Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня
Вивчено умовнi симетрiї (1+1)-вимiрного лiнiйного рiвняння стрижня, що iлюструє нову теорему про лiнiйнi оператори редукцiї лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Изучены условные симметрии (1+1)-мерного линейного уравнения стержня, что иллюстрирует новую теорему о линейных операт...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85885 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня / В.М. Бойко, Р.О. Попович // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 7–15. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859589745814798336 |
|---|---|
| author | Бойко, В.М. Попович, Р.О. |
| author_facet | Бойко, В.М. Попович, Р.О. |
| citation_txt | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня / В.М. Бойко, Р.О. Попович // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 7–15. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Вивчено умовнi симетрiї (1+1)-вимiрного лiнiйного рiвняння стрижня, що iлюструє
нову теорему про лiнiйнi оператори редукцiї лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.
Изучены условные симметрии (1+1)-мерного линейного уравнения стержня, что иллюстрирует новую теорему о линейных операторах редукции линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Conditional symmetries of the (1+1)-dimensional linear rod equation are studied, which illustrates
a new theorem on linear reduction operators of linear partial differential equations.
|
| first_indexed | 2025-11-27T13:52:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
В.М. Бойко, Р.О. Попович
Умовнi симетрiї лiнiйного рiвняння стрижня
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Вивчено умовнi симетрiї (1+1)-вимiрного лiнiйного рiвняння стрижня, що iлюструє
нову теорему про лiнiйнi оператори редукцiї лiнiйних диференцiальних рiвнянь з час-
тинними похiдними.
Для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними iснують добре розвинутi
методи побудови їх аналiтичних розв’язкiв, зокрема, метод роздiлення змiнних, рiзнома-
нiтнi iнтегральнi перетворення, ряди Фур’є та їх узагальнення. У той же час дослiдження
симетрiй таких рiвнянь є важливим насамперед для розвитку нових методiв самого симет-
рiйного аналiзу.
У цiй роботi дослiджено оператори редукцiї (якi називають також некласичними або
умовними симетрiями) (1+1)-вимiрного лiнiйного рiвняння стрижня зi сталими коефiцiєн-
тами utt+λuxxxx = 0, λ > 0, для невiдомої функцiї u двох незалежних змiнних t й x. Це рiв-
няння описує поперечнi коливання еластичного стрижня i є спецiальним випадком рiвняння
балки (рiвняння Ейлера–Бернуллi). Лiївськi симетрiї та загальна проблема еквiвалентностi
для класу рiвнянь Ейлера–Бернуллi дослiджувалися в роботах [1–3]. Без обмеження загаль-
ностi, за допомогою масштабних перетворень за змiнною t або x, можна покласти λ = 1,
тобто достатньо розглядати рiвняння
utt + uxxxx = 0. (1)
Деякi простi розв’язки цього рiвняння наведено в [4, § 9.2.2]. Його максимальною алгеброю
лiївської iнварiантностi є алгебра g = 〈∂t, ∂x, 2t∂t + x∂x, u∂u, h(t, x)∂u〉, де h = h(t, x) —
довiльний розв’язок рiвняння (1).
У п. 1 доведено теорему про лiнiйнi оператори редукцiї загальних лiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь з частинними похiдними. Наступнi два пункти одночасно iлюструють
i формулювання, i доведення теореми. Опис сингулярних операторiв редукцiї рiвняння (1)
у п. 2 є вичерпним. На противагу цьому у п. 3 знайдено лише частковi випадки регулярних
операторiв редукцiї рiвняння (1).
© В. М. Бойко, Р.О. Попович, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 7
1. Лiнiйнi оператори редукцiї лiнiйного рiвняння. Наведемо спочатку необхiднi
поняття i результати теорiї умовних симетрiй згiдно з [5–9]. Розглянемо загальне диферен-
цiальне рiвняння r-го порядку L вигляду L(x, u(r)) = 0 для невiдомої функцiї u вiд неза-
лежних змiнних x = (x1, . . . , xn). Тут через u(r) позначено множину всiх похiдних функцiї u
вiдносно x порядку не вище нiж r, включаючи u як похiдну нульового порядку. Будь-яке
векторне поле Q у розшарованому просторi n незалежних змiнних x i однiєї залежної змiн-
ної u має вигляд Q = ξi(x, u)∂i+η(x, u)∂u, де коефiцiєнти ξi й η — гладкi функцiї змiнних x
та u. Диференцiйовну функцiю першого порядку Q[u] = η − ξiui називають характеристи-
кою векторного поля Q.
