Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор
На основе теории Био изучены дисперсионные характеристики нормальных волн в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор. Даже без учета диссипативных эффектов полученный дисперсионный спектр значительно сложнее, чем для идеально упругой полосы за счет существования трех...
Saved in:
| Date: | 1998 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1998
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/857 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор/ Н. С. Городецкая // Акустичний вісник. — 1998. — Т. 1, N 2. — С. 65-72 — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859478250107961344 |
|---|---|
| author | Городецкая, Н.С. |
| author_facet | Городецкая, Н.С. |
| citation_txt | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор/ Н. С. Городецкая // Акустичний вісник. — 1998. — Т. 1, N 2. — С. 65-72 — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | На основе теории Био изучены дисперсионные характеристики нормальных волн в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор. Даже без учета диссипативных эффектов полученный дисперсионный спектр значительно сложнее, чем для идеально упругой полосы за счет существования трех видов волн в пористой, насыщенной жидкостью среде. В пористо-упругом слое для конкретной частоты существует конечное число действительных корней и бесконечное число чисто мнимых и комплексных корней дисперсионного уравнения. В статье проведено сравнение характеристик нормальных волн в пористо-упругом слое со свободной поверхностью для случая открытых и закрытых пор. Проанализировано низкочастотное и высокочастотное поведение первой распространяющейся волны.
На основі теорії Біо вивчені дисперсійні характеристики нормальних хвиль у пористо-пружному шарі з вільними поверхнями для випадку відкритих пір. Навіть без урахування дисипативних ефектів отриманий дисперсійний спектр значно складніший, ніж для ідеально пружної смуги за рахунок існування трьох видів хвиль у пористому насиченому рідиною середовищі. У пористо-пружному шарі для конкретної частоти існує скінченне число дійсних коренів і нескінченне число чисто уявних і комплексних коренів дисперсійного рівняння. У статті проведено порівняння характеристик нормальних хвиль у пористо-пружному шарі з вільною поверхнею для випадку відкритих і закритих пор. Проаналізовано низькочастотну і високочастотну поведінку першої хвилі, що поширюється.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:53:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
��� 539.3���������� ����� � �������-������� ������ ���������� ���������������� ������ �������� ����. �. �����������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 26.03.98� ®á®¢¥ ⥮ਨ �¨® ¨§ãç¥ë ¤¨á¯¥àá¨®ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®à¬ «ìëå ¢®« ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ ᮠ᢮-¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ ¤«ï á«ãç ï ®âªàëâëå ¯®à. � ¦¥ ¡¥§ ãç¥â ¤¨áᨯ ⨢ëå íä䥪⮢ ¯®«ãç¥ë© ¤¨á¯¥à-á¨®ë© á¯¥ªâà § ç¨â¥«ì® á«®¦¥¥, 祬 ¤«ï ¨¤¥ «ì® ã¯à㣮© ¯®«®áë § áç¥â áãé¥á⢮¢ ¨ï âà¥å ¢¨¤®¢ ¢®« ¢¯®à¨á⮩, áë饮© ¦¨¤ª®áâìî á।¥. � ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ ¤«ï ª®ªà¥â®© ç áâ®âë áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç®¥ç¨á«® ¤¥©á⢨⥫ìëå ª®à¥© ¨ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ç¨áâ® ¬¨¬ëå ¨ ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï.� áâ âì¥ ¯à®¢¥¤¥® áà ¢¥¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪ ®à¬ «ìëå ¢®« ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ ᮠ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®-áâìî ¤«ï á«ãç ï ®âªàëâëå ¨ § ªàëâëå ¯®à. �à® «¨§¨à®¢ ® ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯¥à¢®© à á¯à®áâà ïî饩áï ¢®«ë ¢¨§ª®ç áâ®â®¬ ¨ ¢ë᮪®ç áâ®â®¬ ¯à¥¤¥« å.���������®¤¥«ì ¯®à¨áâ® ã¯à㣮© áà¥¤ë ¯®§¢®«ï¥â ¤¥-ª¢ â® ®¯¨á âì ᢮©á⢠¥ª®â®àëå ॠ«ìëåá। ¯à¨ ¨§ã票¨ ¢®«®¢ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ £¨¤à®- ªãá⨪¥, ᥩᬮ«®£¨ï ¨ ¤àã£¨å ®¡« áâïå. �¥®-à¨ï à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢ ¯®à¨áâëå á। å ¡ë-« à §¢¨â �¨® ¢ á¥à¥¤¨¥ 50-å £®¤®¢. � ®á®¢ -¨¨ í⮩ ⥮ਨ ¡ë«® ¯à¥¤áª § ® áãé¥á⢮¢ ¨¥âà¥å ⨯®¢ ¢®« ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।¥ { ¯®¯¥-à¥ç®© ¢®«ë, â ª¦¥ ¬¥¤«¥®© ¨ ¡ëáâன ¯à®-¤®«ìëå ¢®« [1 {3]. �¤ ª® ⮫쪮 ¢ 80-¥ £®¤ë¡ë«® ¯®«ã祮 íªá¯¥à¨¬¥â «ì®¥ ¯®¤â¢¥à¦¤¥¨¥áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬¥¤«¥®© ¯à®¤®«ì®© ¢®«ë [4].