Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом
За наявностi в початковiй точцi явища Пеано для вiдповiдної задачi Кошi отримано умови слабкої збiжностi мiр, породжених розв’язками стохастичних рiвнянь з локальним часом, до мiри, зосередженої на екстремальних розв’язках вiдповiдної задачi Кошi у випадку, коли коефiцiєнт дифузiї прямує до 0. При...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85789 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом / І.Г. Крикун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 7–12. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859737506278277120 |
|---|---|
| author | Крикун, І.Г. |
| author_facet | Крикун, І.Г. |
| citation_txt | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом / І.Г. Крикун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 7–12. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | За наявностi в початковiй точцi явища Пеано для вiдповiдної задачi Кошi отримано
умови слабкої збiжностi мiр, породжених розв’язками стохастичних рiвнянь з локальним часом, до мiри, зосередженої на екстремальних розв’язках вiдповiдної задачi Кошi у випадку, коли коефiцiєнт дифузiї прямує до 0.
При наличии в начальной точке явления Пеано для соответствующей задачи Коши получены условия слабой сходимости мер, порожденных решениями стохастических уравнений с локальным временем, к мере, сосредоточенной на экстремальных решениях соответствующей задачи Коши в случае, когда коэффициент диффузии стремится к 0.
We consider measures generated by solutions of stochastic equations with local time and small diffusion. The conditions of weak convergence of these measures to the measure generated by extreme
solutions of the corresponding Cauchy problem, when the diffusion coefficient tends to 0, are obtained, if the Peano phenomenon for the corresponding Cauchy problem holds.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:16:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
I. Г. Крикун
Явище Пеано для стохастичних рiвнянь з локальним
часом
(Представлено академiком НАН України О. М. Ковальовим)
За наявностi в початковiй точцi явища Пеано для вiдповiдної задачi Кошi отримано
умови слабкої збiжностi мiр, породжених розв’язками стохастичних рiвнянь з локаль-
ним часом, до мiри, зосередженої на екстремальних розв’язках вiдповiдної задачi Кошi
у випадку, коли коефiцiєнт дифузiї прямує до 0.
У роботi розглядається стохастичне рiвняння з локальним часом та малою дифузiєю
ξε(t) = βLξε(t, 0) +
t
∫
0
b(ξε(s)) ds + ε
t
∫
0
σ(ξε(s)) dw(s), t ∈ [0, 1], (1)
i дослiджується слабка збiжнiсть при ε → 0 мiр, породжених розв’язками цього рiвняння.
Встановлено, що граничною мiрою є мiра, зосереджена з певними вагами на екстремальних
розв’язках задачi Кошi
ẏ(t) = b(y(t)), y(0) = 0, (2)
i отриманi формули для обчислення цих ваг. Питання про збiжнiсть мiр, породжених роз-
в’язками стохастичних рiвнянь Iто з малою дифузiєю виду
xε(t) =
t
∫
0
b(xε(s)) ds + εw(t),
при ε → 0 до мiри, що зосереджена на розв’язку задачi (2), за умови єдиностi цього розв’яз-
ку, розглянуто в кiлькох роботах, серед яких згадаємо [1, 2]. Також розглядався випадок
неєдиностi розв’язку задачi (2) (так зване явище Пеано) [3–7].
© I. Г. Крикун, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 7
Введемо такi позначення: IA(x) — iндикатор множини A; a+ = max(a, 0); C[0,∞) —
простiр неперервних функцiй f(t), t ∈ [0,∞) з метрикою рiвномiрної збiжностi на компактах
з [0,∞):
ρ(f, g) =
∞
∑
N=1
1
2N
sup
t∈[0,N ]
|f(t)− g(t)|
1 + sup
t∈[0,N ]
|f(t)− g(t)|
.
