Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании
Исследованы геометрически нелинейные колебания тонкой прямоугольной неподвижно опертой пластины. Показано, что для хорошего приближения динамики пластины достаточно модели колебаний с двумя степенями свободы. Нелинейная динамика исследована с помощью нелинейных нормальных форм Каудерера–Розенберга....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85739 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании / И.Д. Бреславский, К.В. Аврамов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 55–59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85739 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бреславский, И.Д. Аврамов, К.В. 2015-08-14T18:02:47Z 2015-08-14T18:02:47Z 2013 Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании / И.Д. Бреславский, К.В. Аврамов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 55–59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85739 539.3 Исследованы геометрически нелинейные колебания тонкой прямоугольной неподвижно опертой пластины. Показано, что для хорошего приближения динамики пластины достаточно модели колебаний с двумя степенями свободы. Нелинейная динамика исследована с помощью нелинейных нормальных форм Каудерера–Розенберга. Исследован режим двухмодовых колебаний при отсутствии внутреннего резонанса между соответствующими частотами. Более того, с увеличением амплитуд колебаний связь между обобщенными координатами приобретает линейную форму. Дослiджено геометрично нелiнiйнi коливання тонкої прямокутної нерухомо опертої пластини. Показано, що для хорошого наближення динамiки пластини достатньо моделi коливань з двома ступенями вiльностi. Нелiнiйну динамiку дослiджено за допомогою нелiнiйних нормальних форм Каудерера–Розенберга. Виявлено двомодовi коливання за вiдсутностi внутрiшнього резонансу мiж вiдповiдними частотами. Бiльш того, зi збiльшенням амплiтуд коливань зв’язок мiж узагальненими координатами набуває лiнiйної форми. Free geometrically nonlinear vibrations of an immovably simply supported rectangular plate are studied. It is shown that the two-degrees-of-freedom model gives a good approximation of the solution. The nonlinear dynamics is studied with the help of Kauderer-Rosenberg nonlinear normal modes. Two-mode motions are found, although the condition of internal resonance is not satisfied. It is found that the dependence between generalized coordinates becomes linear for the vibration amplitude bigger than a certain threshold value. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании Нерезонансна взаємодiя двох мод коливань прямокутних пластин при їх геометрично нелiнiйному деформуваннi Nonresonant interaction of two modes of vibrations of plates under a geometrically nonlinear deformation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании |
| spellingShingle |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании Бреславский, И.Д. Аврамов, К.В. Механіка |
| title_short |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании |
| title_full |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании |
| title_fullStr |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании |
| title_full_unstemmed |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании |
| title_sort |
нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании |
| author |
Бреславский, И.Д. Аврамов, К.В. |
| author_facet |
Бреславский, И.Д. Аврамов, К.В. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нерезонансна взаємодiя двох мод коливань прямокутних пластин при їх геометрично нелiнiйному деформуваннi Nonresonant interaction of two modes of vibrations of plates under a geometrically nonlinear deformation |
| description |
Исследованы геометрически нелинейные колебания тонкой прямоугольной неподвижно
опертой пластины. Показано, что для хорошего приближения динамики пластины достаточно модели колебаний с двумя степенями свободы. Нелинейная динамика исследована с помощью нелинейных нормальных форм Каудерера–Розенберга. Исследован режим
двухмодовых колебаний при отсутствии внутреннего резонанса между соответствующими частотами. Более того, с увеличением амплитуд колебаний связь между обобщенными координатами приобретает линейную форму.
Дослiджено геометрично нелiнiйнi коливання тонкої прямокутної нерухомо опертої пластини. Показано, що для хорошого наближення динамiки пластини достатньо моделi коливань з двома ступенями вiльностi. Нелiнiйну динамiку дослiджено за допомогою нелiнiйних
нормальних форм Каудерера–Розенберга. Виявлено двомодовi коливання за вiдсутностi внутрiшнього резонансу мiж вiдповiдними частотами. Бiльш того, зi збiльшенням амплiтуд
коливань зв’язок мiж узагальненими координатами набуває лiнiйної форми.