� í⮣® ¢à¥¬¥¨ § ç¨â¥«ì® ¢®§à®á ¨â¥à¥áª «¨§ã ¢®«®¢ëå ¯à®æ¥áᮢ ¢ ¯®à¨áâëå áà¥-¤ å ¢ à ¬ ª å ⥮ਨ �¨®. � ¡®«ìè¨á⢥ à ¡®âà áᬠâਢ «¨áì ¢®¯à®áë à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢¡¥§£à ¨ç®© ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।¥. �â® ¯®§¢®-«¨«® ¯à® «¨§®à®¢ âì ¯ à ¬¥âàë, å à ªâ¥à¨§ã-î騥 ¯®à¨áâ®-ã¯àã£ãî á।㠢 楫®¬ ¨ ®¯à¥¤¥-«¨âì á⥯¥ì ¨å ¢«¨ï¨ï ¢®«®¢ë¥ ¯à®æ¥ááë¢ â ª®© á।¥. � ç¨â¥«ì® ¬¥ìè¥ à ¡®â ¯®á¢ï-饮 à¥è¥¨î £à ¨çëå § ¤ ç. � «¨ç¨¥ £à -¨çëå ¯®¢¥àå®á⥩ ¯à¨¢®¤¨â ª ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨îâà¥å ⨯®¢ ¢®«, çâ® § ç¨â¥«ì® ãá«®¦ï¥â ¢®«-®¢ãî ª àâ¨ã. � ª, ¯à¨ «¨§¥ ¯à®æ¥áá ®âà -¦¥¨ï ¢®« £à ¨æ¥ à §¤¥« ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£®¯®«ã¯à®áâà á⢠¨ ¦¨¤ª®á⨠¡ë« ®¡ à㦥 ¯®¢¥àå®áâ ï ¢®« ⨯ �â®ã«¨ [5], ᢮¡®¤-®© £à ¨æ¥ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© áà¥¤ë ©¤¥ë ¯®-¢¥àå®áâë¥ ¢®«ë àí«¥¥¢áª®£® ⨯ [6].� á«ãç ¥ à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢ á«®¥ áãé¥-á⢥ãî à®«ì ¢ ä®à¬¨à®¢ ¨¨ ¯®«ï ¨£à ¥â ¥â®«ìª® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ à §«¨çëå ⨯®¢ ¢®« £à ¨æ¥, ® ¨ ¢§ ¨¬®¢«¨ï¨¥ £à ¨æ, ®¡ãá« ¢«¨-
¢ î饥 ¢®§¨ª®¢¥¨¥ ¤¨á¯¥àᨨ. � áâ®ïé¥-¬ã ¢à¥¬¥¨ ¯à¨ «¨§¥ à á¯à®áâà ¥¨ï ¢®« ¢¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ à áᬠâਢ «¨áì ⮫쪮 ¢®-¯à®áë ¯à®å®¦¤¥¨ï ¢®« ç¥à¥§ á«®©, à ᯮ«®¦¥-ë© ¢ ¦¨¤ª®á⨠[5], ¨«¨ ç¥à¥§ á¨á⥬ã á«®¥¢ [7].� «¨§ ®à¬ «ìëå ¢®« ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯àã£¨å ¢®«-®¢®¤ å ¤«ï à §«¨çëå ¢¨¤®¢ ãá«®¢¨© ¥£® ¯®-¢¥àå®á⨠¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¯à®¢®¤¨«áï.� á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢¨ï ¯à殮¨© ¯®¢¥àå®-áâïå ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® ¢®«®¢®¤ , áë饮£®¦¨¤ª®áâìî, ¢®§¬®¦ë ¤¢ ⨯ £à ¨çëå ãá«®-¢¨© { ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì á ®âªàëâ묨 ¯®à -¬¨ ¨ ᢮¡®¤ ï ¯®¢¥àå®áâì á § ªàëâ묨 ¯®à -¬¨ [5]. � à ¡®â¥ [8] ¨§ãç «¨áì ¤¨á¯¥àá¨®ë¥ å -à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï ᮠ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®áâìî ¤«ï á«ãç ï § ªàëâëå ¯®à. � ¤ ®©áâ âì¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¯à®æ¥áá à á¯à®áâà ¥¨ï¢®« ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®-¢¥àå®áâﬨ ¤«ï á«ãç ï ®âªàëâëå ¯®à. �離®áâ즨¤ª®á⨠¥ ãç¨âë¢ ¥âáï.�«ï â ª®£® ⨯ £à ¨çëå ãá«®¢¨© ¯®«ã祮¤¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ ®¯à¥¤¥«¥ë å à ªâ¥-à¨á⨪¨ ®à¬ «ìëå ¢®« ¢ á«®¥. �஢¥¤¥® áà ¢-¥¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪ ¢®« ¤«ï ¤¢ãå ¢ ਠ⮢ £à -¨çëå ãá«®¢¨©, ®¯¨áë¢ îé¨å ᢮¡®¤ãî ¯®¢¥àå-®áâì ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥. �®ª § ®, çâ® -¡«î¤ îâáï § ç¨â¥«ìë¥ à §«¨ç¨ï ¢ ¤¨á¯¥àᨮ-®¬ ᯥªâॠ¤«ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï ᮠ᢮¡®¤-묨 ¯®¢¥àå®áâﬨ ¢ á«ãç¥ ®âªàëâëå ¨ § ªàë-âëå ¯®à.1. ���������� ������� áᬠâਢ îâáï ᢮©á⢠®à¬ «ìëå ¢®« ¢¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ (�1<X <1, �h�Z � h)ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ Z=�h ¢ á«ãç ¥ ®â-c
�. �. �®à®¤¥æª ï, 1998 65
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72ªàëâëå ¯®à. �¥ªâ®àë ᬥ饨© ã¯à㣮£® ᪥«¥-â u ¨ ¦¨¤ª®á⨠v ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¯¥à¥¬¥ëåz = Z=h, x = X=h 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãà ¢¥¨î ¤¢¨-¦¥¨ï ¤«ï ã¯à㣮© ¨ ¦¨¤ª®© ä § á ãç¥â®¬ ¨å ¢§ -¨¬®¤¥©á⢨ï [9]:��u+ (H � �) grad div u�C grad div w == �@2t u� �f@2tw;C grad div u�M grad div w == �f@2tu� ��fm @2tw � F @tw; (1)¨ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬�zz(x;�1) = 0; �xz(x;�1) = 0;�(x;�1) = 0: (2)�¤¥áì �ij { ⥧®à ¯à殮¨©, ¯à¨«®¦¥ë© ªã¯à㣮¬ã ᪥«¥âã; � { ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ¦¨¤-ª®áâì, ®â¥á¥ ï ª ¥¤¨¨æ¥ ¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï¯®à¨á⮩ á।ë; � = �mp0; p0 { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¦¨¤-ª®áâ¨; m { ¯®à¨áâ®áâì; w = m(u�v); H, �, C,M { ª®íää¨æ¨¥âë, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ç¥à¥§ å à ªâ¥-à¨á⨪¨ á।ë [10]:H = (Ks �Kb)2D �Kb +Kb + 4�=3;C = Ks(Ks �Kb)D �Kb ;M = K2sD �Kb ;D = Ks[1 +m(Ks=Kf � 1)]; (3)�s { ¯«®â®áâì ã¯à㣮£® ᪥«¥â ; Ks { ¬®¤ã«ì ¢á¥-áâ®à®¥£® ᦠâ¨ï ã¯à㣮£® ᪥«¥â ; �f { ¯«®â-®áâì ¦¨¤ª®áâ¨; Kf { ¬®¤ã«ì ¢á¥áâ®à®¥£® ᦠ-â¨ï ¦¨¤ª®áâ¨; Kb { ¬®¤ã«ì ¢á¥áâ®à®¥£® ᦠ-â¨ï ¯®à¨á⮩ á।ë; � { ¬®¤ã«ì ᤢ¨£ ¯®à¨á⮩á।ë; � { ¨§¢¨«¨áâ®áâì. �®á।á⢮¬ ¢¥«¨ç¨ë� ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â ¤¨ ¬¨ç¥áª®© á¢ï§¨ã¯à㣮£® ᪥«¥â ¨ ¦¨¤ª®á⨠�12<0 [2]:�12 = (1� �)�fm;£¤¥ � { á।ïï ¯«®â®áâì, á¢ï§ ï á ¯«®â®áâï-¬¨ ã¯à㣮£® ᪥«¥â ¨ ¦¨¤ª®á⨠ᮮâ®è¥¨¥¬� = (1 �m)�s +m�f :�¥«¨ç¨ F = f(!) (�f �f )=Kpr ï¥âáï ç áâ®â-® § ¢¨á¨¬®© äãªæ¨¥©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© å à ªâ¥à®¬¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¯® ¯®à ¬ ã¯à㣮£® ᪥«¥â .
