Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами
Получен критерий компактности классов регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент. Отримано критерiй компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на комплексний коефiцiєнт...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85733 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами / Т.В. Ломако // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 20–23. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859943590055116800 |
|---|---|
| author | Ломако, Т.В. |
| author_facet | Ломако, Т.В. |
| citation_txt | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами / Т.В. Ломако // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 20–23. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Получен критерий компактности классов регулярных решений вырожденных уравнений
Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент.
Отримано критерiй компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на комплексний коефiцiєнт.
The criterion of compactness for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations
with constraints of the integral type for the complex coefficient is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:11:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т.В. Ломако
Критерий компактности для классов решений
уравнений Бельтрами
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Получен критерий компактности классов регулярных решений вырожденных уравнений
Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент.
Недавно был доказан целый ряд новых теорем существования для вырожденных уравнений
Бельтрами (см., например, [1, 2]), что открыло широкое поле для исследований экстремаль-
ных задач в современных классах отображений на плоскости (см. [3, 4]). В теории экстре-
мальных задач важную роль играют теоремы компактности. Ранее автором [5] (см. так-
же [6]) были рассмотрены отображения класса Соболева W 1,1
loc с ограничениями на дила-
тацию интегрального типа и найдены условия компактности. В данной работе получены
не только достаточные, но и необходимые условия компактности для классов отображений
с интегральными ограничениями.
Пусть D — область в комплексной плоскости C, т. е. связное открытое подмножество C.
Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z) · fz, (1)
где µ : D → C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п. в., fz = ∂f = (fx+ify)/2, fz = ∂f = (fx−
− ify)/2, z = x+ iy, fx и fy — частные производные отображения f по x и y соответственно.
Функция µ называется комплексным коэффициентом и
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
— (2)
максимальной локальной дилатацией или просто дилатацией уравнения (1). Уравнение
Бельтрами (1) называется вырожденным, если Kµ /∈ L∞.
Напомним, что отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈ D, если
f в этой точке имеет полный дифференциал и его якобиан Jf (z) = |fz|
2 − |fz|
2 6= 0 (см.,
например, [7, I.1.6]). В дальнейшем гомеоморфизм f класса Соболева W 1,1
loc называется ре-
гулярным, если Jf (z) > 0 п. в. Наконец, регулярным решением уравнения Бельтрами (1)
в области D называется регулярный гомеоморфизм, который удовлетворяет (1) п. в. в D.
Функции µ и Kµ называются комплексной характеристикой и дилатацией отображения f .
Отметим, что понятие регулярного решения впервые введено в работе [8].
В дальнейшем dm(z) отвечает мере Лебега в C, а через dS(z) = (1+ |z|2)−2dm(z) обозна-
чается элемент сферической площади в C, соответственно, через L1
S — класс всех функций
Q : C → R, интегрируемых в C относительно сферической площади. Функция Φ: R+ → R+
называется строго выпуклой, если она является выпуклой, неубывающей и
lim
t→∞
Φ(t)
t
= ∞ (3)
© Т.В. Ломако, 2013
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
(см. [9, с. 37]). В дальнейшем непрерывность функции Φ понимается относительно тополо-
гии R+ := [0,∞]. В дальнейшем также используется обозначение I := [1,∞].
Напомним, что функция f : D → C называется абсолютно непрерывной на линиях,
пишут f ∈ ACL, если для любого замкнутого прямоугольника R в D, стороны которо-
го параллельны координатным осям, f |R является абсолютно непрерывной на почти всех
линейных сегментах в R, параллельных сторонам R (см., например, [10, с. 27]).
Пусть Φ: I → R+ — произвольная функция. Обозначим через FΦ
M , M > 0, класс всех ре-
гулярных решений f : C → C уравнения Бельтрами (1) с комплексными коэффициентами µ
такими, что
∫
C
Φ(Kµ(z)) dS(z) 6 M (4)
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Будем говорить, что функция Φ: I → R+ имеет экспоненциальный рост на бесконеч-
ности, если
Φ(t) > βeγt (5)
для всех t > T при некотором T > 1, β > 0, γ > 0. В [11, теорема 8], а также в [3,
теорема 13.2] была доказана компактность классов HΦ
M всех регулярных решений f : C → C
уравнения Бельтрами (1) с интегральными ограничениями вида
∫
C
Φ(Kµ(z)) dm(z) 6 M (6)
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞ при условии, что функция Φ непрерывна,
выпукла, не убывает, имеет экспоненциальный рост на ∞ и inf Φ = 0.
В упомянутой выше работе [6, теорема 3] была установлена компактность класса FΦ
M при
условии, что функция Φ: I → R+ непрерывна, строго выпукла и удовлетворяет условию
∞∫
δ
ln Φ(τ)
dτ
τ2
= ∞ (7)
при некотором δ > δ0 := sup
τ∈I,
Φ(τ)=0
τ . Здесь мы доопределяем δ0 = 1, если Φ(τ) > 0 для всех τ ∈ I.
В настоящей работе показываем, что указанные условия на функцию Φ являются не
только достаточными, но и необходимыми для компактности классов FΦ
M . Отметим, что
теоремы существования для таких классов были получены сравнительно недавно (см., на-
пример, [1, 2]).
Теорема замыкания. Нам понадобится понятие “нижней огибающей”, с подробным
геометрическим описанием которой можно ознакомится в [11, c. 132; 3, c. 297]. Нижней
огибающей функции Φ будем называть функцию
Φ0(t) := sup
ϕ∈Ψ
ϕ(t), t ∈ I, (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 21
где Ψ — семейство всех непрерывных неубывающих выпуклых функций ϕ : I → R+ таких,
что ϕ(t) 6 Φ(t), t ∈ I.