Тут i нижче iндекс i змiнюється вiд 1 до n; за iндексами, що повторюються, йде пiдсумо-
вування; α = (α1, . . . , αn) — мультиiндекс, αi ∈ N∪{0}, |α| = α1+· · ·+αn; δi — мультиiндекс,
i-та компонента якого дорiвнює 1, а всi iншi компоненти нульовi. Нижнi iндекси у функцiй
позначають диференцiювання за вiдповiдними змiнними, ∂i = ∂/∂xi й ∂u = ∂/∂u. Змiн-
на uα простору струменiв r-го порядку Jr = Jr(x|u) вiдповiдає похiднiй ∂|α|u/∂xα1
1 · · · ∂xαn
n ,
а ui ≡ uδi . Розгляд йде в рамках локально гладкого пiдходу. Тодi рiвняння L можна iн-
терпретувати як алгебраїчне рiвняння у просторi струменiв Jr i ототожнити з многовидом
його розв’язкiв у Jr:
L = {(x, u(r)) ∈ Jr | L(x, u(r)) = 0}.
Символ Q(r) використано для позначення многовиду, який визначено всiма диференцiаль-
ними наслiдками характеристичного рiвняння Q[u] = 0 в Jr, тобто
Q(r) = {(x, u(r)) ∈ Jr | Dα1
1 · · ·Dαn
n Q[u] = 0, αi ∈ N
⋃
{0}, |α| < r},
де Di = ∂xi
+ uα+δi∂uα
— оператор повної похiдної за змiнною xi.
Диференцiальне рiвняння L називається умовно iнварiантним вiдносно векторного по-
ля Q, якщо виконується критерiй умовної iнварiантностi Q(r)L(x, u(r))|L∩Q(r)
= 0 [5, 6, 9],
де Q(r) — стандартне продовження векторного поля Q r-го порядку [10]. При цьому Q на-
зивають оператором умовної симетрiї (або Q-умовної симетрiї, або некласичної симетрiї
i т. д.) рiвняння L.
Рiвняння L є умовно iнварiантним вiдносно векторного поля Q тодi i лише тодi, коли
анзац, побудований за Q, редукує L до диференцiального рiвняння з n − 1 незалежними
змiнними [9]. Тому оператори умовної симетрiї рiвняння L коротко називають операторами
редукцiї цього рiвняння.
Оператори редукцiї Q̃ й Q еквiвалентнi, Q̃ ∼ Q, якщо вони вiдрiзняються на множник,
який є ненульовою функцiєю змiнних x й u: Q̃ = λQ, де λ = λ(x, u) 6= 0. Оператори
редукцiї Q̃ й Q еквiвалентнi вiдносно групи точкових перетворень G, якщо iснує g ∈ G, для
якого оператори Q i g∗Q̃ еквiвалентнi в звичайному сенсi, де g∗ — вiдображення, iндуковане
перетворенням g на множинi векторних полiв.
Розглянемо тепер лiнiйне диференцiальне рiвняння r-го порядку L вигляду
L[u] :=
∑
|α|6r
aα(x)uα = 0
з невiдомою функцiєю u незалежних змiнних x = (x1, . . . , xn), де коефiцiєнт aα з |α| = r
є ненульовим.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
Серед лiївських симетрiй лiнiйних диференцiальних рiвнянь особливу роль вiдiграють
симетрiї, асоцiйованi з лiнiйними диференцiальними операторами першого порядку, що
дiють на u = u(x). Якщо n > 2 i r > 2 або n = 1 i r > 3, то iз системи визначальних рiв-
нянь SDE(L) на коефiцiєнти векторних полiв з максимальної алгебри iнварiантностi gmax
рiвняння L випливає, що ξiu = 0 i ηuu = 0. Iншими словами, кожне таке векторне поле
можна зобразити у виглядi
Q = ξi(x)∂i + (η1(x)u+ η0(x))∂u, (2)
причому iз системи SDE(L) додатково випливає, що η0 є довiльним розв’язком рiвняння L.