�¤¥áì �f { ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì; Kpr { ¯à®-¨æ ¥¬®áâì.� ¢®¤® áë饮© ¯®à¨á⮩ á।¥ á «¨¥©®-ã¯à㣨¬ ᪥«¥â®¬ ¯à¨ ¯®áâ®ï®¬ ®â®è¥¨¨ à á-室 ¦¨¤ª®á⨠ª £à ¤¨¥âã ¤ ¢«¥¨ï (â¥ç¥¨¥ �ã- §¥©«ï) ç áâ®âãî § ¢¨á¨¬®áâì ¢ï§ª®£® ᮯà®â¨-¢«¥¨ï ¯®â®ªã ¦¨¤ª®á⨠¬®¦® ¥ ãç¨âë¢ âì ¨áç¨â âì f(!) � 1 ¢¯«®âì ¤® ç áâ®â, ¯à¨ ª®â®àëå¢ï§ª¨¥ ¨ ¨¥àæ¨®ë¥ á¨«ë ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¯®-à冷ª [1, 9, 10].2. ������������� ������¥ªâ®à á¬¥é¥¨ï ¢ ¦¨¤ª®á⨠¨ ¢ ã¯à㣮¬ ᪥-«¥â¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ç¥à¥§ ᪠«ïàë© ¨¢¥ªâ®àë© ¯®â¥æ¨ «ë:u = r�s � rot s; div s = 0; (4)v = r�f � rot f ; div f = 0: (5)�ਠí⮬ ᪠«ïàë© ¯®â¥æ¨ « ¤®¯ã᪠¥â ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨¥ [1]: �s = �0 + �1: (6)�ãªæ¨¨ �j ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨©�¥«ì¬£®«ìæ ��j + k2j�j = 0; k2j = !2h2c2 sj ; j = 0; 1: (7)�¤¥áì sj {ª®à¥ì ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ïA1s2j �B1sj + C1 = 0; j = 0; 1 (8)á ª®íää¨æ¨¥â ¬Ä1 = q22q11 � q212;B1 = q11�22 + q22�11 � 2q12�12 + i�;C1 = �11�22 � �212 + i�;£¤¥ ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ïq11 = H � 2Cm+Mm2H ; q22 = Mm2H ;q12 = Cm�Mm2H ; c2 = H� :�11 = (1�m)�s � �12; �22 = m�f � �12;�ij = �ij� ; � = m2�f�fKpr�! :�«ï ¯®â¥æ¨ « �f á¯à ¢¥¤«¨¢® ãà ¢¥¨¥�f = M0�0 +M1�1;66
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨Mj= �11q22��12q12�A1sj+(q22+q12)i��22q12��12q22+(q22+q12)i� ;j = 0; 1: (9)�¥ªâ®àë© ¯®â¥æ¨ « s 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥-¨î �¥«ì¬£®«ìæ � s + k22 s = 0;k22 = !2�h2� ��11 +M2�12 + (1�M2)i� � (10)¨ á®®â®è¥¨î f = M2 s; M2 = ��12 + i��22 + i� : (11)�à ¢¥¨ï á®áâ®ï¨ï ¤«ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।먬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤ [6]:�ij = 2�eij + (Ae+ Q�)�ij ; � = Qe +R�;e = divu; � = divv: (12)�¤¥áì A = H � 2�� 2Cm+Mm2;Q = Cm�Mm2; R = m2M ;eij { ⥧®à ¤¥ä®à¬ 権; �ij { ᨬ¢®« �஥ª¥à .�«ï ç á⮣® á«ãç ï ¯«®áª®© § ¤ ç¨ ¤®áâ â®ç-® ¢¢¥¤¥¨ï ⮫쪮 âà¥å ᪠«ïàëå äãªæ¨© �j(j = 0; 1), y. �®£¤ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ®à¬ «ì®£®¨ ª á ⥫쮣® ¯à殮¨ï ã¯à㣮© ä §ë ç¥à¥§¯®â¥æ¨ «ë ¨¬¥îâ ¢¨¤�zz2� = @(�0 + �1)@z � @ s@x � A+MjQ2� k2j�j ;�zx2� = 2@2(�0 + �1)@z@x + @2 s@2z � @2 s@2x ;j = 0; 1; (13) ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï ¦¨¤ª®áâì {�2� = �Q+MjMm22� k2j�j; j = 0; 1: (14)3. ������������� ������������।áâ ¢«¥¨¥ ¤«ï ᪠«ïàëå ¯®â¥æ¨ «®¢ ¨ ®¤-®© ª®¬¯®¥âë ¢¥ªâ®à®£® ¯®â¥æ¨ « ¨é¥¬ ¢¢¨¤¥ [11]:�j=(Aj cos�jz +Bj sin�jz)e�i�x; j=0; 1: y=(E cos�2z + F sin�2z)e�i�x; (15)
£¤¥ � { ¯®áâ®ï ï à á¯à®áâà ¥¨ï;�j =qk2j � �2; j = 0; 1; 2;kj { ®à¬¨à®¢ ë¥ ç áâ®âë. �«ï á«ãç ï £ ମ-¨ç¥áª¨å ¢®« ¢à¥¬¥®© ¬®¦¨â¥«ì e�i!t ¢áî¤ã¤ «¥¥ ®¯ã᪠¥âáï. �®¤áâ ¢«ïï (15) ¢ £à ¨çë¥ãá«®¢¨ï (3) á ãç¥â®¬ (12) { (14) ¯®«ã稬 ¤¨á¯¥àá¨-®®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥� = �1�2 = 0: (16)� ª ¨ ¤«ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï ᮠ᢮¡®¤ë¬¨¯®¢¥àå®áâﬨ á § ªàëâ묨 ¯®à ¬¨, ¯®« ï á¨á-⥬ ®à¬ «ìëå ¢®« ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ à ᯠ¤ -¥âáï ¤¢ ª« áá , ®â¢¥ç îé¨å ®¡à é¥¨î ¢ ã«ì¯® ®â¤¥«ì®á⨠ª ¦¤®£® ¨§ ᮬ®¦¨â¥«¥© ¤¨á¯¥à-ᨮ®£® ãà ¢¥¨ï (16).�1 = r0k20 cos�0(�1� sin�2 cos�1++�2�1�2 cos�2 sin�1)��r1k21 cos�1(�0� sin�2 cos�0++�2�0�2 cos�2 sin�0) (17)�2 = r0k20 sin�0(�1� cos�2 sin�1++�2�1�2 sin�2 cos�1)��r1k21 sin�1(�0� cos�2 sin�0++�2�0�2 sin�2 cos�0): (18)�¤¥áì ¢¢¥¤¥ë ®¡®§ 票ïrj = Q+MjMm22� ; � = ��2 + k22=2;ti = A+MjQ2� ; �i = ��2 + (1 + ti)k2j ;j=0; 1: (19)�à ¢¥¨¥ (17) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᨬ¬¥âà¨ç묮ଠ«ìë¬ ¢®« ¬ (B0=0, B1=0, E=0):uz(�z) = �uz(z); ux(�z) = ux(z);vz(�z) = �vz(z); vx(�z) = vx(z); (20) ãà ¢¥¨¥ (18) { â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ®à¬ «ì-ë¬ ¢®« ¬ (A0 = 0, A1 = 0, F = 0) { ᬥ饨ï â¨á¨¬¬¥âà¨çë ®â®á¨â¥«ì® ¯«®áª®á⨠z=0:uz(�z) = uz(z); ux(�z) = �ux(z);vz(�z) = vz(z); vx(�z) = �vx(z): (21)67
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72�«ï ᨬ¬¥âà¨ç®© ¤¥ä®à¬ 樨 á¬¥é¥¨ï ¢ áà¥-¤¥ § ¯¨áë¢ îâáï ¢ ¢¨¤¥uz=�r1k21�1 sin�0zcos�0 + r0k20�0 sin�1zcos�1 ++�0r1k21 � �1r0k20�2 sin�2zcos�2 ;ux= i��r1k21 cos�0zcos�0 � r0k20 cos�1zcos�1 ++�0r1k21 � �1r0k20�2 cos�2zcos�2 �;vz=�M0r1k21�1 sin�0zcos�0 +M1r0k20�0 sin�1zcos�1 ++M2 �0r1k21 � �1r0k20�2 sin�2zcos�2 ;vx= i��M0r1k21 cos�0zcos�0 �M1r0k20 cos�1zcos�1 ++M2 �0r1k21 � �1r0k20�2 cos�2zcos�2 �: (22)
� ª ¨ ¤«ï á«ãç ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï á § -ªàëâ묨 ¯®à ¬¨ à áᬠâਢ ¥âáï ç áâë© á«ã-ç © áâ 樮 ண® â¥ç¥¨ï ¥¢ï§ª®© ¦¨¤ª®áâ¨(�f = 0), ¤¨áᨯ 樥© ¢ ã¯à㣮¬ ᪥«¥â¥ â ª¦¥¯à¥¥¡à¥£ ¥¬ (� { ¢¥é¥á⢥ ï ¢¥«¨ç¨ ). � á-ᬠâਢ îâáï ⮫쪮 ᨬ¬¥âà¨çë¥ ®â®á¨â¥«ì-® ¯«®áª®á⨠z=0 ¤¥ä®à¬ 樨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥¤¨á¯¥àᨮ®¬ã ãà ¢¥¨î (17) �᫨ �f =0 ¨ � {¢¥é¥á⢥ ï ¢¥«¨ç¨ , â® ª®íää¨æ¨¥âë ¤¨á¯¥-àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï ¡ã¤ãâ ¨«¨ ¤¥©á⢨⥫ì묨,¨«¨ ç¨áâ® ¬¨¬ë¬¨. �¨áᨯ æ¨ï í¥à£¨¨ ¢ â ª®©á।¥ ®âáãâáâ¢ã¥â.�ª § ë¥ ¤®¯ã饨ï áãé¥á⢥® ã¯à®é î⬮¤¥«ì ¨ ¯®§¢®«ïî⠯஠«¨§¨à®¢ âì ¢«¨ï¨¥ãá«®¢¨©, ª®â®àë¥ « £ îâáï ¯®¢¥¤¥¨¥ ¦¨¤-ª®á⨠᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨. � á«ãç ¥ § ªàë-âëå ¯®à (§ ¤ ç , à áᬮâà¥ ï ¢ [8]) ¦¨¤ª®áâì ¥¬®¦¥â \¯¥à¥â¥ª âì" ¯® ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ¨¤«ï ®âªàëâëå ¯®à ®£à ¨ç¥¨© â¥ç¥¨¥ ¦¨¤-ª®á⨠¯® ¯®¢¥àå®á⨠¥ áâ ¢¨âáï.�¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (17) ¯à¨¢¥¤¥® ¢ âà ¤¨æ¨-®®© ä®à¬¥ £à ä¨ç¥áª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤¨á¯¥à-ᨮëå ªà¨¢ëå { ¢ ¢¨¤¥ § ¢¨á¨¬®á⨠¯®áâ®ï-®© à á¯à®áâà ¥¨ï � ®â ¡¥§à §¬¥à®© ç áâ®âë
= k2. � áâ®âë k0, k1 ¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§
¯à¨ ¯®¬®é¨ á®®â®è¥¨© (8) { (11). � áç¥â ¢ë-¯®«¥ ¤«ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।ë á å à ªâ¥à¨á-⨪ ¬¨ [9]: m = 0:3, � = 5 � 107 � , � = 1:25,�s=2650 ª£/¬3, Ks=3:6 � 1010 � , �f =1000 ª£/¬3,Kf =2:9 � 109 � , �=0:3, �f =0.