Через B позначимо σ-алгебру борелiвських множин цього простору. Ймовiрнiсний простiр
позначатимемо (Ω,ℑ,ℑt,P), ℑt — потiк σ-алгебр, t > 0, (w(t),ℑt) — стандартний одновимiр-
ний вiнерiвський процес. Позначення f(x) ∼ g(x) при x → x0 буде означати асимптотичну
еквiвалентнiсть функцiй f(x) та g(x) при x → x0, тобто має мiсце рiвнiсть
lim
x→x0
f(x)
g(x)
= 1.
Функцiя sgn(x) визначається так:
sgn(x) =
1 при x > 0,
0 при x = 0,
−1 при x < 0.
Рiвняння (1) має слабкий розв’язок, якщо для даних функцiй b(x), σ(x) i константи β
iснує ймовiрнiсний простiр (Ω,ℑ,ℑt,P) з потоком σ-алгебр ℑt, t > 0, неперервний семiмар-
тингал (ξ(t),ℑt) i стандартний одновимiрний вiнерiвський процес (w(t),ℑt) такi, що
Lξ(t, 0) = lim
δ→0
1
2δ
t
∫
0
I(−δ,δ)(ξ(s)) ds (3)
iснує майже напевно i (1) виконується майже напевно.
Рiвняння (1) має сильний розв’язок, якщо для даних функцiй b(x), σ(x) i константи β
спiввiдношення (1) i (3) виконуються майже напевно на даному ймовiрнiсному просторi
(Ω,ℑ,ℑt, P ) з потоком σ-алгебр ℑt, t > 0, i даним вiнерiвським процесом (w(t),ℑt).
Для коефiцiєнтiв рiвняння (1) введемо таку умову.
Умова (I):
I1. Функцiя b(x) неперервна i точка ноль є її єдиним нулем.
I2. Iснує константа Λ така, що
b2(x) + σ2(x) 6 Λ(1 + x2), σ2(x) > Λ−1.
I3. Функцiя σ(x) не змiнює знак i є функцiєю локально обмеженої варiацiї: для будь-яко-
го N < ∞
sup
−N=x0<x1<x2<···<xk=N
k
∑
i=1
|σ(xi)− σ(xi−1)| < ∞.
I4. Константа |β| < 1.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
Будемо вважати, що в роботi для функцiї b(x) задачi (2) завжди мають мiсце умови I1
та I2. Тодi задача (2) має принаймнi один — нульовий — розв’язок i всi розв’язки цiєї задачi
проходять через точку (0; 0). З iснування двох рiзних розв’язкiв випливає, що їх нескiнченно
багато. Множину iнтегральных кривих — iнтегральну воронку — позначимо через R. Кожен
розв’язок з iнтегральної воронки можна розташувати мiж двома спецiальними розв’язками,
якi будемо називати екстремальними, — верхнiм y(t) i нижнiм y(t), де y(t) = sup{y(t), y(t) ∈
∈ R}, y(t) = inf{y(t), y(t) ∈ R}.
Вiдзначимо, що якщо b(x)x < 0 для x 6= 0, то задача (2) має лише нульовий розв’язок.
Для iснування ненульового розв’язку (2) необхiдна збiжнiсть хоча б одного з iнтегралiв
δ
∫
0
1
b(y)
dy,
0
∫
−δ
1
b(y)
dy. (4)
Отже, ненульовi розв’язки (2) iснують у таких випадках:
A1. Функцiя b(x)x > 0 при x 6= 0 i обидва iнтеграли в (4) збiжнi.
A2. Функцiя b(x)x > 0 при x 6= 0 i перший iнтеграл в (4) збiжний, а другий — розбiжний.
A3. Функцiя b(x)x > 0 при x 6= 0 i перший iнтеграл в (4) розбiжний, а другий — збiжний.
A4. Функцiя b(x) > 0 при x 6= 0 i перший з iнтегралiв в (4) збiжний.
A5. Функцiя b(x) < 0 при x 6= 0 i другий з iнтегралiв в (4) збiжний.
