Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді
Одержано точний розв’язок задачi Неймана про розподiл скалярного потенцiалу в зрiзаному порожнинному елiпсоїдi. Доведено регулярнiсть нескiнченної системи алгебраїчних рiвнянь, що виникають внаслiдок задоволення граничних умов. Дослiджено властивостi загального розв’язку i наведено рекомендацiї що...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85764 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді / В.І. Скрипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 23–28. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85764 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Скрипка, В.І. 2015-08-19T11:20:22Z 2015-08-19T11:20:22Z 2013 Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді / В.І. Скрипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 23–28. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85764 517.95 Одержано точний розв’язок задачi Неймана про розподiл скалярного потенцiалу в зрiзаному порожнинному елiпсоїдi. Доведено регулярнiсть нескiнченної системи алгебраїчних рiвнянь, що виникають внаслiдок задоволення граничних умов. Дослiджено властивостi загального розв’язку i наведено рекомендацiї щодо його коректної числової реалiзацiї. Получено точное решение задачи Неймана о распределении скалярного потенциала в усеченном полом эллипсоиде. Доказана регулярность бесконечной системы алгебраических уравнений, возникающих вследствие удовлетворения граничных условий. Исследованы свойства общего решения и даны рекомендации относительно его корректной числовой реализации. The exact solution of the Neumann problem of the distribution of the scalar potential in a truncated hollow ellipsoid is obtained. The regularity of the infinite system of algebraic equations arising from the fulfillment of the boundary conditions is proved. The properties of the general solution are studied, and some recommendations on its correct numerical implementation are given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді Задача Неймана для уравнения Лапласа в усеченном полом эллипсоиде The Neumann problem for the Laplace equation in a truncated hollow ellipsoid Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді |
| spellingShingle |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді Скрипка, В.І. Математика |
| title_short |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді |
| title_full |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді |
| title_fullStr |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді |
| title_full_unstemmed |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді |
| title_sort |
задача неймана для рівняння лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді |
| author |
Скрипка, В.І. |
| author_facet |
Скрипка, В.І. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задача Неймана для уравнения Лапласа в усеченном полом эллипсоиде The Neumann problem for the Laplace equation in a truncated hollow ellipsoid |
| description |
Одержано точний розв’язок задачi Неймана про розподiл скалярного потенцiалу в зрiзаному порожнинному елiпсоїдi. Доведено регулярнiсть нескiнченної системи алгебраїчних
рiвнянь, що виникають внаслiдок задоволення граничних умов. Дослiджено властивостi
загального розв’язку i наведено рекомендацiї щодо його коректної числової реалiзацiї.
Получено точное решение задачи Неймана о распределении скалярного потенциала в усеченном полом эллипсоиде. Доказана регулярность бесконечной системы алгебраических уравнений, возникающих вследствие удовлетворения граничных условий. Исследованы свойства общего решения и даны рекомендации относительно его корректной числовой реализации.
The exact solution of the Neumann problem of the distribution of the scalar potential in a truncated
hollow ellipsoid is obtained. The regularity of the infinite system of algebraic equations arising
from the fulfillment of the boundary conditions is proved. The properties of the general solution are
studied, and some recommendations on its correct numerical implementation are given.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85764 |
| citation_txt |
Задача Неймана для рівняння Лапласа в зрізаному порожнинному еліпсоїді / В.І. Скрипка // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 23–28. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT skripkaví zadačaneimanadlârívnânnâlaplasavzrízanomuporožninnomuelípsoídí AT skripkaví zadačaneimanadlâuravneniâlaplasavusečennompoloméllipsoide AT skripkaví theneumannproblemforthelaplaceequationinatruncatedhollowellipsoid |
| first_indexed |
2025-11-27T01:21:00Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:21:00Z |
| _version_ |
1850790639253323776 |
| fulltext |
УДК 517.95
В. I. Скрипка
Задача Неймана для рiвняння Лапласа в зрiзаному
порожнинному елiпсоїдi
(Представлено академiком НАН України В. Т. Грiнченком)
Одержано точний розв’язок задачi Неймана про розподiл скалярного потенцiалу в зрiза-
ному порожнинному елiпсоїдi. Доведено регулярнiсть нескiнченної системи алгебраїчних
рiвнянь, що виникають внаслiдок задоволення граничних умов. Дослiджено властивостi
загального розв’язку i наведено рекомендацiї щодо його коректної числової реалiзацiї.