�ਠ¯®áâ஥¨¨ ¤¨á¯¥àᨮëå ªà¨¢ëå ¢ë¯®«-ï«áï ¯à¨æ¨¯, ᮣ« á® ª®â®à®¬ã ª ¦¤ ï ¢¥â¢ì¤®«¦ ¡ëâì ¥¯à¥à뢮© ¨ ¯à®á«¥¦¨¢ âìáï ®â ç « ¯«®áª®áâ¨
=0 ¤® ¡¥áª®¥ç®áâ¨. � ®¡-饬 á«ãç ¥ ¤¨á¯¥àᨮ ï ¢¥â¢ì ¬®¦¥â ¨¬¥¥â ¢¥-é¥á⢥ë©, ç¨áâ® ¬¨¬ë© ¨ ª®¬¯«¥ªáë© ãç áâ-ª¨. �®¬¯«¥ªáë¥ ãç á⪨ ¢¥â¢¨ ¢å®¤ïâ ¨ ¢ë室ïâ ¬¨¬ãî ¨«¨ ¤¥©á⢨⥫ìãî ¯«®áª®áâì � ¢ â®ç-ª å ®â®á¨â¥«ì®£® íªáâ६㬠¯®¤ 㣫®¬ 90�.�«ï ä ªâ¨ç¥áª®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢¥é¥á⢥ë媮३ ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® á«¥¤ã¥â ©â¨ ç áâ®âë § ¯¨-à ¨ï. �®« £ ï �=0 ¢ ãà ¢¥¨¨ (17), ¯®«ãç ¥¬� = sin k2 cos k0 cos k1� = 0;� = r0(1 + t1) � r1(1 + t0); (23)®âªã¤ 室¨¬ âਠ¡®à ç áâ®â § ¯¨à ¨ï:cos k0=0; k0= 2p� 12 �; p=0; 1; 2; : : : ; (24)cos k1=0; k1= 2m�12 �; m=0; 1; 2; : : : ; (25)sin k2=0; k2=n�; n=0; 1; 2; : : : (26)� ®â«¨ç¨¥ ®â ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï á § ªàëâ묨¯®à ¬¨ ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ç á-â®â § ¯¨à ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥§ ¢¨á¨¬® ¤«ï ª ¦-¤®£® ¨§ âà¥å ⨯®¢ ¢®« ¢ ¡¥áª®¥ç®© ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।¥ (¯®¯¥à¥çë¥, ¬¥¤«¥ë¥ ¨ ¡ëáâà륯த®«ìë¥). � áâ®âë § ¯¨à ¨ï ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®-ண® ⨯ (ãà ¢¥¨ï (24), (25)) å à ªâ¥à¨§ãîâáï «¨ç¨¥¬ ⮫쪮 ⮫é¨ëå ¤¢¨¦¥¨©. �«ï í⮣®â¨¯ ¤¢¨¦¥¨© �0 6=0, �1 6=0, =0. �«ï âà¥â쥣®â¨¯ (ãà ¢¥¨¥ (26)) å à ªâ¥àë ᤢ¨£®¢ë¥ ¤¢¨-¦¥¨ï, �0 = 0, �1 = 0, 6= 0. � á«ãç ¥ ®âªàë-âëå ¯®à ç áâ®â å § ¯¨à ¨ï ¯à¨ ®à¬ «ì®¬¯ ¤¥¨¨ ¥ ¯à®¨á室¨â âà áä®à¬ 樨 ¢®« ¯à¨®âà ¦¥¨¨ ®â ᢮¡®¤®© £à ¨æë. �ਠ§ ªàëâë寮à å ç áâ®â å § ¯¨à ¨ï, á¢ï§ ëå á ¯à®-¤®«ì묨 ¢®« ¬¨ (ãà ¢¥¨¥ (19) [8]), ¯à¨ ®à-¬ «ì®¬ ¯ ¤¥¨¨ ¯à®¤®«ìëå ¢®« ®¤®£® ⨯ ᢮¡®¤ãî £à ¨æã ¢ ®âà ¦¥®¬ ¯®«¥ ¢®§¨ª îâ¯à®¤®«ìë¥ ¢®«ë ®¡®¨å ⨯®¢ (ª ª ¡ëáâàë¥, â ª¨ ¬¥¤«¥ë¥).�¡®§ 稬 ç áâ®âë § ¯¨à ¨ï, á¢ï§ ë¥ á k0,ç¥à¥§ k(0)p , á¢ï§ ë¥ á k1 { ç¥à¥§ k(1)p ¨ á k2 { ç¥-१ k(2)p . �¤¥áì p { ®¬¥à ç áâ®âë § ¯¨à ¨ï. �à¨í⮬ ç áâ®âë § ¯¨à ¨ï k(1)p ¯®ï¢«ïîâáï § ç¨-â¥«ì® à¥¦¥, 祬 k(0)p ¨ k(2)p , ç áâ®âë § ¯¨à ¨ïk(2)p ¥ § ¢¨áïâ ®â H, C, M , m.�à ¢¥¨¥ (23) á¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¦¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨r0(1 + t1) � r1(1 + t0) = 0: (27)68
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72�â® ãà ¢¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ç áâ®âë. �ç¨âë¢ ïá®®â®è¥¨ï ¤«ï rj ¨ tj , j=0; 1, ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥¯à¥®¡à §ã¥¬ ª ¢¨¤ãm2M 1� �1� 2� M0 �M12� = 0:�«ï ã¯à㣮© á।ë (¨§ (3) Ks 6=0, M 6= 0, � > 0:5)á ¥ã«¥¢®© ¯®à¨áâ®áâìî (m 6= 0) ãà ¢¥¨¥ (27)¢ë¯®«ï¥âáï ¯à¨ M0=M1. � í⮬ á«ãç ¥, ãç¨âë-¢ ï (7) { (9), k0 = k1, r0 = r1, �0 = �1 ¨ ¨§ (22) á«¥-¤ã¥â, ç⮠ᬥ饨ï ã¯à㣮© ¨ ¦¨¤ª®© ä § à ¢ëã«î. �à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯à¨ ãá«®¢¨¨ (27) ¤¢¨¦¥-¨© ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ ¥ ¯à®¨á室¨â.� ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå-®áâﬨ, ª ª ¨ ¢ ¨¤¥ «ì® ã¯à㣮¬ á«®¥, ¤«ï ª®-ªà¥â®© ç áâ®âë áãé¥áâ¢ã¥â ®£à ¨ç¥®¥ ç¨á-«® ¢¥é¥á⢥ëå ª®à¥© ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥-¨ï (17). �®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© ¤«ï ª®ªà¥â®© ç á-â®âë ¡¥áª®¥ç® ¬®£®. �«ï ¨å «¨§ ¥®¡å®-¤¨¬® ©â¨ â®çª¨ ¢ë室 ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© ¯«®áª®áâì
=0. �¨ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ãà ¢¥¨ï�2 cosh �(a� + b sinh 2�) = 0; (28)£¤¥ a = r0(�21 � 1)� r1(�20 � 1);b = r0(0:5 + t1) � r1(0:5 + t0);�21 = (�11 +M2�12)H�s1 ;�20 = (�11 +M2�12)H�s0 :� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ ¤¢ ¡®à ª®à¥©:cosh �=0; �= i2n�12 �; (29)a�+b sinh 2�=0;�� i (4n�1)�4 � ln(2�na=b)2 ; n = 1; 2; : : : (30)�«ï ¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨¢¥¤¥® ᨬ¯â®â¨ç¥á-ª®¥ § 票¥ ª®à¥© ¤«ï ¡®«ìè¨å ®¬¥à®¢. �à ¢-¨¬ â®çª¨ ¢ë室 ª®à¥© ¤¨á¯¥àᨮëå ãà ¢¥-¨© ¯«®áª®áâì
