Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах
Исследована проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модулей между областями в метрических пространствах c мерами. Сформулированы условия на функцию Q и границы областей, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфн...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85731 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах / Е.С. Афанасьева // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 7–13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85731 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Афанасьева, Е.С. 2015-08-14T18:00:43Z 2015-08-14T18:00:43Z 2013 Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах / Е.С. Афанасьева // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 7–13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85731 517.5 Исследована проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модулей между областями в метрических пространствах c мерами. Сформулированы условия на функцию Q и границы областей, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение на границу. Полученные результаты ведут, в частности, к важным приложениям к фракталам в R^n, n ≥ 2. Дослiджено проблему продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв вiдносно p-модулiв мiж областями у метричних просторах iз мiрами. Сформульовано умови на функцiю Q та межi областей, при яких усякий кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Отриманi результати ведуть, зокрема, до важливих застосувань до фракталiв у R^n, n ≥ 2. The problem of extension to the boundary of the so-called ring Q-homeomorphisms with respect to p-moduli between domains in metric spaces with measures is investigated. Conditions on the function Q and boundaries of domains, under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary, are formulated. The obtained results lead, in particular, to important applications to fractals in R^n, n ≥ 2. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах Гранична поведiнка гомеоморфiзмiв у метричних просторах Boundary behavior of homeomorphisms in metric spaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| spellingShingle |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах Афанасьева, Е.С. Математика |
| title_short |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_full |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_fullStr |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_full_unstemmed |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_sort |
граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| author |
Афанасьева, Е.С. |
| author_facet |
Афанасьева, Е.С. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Гранична поведiнка гомеоморфiзмiв у метричних просторах Boundary behavior of homeomorphisms in metric spaces |
| description |
Исследована проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модулей между областями в метрических пространствах c
мерами. Сформулированы условия на функцию Q и границы областей, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение
на границу. Полученные результаты ведут, в частности, к важным приложениям к фракталам в R^n, n ≥ 2.
Дослiджено проблему продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв вiдносно p-модулiв мiж областями у метричних просторах iз мiрами. Сформульовано умови
на функцiю Q та межi областей, при яких усякий кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає неперервне або гомеоморфне продовження на межу. Отриманi результати ведуть, зокрема, до важливих застосувань до фракталiв у R^n, n ≥ 2.
The problem of extension to the boundary of the so-called ring Q-homeomorphisms with respect
to p-moduli between domains in metric spaces with measures is investigated. Conditions on the
function Q and boundaries of domains, under which every ring Q-homeomorphism admits a continuous or homeomorphic extension to the boundary, are formulated. The obtained results lead, in particular, to important applications to fractals in R^n, n ≥ 2.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85731 |
| citation_txt |
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических пространствах / Е.С. Афанасьева // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 7–13. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT afanasʹevaes graničnoepovedeniegomeomorfizmovvmetričeskihprostranstvah AT afanasʹevaes graničnapovedinkagomeomorfizmivumetričnihprostorah AT afanasʹevaes boundarybehaviorofhomeomorphismsinmetricspaces |
| first_indexed |
2025-11-25T22:51:42Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:51:42Z |
| _version_ |
1850575216031301632 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Е.С. Афанасьева
Граничное поведение гомеоморфизмов в метрических
пространствах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Исследована проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеомор-
физмов относительно p-модулей между областями в метрических пространствах c
мерами. Сформулированы условия на функцию Q и границы областей, при которых вся-
кий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение
на границу. Полученные результаты ведут, в частности, к важным приложениям
к фракталам в R
n, n > 2.
В последнее время активно развивается теория так называемых Q-гомеоморфизмов. В ра-
боте [1] для квазиконформных отображений было получено модульное неравенство, кото-
рое впоследствии и легло в основу определения Q-гомеоморфизмов, введенных проф. Олли
Мартио (Финляндия). В последние годы на плоскости и в пространстве также активно
изучается более широкий класс кольцевых Q-гомеоморфизмов (см., например, [2]). Дан-
ное понятие было мотивировано кольцевым определением квазиконформности по Герингу
в [3] и представляет собой обобщение и локализацию этого определения, которое впервые
было введено и использовано для изучения вырожденных уравнений Бельтрами на плос-
кости в работе [4]. Теория граничного поведения всегда была наиболее трудной и интерес-
ной частью теории отображений (см., например, [2, 5] и приведенную там библиографию).
