Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів
Запропоновано новий клас спецiальних функцiй, якi є комбiнацiями показникових функцiй з довiльною основою та рiзним знаком показника. Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до побудови та аналiзу нелiнiйних дискретних моделей коливних систем
 з метою розширення дiапазону можливих динамiчни...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85736 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 37–43. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860062101591031808 |
|---|---|
| author | Заяць, В.М. |
| author_facet | Заяць, В.М. |
| citation_txt | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 37–43. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано новий клас спецiальних функцiй, якi є комбiнацiями показникових функцiй з довiльною основою та рiзним знаком показника. Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до побудови та аналiзу нелiнiйних дискретних моделей коливних систем
з метою розширення дiапазону можливих динамiчних режимiв.
Предложен новый класс специальных функций, которые являются комбинациями показательных функций с произвольной основой и разным знаком показателя. Подтверждена целесообразность их применения к построению и анализу нелинейных дискретных моделей
колебательных систем с целью расширения диапазона возможных динамических режимов.
A new class of special functions that are combinations of exponential functions with an arbitrary
basis and different signs of the indicator is proposed. The expediency of their application to the
construction and the analysis of nonlinear discrete models of oscillating systems in order to extend
the range of possible dynamical regimes is substantiated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:05:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2013
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 681.142
В.М. Заяць
Клас нових функцiй для побудови дискретних моделей
коливних систем з широким спектром динамiчних
режимiв
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Запропоновано новий клас спецiальних функцiй, якi є комбiнацiями показникових функ-
цiй з довiльною основою та рiзним знаком показника. Пiдтверджено доцiльнiсть їх
застосування до побудови та аналiзу нелiнiйних дискретних моделей коливних систем
з метою розширення дiапазону можливих динамiчних режимiв.
Дискретнi за своєю природою моделi вiдiграють фундаментальну роль для розумiння сут-
тєво нелiнiйних явищ i процесiв, що мають мiсце в системах або окремих об’єктах самої
рiзної природи [1–5]. При розробленнi таких моделей слiд виходити з того, щоб
1) забезпечити максимум простоти моделi з метою її аналiзу досить простими способами;
2) забезпечити широкий спектр можливих коливних режимiв для вiдтворення основних
характеристик сигналу як в часовiй, так i в частотнiй областi, а також забезпечити бажану
форму сигналу;
3) мати можливiсть змiнювати параметри системи та початковi умови з метою проекту-
вання або аналiзу реальних пристроїв, об’єктiв та систем.
Оскiльки в роботi йдеться про побудову дискретних коливних моделей, то слiд вихо-
дити з того, щоб при малiй амплiтудi коливань рух вiдбувався вiд нульового положення
рiвноваги в напряму її зростання, а при великих — в напряму її зменшення. Цього можна
досягти, якщо в матрицю переходу станiв ввести експоненцiйну функцiю, яка залежить вiд
амплiтуди коливань, при цьому знак при експонентi повинен бути вiд’ємним. Якщо права
частина дискретної моделi в ролi нелiнiйної функцiї матиме добуток експоненти з вiд’єм-
ним знаком при аргументi, що стоїть пiд експонентою, на змiнну стану, то для невеликих
амплiтуд внесок експоненти буде менш iстотним, нiж змiнної стану, i рух у фазовому про-
сторi вiдбуватиметься в бiк зростання амплiтуди. Коли амплiтуда стане достатньо великою,
внесок експоненти в амплiтуду переважатиме значення амплiтуди i на наступному кроцi
вiдбудеться її зменшення. Зауважимо, що встановлений режим буде досягнутий в тому ви-
падку, якщо побудована система буде стiйкою [6, 7]. Це вимагає проведення додаткових
© В. М. Заяць, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 37
дослiджень моделi пiсля її побудови. Вiдзначимо, що введення експоненти в матрицю пе-
реходу станiв — далеко не єдиний спосiб забезпечити iснування коливного процесу. Цього
можна досягти i при виборi в ролi базової показникової функцiї з довiльною основою, роль
показника в якiй виконуватиме амплiтуда коливань, взята з вiд’ємним знаком. Очевидно,
чим менша основа функцiї, тим бiльшого розмаху амплiтуди слiд очiкувати. Роль базової
функцiї можуть виконувати i гiперболiчнi функцiї або будь-якi iншi, якi для малих значень
аргументу змiнюються слабше, нiж лiнiйна функцiя, а при великих аргументах їх вплив
суттєвiший за лiнiйну функцiю. Таким чином, з’являється можливiсть змiнювати амплiту-
ду коливань у широкому дiапазонi.