Векторнi поля η0(x)∂u, де η0 пробiгає множину розв’язкiв рiвняння L, утворюють iдеал ал-
гебри g
max i генерують точковi перетворення, що асоцiйованi з лiнiйним принципом суперпо-
зицiї. Якщо хоча б один з коефiцiєнтiв ξi або η1 є ненульовим, з точнiстю до еквiвалентностi
в g
max, породженої приєднаними дiями елементiв iз iдеалу, можна покласти в (2) η0 = 0.
Метою подальшого розгляду є розширення останнього твердження на оператори редук-
цiї вигляду (2), якi будемо називати лiнiйними операторами редукцiї. Варто зауважити,
що загальнi умови, при яких лiнiйне диференцiальне рiвняння допускає лише оператори
редукцiї, еквiвалентнi лiнiйним, на сьогоднi невiдомi.
Додатково слiд нагадати, що векторне поле Q називають (слабо) сингулярним для ди-
ференцiального рiвняння L: L[u] = 0, якщо iснує диференцiйовна функцiя L̃ = L̃[u] по-
рядку менше r i ненульова диференцiйовна функцiя λ = λ[u] порядку не вище r такi, що
L|Q(r)
= λL̃|Q(r)
. Iнакше Q є (слабо) регулярним векторним полем для L. Векторне поле Q
ультрасингулярне для рiвняння L, якщо це рiвняння задовольняє будь-який розв’язок хара-
ктеристичного рiвняння Q[u] := η − ξiui = 0. Властивостi сингулярних операторiв редукцiї
описанi в [5, 7].
Теорема 1. Нехай лiнiйне диференцiальне рiвняння L допускає оператор редукцiї Q
вигляду (2). Тодi коефiцiєнт η0 допускає зображення η0 = ξiζ0i − η1ζ0, де ζ0 = ζ0(x) —
розв’язок рiвняння L. Отже, з точнiстю до еквiвалентностi, породженої дiєю групи лiїв-
ських симетрiй рiвняння L на множинi операторiв редукцiї цього рiвняння, коефiцiєнт η0
можна покласти рiвним нулю. Будь-яке векторне поле вигляду ξi∂i + (η1u+ ξiζi − η1ζ)∂u,
де ζ = ζ(x) — довiльний розв’язок рiвняння L, є оператором редукцiї рiвняння L.
Доведення. Оскiльки Q є оператором редукцiї, то хоча б один iз коефiцiєнтiв ξi не
є нульовим. Розглянемо векторне поле Q̂ = ξi(x)∂i+ η
1(x)u∂u. Нехай X1(x), . . . , Xn−1(x) —
функцiонально незалежнi розв’язки рiвняння ξivi = 0, i нехай U(x) ненульовий розв’язок
рiвняння ξivi + η1v = 0. Введемо позначення X = (X1, . . . ,Xn), тодi компоненти X та
функцiя U(x)u будуть функцiонально незалежними як функцiї змiнних (x, u). Це означає,
що замiна змiнних T : x̃ = X(x), ũ = U(x)u добре визначена.
Виконаємо цю замiну змiнних i подамо всi об’єкти i спiввiдношення в нових змiнних
(x̃, ũ). Так, векторне поле Q̂ збiгається з генератором зсувiв вiдносно змiнної x̃n, Q̂ = ∂x̃n
,
i тому Q = ∂x̃n
+ η̃0(x̃)∂ũ, де η̃0(x̃) = U(x)η0(x), а характеристичне рiвняння асоцiйоване
з векторним полем Q у нових змiнних має вигляд ũx̃n
= η̃0. Замiна змiнних T також зберiгає
лiнiйнiсть рiвняння L, яке набуває вигляду
L̃[ũ] =
∑
|α|6r
ãα(x̃)ũα = 0, (3)
де кожен з коефiцiєнтiв ãα виражається через коефiцiєнти aα
′
, |α′| > |α| та похiднi функ-
цiй Xi i U . Змiнна ũα у просторi струменiв Jr вiдповiдає похiднiй ∂|α|ũ/∂x̃α1
1 · · · ∂x̃αn
n . З точ-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 9
нiстю до ненульового множника, коефiцiєнт ãα
0
, де |α0| = r, можна зробити тотожно рiв-
ним 1.
