Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики
Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W₂¹. Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок
 методом Рiтца. Дове...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85768 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 47–51. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860159739130806272 |
|---|---|
| author | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| citation_txt | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 47–51. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W₂¹.
Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок
методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного розв’язку в метрицi C i W₂¹.
Solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is
constructed, using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one
in the metric C and W₂¹ is proved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:54:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Моделирование потенциально-вихревого течения
со свободной границей с применением нечеткой логики
Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближен-
ное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному
решению в метрике C и W 1
2
.
Постановка задачи. Обозначим через D область, ограниченную снизу отрезком A = (0 6
6 x 6 a, y = 0), сверху кривой P : y = g(x), 0 6 x 6 a, где g(0) = b1, g(a) = b2, b1 6 b2,
а g(x) — аналитическая, монотонно возрастающая функция при x ∈ [o, a], причем g′(0) = 0,
g′(a) = 0. Боковую часть границы области D, состоящую из вертикалей, обозначим через
Q1 = (x = 0, 0 6 y 6 b1) и Q2 = (x = a, 0 6 y 6 b2). Пусть γ — жорданова дуга в D, концы
которой лежат на вертикалях Q1 и Q2, причем все точки γ, включая и концы, расположены
ниже кривой P . Кривая γ разбивает областьD на две односвязные области Gγ , находящиеся
выше γ и Ωγ . Такие дуги будем называть допустимыми. Концы γ разбивают вертикали Q1
и Q2 на два открытых множества R1 — боковую часть границы области Gγ и R2 — боковую
часть границы области Ωγ .
Рассматривается задача: определить функции тока ψ1(x, y), ψ2(x, y) и свободную гра-
ницу γ по условиям
∆ψ1 = ω, (x, y) ∈ Gγ , (1)
ψ1x = 0, (x, y) ∈ R1; ψ1 = C, (x, y) ∈ P ; ψ1 = 1, (x, y) ∈ γ, (2)
∆ψ2 = 0, (x, y) ∈ Ωγ , (3)
ψ2x = 0, (x, y) ∈ R2; ψ2 = 0, (x, y) ∈ A; ψ2 = 1, (x, y) ∈ γ, (4)
|∇ψ1| = |∇ψ2|, (x, y) ∈ γ. (5)
Здесь ω = const > 0, а C = const > 1. Ранее, в работах [1–3] отдельно изучались слу-
чаи потенциального и вихревого течения, когда на свободной границе задавалось условие
Бернулли в виде неравенства.
Вариационная постановка задачи. Рассмотрим функционал
I(ψ1, ψ2, γ) =
∫∫
Gγ
[|∇ψ1|
2 + 2ω(ψ1 − 1)] dxdy +
∫∫
Ωγ
|∇ψ2|
2dxdy (6)
на множестве V допустимых троек (ψ1, ψ2, γ), обладающих следующими свойствами: γ —
допустимая дуга; функция ψ1(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Gγ ,
кусочно-непрерывно дифференцируема в Gγ , равна единице на γ и постоянной C при
© А.И. Шевченко, А.С. Миненко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 47
(x, y) ∈ P ; функция ψ2(x, y) определена и непрерывна в замыкании области Ωγ , кусоч-
но-непрерывно дифференцируема в Ωγ , равна единице на γ и нулю при (x, y) ∈ A, причем
Y (ψ1, ψ2, γ) < ∞.
Лемма 1. Пусть тройка (ψ1, ψ2, γ) является классическим решением задачи (1)–(5).
Тогда эта тройка будет стационарной для функционала (6) на множестве V . Обратно,
каждая стационарная тройка (ψ1, ψ2, γ) функционала (6) на множестве V , где γ — дос-
таточно гладкая кривая, является решением задачи (1)–(5).
Лемма 1 позволяет свести разрешимость нелинейной задачи (1)–(5) к проблеме мини-
мума функционала (6) на множестве V .
Симметризация областей Gγ и Ωγ. Пусть Vγ — подмножество множества V , со-
стоящее из всех троек (ψ1, ψ2, γ), где γ — фиксированная допустимая кривая. С помощью
вариационного подхода доказывается лемма.
