Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости
Методами теории возмущений построены новые интегральные уравнения для возвышений свободной поверхности, которые описывают распространение широкого класса установившихся и нестационарных гравитационных волн в идеальной жидкости. В работе не использовались дополнительные предположения о степени малост...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85741 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости / А.В. Кистович, В.И. Никишов, Ю.Д. Чашечкин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 66–72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860120089706102784 |
|---|---|
| author | Кистович, А.В. Никишов, В.И. Чашечкин, Ю.Д. |
| author_facet | Кистович, А.В. Никишов, В.И. Чашечкин, Ю.Д. |
| citation_txt | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости / А.В. Кистович, В.И. Никишов, Ю.Д. Чашечкин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 66–72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Методами теории возмущений построены новые интегральные уравнения для возвышений свободной поверхности, которые описывают распространение широкого класса установившихся и нестационарных гравитационных волн в идеальной жидкости. В работе не использовались дополнительные предположения о степени малости величины
возвышения свободной поверхности по сравнению с характерным пространственным
масштабом. В отличие от уравнения Кортевега–де Фриза, полученные уравнения описывают волны, бегущие в обоих направлениях оси абсцисс. В предельных случаях полученные уравнения описывают нелинейные периодические волны и известные типы уединенных волн. Показано, что при малых амплитудах уравнения переходят в известные уравнения линейной теории волн.
Методами теорiї збурень побудовано новi iнтегральнi рiвняння для пiдняття вiльної поверхнi, що описують поширення широкого класу усталених i нестацiонарних гравiтацiйних хвиль в iдеальнiй рiдинi. В роботi не використано припущення щодо ступеня малостi
величини пiдняття вiльної поверхнi порiвняно з характерним просторовим масштабом.
На вiдмiну вiд рiвняння Кортевега–де Фриза, отриманi рiвняння описують хвилi, що рухаються в обох напрямках вздовж осi абсцис. У граничних випадках одержанi рiвняння
описують нелiнiйнi перiодичнi хвилi та вiдомi типи поодиноких хвиль. Показано, що для
малої амплiтуди рiвняння переходять у вiдомi рiвняння теорiї лiнiйних хвиль.
New integral equations for the elevation of a free surface are developed, basing on the methods
of perturbation theory. They describe the propagation of a wide range of steady and unsteady
gravity waves in ideal fluid. No additional assumptions about the order of smallness of the free
surface elevation in comparison with a characteristic spatial scale are used. In distinction from the
Korteweg–de Vries equation, the given equations describe waves that propagate in both directions of
the abscissa axis. The presented equations describe nonlinear periodic waves and the known types
of solitary waves in the limiting cases. It is shown that the equations are transformed in the wellknown equations of linear wave theory for small amplitudes.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:38:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 551.46
А.В. Кистович, член-корреспондент НАН Украины В. И. Никишов,
Ю.Д. Чашечкин
Интегральные модели нелинейных поверхностных волн
в идеальной жидкости
Методами теории возмущений построены новые интегральные уравнения для возвыше-
ний свободной поверхности, которые описывают распространение широкого класса уста-
новившихся и нестационарных гравитационных волн в идеальной жидкости. В рабо-
те не использовались дополнительные предположения о степени малости величины
возвышения свободной поверхности по сравнению с характерным пространственным
масштабом. В отличие от уравнения Кортевега–де Фриза, полученные уравнения опи-
сывают волны, бегущие в обоих направлениях оси абсцисс. В предельных случаях полу-
ченные уравнения описывают нелинейные периодические волны и известные типы уеди-
ненных волн. Показано, что при малых амплитудах уравнения переходят в известные
уравнения линейной теории волн.
Исследования гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости занимают особое
место в механике, математике и физике. Новые теоретические результаты стимулируют
развитие техники измерений, методов обработки и представления данных. Прецизионные
эксперименты позволяют найти границы применимости моделей, играющих важную роль
в механике, физической океанографии, гидрологии, экологии, обеспечении безопасности
мореплавания в открытом океане и в прибрежных районах. На начальном этапе изучалось
распространение периодических возмущений, были введены понятия групповых и фазовых
скоростей, рассчитаны свойства линейных и некоторых типов нелинейных волн [1]. Начиная
с середины XIX века стали создаваться модели, учитывающие влияние нелинейности и дис-
персии, описывающие распространение не только периодических, но и уединенных волн.