= 0 ¤«ï á«®ï ᮠ᢮¡®¤®© ¯®-¢¥àå®áâìî á § ªàëâ묨 ¨ ®âªàëâ묨 ¯®à ¬¨. �á«ãç ¥ § ªàëâëå ¯®à ¯¥à¢ë© ¡®à ª®à¥© (ç¨á⮬¨¬ë¥ ª®à¨, ãà ¢¥¨¥ (21) [8]) «®£¨ç¥ ª®à-ï¬ ¢ ¦¨¤ª®¬ á«®¥ á ¡á®«îâ® ¦¥á⪨¬¨ ¨«¨ ¡-᮫îâ® ¬ï£ª¨¬¨ á⥪ ¬¨, ¢ á«ãç ¥ ®âªàëâë寮à (ãà ¢¥¨¥ (29)) { ¦¨¤ª®¬ã á«®î á ®¤®© ¦¥áâ-ª®© ¨ ®¤®© ¬ï£ª®© á⥪®©. �â®à®© ¡®à ª®à¥©á®¢¯ ¤ ¥â á ª®àﬨ ¤«ï ¨¤¥ «ì® ã¯à㣮£® á«®ï ¢áâ â¨ç¥áª¨å § ¤ ç å, ¥á«¨ a=2, b=1 ¥§ ¢¨á¨¬®
®â ãá«®¢¨©, « £ ¥¬ëå â¥ç¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¯®á¢®¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨.�ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© ãà ¢¥-¨ï (17) ¯à¨¬¥ï«áï ¬¥â®¤ �ìîâ® [12]. �ਤ¢¨¦¥¨¨ ¯® ¢¥â¢¨ á à®á⮬ ç áâ®âë ¢ ª ç¥á⢥ ç «ìëå ¯à¨¡«¨¦¥¨© ¯à¨¨¬ «¨ § ç¥¨ï ª®à-¥© (29) ¨ (30). �ç¥â ¢ë¯®«ï«áï ¤«ï ª ¦¤®© ¤¨á-¯¥àᨮ®© ªà¨¢®©. �¨¬ë¥ ¨ ¤¥©á⢨⥫ì륪®à¨ 室¨«¨áì ¬¥â®¤®¬ ¯®«®¢¨®£® ¤¥«¥¨ï.� à¨á. 1 ¯®ª § ë ¬¨¬ë¥ ¨ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ãç á⪨ ¤¨á¯¥àᨮëå ªà¨¢ëå. � ®¡« á⨠ç¨á⮬¨¬ëå § 票© â®çª¨ 1, 2 ᮮ⢥âáâ¢ãîâ â®ç-ª ¬ ¢ë室 ª®¬¯«¥ªáëå ãç á⪮¢ ¢¥â¢¥© ¬¨-¬ãî ¯«®áª®áâì § 票© �.� ®â«¨ç¨¥ ®â ¤¨á¯¥àᨮ®£® ᯥªâà ¤«ï á«®ïá § ªàëâ묨 ¯®à ¬¨, ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ á ã«¥-¢®© ç áâ®âë ç¨ ¥âáï ⮫쪮 ®¤ ¢¥é¥á⢥- ï ¢¥â¢ì. �«ï í⮩ ¢¥â¢¨ ¬®¦® áãé¥á⢥®ã¯à®áâ¨âì ¤¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥. � ®¡« á⨬ «ëå ç áâ®â ¢ ®ªà¥áâ®áâ¨ ç « ª®®à¤¨ âãà ¢¥¨¥ (17) § ç¨â¥«ì® ã¯à®é ¥âáï § áç¥â¬ «®á⨠k0, k1, k2. �ਠí⮬ á â®ç®áâìî ¤® �3¯®«ãç ¥¬ á®®â®è¥¨¥� =r1� �2
:�â® ¤¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ãà ¢¥-¨¥¬ ¤«ï ¯à®¤®«ìëå ¢®« ¢ ⮪¨å ¯« áâ¨ å ¤«ï¨¤¥ «ì® ã¯à㣮© á।ë [11].� ®¡« á⨠¢ë᮪¨å ç áâ®â ¤«ï ¯¥à¢®© ¢¥é¥-á⢥®© ¢¥â¢¨ ¤¨á¯¥àᨮ®¥ ãà ¢¥¨¥ â ª¦¥ã¯à®é ¥âáï § áç¥â ⮣®, çâ® íâ® ¥¤¨á⢥ â¢ì, ª®â®à ï ¯®¯ ¤ ¥â ¢ §®ã, £¤¥ � >
¨ �0,�1, �2 áâ ®¢ïâáï ç¨áâ® ¬¨¬ë¬¨. �ਠáâ६«¥-¨¨ �!1 ¢¤®«ì ¯¥à¢®© ¢¥â¢¨ j�0j!1, j�1j!1,j�2j!1 ¨ ãà ¢¥¨¥ (17) ¯à¥®¡à §ã¥âáï ª ¢¨¤ã�2�2�(�0��1)k222 � 1��1�2� (�0k21��1k20)�++�2 1��1�2� (k21�k20)=0: (31)� §¤¥«¨¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ �6 ¨ ¢¢¥¤ï ®¡®§ ç¥-¨ï c0= !=k0, c1= !=k1, c2= !=k2 ᪮à®á⥩ ¬¥¤-«¥®©, ¡ëáâன ¯à®¤®«ì®© ¨ ¯®¯¥à¥ç®© ¢®« ¢¡¥§£à ¨ç®© á।¥ ᮮ⢥âá⢥®, ¯®«ãç ¥¬
2 �
0�
1� c22c22� 1��1�2��c2c21
0� c2c20
1�!++� c22c22�1�2 1��1�2��c2c21� c2c20�=0; (32)£¤¥
j =s1� c2c2j ; j = 0; 1; 2: 69
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72
�¨á. 1. �¨¬ë¥ ¨ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ ãç á⪨ ¤¨á¯¥àᨮëå ªà¨¢ëå� â ª®© ä®à¬¥ ¯à¨ c0 ! 1 (â. ¥. ¯à¨ ®âáãâ-á⢨¨ ¬¥¤«¥®© ¯à®¤®«ì®© ¢®«ë), á ãç¥â®¬ á¢ï-§¨ ¬¥¦¤ã c1, c2 ¢ ¨¤¥ «ì® ã¯à㣮© á।¥, ãà ¢-¥¨¥ (32) ᮢ¯ ¤ ¥â á ãà ¢¥¨¥¬ ¤«ï ᪮à®á⨢®«ë �í«¥ï [11].�«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ¤¨áᨯ æ¨ï ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।¥ ¥ ãç¨âë¢ ¥âáï, â® ¯¥à¢ ï ®à¬ «ì- ï ¬®¤ áâ ®¢¨âáï ¡¥§¤¨á¯¥àᨮ®© ¢ ¢ë᮪®-ç áâ®â®¬ ¯à¥¤¥«¥. �ª®à®áâì à á¯à®áâà ¥¨ïí⮩ ¢®«ë § ¢¨á¨â ®â ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ¨ ᪮à®á⥩ âà¥å ¢®« ¢ ¡¥§£à ¨ç®© ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© á।¥ (cj, j = 0; 1; 2). �«ï § ¤ ëå ¯ -à ¬¥â஢ á।ë c0 = 200:51 ¬/á, c1 = 2107:6 ¬/á,c2 = 161:58 ¬/á, c= 149:04 ¬/á. � ¨¤¥ «ì® ã¯àã-£®© á।¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¯®-à¨á⮩ á।¥ (� = �¯®à = 5 � 107 � , � = �¯®à ==(1�m)�s +m�f =2155 ª£/¬3, � = 0:3), ᪮à®áâ좮«ë �í«¥ï, ¢ëç¨á«¥ ï ¯® ¯¯à®ªá¨¬ 樨cr = c2 0:879 + 1:12�1 + � ;á®áâ ¢«ï¥â cr = 142:4 ¬/á. � §®¢ ï ᪮à®áâ쯥ࢮ© ®à¬ «ì®© ¢®«ë ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥á® ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâìî ¯à¨ ®âªàëâëå ¯®à å¯à¥¢ëè ¥â ᪮à®áâì ¯®¢¥àå®á⮩ ¢®«ë �í«¥ï¢ ¨¤¥ «ì® ã¯à㣮© á।¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨, á®®â-¢¥âáâ¢ãî騬¨ ¯à¨¢¥¤¥ë¬ å à ªâ¥à¨á⨪ ¬ ¯®-à¨á⮩ á।ë. � à ¡®â¥ [6] â ª¦¥ ®â¬¥ç¥®, çâ®\᪮à®áâì ¢®«ë �í«¥ï ¢ ®¤®à®¤®© ã¯à㣮© áà¥-¤¥ ¥áª®«ìª® ¨¦¥, 祬 ¢®«ë ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮© áë饮© ¦¨¤ª®áâìî".