Позначимо первiсну функцiї η̃0 за змiнною x̃n через ζ̃0: η̃0 = ζ̃0x̃n
. Розглянемо окремо два
випадки в залежностi вiд того, чи є оператор редукцiї Q ультрасингулярним для рiвняння L,
i покажемо, що в кожному з цих випадкiв iснує первiсна ζ̃0 функцiї η̃0, яка задовольняє
зображення (3) рiвняння L у нових змiнних, тобто L̃[ζ̃0] = 0.
Припустимо, що оператор редукцiї Q є ультрасингулярним для рiвняння L. Оскiльки
властивiсть ультрасингулярностi не залежить вiд замiни змiнних, кожен розв’язок харак-
теристичного рiвняння ũx̃n
= η̃0 задовольняє зображення L̃[ũ] = 0 рiвняння L у нових
змiнних, тобто
∑
|α|6r,αn 6=0
ãαη̃0α−δn
+
∑
|α|6r,αn=0
ãαũα = 0,
де похiднi ũα з αn = 0 не зв’язанi. Розщеплюючи за ними, одержуємо систему рiвнянь
ãα = 0, де α пробiгає множину мультиiндексiв з |α| 6 r i αn = 0, i рiвняння на коефiцiєнт η̃0:
∑
|α|6r,αn 6=0
ãαη̃0α−δn
:=
∑
|α|6r,αn 6=0
ãαζ̃0α = 0.
Отже, пiдсумовування у рiвняннi (3) насправдi йде лише за мультиiндексами α, в яких
αn 6= 0, а тому функцiя ζ̃0 задовольняє це рiвняння.
Припустимо тепер, що оператор редукцiї Q не є ультрасингулярним для рiвняння L.
Оскiльки r-те продовження Q визначають як Q(r) = ∂x̃n
+
∑
|α|6r
η̃0α(x̃)∂ũα
, то в цьому випадку
з критерiю умовної iнварiантностi отримуємо
Q(r)L̃[ũ] =
∑
|α|6r
(ãαx̃n
ũα + ãαη̃0α) = 0 (4)
для всiх точок простору струменiв Jr, де L̃[ũ] = 0 i ũα′ = η̃0α′−δn
з |α′| 6 r i αn > 0.
Оскiльки ãα
0
= 1, диференцiйовна функцiя Q(r)L̃[ũ] не залежить вiд похiдної ũα0 , а тому
умова L̃[ũ] = 0 не є суттєвою при переходi на многовид L
⋂
Q(r). Враховуючи, що похiднi ũα
з αn = 0 не є зв’язаними, розщеплення умови (4) за ними дає систему рiвнянь ãαx̃n
= 0, де α
пробiгає множину мультиiндексiв з |α| 6 r i αn = 0, як необхiдну умову того, що рiвняння L
допускає оператор редукцiї Q. Тодi на многовидi Q(r) маємо
Q(r)L̃[ũ] =
∑
|α|6r,αn=0
ãαx̃n
ũα +
∑
|α|6r,αn 6=0
ãαx̃n
ũα +
∑
|α|6r
ãαη̃0α =
=
∑
|α|6r,αn 6=0
ãαx̃n
η̃0α−δn
+
∑
|α|6r
ãαη̃0α =
=
∑
|α|6r,αn=0
ãαx̃n
ζ̃0α +
∑
|α|6r,αn 6=0
ãαx̃n
ζ̃0α +
∑
|α|6r
ãαζ̃0α+δn
=
(
∑
|α|6r
ãαζ̃0α
)
x̃n
= 0.
Проiнтегрувавши останню рiвнiсть за змiнною x̃n, отримаємо, що функцiя ζ̃0 = ζ̃0(x) за-
довольняє неоднорiдне лiнiйне рiвняння
L̃[ζ̃0] :=
∑
|α|6r
ãαζ̃0α = g(x1, . . . , xn−1) (5)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
для деякої гладкої функцiї g = g(x1, . . . , xn−1). Оскiльки в цьому випадку оператор редук-
цiї Q не є ультрасингулярним для рiвняння L, то iснує мультиiндекс α з |α| 6 r i αn =
= 0 такий, що ãα 6= 0. Тодi рiвняння (5) має частковий розв’язок h, який не залежить
вiд змiнної x̃n, тобто h = h(x1, . . . , xn−1)
1. Функцiя ζ̃0 − h також є первiсною для η̃0 за
змiнною x̃n i одночасно задовольняє вiдповiдне однорiдне лiнiйне рiвняння, тобто L̃[ζ̃0 −
− h] = 0. Таким чином, без обмеження загальностi можна вважати, що первiсна ζ̃0 сама
є розв’язком рiвняння (3), тобто L̃[ζ̃0] = 0.