Разрушительное действие волн, представляющее опасность даже для новейших судов,
буровых платформ, морских и береговых сооружений, стимулирует продолжение поиска
условий формирования возмущений аномально большой амплитуды и развитие общей те-
ории волн. При этом, наряду с исследованием решений различных модельных уравнений
(Стокса, Кортевега–де Фриза, Шредингера) изучаются общие свойства систем определяю-
щих уравнений, представленных и в дифференциальной, и в интегральной форме. Число
публикаций по теме, включающих оригинальные исследования, обзорные статьи [2] и мо-
нографии [1, 3], непрерывно увеличивается. Постановки задач усложняются и все более
полно соответствуют реальным условиям. В частности, изучается распространение волн
в слое жидкости не только над ровным, но над деформируемым [3] и подвижным дном [4].
Еще в прошлом веке наряду с локальным (дифференциальным) стал развиваться и нело-
кальный (интегральный) подход к описанию волновых процессов. Интегральное уравнение,
выведенное А.И. Некрасовым еще в 1921 г. в предположении о симметричности формы вол-
ны [5], изучалось в ряде глубоких исследований и было положено в основу доказательства
существования установившихся нелинейных волн [6].
Асимптотическая редукция системы уравнений для трехмерных волн на неровном дне,
включающей интегральное уравнение для возвышения и уравнение для потенциала скорос-
© А.В. Кистович, В.И. Никишов, Ю. Д. Чашечкин, 2013
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
ти на поверхности жидкости, к уравнениям Буссинеска, Бенне–Люка и нелинейному урав-
нению Шредингера была выполнена в [7]. Отдельное нелинейное уравнение получено для
бегущих нестационарных волн [8]. Интерес к развитию нелокального описания обусловлен
поиском форм возмущений [9], соответствующих реальной картине взволнованной морской
поверхности, отличающейся от вида модельных функций теории линейных и нелинейных
волн [6–8].
Практический интерес представляет определение условий формирования и предельных
форм разрушительных волн большой амплитуды (rogue или freak waves в англоязычной
литературе) [9].
В данной работе представлены новые интегральные уравнения для возвышений свобод-
ной поверхности тяжелой жидкости, которые описывают распространение широкого класса
установившихся и нестационарных волн. Рассматривается распространение двухмерных по-
тенциальных волн на поверхности слоя однородной идеальной несжимаемой жидкости по-
стоянной глубины h в однородном поле силы тяжести с ускорением свободного падения g.
Волны описываются уравнениями Эйлера и неразрывности со стандартными граничными
условиями на взволнованной поверхности и плоском дне [1]
u′t + uu′x + wu′z = −p′x − gζ ′x, w′
t + uw′
x + ww′
z = −p′z,
u′x + w′
z = 0, u′z − w′
x = 0,
p|z=ζ = 0, w − uζ ′x|z=ζ = ζ ′t, w|z=−h = 0.
(1)
Здесь x, z, t — декартовы координаты и время; vx = u, vz = w — компоненты безвихревого
поля скорости жидкости v; функция ζ(x, t) задает форму свободной поверхности; p — по-
рожденное волной возмущение давления, нормированное на плотность жидкости. Штрихом
обозначены производные по переменной, указанной нижним индексом.
Введение потенциала φ (u = φ′x, w = φ′z) позволяет проинтегрировать уравнения Эйлера
p = −φ′t −
φ′2x + φ′2z
2
− gζ (2)
и редуцировать исходную задачу к виду
ϕ′′
xx + ϕ′′
zz = 0,
ϕ′
t +
ϕ′2
x + ϕ′2
z
2
∣
∣
∣
∣
z=ζ
= −gζ, ϕ′
z − ϕ′
xζ
′
x
∣
∣
z=ζ
= −ζ ′t, ϕ′
z
∣
∣
z=−h
= 0.
(3)
В соотношении (2) постоянная интегрирования положена равной нулю, поскольку при
отсутствии волнения (ζ = 0, φ = 0) возмущения давления за счет поверхностной волны
также должны быть равны нулю.
