Канонические функции допустимых мер в полуплоскости
Введено понятие канонической функции меры в верхней полуплоскости. Доказано, что каноническая функция гамма-эпсилон допустимой меры принадлежит классу истинно субгармонических функций конечного гамма-эпсилон типа, ее полная мера совпадает с заданной мерой и ее коэффициенты Фурье — с коэффициентами Ф...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85855 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости / К.Г. Малютин, И.И. Козлова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 11–16. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860190110037835776 |
|---|---|
| author | Малютин, К.Г. Козлова, И.И. |
| author_facet | Малютин, К.Г. Козлова, И.И. |
| citation_txt | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости / К.Г. Малютин, И.И. Козлова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 11–16. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Введено понятие канонической функции меры в верхней полуплоскости. Доказано, что каноническая функция гамма-эпсилон допустимой меры принадлежит классу истинно субгармонических функций конечного гамма-эпсилон типа, ее полная мера совпадает с заданной мерой и ее коэффициенты Фурье — с коэффициентами Фурье этой меры. Кроме того, также доказано, что каноническая функция является единственной функцией из этого класса, которая обладает такими свойствами.
Введено поняття канонiчної функцiї мiри у верхнiй пiвплощинi. Доведено, що канонiчна
функцiя гамма-епсилон допустимої мiри належить класу iстинно субгармонiчних функцiй
скiнченного гамма-епсилон типу, її повна мiра збiгається iз заданою мiрою i її коефiцiєнти Фур’є — з коефiцiєнтами Фур’є цiєї мiри. Крiм того, також доведено, що канонiчна функцiя є єдиною функцiєю з цього класу, яка має такi властивостi.
The concept of a canonical function of measure in the half-plane is entered. It is proven that the
canonical function of a gamma-epsilon possible measure belongs to the class of proper subharmonic
functions of the finite gamma-epsilon type, its full measure coincides with the given measures, and
its Fourier coefficients coincide with those of this measure. It is also proven that the canonical
function is the unique function from this class, which has these properties.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:06:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.547.22
К.Г. Малютин, И.И. Козлова
Канонические функции допустимых мер
в полуплоскости
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Введено понятие канонической функции меры в верхней полуплоскости. Доказано, что
каноническая функция гамма-эпсилон допустимой меры принадлежит классу истин-
но субгармонических функций конечного гамма-эпсилон типа, ее полная мера совпадает
с заданной мерой и ее коэффициенты Фурье — с коэффициентами Фурье этой меры. Кро-
ме того, также доказано, что каноническая функция является единственной функцией
из этого класса, которая обладает такими свойствами.
Многие важные результаты в теории субгармонических функций получаются с использова-
нием формул представления этих функций. Наиболее известная из них формула Пуассона–
Йенсена, которая дает представление субгармонической функции в круге. Отметим также
формулы Неванлинны, Симидзу–Альфорса, Карлемана, Левина. Теория субгармонических
функций в полуплоскости C+ = {z : Im z > 0}, созданная А.Ф. Гришиным [1], в значитель-
ной мере опирается на открытые им интегральные формулы. Аналогичные формулы при
различных ограничениях получали другие исследователи [2–4].
В теории субгармонических функций часто возникает обратная задача: по заданной ме-
ре построить субгармоническую функцию, мера которой в точности совпадает с заданной
мерой. Классические формулы Вейерштрасса, Адамара дают представление целых фун-
кций конечного порядка, нули которых совпадают с заданной последовательностью. Эти
формулы были обобщены в работах Л.А. Рубела [5], Б.Н. Хаббибулина [6, 7], К. Г. Ма-
лютина и В.А. Герасименко [8], К. Г. Малютина и Н.М. Садыка [9] и др. Цель настоящей
работы — получить аналогичные формулы для мер конечного (γ, ε)-типа, распределенных
в верхней полуплоскости C+. Основным инструментом исследований является метод рядов
Фурье, развитый Л.А. Рубелом и Б.А. Тейлором для мероморфных функций и распро-
страненный К.Г. Малютиным на дельта-субгармонические функции в полуплоскости [10].
Мы вводим понятие канонической функции меры конечного (γ, ε)-типа, распределенной
в верхней полуплоскости, которая в случае дискретной меры совпадает с определением ка-
нонического произведения Неванлинны, построенного по нулям функции, аналитической
в верхней полуплоскости [2].