Виконавши обернену замiну змiнних у рiвностi η̃0 = ζ̃0x̃n
= Q̂ζ̃0 i ввiвши у розгляд
функцiю ζ0 = ζ̃0/U , яка задовольняє рiвняння L у старих змiнних (x, u), отримаємо Uη0 =
= ξi(Uζ0)i = Uξiζ0i + (ξiUi)ζ
0 = U(ξiζ0i − η1ζ0), тобто η0 = ξiζ0i − η1ζ0. Тут врахова-
но, що ξiUi = −η1U . Вiдображення, породжене точковим перетворенням симетрiї x = x,
u = u− ζ0(x) рiвняння L на множинi операторiв редукцiї рiвняння L, переводить векторне
поле Q у векторне поле Q̂, в якому коефiцiєнт η0 є нульовим. Це означає, що Q̂ є операто-
ром редукцiї рiвняння L. Застосовуючи аналогiчне вiдображення, породжене перетворен-
ням точкової симетрiї x = x, u = u + ζ(x) з довiльним розв’язком ζ = ζ(x) рiвняння L,
отримуємо, що будь-яке векторне поле вигляду ξi∂i + (η1u + ξiζi − η1ζ)∂u є оператором
редукцiї рiвняння L. Теорему доведено.
Анзац, побудований для невiдомої функцiї u за векторним полем Q, має вигляд
u =
1
U(x)
ϕ(ω1, . . . , ωn−1) + ζ0(x),
де ϕ — iнварiантна залежна змiнна, ω1 = X1(x), . . . , ωn−1 = Xn−1(x) — iнварiантнi неза-
лежнi змiннi, i приводить до такого редукованого рiвняння:
∑
|α|6r,αn=0
ãα(ω1, . . . , ωn−1)
∂|α|ϕ
∂ωα1
1 · · · ∂ω
αn−1
n−1
= 0.
Очевидно, що вигляд редукованого рiвняння не залежить вiд параметр-функцiї ζ0(x), тобто
пiдстановка будь-якого розв’язку рiвняння L замiсть ζ0(x) приводить до того ж редукова-
ного рiвняння.
2. Сингулярнi оператори редукцiї рiвняння стрижня. Для лiнiйного рiвняння
стрижня (1) оператори редукцiї мають загальний вигляд
Q = τ(t, x, u)∂t + ξ(t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u,
де коефiцiєнти τ , ξ й η — гладкi функцiї змiнних (t, x, u), причому (τ, ξ) 6= (0, 0). Аналогiчно
еволюцiйним рiвнянням, векторне поле Q сингулярне для рiвняння (1) тодi i лише тодi,
коли коефiцiєнт τ тотожно рiвний нулю. Зауважимо, що векторнi поля, слабо сингулярнi
для цього рiвняння, також є сильно сингулярними для нього. Тодi ξ 6= 0, а тому, зважаючи
на звичайну еквiвалентнiсть операторiв редукцiї, можемо покласти ξ = 1. Iншими словами,
для вичерпного опису сингулярних операторiв редукцiї лiнiйного рiвняння стрижня (1)
достатньо розглянути векторнi поля вигляду
Q = ∂x + η(t, x, u)∂u.
1Якщо n > 2, то для гарантованого iснування класичних роз’язкiв необхiдно припускати, що всi функцiї
є аналiтичними. У випадку n = 2 або для конкретних лiнiйних рiвнянь можна вимагати меншу гладкiсть
функцiй.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 11
Многовид L
⋂
Q(4) визначається рiвняннями ux = η, uxx = ηx + ηηu, uxxx = (∂x + η∂u)
2η,
uxxxx = (∂x + η∂u)
3η, utt = −uxxxx = −(∂x + η∂u)
3η. З критерiю умовної iнварiантностi
випливає, що ηtt +2ηtuut + ηuuu
2
t − ηu(∂x + η∂u)
3η+ (∂x + η∂u)
4η = 0. Збираючи коефiцiєнти
при рiзних степенях незв’язної похiдної ut i розщеплюючи вiдносно них, отримуємо систему
трьох визначальних рiвнянь для коефiцiєнта η:
ηuu = 0, ηtu = 0, ηtt − ηu(∂x + η∂u)
3η + (∂x + η∂u)
4η = 0.