Точнi розв’язки крайових задач для канонiчних областей становлять значний теоретичний
i практичний iнтерес. В монографiї [1] викладено метод i розв’язки ряду векторних крайо-
вих задач теорiї пружностi для областей, обмежених частинами координатних поверхонь
в декартовiй, цилiндричнiй та сферичнiй системах координат. В системах координат зi змiн-
ною гауссовою кривиною координатних поверхонь питання побудови точних розв’язкiв все
ще лишається актуальним.
У цьому повiдомленнi пропонується точний розв’язок задачi Неймана для скалярно-
го потенцiалу в елiпсоїдальних координатах, яка має як самостiйне значення (задача про
стацiонарний теплообмiн), так i допомiжне як базова для побудови розв’язкiв значно склад-
нiших векторних крайових задач (задач теорiї пружностi).
Постановка задачi. Розглянемо осесиметричну задачу в областi, обмеженiй частина-
ми двох елiпсоїдальних поверхонь ξ = ξ0 i ξ = ξ1 (ξ1 < ξ0, 0 6 η 6 η0) та частиною
гiперболоїдальної поверхнi η = η0 (ξ1 6 ξ 6 ξ0) в елiпсоїдальнiй системi координат.
Зв’язок мiж елiпсоїдальними (ξ, η, ζ) та цилiндричними (r, z, ϕ) координатами вста-
новлюється за формулами [2].
r = csh ξ sin η, z = cch ξ cos η, ϕ = ζ,
0 6 ξ <∞, 0 6 η 6 π, 0 6 ζ 6 2π.
(1)
Рiвняння Лапласа для гармонiчної функцiї θ(ξ, η) набуває вигляду
1
sh ξ
∂
∂ξ
(
sh ξ
∂θ
∂ξ
)
+
1
sin η
∂
∂η
(
sin η
∂θ
∂η
)
= 0. (2)
Граничнi умови для рiвняння (2) задаються спiввiдношеннями
∂θ
∂ξ
∣
∣
∣
∣
ξ=ξj
= ψj(η), j = 0; 1, 0 6 η 6 η0,
∂θ
∂η
∣
∣
∣
∣
η=η0
= f(ξ), ξ1 6 ξ 6 ξ0. (3)
Побудова розв’язку. Загальний розв’язок знаходимо у виглядi суми θ(ξ, η) = θ1(ξ, η)+
+ θ2(ξ, η) двох гармонiчних функцiй
θ1(ξ, η) =
∞
∑
n=1
[anPλn
(ch ξ) + bnQλn
(ch ξ)]Pλn
(cos η), (4)
© В. I. Скрипка, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 23
θ2(ξ, η) =
∞
∑
k=1
ckPµk
(cos η)ϕ(ξ, ξ0, µk), (5)
де Pν(z), Qν(z) — функцiї Лежандра вiдповiдно 1-го та 2-го родiв [2],
ϕ(ξ, ξ0, µk) = i
τk
ξ1 − ξ0
π
2
√
sh ξ0 sh ξ1 [Pµk
(ch ξ0)Lµk
(ch ξ)− Lµk
(ch ξ0)Pµk
(ch ξ)], (6)
Lµk
(ch ξ) = L−0,5+iτk(ch ξ) =
1
π
[Q−0,5+iτk(ch ξ) +Q−0,5−iτk(ch ξ)]. (7)
Значення параметрiв вiдокремлення λn та µk = −0,5+iτk знаходяться з умов Pλn
(cos η0) = 0;
ϕ(ξ1, ξ0, µk) = 0.
