Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці
Розглянуто усереднення та асимптотичний аналiз спектральної задачi на дрiбноперiодичнiй сiтцi з перiодичними крайовими умовами. Наведено оцiнку, що є обгрунтуванням отриманої усередненої асимптотики. Методом теорiї Флоке побудовано точнi власнi функцiї i значення задачi на сiтцi. Встановлено вiдпов...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85790 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці / А.С. Крилова, Г.В. Сандраков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 13–18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85790 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-857902025-02-10T00:00:25Z Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці Асимптотический анализ спектральной задачи на мелкопериодической сетке Asymptotic analysis of spectral problems on small-periodic networks Крилова, А.С. Сандраков, Г.В. Математика Розглянуто усереднення та асимптотичний аналiз спектральної задачi на дрiбноперiодичнiй сiтцi з перiодичними крайовими умовами. Наведено оцiнку, що є обгрунтуванням отриманої усередненої асимптотики. Методом теорiї Флоке побудовано точнi власнi функцiї i значення задачi на сiтцi. Встановлено вiдповiднiсть мiж усередненими асимптотиками та точними власними функцiями i значеннями Флоке. Рассмотрены осреднение и асимптотический анализ спектральной задачи на мелкопериодической сетке с периодическими краевыми условиями. Приведена оценка, обосновывающая полученную осредненную асимптотику. Методом теории Флоке построены точные собственные функции и значения задачи на сетке. Установлено соответствие между осредненными асимптотиками и точными собственными функциями и значениями Флоке. The homogenization and the asymptotic analysis of a spectral problem on small-periodic networks with periodic boundary conditions are considered. An estimate that is a justification of the homogenized asymptotics is presented. Explicit eigenfunctions and eigenvalues of the network problem are constructed by methods of Floquet’s theory. The equivalence between the homogenized asymptotics and the explicit Floquet’s eigenfunctions and eigenvalues is established. 2013 Article Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці / А.С. Крилова, Г.В. Сандраков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 13–18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85790 517.9 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Крилова, А.С. Сандраков, Г.В. Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто усереднення та асимптотичний аналiз спектральної задачi на дрiбноперiодичнiй сiтцi з перiодичними крайовими умовами. Наведено оцiнку, що є обгрунтуванням отриманої усередненої асимптотики. Методом теорiї Флоке побудовано точнi
власнi функцiї i значення задачi на сiтцi. Встановлено вiдповiднiсть мiж усередненими
асимптотиками та точними власними функцiями i значеннями Флоке. |
| format |
Article |
| author |
Крилова, А.С. Сандраков, Г.В. |
| author_facet |
Крилова, А.С. Сандраков, Г.В. |
| author_sort |
Крилова, А.С. |
| title |
Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці |
| title_short |
Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці |
| title_full |
Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці |
| title_fullStr |
Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці |
| title_sort |
асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85790 |
| citation_txt |
Асимптотичний аналіз спектральної задачі на дрібноперіодичній сітці / А.С. Крилова, Г.В. Сандраков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 7. — С. 13–18. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT krilovaas asimptotičniianalízspektralʹnoízadačínadríbnoperíodičníisítcí AT sandrakovgv asimptotičniianalízspektralʹnoízadačínadríbnoperíodičníisítcí AT krilovaas asimptotičeskiianalizspektralʹnoizadačinamelkoperiodičeskoisetke AT sandrakovgv asimptotičeskiianalizspektralʹnoizadačinamelkoperiodičeskoisetke AT krilovaas asymptoticanalysisofspectralproblemsonsmallperiodicnetworks AT sandrakovgv asymptoticanalysisofspectralproblemsonsmallperiodicnetworks |
| first_indexed |
2025-12-02T00:14:52Z |
| last_indexed |
2025-12-02T00:14:52Z |
| _version_ |
1850353381846024192 |
| fulltext |
УДК 517.9
А.С. Крилова, Г. В. Сандраков
Асимптотичний аналiз спектральної задачi
на дрiбноперiодичнiй сiтцi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України С. I. Ляшком)
Розглянуто усереднення та асимптотичний аналiз спектральної задачi на дрiбнопе-
рiодичнiй сiтцi з перiодичними крайовими умовами. Наведено оцiнку, що є обгрунту-
ванням отриманої усередненої асимптотики. Методом теорiї Флоке побудовано точнi
власнi функцiї i значення задачi на сiтцi. Встановлено вiдповiднiсть мiж усередненими
асимптотиками та точними власними функцiями i значеннями Флоке.