Определение 1. Положительная, непрерывная, возрастающая и неограниченная функ-
ция γ(r), определенная на полуоси R+ = [0,∞), называется функцией роста.
Далее через γ(r) обозначаем некоторую (как правило, фиксированную) функцию рос-
та, удовлетворяющую условию lim inf
r→∞
γ(r)/r > 0. Будем пользоваться терминологией ра-
бот [1, 10]. Обозначим через C+ = {z : Im z > 0} верхнюю полуплоскость комплексного
переменного z; Через C(a, r) — открытый круг радиуса r с центром в точке a; через Ω+ — пе-
ресечение множества Ω с полуплоскостью C+ : Ω+ = Ω
⋂
C+; G — замыкание множества G.
Если 0 < r1 < r2, то D+(r1, r2) = C+(0, r2) \ C+(0, r1) означает замкнутое полукольцо.
© К.Г. Малютин, И.И. Козлова, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 11
Обозначим через SK класс субгармонических функций в C+, имеющих положительную
гармоническую мажоранту в любой ограниченной области в C+. Функции v(z) класса SK
обладают следующими свойствами [1]:
a) v(z) имеет некасательный предел v(t) почти всюду на вещественной оси, v(t) ∈
∈ L1
loc(−∞,∞);
б) на вещественной пpямой существует знакопеpеменная меpа ν такая, что
lim
y→+0
b
∫
a
v(t+ iy) dt = ν([a, b])−
1
2
ν({a})−
1
2
ν({b}).
Мера ν называется граничной мерой функции v;
в) dν(t) = v(t)dt + dσ(t), где σ — сингулярная мера относительно меры Лебега.
Для функции v ∈ SK определим, следуя [1], полную меру λ как
λ(K) = 2π
∫
C+∩K
Im ζ dµ(ζ)− ν(K),
где µ — риссовская мера функции v. Мера λ обладает следующими свойствами: 1) λ —
конечная мера на каждом компакте K ⊂ C; 2) λ — положительная мера вне R; 3) λ равна
нулю в полуплоскости C− = {z : Im z < 0}. Совокупность условий 1–3 обозначим через {G},
если, кроме того, 4) мера λ неотрицательная и на R, то — через {G+}.
Субгармоническая в C+ функция v называется истинно субгармонической, если
lim sup
z→t
v(z) 6 0 для любого вещественного числа t ∈ R. Класс истинно субгармониче-
ских функций обозначим через JS. Полная мера функций класса JS обладает свойства-
ми {G+}. Класс истинно дельта-субгармонических функций Jδ определяется как разность
Jδ = JS − JS.
Пусть v ∈ Jδ, v = v+−v−, λ — полная мера v, а λ = λ+−λ− — жорданово разложение λ.
Положим
m(r, v) :=
1
r
π
∫
0
v+(re
iϕ) sinϕdϕ, N(r, v) :=
r
∫
r0
λ−(t)
t3
dt,
T (r, v) := m(r, v) +N(r, v) +m(r0,−v),
где r0 — произвольное положительное число и r > r0; можно взять r0 = 1.
Справедливо равенство [1]
T (r, v) = T (r,−v). (1)
Пусть ε(r) — невозрастающая функция на [0;+∞) такая, что ε(0) = 1, и для некоторого
η > 1 неравенство ε(r + rε(r)) > (ε(r))η верно для всех больших r. Обозначим класс таких
функций через E .
Следуя Хабибуллину, введем определение.
Определение 2. Пусть γ — функция роста, ε ∈ E . Функция v ∈ Jδ, 0 /∈ suppλv,
v(0) = 0, называется функцией конечного (γ, ε)-типа, если существуют постоянные α, A
и B > 0 такие, что
T (r, v) 6
A
r(ε(r))α
γ(r +Bε(r)r).
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Обозначим через Jδ((γ, ε)) класс функций конечного (γ, ε)-типа, через JS((γ, ε)) — класс
истинно субгармонических функций конечного (γ, ε)-типа. Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Класс Jδ((γ, ε)) представляет собой вещественное векторное пространство,
а JS((γ, ε)) — конус.