Таким чином, на вiдмiну вiд (1 ± 1)-вимiрних еволюцiйних рiвнянь, для кожного з яких
є лише одне визначальне рiвняння на коефiцiєнт η сингулярних операторiв редукцiї, еквi-
валентне у певному сенсi вихiдному еволюцiйному рiвнянню, знаходження операторiв ре-
дукцiї для лiнiйного рiвняння стрижня не є “no-go” проблемою. З рiвнянь ηuu = 0 i ηtu = 0
для коефiцiєнта η маємо η = η1(x)u+ η0(t, x), де η1 = η1(x) i η0 = η0(t, x) — гладкi функцiї
вiдповiдних змiнних. Згiдно з теоремою 1, з точнiстю до еквiвалентностi, що породжується
максимальною лiївською групою симетрiї Gmax лiнiйного рiвняння стрижня на множинi
операторiв редукцiї цього рiвняння, можна покласти η0 = 0.
Покажемо це також за допомогою прямих обрахункiв. Пiсля пiдстановки виразу для η
в останнє визначальне рiвняння i додаткового розщеплення за степенями u отримуємо сис-
тему ∂x(∂x+η
1)3η1 = 0, η0tt−η
1η03+η04 = 0, де функцiї η03 i η04 визначаються рекурентним
спiввiдношенням η00 := η0 i η0k = η0,k−1
x + η0(∂x + η1)k−1η1, k = 1, 2, 3, 4. Виконаємо ди-
ференцiальну пiдстановку
η1 =
θx
θ
, η0 = ζx −
θx
θ
ζ,
де θ = θ(x) i ζ = ζ(t, x) — новi невiдомi функцiї. Iндукцiєю можна довести, що
η0k =
∂k+1ζ
∂xk+1
−
ζ
θ
dk+1θ
dxk+1
, k = 1, 2, . . . .
Отже, диференцiальна пiдстановка редукує систему для η1 i η0 до системи для θ i ζ:
(
θxxxx
θ
)
x
= 0, ζttx −
θx
θ
ζtt −
θx
θ
ζxxxx +
θxθxxxx
θ2
ζ + ζxxxxx −
θxxxxx
θ
ζ = 0.
Iнтегруючи один раз перше рiвняння, отримуємо лiнiйне звичайне диференцiальне рiвняння
зi сталими коефiцiєнтами θxxxx = κθ, де κ — стала iнтегрування. Друге рiвняння можна
записати як
(
ζtt + ζxxxx
θ
)
x
−
(
θxxxx
θ
)
x
ζ = 0, звiдки
(
ζtt + ζxxxx
θ
)
x
= 0.
Iнтегруючи останнє рiвняння за x, отримуємо рiвняння ζtt + ζxxxx = ρ(t)θ, де ρ — глад-
ка функцiя змiнної t. Функцiю ζ визначено з точнiстю до перетворень ζ̃ = ζ + σθ, де
σ — довiльна гладка функцiя змiнної t. Справдi, ζ̃tt + ζ̃xxxx = ρθ + σttθ + σκθ = 0, якщо
σtt+κσ = −ρ. Iншими словами, можна вважати, що функцiя ζ задовольняє лiнiйне рiвнян-
ня стрижня (1). Тому вiдображення, що породжується точковим перетворенням симетрiї
t = t, x = x, u = u − ζ(t, x) рiвняння (1) на множинi операторiв редукцiї цього рiвняння,
переводить векторне поле Q у векторне поле такого самого вигляду, де ζ = 0, i звiдси η0 = 0.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
Твердження 1. З точнiстю до еквiвалентностi за перетвореннями симетрiї, пов’я-
заними з лiнiйним принципом суперпозицiї, множину сингулярних операторiв редукцiї лi-
нiйного рiвняння стрижня вичерпують векторнi поля вигляду Qs = ∂x+
θx
θ
u∂u, де функцiя
θ = θ(t, x) задовольняє звичайне диференцiальне рiвняння θxxxx = κθ для деякої сталої κ.
Анзац, побудований за оператором редукцiї Q, має вигляд u = θ(x)ϕ(ω), де ω = t —
iнварiантна незалежна змiнна, ϕ — iнварiантна залежна змiнна, i дає редуковане рiвняння
ϕωω + κϕ = 0. Вiдзначимо, що оператор редукцiї Qs пов’язаний з роздiленням змiнних
у лiнiйному рiвняннi стрижня (1). Вiн еквiвалентний деякому оператору лiївської симетрiї
лише за умови θx/θ = const.