Free geometrically nonlinear vibrations of an immovably simply supported rectangular plate are
studied. It is shown that the two-degrees-of-freedom model gives a good approximation of the solution. The nonlinear dynamics is studied with the help of Kauderer-Rosenberg nonlinear normal
modes. Two-mode motions are found, although the condition of internal resonance is not satisfied.
It is found that the dependence between generalized coordinates becomes linear for the vibration amplitude bigger than a certain threshold value.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85739 |
| citation_txt |
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании / И.Д. Бреславский, К.В. Аврамов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 55–59. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT breslavskiiid nerezonansnoevzaimodeistviedvuhmodkolebaniiprâmougolʹnyhplastinpriihgeometričeskinelineinomdeformirovanii AT avramovkv nerezonansnoevzaimodeistviedvuhmodkolebaniiprâmougolʹnyhplastinpriihgeometričeskinelineinomdeformirovanii AT breslavskiiid nerezonansnavzaêmodiâdvohmodkolivanʹprâmokutnihplastinpriíhgeometričnoneliniinomudeformuvanni AT avramovkv nerezonansnavzaêmodiâdvohmodkolivanʹprâmokutnihplastinpriíhgeometričnoneliniinomudeformuvanni AT breslavskiiid nonresonantinteractionoftwomodesofvibrationsofplatesunderageometricallynonlineardeformation AT avramovkv nonresonantinteractionoftwomodesofvibrationsofplatesunderageometricallynonlineardeformation |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:11Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:11Z |
| _version_ |
1850591720506392576 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2013
МЕХАНIКА
УДК 539.3
И.Д. Бреславский, К.В. Аврамов
Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний
прямоугольных пластин при их геометрически
нелинейном деформировании
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Е. Божко)
Исследованы геометрически нелинейные колебания тонкой прямоугольной неподвижно
опертой пластины. Показано, что для хорошего приближения динамики пластины дос-
таточно модели колебаний с двумя степенями свободы. Нелинейная динамика исследова-
на с помощью нелинейных нормальных форм Каудерера–Розенберга. Исследован режим
двухмодовых колебаний при отсутствии внутреннего резонанса между соответствую-
щими частотами. Более того, с увеличением амплитуд колебаний связь между обоб-
щенными координатами приобретает линейную форму.
Пластины являются одним из важнейших элементов машиностроительных, кораблестрои-
тельных и авиационных конструкций. Результаты исследований линейных колебаний плас-
тин представлены в работах [1, 2]. Динамика пластин при их геометрически нелинейном
деформировании рассмотрена в [3, 4]. В [5, 6] геометрически нелинейное деформирование
пластин исследуется методом конечных элементов. В работе [7] методы R-функций и мно-
гих масштабов применяются для анализа колебаний круглых пластин с надрезами.
Ниже рассматриваются нелинейные колебания тонкой, прямоугольной, неподвижно
опертой пластины. Обнаружен режим колебаний, который с ростом амплитуд превращает-
ся из одномодового в двухмодовый. Такая эволюция движений исследована с помощью
нелинейных нормальных форм (ННФ) Каудерера–Розенберга.
Исследуем свободные колебания тонкой прямоугольной пластины при ее геометричес-
ки нелинейном деформировании. Пластина занимает область Λ = {(x, y) ∈ [0, a] × [0, b]},
где x, y — прямоугольные координаты ее срединной плоскости. Кинетическую энергию K
и потенциальную энергию упругого деформирования Π пластины представим с помощью
соотношений фон Кармана так [4]:
Π =
1
2
0,5h∫
−0,5h
∫
Λ
(σ11ε
z
11 + σ22ε
z
22 + σ12ε
z
12) dxdydz, K =
ρh
2
∫
Λ
(ẇ2 + u̇2 + v̇2) dxdy, (1)
© И.Д. Бреславский, К.В. Аврамов, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 55
σ11 =
E
1− ν2
(εz11 + νεz22), σ22 =
E
1− ν2
(εz22 + νεz11), σ12 =
E
2(1 + ν)
εz12,
εz11= ux+ 0,5w2
x− zwxx, εz22= vy+ 0,5w2
y− zwyy, εz12= vx+ uy + wxwy− 2zwxy,
(2)
где wx = ∂w/∂x; h — толщина пластины; E, ν — модуль упругости и коэффициент Пуассона;
ρ — плотность материала пластины. Предполагается, что пластина неподвижно оперта по
всему контуру: w = wnn = u = v = 0; (x, y) ∈ ∂Λ, где ∂Λ — граница пластины; n — внешняя
нормаль к ∂Λ.