У данiй роботi проводиться усереднення спектральної задачi для рiвнянь другого порядку
на дрiбноперiодичнiй сiтцi, де розглядаються комплекснозначнi власнi функцiї. Випадок
дiйснозначних власних функцiй був дослiджений у [1]. Для поставленої задачi можна ви-
користовувати й iнший пiдхiд за рахунок спектра Флоке, який був розглянутий у [2]. Перш
нiж визначити задачу на сiтцi, розглянемо задачу на перiодично повторюванiй комiрцi, яка
є фрагментом сiтки.
1. Постановка задачi на комiрцi. Визначимо множину Y як об’єднання двох замкну-
тих натягнутих струн σ1 та σ2, якi зв’язанi в їх спiльнiй серединi та мiстяться в прямоку-
тнику Q = [0, 1] × [0, l] ⊂ R
2, де l — фiксоване додатне число. Розглянемо покриття R
2
сiткою таких прямокутникiв, у кожному з яких знаходиться одна й та сама множина Y .
Множину Y будемо називати перiодично повторюваною комiркою сiтки. Прикладом такого
об’єднання струн, якi мiстяться у перiодично повторюванiй комiрцi, є струнний хрест, який
розглянутий у [2, 3]. Струни хреста вважатимемо однорiдними вiдрiзками, розташованими
пiд прямим кутом вiдносно одна одної та такими, що мають одиничний натяг та щiльнiсть
розподiлу мас [3].
Позначимо через C(Y ) множину функцiй u : Y → C, якi є обмеженнями на Y непе-
рервних функцiй, визначених на прямокутнику Q. Функцiю u на струнному хрестi розгля-
датимемо як набiр неперервних звужень функцiї на кожну струну хреста, якi позначенi
через u1(y1), u2(y2) та параметризованi природним чином координатами y1 iз [0, 1], y2 iз
[0, l]. Визначимо iнтеграл як суму iнтегралiв по кожнiй iз струн, помножену на нормуючий
множник l/(l + 1)
∫
Y
u(y) dy =
l
l + 1
( 1
∫
0
u1(y1) dy1 +
l
∫
0
u2(y2) dy2
)
. (1)
Визначимо C1(Y ) як множину функцiй u : Y → C, якi є обмеженнями на Y функцiй
iз C1(Q), заданих на прямокутнику Q. Простiр L2(Y ) це поповнення простору C(Y ) за
нормою, iндукованою скалярним добутком (u, v)L2(Y ) =
∫
Y
uv dy.
© А.С. Крилова, Г.В. Сандраков, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 13
Функцiональний простiр H1(Y ) є поповненням C1(Y ) за нормою ‖ · ‖H1(Y ), що вiдповi-
дає скалярному добутку 〈u, v〉H1(Y ) =
∫
Y
uv dy+
∫
Y
(∂yu)(∂yv) dy. Множину функцiй u ∈ C1(Y ),
що задовольняють умови перiодичностi
u1(0) = u1(1), u2(0) = u2(l), ∂y1u1(0) = ∂y1u1(1), ∂y2u2(0) = ∂y2u2(l),
позначимо через C1
per(Y ). Поповнення множини перiодичних функцiй C1
per(Y ) за нормою
‖u‖H1(Y ) =
∫
Y
|u|2dy +
∫
Y
|∂yu|
2dy позначається через H1
per(Y ).
Розглянемо таку Y -перiодичну спектральну задачу на комiрцi: знайти u ∈ H1
per(Y ) таку,
що ‖u‖L2(Y ) = 1 та
−∂2
y1u1(y1) = λu1(y1) при y1 ∈ [0, 1], −∂2
y2u2(y2) = λu2(y2) при y2 ∈ [0, l],
u1(0) = u1(1), u2(0) = u2(l), ∂y1u1(0) = ∂y1u1(1), ∂y2u2(0) = ∂y2u2(l)
(2)
з умовами неперервностi функцiй та потокiв у вузлах перетину струн
u1
(
1
2
)
= u2
(
l
2
)
,
∂y1u1
(
1
2
+ 0
)
− ∂y1u1
(
1
2
− 0
)
+ ∂y2u2
(
l
2
+ 0
)
− ∂y2u2
(
l
2
− 0
)
= 0.