Частиннi розв’язки у спiввiдношеннi (4) вибранi так, щоб виконувалась нульова умова
при η = η0, а будь-яка кусково-неперервна функцiя ψ(η) розкладалась на iнтервалi [0, η0]
в ряд за базисними функцiями Pλn
(cos η). Аналогiчно будується i система базисних функцiй
ϕ(ξ, ξ0, µk) на сегментi [ξ1, ξ0]. Вибiр комплексних значень параметрiв µk зумовлений тим,
що функцiя ϕ(ξ, ξ0, µ) належить до штурм-лiувiллiвського типу лише при комплексному
значеннi параметра µ = −0,5 + iτ .
Граничнi спiввiдношення (3) пiсля пiдстановки в них виразiв (4), (5) розкладаємо в ряди
за вiдповiдними базисними функцiями на кожнiй частинi поверхнi. Внаслiдок цього одер-
жуємо систему алгебраїчних рiвнянь:
αn
λn
P ′
λn
(ωj)
Pλn
(ω0)
+
βn
λn
Q′
λn
(ωj)
Qλn
(ω1)
= −
∞
∑
k=1
γks(n, k)
ϕ′(ξj, ξ0, µk)
ϕ̇(ξ1, ξ0, µk)
+ ψnj , (8)
γk
τk
P ′
µk
(ε0)
Pµk
(ε0)
=
∞
∑
n=1
t(k, n)
[
αnAnk
Pλn
(ω0)
+
βnBnk
Qλn
(ω1)
]
P ′
λn
(ε0)
Ṗλn
(ε0)
+ fk, (9)
де
ω = ch ξ; ε = cos η; ωj = ch ξj (j = 0; 1); ε0 = cos η0;
s(n, k) =
(λn + 1)(2µk + 1)
µk(µk + 1)[µk(µk + 1)− λn(λn + 1)]
;
t(k, n) =
(µk + 1)(2λn + 1)
λn(λn + 1)[µk(µk + 1)− λn(λn + 1)]
;
Ank =
ωPλn
(ω)ϕ′(ξ, ξ0, µk)
∣
∣
ξ0
ξ1
ω1ϕ′(ξ1, ξ0, µk)
; Bnk =
ωQλn
(ω)ϕ′(ξ, ξ0, µk)
∣
∣
ξ0
ξ1
ω1ϕ′(ξ1, ξ0, µk)
;
(10)
αn, βn, γk — нормованi довiльнi сталi:
(
αn
βn
)
=
λn(λn + 1)
2λn + 1
Ṗλn
(ε0)
(
anPλn
(ω0)
bnQλn
(ω1)
)
,
γk =
µk(µk + 1)
2µk + 1
ϕ̇(ξ1, ξ0, µk)Pµk
(ε0)ck.
(11)
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
Штрихом позначено диференцiювання за координатою, наприклад P ′
λn
(ε0) =
=
dPλn
(cos η)
dη
∣
∣
∣
∣
η=η0
, а крапкою — похiдну за параметром, наприклад ϕ̇(ξ, ξ0, µk) =
=
dϕ(ξ, ξ0, µ)
dµ
∣
∣
∣
∣
µ=µk
. У формулах (10) для рiзницi значень функцiї F (ξ0)−F (ξ1) використано
позначення F (ξ)|ξ0ξ1 . ψnj
та fk — коефiцiєнти розкладення функцiй ψj(η) та f(ξ) в ряди:
ψnj
=
1
sin η0P ′
λn
(ε0)
η0
∫
0
ψj(η)Pλn
(cos η) sin ηdη, j = 0; 1,
fk = −
2µk + 1
sh ξ1ϕ̇(ξ1, ξ0, µk)ϕ′(ξ1, ξ0, µk)
ξ0
∫
ξ1
f(ξ)ϕ(ξ, ξ0, µk) sh ξdξ.