Позначимо H(x) =
x
∫
0
1
b(y)
dy для x > 0 i K(x) =
0
∫
x
1
b(y)
dy для x 6 0. За умови I1 данi
функцiї строго монотоннi. Позначимо через H−1(x), K−1(x) оберненi до них функцiї.
Лема 1. 1. У випадку A1 всi ненульовi розв’язки задачi (2) мають вигляд
yλ(t) = H−1((t− λ)+), λ > 0, (5)
yµ(t) = K−1(−(t− µ)+), µ > 0. (6)
При цьому екстремальними розв’язками є y(t) = H−1(t), y(t) = K−1(−t).
2. У випадках A2 i A4 всi ненульовi розв’язки задачi (2) мають вигляд (5). При цьому
екстремальними розв’язками є y(t) = H−1(t), y(t) = 0.
3. У випадках A3 i A5 всi ненульовi розв’язки задачi (2) мають вигляд (6). При цьому
екстремальними розв’язками є y(t) = 0, y(t) = K−1(−t).
Доведення. Твердження леми випливають з [10, лема 2.2, лема 2.3].
Дослiдження ваг граничної мiри приводить до обчислення виразу
ΓK = lim
ε→0
−Aε(−K)
Aε(K)−Aε(−K)
, (7)
де
Aε(x) =
x
∫
0
exp
{
−
2
ε2
z
∫
0
(1 + β sgn(v))b((1 + β sgn(v))v)
σ2((1 + β sgn(v))v)
dv
}
dz.
Для обчислення ΓK покладемо
L(x) =
x
∫
0
b(y)
σ2(y)
dy.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 9
Лема 2. Нехай b(x)x > 0 при x 6= 0, для деяких констант d, γ та δ > 0 при x → 0+
має мiсце асимптотична еквiвалентнiсть
L(x) lnγ L(x) ∼ dxδ (8)
та для деяких констант k, θ та µ > 0 при x → 0 — має мiсце асимптотична еквiва-
лентнiсть
L(x) lnθ L(x) ∼ k|x|µ. (9)
Тодi величина ΓK не залежить вiд K i мають мiсце такi твердження:
1. Якщо δ = µ i γ = θ, то
Γ =
1
1 +
1− β
1 + β
(
k
d
)1/δ
.
2. Якщо δ < µ або δ = µ i γ < θ, то Γ = 1.
3. Якщо δ > µ або δ = µ i γ > θ, то Γ = 0.
Доведення. Твердження леми випливає iз формули для Aε(x), [10, формула (2.9), ле-
ма 2.8].
Основнi результати. Вiдомо, що за умов I2 i I4 iснує єдиний слабкий розв’язок рiв-
няння (1) [8, теорема 4.35]. За допомогою зв’язку мiж розв’язками стохастичних рiвнянь
з локальним часом i розв’язками рiвнянь Iто [9] доводиться теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови I2, I3, I4. Тодi рiвняння (1) має єдиний сильний
розв’язок.
Доведення. Твердження теореми випливає iз зв’язку мiж розв’язками стохастичних
рiвнянь з локальним часом i розв’язками рiвнянь Iто [9] та результату [10, теорема 3.2].
Позначимо через µε(A) мiру, породжену процесом xε(·) на просторi (C[0,∞),B).
Теорема 2. Припустимо, що для коефiцiєнтiв рiвняння (1) мають мiсце умови I1, I2,
I4, A1, (8), (9). Тодi для мiр {µε} i для будь-якого неперервного обмеженого функцiонала F ,
заданого на просторi C[0,∞), має мiсце рiвнiсть
lim
ε→0
∫
C[0,∞)
F (f)µε(df) = ΓF (y) + (1− Γ)F (y),
де y, y — екстремальнi розв’язки задачi (2), а величина Γ визначена лемою 2.
Доведення. Твердження теореми випливає iз згаданого результату роботи [9] та ре-
зультату [10, теорема 4.1].