Для забезпечення бажаної частоти коливань необхiдно задати початкове значення фази
коливань. Для цього слiд ввести гармонiйну функцiю в матрицю переходу станiв як однин
iз спiвмножникiв. Роль аргументу цiєї функцiї вiдiграватиме початкова фаза коливань.
Нарештi, найпростiшим способом можна забезпечити змiну параметрiв моделi, якщо
ввести постiйний коефiцiєнт в праву частину рiвнянь стану моделi ще одним спiвмнож-
ником.
Оскiльки мова йде про побудову моделей другого порядку, то, комбiнуючи рiзнi функцiї
вiд амплiтуди коливань та задаючись рiзними тригонометричними функцiями для задання
початкової фази коливань, можна отримати цiлий клас моделей з рiзними матрицями пе-
реходу станiв. Кожна з цих моделей має свою динамiку i потребує детального дослiдження.
У роботi [1] на основi описаного пiдходу запропоновано загальну дискретну модель ко-
ливних рухiв другого порядку:
[
xm+1
ym+1
]
= af(−r)
[
cosϕl sinϕ
− sinϕ cosϕ
] [
xm
ym
]
. (1)
Якщо скористатися пiдходом, описаним в [1] для визначення амплiтуди коливань моделi
(1), отримаємо:
f(−r) =
1
a
(2)
або у випадку парностi функцiї f
r = g
(
1
a
)
, (3a)
а для непарної функцiї f маємо
r = g
(
−
1
a
)
, (3б)
де g — функцiя, обернена до f , яку завжди можна визначити для однозначної неперервної
функцiї. Вiдзначимо, що формули (3) справедливi, якщо композицiя функцiйf i g є тотож-
ним перетворенням незалежно вiд порядку їх слiдування i дає значення аргументу функцiї.
У випадку неоднозначностi функцiї f можна визначити її обернено вiдповiднi функцiї на
дiлянках монотонностi функцiї f . Для складних неоднозначних функцiй обернена функ-
цiя може бути записана лише в неявному виглядi. У цих випадках для оцiнки амплiтуди
коливань бiльш доцiльно застосовувати формулу (2).
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
Новi функцiї на основi показникової з довiльною основою. Для побудови нової
моделi введемо нову функцiю як пiвсуму показникових функцiй з основою b, яку названо
показниковим синусом:
sb(x) =
bx − b−x
2
. (4)
Тодi базова функцiя набуває вигляду:
f(−r) = − sb(r). (5)
Неважко переконатися, що обернену функцiю до (4), яку названо показниковим арксинусом,
можна подати у виглядi:
g(x) = arsb(x) =
ln(x+
√
x2 + 1)
ln(b)
.
Внаслiдок непарностi функцiї (4) пiсля пiдстановки останньої рiвностi в формулу (3б) отри-
маємо, що
r =
ln
(
(
√
1 + a2 − 1)
a
)
ln(b)
.
З останньої рiвностi випливає, що в моделi (5) можуть виникати гармонiчнi рухи при a > 0
i b < 1. Таким чином, наявнiсть знаменника в останньому виразi сприяє появi коливних
рухiв незалежно вiд знака аргументу, з яким береться базова функцiя. Дiйсно, взявши як
базову функцiю (5) з протилежним знаком пiд аргументом i застосувавши формулу (2),
пiсля ряду перетворень одержуємо значення амплiтуди коливань
r =
ln
(
(
√
1 + a2 + 1)
a
)
ln(b)
.
Коливання в моделi (5) виникатимуть, якщо b > 1 при будь-яких додатних значеннях
параметра a. У справедливостi останньої формули можна переконатися пiсля її пiдстановки
в (2) та використання наведеного вище подання для оберненої функцiї.