Лемма 2. Существует единственная тройка (ψ1, ψ2, γ) ∈ Vγ, на которой функцио-
нал (6) достигает своего наименьшего значения. При этом функции ψ1(x, y) и ψ2(x, y)
являются единственными решениями соответственно задач (1), (2) и (3), (4).
Пусть теперь γ — произвольная допустимая кривая, ψ1(x, y) — решение задачи (1), (2)
в заданной области Gγ , а ψ2(x, y) — решение задачи (3), (4) в Ωγ . Введем в рассмотрение
множества
G1 = {(x, y) ∈ Gγ : ψ1(x, y) < 1}, L1 = {(x, y) ∈ R1 : ψ1(x, y) < 1},
G2 = {(x, y) ∈ Gγ : ψ1(x, y) > 1}, L2 = {(x, y) ∈ R1 : ψ1(x, y) > 1}.
Лемма 3. Пусть (ψ1, ψ2, γ) — допустимая тройка, причем ψ1(x, y) — решение задачи
(1), (2), а ψ2(x, y) — решение задачи (3), (4). Просимметризуем область G2 относитель-
но осей координат. Полученную область обозначим через G∗, а ее свободную границу че-
рез γ∗. Пусть ψ∗
1(x, y) — решение задачи (1), (2) в G∗, а ψ∗
2(x, y) — решение задачи (3), (4)
в Ω∗ = int(D \ G∗). Тогда I(ψ∗
1 , ψ
∗
2 , γ
∗) 6 I(ψ1, ψ2, γ), причем ψ∗
1y > 0 в G∗, а ψ∗
2y > 0 в Ω∗
и γ∗ задается уравнением
x = x(t), y = y(t), 0 6 t 6 T, (7)
где x(t) и y(t) — неубывающие функции параметра t.
Теорема существования. Пусть d — точная нижняя грань функционала (6) на мно-
жестве V и (ψ1n, ψ2n, Gn,Ωn) — минимизирующая последовательность. На основании лем-
мы 3 можно считать, что Gn и Ωn имеют свободную границу γn, заданную уравнениями
типа (7). В силу леммы 2 в качестве функций ψ1n и ψ2n можно брать решения задач (1), (2)
и (3), (4) соответственно в областях Gn и Ωn. Применяя затем метод внутренних вариаций
Шиффера и симметризацию Штейнера [1], докажем теорему.
Теорема 1. Пусть функция g(x) монотонно возрастает в [0, a], является аналитичес-
кой функцией переменной x при 0 6 x 6 a и, кроме того, g′(0) = 0, g′(a) = a. И пусть так-
же выполнено условие 1 − ωb22/2 > 0. Тогда существует единственное решение (ψ1, ψ2, γ)
задачи (1)–(5), удовлетворяющее условиям ψ1y > 0 в Gγ , а ψ2y > 0 в Ωγ. При этом γ
является монотонно-возрастающей дугой, аналитической в окрестности каждой своей
внутренней точки, причем γ не имеет общих точек с кривой P и отрезком A. Функции
ψ1(x, y) и ψ2(x, y) непрерывны в Gγ и Ωγ, непрерывно дифференцируемы вплоть до грани-
цы всюду, за исключением концевых точек γ.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
Решение задачи (1)–(5) методом Ритца. Функционал (6) в классе функций ψ1y > 0
в Gγ и ψ2y > 0 в Ωγ представим следующим образом:
I1(z1, z2) =
∫∫
∆1
[(
z1x +
gx
g
z1
)2
+
1
g2
+ 2ω(ϕ− 1)z21ϕ
]
g
z1ϕ
dxdϕ+
+
∫∫
∆2
[(
z2x +
gx
g
z2
)2
+
1
g2
]
g
z2ϕ
dxdϕ, (8)
где ∆1 = (0 < x < a, 1 < ϕ < C), ∆2 = (0 < x < a, 0 < ϕ < 1), z1(x, ϕ) и z2(x, ϕ) —