Это следует из (1) и неравенства T
(
r,
∑
vj
)
6
∑
T (r, vj).
Основным результатом нашей работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть мера λ удовлетворяет условиям {G+}, (2), (3). Тогда ее канони-
ческая функция v(z) принадлежит классу JS(γ, ε), ее коэффициенты Фурье совпадают
с коэффициентами Фурье меры λ, а ее полная мера совпадает с мерой λ. Причем v(z) —
единственная функция, обладающая этими свойствами.
Положительная мера λ имеет конечную (γ, ε)-плотность, если существуют положи-
тельные постоянные α, A и B такие, что
N(r, λ) :=
r
∫
r0
λ(t)
t3
dt 6
A
r(ε(r))α
γ(r +Bε(r)r). (2)
Пусть λ — мера, удовлетворяющая условиям {G+}. Обозначим
S+(r; k, λ) =
1
πk
∫∫
D+(r0,r)
sin kϕ
τk Im ζ
dλ(ζ) +
1
πkr2k0
∫∫
C+(0,r0)
sin kϕ
Im ζ
τkdλ(ζ),
где ζ = τeiϕ, r0 > 0 — фиксиpованное число, k ∈ N,
S+(r1, r2; k, λ) = S+(r2; k, λ) − S+(r1; k, λ), r1 6 r2,
S′
+(r; k, λ) =
1
πkrk
∫∫
C+(0,r)
sin kϕ
Im ζ
τkdλ(ζ),
при этом символ λ, если это не вызывает недоразумений, будем опускать.
Мера λ называется (γ, ε)-сбалансированной, если существуют положительные постоян-
ные A, B, при которых
|S+(r1, r2; k, λ)| 6
Aγ(r1 +Bε(r1)r1)
rk1 (ε(r1))
α
+
Aγ(r2 +Bε(r2)r2)
rk2(ε(r2))
α
, (3)
для всех r2 > r1 > 0 и k = 2, 3, . . ..
Мера λ называется (γ, ε)-допустимой, если она (γ, ε)-сбалансированна и имеет конечную
(γ, ε)-плотность.
Мера λ называется (γ, ε)-взвешенной, если существуют последовательность веществен-
ных чисел α = {αk} и положительные постоянные A, B, при которых для всех r > 0, k ∈ N
выполняется неравенство
|αk + S+(r; k, λ)| 6
Aγ(r +Bε(r)r)
rk(ε(r))α
. (4)
В работе [10] было введено следующее определение. Пусть α = {αk} — некоторая после-
довательность вещественных чисел. Функции
ck(r;λ, α) = rk(αk + S+(r; k))− S′
+(r; k), k ∈ N, (5)
называются коэффициентами Фурье пары (λ, α).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 13
Пара (λ, α) называется (γ, ε)-допустимой, если мера λ имеет конечную γ-плотность
и существуют положительные постоянные A, B, при которых
|ck(r;λ, α)| 6
Aγ(r +Bε(r)r)
(ε(r))α
, r > 0, k ∈ N. (6)
В определении (5) коэффициенты Фурье зависят от выбора последовательности α. Мы
введем понятие коэффициентов Фурье меры, которое не зависит от выбора последователь-
ности чисел α, а зависит только от самой меры.
Пусть мера λ имеет конечную (γ, ε)-плотность, а γ — функция роста. Положим p[γ] =
= ∞, если для всех p ∈ N выполняется условие lim inf
r→∞
γ(r)r−p > 0, и p[γ] = min{p : p ∈
∈ N, lim inf
r→∞
γ(r)r−p = 0} в противном случае.
Для 1 6 k < p[γ] обозначим r′k = inf rk, где нижняя грань берется по всем rk, для
которых неравенство
Aγ(rk +Bε(rk)rk)
rkk(ε(rk))
α
6 2
Aγ(r +Bε(r)r)
rk(ε(r))α
выполняется для всех r > 0, а число B удовлетворяет неравенствам (3) и (4). Для таких k
определим
αk = −S+(r
′
k; k). (7)
Если p[γ] < ∞, то по определению p[γ] существует последовательность {rj}, rj ↑ ∞ при
j → ∞, такая, что
lim
j→∞
γ(rj +Bε(rj)rj)
(ε(rj))α
r
−p[γ]
j = 0. (8)
Тогда для k > p[γ] положим
αk = − lim
j→∞
S(rj ; k). (9)
Определение 3. Пусть в определении (5) в качестве последовательности α взяты числа,
определяемые формулой (7), с заменой rk на r′k, и формулой (9). Тогда коэффициенты
Фурье пары (λ, α) называются коэффициентами Фурье меры λ (соответствующими функ-
ции роста γ(r) и функции ε(r)).