Для побудови iншої моделi введено ще одну нову функцiю як пiвсуму показникових
функцiй з основою b, яку назвемо показниковий косинус:
cb(x) =
bx + b−x
2
. (6)
Тодi базова функцiя набуває вигляду:
f(−r) = cb(r). (7)
Можна переконатися, що обернена функцiя до (6), яку названо показниковим арксинусом,
може бути подана у виглядi:
g(x) = arcb(x) =
ln(x+
√
x2 − 1)
ln(b)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 39
Аналогiчно до описаних th(x) i cth(x) в [7], введемо в розгляд показниковий тангенс, який
будемо позначати tb(x), i показниковий котангенс, який позначатимемо ctb(x). Використо-
вуючи означення (4) i (6), можна записати
tb(x) =
sb(x)
ch(x)
=
bx − b−x
bx + b−x
; ctb(x) =
sb(x)
ch(x)
=
bx + b−x
bx − b−x
. (8)
Вiдповiднi їм оберненi функцiї — показниковий арктангенс та показниковий арккотангенс
позначатимемо вiдповiдно artb(x) i arctb(x) i їх можна визначити через елементарнi функцiї
так:
y = artb(x) =
1
2
ln
(
1 + x
1− x
)
ln(b)
; y = arctb(x) =
1
2
ln
(
x+ 1
x− 1
)
ln(b)
. (9)
Проведений аналiз поведiнки спецiальних показникових функцiй (sb, cb, tb, ctb) показує,
що вони мають значно ширший спектр динамiчних режимiв, нiж гiперболiчнi. А тому їх
введення має не тiльки чисто академiчне значення, а й прикладне, оскiльки дозволяє ефек-
тивнiше справлятися з проблемами моделювання динамiчних режимiв дискретних систем.
По сутi справи, гiперболiчнi функцiї є частковим випадком введених у розгляд спецiальних
показникових функцiй, якi при виборi основи показника b, що дорiвнює величинi натураль-
ного логарифма, повнiстю збiгаються з гiперболiчними функцiями. Тим не менше, основнi
властивостi гiперболiчних функцiй, зв’язки мiж ними, значення похiдних вiд цих функцiй
та оберненi до них функцiї з точнiстю до множникiв збiгаються при замiнi елементарної
функцiї exp(x) на bx. Основнi властивостi для спецiальних показникових функцiй наведенi
у табл. 1.
Гiперпоказниковi спецiальнi функцiї та їх основнi властивостi. Розглянемо до-
цiльнiсть застосування функцiї вигляду
f(−r) = r−r (10)
до побудови дискретних моделей коливних процесiв. Перш за все, ця функцiя є нi парною,
нi непарною. Крiм того, вона є неоднозначною навiть для додатних значень аргументу
i розривною при вiд’ємних значеннях аргументу. Застосувавши (2) до описаної функцiї,
отримаємо неявне рiвняння для знаходження можливих амплiтуд гармонiчних коливань
rr = a. (11)
Таблиця 1. Основнi властивостi спецiальних показникових функцiй
Функцiя f(x) Похiдна f
′(x) Обернена g(x) Амплiтуда r
sh(x) ch(x) arsh(x) ln
(
√
1 + a2 + 1
a
)
ch(x) sh(x) arch(x) ln
(
1
a
+
√
1− a2
a
)
th(x)
1
ch2(x)
arth(x)
1
2
ln
(
a+ 1
a− 1
)
cth(x) −
1
sh2(x)
arcth(x)
1
2
ln
(
1 + a
1− a
)
s b(x) ln(b) ∗ c b(x) ars b(x) =
ln(x+
√
x2 + 1)
ln(b)
ln
(
√
1 + a2 + 1
a
)
ln(b)
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
Рис. 1. Графiк функцiї f(r) = r
r
Якщо побудувати графiк функцiї (11), який показано на рис. 1, можна побачити, що iснує
дiапазон значень параметра 0 < a < 1, де можливе виникнення двох гармонiчних ре-
жимiв.
Оскiльки похiдна функцiї (11), аналогiчно (10), перетворюється на нуль при r =
= 1/e ∼= 0,3679, а функцiя при цьому досягає свого мiнiмуму в точцi 0,6922 (друга по-
хiдна додатна в цiй точцi), то можна твердити, що в дiапазонi змiни параметра a вiд 0,6922
до 1 можливе iснування двох гармонiчних режимiв. При a < 0,6922 коливання, очевидно,
будуть загасати. Вiдзначимо, що при вiд’ємних значеннях r ця функцiя має нескiнченне
число локальних екстремумiв та розривiв.
Наведену функцiю (10) можна використати для побудови нового класу спецiальних
функцiй, якi позначено sx(x), cx(x), tx(x), ctx(x) i названо гiперпоказниковим синусом,
косинусом, тангенсом i котангенсом. Введемо такi означення
sx(x) =
xx − x−x
2
; cx(x) =
xx + x−x
2
;
tx(x) =
sx(x)
cx(x)
=
xx − x−x
xx + x−x
; ctx(x) =
cx(x)
sx(x)
=
xx + x−x
xx − x−x
,
(12)
виходячи з яких неважко переконатися у справедливостi властивостей
cx2(x)− sx2(x) = 1 i ctx(x) =
1
tx(x)
,
якi мають мiсце i для гiперболiчних функцiй. Таким чином, можна стверджувати, що всi
взаємнi зв’язки, якi мають мiсце для гiперболiчних функцiй, справедливi i для введених
гiперпоказникових функцiй. Зауважимо, що цi функцiї є повнiстю визначеними для додат-
них значень аргументу x. Для введених спецiальних показникових та гiперпоказникових
функцiй справедливий такий зв’язок з гiперболiчними функцiями:
sb(x) = sh(x ln(b)) i sx(x) = sh(x ln(b)).