Потенциал φ вблизи поверхности z = ζ(x, t), следуя подходу [10], представляется в виде
разложения
ϕ = Φ0(x, t) + Φ1(x, t)(z − ζ) + Φ2(x, t)(z − ζ)2 +Φ3(x, t)(z − ζ)3 + · · · , (4)
подстановка которого в уравнение Лапласа системы (3) приводит к последовательности
соотношений
Φn =
1
n(n− 1)
(n− 1)Φn−1ζ
′′
xx + 2(n − 1)Φ′
n−1x
ζ ′x − Φ′′
n−2xx
1 + ζ ′2x
, n > 2. (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 67
Подстановка разложения (4) в кинематическое граничное условие системы (3) на свободной
поверхности порождает связь
Φ1 =
Φ′
0xζ
′
x + ζ ′t
1 + ζ ′2x
, (6)
а из динамического граничного условия, с учетом (6), получается уравнение для функ-
ции Φ0
∂Φ0
∂t
(1 + ζ ′
2
x) +
1
2
(
∂Φ0
∂x
)2
− ∂Φ0
∂x
ζ ′xζ
′
t −
1
2
ζ ′
2
t + gζ(1 + ζ ′
2
x) = 0. (7)
Выполнение всех промежуточных преобразований приводит к интегральному уравнению
Φ0(x, t) =
1
π
∞
∫
0
ch(k(ζ(x, t) + h))
ch(kh)
+∞
∫
−∞
F (x′, t) cos(k(x− x′)) dx′dk, (8)
где F (x, t) =
∞
∑
n=0
(−ζ)nΦn.
Соотношения (5)–(8) описывают распространение потенциальных поверхностных волн.
Теория двухмерных течений несжимаемой жидкости допускает альтернативный подход,
основанный на введении функции тока ψ, задающей компоненты скорости соотношениями
u = ψ′
z, w = −ψ′
x. Использование разложения
ψ = Ψ0(x, t) + Ψ1(x, t)(z − ζ) + Ψ2(x, t)(z − ζ)2 +Ψ3(x, t)(z − ζ)3 + · · · (9)
для функции тока вблизи свободной поверхности и применение представленной выше ме-
тодики приводит к системе соотношений
Ψn =
1
n(n− 1)
(n− 1)Ψn−1ζ
′′
xx + 2(n − 1)Ψ′
n−1x
ζ ′x −Ψ′′
n−2xx
1 + ζ ′2x
, n > 2,
∂Ψ0
∂x
+ ζ ′t = 0,
∂
∂t
[Ψ1(1 + ζ ′
2
x)] +
1
2
∂
∂x
[Ψ2
1(1 + ζ ′
2
x)] + ζ ′′ttζ
′
x + gζ ′x = 0,
Ψ0 =
1
π
∞
∫
0
sh(k(ζ(x, t) + h))
sh(kh)
+∞
∫
−∞
F (x′, t) cos(k(x− x′)) dx′dk,
(10)
где F (x, t) =
∞
∑
n=0
(−ζ)nΨn.
Следует особо отметить, что при выводе соотношений (5)–(8) и (10) не делается никаких
дополнительных предположений о малости возвышения ζ по сравнению с характерным
пространственным масштабом (например, с длиной волны). Единственное ограничение —
глубина впадины (модуль отрицательного отклонения свободной поверхности) не может
превышать глубину жидкости h.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
Для инфинитезимальных волн, когда для всех k 6= ∞ выполняется неравенство |kζ| ≪ 1,
допустимо разложение
ch(k(ζ + h))
ch(kh)
≈ 1 + kζ(x, t) th(kh) + o(kζ(x, t)). (11)
Подстановка представления (11) в интегральное уравнение (8), введение спектрального
представления для поверхностного волнения
ζ(x, t) =
+∞
∫
−∞
(A(k, t) cos(kx) +B(k, t) sin(kx)) dk (12)
приводит к уравнению для спектральных амплитуд
F ′′
tt + gk th(kh)F = 0, (13)
где F — это A или B.
Подстановка решения (13) в форме плоских волн с частотой ω и волновым числом k
формирует известное дисперсионное уравнение ω2 = gk th(kh) для инфинитезимальных
гармонических волн [1].
Для стационарного поверхностного волнения (ζ ′′tt = c2ζ ′′xx, где c — скорость распростра-
нения) из (12), (13) следует известный результат [1]: волна имеет синусоидальную форму
ζ(x, t) = a sin(k1(x − ct) + b) (a, b, k1 — постоянные), а ее скорость определяется выраже-
нием c2 = g th(k1h)/k1.