В данной работе эта теория развивается для кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно
p-модуля в метрических пространствах.
Далее Hk, k ∈ [0,∞), обозначает k-мерную меру Хаусдорфа множества A в метрическом
пространстве (X, d). Точнее Hk(A) := sup
ε>0
Hk
ε (A), H
k
ε (A) := inf
∞∑
i=1
(diamAi)
k, где инфимум
берется по всем покрытиям A множествами Ai с diamAi < ε (см., например, [6]). Напом-
ним, что diamAi = sup
x,y∈Ai
d(x, y). Как известно, если для некоторого множества A и k1 > 0
выполнено условие Hk1(A) < ∞, то Hk2(A) = 0 для произвольного числа k2 > k1 (см.,
© Е.С. Афанасьева, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 7
например, [6, гл. 7, разд. 1]). В связи с этим вводится величина dimHA := sup
Hk(A)>0
k, кото-
рая называется хаусдорфовой размерностью множества A. Напомним, что топологическое
пространство связно, если его нельзя разбить на два непустых открытых множества. Ком-
пактные связные пространства называются континуумами. В дальнейшем будем говорить,
что континуум γ k-спрямляем, если его мера хаусдорфа Hk конечна. Под обобщенной обла-
стью в X будем понимать открытое связное множество. Обобщенная область D называет-
ся локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется
окрестность V ⊆ U точки x0 такая, что V
⋂
D связно (ср. [7, c. 232]).
Фугледе рассматривал системы мер в абстрактном множестве X с фиксированной основ-
ной мерой (см., например, [8]). Нами будут рассмотрены системы борелевских мер, ассоции-
рованных с континуумами в метрических пространствах (X, d). Именно, мера mγ , ассоции-
рованная c континуумом γ в (X, d), определяется для каждого борелевского множества B
в (X, d) как хаусдорфова мера Hk пересечения B
⋂
γ при фиксированном k > 0. Если Γ —
семейство континуумов в (X, d), то через EΓ будем обозначать систему мер mγ , ассоции-
рованных с γ ∈ Γ.
Пусть теперь (X, d, µ) — метрическое пространство с борелевой мерой µ. Неотрицатель-
ную µ-измеримую функцию ρ : X → [0,∞] назовем допустимой для EΓ, пишем ρ ∈ admEΓ,
если
∫
X
ρdmγ > 1, ∀ γ ∈ Γ. p-модуль, 0 < p < ∞, семейства Γ континуумов γ в (X, d, µ)
определим следующим образом:
Mp(Γ) = inf
ρ∈admEΓ
∫
X
ρp(x) dµ(x). (1)
Здесь мы доопределяем Mp(Γ) = +∞, если EΓ = ∅.
В дальнейшем для любых множеств A, B и C в X через Γ(A,B;C) обозначается се-
мейство всех континуумов γ в (X, d), соединяющих A и B в C, т. е. таких, что γ
⋂
A 6= ∅,
γ
⋂
B 6= ∅ и γ \ {A
⋃
B} ⊆ C. Полагаем также B(x0, r) = {x ∈ X : d(x, x0) < r}.
Пусть D и D′ — обобщенные области в пространствах (X, d, µ) и (X ′, d′, µ′) соответст-
венно, Q : X → (0,∞) — µ-измеримая функция и p ∈ (0,∞). Говорят, что гомеоморфизм
f : D → D′ является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D относительно p-моду-
ля, если неравенство
Mp(Γ(f(C0), f(C1);D
′)) 6
∫
A∩D
Q(x) · ηp(d(x, x0)) dµ(x) (2)
выполняется для любого кольца A = A(x0, r1, r2) : = {x ∈ X : r1 < d(x, x0) < r2}, x0 ∈ X,
0 < r1 < r2 <∞, любых двух континуумов C0 ⊂ B(x0, r1)
⋂
D и C1 ⊂ D \B(x0, r2) и любой
борелевой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1. Наконец, говорим, что
гомеоморфизм f : D → D′ есть кольцевой Q-гомеоморфизм, если f является кольцевым
Q-гомеоморфизмом в каждой точке x0 ∈ D.