При дослiдженнi випадкiв A2–A5 буде застосована теорема порiвняння. Тому тут потрiб-
нi сильнi розв’язки стохастичних диференцiальних рiвнянь.
Теорема 3. Припустимо, що для коефiцiєнтiв рiвняння (1) має мiсце умова (I). У ви-
падках A2 i A4 за умов (8) гранична мiра для послiдовностi {µε} зосереджена на верхньому
екстремальному розв’язку рiвняння (2).
У випадках A3 i A5 за умов (9) гранична мiра для послiдовностi {µε} зосереджена на
нижньому екстремальному розв’язку рiвняння (2).
Доведення. Твердження теореми випливає iз згаданого результату роботи [9] та ре-
зультату [10, теорема 4.3].
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
П р и к л ад 1 . Нехай у рiвняннi (1) коефiцiєнти мають вигляд
b(x) =
{
xα1 , x > 0,
−C|x|α2 , x 6 0,
σ(x) =
{
σ1, x > 0,
σ2, x < 0,
зi сталими C > 0, σi > 0, 0 < αi 6 1, i = 1, 2.
Якщо α1 < 1, α2 = 1, то перший з iнтегралiв в (4) збiжний, а другий — розбiжний, тобто маємо
випадок A2 i y(t) = 0 за лемою 1. Аналогiчно, якщо α1 = 1, α2 < 1, то маємо випадок A3 i y(t) = 0.
Якщо 0 < α1, α2 < 1, то має мiсце випадок A1 i
L(x) =
xα1+1
σ2
1(α1 + 1)
, x > 0,
−
C|x|α2+1
σ2
2(α2 + 1)
, x < 0.
Тобто мають мiсце умови (8) i (9) з константами γ = 0, d = 1/(σ2
1(α1 + 1)), δ = α1 + 1; θ = 0,
k = C/(σ2
2(α2 + 1)), µ = α2 + 1, а значить, виконуються умови теореми 2.
Отже, маємо:
1) якщо α1 = α2 = α < 1, то
Γ =
1
1 +
1− β
1 + β
(
Cσ2
1
σ2
2
)1/(α+1)
;
2) якщо α1 < α2 6 1, то Γ = 1;
3) якщо α2 < α1 6 1, то Γ = 0.
З теорем 2, 3 маємо, що гранична мiра зосереджена з вагою Γ на верхньому екстремальному
розв’язку i з вагою 1 − Γ на нижньому екстремальному розв’язку вiдповiдної задачi Кошi (2).
П р и к л а д 2 . Нехай у рiвняннi (1) σ(x) має вигляд, як в прикладi 1, а коефiцiєнт зносу дорiвнює
b(x) =
{
xα(| lnx|+ 1), x > 0,
−|x|α, x 6 0,
0 < α < 1.
Тодi має мiсце умова A1 i умови теореми 2. Границю (7) можна обчислити за допомогою леми 2,
оскiльки мають мiсце умови (8) i (9) з константами γ = −1, d = 1/(σ2
1(α + 1)), δ = α + 1; θ = 0,
k = 1/(σ2
2(α + 1)), µ = α + 1.
Згiдно з лемою 2 маємо Γ = 1. Отже, за теоремою 2, гранична мiра зосереджена на верхньому
екстремальному розв’язку задачi Кошi (2).
1. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых слу-
чайных возмущений. – Москва: Наука, 1979. – 424 с.
2. Stroock D.W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. – Berlin: Springer, 1979. – 338 p.
3. Baldi P. Petites perturbations d’un phenomene Peano // Ann. sci. Univ. Clermont-Ferrand 2. – 1982. –
71, No 20. – P. 41–52.
4. Baldi P., Bafico R. Small random perturbations of Peano phenomena // Stochastics. – 1982. – 6. – P. 279–
292.
5. Buckdahn R., Quincampoix M., Ouknine Y. On limiting values of stochastic differential equations with
small noise intensity tending to zero // Bull. Sci. Math. – 2009. – 133. – P. 229–237.