Если возвышение поверхности представляет собой длинноволновой пакет (т. е. носители
спектральных амплитуд A и B ограничены областью |kh| ≪ 1), соотношение (8) приобре-
тает вид
∞
∫
0
+∞
∫
−∞
(
ζ ′′tt − gh
∂2ζ
∂x′2
)
cos(k(x− x′)) dx′dk ≈ 0,
из которого следует, что возвышение поверхности удовлетворяет уравнению
ζ ′′tt − ghζ ′′xx = 0, (14)
т. е. длинноволновой пакет распространяется со скоростью c =
√
gh, практически сохраняя
свою форму.
Волны конечной амплитуды a с характерным продольным масштабом L, для которых
справедливы отношения a ≪ h ≪ L, характеризуются двумя малыми параметрами: кру-
тизной ε = a/h и относительной глубиной δ = h/L. Дальнейшее исследование проводится
в безразмерных переменных x′, t′, определяемых соотношениями
x = Lx′, t =
L
c
t′, ζ = aZ(x′, t′), max |Z| = 1,
где c — характерный масштаб скорости распространения поверхностных возмущений. Вол-
новое число также нормируется на масштаб L: (k = k′/L).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 69
Использование малости параметров ε и δ позволяет при k′δ 6 1 свести систему (5)–(8),
с точностью до членов третьего порядка малости по ε и δ, к уравнению
σS′′
xx − S′′
tt +
δ2σ
3
SIV
xxxx + εσ(S′
xS
′′
xt + S′
tS
′′
xx) +
εσ2
2
∫
(S′2
x)
′′
xxdt ≈ 0, (15)
где Z = S′
t, σ = gh/c2, которое в случае стационарных волн, когда S(x, t) = S(x − t),
ζ(x, t) = ζ(x − t), преобразуется к виду
δ2σ
3
Z ′′ + (σ − 1)Z + εσ
(
1 +
σ
2
)
Z2 = 0. (16)
Нетривиальное решение уравнения (16) описывает семейство кноидальных волн
Z(y) = 1− 3αm2 2
sn(y,m), α =
(
1 +m2 ±
√
1 +m4 −m2
)
−1
, y = x− t, (17)
где sn(y,m) — эллиптическая функция Якоби [11]
sn(y,m) = sinϕ, y =
ϕ
∫
0
dθ
√
1−m2 sin2 θ
, m ∈ [0, 1].
Продольные масштабы этих волн L(m) ≈ hε−1/2/δ0(m) и скорость распространения c2(m) =
= gh/(1+εσ1) (δ0 = 3
√
α/2, σ1 = ∓3α
√
1 +m4 −m2) зависят от параметра m. В предельном
случае m = 1 решения (17) дают уединенную волну Рассела [1].
В общем случае дифференцирование уравнения (15) по времени позволяет записать его
в форме
σZ ′′
xx − Z ′′
tt+
δ2σ
3
ZIV
xxxx+εσ
[(
Z ′
x
∫
Z ′
xdt+Z
∫
Z ′′
xxdt
)
′
t
+
σ
2
((
∫
Z ′
xdt
)2)′′
xx
]
≈ 0. (18)
Вычисления показали, что решение вида Z(x− t) порождает функцию Z(x+ t), также
удовлетворяет уравнению (18), которое, таким образом, описывает волны, бегущие в обоих
направлениях (в отличие от уравнения КдФ [12]). Следовательно, здесь не возникает искус-
ственная анизотропия пространства, которая наблюдается в уравнениях КдФ и в системах
приближенных интегральных уравнений [7, 8]. При этом исходным системам уравнений (1),
как и в [7, 8], анизотропия не свойственна, она возникает в результате применения к ним
теории возмущений, развитой в [13]. Следует также отметить, что анизотропия КдФ-урав-
нения порождается особенностями постановки задачи, в которой изучалось распростране-
ние малых медленных длинномасштабных возмущений потока, текущего в положительном
направлении горизонтальной оси со скоростью u = u0 [12].
