = 0,
∂ψ1
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0,
∂ψ2
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0, ψ2(r = R,x, t) = kψ1(x, t).
Определение. Обобщенным решением задачи (16) называется вектор-функция ψ =
= (ψ1(x, t), ψ2(r, x, t)) ∈ H0
1 ×H2, которая ∀ (v,w) ∈ H10 ×H20 удовлетворяет равенствам
−
l∫
0
ε
∂ψ1
∂t
v dx+
l∫
0
u1nε
∂ψ1
∂x
∂v
∂x
dx =
m∑
i=1
(
c(un; di, t) + q(un;
R
2
, di, t)− fi)
)
v(di),
t ∈ (0, T ),
−
R∫
0
r2
∂ψ2
∂t
w dr +
R∫
0
r2u2n
∂ψ2
∂r
∂w
∂r
dr+
(
3(1 − ε)
u2
R
∂w
∂r
∣∣∣∣
r=R
ψ1
)
=
=
m∑
i=1
(
c(un; di, t) + q
(
un;
R
2
, di, t
))
w
(
R
2
)
δ(x − di), x ∈ (0, l), t ∈ (0, T ).
(17)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
Полагая v = c̃(un+1;x, t)− c(un;x, t), w = q̃(un+1; r, x, t) − q(un; r, x, t), с учетом (6), (13)
получаем
〈J ′
un
,∆u〉 ≈ −
T∫
0
a1(∆u
1
n; c, ψ
1) dt+
T∫
0
l1(∆u
2
n; q, ψ
1) dt−
T∫
0
l∫
0
a2(∆u
2
n; q, ψ
2) dxdt. (18)
Следовательно, J ′
un
≈ ψ̃n, где
ψ̃n = (ψ̃1
n, ψ̃
2
n), ψ̃1
n = −ε
∂c
∂x
∂ψ1
∂x
,
ψ̃2
n = −
3(1 − ε)
R
∂q
∂r
∣∣∣∣
r=R
ψ1δ(r −R)− r2
∂q
∂r
∂ψ2
∂r
,
‖J ′
un
‖2 ≈
T∫
0
l∫
0
(ψ̃1
n)
2dxdt+
T∫
0
l∫
0
R∫
0
ψ̃2
ndrdxdt.
(19)
Замечание 2. Если d1 = d1(x), d2 = d2(x), то
ψ̃1
n = −
T∫
0
ε
∂c
∂x
∂ψ1
∂x
dt, ψ̃2
n = −
T∫
0
R∫
0
ψ̃2
ndrdt, ‖J ′
un
‖2 ≈
l∫
0
((ψ̃1
n)
2 + (ψ̃2
n)
2) dx.
Если предположим, что q
∣∣
x=di
= q(R,x, t), то функционал-невязка имеет вид
J(u) =
m∑
i=1
1
2
T∫
0
(
c(di, t) + q(R, di, t)− fi(t)
)2
dt.
В этом случае на каждом шаге итерационного процесса (9) сопряженная задача состоит
в нахождении вектор-функции ψ = (ψ1, ψ2) ∈ H0
1 ×H2, которая ∀ (v,w) ∈ H10 ×H20 удов-
летворяет равенствам
−
l∫
0
ε
∂ψ1
∂t
vdx+
l∫
0
u1nε
∂ψ1
∂x
∂v
∂x
dx =
m∑
i=1
(c(un; di, t) + q(un;R, di, t)− fi)v(di), t ∈ (0, T ),
−
R∫
0
r2
∂ψ2
∂t
wdr +
R∫
0
r2u2n
∂ψ2
∂r
∂w
∂r
dr +
(
3(1 − ε)
u2
R
∂w
∂r
∣∣∣∣
r=R
ψ1
)
=
=
m∑
i=1
(c(un; di, t) + q(un;R, di, t)− fi)w(di)δ(x − di), x ∈ (0, l), t ∈ (0, T ).
Полагая v = c̃(un+1;x, t) − c(un;x, t), w = q̃(un+1; r, x, t) − q(un; r, x, t), с учетом (6),
(13) получаем выражение (18), из которого следуют выражения (19) для приближения
составляющих градиента J ′
un
.
Замечание 3. Если восстанавливается лишь d1 при известном d2, имеем J ′
un
≈ ψ̃1
n. Если
восстанавливается параметр d2, то имеем J ′
un
≈ ψ̃2
n.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №4 31
1. Сергиенко И.B., Дейнека В. С. Идентификация градиентными методами параметров задач диффузии
вещества в нанопористой среде // Пробл. управления и информатики. – 2010. – № 6. – С. 5–18.