функции, определенные, соответственно, в ∆1 и ∆2 и являющиеся решениями уравнений:
ϕ1(x, z)−ϕ1 = 0, ϕ2(x, z)−ϕ2 = 0, ψ1(x, zg(x)) = ϕ1(x, z), ψ2(x, zg(x)) = ϕ. Функционал (8)
будем минимизировать на множестве допустимых функций
Gz =
{
(z1, z2) : z1 ∈ C
1(∆1), z2 ∈ C1(∆2), z2(x, 0) = 0, z1(x, c) = 1;
z1(x, 1) = z2(x, 1), min
(x,ϕ)∈∆1
z1ϕ > 0, min
(x,ϕ)∈∆2
z2ϕ > 0
}
. (9)
Обозначим через w1(x, ϕ), w2(x, ϕ) функции, соответствующие классическому решению
(ψ1, ψ2, γ) задачи (1)–(4) и можно считать, что (w1, w2) ∈ Gz. Применим теперь формулу
Фридрихса [1]
I1(zz , z2) = I1(w1, w2) +
d
dε
I1(z1ε, z2ε)
∣
∣
∣
∣
ε=0
+
1
∫
0
(1− ε)
d2
dε2
I1(z1ε, z2ε)dε, (10)
d2I1
dε2
(z1ε, z2ε)=2
∫∫
∆1
{[
z1ε
(
δz1x+
gx
g
δz1
)
−δz1ϕ
(
z1xε+
gx
g
z1ε
)]2
+
δz21ϕ
g2
}
g
z31ϕε
dxdϕ+
+ 2
∫∫
∆2
{[
z2ε
(
δz2x +
gx
g
δz21
)
− δz2ϕ
(
z2xε +
gx
g
z2ε
)]2
+
δz22ϕ
g2
}
g
z32ϕε
dxdϕ, (11)
где z1ε = w1 + ε(z1 − w1), z2ε = w2 + ε(z2 − w2), δz1 = z1 − w1, δz2 = z2 − w2, 0 6 ε 6 1, z1,
z2 — произвольная пара из Gz. Тогда получим I1(w1, w2) 6 I1(z1, z2).
Лемма 4. Пара (w1, w2) ∈ Gz, соответствующая решению задачи (1)–(5), доставляет
наименьшее значение функционалу (8) на множестве (9).
Будем минимизировать функционал (8) на множестве (9) при помощи сумм
z1n(x, ϕ) = 1 +
c− ϕ
c− 1
L
∑
k=0
Mj
∑
j=0
bkjx
jϕk, z2n(x, ϕ) =
L
∑
k=1
Mj
∑
j=0
akjx
jϕk, (12)
где n = sup(j + Mj) при 0 6 j 6 L. Включение (z1nz2n) ∈ Gz выделяет в евклидовом
пространстве Er коэффициентов akj, bkj область допустимости Gr, где
r =
L
∑
k=0
(1 + 2Mk); G2 = G+
r
⋂
E0; G+
r = G1
r ⊕G2
r ; E0 = E0
0 ⊕ E0
1 ⊕ · · · ⊕ E0
L;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 49
G1
r =
{
bkj : min z1nϕ
(x,ϕ)∈∆1
> 0
}
, G2
r = {akj : min z2nϕ
(x,ϕ)∈∆2
> 0};
E0
0 :
M0
∑
k=1
ak0 =
M0
∑
k=0
bk0 + 1; E0
j :
Mj
∑
k=1
akj =
Mj
∑
k=0
bkj,
j = 1, 2, . . . , L; L = maxLk
06k6M
.
Неизвестные коэффициенты akj, bkj определяются из нелинейной системы Ритца [4–6]:
Теорема 2. Функция I2(akj , bkj) принимает свое наименьшее значение в некоторой
внутренней точке множества Gr, лежащей на конечном расстоянии от начала коор-
динат. При этом нелинейная система Ритца имеет по крайней мере одно решение на
множестве Gr.
Сходимость приближений Ритца.Решив систему Ритца при каждом фиксирован-
ном n, можно затем построить последовательность приближений (12) в виде z1n(x, ϕ) = z∗1n,
z2n(x, ϕ) = z∗2n.
Лемма 5. Приближения (12), построенные по методу Ритца, образуют минимизи-
рующую последовательность для функционала (8) на множестве (9).
Перейдем теперь непосредственно к доказательству сходимости приближений Рит-
ца (12).