Напомним также, что пространство (X, d, µ) называется α-регулярным по Альфорсу,
если существует постоянная C > 1 такая, что C−1rα 6 µ(Br) 6 Crα для всех шаров Br
в X радиуса r < diamX. Как известно, α-регулярные пространства имеют хаусдорфову
размерность α (см., например, [9, c. 61]). Пространство (X, d, µ) называется регулярным по
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
Альфорсу, если оно α-регулярно по Альфорсу для некоторого α ∈ (1,∞). Говорят также,
что пространство (X, d, µ) α-регулярно сверху в точке x0 ∈ X, если существует постоянная
C > 0 такая, что µ(B(x0, r)) 6 Crα для всех шаров B(x0, r) с центром в точке x0 ∈ X
радиуса r < r0. Будем также говорить, что пространство (X, d, µ) регулярно сверху, если
предыдущее условие выполнено в каждой точке x0 ∈ X для некоторого α ∈ (1,∞).
1. Предварительные замечания. Семейство континуумов Γ1 из произвольного то-
пологического пространства T минорируется семейством континуумов Γ2 из T , пишут
Γ2 > Γ1, если для каждого континуума γ1 ∈ Γ1 существует континуум γ2 ∈ Γ2 такой,
что γ2 является подконтинуумом γ1.
Предложение 1. Пусть Ω — открытое множество в топологическом пространс-
тве T . Тогда Γ(Ω, ∂Ω;Ω) > Γ(Ω, T \ Ω;T ).
Из неравенства предложения 1 по [8, c. 178] получаем нижеследующее.
Следствие 1. Для любого открытого множества Ω в T Mp(Γ(Ω, T \ Ω;T )) <
< Mp(Γ(Ω, ∂Ω;Ω)), ∀ p ∈ (0,∞).
Предложение 2. Пусть γ — k-спрямляемый континуум в (X, d, µ), соединяющий точ-
ки x1 ∈ B(x0, r1) и x2 ∈ X \ B(x0, r2), где 0 < r1 < r2 < ∞, и пусть η : [0,∞] → [0,∞] —
борелева функция. Тогда
∫
γ
η(d(x, x0)) dmγ >
r2∫
r1
η(r) dr.
Аналогично [10], говорим, что граница обобщенной области D слабо плоская в точке
x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), если для любого числа P > 0 и любой окрест-
ности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что Mp(Γ(E,F ;D)) > P для
любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Также говорим, что граница
обобщенной области D сильно достижима в точке x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈
∈ (0,∞), если для любой окрестности U точки x0 найдется компакт E ⊂ D, окрестность
V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что Mp(Γ(E,F ;D)) > δ для любого континуума F
в D, пересекающего ∂U и ∂V . Наконец, границу обобщенной области D называем сильно
достижимой относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), и слабо плоской относительно p-модуля,
p ∈ (0,∞), если соответствующие свойства имеют место в каждой точке ее границы.
Предложение 3. Если граница обобщенной области D слабо плоская в точке x0 ∈ ∂D
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), то ∂D сильно достижима в точке x0 относительно
p-модуля.
Лемма 1. Пусть D — обобщенная область в (X, d, µ). Если ∂D слабо плоская в точке
x0 ∈ ∂D относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), то D локально связна в x0.
Следствие 2. Области со слабо плоскими границами относительно p-модуля, p ∈
∈ (0,∞), локально связны во всех точках границы.
2. Функции конечного среднего колебания. Следуя [10], говорим, что функция
ϕ : X → R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ X, сокр. ϕ ∈ FMO(x0), если
lim
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕ̃ε| dµ(x) <∞, (3)
где ϕ̃ε = −
∫
B(x0,ε)
ϕ(x) dµ(x) =
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
ϕ(x) dµ(x) — среднее значение функции ϕ(x)
по шару B(x0, ε) = {x ∈ X : d(x, x0) < ε} относительно меры µ. Здесь условие (3) включает
предположение, что ϕ интегрируема относительно меры µ по некоторому шару B(x0, ε),
ε > 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 9
Предложение 4. Если для некоторого набора чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕε| dµ(x) <∞, (4)
то ϕ ∈ FMO(x0).
Следствие 3. В частности, если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
|ϕ(x)| dµ(x) <∞,
то ϕ ∈ FMO(x0).
Варианты следующей леммы из [10] были сначала доказаны для BMO функций и вну-
тренних точек области D в R
n при n = 2 и n > 3 соответсвенно, а затем для граничных
точек D в R
n, n > 2, с условием удвоения меры и FMO функций (см. историю вопроса
более подробно в [2, гл. 13]).