Слiд зазначити, що умови неперервностi та перiодичностi виконанi автоматично для
u ∈ C1
per(Y ) (i, у вiдомому сенсi [4], для u ∈ H1
per(Y )).
2. Задача на сiтцi. Зменшимо прямокутник Q i струни хреста Y у N разiв, де N
є заданим натуральним числом. Отримаємо множини Qε i Yε iз координатами x′ = εy при
ε = 1/N . Повторимо по перiодичностi прямокутники Qε та отримаємо замкнену область
Ω = [0, 1] × [0, l] ⊂ R
2 iз лiпшицевою границею ∂Ω. На цю область натягнута дрiбноперiо-
дична сiтка Gε в R
2, що є об’єднанням N2 струнних хрестiв Yε. Таке Yε назвемо перiодично
повторюваною комiркою з ребрами довжиною ε та lε. Параметр x′ визначає положення
точки на сiтцi Gε.
Подiбна сiтка розглядається в [4] з довiльними дугами замiсть однорiдних натягнутих
струн. Згiдно з [4], на множинi Gε визначається простiр H1(Gε) функцiй, якi є неперервними
у вузлах та абсолютно неперервними на кожнiй струнi, iз нормою
‖u‖2H1(Gε)
= ε
∫
Gε
(|u|2 + |∂x′u|2) dx′. (3)
Простiр функцiй H1
per(Gε) ⊂ H1(Gε), перiодичних на Gε
⋂
∂Ω, визначається аналогiчно
визначенню такого простору на Y . Надалi функцiю uε ∈ H1(Gε) зручнiше розглядати як
набiр 2N функцiй uε1j(x
′
1j) та uε2j(x
′
2j), визначених на прямих, отриманих перiодичними
продовженнями струн εσ1 та εσ2, якi параметризованi координатами x′1j ∈ [0, 1] та x′2j ∈
∈ [0, l], де j = 1, . . . , N .
Отже, розглядається така крайова спектральна задача на сiтцi Gε: знайти uε ∈ H1
per(Gε)
таку, що ‖uε‖L2(Gε) = 1 та
−ε2∂2
x′
1j
(uε1j) = λεu
ε
1j при x′1j ∈ [0, 1], −ε2∂2
x′
2j
(uε2j) = λεu
ε
2j при x′2j ∈ [0, l], (4)
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
uε1j(0)=uε1j(1), uε2j(0)=uε2j(l), ∂x′
1j
uε1j(0)=∂x′
1j
uε1j(1), ∂x′
2j
uε2j(0)=∂x′
2j
uε2j(l), (5)
де j = 1, . . . , N . Умови перiодичностi (5) та неперервностi функцiй i потокiв у вузлах пере-
тину струн сiтки Gε, якi визначенi для функцiй uε1j(x
′
1j) та uε2j(x
′
2j), виконанi автоматично,
оскiльки uε ∈ H1
per(Gε). Крiм того, uε1j та uε2j є досить гладкими завдяки елiптичностi цих
рiвнянь.
Задача на сiтцi (4), (5) має тривiальний розв’язок uε = C, де |C| = l−1/2, для влас-
ного значення λε = 0. Щоб виключити такий розв’язок iз розгляду, визначимо простiр
H1
per∗(Gε) = {u ∈ H1
per(Gε) : (u, 1)L2(Gε) = 0} iз нормою ‖u‖2H1
∗
(Gε)
= ε
∫
Gε
|∂x′u|2dx′, яка
еквiвалентна нормi (3) на H1
per(Gε) внаслiдок нерiвностi Пуанкаре. За визначенням, iснують
зчисленнi множини власних значень λ1
ε, λ2
ε, . . . та ортонормованих власних функцiй u1ε,
u2ε, . . . цiєї задачi таких, що αε2 6 λ1
ε 6 · · · 6 λs
ε 6 · · · , з урахуванням кратностi, де α
є деякою додатною сталою та lim
s→∞
λs
ε = ∞.