2. Сергиенко И. B., Дейнека В. С. Идентификация градиентными методами параметров задач диффу-
зии двухкомпонентного вещества в нанопористых средах // Доп. НАН України. – 2010. – № 12. –
С. 42–49.
3. Дейнека В. С., Петрик М.Р., Фрессард Ж. Идентификация кинетических параметров массоперено-
са в составляющих многокомпонентных неоднородных нанопористых сред системы компетитивной
диффузии // Кибернетика и систем. анализ. – 2011. – № 5. – С. 46–64.
4. Kärger J., Ruthven D. Diffusion and adsorption in porous solids // Handbook of Porous Solids // Ed. by
F. Shuth, K.W. Sing and J. Weitkamp. – Weinheim: Wiley-VCH, 2002. – P. 2089–2173.
5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных
задач. – Москва: Наука, 1988. – 288 с.
6. Sergienko I. V., Deineka V. S. Optimal control of distributed systems with conjugation conditions. – New
York: Kluwer Aсademic Publishers, 2005. – 400 p.
7. Сергиенко И.В. Дейнека В.С. Системный анализ многокомпонентных распределенных систем. –
Киев: Наук. думка, 2009. – 640 с.
Поступило в редакцию 03.10.2012Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
Академiк НАН України В.C. Дейнека
Iдентифiкацiя параметрiв задач масопереносу в нанопористих
середовищах при вiдомих сумарних розподiлах маси
На основi результатiв теорiї оптимального керування станами багатокомпонентних роз-
подiлених систем отриманi явнi вирази градiєнтiв функцiоналiв-нев’язок iдентифiкацiї па-
раметрiв наноматерiалiв зi спостереженнями за сумарними концентрацiями сорбуючих
сумiшей.
Academician of the NAS of Ukraine V. S. Deineka
Parameter identification of mass transfer problems in nanoporous media
under condition of known total mass distributions
On the basis of the theory of optimal control of states of multicomponent distributed systems, the
explicit expressions for gradients of functionals-residuals for the identification of parameters of
nanomaterials with observations of the total concentrations of sorbed mixtures are obtained.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85633 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:16:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дейнека, В.С. 2015-08-11T13:10:20Z 2015-08-11T13:10:20Z 2013 Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы / В.С. Дейнека // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 4. — С. 26–32. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85633 519.6 На основании результатов теории оптимального управления состояниями многокомпонентных распределенных систем получены явные выражения градиентов функционалов-невязок идентификации параметров наноматериалов с наблюдениями за суммарными концентрациями сорбируемых смесей. На основi результатiв теорiї оптимального керування станами багатокомпонентних розподiлених систем отриманi явнi вирази градiєнтiв функцiоналiв-нев’язок iдентифiкацiї параметрiв наноматерiалiв зi спостереженнями за сумарними концентрацiями сорбуючих сумiшей. On the basis of the theory of optimal control of states of multicomponent distributed systems, the explicit expressions for gradients of functionals-residuals for the identification of parameters of nanomaterials with observations of the total concentrations of sorbed mixtures are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы Iдентифiкацiя параметрiв задач масопереносу в нанопористих середовищах при вiдомих сумарних розподiлах маси Parameter identification of mass transfer problems in nanoporous media under condition of known total mass distributions Article published earlier |
| spellingShingle | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы Дейнека, В.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы |
| title_alt | Iдентифiкацiя параметрiв задач масопереносу в нанопористих середовищах при вiдомих сумарних розподiлах маси Parameter identification of mass transfer problems in nanoporous media under condition of known total mass distributions |
| title_full | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы |
| title_fullStr | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы |
| title_full_unstemmed | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы |
| title_short | Идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы |
| title_sort | идентификация параметров задач массопереноса в нанопористых средах при известных суммарных распределениях массы |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85633 |
| work_keys_str_mv | AT deinekavs identifikaciâparametrovzadačmassoperenosavnanoporistyhsredahpriizvestnyhsummarnyhraspredeleniâhmassy AT deinekavs identifikaciâparametrivzadačmasoperenosuvnanoporistihseredoviŝahprividomihsumarnihrozpodilahmasi AT deinekavs parameteridentificationofmasstransferproblemsinnanoporousmediaunderconditionofknowntotalmassdistributions |