Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер
Показано, що для узагальнених потенцiалiв взаємодiї з локальною i нелокальною частиною, що використовуються в теорiї трикластерних легких ядер як систем з α-кластера i двох нуклонiв, хвильовi функцiї в основному станi мають вузол. Показано, что для обобщенных потенциалов взаимодействия с локальной...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85774 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер / Б.Є. Гринюк, І.В. Сименог // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 86–91. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859732457471868928 |
|---|---|
| author | Гринюк, Б.Є. Сименог, І.В. |
| author_facet | Гринюк, Б.Є. Сименог, І.В. |
| citation_txt | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер / Б.Є. Гринюк, І.В. Сименог // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 86–91. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Показано, що для узагальнених потенцiалiв взаємодiї з локальною i нелокальною частиною, що використовуються в теорiї трикластерних легких ядер як систем з α-кластера
i двох нуклонiв, хвильовi функцiї в основному станi мають вузол.
Показано, что для обобщенных потенциалов взаимодействия с локальной и нелокальной
частью, используемых в теории трехкластерных легких ядер как систем из α-кластера
и двух нуклонов, волновые функции в основном состоянии имеют узел.
For the generalized interaction potentials with local and nonlocal terms used in studying the threecluster light nuclei as systems of an α-cluster and two nucleons, it is shown that the ground-state wave function has a node.
|
| first_indexed | 2025-12-01T14:12:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.172
Б.Є. Гринюк, I. В. Сименог
Вузлова структура хвильових функцiй основного стану
трикластерних ядер
(Представлено академiком НАН України А. Г. Загороднiм)
Показано, що для узагальнених потенцiалiв взаємодiї з локальною i нелокальною части-
ною, що використовуються в теорiї трикластерних легких ядер як систем з α-кластера
i двох нуклонiв, хвильовi функцiї в основному станi мають вузол.
Вiдомим є твердження про безвузловий характер хвильової функцiї основного стану кван-
тово-механiчної системи двох або бiльше бозонiв, що доведено для традицiйних потенцiалiв
взаємодiї мiж частинками. В данiй роботi ми звертаємо увагу на приклади потенцiалiв
взаємодiї, для яких двi, три та бiльша кiлькiсть частинок в основному станi iз повним куто-
вим моментом нуль можуть мати знакозмiнну хвильову функцiю з вузловою структурою.
Розглянемо легке ядро 6Не, яке у кластерному пiдходi [1–4] вважається тричастинко-
вим i складеним з α-кластера та двох нейтронiв. Для дослiдження ядра в такому пiдходi
необхiдно задати оператори потенцiальної взаємодiї мiж кластерами та нейтронами, якi
б правильно передавали одночасно як данi розсiяння кожної пари частинок при низьких
енергiях, так i енергiю та розмiри дослiджуваного ядра.
Одним з найпростiших варiантiв мiжкластерних потенцiалiв можуть бути оператори
узагальненого вигляду з локальною i нелокальною компонентами [3, 5, 6]. Такi потенцiали
дозволяють узагальнити вiдомий пiдхiд Неудачина [7, 8], в якому мiжкластерна взаємодiя
трактується на основi так званих потенцiалiв “iз забороненими станами” для послiдовного
врахування на феноменологiчному рiвнi принципу Паулi для нуклонiв. Однак узагальненi
потенцiали не мiстять нескiнченних iнтенсивностей, i нелокальна частина взаємодiї може
лише з якiсної точки зору нагадувати проектор, що “виштовхує” заборонений стан у пiд-
ходi Неудачина якомога вище у неперервний спектр. Бiльше того, параметри нелокальної
частини взаємодiї знаходяться з умови найкращого опису експериментальних даних. За-
уважимо, що розрахунок фаз розсiяння у випадку узагальнених потенцiалiв може бути
проведений з використанням модифiкованого методу фазових функцiй на основi лiнiйних
iнтегро-диференцiйних рiвнянь [3, 6], якi не мiстять неприємних для обчислювальних ме-
тодiв нефiзичних сингулярностей як у випадку короткодiючих ядерних потенцiалiв, так i
в разi присутностi кулонiвського далекосяжного вiдштовхування.