� «¨§ ¢ëà ¦¥¨© ¤«ï ᬥ饨© ¯¥à¢®© à á-¯à®áâà ïî饩áï ¬®¤ë ¢ ¢ë᮪®ç áâ®â®¬ ¯à¥-¤¥«¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íâ® ¢®« á ã¡ë¢ î饩 ®â¯®¢¥àå®á⨠¬¯«¨â㤮©. �«ï 0�z�1 ¢ëà ¦¥¨ï¤«ï ᬥ饨© ¨¬¥îâ ¢¨¤:ux = �i���0�1 e�0(z�1) � �1�0 e�1(z�1)++ 1� �1 � 2� (k21 � k20)(�2 � k222 )e�2(z�1)�2 �;uz = �i��0�1 e�0(z�1) � �1�0 e�1(z�1)++ 1� �1 � 2� (k21 � k20)(�2 � k222 )e�2(z�1)�2 �;�j = k22 � 1� �1� 2� k2j ; j = 0; 1: (33)�«ï �1� z�0 ¢ ¢ëà ¦¥¨ïå ¤«ï ᬥ饨© á«¥¤ã-¥â § ¬¥¨âì ¯®ª § ⥫ì íªá¯®¥âë �j(z � 1) ��j(z + 1). �ਠí⮬ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï uz ¬¥ï¥â§ ª.� áᬮâਬ ®á®¡¥®á⨠¯®¢¥¤¥¨ï ç¨áâ® ¬¨-¬ëå ãç á⪮¢ ¢¥â¢¥© ¤¨á¯¥àᨮ®£® ᯥªâà .�§ à¨á. 1 ¢¨¤®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥â¢ì, ç¨ -îé ïáï á � = i�=2, ª®â®à ï ¢ë஦¤ ¥âáï ¢ ¢¥é¥-á⢥ãî ç áâ®â¥ § ¯¨à ¨ï
=k(0)1 , íâ ¢¥â¢ì®¡®§ ç¥ 1i.� ª ¨ ¤«ï ¨¤¥ «ì® ã¯à㣮© ¯®«®áë ᮠ᢮¡®¤-묨 £à ¨æ ¬¨, ¤«ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï á § -ªàëâ묨 ¯®à ¬¨ ç áâ®âë© ¨â¥à¢ « ¬¥¦¤ã ç á-70
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72â®â ¬¨ § ¯¨à ¨ï à §«¨çëå ᥬ¥©á⢠(¢ ¤ ®¬á«ãç ¥ k(2)1 , k(0)2 ) ï¥âáï ®á®¢®© ¤«ï ¯¥â«¨ ¢®¡« á⨠ç¨áâ® ¬¨¬ëå § 票© � (á¬. à¨á. 1, ªà¨-¢ ï 1k).� «¨§¨àãï ¯®¢¥¤¥¨¥ ª®¬¯«¥ªáëå ¢¥â¢¥© ¢â®-ண® ⨯ (ãà ¢¥¨¥ (30)), ®â¬¥â¨¬, çâ® ¯¥à¢ë¥âਠª®àï ¢ë室ïâ ¯«®áª®áâì ¬¨¬ëå § ç¥-¨© �. �᫨ ¢ ®¡« á⨠ç¨áâ® ¬¨¬ëå § 票©� ®¡à §ã¥âáï ¯¥â«ï ¬¥¦¤ã ç áâ®â ¬¨ § ¯¨à ¨ïà §«¨çëå ⨯®¢, â® ®¨ ¢å®¤ïâ ¢ â®çªã ®â®á¨-⥫쮣® ¬¨¨¬ã¬ ¯¥â«¨. �᫨ ¢¥â¢ì ¢ ®¡« áâ¨ç¨áâ® ¬¨¬ëå ¢¥«¨ç¨ ¯®áâ®ï®© à á¯à®áâà ¥-¨ï ã室ïé ï ¨ ¥ ç¨ ¥âáï á � = i(2n�1)�=2,n=1; 2; 3 : : : , â® ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®à¨ ¢â®à®£® ⨯ ¢å®¤ïâ ¨ ¢ë室ïâ ¨§ â®ç¥ª ®â®á¨â¥«ì®£® íªáâà¥-¬ã¬ í⮩ ¢¥â¢¨.�⬥⨬, çâ® ¢ à áᬮâ८¬ ç áâ®â®¬ ¤¨ -¯ §®¥ (¤® 7 à á¯à®áâà ïîé¨åáï ¬®¤) ¯à¨ ¤ -ëå ¯ à ¬¥âà å áà¥¤ë ª®¬¯«¥ªáëå ãç á⪮¢ ¢¥-⢥©, ᮥ¤¨ïîé¨å ¢¥â¢¨, ç¨ î騥áï ¨§ � == i(2n�1)�=2, n = 1; 2; 3; : : : ¨ ¬¨¬ë¥ ãç á⪨¢¥â¢¨, ç¨ î騥áï á ç áâ®â § ¯¨à ¨ï ®¡ àã-¦¥® ¥ ¡ë«®. �â® áãé¥á⢥® ®â«¨ç ¥â ¤¨á¯¥-àá¨®ë© á¯¥ªâà ¤«ï ¤ ®£® á«ãç ï ®â ¤¨á¯¥àá¨-®®£® ᯥªâà ¤«ï á«®ï á § ªàëâ묨 ¯®à ¬¨. �§-¬¥¥¨¥ ¯ à ¬¥â஢ áà¥¤ë ¯®§¢®«ï¥â áãé¥á⢥-® ¯¥à¥áâநâì ¤¨á¯¥àá¨®ë© á¯¥ªâà. � à¨á. 2¯à¥¤áâ ¢«¥ ᯥªâà ¤«ï ç¨áâ® ¬¨¬ëå § 票©� ¯à¨ à §«¨çëå § 票ïå ª®íää¨æ¨¥â �ã á-á® ( ᮮ⢥âáâ¢ã¥â � = 0:1, ¡ { � = 0:2, ¢ {�=0:4). �«ï ¬ «ëå ¢¥«¨ç¨ � ä®à¬ ¢¥â¢¨, ç¨- î饩áï á �= i�=2 (®¡®§ ç¥ 1i), ¯à ªâ¨ç¥áª¨á®¢¯ ¤ ¥â á ¯¥à¢®© ¬¨¬®© ¢¥â¢ìî ¤«ï ¦¨¤ª®£®á«®ï. � à®á⮬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® íâ ¢¥â¢ìâà áä®à¬¨àã¥âáï á ç¥â¢¥àâì ®ªà㦮á⨠¢ ç¥-⢥àâì í««¨¯á á ¡®«ì襩 ¯®«ã®áìî, «¥¦ 饩 ®á¨ 0
. �«ï � = 0:45 ®â®è¥¨¥ ®á¥© í««¨¯á á®-áâ ¢«ï¥â 2.19. �®¢¥¤¥¨¥ ¢¥â¢¨ 2i, ç¨ î饩áïá �=3i�=2, ¨§¬¥ï¥âáï ¥é¥ áãé¥á⢥¥¥ á à®á⮬�. �«ï ¬ «ëå § 票© ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ¯®¢¥¤¥¨¥ í⮩ ¢¥â¢¨ ¯®¤®¡® 1i ¢¯«®âì ¤® ç áâ®-âë ¥¬®£® ¨¦¥ k(0)2 . �¤ ª® ¤ ï ¢¥â¢ì ¥¢ë஦¤ ¥âáï ¢ ¤¥©á⢨⥫ìãî ç áâ®â¥ § ¯¨-à ¨ï k(0)2 , ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ã¬ ¨¦¥ k(0)2 . � à®á⮬� íâ®â ¬¨¨¬ã¬ ¢á¥ ¤ «ìè¥ ®â室¨â ®â ®á¨ 0
¨ä®à¬ ¯¥â«¨ á¨«ì® ¨§¬¥ï¥âáï.�à áä®à¬ æ¨ï ¬¨¬®© ¯¥â«¨ ¬¥¦¤ã k(2)1 ¨ k(0)2á à®á⮬ ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® ¯®¤®¡ ¨¤¥ «ì-® ã¯à㣮¬ã á«®î [11]. � 㢥«¨ç¥¨¥¬ � ¯¥â«ï¬¥¦¤ã k(2)1 ¨ k(0)2 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¢ à §¬¥à å ¨ ¤«ï��0:4 áâ ®¢¨âáï ã室ï饩.�ਠ¨§¬¥¥¨¨ ¯®à¨áâ®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®©áà¥¤ë ¡«î¤ îâáï ¥é¥ ¡®«¥¥ § 稬 ï ¯¥à¥-
¡
¢�¨á. 2. �¯¥ªâàë ¤«ï ç¨áâ® ¬¨¬ëå § 票© � ¯à¨à §«¨çëå § 票ïå ª®íää¨æ¨¥â �ã áá® �: { �=0:1, ¡ { �=0:2, ¢ { �=0:4 71