Доведемо регулярнiсть системи (8), (9). Припустимо, що
limαn = α; lim βn = β; lim γk = γ. (12)
Тодi, видiляючи в (8) асимптотичну складову ряду, одержуємо
αn
λn
P ′
λn
(ωj)
Pλn
(ω0)
+
βn
λn
Q′
λn
(ωj)
Qλn
(ω1)
= −
K
∑
k=1
(γk − γ)s(n, k)
ϕ′(ξj , ξ0, µk)
ϕ̇(ξ1, ξ0, µk)
−
− γ
∞
∑
k=1
s(n, k)
ϕ′(ξj, ξ0, µk)
ϕ̇(ξ1, ξ0, µk)
+ ψnj . (13)
Скiнченна сума в (13) при n→ ∞ є нескiнченно малою порядку 1/n. Такий самий порядок
малостi мають i коефiцiєнти ψnj
за умови, що функцiї ψj(η) кусково-неперервнi у вiдрiз-
ку [0, η0].
Враховуючи це, а також граничнi при n → ∞ i k → ∞ спiввiдношення для функцiй
Лежандра [2], з (13) одержуємо
при ξ = ξ0:
β =
2γ
ξ0 − ξ1
∞
∑
k=1
λn
τ2k + λ2n
+ 0
(
1
n
)
, (14)
при ξ = ξ1:
α =
2γ
ξ1 − ξ0
√
sh ξ1
sh ξ0
∞
∑
k=1
(−1)k
λn
τ2k + λ2n
+ 0
(
1
n
)
. (15)
За формулою lim
h→0
h
∞
∑
k=1
f(kh) =
∞
∫
0
f(x) dx при λnη0 ∼ nπ (n → ∞), τk(ξ0 − ξ1) ∼ kπ
(k → ∞) знаходимо
∞
∑
k=1
λn
τ2k + λ2n
=
ξ0 − ξ1
2
+ 0
(
1
n
)
. (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 25
З формул (14), (16) маємо
β = γ + 0
(
1
n
)
. (17)
Знакоперемiжний ряд у формулi (15) при n → ∞ є нескiнченно малою величиною, що за
абсолютним значенням не перевищує η0/(nπ), отже,
α = 0
(
1
n
)
. (18)
Аналогiчними перетвореннями з (9) при k → ∞ виводимо
γ =
2
η0
∞
∑
n=1
τk
τ2k + λ2n
[
(−1)nα
√
sh ξ0
sh ξ1
+ β
]
+ 0
(
1
k
)
,
Звiдки, як i ранiше, приходимо до спiввiдношень (17), (18).
Цим доведено, що для довiльних сталих розв’язку виконується закон асимптотичних
виразiв:
limαn = 0; lim βn = lim γk = A. (19)
Дослiдження розв’язку. Вiдомо, що ряди в загальному розв’язку швидко збiгаються,
але в мiру наближення до межi областi їх збiжнiсть значно погiршується. Найгiршу (умов-
ну) збiжнiсть ряди мають у кутових точках, тому дослiдимо властивостi розв’язку в однiй
з кутових точок, наприклад у точцi (ξ1, η0).