Перемещения срединной поверхности пластины разложим по собственным формам ли-
нейных колебаний. Исследуем свободные нелинейные колебания, которые при стремлении
амплитуды колебаний к нулю преобразуются в линейные колебания по первой собственной
форме. В этом случае при увеличении амплитуды нелинейные колебания происходят с пре-
обладающей первой собственной формой. В [4, с. 132] показано, что в пластине существуют
колебания только с нечетными n, m в разложении для w(x, y, t):
w(x, y, t) =
∑
n,m=0
w2n+1,2m+1(t) sin((2n + 1)πa−1x) sin((2m + 1)πb−1y). (3)
Тогда перемещения u(x, y, t); v(x, y, t) представляются так [4, с. 132]:
u(x, y, t) =
∑
n=1,m=0
u2n,2m+1(t) sin(2nπa
−1x) sin((2m+ 1)πb−1y),
v(x, y, t) =
∑
n=0,m=1
v2n+1,2m(t) sin((2n + 1)πa−1x) sin(2mπb−1y).
(4)
Из вида кинетической и потенциальной энергии (1) и ортогональности тригонометри-
ческих функций следуют разложения (3), (4). Этот анализ достаточно громоздок и здесь
не представлен. Соотношения (3), (4) введем в кинетическую и потенциальную энергии
и произведем необходимое интегрирование. Тогда потенциальная энергия является функ-
цией от W = (w1,1, w1,3, . . . , u2,1, u2,3, . . . , v1,2, v1,4, . . .), а кинетическая — функцией от Ẇ.
Колебания пластины опишем уравнениями Лагранжа, записанными с помощью К, П (1).
Для удобства записи все обобщенные координаты обозначим через ϕi; i = 1, . . . . Число
обобщенных координат в разложениях для u, v, w обозначим через Nu, Nv, Nw соответст-
венно. Поскольку собственные частоты колебаний в плоскости существенно выше частот
изгибных колебаний, то инерционными слагаемыми в плоскости пластины можно прене-
бречь [3, 4]. Тогда получаем систему Nw нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений и систему Nu + Nv алгебраических уравнений:
ϕ̈k +Ω2
kϕk +
N∑
i=Nw+1
Nw∑
j=1
υkijϕiϕj +
Nw∑
i=1
Nw∑
j=i
Nw∑
l=j
υkijlϕiϕjϕl = 0; k = 1, . . . , Nw, (5)
N∑
i=Nw+1
υ̃kiϕi +
Nw∑
i=1
Nw∑
j=i
υ̃kijϕiϕj = 0, k = Nw + 1, . . . , N, (6)
где N = Nw +Nu + Nv, Ωk — собственные частоты. Из системы (6) выразим ϕi, i = Nw +
+ 1, . . . , N , через ϕi, i = 1, . . . , Nw. Эти выражения введем в (5) и перейдем к следующим
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
безразмерным переменным: τ = Ω1t; ξi(τ) = ϕi(t)h
−1; i = 1, . . . , Nw. Тогда система (5)
примет вид
ξ̈k = −Ω2
kξk −
Nw∑
i=1
Nw∑
j=i
Nw∑
l=j
ϑkijlξiξjξl = fk(ξ1, . . . , ξNw
) =
∂Π
∂ξk
, k = 1, . . . , Nw, (7)
где Ωk = ΩkΩ
−1
1 — безразмерные собственные частоты. При исследовании свободных ко-
лебаний к системе (7) добавляются начальные условия, которые соответствуют пространс-
твенному распределению начальных отклонений.
Из уравнений (6) следует, что обобщенные координаты продольных перемещений u
и v зависят от квадратов обобщенных координат поперечных перемещений пластинки,
т. е. (u, v) = O(w2). Поэтому третье слагаемое уравнения (5) после подстановки в него зави-
симостей ϕi, i = Nw+1, . . . , N от ϕj , j = 1, . . . , Nw, превращается в выражение, содержащее
только кубические слагаемые от ϕj ; j = 1, . . . , Nw.