Покажем корректность этого определения в случае, когда мера λ (γ, ε)-допустима. По
предположению имеем
|S+(rm, rj ; k)| 6
Aγ(rm +Bε(rm)rm)
rkm(ε(rm))α
+
Aγ(rj +Bε(rj)rj)
rkj (ε(rj))
α
.
Отсюда следует фундаментальность последовательности {S+(rj ; k)} для k > p[γ]. Дока-
жем, что предел в (9) не зависит от выбора последовательности {rj}
∞
j=1, удовлетворяющей
условию (8). Действительно, пусть {r1j }
∞
j=1 и {r2j }
∞
j=1 — две такие последовательности, а α1
k
и α2
k — соответствующие им пределы в (9). При заданном ε > 0 выберем номер j0 так,
чтобы при j > j0 выполнялись неравенства
|α1
k + S(r1j ; k)| 6 ε, |α2
k + S(r2j ; k)| 6 ε.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Тогда
|α1
k − α2
k| 6 |α1
k + S(r1j ; k)|+ |α2
k + S(r2j ; k)| 6 2ε+ |S(r1j , r
2
j ; k)| 6
6 2ε+
Aγ(r1j +Bε(r1j )r
1
j )
r1j
k
(ε(r1j ))
α
+
Aγ(r2j +Bε(r2j )r
2
j )
r2j
k
(ε(r2j ))
α
.
И эта разность может быть сделана как угодно малой в силу условия (8).
Определение 4. Коэффициенты Фурье меры λ называются (γ, ε)-допустимыми, если
они удовлетворяют неравенству (6).
Лемма 2. Коэффициенты Фурье cn(r, λ), n ∈ N, меры λ являются (γ, ε)-допустимыми
тогда и только тогда, когда мера λ является (γ, ε)-допустимой.
Введем теперь понятие канонической функции (γ, ε)-допустимой меры λ. Пусть ck(r) =
= ck(r;λ) — коэффициенты Фурье меры λ. Положим
Φ(ρeiϕ) =
∞
∑
k=1
ck(ρ) sin kϕ, Pρ(z) = −
1
2π
∫∫
C+(0,ρ)
K(z, ζ) dλ(ζ),
aρ(z) =
ρ
2π
π
∫
0
∂G(z, ρeiϕ)
∂n
Φ(ρeiϕ) dϕ, vρ(z) = aρ(z) + Pρ(z),
где G — функция Грина полукруга C+(0, ρ).
Положим теперь v(z) = vρ(z) при |z| < ρ.
Определение 5. Функция v(z) называется канонической функцией меры λ.
Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы № 0111U002152.
1. Гришин А.Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций // Мат.
физика, анализ, геометрия. – 1994. – 1, № 2. – С. 193–215.
2. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. – Москва: Наука, 1986. – 240 с.
3. Hayman W.K. Questions of regularity connected with Phragmen–Lindelöf principle // J. Math. pure et
appl. – 1956. – 35. – P. 115–126.
4. Ito J.-I. Subharmonic functions in the half-plane // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 129, No 3. –
P. 479–499.
5. Rubel L.A. A generalised canonical product // Современные проблемы теории аналитических функ-
ций. – Москва: Наука, 1966. – С. 264–270.
6. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных
функций и гармонические миноранты // Мат. сб. – 2007. – 198, № 2. – С. 121–160.
7. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных
функций и гармонические миноранты. II. Целые функции // Там же. – 2009. – 200, № 2. – С. 129–158.
8. Малютин К.Г., Герасименко В.А. Обобщенные канонические произведения в комплексной плоскос-
ти // Вестн. Харьков. ун-та. Математика, прикл. математика и механика. – 2007. – 57, № 790. –
С. 198–205.
9. Малютин К.Г., Садык Н.М. Представление субгаpмонических функций в полуплоскости // Мат.