В цьому можна легко переконатися, виходячи з означення гiперболiчного синуса та вико-
ристовуючи першу формулу (12). Застосовуючи наведенi означення (12), можна показати
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 41
Рис. 2. Графiки гiперпоказникових функцiй
справедливiсть аналогiчних зв’язкiв i для всiх iнших введених функцiй. В явнiй формi не-
важко також виразити гiперболiчний та гiперперпоказниковий синуси через показниковий
синус таким чином:
sh(x) = sb
(
x
ln(b)
)
i sx(x) = sb
(
x ln(x)
ln(b)
)
.
На жаль, нi гiперболiчнi, нi показниковi спецiальнi функцiї в явнiй формi не виражаються
через гiперпоказниковi. Графiки гiперпоказникових функцiй, що визначаються формулами
(12), показанi на рис. 2.
Вiдзначимо, що всi гiперпоказниковi функцiї є нi парними, нi непарними, тому для
аналiзу гармонiчного режиму доцiльно застосовувати спiввiдношення (2).
Таким чином, проведений аналiз дозволяє зробити висновки щодо доцiльностi застосу-
вання тих або iнших функцiй для отримання широкого спектра динамiчних коливних ре-
жимiв. Iз зiставлення отриманих виразiв для визначення амплiтуд коливань випливає, що
застосування звичайної показникової функцiї з довiльною основою b приводить до появи
гармонiчних режимiв в значно ширшому дiапазонi змiни параметра a, нiж використання
експоненцiйної функцiї, оскiльки з’являється можливiсть впливати на амплiтуду коливань
за рахунок змiни параметра b. Зiставляючи попарно вирази для знайдених амплiтуд гар-
монiчних коливань при використаннi гiперболiчних функцiй з вiдповiдними виразами при
використаннi спецiальних показникових функцiй при двох знаках їх аргументiв (крiм cb) та
вiдповiдними виразами при застосуваннi гiперпоказникових функцiй при двох знаках перед
самими функцiями (окрiм cx), можна зробити такi висновки:
1) використання введених спецiальних показникових функцiй (6) та (8), якi названi,
вiдповiдно, показниковим синусом, тангенсом та котангенсом i позначенi sb, tb та ctb, при
побудовi дискретних моделей типу (1) забезпечує появу режимiв як при додатних значен-
нях аргументу (це має мiсце i у вiдповiдних гiперболiчних функцiях), так i при вiд’ємних
(що не спостерiгається у гiперболiчних функцiях). Наявнiсть параметра b у виразах для
амплiтуди коливань розширює дiапазон її змiни порiвняно з моделями, де застосовуються
гiперболiчнi функцiї;
2) побудова дискретної моделi при використаннi показникового косинуса, який визначе-
ний рiвнiстю (6), якiсно не змiнює характер гармонiчних режимiв порiвняно з використан-
ням гiперболiчного косинуса, але розширює дiапазон змiни амплiтуди коливань за рахунок
змiни параметра b;
3) найбiльш доцiльно застосовувати при побудовi дискретних моделей нововведенi гi-
перпоказниковi функцiї, якi названi, вiдповiдно, гiперпоказниковим синусом, тангенсом та
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
котангенсом i позначенi sx, tx та ctx. Незважаючи на те, що цi функцiї вiдносяться до
класу нi парних, нi непарних функцiй, вони забезпечують появу гармонiчних режимiв як
при їх використаннi у виглядi (12), так i при змiнi знака перед ними. Потрiбно вiдзначити,
що в останньому випадку можлива поява двох рiзних гармонiчних режимiв з амплiтудами
коливань, меншими за одиницю;
4) при застосуваннi до побудови дискретної моделi гiперпоказникового косинуса нових
якiсних особливостей поведiнки моделi в гармонiчному режимi не виявлено, порiвняно з ви-
користанням гiперболiчного або показникового косинуса. Зауважимо, що в цьому випадку
амплiтуда коливань перевищує одиницю;
5) недолiк застосування гiперпоказникових функцiй до побудови дискретних моделей
в тому, що отриманi аналiтичнi вирази для оцiнки амплiтуди коливань мають неявний ви-
гляд. По сутi справи, це i є плата за доволi широкий дiапазон гармонiчних коливних режимiв
в моделях, де використанi гiперпоказниковi функцiї. Однак це не знецiнює доцiльностi їх
застосування до побудови дискретних моделей, оскiльки цi режими повнiстю можуть бути
вивченi при застосуваннi графоаналiтичних та числовоаналiтичних методiв аналiзу [5].