ISSN 1028 -7507 �ªãáâ¨ç¨© ¢÷ᨪ. 1998. �®¬ 1, N 2. �. 65 { 72áâனª ᯥªâà , ®¤ ª® ¢ ¤ ®© à ¡®â¥ ®á®-¡¥®áâïå ¯®¢¥¤¥¨ï ¤¨á¯¥àᨮëå ¢¥â¢¥© ¤«ïà §«¨çëå § ç¥¨ï ¯®à¨áâ®á⨠®áâ ¢«¨¢ âìáï¥ ¡ã¤¥¬. �⬥⨬ ⮫쪮, çâ® ¤«ï ¯®à¨áâ®áâ¨m� 0:1 ¨ ¤«ï m� 0:6 ¯¥à¢ë© ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì¢â®à®£® ⨯ (ãà ¢¥¨¥ (30)) ¢ë஦¤ ¥âáï ¢ ¢¥-é¥áâ¢¥ë© ¨ ¢ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮¬ á«®¥ áãé¥áâ¢ã¥â\®¡à â ï" ¢®« .�������¨á¯¥àá¨®ë© á¯¥ªâà ¤«ï ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£®á«®ï ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ, ¤ ¦¥ ¡¥§ ãç¥-â ¤¨áᨯ ⨢ëå íä䥪⮢, § ç¨â¥«ì® á«®¦-¥¥, 祬 ¤«ï ã¯à㣮£®, § áç¥â áãé¥á⢮¢ ¨ï âà¥å⨯®¢ ¢®« ¢ ¯®à¨á⮩ á।¥. �¤ ª® ¡«î¤ ¥âáï¨ ¬®£® ®¡é¨å ᢮©áâ¢. �â® ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¢¥é¥-á⢥ëå ¨ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥©¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï ª®¥ç®© ç áâ®âë; «¨ç¨¥ ç áâ®â § ¯¨à ¨ï à §«¨çëå ᥬ¥©áâ¢;¢®§¬®¦®áâì ¯¥à¥áâனª¨ ᯥªâà § áç¥â ¨§¬¥-¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ á।ë.�⫨ç¨â¥«ì®© ®á®¡¥®áâìî ¤¨á¯¥àᨮ®£®á¯¥ªâà ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â â®-£®, ®âªàëâë ¨«¨ § ªàëâë ¯®àë, ï¥âáï áãé¥-á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ç¨áâ® ¬¨¬ëå ¢¥-⢥© ¤«ï ª®ªà¥â®© ç áâ®âë. � ã¯à㣮¬ á«®¥ áã-é¥áâ¢ã¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬¨¬ëå ¢¥â¢¥©.�«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì § ç¨â¥«ìë¥ à §«¨ç¨ï ¤¨á-¯¥àᨮ®£® ᯥªâà ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï á ®â-ªàëâ묨 ¨ § ªàëâ묨 ¯®à ¬¨. �«ï á«ãç ï ®â-ªàëâëå ¯®à ⮫쪮 ®¤ ¢¥é¥á⢥ ï ¢¥â¢ì ¯à®-室¨â ç¥à¥§ ç «® ª®®à¤¨ â � = 0,
= 0, ¤«ïá«ãç ï § ªàëâëå ¯®à { ¤¢¥. �â ¢¥â¢ì ¢ ¨§ª®-ç áâ®â®¬ ¯à¥¤¥«¥ ®¯¨áë¢ ¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯à®¤®«ì-ëå ¢®« ¢ ⮪®© ã¯à㣮© ¯« á⨥, ¢ ¢ë᮪®ç -áâ®â®¬ ¯à¥¤¥«¥ { ¯®¢¥àå®áâãî ¢®«ã. �«ï ®â-ªàëâëå ¯®à áãé¥áâ¢ã¥â âਠ¡®à ç áâ®â § ¯¨-à ¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â६ ⨯ ¬ ¢®« ¢ ¡¥§-£à ¨ç®© ¯®à¨á⮩, áë饮© ¦¨¤ª®áâìî áà¥-¤¥. �«ï § ªàëâëå ¯®à â ª¨å ¡®à®¢ ⮫쪮 ¤¢ .�ਠí⮬ ç áâ®âë § ¯¨à ¨ï, á¢ï§ ë¥ á ¯à®-¤®«ì묨 ¢®« ¬¨, § ¢¨áïâ ®â ä §®¢®© ᪮à®á⨪ ª ¡ëáâன, â ª ¨ ¬¥¤«¥®© ¯à®¤®«ìëå ¢®« ¢¡¥áª®¥ç®© á।¥. �§ ¨¬®¢«¨ï¨¥ ¢¥â¢¥©, ç¨- îé¨åáï á ã«¥¢®© ç áâ®âë ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
ç¨áâ® ¬¨¬ë¬ (ãà ¢¥¨¥ (29)) ¨ ª®¬¯«¥ªá묪®àï¬ (30) ¤¨á¯¥àᨮ®£® ãà ¢¥¨ï ¤«ï á«ãç ï®âªàëâëå ¯®à ¬¥ìè¥, 祬 ¤«ï § ªàëâëå.� 楫®¬ ¤¨á¯¥àá¨®ë¥ á¯¥ªâàë ¯®à¨áâ®-ã¯à㣮£® á«®ï ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ ¤«ïá«ãç ï ®âªàëâëå ¨ § ªàëâëå ¯®à áãé¥á⢥®®â«¨ç îâáï. �â¨ à §«¨ç¨ï ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë-¢ âì ¯à¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¬¥å ¨-ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®à¨áâ®-ã¯à㣨å á।, ª®-â®à®¥ ®á®¢ ® ¨§¬¥à¥¨¨ ä §®¢ëå ᪮à®á⥩®à¬ «ìëå ¢®« ¢ á«®¥.1. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in
uid-saturated porous solid // J. Acoust. Soc. Amer.{1956.{ 28, N 2.{ P. 168{191.2. �¨® �. �. �¥å ¨ª ¤¥ä®à¬¨à®¢ ¨ï ¨ à á¯à®-áâà ¥¨ï ªãáâ¨ç¥áª¨å ¢®« ¢ ¯®à¨á⮩ á।¥ //�¥å ¨ª . �¥à®¨¤. á¡. ¯¥à¥¢®¤®¢ ¨®áâà. áâ ⥩.{1963.{ 6, N 82.{ �. 103{134.3. �¨® �. �. �¡®¡é¥ ï ⥮à¨ï à á¯à®áâà ¥¨ï ªãáâ¨ç¥áª¨å ¢®« ¢ ¤¨áᨯ ⨢ëå ¯®à¨áâëå áà¥-¤ å // �¥å ¨ª . �¥à®¨¤. á¡. ¯¥à¥¢®¤®¢ ¨®áâà.áâ ⥩.{ 1963.{ 6, N 82.{ �. 135{155.4. Plona T. J. Observation of a second bulk compres-sional wave in a porous medium at ultrasonic frequen-cies // Appl. Phys. Let.{ 1980.{ 36.{ P. 259{261.5. Wu K., Xue Q., Adler L. Re
ection and transmissionof elastic waves from a
uid-saturated porous solidboundary // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1990.{ 87, N 6.{P. 2349{2358.6. �¥©¬®¢ �. �., �à®ä¨¬ç㪠�. �., � ¢¨æª¨© �. �.�®«¥¡ ¨ï ¢®«ë ¢ á«®¨áâëå á। å.{ �.: � -ãª. ¤ã¬ª , 1990.{ 222 á.7. Sun F., Banks-Lee, Peney H Wave propagationin anisotropic periodically layered