Исследуем ННФ Каудерера–Розенберга [8] для системы (7). Движения системы рас-
сматриваются в конфигурационном пространстве (ξ1, . . . , ξNw
). Обобщенную координату ξ1
выберем в качестве независимой и ННФ представим так: ξi = ξi(ξ1), i = 2, . . . , Nw. Тогда
уравнения движения (7) в конфигурационном пространстве представляются:
ξ′′k(ξ1)
2(H −Π)
1 +
Nw∑
k=2
ξ′k
2
(ξ1)
+ ξ′k(ξ1)f1[ξ1, ξ2(ξ1), . . . , ξNw
(ξ1)] =
= fk[ξ1, ξ2(ξ1), . . . , ξNw
(ξ1)], k = 2, . . . , Nw, (8)
где H — величина полной энергии системы. Амплитуда колебаний Ξ определяется из не-
линейного алгебраического уравнения Π[Ξ, ξ2(Ξ), . . . , ξNw
(Ξ)] = H. Уравнение (8) дополним
граничным условием трансверсальности [8]
ξ′k(Ξ1)f1[Ξ1, ξ2(Ξ1), . . . , ξNw
(Ξ1)] = fk[Ξ1, ξ2(Ξ1), . . . , ξNw
(Ξ1)], k = 2, . . . , Nw. (9)
ННФ представим в виде укороченного ряда Тейлора
ξi(ξ1) = α1,iξ1 + α3,iξ
3
1 + · · · , i = 2, . . . , Nw, (10)
где α1,i, α3,i, . . . — подлежащие определению коэффициенты. Укороченный ряд (10) введем
в (8) и приравняем коэффициенты при ξ1, ξ
3
1 ; . . . . В результате получим систему линей-
ных алгебраических уравнений относительно коэффициентов (10) α1,i, α3,i, . . . Эта система
уравнений дополняется одним нелинейным алгебраическим уравнением, которое получае-
тся подстановкой укороченного ряда (10) в (9). В результате решения полученной системы
алгебраических уравнений находим ННФ в виде (10). После того как ННФ (10) получена,
определим движения на этой форме.
Исследуем свободные нелинейные колебания алюминиевой пластины с параметрами
из [4]: a = 0,515 м, b = 0,184 м, h = 0,0003 м, E = 69 · 109 Па, ρ = 2700 кг/м3, ν = 0,33.
В разложениях (3) и (4) учтем обобщенные координаты w1,1, w3,1, w5,1, w7,1, w1,3, w3,3 и ui,j,
vj,i, i = 2, 4, 6, 8, j = 1, 3, 5, 7 соответственно. Параметры системы (7) с шестью степенями
свободы были получены аналитически. Исследовано влияние высоких форм на колебания
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 57
Рис. 1. Скелетные кривые колебаний
Рис. 2. Зависимости коэффициентов нелинейной нормальной формы от амплитуд колебаний
с преобладающей первой собственной формой. Установлено, что существенное влияние ока-
зывает только обобщенная координата ξ2, отвечающая второй собственной форме w3,1. По-
этому в дальнейшем будем исследовать модель с двумя степенями свободы. Решения этой
системы найдем методом гармонического баланса. Из анализа сходимости результатов ме-
тода гармонического баланса следует, что для хорошего приближения решения системы
(7) достаточно двух гармоник. Результаты расчетов свободных колебаний представлены на
скелетных кривых (рис. 1, а, б ). На этих рисунках оси ординат демонстрируют размахи ко-
лебаний Ri = 0,5(max ξi(τ)−min ξi(τ)). Из рис. 1 следует, что, начиная с некоторых частот
свободных колебаний, вклад ξ2 в динамический прогиб пластины становится существен-
ным, т. е. колебания превращаются в двухмодовые. Отметим, что на динамику системы (7)
не влияет внутренний резонанс 1 : 2, так как в этой системе присутствует только куби-
ческая нелинейность. В работе [9] показано, что существуют сильно нелинейные системы
с собственными частотами, не удовлетворяющие условиям внутреннего резонанса, в кото-
рых наблюдаются несколько активных координат с соизмеримыми амплитудами колебаний.