Лемма 2. Пусть пространство (X, d, µ) p-регулярно сверху c p > 2 в точке x0 и
µ(B(x0, 2r)) 6 γ logp−2 1
r
µ(B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0). (5)
Тогда для любой неотрицательной функции ϕ : X → R класса FMO(x0) при ε → 0 и не-
котором ε0 ∈ (0, δ0) выполнено
∫
A(x0,ε,ε0)
ϕ(x)dµ(x)(
d(x, x0) log
1
d(x, x0)
)p = O
(
log log
1
ε
)
,
где δ0 = min(e−e, d0), d0 := sup
x∈D
d(x, x0), A(x0, ε, ε0) = {x ∈ X : ε < d(x, x0) < ε0}.
Замечание 1. Отметим, что условие (5) слабее условия удвоения меры µ:
µ(B(x0, 2r)) 6 γµ(B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0), (6)
которое использовалось ранее в контексте R
n, n > 2, в работе [11] (см. также [2, секция 6.2]).
Заметим также, что условие (6) автоматически выполняется, если X регулярно по Аль-
форсу.
3. Продолжение на границу обратных отображений. Здесь C(x0, f) обозначает
предельное множество отображения f в точке x0, т. е. C(x0, f) : = {x′ ∈ X ′ : x′ = lim
n→∞
f(xn),
xn → x0, xn ∈ D}.
Лемма 3. Пусть f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля,
p ∈ (0,∞), с Q ∈ L1
µ(D). Если обобщенная область D локально связна в точках x1 и x2 ∈
∈ ∂D, x1 6= x2, а D′ имеет слабо плоскую границу относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), то
C(x1, f)
⋂
C(x2, f) = ∅.
По лемме 3 получаем, в частности, следующее заключение.
Теорема 1. Пусть обобщенная область D локально связна во всех своих граничных
точках и D — компакт, обобщенная область D′ имеет слабо плоскую границу относи-
тельно p-модуля, p ∈ (0,∞), а f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
p-модуля, p ∈ (0,∞), с Q ∈ L1
µ(D). Тогда обратное отображение g = f−1 : D′ → D допус-
кает непрерывное продолжение g : D′ → D.
Замечание 2. Известно (см. пример предложения 6.3 в [2]), что никакая сколь угодно
высокая степень интегрируемости Q в D не гарантирует продолжения прямых отображений
на границу.
4. Продолжение на границу прямых отображений.
Лемма 4. Пусть обобщенная область D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D′ —
компакт, а f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм в x0 относительно p-модуля, p ∈
∈ (0,∞), такой, что ∂D′ сильно достижима относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), хотя бы
в одной точке предельного множества C(x0, f), Q : X → (0,∞) — µ-измеримая функция,
удовлетворяющая условию
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψp
x0,ε
(d(x, x0)) dµ(x) = o(Ipx0,ε0
(ε)) (7)
при ε → 0 для некоторого ε0 ∈ (0, d(x0)), где d(x0) := sup
x∈D
d(x, x0) и ψx0,ε(t) — семейство
неотрицательных измеримых (по Лебегу) функций на (0,∞) таких, что
0 < Ix0,ε0(ε) : =
ε0∫
ε
ψx0,ε(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0), ε0 ∈ (0, d(x0)). (8)
Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Следствие 4. В частности, если
lim
ε→0
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψp(d(x, x0)) dµ(x) <∞, (9)
где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция на (0,∞) такая, что I(ε, ε0) :=
=
ε0∫
ε
ψ(t) dt < ∞, ∀ ε ∈ (0, ε0), и I(ε, ε0) → ∞ при ε → 0, то кольцевой Q-гомеоморфизм
f : D → D′ продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Замечание 3. Другими словами, достаточно, чтобы сингулярный интеграл в (9) сходил-
ся в точке x0 хотя бы для одного ядра ψ с неинтегрируемой особенностью в нуле. Более
того, как показывает лемма 4, достаточно, чтобы указанный интеграл даже расходился, но
с контролируемой скоростью:
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)ψp(d(x, x0)) dµ(x) = o(Ip(ε, ε0)).
Выбирая в лемме 4 ψ(t) ≡ 1/t, приходим к следующей теореме.
Теорема 2. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, ∂D′ сильно достижима отно-
сительно p-модуля, p ∈ (0,∞), и D′ компактно. Если измеримая функция Q : X → (0,∞)
удовлетворяет условию
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)p
= o
([
log
1
ε
]p)
(10)
при ε→ 0 для некоторого ε0 < d(x0) : = sup
x∈D
d(x, x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), f : D → D′ продолжим в точку x0 по непрерывности
в (X ′, d′).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 11
Следствие 5. В частности, заключение теоремы остается в силе, если сингулярный
интеграл в (10) сходится в окрестности точки x0.