uid-saturatedporous media // J. Acoust. Soc. Amer.{ 1993.{ 93,N 3.{ P. 1277{1285.8. �®à®¤¥æª ï �. �. �¨¬¬¥âà¨çë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¯®à¨á-â®-ã¯à㣮© ¯®«®áë ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯®¢¥àå®áâﬨ¤«ï á«ãç ï § ªàëâëå ¯®à // �ªãáâ. ¢÷á.{ 1998.{1, N 1.{ �. 17{24.9. Albert G. D. A comparison between wave propaga-tion in water-saturated and air-saturated porous ma-terials // J. Appl. Phys.{ 1993.{ 73, N 1.{ P. 28{36.10. �⮫« �. �. �ªãáâ¨ç¥áª¨¥ ¢®«ë ¢ ¢®¤® áëé¥-ëå ®á ¤ª å // �ªãá⨪ ¬®àáª¨å ®á ¤ª®¢.{ �.,1977.{ �. 28{46.11. �à¨ç¥ª® �. �., �¥«¥èª® �. �. � ମ¨ç¥áª¨¥ ª®-«¥¡ ¨ï ¨ ¢®«ë ¢ ã¯à㣨å ⥫ å.{ �.: � ãª. ¤ã¬-ª , 1981.{ 284 á.12. �à⥣ �¦., �¥©¡®«¤â �. �â¥à æ¨®ë¥ ¬¥â®¤ëà¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå á¨á⥬ ãà ¢¥¨© á® ¬®£¨-¬¨ ¥¨§¢¥áâ묨.{ �.: �¨à, 1975.{ 559 á.
72
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-857 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1028-7507 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:53:40Z |
| publishDate | 1998 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецкая, Н.С. 2008-07-03T10:16:55Z 2008-07-03T10:16:55Z 1998 Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор/ Н. С. Городецкая // Акустичний вісник. — 1998. — Т. 1, N 2. — С. 65-72 — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/857 539.3 На основе теории Био изучены дисперсионные характеристики нормальных волн в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор. Даже без учета диссипативных эффектов полученный дисперсионный спектр значительно сложнее, чем для идеально упругой полосы за счет существования трех видов волн в пористой, насыщенной жидкостью среде. В пористо-упругом слое для конкретной частоты существует конечное число действительных корней и бесконечное число чисто мнимых и комплексных корней дисперсионного уравнения. В статье проведено сравнение характеристик нормальных волн в пористо-упругом слое со свободной поверхностью для случая открытых и закрытых пор. Проанализировано низкочастотное и высокочастотное поведение первой распространяющейся волны. На основі теорії Біо вивчені дисперсійні характеристики нормальних хвиль у пористо-пружному шарі з вільними поверхнями для випадку відкритих пір. Навіть без урахування дисипативних ефектів отриманий дисперсійний спектр значно складніший, ніж для ідеально пружної смуги за рахунок існування трьох видів хвиль у пористому насиченому рідиною середовищі. У пористо-пружному шарі для конкретної частоти існує скінченне число дійсних коренів і нескінченне число чисто уявних і комплексних коренів дисперсійного рівняння. У статті проведено порівняння характеристик нормальних хвиль у пористо-пружному шарі з вільною поверхнею для випадку відкритих і закритих пор. Проаналізовано низькочастотну і високочастотну поведінку першої хвилі, що поширюється. ru Інститут гідромеханіки НАН України Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор Normal waves in a porous-elastic layer with a free boundary for the case of open pores Article published earlier |
| spellingShingle | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор Городецкая, Н.С. |
| title | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор |
| title_alt | Normal waves in a porous-elastic layer with a free boundary for the case of open pores |
| title_full | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор |
| title_fullStr | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор |
| title_full_unstemmed | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор |
| title_short | Нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор |
| title_sort | нормальные волны в пористо-упругом слое со свободными поверхностями для случая открытых пор |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/857 |
| work_keys_str_mv | AT gorodeckaâns normalʹnyevolnyvporistouprugomsloesosvobodnymipoverhnostâmidlâslučaâotkrytyhpor AT gorodeckaâns normalwavesinaporouselasticlayerwithafreeboundaryforthecaseofopenpores |