сб. – 2007. – 198, № 12. – С. 47–62.
10. Малютин К. Г. Ряды Фурье и дельта-субгармонические функции конечного гамма-типа в полуплос-
кости // Там же. – 2001. – 192, № 6. – С. 51–70.
Поступило в редакцию 03.01.2013Сумской государственный университет
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 15
К.Г. Малютiн, I. I. Козлова
Канонiчнi функцiї допустимих мiр у пiвплощинi
Введено поняття канонiчної функцiї мiри у верхнiй пiвплощинi. Доведено, що канонiчна
функцiя гамма-епсилон допустимої мiри належить класу iстинно субгармонiчних функцiй
скiнченного гамма-епсилон типу, її повна мiра збiгається iз заданою мiрою i її коефiцiєнти
Фур’є — з коефiцiєнтами Фур’є цiєї мiри. Крiм того, також доведено, що канонiчна функцiя
є єдиною функцiєю з цього класу, яка має такi властивостi.
K.G. Malyutin, I. I. Kozlova
Canonical functions of possible measures in the half-plane
The concept of a canonical function of measure in the half-plane is entered. It is proven that the
canonical function of a gamma-epsilon possible measure belongs to the class of proper subharmonic
functions of the finite gamma-epsilon type, its full measure coincides with the given measures, and
its Fourier coefficients coincide with those of this measure. It is also proven that the canonical
function is the unique function from this class, which has these properties.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85855 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:06:05Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малютин, К.Г. Козлова, И.И. 2015-08-26T17:39:42Z 2015-08-26T17:39:42Z 2013 Канонические функции допустимых мер в полуплоскости / К.Г. Малютин, И.И. Козлова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 11–16. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85855 517.547.22 Введено понятие канонической функции меры в верхней полуплоскости. Доказано, что каноническая функция гамма-эпсилон допустимой меры принадлежит классу истинно субгармонических функций конечного гамма-эпсилон типа, ее полная мера совпадает с заданной мерой и ее коэффициенты Фурье — с коэффициентами Фурье этой меры. Кроме того, также доказано, что каноническая функция является единственной функцией из этого класса, которая обладает такими свойствами. Введено поняття канонiчної функцiї мiри у верхнiй пiвплощинi. Доведено, що канонiчна
 функцiя гамма-епсилон допустимої мiри належить класу iстинно субгармонiчних функцiй
 скiнченного гамма-епсилон типу, її повна мiра збiгається iз заданою мiрою i її коефiцiєнти Фур’є — з коефiцiєнтами Фур’є цiєї мiри. Крiм того, також доведено, що канонiчна функцiя є єдиною функцiєю з цього класу, яка має такi властивостi. The concept of a canonical function of measure in the half-plane is entered. It is proven that the
 canonical function of a gamma-epsilon possible measure belongs to the class of proper subharmonic
 functions of the finite gamma-epsilon type, its full measure coincides with the given measures, and
 its Fourier coefficients coincide with those of this measure. It is also proven that the canonical
 function is the unique function from this class, which has these properties. Работа выполнена в рамках научно-исследовательской темы № 0111U002152. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Канонические функции допустимых мер в полуплоскости Канонiчнi функцiї допустимих мiр у пiвплощинi Canonical functions of possible measures in the half-plane Article published earlier |
| spellingShingle | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости Малютин, К.Г. Козлова, И.И. Математика |
| title | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости |
| title_alt | Канонiчнi функцiї допустимих мiр у пiвплощинi Canonical functions of possible measures in the half-plane |
| title_full | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости |
| title_fullStr | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости |
| title_full_unstemmed | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости |
| title_short | Канонические функции допустимых мер в полуплоскости |
| title_sort | канонические функции допустимых мер в полуплоскости |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85855 |
| work_keys_str_mv | AT malûtinkg kanoničeskiefunkciidopustimyhmervpoluploskosti AT kozlovaii kanoničeskiefunkciidopustimyhmervpoluploskosti AT malûtinkg kanoničnifunkciídopustimihmirupivploŝini AT kozlovaii kanoničnifunkciídopustimihmirupivploŝini AT malûtinkg canonicalfunctionsofpossiblemeasuresinthehalfplane AT kozlovaii canonicalfunctionsofpossiblemeasuresinthehalfplane |