При отказе от малости возмущений использование развиваемого подхода, представлен-
ного в настоящей работе, приводит к возникновению пары КдФ-уравнений
Z ′
t ±
(
µ− σ
µ
)
Z ′
x ∓
εσ
µ
(
1 +
σ
2µ2
)
(Z2)′x ∓
δ2σ
3µ
Z ′′′
xxx = 0, (19)
где µ = u0/c; c — характерный масштаб скорости распространения поверхностных возму-
щений. Здесь для волны, бегущей в положительном направлении оси x, берутся верхние
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
знаки, для противоположного направления — нижние. При этом для второго уравнения
(19) возмущение исходного поля скорости определяется величиной −2u0 с добавлением ма-
лой поправки по сравнению с u0. Парные уравнения (19) взаимно переходят друг в дру-
га при замене µ ↔ −µ (т. е. при смене направления исходного течения), что устраняет
искусственную пространственную анизотропию.
Поскольку интегро-дифференциальное уравнение (18), в отличие от (19) и уравнения
КдФ [12], не вырождается в предельном случае u0 → 0, его анализ представляет самостоя-
тельный интерес при изучении уединенных волн большой амплитуды.
Работа выполнена при финансовой поддержке НАН Украины и РФФИ (грант 18-01-12 (У),
12-05-90417 (Р)).
1. Lamb H. Hydrodynamics. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1975. – 752 p.
2. Craig W., Groves M.D., Schneider G., Toland J. F. Recent developments in the mathematical theory of
water waves – introduction // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. – 2002. – 360 A. – P. 2107–2109.
3. Dingemans M.W. Water wave propagation over uneven bottoms. Part 1. Linear wave propagation. Part
2. Non-linear wave propagation // Advanced Series on Ocean Engineering, Vol. 13. – Singapore: World
Scientific, 1997. – 700 p.
4. Селезов И.Т. Эволюционное уравнение распространения поверхностных гравитационных волн при
наличии донного возбуждения // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 2008. – 51, № 3. – С. 99–104.
5. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. – Москва: Наука, 1977. – 815 с.
6. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. – Москва: Мир, 1964. – 656 с.
7. Ablowitz M. J., Fokas A. S., Musslimani Z. H. On a new non-local theory of water waves // J. Fluid Mech. –
2006. – 562. – P. 313–343.
8. Byatt-Smith J.G. B. An integral equation for unsteady surface waves and a comment on the Boussinesq
equation // Ibid. – 1971. – 49, Pt. 4. – P. 625–633.
9. Muller P., Garrett C., Osborne A. Rogue waves // Oceanography. – 2005. – 18, No 3. – P. 66–75.
10. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Интегральная модель распространения установившихся потенци-
альных волн в жидкости // Докл. АН. – 2008. – 241, № 3. – С. 335–340.
11. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва:
ГИФМЛ, 1962. – 1100 с.
12. Drazin P.G., Johnson R. S. Solitons: an introduction. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 232 p.
13. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. – Моск-
ва: Мир, 1988. – 694 с.
Поступило в редакцию 07.12.2012Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
А.В. Кiстович, член-кореспондент НАН України В. I. Нiкiшов,
Ю.Д. Чашечкiн
Iнтегральнi моделi нелiнiйних поверхневих хвиль в iдеальнiй рiдинi
Методами теорiї збурень побудовано новi iнтегральнi рiвняння для пiдняття вiльної по-
верхнi, що описують поширення широкого класу усталених i нестацiонарних гравiтацiй-
них хвиль в iдеальнiй рiдинi. В роботi не використано припущення щодо ступеня малостi
величини пiдняття вiльної поверхнi порiвняно з характерним просторовим масштабом.