У найпростiшому випадку нелокальна частина парної взаємодiї може мати сепарабель-
ний вигляд, так що дiя оператора потенцiальної енергiї на хвильову функцiю задається
у виглядi:
Ŵ |ψ(r)〉 ≡ V (r)|ψ(r)〉 + g
(∫
u(r′)ψ(r′) dr′
)
|u(r)〉, (1)
де формфактор u(r) є додатною функцiєю при всiх r. Завдяки тому, що сепарабельна час-
тина потенцiалу дає внесок лише у парцiальному станi з нульовим кутовим моментом, мож-
© Б. Є. Гринюк, I. В. Сименог, 2013
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
на за допомогою притягувального локального потенцiалу V (r) i вiдштовхувального сепара-
бельного g|u(r)〉〈u(r′)| iз g > 0 забезпечити необхiдну залежнiсть парцiальних фаз розсiян-
ня. Це дозволяє найпростiшим чином вiдтворити взаємодiю нуклона iз складеною α-час-
тинкою, для якої характерне ефективне вiдштовхування в S-станi завдяки дiї принципу
Паулi. Простi варiанти узагальнених потенцiалiв взаємодiї типу (1) з невеликою кiлькiстю
параметрiв дозволили успiшно описати експериментальнi низькоенергетичнi данi розсiяння
нуклона на α-частинцi i структуру три- та чотирикластерних ядер [3, 5, 6].
Узагальненi мiжкластернi парнi потенцiали типу (1) дають можливiсть одночасно по-
ставити i вирiшити декiлька проблем. По-перше, потенцiал взаємодiї залежить вiд стану,
в першу чергу, вiд кутового моменту, що вiдповiдає експериментальним даним. Залежнiсть
потенцiалiв взаємодiї вiд кутових моментiв є характерною рисою взаємодiї мiж складе-
ними ядерними частинками i широко використовується в теорiї ядра. По-друге, завдяки
узагальненню вiдомої теореми Левiнсона для потенцiалiв типу (1) [8] можна узгодити екс-
перимантальний факт вiдсутностi зв’язаного стану в системi nα або pα iз експерименталь-
ним фактом про поведiнку S-фази розсiяння, яка починається при нульових енергiях вiд π
i повинна плавно спадати до нуля з ростом енергiй. Узагальнена теорема Левiнсона для
двочастинкового S-розсiяння
δ0(0)− δ0(∞) = π(n+m) (2)
мiстить в правiй частинi наявну кiлькiсть зв’язаних станiв n та кiлькiсть зв’язаних ста-
нiв m, якi “виштовхуються” нелокальною частиною оператора взаємодiї (1) у неперервний
спектр. У випадку вiдсутностi зв’язаних станiв (n = 0) фаза може починатись вiд δ0(0) = π
i спадати до нуля, якщо m = 1. Саме такого типу мiжкластернi потенцiали ми використо-
вуємо [3, 5, 6] для дослiдження легких кластерних ядер, i вони належним чином описують
експериментальнi данi з розсiяння. По-третє, узагальненi потенцiали типу (1) дозволяють,
при вiдповiдному виборi параметрiв, описати одночасно з двочастинковими фазами розсiян-
ня також енергiю i розмiри систем декiлькох кластерiв i нуклонiв, наприклад, трикластернi
ядра 6Li та 6Не [3, 6], або чотирикластернi ядра 10С i 10Ве [5]. Таке узгодження досягається
принципово простiше, нiж у випадку локальних потенцiалiв взаємодiї, оскiльки для вiд-
носно простих за формою локальних потенцiалiв енергiї i розмiри систем трьох i бiльшої
кiлькостi частинок можуть бути скорельованi мiж собою при фiксованих двочастинкових
низькоенергетичних параметрах, що пояснюється [9–11] малiстю радiуса ядерних сил. Для
узагальнених потенцiалiв типу (1) така жорстка кореляцiя практично зникає, що i дозволяє
вiдносно просто досягти вiдповiдностi мiж теоретичними i експериментальними значеннями
енергiй i радiусiв ядер певним вибором параметрiв потенцiалiв взаємодiї.
Цiкавою особливiстю узагальнених потенцiалiв є те, що для них можуть модифiкувати-
ся i iншi важливi твердження. В данiй роботi мова йде про загальновiдоме твердження про
безвузловий характер хвильової функцiї основного стану для системи декiлькох бозонiв. Ви-
являється, використання узагальнених потенцiалiв вигляду (1) призводить до нетривiальної
структури хвильової функцiї основного стану, яка може мати вузли.