Следующие предложения играют важную роль при доказательстве приводимых ниже
теорем.
Предложение 1. Нижняя огибающая функции Φ: I → R+ представляет собой наи-
большую неубывающую выпуклую функцию Φ0 : I → R+, которая непрерывна в смысле R+
слева в точке
Q = sup
Φ(t)<∞
t (9)
и график которой лежит ниже графика Φ. При этом Φ0(t) ≡ ∞ для всех t > Q и Φ0(t) <
< ∞ для всех t < Q.
Предложение 2. Пусть Φ: I → R+ является выпуклой и удовлетворяет условию (7).
Тогда ее нижняя огибающая Φ0 : I → R+ также удовлетворяет условию (7).
Прототип следующей теоремы для функций Φ с экспоненциальным ростом на бесконе-
чности можно найти в [11, теорема 7], а также [3, теорема 13.1].
Теорема 1. Пусть для нижней огибающей Φ0 : I → R+ функции Φ: I → R+ выполнено
условие вида (7). Тогда в топологии равномерной сходимости в C относительно сфери-
ческой метрики
FΦ
M ⊆ F
Φ0
M . (10)
Критерий компактности. Наконец, приведем необходимые и достаточные условия
компактности для классов FΦ
M .
Теорема 2. Пусть Φ: I → R+ удовлетворяет условию (7). Тогда следующие утверж-
дения эквивалентны:
1) классы FΦ
M компактны в топологии равномерной сходимости в C относительно
сферической метрики;
2) функция Φ непрерывна в смысле R+ слева в точке Q из (9) и строго выпукла.
Замечание 1. Условие (7) является не только достаточным, но и необходимым для нор-
мальности и, следовательно, для компактности класса FΦ
M , если Φ непрерывна, выпукла
и не убывает (см. [12, теорема 5.1]).
В заключение отметим также, что теоремы компактности имеют важные приложения
в теории экстремальных задач и теории вариационного метода. Дело в том, что в ком-
пактных классах всегда гарантируется существование экстремальных отображений для лю-
бых непрерывных, в том числе, нелинейных функционалов. Кроме того, в компактных клас-
сах отображений с интегральными ограничениями множество комплексных характеристик
выпукло, что значительно упрощает построение вариаций (см., например, [3, 4]).
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami equa-
tions // Укр. мат. вест. – 2010. – 7, No 4. – С. 467–515; transl in J. Math. Sci. – 2011. – 175. – P. 413–449.
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach,
developments in mathematics. Vol. 26. – New York: Springer, 2012. – 301 p.
3. Гутлянский В.Я., Рязанов В.И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. –
Киев: Наук. думка, 2011. – 425 с.
4. Гутлянский В.Я., Ломако Т. В., Рязанов В.И. К теории вариационного метода для уравнений Бельт-
рами // Укр. мат. вест. – 2011. – 8, № 4. – С. 513–536.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
5. Ломако Т. В. Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Доп. НАН України –
2011. – № 5. – С. 28–31.
6. Ломако Т. В. К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Укр. мат. журн. –
2011. – 63, № 3. – С. 341–349.
7. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York: Springer, 1973. – 258 p.
8. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics // Complex
Variables and Elliptic Equations. – 2009. – 54, No 10. – P. 935–950.
9. Рудин У. Теория функций в поликруге. – Москва: Мир, 1974. – 160 с.
10. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – Москва: Мир, 1969. – 133 с.
11. Рязанов В.И. Топологические аспекты теории квазиконформных отображений: Дис. . . . д-ра физ.-
мат. наук: 01.01.01. – Донецк: ИПММ НАН Украины, 1993. – 281 с.
12. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем ото-
бражений // Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 3. – С. 665–679.
Поступило в редакцию 06.11.2012Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Т. В. Ломако
Критерiй компактностi для класiв розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi
Отримано критерiй компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельт-
рамi з обмеженнями iнтегрального типу на комплексний коефiцiєнт.
T.V. Lomako
The criterion of compactness for classes of solutions to the Beltrami
equations
The criterion of compactness for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations
with constraints of the integral type for the complex coefficient is obtained.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85733 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:11:52Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ломако, Т.В. 2015-08-14T18:01:12Z 2015-08-14T18:01:12Z 2013 Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами / Т.В. Ломако // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 20–23. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85733 517.5 Получен критерий компактности классов регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент. Отримано критерiй компактностi класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на комплексний коефiцiєнт. The criterion of compactness for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type for the complex coefficient is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами Критерiй компактностi для класiв розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi The criterion of compactness for classes of solutions to the Beltrami equations Article published earlier |
| spellingShingle | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами Ломако, Т.В. Математика |
| title | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами |
| title_alt | Критерiй компактностi для класiв розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi The criterion of compactness for classes of solutions to the Beltrami equations |
| title_full | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами |
| title_fullStr | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами |
| title_full_unstemmed | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами |
| title_short | Критерий компактности для классов решений уравнений Бельтрами |
| title_sort | критерий компактности для классов решений уравнений бельтрами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85733 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv kriteriikompaktnostidlâklassovrešeniiuravneniibelʹtrami AT lomakotv kriteriikompaktnostidlâklasivrozvâzkivrivnânʹbelʹtrami AT lomakotv thecriterionofcompactnessforclassesofsolutionstothebeltramiequations |