На вiдмiну вiд рiвняння Кортевега–де Фриза, отриманi рiвняння описують хвилi, що ру-
хаються в обох напрямках вздовж осi абсцис. У граничних випадках одержанi рiвняння
описують нелiнiйнi перiодичнi хвилi та вiдомi типи поодиноких хвиль. Показано, що для
малої амплiтуди рiвняння переходять у вiдомi рiвняння теорiї лiнiйних хвиль.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №5 71
A.V. Kistovich, Corresponding Member of the NAS of Ukraine V. I. Nikishov,
Y.D. Chashechkin
The integral models of nonlinear surface waves in ideal fluid
New integral equations for the elevation of a free surface are developed, basing on the methods
of perturbation theory. They describe the propagation of a wide range of steady and unsteady
gravity waves in ideal fluid. No additional assumptions about the order of smallness of the free
surface elevation in comparison with a characteristic spatial scale are used. In distinction from the
Korteweg–de Vries equation, the given equations describe waves that propagate in both directions of
the abscissa axis. The presented equations describe nonlinear periodic waves and the known types
of solitary waves in the limiting cases. It is shown that the equations are transformed in the well-
known equations of linear wave theory for small amplitudes.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85741 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:38:29Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кистович, А.В. Никишов, В.И. Чашечкин, Ю.Д. 2015-08-14T18:03:54Z 2015-08-14T18:03:54Z 2013 Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости / А.В. Кистович, В.И. Никишов, Ю.Д. Чашечкин // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 5. — С. 66–72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85741 551.46 Методами теории возмущений построены новые интегральные уравнения для возвышений свободной поверхности, которые описывают распространение широкого класса установившихся и нестационарных гравитационных волн в идеальной жидкости. В работе не использовались дополнительные предположения о степени малости величины
 возвышения свободной поверхности по сравнению с характерным пространственным
 масштабом. В отличие от уравнения Кортевега–де Фриза, полученные уравнения описывают волны, бегущие в обоих направлениях оси абсцисс. В предельных случаях полученные уравнения описывают нелинейные периодические волны и известные типы уединенных волн. Показано, что при малых амплитудах уравнения переходят в известные уравнения линейной теории волн. Методами теорiї збурень побудовано новi iнтегральнi рiвняння для пiдняття вiльної поверхнi, що описують поширення широкого класу усталених i нестацiонарних гравiтацiйних хвиль в iдеальнiй рiдинi. В роботi не використано припущення щодо ступеня малостi
 величини пiдняття вiльної поверхнi порiвняно з характерним просторовим масштабом.
 На вiдмiну вiд рiвняння Кортевега–де Фриза, отриманi рiвняння описують хвилi, що рухаються в обох напрямках вздовж осi абсцис. У граничних випадках одержанi рiвняння
 описують нелiнiйнi перiодичнi хвилi та вiдомi типи поодиноких хвиль. Показано, що для
 малої амплiтуди рiвняння переходять у вiдомi рiвняння теорiї лiнiйних хвиль. New integral equations for the elevation of a free surface are developed, basing on the methods
 of perturbation theory. They describe the propagation of a wide range of steady and unsteady
 gravity waves in ideal fluid. No additional assumptions about the order of smallness of the free
 surface elevation in comparison with a characteristic spatial scale are used. In distinction from the
 Korteweg–de Vries equation, the given equations describe waves that propagate in both directions of
 the abscissa axis. The presented equations describe nonlinear periodic waves and the known types
 of solitary waves in the limiting cases. It is shown that the equations are transformed in the wellknown equations of linear wave theory for small amplitudes. Работа выполнена при финансовой поддержке НАН Украины и РФФИ (грант 18-01-12 (У), 12-05-90417 (Р)). ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости Iнтегральнi моделi нелiнiйних поверхневих хвиль в iдеальнiй рiдинi The integral models of nonlinear surface waves in ideal fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости Кистович, А.В. Никишов, В.И. Чашечкин, Ю.Д. Механіка |
| title | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости |
| title_alt | Iнтегральнi моделi нелiнiйних поверхневих хвиль в iдеальнiй рiдинi The integral models of nonlinear surface waves in ideal fluid |
| title_full | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости |
| title_fullStr | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости |
| title_full_unstemmed | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости |
| title_short | Интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости |
| title_sort | интегральные модели нелинейных поверхностных волн в идеальной жидкости |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85741 |
| work_keys_str_mv | AT kistovičav integralʹnyemodelinelineinyhpoverhnostnyhvolnvidealʹnoižidkosti AT nikišovvi integralʹnyemodelinelineinyhpoverhnostnyhvolnvidealʹnoižidkosti AT čašečkinûd integralʹnyemodelinelineinyhpoverhnostnyhvolnvidealʹnoižidkosti AT kistovičav integralʹnimodelineliniinihpoverhnevihhvilʹvidealʹniiridini AT nikišovvi integralʹnimodelineliniinihpoverhnevihhvilʹvidealʹniiridini AT čašečkinûd integralʹnimodelineliniinihpoverhnevihhvilʹvidealʹniiridini AT kistovičav theintegralmodelsofnonlinearsurfacewavesinidealfluid AT nikišovvi theintegralmodelsofnonlinearsurfacewavesinidealfluid AT čašečkinûd theintegralmodelsofnonlinearsurfacewavesinidealfluid |