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – Москва: Наука, 1981. – 568 с.
2. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1986. – 280 с.
3. Заяць В.М. Дискретнi моделi коливних систем для аналiзу їх динамiки. – Львiв: Вид-во Укр. академiї
друкарства, 2011. – 284 с.
4. Заяць В.М. Построение и анализ дискретной модели дискретной колебательной системы // Кибер-
нетика и системный анализ. – 2000. – № 4. – С. 161–165.
5. Самойленко А.М., Ронто М.И. Численно-аналитические методы исследования периодических реше-
ний. – Киев: Вища шк., 1976. – 180 с.
6. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. – Москва: Энергия, 1974. – 336 с.
7. Заяць В.М. Аналiз динамiки та умов стiйкостi дискретних моделей коливних систем // Вiсн. НУ
“Львiвська полiтехнiка”. “Iнформацiйнi системи та мережi”. – 2004. – № 519. – С. 132–142.
Надiйшло до редакцiї 30.10.2012Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
В.М. Заяць
Класс новых функций для построения дискретных моделей
колебательных систем с широким спектром динамических
режимов
Предложен новый класс специальных функций, которые являются комбинациями показа-
тельных функций с произвольной основой и разным знаком показателя. Подтверждена це-
лесообразность их применения к построению и анализу нелинейных дискретных моделей
колебательных систем с целью расширения диапазона возможных динамических режимов.
V.M. Zayats
Class of new functions to build discrete models of oscillating systems
with a wide range of dynamic regimes
A new class of special functions that are combinations of exponential functions with an arbitrary
basis and different signs of the indicator is proposed. The expediency of their application to the
construction and the analysis of nonlinear discrete models of oscillating systems in order to extend
the range of possible dynamical regimes is substantiated.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85736 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:05:00Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заяць, В.М. 2015-08-14T18:01:58Z 2015-08-14T18:01:58Z 2013 Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 37–43. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85736 681.142 Запропоновано новий клас спецiальних функцiй, якi є комбiнацiями показникових функцiй з довiльною основою та рiзним знаком показника. Пiдтверджено доцiльнiсть їх застосування до побудови та аналiзу нелiнiйних дискретних моделей коливних систем
 з метою розширення дiапазону можливих динамiчних режимiв. Предложен новый класс специальных функций, которые являются комбинациями показательных функций с произвольной основой и разным знаком показателя. Подтверждена целесообразность их применения к построению и анализу нелинейных дискретных моделей
 колебательных систем с целью расширения диапазона возможных динамических режимов. A new class of special functions that are combinations of exponential functions with an arbitrary
 basis and different signs of the indicator is proposed. The expediency of their application to the
 construction and the analysis of nonlinear discrete models of oscillating systems in order to extend
 the range of possible dynamical regimes is substantiated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів Класс новых функций для построения дискретных моделей колебательных систем с широким спектром динамических режимов Class of new functions to build discrete models of oscillating systems with a wide range of dynamic regimes Article published earlier |
| spellingShingle | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів Заяць, В.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів |
| title_alt | Класс новых функций для построения дискретных моделей колебательных систем с широким спектром динамических режимов Class of new functions to build discrete models of oscillating systems with a wide range of dynamic regimes |
| title_full | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів |
| title_fullStr | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів |
| title_full_unstemmed | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів |
| title_short | Клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів |
| title_sort | клас нових функцій для побудови дискретних моделей коливних систем з широким спектром динамічних режимів |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85736 |
| work_keys_str_mv | AT zaâcʹvm klasnovihfunkcíidlâpobudovidiskretnihmodeleikolivnihsistemzširokimspektromdinamíčnihrežimív AT zaâcʹvm klassnovyhfunkciidlâpostroeniâdiskretnyhmodeleikolebatelʹnyhsistemsširokimspektromdinamičeskihrežimov AT zaâcʹvm classofnewfunctionstobuilddiscretemodelsofoscillatingsystemswithawiderangeofdynamicregimes |