Система (7) принадлежит именно такому классу. Для более детального изучения нерезо-
нансных колебаний с несколькими активными обобщенными координатами воспользуемся
ННФ Каудерера–Розенберга. На рис. 2 приведены зависимости коэффициентов (10) от ам-
плитуды ННФ, приведенных на рис. 1 штрихпунктирной линией.
Проводилось прямое численное интегрирование системы (7). Результаты численного ин-
тегрирования показаны на рис. 1 точками. Как можно видеть, результаты расчетов ННФ
Каудерера–Розенберга и данные, полученные прямым численным интегрированием систе-
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
мы (7), так близки, что неразличимы в масштабе рисунка. Эти же результаты немного
разнятся для координаты ξ2.
Таким образом, в работе исследован эффект нерезонансного многомодового взаимо-
действия колебаний пластин при их геометрически нелинейном деформировании. С по-
мощью ННФ Каудерера–Розенберга показано, что зависимость между обобщенными коор-
динатами в конфигурационном пространстве начиная с некоторого уровня амплитуд ста-
новится линейной.
1. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. – Москва: Машиностроение, 1970. – 740 с.
2. Leissa A.W. Vibrations of plates. – Washington, DC: US Government Printing Office, 1969. – 353 p.
3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – Москва: Наука, 1972. – 432 с.
4. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. – New York: Cambridge Univ. Press,
2008. – 374 p.
5. Ribeiro P., Petyt M. Geometrical non-linear, steady state, forced, periodic vibration of plates, part II:
Stability study and analysis of multi-modal response // J. of Sound and Vibration. – 1999. – 226, No 5. –
P. 985–1010.
6. Ribeiro P., Petyt M. Non-linear free vibration of isotropic plates with internal resonance // Intern. J. of
Non-Linear Mechanics. – 2000. – 35. – P. 263–278.
7. Аврамов К.В. Нелинейное взаимодействие сопряженных форм колебаний в круглых пластинах с
надрезами // Доп. НАН України. – 2009. – № 7. – С. 49–55.
8. Аврамов К.В., Михлин Ю.В. Нелинейная динамика упругих систем. – Москва; Ижевск: НИЦ “Ре-
гулярная и хаотическая динамика”, 2010. – 704 с.
9. Peeters M., Viguie R., Serandour G., Kerschen G., Golinval J.-C. Nonlinear normal modes, Part II: Toward
a practical computation using numerical continuation techniques // Mech. Systems and Signal Processing. –
2009. – 23. – P. 195–216.
Поступило в редакцию 11.08.2011Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков После доработки — 22.10.2012
I.Д. Бреславський, К. В. Аврамов
Нерезонансна взаємодiя двох мод коливань прямокутних пластин
при їх геометрично нелiнiйному деформуваннi
Дослiджено геометрично нелiнiйнi коливання тонкої прямокутної нерухомо опертої плас-
тини. Показано, що для хорошого наближення динамiки пластини достатньо моделi коли-
вань з двома ступенями вiльностi. Нелiнiйну динамiку дослiджено за допомогою нелiнiйних
нормальних форм Каудерера–Розенберга. Виявлено двомодовi коливання за вiдсутностi вну-
трiшнього резонансу мiж вiдповiдними частотами. Бiльш того, зi збiльшенням амплiтуд
коливань зв’язок мiж узагальненими координатами набуває лiнiйної форми.
I. D. Breslavsky, K. V. Avramov
Nonresonant interaction of two modes of vibrations of plates under
a geometrically nonlinear deformation
Free geometrically nonlinear vibrations of an immovably simply supported rectangular plate are
studied. It is shown that the two-degrees-of-freedom model gives a good approximation of the solu-
tion. The nonlinear dynamics is studied with the help of Kauderer-Rosenberg nonlinear normal
modes. Two-mode motions are found, although the condition of internal resonance is not satisfied.
It is found that the dependence between generalized coordinates becomes linear for the vibration
amplitude bigger than a certain threshold value.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 59
|