Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем
Запропоновано iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку, який грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi моменту часу, коли поправки явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок до поправки для наступної точки дискретизацiї д...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85859 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 33–37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859738404959289344 |
|---|---|
| author | Заяць, В.М. |
| author_facet | Заяць, В.М. |
| citation_txt | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 33–37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку, який грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi
моменту часу, коли поправки явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок
до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної системи. Пiдтверджено доцiльнiсть його застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем коливної природи з високою добротнiстю та тривалими перехiдними процесами.
Предложен итерационный подход к минимизации погрешности дискретизации численных
методов второго порядка, основанный на модификации метода трапеций и установлении
момента времени, когда поправки явного и неявного методов Эйлера имеют одинаковый
вклад в поправку для следующей точки дискретизации динамической системы. Подтверждена целесообразность его применения к анализу нелинейных динамических систем колебательной природы с высокой добротностью и длительными переходными процессами.
An iteration approach to the minimization discretization errors for second-order numerical methods
is proposed. It is based on a modification of the method of trapezoids and on setting the time
when the contributions of the explicit and implicit Euler methods to the amendment to the next
discretization point of a dynamical system are the same. The expediency of its application to the
analysis of nonlinear dynamical systems of the oscillatory nature with a high quality factor and
long transient processes is confirmed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T16:18:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2013
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 681.142
В.М. Заяць
Iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки числових
методiв другого порядку та їх застосування до аналiзу
нелiнiйних динамiчних систем
(Представлено членом-кореспондентом НАН України О.Є. Божком)
Запропоновано iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових мето-
дiв другого порядку, який грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi
моменту часу, коли поправки явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок
до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної системи. Пiдтверджено до-
цiльнiсть його застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем коливної природи
з високою добротнiстю та тривалими перехiдними процесами.
1. При аналiзi складних динамiчних процесiв та явищ, якi можна описати системою непе-
рервних диференцiйних рiвнянь, поданих у нормальнiй формi Кошi
dx
dt
= f [x(t), t)],
де x — N -мiрний вектор змiнних стану; f — N -мiрна вектор-функцiя, що описує динамiку
фазових траєкторiй системи, використовують числовi (рiзницевi) методи для проведення
дискретизацiї. Такi методи повиннi бути збiжними та мати малу похибку дискретизацiї для
забезпечення збереження якiсної та кiлькiсної вiдповiдностi мiж дослiджуваним процесом
або явищем та його дискретною моделлю [1–5]. Друга вимога до рiзницевих методiв — це
властивiсть A-стiйкостi. У протилежному випадку наявнiсть незначної локальної похибки
обмежень, допущеної на одному кроцi, може призвести до нагромадження цiєї похибки
в процесi руху зображуючої точки вздовж фазової траєкторiї i цiлковитої непридатностi
для прикладних застосувань остаточного результату обчислень [6, 8].
У програмах комп’ютерного аналiзу електронних схем [8], аналiзi поведiнки систем зi
складною динамiкою [3, 4], аналiзi коливних систем з високою добротнiстю, для яких пере-
хiднi процеси є тривалими [6], виникає проблема мiж складнiстю рiзницевого алгоритму та
його точнiстю. Як правило, застосовують методи не вище другого порядку складностi або
© В. М. Заяць, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 33
їх комбiнацiї. Зокрема, часто використовується метод трапецiй [6–8]. Рiзницева формула
цього методу має вигляд:
xn+1 = xn +
h
2
(fn + fn+1). (1)
Ця формула є комбiнацiєю двох методiв: на першiй половинi кроку дискретизацiї застосо-
вується явний метод Ейлера, а на другiй половинi — неявний метод Ейлера [8]. В результатi
побудови такої комбiнацiї, як засвiдчують численнi публiкацiї, точнiсть зростає бiльше нiж
на порядок, порiвняно з методами Ейлера. Крiм того, для цього методу характерна вла-
стивiсть A-стiйкостi.