Трактуючи ядро 6Не як систему з двох нейтронiв i α-частинки з узагальненими потен-
цiалами взаємодiї мiж нейтронами i α-частинкою у виглядi (1), можна описати експеримен-
тальну ситуацiю, коли жодна пара частинок в такiй тричастинковiй системi не зв’язана, але
S-фази розсiяння нейтрона на α-частинцi починаються вiд π i спадають до нуля [3]. Для
розрахунку основного стану 6Не у тричастинковiй моделi з надiйною точнiстю ми викори-
стовуємо варiацiйний метод з гаусоїдним базисом, коли хвильова функцiя основного стану
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 87
з нульовим повним моментом шукається у виглядi
Ψ(r1, r2, r3) =
K∑
k=1
NkŜ|ϕk〉 = Ŝ
K∑
k=1
NkŜ exp(−(akr
2
12 + bkr
2
13 + ckr
2
23)), (3)
де rij ≡ rj − ri, а Ŝ — оператор симетризацiї. Лiнiйнi коефiцiєнти розкладу Nk, а разом
з ними — хвильова функцiя i енергiя системи, знаходяться в методi Гальоркiна з системи
лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
K∑
k=1
Nk(〈Ŝϕn|Ĥ|Ŝϕk〉 − E〈Ŝϕn|Ŝϕk〉) = 0, n = 1, 2, . . . ,K. (4)
Розширення базису i оптимiзацiя його за нелiнiйними параметрами ak, bk, ck дозволяють
досягти високої точностi розрахунку зв’язаних станiв системи.
На рис. 1 наведено розраховану нами у трикластерному наближеннi хвильову функцiю
основного стану ядра 6Не (з квантовими числами Jπ = 0+), яка виявляється знакозмiн-
ною, з двома явно вираженими екстремумами, якi вiдповiдають так званим конфiгурацiям
“сигари” i “трикутника”: якщо частинки розмiщенi вздовж лiнiї з α-частинкою в центрi, то
це “сигара”, а якщо у площинi, з дiнейтронним кластером, що рухається довкола спiльного
центра мас з α-частинкою, то це “трикутник”. На перших трьох графiках (рис. 1 а, б, в)
зображено iзолiнiї для хвильової функцiї 6Не залежно вiд вiдстанi мiж нейтронами rnn та
вiдстанi вiд α-частинки до центра мас двох нейтронiв ρα, для трьох рiзних кутiв (θ = 0,
θ = π/4 i θ = π/2) мiж векторами rnn i ρα. З якiсної точки зору, хвильова функцiя прак-
тично не залежить вiд кута θ. Наголосимо, що функцiя має два екстремуми — додатний
i вiд’ємний, причому iзолiнiя, яка вiдповiдає проходженню хвильової функцiї через нуль,
проходить мiж двома її екстремумами пiд невеликим кутом до вертикалi. На рис. 1, г для
наочностi наведено тривимiрне зображення хвильової функцiї для θ = 0, на якому чiтко
видно знакозмiннiсть хвильової функцiї, i що вiд’ємний мiнiмум функцiї лежить нижче ну-
льової горизонтальної площини. Ще раз пiдкреслимо, що хвильова функцiя основного стану
системи з нульовим кутовим моментом є знакозмiнною завдяки структурi узагальнених по-
тенцiалiв типу (1) для nα-взаємодiї.
Зручно також зобразити густину розподiлу ймовiрностi P (r, ρ) = r2ρ2
∫
dΩ|Ψ(r,ρ)|2 i по-
казати наявнiсть двох максимумiв у розподiлi цiєї додатної величини (рис. 2, а, б ), що
вiдповiдають конфiгурацiям “сигари” (максимум злiва) i “трикутника” (максимум справа).
Такi ж особливостi хвильових функцiй спостерiгаються i в чотирикластерних систе-
мах [4], де хвильовi функцiї основного стану Jπ = 0+ ядер 10Ве i 10С у чотирикластернiй
моделi (два нуклони i двi α-частинки) також є знакозмiнними.
Причиною такої поведiнки хвильових функцiй як трикластерних, так i чотирикластер-
них, є структура потенцiалу взаємодiї (1). Якщо розглянути найпростiшу двокластерну
систему i дещо посилили потенцiал nα-взаємодiї так, щоб утворився зв’язаний стан, то
двочастинкова хвильова функцiя в основному станi була б знакозмiнною, маючи вузол на
скiнченнiй вiдстанi мiж частинками. Це можна пояснити тим, що при g → ∞ вiдштовху-
вальний сепарабельний доданок в (1) дозволить мiнiмiзувати енергiю, щоб мiг утворитися
зв’язаний стан, лише при умовi
∫
u(r′)ψ(r′) dr′ → 0, g → ∞. (5)
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
Рис. 1. Iзолiнiї для хвильової функцiї ядра 6Не в координатах rnn та ρ
α
для рiзних значень кута мiж ними
(а, б, в). Хвильова для θ = 0
◦ (г)
Спiввiдношення (5) при додатних u(r) може бути виконано лише для знакозмiнної хвильової
функцiї. Подiбнi мiркування можна перенести i на системи бiльшої кiлькостi частинок. Для
потенцiалу nα-взаємодiї, який ми використовуємо у дослiдженнi реальних систем, константа
g > 0 скiнченна, однак досить велика, щоб справедливими були вищенаведенi мiркування.