3. Спектр Флоке. Вiдмiннiстю комплекснозначного випадку вiд дiйснозначного є мож-
ливiсть знаходження великої кiлькостi точних розв’язкiв, якi описанi в [2] на основi iдеї тео-
рiї Флоке для найпростiшого фрагмента сiтки. Iдеї теорiї Флоке використовувалися ранiше
в [5] при усередненi спектральних задач iз швидкоосцилюючими коефiцiєнтами, де спектр
Флоке iз вiдповiдними власними функцiями називається також спектром Блоха iз вiдпо-
вiдними власними функцiями. Наведемо, наприклад, для непарного N та l = 1 доведену
у [2], таку теорему.
Теорема 1. Для непарного N (N = 2K + 1 з K > 1) спектральна задача (4), (5) має
власне значення λε = 4π2(n−εM)2 при M = 1, . . . , N −1 та n ∈ N, якому вiдповiдає такий
чотиривимiрний власний пiдпростiр:
uε1j = e−i(2j−1)πM
N Aei2π(Nn−M)x1j + ei(2j−1)πM
N C2e
i2π(Nn−M)x1j +
+ e−i(2j−1)πM
N C1e
−i2π(Nn−M)x1j + ei(2j−1)πM
N Ce−i2π(Nn−M)x1j , x1j ∈ [0, 1],
uε2j = e−i(2j−1)πM
N Aei2π(Nn−M)x2j + e−i(2j−1)πM
N C2e
−i2π(Nn−M)x2j +
+ ei(2j−1)πM
N C1e
i2π(Nn−M)x2j + ei(2j−1)πM
N Ce−i2π(Nn−M)x2j , x2j ∈ [0, 1],
де A, C1, C2, C є довiльними комплексними сталими та j = 1, 2, . . . , N .
Випадок парного N дещо вiдрiзняється та детальнiше розглянутий у [2]. Такий пiд-
хiд дає досить “багато” власних функцiй та щiльний спектр при великих N для задачi на
дрiбноперiодичнiй сiтцi. Однак i до такої спектральної задачi можна застосувати теорiю
усереднення для подальшого дослiдження спектра.
4. Побудова та обгрунтування асимптотики. Будувати будемо асимптотику низь-
кочастотного спектра, тобто використовувати власне значення λ0 = 0 задачi на комiрцi (2)
iз власною функцiєю N0(y) = C, де |C| = l−1/2. При побудовi початкових доданкiв асимп-
тотичного розкладення для розв’язкiв задачi (4), (5) будемо дотримуватися принципiв усе-
реднення, сформульованих у роботi [6]. Розклад власної функцiї uε та власного значення
λε задачi (4), (5) шукатимемо у виглядi асимптотичних сум
ua
(
x′,
x′
ε
)
= u0
(
x′,
x′
ε
)
+ εu1
(
x′,
x′
ε
)
+ ε2u2
(
x′,
x′
ε
)
, λa = λ0 + ελ1 + ε2λ2, (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 15
де функцiї u0(x, y), u1(x, y), . . . , якi визначенi при (x, y) ∈ Q × Y , розглядаються при x =
= x′, y = x′/ε, мають роздiленi змiни та є Y -перiодичними за другим аргументом. Такi
функцiї шукатимемо у виглядi ui = Ni(y)vi(x), де завжди Ni ∈ H1
per(Y ). З умов розв’язностi
задач для Ni можна отримати для функцiї v(x), нормованої умовою ‖v‖L2(Ω) = 1, таку
спектральну усереднену задачу:
∂2
x1
v(x) + l∂2
x2
v(x) + (l + 1)λ2v(x) = 0 при x ∈ Ω,
v(x) = v(x+ li), ∂xv(x) = ∂xv(x+ li) при x ∈ ∂Ω,
(7)
яка доповнена умовами перiодичностi у вiдповiдностi з (4), (5), де позначено l1 = 1 та l2 = l.