6. Веретенников А.Ю. О приближении обыкновенных дифференциальных уравнений стохастически-
ми // Мат. заметки. – 1983. – 33, № 6. – P. 929–932.
7. Gradinaru M., Herrmann S., Roynette B. A singular large deviations phenomenon // Ann. Inst. H. Poincaré
Probab. Statist. – 2001. – 37, No 5. – P. 555–580.
8. Engelbert H. J., Schmidt W. Strong Markov continuous local martingales and solutions of one-dimensional
stochastic differential equations, III // Math. Nachr. – 1991. – 151, iss. 1. – P. 149–197.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 11
9. Махно С.Я. Предельная теорема для стохастических уравнений с локальным временем // Теория
вероятностей и мат. статистика. – 2001. – 64. – P. 106–109.
10. Крыкун И. Г., Махно С.Я. Явление Пеано для уравнений Ито // Укр. мат. вiсн. – 2013. – 10, № 1. –
P. 87–109.
Надiйшло до редакцiї 04.12.2012Iнститут прикладної математики
i механiки НАН України, Донецьк
И.Г. Крыкун
Явление Пеано для стохастических уравнений с локальным
временем
При наличии в начальной точке явления Пеано для соответствующей задачи Коши полу-
чены условия слабой сходимости мер, порожденных решениями стохастических уравнений
с локальным временем, к мере, сосредоточенной на экстремальных решениях соответст-
вующей задачи Коши в случае, когда коэффициент диффузии стремится к 0.
I.H. Krykun
Peano phenomenon for stochastic equations with local time
We consider measures generated by solutions of stochastic equations with local time and small dif-
fusion. The conditions of weak convergence of these measures to the measure generated by extreme
solutions of the corresponding Cauchy problem, when the diffusion coefficient tends to 0, are obtai-
ned, if the Peano phenomenon for the corresponding Cauchy problem holds.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85789 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:16:14Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Крикун, І.Г. 2015-08-22T14:06:02Z 2015-08-22T14:06:02Z 2013 Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом / І.Г. Крикун // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 7–12. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85789 519.21 За наявностi в початковiй точцi явища Пеано для вiдповiдної задачi Кошi отримано умови слабкої збiжностi мiр, породжених розв’язками стохастичних рiвнянь з локальним часом, до мiри, зосередженої на екстремальних розв’язках вiдповiдної задачi Кошi у випадку, коли коефiцiєнт дифузiї прямує до 0. При наличии в начальной точке явления Пеано для соответствующей задачи Коши получены условия слабой сходимости мер, порожденных решениями стохастических уравнений с локальным временем, к мере, сосредоточенной на экстремальных решениях соответствующей задачи Коши в случае, когда коэффициент диффузии стремится к 0. We consider measures generated by solutions of stochastic equations with local time and small diffusion. The conditions of weak convergence of these measures to the measure generated by extreme solutions of the corresponding Cauchy problem, when the diffusion coefficient tends to 0, are obtained, if the Peano phenomenon for the corresponding Cauchy problem holds. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом Явление Пеано для стохастических уравнений с локальным временем Peano phenomenon for stochastic equations with local time Article published earlier |
| spellingShingle | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом Крикун, І.Г. Математика |
| title | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом |
| title_alt | Явление Пеано для стохастических уравнений с локальным временем Peano phenomenon for stochastic equations with local time |
| title_full | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом |
| title_fullStr | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом |
| title_full_unstemmed | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом |
| title_short | Явище Пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом |
| title_sort | явище пеано для стохастичних рівнянь з локальним часом |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85789 |
| work_keys_str_mv | AT krikuníg âviŝepeanodlâstohastičnihrívnânʹzlokalʹnimčasom AT krikuníg âvleniepeanodlâstohastičeskihuravneniislokalʹnymvremenem AT krikuníg peanophenomenonforstochasticequationswithlocaltime |