Наявнiсть вузлової структури хвильової функцiї основного стану системи трьох части-
нок якiсно можна пояснити тим, що тричастинкова хвильова функцiя основного стану у кон-
кретному випадку ядра 6Hе, в якому α-частинка вчетверо масивнiша за нейтрон, можна
використати кластерне наближення Ψ(rnn,ρα) ≈ ϕnn(rnn)f(ρα), в якому нехтується зале-
жнiстю хвильової функцiї вiд кута θ мiж координатами Якобi rnn i ρα. Як природно при-
пустити, вузлова лiнiя, де хвильова функцiя змiнює знак, може з’являтися завдяки f(ρα)
в областi ρα ∼ 1,5÷2 Фм. Якби вказане наближення працювало точнiше, то лiнiя вузлiв на
рис. 1 йшла б вертикально. Як видно з рис. 1, хвильова функцiя 6Hе, з якiсної точки зору,
майже не залежить вiд кута θ, i лiнiя вузлiв дiйсно близька до вертикальної.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 89
Рис. 2. Розподiл ймовiрностi в ядрi 6Не (а), та вiдповiднi iзолiнiї (б )
Щоб пiдтвердити той факт, що вузлова структура основного стану завдячує структу-
рi потенцiалу (1), ми виконали розрахунки хвильової функцiї 6Hе для певного локального
потенцiалу мiж нейтроном i α-частинкою, який мiстить притягування i вiдштовхування
на малих вiдстанях. Хоча такий модельний nα-потенцiал, який не залежить вiд кутового
моменту, не дозволяє узгодити фази nα-розсiяння з експериментальними даними (оскiль-
ки для S-стану потенцiал повинен бути ефективно вiдштовхувальним, а для P -стану —
притягувальним), однак вiн дає для 6Hе таку саму структуру густини ймовiрностi, яка по-
казана на рис. 2 для nα-потенцiалу вигляду (1). В той же час хвильова функцiя, отримана
з локальним nα-потенцiалом, не мiстить вузлiв (у вiдповiдностi з загальноприйнятим твер-
дженням), а має два сильно виражених максимуми одного знаку в тих мiсцях, де на рис. 1
мiстяться екстремуми рiзних знакiв.
Таким чином, для узагальнених потенцiалiв з локальною i нелокальною компонента-
ми була виявлена вузлова структура основного стану трьох кластерiв з нульовим кутовим
моментом. На прикладi хвильової функцiї ядра 6Не показано, що двi основнi просторовi
конфiгурацiї цього ядра (вiдомi як “сигара” i “трикутник”) вiдповiдають двом екстрему-
мам рiзного знаку в хвильовiй функцiї системи. Використання таких потенцiалiв розширює
можливостi опису систем декiлькох взаємодiючих кластерiв у вiдповiдностi до експеримен-
тальних даних одночасно з низькоенергетичними даними розсiяння. Отриманi результати
можуть бути узагальненi на системи чотирьох i бiльше кластерiв.
Дана робота виконана за пiдтримки цiльової програми фундаментальних дослiджень Вiддi-
лення фiзики i астрономiї НАН України.
1. Zhukov M.V., Danilin B.V., Fedorov D.V. et al. Bound state properties of borromean halo nuclei: 6He
and 11Li // Phys. Reports. – 1993. – 231, No 4. – P. 151–199.
2. Kukulin V. I., Pomerantsev V.N., Razikov Kh.D. et al. Detailed study of the cluster structure of light
nuclei in a three-body model (IV). Large Space calculation for A = 6 nuclei with realistic nuclear forces //
Nucl. Phys. – 1995. – A 586. – P. 151–189.
3. Гринюк Б.Е., Сименог И.В. Структура ядра 6Не в трехчастичной модели // Ядерн. физика. – 2009. –
72, № 1. – С. 10–24.
4. Horiuchi H., Ikeda K., Katô K. Recent development in nuclear cluster physics // Progr. Theor. Phys.
Suppl. – 2012. – 192. – P. 1–238.