3. Регулярнi оператори редукцiї рiвняння стрижня. Для таких операторiв коефi-
цiєнт τ не є нульовим. З точнiстю до звичайної еквiвалентностi операторiв редукцiї можна
покласти τ = 1, тобто
Q = ∂t + ξ(t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u.
Суттєвими серед рiвнянь, що визначаються многовидом L
⋂
Q(4), є рiвняння
ut = η − ξux, utx = ηx + ηux − ξxux − ξuu
2
x − ξuxx,
utt =−uxxxx = ηt + ηu(η− ξux)− (ξt + ξu(η− ξux))ux− ξ(ηx + ηux− ξxux− ξuu
2
x− ξuxx).
Збираючи коефiцiєнти при uxxuxxx в умовi, що випливає з критерiю умовної iнварiантностi,
отримуємо рiвняння ξu = 0. Iншi члени з uxxx дають рiвняння ηuu = 0 i ηxu = 3ξxx/2. Таким
чином, маємо ξ = ξ(t, x), η = η1(t, x)u + η0(t, x), де η1 :=
3
2
ξx + γ(t) i γ = γ(t) — гладка
функцiя. Iншi визначальнi рiвняння зводяться до вигляду
2ξtξ + 5ξxxx + 4ξ2ξx = 0, (6)
ξtt + ξxxxx + 2(η1ξ)t + 2ξtξx − 4η1xxx + 8ξξxη
1 − 4ξξ2x = 0, (7)
η1tt + η1xxxx + 2η1η1t − 2ξtη
1
x + 4ξx(η
1
t + η1η1 − ξη1x) = 0, (8)
η0tt + η0xxxx + 2η0η1t − 2ξtη
0
x + 4ξx(η
0
t + η1η0 − ξη0x) = 0, (9)
де всi η1 слiд замiнити на 3ξx/2 + γ(t).
Аналогiчно сингулярним операторам редукцiї, з теореми 1 знову маємо, що з точнiстю
до еквiвалентностi, породженої максимальною групою лiївських симетрiй Gmax лiнiйного
рiвняння стрижня на множинi операторiв редукцiї цього рiвняння, можна покласти η0 = 0.
Покажемо, що пряме доведення цього факту не є тривiальним. Дiйсно, нехай функцiя ζ
визначається спiввiдношенням η0 = ζt + ξζx − η1ζ. Виконавши пiдстановку цього спiввiд-
ношення для η0 у рiвняння (9) та врахувавши рiвняння (6)–(8) i ηxu = 3ξxx/2, отримуємо
таке рiвняння для функцiї ζ:
(∂t + ξ∂x − η1 + 4ξx)(ζtt + ζxxxx) = 0,
тобто ζtt + ζxxxx = h(t, x), де функцiя h = h(t, x) задовольняє рiвняння
ht + ξhx + (−η1 + 4ξx)h = 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 13
Функцiю h = h(t, x) можна вважати рiвною нулю. Дiйсно, функцiя ζ визначається з точ-
нiстю до доданка, що є розв’язком рiвняння gt + ξgx − η1g = 0. Кожен такий розв’язок
можна зобразити g = g0(t, x)ϕ(ω), де g0 — фiксований розв’язок цього ж рiвняння, ϕ —
довiльна функцiя вiд ω, i ω = ω(t, x) — несталий розв’язок рiвняння ωt + ξωx = 0. Тодi
χ = ω4
x задовольняє рiвняння χt + ξχx + 4ξxχ = 0. Таким чином, функцiя h допускає
зображення h = g0ω4
xψ(ω) з деякою гладкою функцiєю ψ вiд ω. Вищезгаданi визначальнi
рiвняння означають, що векторне поле ∂t + ξ∂x + η1u∂u є оператором редукцiї рiвняння
utt + uxxxx = 0. Звiдси маємо gtt + gxxxx = g0ω4
xϕωωωω + · · · = g0ω4
x(ϕωωωω + · · · ), де вираз
у дужках залежить лише вiд ω i через (· · · ) позначено члени, що мiстять похiднi вiд ϕ
лише порядку менше, нiж чотири. Це означає, що анзац g = g0(t, x)ϕ(ω) редукує рiвняння
gtt + gxxxx = h до звичайного диференцiального рiвняння ϕωωωω + · · · = ψ, яке безперечно
має деякий розв’язок ϕ0 = ϕ0(ω). Вiднiмаючи вiдповiдну функцiю g = g0ϕ0 вiд функцiї ζ,
занулимо функцiю h.