Видiлимо асимптотичну складову θ∗1(ξ, η) ряду у формулi (4), враховуючи при цьому
спiввiдношення (11), (19):
θ∗1(ξ, η) =
2A
π
√
sh ξ1 sin η0
sh ξ sin η
(
σ1 cos
q
4
− σ2 sin
q
4
)
, n→ ∞, (20)
де
q = π
η − η0
η0
; p = π
ξ − ξ1
η0
; (21)
σ1 =
∞
∑
n=1
1
n
e−np sinnq; σ2 =
∞
∑
n=1
1
n
e−np cosnq. (22)
Суму рядiв (22) у формулi (20) знаходимо з комплекснозначного ряду
σ = σ2 + iσ1 =
∞
∑
n=1
1
n
e−n(p−iq) = − ln(1− e−p+iq),
який збiгається рiвномiрно при ξ > ξ1 (p > 0) i умовно при ξ = ξ1 (p = 0). Пiсля цього
спiввiдношення (20) набуває такого вигляду:
θ∗1(ξ, η) =
2A
π
√
sh ξ1 sin η0
sh ξ sin η
(
arctg
sin q
ep − cos q
cos
q
4
+
1
2
ln(1− 2e−p cos q + e−2p) sin
q
4
)
.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
При наближеннi до кутової точки (ξ1, η0) згiдно з позначеннями (21) p→ 0 i q → 0, тому
з точнiстю до головного асимптотичного члена маємо
θ∗1(ξ, η)|
ξ→ξ1
η→η0
∼
2A
π
arctg
q
p
=
2A
π
arctg
η − η0
ξ − ξ1
=
2A
π
ϕ, (23)
де ξ − ξ1 = ξ′, η − η0 = η′ — координати точки M(ξ′, η′) в декартовiй системi з початком
в кутовiй точцi (ξ1, η0); ϕ — полярний кут точки M .
Аналогiчно з формули (5) знаходимо
θ∗2(ξ, η)
∣
∣
ξ→ξ1
η→η0
∼
2A
π
arctg
ξ − ξ1
η − η0
=
2A
π
(
π
2
− ϕ
)
. (24)
З формул (23), (24) видно, що, хоча кожна складова розв’язку в кутовiй точцi має розрив
(граничнi значення залежать вiд кута ϕ), у сумi вони дають границю, що дорiвнює A.
Збiжнiсть рядiв при диференцiюваннi за координатами погiршується, результатом чого
є поява в кутових точках особливостi виду 1/ρ, де ρ — полярний радiус точки M(ξ′, η′).
У сумi цi особливостi взаємознищуються, в чому легко переконатися продиференцiювавши
вирази (23), (24).
Таким чином, одержано точний розв’язок крайової задачi. Всi асимптотичнi спiввiд-
ношення повнiстю збiгаються з вiдповiдними спiввiдношеннями в роботi [3]. Це вказує на
наявнiсть спiльних асимптотичних властивостей розв’язкiв крайових задач для областей
з кутовими точками. Знання цих властивостей дає можливiсть покращити збiжнiсть рядiв
i здiйснити коректний числовий аналiз розв’язку методом редукцiї.
1. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. – Киев:
Наук. думка, 1978. – 263 с.
2. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1952. –
476 с.
3. Кiльчинський О.О., Скрипка В. I. Задача Неймана для рiвняння Лапласа в порожнинному пара-
болоїдi скiнченної довжини // Пр. Мiжнар. молодiж. мат. школи. “Питання оптимiзацiї обчислень”
(ПОО – XXXVII). – Київ, 2011. – С. 69–70.
Надiйшло до редакцiї 07.11.2012Київська державна академiя водного транспорту
iм. гетьмана Петра Конашевича-Сагайдачного
В.И. Скрипка
Задача Неймана для уравнения Лапласа в усеченном полом
эллипсоиде
Получено точное решение задачи Неймана о распределении скалярного потенциала в усечен-
ном полом эллипсоиде. Доказана регулярность бесконечной системы алгебраических уравне-
ний, возникающих вследствие удовлетворения граничных условий. Исследованы свойства
общего решения и даны рекомендации относительно его корректной числовой реализации.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 27
V. I. Skrypka
The Neumann problem for the Laplace equation in a truncated hollow
ellipsoid
The exact solution of the Neumann problem of the distribution of the scalar potential in a truncated
hollow ellipsoid is obtained. The regularity of the infinite system of algebraic equations arising
from the fulfillment of the boundary conditions is proved. The properties of the general solution are
studied, and some recommendations on its correct numerical implementation are given.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
|