2. Спосiб мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї. У роботi [7] запропоновано врахову-
вати поправки для наступної точки дискретизацiї не на серединi кроку, а в той момент часу,
коли внески явного i неявного методiв Ейлера є еквiвалентними. З цiєю метою рiзницеву
формулу (1) подано у виглядi, запропонованому Лiнiгером–Уiлабi:
xn+1 = xn + h(1 − µ)fn + h · µ · fn+1, (2)
яка при µ = 0 вiдповiдає явному методу Ейлера; µ = 0,5 — методу трапецiй; µ = 1 —
неявному методу Ейлера. Прирiвнявши другий i третiй члени з правого боку у форму-
лi (2), отримуємо значення параметра µ, при якому явний i неявний методи Ейлера вносять
однаковий внесок у поправку до значення xn:
µ =
fn
fn + fn+1
. (3)
Пiсля пiдстановки (3) в (2) одержуємо нову рiзницеву формулу:
xn+1 = xn +
2 · h · fn · fn+1
(fn + fn+1)
. (4)
Оскiльки за побудовою формули (4) внесок кожного з методiв Ейлера не перевищує поло-
вини вiддалi мiж xn i xn+1, то метод (4) дає гарантоване обмеження на величину похибки
дискретизацiї на кожному кроцi та забезпечує її додатнiсть.
Геометрична iлюстрацiя запропонованого способу зменшення похибки дискретизацiї про-
iлюстрована на рис. 1. Якщо поправки за явним та неявним методами Ейлера до наступної
точки дискретизацiї враховувати в момент часу, що вiдповiдає точцi C, як показано на
рис. 1, то отримаємо метод трапецiї; в точцi B маємо пропонований метод, який зрiвнова-
жує внески методiв Ейлера; в точцi A одержуємо оптимальну комбiнацiю, яка вiдповiдає
точцi перетину дотичних до xn та xn+1 точок дискретизацiї.
Для оцiнки похибки методу (4) проведено аналiз похибки дискретизацiї на прикладi
моделi консервативної системи другого порядку
d2x
dt2
= −ω2
0x,
де ω0 — частота коливань консервативної системи, який пiдтвердив, що похибка дискрети-
зацiї методу (4) пропорцiйна до h2/24, як i в методi трапецiй, але має протилежний знак i
в два рази меншу абсолютну величину. Дослiдження показали, що метод (4), як i метод тра-
пецiй, має властивiсть A-стiйкостi. Цей результат пiдтверджено розрахунком генераторних
схем з тривалими перехiдними процесами.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
Рис. 1. Геометрична iнтерпретацiя iтерацiйного пiдходу до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї
3. Iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї. Враховуючи, що по-
хибка методу (4) i методу трапецiй (формула (1)) мають протилежнi знаки, можна провести
їх арифметичне усереднення, тим самим зменшивши величину похибки. Застосовуючи на
першiй половинi кроку формулу (4), а на другiй — формулу (1), отримуємо рiзницеву фор-
мулу
xn+1 = xn +
h · fn · fn+1
(fn + fn+1)
+
h
4
(fn + fn+1), (5)
яку назвемо рiзницевою комбiнацiєю першого роду (К1Р). Похибка дискретизацiї при за-
стосуваннi (5) до консервативної системи виявилася вдвiчi меншою, порiвняно з методом (4)
i протилежною за знаком по вiдношенню до методу трапецiї. Тепер пiсля усереднення (1)
i (5) отримуємо рiзницеву комбiнацiю другого роду (К2Р):
xn+1 = xn +
h · fn · fn+1
2(fn + fn+1)
+
3h
8
(fn + fn+1). (6)
Як засвiдчили результати аналiзу похибки дискретизацiї методу (6) при розглядi моделi
без втрат, вона виявилася у чотири рази меншою за похибку методу трапецiй i в два рази
меншою, нiж похибка методу (5). При цьому знак похибки в К2Р збiгається зi знаком
похибки у методi трапецiй i протилежний до похибки, який дає К1Р. Таким чином, можна
очiкувати подальшого зменшення величини похибки дискретизацiї комбiнацiї методiв (5)
i (6), яка приводить до рiзницевої комбiнацiї третього роду (К3Р):
xn+1 = xn +
3h · fn · fn+1
4(fn + fn+1)
+
5h
16
(fn + fn+1). (7)
Зауважимо, що розглядати комбiнацiю (6) з (4) недоцiльно (хоча вона й має право на
iснування), оскiльки (5) має в чотири рази меншу похибку дискретизацiї, порiвняно з (4).
Крiм того, знаки похибки в (4) i (6) збiгаються.