Розв’язки цiєї спектральної задачi визначаються зчисленними множинами власних значень
λs = 4π2(l + 1)−1(n2 +m2l−1)
при m, n ∈ N = {1, 2, . . .}, якi упорядкуємо так, що 0 < λ1
6 λ2
6 · · · (iз урахуванням
кратностi, яка може дорiвнювати 2, 4 або 8 залежно вiд l), та власних функцiй vs0(x), якi
матимуть вигляд
l−1/2ei2π(nx1+ml−1x2), l−1/2ei2π(nx1−ml−1x2),
l−1/2ei2π(−nx1+ml−1x2), l−1/2ei2π(−nx1−ml−1x2),
при m, n ∈ N. Вiдомо [7], що λs = 4πsl−1 + O(s1/2) при великих s. У результатi можна
отримати для асимптотики власних значень та функцiй такi зображення:
λs
a = ε2λs, usa(x, y) = vs0(x) + ε2N2(y)(∂
2
x1
vs0(x) + λsvs0(x)),
де N2(y) ∈ H1
per(Y ) задовольняє систему рiвнянь
−∂2
y1N
1
2 (y1) = 1, −∂2
y2N
2
2 (y2) = −l−1,
яка має розв’язок (визначений з точнiстю до постiйної функцiї AN0(y)), що нормується
таким чином, щоб
∫
Y
N0(y)N2(y) dy = 0. Функцiю N2(y) будемо продовжувати по перiо-
дичностi на всю сiтку. Отже, функцiя usa(x
′, x′/ε) є визначеною на Gε. Бiльш того, функцiя
usa(x
′, x′/ε) автоматично задовольняє умови перiодичностi (5) та неперервностi функцiй i по-
токiв у вузлах перетину струн сiтки Gε, оскiльки функцiя vs0(x), визначена на прямокут-
нику Ω, є гладкою та задовольняє умови перiодичностi на Ω, а функцiя N2(y) належить
H1
per(Y ) та є досить регулярною на Y як розв’язок елiптичного рiвняння на хрестi [4].
Обгрунтуванням побудованої асимптотики є нижченаведена теорема.
Теорема 2. Для власних значень λs
ε та власних функцiй usε задачi (4), (5) iснує ста-
ла C, яка не залежить вiд ε та s, така, що
|λs
ε − ε2λs| 6 Cε3(λs)3/2, ‖usε − vs‖L2(Gε) 6 Cε(λs)1/2,
при λs ≪ ε−2 i 0 < ε 6 ε0, де λs та vs є власним значенням та власною функцiєю вiдпо-
вiдної усередненої задачi, яка буде визначена надалi.
Оцiнка цiєї теореми виконана для всiх таких λs i usε, що λs
6 cε−2+σ iз деякою сталою c
при 0 < σ 6 2 та 0 < ε 6 ε0 (це i означає, що λs ≪ ε−2), але доведення цiєї теореми
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
може бути некоректним для λs = cε−2. Така ситуацiя є природною i пов’язана з наявнiс-
тю в задачi (4), (5) високочастотного спектра, який буде розглянутий та обгрунтований
у наступних дослiдженнях.
Доведення теореми 2 для власних значень та власних функцiй задачi (4), (5) з не дуже
великими номерами (s ≪ ε−2) проводиться на основi твердження про замiну iнтегралiв по
Ω = [0, 1] × [0, l] на iнтеграли по дрiбноперiодичнiй сiтцi Gε, аналогу леми Рiмана–Лебега
та iз застосуванням принципiв мiнiмаксу, методу Рєлея–Рiтца, якi доведенi в [7], та вiдомої
теореми Вiшика–Люстернiка [8].
5. Висновки та зауваження. У випадку l = 1 можна помiтити такий цiкавий факт.
Для отриманих власних значень λs та вiдповiдних власних функцiй vs0(x) усередненої за-
дачi (7) оберемо n = m. Тодi матимемо власне значення λs = 4π2m2, а вiдповiднi власнi
функцiї обмежимо на сiтку, тобто зафiксуємо, наприклад, для функцiї ei2π(mx1+mx2) коор-
динати x2 = ε/2, 3ε/2, . . . , 1− ε/2, якi вiдповiдають координатам горизонтальних струн, та
x1 = ε/2, 3ε/2, . . . , 1− ε/2, якi вiдповiдають координатам вертикальних струн. У результатi
ми отримаємо такi власнi функцiї на кожнiй струнi дрiбноперiодичної сiтки:
eiπmεei2πmx11 , ei3πmεei2πmx12 , . . . , e−iπmεei2πmx1N ;
eiπmεei2πmx21 , ei3πmεei2πmx22 , . . . , e−iπmεei2πmx2N .