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №6
5. Grinyuk B. E., Simenog I.V. Three-particle structure of the halo nucleus 6Li // Ядерна фiзика та енер-
гетика. – 2009. – 10, № 1. – С. 9–19.
6. Grinyuk B. E., Simenog I. V. Structure characteristics of light cluster nuclei with two extra nucleons //
Укр. фiз. журн. – 2011. – 56, № 7. – С. 635–644.
7. Neudatchin V.G., Kukulin V. I., Korotkikh V. L., Korennoy V.P. A microscopically substantiated local
optical potential for αα-scattering // Phys. Lett. B. – 1971. – 34. – P. 581–583.
8. Кукулин В.И., Неудачин В. Г., Смирнов Ю.Ф. Взаимодействие составных частиц и принцип Паули //
Физика элемент. частиц и атом. ядра. – 1979. – 10. – С. 1236–1293.
9. Сименог И.В., Шаповал Д.В. Теория возмущения по радиусу сил для задачи трех тел // Теор. мат.
физика. – 1988. – 75, № 2. – С. 275–287.
10. Гринюк Б.Е., Сименог И.В., Ситниченко А.И. Безмодельные свойства параметров рассеяния и
спектра трех частиц с взаимодействием малого радиуса // Укр. фiз. журн. – 1984. – 29, № 9. –
С. 1289–1295.
11. Сименог И.В., Ситниченко А.И., Шаповал Д.В. О разложении эффективного радиуса для дублет-
ного nd -рассеяния // Ядерн. физика. – 1987. – 45, вып. 1. – С. 60–66.
Надiйшло до редакцiї 27.12.2012Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
Б.Е. Гринюк, И.В. Сименог
Узловая структура волновых функций основного состояния
трехкластерных ядер
Показано, что для обобщенных потенциалов взаимодействия с локальной и нелокальной
частью, используемых в теории трехкластерных легких ядер как систем из α-кластера
и двух нуклонов, волновые функции в основном состоянии имеют узел.
B.E. Grinyuk, I. V. Simenog
The node structure of the ground-state wave functions of three-cluster
nuclei
For the generalized interaction potentials with local and nonlocal terms used in studying the three-
cluster light nuclei as systems of an α-cluster and two nucleons, it is shown that the ground-state
wave function has a node.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №6 91
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85774 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T14:12:38Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гринюк, Б.Є. Сименог, І.В. 2015-08-19T11:41:49Z 2015-08-19T11:41:49Z 2013 Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер / Б.Є. Гринюк, І.В. Сименог // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 6. — С. 86–91. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85774 539.172 Показано, що для узагальнених потенцiалiв взаємодiї з локальною i нелокальною частиною, що використовуються в теорiї трикластерних легких ядер як систем з α-кластера i двох нуклонiв, хвильовi функцiї в основному станi мають вузол. Показано, что для обобщенных потенциалов взаимодействия с локальной и нелокальной частью, используемых в теории трехкластерных легких ядер как систем из α-кластера и двух нуклонов, волновые функции в основном состоянии имеют узел. For the generalized interaction potentials with local and nonlocal terms used in studying the threecluster light nuclei as systems of an α-cluster and two nucleons, it is shown that the ground-state wave function has a node. Дана робота виконана за пiдтримки цiльової програми фундаментальних дослiджень Вiддiлення фiзики i астрономiї НАН України. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер Узловая структура волновых функций основного состояния трехкластерных ядер The node structure of the ground-state wave functions of three-cluster nuclei Article published earlier |
| spellingShingle | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер Гринюк, Б.Є. Сименог, І.В. Фізика |
| title | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер |
| title_alt | Узловая структура волновых функций основного состояния трехкластерных ядер The node structure of the ground-state wave functions of three-cluster nuclei |
| title_full | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер |
| title_fullStr | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер |
| title_full_unstemmed | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер |
| title_short | Вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер |
| title_sort | вузлова структура хвильових функцій основного стану трикластерних ядер |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85774 |
| work_keys_str_mv | AT grinûkbê vuzlovastrukturahvilʹovihfunkcíiosnovnogostanutriklasternihâder AT simenogív vuzlovastrukturahvilʹovihfunkcíiosnovnogostanutriklasternihâder AT grinûkbê uzlovaâstrukturavolnovyhfunkciiosnovnogosostoâniâtrehklasternyhâder AT simenogív uzlovaâstrukturavolnovyhfunkciiosnovnogosostoâniâtrehklasternyhâder AT grinûkbê thenodestructureofthegroundstatewavefunctionsofthreeclusternuclei AT simenogív thenodestructureofthegroundstatewavefunctionsofthreeclusternuclei |