4. Оптимальна комбiнацiя для мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї. Запропоно-
ванi комбiнацiї рiзницевих схем побудовано таким чином, що в комбiнацiях непарного роду
(К1Р, К3Р) бiльш iстотним є внесок другого члена в отриманi формули порiвняно з третiм,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 35
а в комбiнацiях парного роду (К2Р) цi внески практично вирiвнюються. Така побудова за-
безпечує змiну знака похибки при отриманнi нової комбiнацiї. Отже, можна сконструювати
метод другого порядку, який забезпечить з точнiстю до членiв другого порядку малостi як
завгодно малу похибку дискретизацiї. Пiсля арифметичного усереднення (6) i (7) приходи-
мо до рiзницевої схеми четвертого роду (К4Р):
xn+1 = xn +
5h · fn · fn+1
8(fn + fn+1)
+
11h
32
(fn + fn+1). (8)
Аналiзуючи формули (5)–(8), на k-му кроцi, застосовуючи пiвкроку парну комбiнацiю, а пiв-
кроку непарну, отримуємо рiзницеву схему для комбiнацiї k-го роду (ККР):
xn+1 = xn +
ak · h · fn · fn+1
(fn + fn+1)
+ ak+1 · h · (fn + fn+1), (9)
де
ak −
2k − (−1)k
3 · 2k−1
; ak+1 =
2k+1 + (−1)k
3 · 2k+1
.
Очевидно, з ростом k величини коефiцiєнтiв ak i ak+1 зменшуються, що приводить до змен-
шення похибки дискретизацiї.
При цьому похибка дискритизацiї будь-якої k-ї комбiнацiї може бути обчислена за фор-
мулою
δ =
(−1)k
2k+1
, (10)
про що свiдчить аналiз консервативних систем другого порядку та систем з високою до-
бротнiстю високих порядкiв.
Для мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї в (9) здiйснимо граничний перехiд, спрямував-
ши k до безмежностi. Отримуємо рiзницеву схему (11), для якої з точнiстю до членiв другого
порядку малостi похибка дискретизацiї вiдсутня:
xn+1 = xn +
2h · fn · fn+1
3(fn + fn+1)
+
1
3
h(fn + fn+1). (11)
Висновок про вiдсутнiсть похибки дискретизацiї рiзницевої схеми (11) випливає з форму-
ли (10), якщо в нiй спрямувати k до безмежностi.
Зазначимо, що всi отриманi рiзницевi формули (4)–(9), (11) для дискретизацiї непе-
рервних систем мають властивiсть A-стiйкостi, що унеможливлює накопичення похибки
дискретизацiї при тривалих перехiдних процесах, якi характернi для динамiчних систем
з високою добротнiстю. Цей результат пiдтверджено розрахунком кварцових генераторних
пристроїв та високодобротних генераторних схем з тривалими перехiдними процесами [6].
1. Бондаренко В.М., Герасымив И.И., Мандзий Б.А., Маранов А. В. Анализ точности и качественного
соответствия дискретных моделей электрических цепей. – Киев, 1983. – 44 с. – (Препринт / НАН
Украины, Ин-т электродинамики, № 307).
2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – Москва:
Наука, 1987. – 384 с.
3. Васильев В.И., Шевченко А.И. Комбинированный алгоритм оптимальной сложности // Працi Мiж-
нар. конф. “Штучний iнтелект”. – Т. 1. – Крим, 2002. – С. 308–310.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №8
4. Заяць В.М. Построение и анализ дискретной модели дискретно-колебательной системы // Киберне-
тика и системный анализ. – 2000. – № 4. – С. 161–165.
5. Заяць В.М. Аналiз динамiки та умов стiйкостi дискретних моделей коливних систем // Вiсн. НУ
“Львiвська полiтехнiка”. Iнформацiйнi системи та мережi. – 2004. – № 519. – С. 132–142.
6. Заяц В.М. Ускоренный поиск установившихся режимов в высокочастотных автогенераторах с дли-
тельными переходными процессами // Изв. вузов. Радиоэлектроника. – 1993. – № 3. – С. 26–32.
7. Заяць В.М. Побудова комбiнованих рiзницевих методiв другого порядку // Зб. праць наук.-техн.
конф. “Обчислювальнi методи i системи перетворення iнформацiї”. – Львiв, 7–8 жовтня 2011. – ФМI
НАНУ. – 2011. – С. 34–36.