Комбинируя леммы 2 и 4, выбирая ψε(t) ≡ t log(1/t), t ∈ (0, δ0), приходим к следующему
результату.
Теорема 3. Пусть X p-регулярно сверху в точке x0 ∈ ∂D, p > 2, где D локально
связна и удовлетворяет условию (5), а ∂D′ сильно достижима относительно p-модуля,
p ∈ (0,∞), и D′ компактно. Если Q ∈ FMO(x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм
относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), f : D → D′ продолжим в точку x0 по непрерывности
в (X ′, d′).
Комбинируя теорему 3 и следствие 3, получаем следующее заключение.
Следствие 6. В частности, если
lim
ε→0
1
µ(B(x0, ε))
∫
B(x0,ε)
Q(x) dµ(x) <∞, (11)
то любой кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), f : D → D′
продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
5. Гомеоморфное продолжение на границу. Комбинируя результаты предыдущих
двух пунктов, получаем следующие теоремы.
Теорема 4. Пусть D и D′ имеют слабо плоские границы относительно p-модуля,
p ∈ (0,∞), D и D′ компактны и пусть Q : X → (0,∞) — функция класса L1
µ(D), для
которой выполнено условие (10) p ∈ (0,∞), в каждой точке x0 ∈ ∂D для некоторого
ε0 = ε(x0) < d(x0) : = sup
x∈D
d(x, x0). Тогда любой кольцевой Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля, p ∈ (0,∞), f : D → D′ допускает продолжение до гомеоморфизма f : D → D′.
Следствие 7. В частности, заключение теоремы имеет место, если сингулярный
интеграл в (10) сходится в окрестности каждой точки x0 ∈ ∂D.
Теорема 5. Пусть D — область в p-регулярном сверху пространстве (X, d, µ), p > 2,
которая локально связна на границе и удовлетворяет условию (5) во всех граничных то-
чках, D′ — область со слабо плоской границей относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), в про-
странстве (X ′, d′, µ′), а D и D′ компактны. Если функция Q : X → (0,∞) имеет конечное
среднее колебание во всех граничных точках области D, то любой кольцевой Q-гомео-
морфизм относительно p-модуля, p ∈ (0,∞), f : D → D′ продолжим до гомеоморфизма
f : D → D′.
Следствие 8. В частности, заключение теоремы имеет место, если (11) имеет мес-
то ∀x0 ∈ ∂D.
1. Bishop C. J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397–1420.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
3. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. –
P. 353–393.
4. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equation // J. Anal. Math. – 2005. –
96. – P. 117–150.
5. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach,
developments in mathematics. Vol. 26. – New York: Springer, 2012. – 301 p.
6. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1948. – 232 с.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
7. Куратовский К. Топология. Т. 2. – Москва: Мир, 1969. – 624 с.
8. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – 98. – P. 171–219.
9. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer, 2001. – 151 p.
10. Рязанов В.И., Салимов Р. Р. Слабо плоские границы и пространства в теории отображений // Укр.
мат. вест. – 2007. – 4, № 2. – P. 199–234.
11. Игнатьев А.А., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Там же. – 2005. –
2, № 3. – P. 395–417.
Поступило в редакцию 06.11.2012Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
О.С. Афанасьєва
Гранична поведiнка гомеоморфiзмiв у метричних просторах
Дослiджено проблему продовження на межу так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв вiд-
носно p-модулiв мiж областями у метричних просторах iз мiрами. Сформульовано умови
на функцiю Q та межi областей, при яких усякий кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає не-
перервне або гомеоморфне продовження на межу. Отриманi результати ведуть, зокрема,
до важливих застосувань до фракталiв у R
n, n > 2.
O. S. Afanas’eva
Boundary behavior of homeomorphisms in metric spaces
The problem of extension to the boundary of the so-called ring Q-homeomorphisms with respect
to p-moduli between domains in metric spaces with measures is investigated. Conditions on the
function Q and boundaries of domains, under which every ring Q-homeomorphism admits a conti-
nuous or homeomorphic extension to the boundary, are formulated. The obtained results lead, in
particular, to important applications to fractals in R
n, n > 2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 13
|