Лемма 6. Пусть w1(x, ϕ) ∈ W l
2(∆1), w2(x, ϕ) ∈ W l
2(∆2), где l > 4. Тогда можно по-
строить допустимые многочлены
u1n = 1 +
c− ϕ
c− 1
L
∑
j=0
Mj
∑
k=0
bkjx
jϕk, u2n =
L
∑
j=0
Mj
∑
k=1
akjx
jϕk,
такие, что
‖w1 − u1n‖
2
w1
2
(∆1)
= O
(
1
n2(l−1)
)
, ‖w2 − u2n‖
2 = O
(
1
n2(l−1)
)
.
Доказательство. В основу доказательства положена методика работы [6].
Теорема 3. Пусть выполнены все предположения теоремы 1 и леммы 6. Тогда после-
довательность приближений (12), построенных по методу Ритца, сходится к точному
решению w1, w2 по норме в C(∆1), C(∆2).
Замечание. Предложенный метод исследования задачи может быть применен при изу-
чении морских проливов. В задачах управления свободной границей γ может применяться
нечеткая логика.
1. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 354 с.
2. Миненко А.С., Шевченко А.И. Методы исследования нелинейных математических моделей. – Киев:
Наук. думка, 2012. – 130 с.
3. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47,
№ 4. – С. 477–487.
4. Friedrich K.O. Ube rein Minimumproblem für Potential stromungen mit freiem Rande // Math. Ann. –
1933. – 109, No 1. – P. 60–82.
5. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей //
Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294.
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
6. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат.
журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1358–1394.
Поступило в редакцию 23.11.2012Институт информатики и искусственного
интеллекта ДонНТУ, Донецк
Член-кореспондент НАН України А. I. Шевченко, О.С. Мiненко
Моделювання потенцiально-вихрової течiї з вiльною межею
з застосуванням нечiткої логiки
Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок
методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного розв’язку в метри-
цi C i W 1
2
.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A. I. Shevchenko, A. S. Minenko
Modeling a potentially rotational current with free boundary with the
use of the fuzzy logic
Solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is
constructed, using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one
in the metric C and W 1
2
is proved.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 51
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85768 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:54:14Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. 2015-08-19T11:40:04Z 2015-08-19T11:40:04Z 2013 Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 47–51. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85768 517.9 Доказана разрешимость краевой задачи со свободной границей. Построено приближенное решение методом Ритца. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению в метрике C и W₂¹. Доведено розв’язнiсть крайової задачi з вiльною межею. Побудовано наближений розв’язок
 методом Рiтца. Доведено збiжнiсть наближеного розв’язку до точного розв’язку в метрицi C i W₂¹. Solvability of a boundary-value problem with free boundary is proved. The approximate solution is
 constructed, using the Ritz method. The convergence of the approximate solution to the exact one
 in the metric C and W₂¹ is proved. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики Моделювання потенцiально-вихрової течiї з вiльною межею з застосуванням нечiткої логiки Modeling a potentially rotational current with free boundary with the use of the fuzzy logic Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики |
| title_alt | Моделювання потенцiально-вихрової течiї з вiльною межею з застосуванням нечiткої логiки Modeling a potentially rotational current with free boundary with the use of the fuzzy logic |
| title_full | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики |
| title_fullStr | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики |
| title_full_unstemmed | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики |
| title_short | Моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики |
| title_sort | моделирование потенциально-вихревого течения со свободной границей с применением нечеткой логики |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85768 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkoai modelirovaniepotencialʹnovihrevogotečeniâsosvobodnoigraniceisprimeneniemnečetkoilogiki AT minenkoas modelirovaniepotencialʹnovihrevogotečeniâsosvobodnoigraniceisprimeneniemnečetkoilogiki AT ševčenkoai modelûvannâpotencialʹnovihrovoítečiízvilʹnoûmežeûzzastosuvannâmnečitkoílogiki AT minenkoas modelûvannâpotencialʹnovihrovoítečiízvilʹnoûmežeûzzastosuvannâmnečitkoílogiki AT ševčenkoai modelingapotentiallyrotationalcurrentwithfreeboundarywiththeuseofthefuzzylogic AT minenkoas modelingapotentiallyrotationalcurrentwithfreeboundarywiththeuseofthefuzzylogic |