8. Чуа Л.О., Лин П.-М. Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). –
Москва: Энергия, 1980. – 640 с.
Надiйшло до редакцiї 07.12.2012НУ “Львiвська полiтехнiка”
В.М. Заяц
Итерационный подход к минимизации погрешности численных
методов второго порядка и их применение к анализу нелинейных
динамических систем
Предложен итерационный подход к минимизации погрешности дискретизации численных
методов второго порядка, основанный на модификации метода трапеций и установлении
момента времени, когда поправки явного и неявного методов Эйлера имеют одинаковый
вклад в поправку для следующей точки дискретизации динамической системы. Подтвер-
ждена целесообразность его применения к анализу нелинейных динамических систем коле-
бательной природы с высокой добротностью и длительными переходными процессами.
V.M. Zayats
An iteration approach to the minimization of errors for second-order
numerical methods and their application to the for analysis of nonlinear
dinamical systems
An iteration approach to the minimization discretization errors for second-order numerical methods
is proposed. It is based on a modification of the method of trapezoids and on setting the time
when the contributions of the explicit and implicit Euler methods to the amendment to the next
discretization point of a dynamical system are the same. The expediency of its application to the
analysis of nonlinear dynamical systems of the oscillatory nature with a high quality factor and
long transient processes is confirmed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №8 37
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85859 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T16:18:00Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заяць, В.М. 2015-08-26T17:40:58Z 2015-08-26T17:40:58Z 2013 Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем / В.М. Заяць // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 8. — С. 33–37. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85859 681.142 Запропоновано iтерацiйний пiдхiд до мiнiмiзацiї похибки дискретизацiї числових методiв другого порядку, який грунтується на модифiкацiї методу трапецiй i встановленнi моменту часу, коли поправки явного i неявного методiв Ейлера мають однаковий внесок до поправки для наступної точки дискретизацiї динамiчної системи. Пiдтверджено доцiльнiсть його застосування до аналiзу нелiнiйних динамiчних систем коливної природи з високою добротнiстю та тривалими перехiдними процесами. Предложен итерационный подход к минимизации погрешности дискретизации численных методов второго порядка, основанный на модификации метода трапеций и установлении момента времени, когда поправки явного и неявного методов Эйлера имеют одинаковый вклад в поправку для следующей точки дискретизации динамической системы. Подтверждена целесообразность его применения к анализу нелинейных динамических систем колебательной природы с высокой добротностью и длительными переходными процессами. An iteration approach to the minimization discretization errors for second-order numerical methods is proposed. It is based on a modification of the method of trapezoids and on setting the time when the contributions of the explicit and implicit Euler methods to the amendment to the next discretization point of a dynamical system are the same. The expediency of its application to the analysis of nonlinear dynamical systems of the oscillatory nature with a high quality factor and long transient processes is confirmed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем Итерационный подход к минимизации погрешности численных методов второго порядка и их применение к анализу нелинейных динамических систем An iteration approach to the minimization of errors for second-order numerical methods and their application to the for analysis of nonlinear dinamical systems Article published earlier |
| spellingShingle | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем Заяць, В.М. Інформатика та кібернетика |
| title | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем |
| title_alt | Итерационный подход к минимизации погрешности численных методов второго порядка и их применение к анализу нелинейных динамических систем An iteration approach to the minimization of errors for second-order numerical methods and their application to the for analysis of nonlinear dinamical systems |
| title_full | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем |
| title_fullStr | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем |
| title_full_unstemmed | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем |
| title_short | Ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем |
| title_sort | ітераційний підхід до мінімізації похибки числових методів другого порядку та їх застосування до аналізу нелінійних динамічних систем |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85859 |
| work_keys_str_mv | AT zaâcʹvm íteracíiniipídhíddomínímízacíípohibkičislovihmetodívdrugogoporâdkutaíhzastosuvannâdoanalízunelíníinihdinamíčnihsistem AT zaâcʹvm iteracionnyipodhodkminimizaciipogrešnostičislennyhmetodovvtorogoporâdkaiihprimeneniekanalizunelineinyhdinamičeskihsistem AT zaâcʹvm aniterationapproachtotheminimizationoferrorsforsecondordernumericalmethodsandtheirapplicationtotheforanalysisofnonlineardinamicalsystems |