Оберемо для точного власного значення λε = 4π2(n − εM)2, яке описане в теоремi 1,
значення n = 1 та M = N −m, m = 1, 2, . . . , N − 1. Тодi λε = ε24π2m2, а вiдповiднi власнi
функцiї матимуть такий вигляд (iз значеннями довiльних констант A = −1, C1 = 0, C2 = 0
та C = 0):
uε1j = −e−i(2j−1)πM
N ei2π(Nn−M)x1j = ei(2j−1)πmεei2πmx1j , x1j ∈ [0, 1],
uε2j = −e−i(2j−1)πM
N ei2π(Nn−M)x2j = ei(2j−1)πmεei2πmx2j , x2j ∈ [0, 1],
де j = 1, 2, . . . , N . Таким чином, точний розв’язок, який побудований на основi теорiї Флоке,
збiгається з усередненою поверхнею vs(x), яка розглянута на сiтцi Gε.
Аналогiчно перевiряється вiдповiднiсть мiж усередненою поверхнею ei2π(−mx1+mx2) та
точними власними функцiями (uε1j , u
ε
2j) iз значеннями довiльних констант A = 0, C1 = −1,
C2 = 0, C = 0; мiж ei2π(mx1−mx2) та (uε1j , u
ε
2j) iз значеннями довiльних констант A = 0,
C1 = 0, C2 = −1, C = 0; а також мiж ei2π(−mx1−mx2) та (uε1j , u
ε
2j) iз значеннями довiльних
констант A = 0, C1 = 0, C2 = 0, C = −1.
Отже, нами побудовано асимптотику для власних значень та комплекснозначних влас-
них функцiй спектральної задачi на сiтцi (4), (5), а також наведено теорему, що є об-
грунтуванням побудованих асимптотик. Крiм того, встановлено вiдповiднiсть мiж точними
розв’язками задачi на дрiбноперiодичнiй сiтцi та наближеними розв’язками, якi були отри-
манi в результатi побудови асимптотики.
1. Krylova A. S., Sandrakov G.V. Homogenization of spectral problem on small-periodic networks // J. Math.
Physics, Analysis, Geometry. – 2012. – 8, No 4. – P. 336–356.
2. Крилова А.С., Сандраков Г. В. Комплекснi власнi пiдпростори спектральної задачi на сiтцi // Журн.
обчисл. та прикл. математики. – 2012. – № 3(109). – С. 81–96.
3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. Дифференциальные уравнения на геометрических
графах. – Москва: Физматлит, 2005. – 272 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №7 17
4. Мазья В. Г., Слуцкий А.С. Осреднение дифференциального оператора на мелкой периодической
криволинейной сетке // Math. Nachr. – 1987. – 133. – С. 107–133.
5. Allaire G., Conca C. Bloch wave homogenization and spectral asymptotic analysis // J. Math. Pures et
Appl. – 1998. – 77. – P. 153–208.
6. Сандраков Г.В. Принципы осреднения уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами //
Мат. сб. – 1989. – 180, № 12. – С. 1634–1679.
7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 4. Анализ операторов. – Москва:
Мир, 1982. – 428 с.
8. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных диффе-
ренциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, вып. 5. – С. 3–122.
Надiйшло до редакцiї 29.11.2012Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
А.С. Крылова, Г. В. Сандраков
Асимптотический анализ спектральной задачи
на мелкопериодической сетке
Рассмотрены осреднение и асимптотический анализ спектральной задачи на мелкопериоди-
ческой сетке с периодическими краевыми условиями. Приведена оценка, обосновывающая по-
лученную осредненную асимптотику. Методом теории Флоке построены точные собствен-
ные функции и значения задачи на сетке. Установлено соответствие между осредненными
асимптотиками и точными собственными функциями и значениями Флоке.
A. S. Krylova, G.V. Sandrakov
Asymptotic analysis of spectral problems on small-periodic networks
The homogenization and the asymptotic analysis of a spectral problem on small-periodic networks
with periodic boundary conditions are considered. An estimate that is a justification of the homoge-
nized asymptotics is presented. Explicit eigenfunctions and eigenvalues of the network problem are
constructed by methods of Floquet’s theory. The equivalence between the homogenized asymptotics
and the explicit Floquet’s eigenfunctions and eigenvalues is established.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №7
|