Таким чином, без обмеження загальностi можна вважати, що функцiя ζ задовольняє
початкове рiвняння (1). Тодi вiдображення, породжене точковим перетворенням симетрiї
t = t, x = x, u = u − ζ(t, x) рiвняння (1) на множинi операторiв редукцiї цього рiв-
няння, переводить векторне поле Q у векторне поле того ж вигляду, де ζ = 0, а тому
η0 = 0.
Отже, вивчення регулярних операторiв редукцiї лiнiйного рiвняння стрижня (1) зве-
дено до розв’язання перевизначеної системи нелiнiйних диференцiальних рiвнянь (6)–(8)
для функцiй ξ = ξ(t, x) i γ = γ(t). (Нагадаємо, що η1 := 3ξx/2 + γ(t).) Побудова загаль-
ного розв’язку цiєї системи виявилася непередбачувано складною задачею. Тому нижче
розглянуто лише частковi випадки регулярних операторiв редукцiї, що виникають при на-
кладеннi додаткових обмежень на функцiї ξ i γ. Зокрема, складнi i громiздкi обчислення
в Maple показали, що кожен регулярний оператор редукцiї рiвняння (1) з γ = 0 еквiва-
лентний оператору лiївської симетрiї цього рiвняння. Аналогiчний результат справедливий
i при сукупностi обмежень ξxx = 0 i ξ 6= 0. Регулярних операторiв редукцiї, для яких ξt = 0
i ξx 6= 0, взагалi немає.
Припустимо, що ξ = 0. Тодi рiвняння (6) i (7) стають тотожностями i коефiцiєнт η1
допускає зображення η1 = γ(t). З рiвняння (8) отримуємо єдине звичайне диференцiальне
рiвняння γtt+2γγt = 0 для функцiї γ, проiнтегрувавши яке один раз, знаходимо γt+γ
2 = −κ,
де κ — стала iнтегрування. Звiдси γ = ϕt/ϕ, де ϕ = ϕ(t) — розв’язок лiнiйного звичайного
диференцiального рiвняння ϕtt + κϕ = 0. Вiдповiдний оператор редукцiї Qr = ∂t +
ϕt
ϕ
u∂u
дає анзац u = ϕ(t)θ(ω), де ω = x — iнварiантна незалежна змiнна i θ — iнварiантна залежна
змiнна. Вiдповiдне редуковане рiвняння має вигляд θωωωω = κθ, тобто, як i для сингуляр-
ного оператора редукцiї Qs з твердження 1, регулярний оператор редукцiї Qr пов’язаний
з роздiленням змiнних у лiнiйному рiвняннi стрижня (1). Цей оператор можна розглядати
як регулярний вiдповiдник оператора Qs. Регулярний оператор Qr еквiвалентний деякому
оператору лiївської симетрiї лише за умови ϕt/ϕ = const.
Основним результатом роботи є теорема 1 про лiнiйнi оператори редукцiї загального
лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними. Як приклад, що iлюструє
теорему, дослiджено некласичнi симетрiї лiнiйного рiвняння стрижня. Наступним кроком
є узагальнення отриманих результатiв на багатовимiрнi модулi редукцiї, породженi лiнiй-
ними векторними полями.
Дослiдження пiдтримано Австрiйським науковим фондом (FWF), проект P25064.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
1. Morozov O. I., Wafo Soh C. The equivalence problem for the Euler–Bernoulli beam equation via Cartan’s
method // J. Phys. A: Math. Theor. – 2008. – 41. – 135206, 14 p.
2. Ndogmo J. C. Equivalence transformations of the Euler–Bernoulli equation // Nonlinear Anal. Real World
Appl. – 2012. – 13. – P. 2172–2177.
3. Wafo Soh C. Euler–Bernoulli beams from a symmetry standpoint – characterization of equivalent equa-
tions // J. Math. Anal. Appl. – 2008. – 345. – P. 387–395.
4. Polyanin A.D. Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. – Boca Raton:
Chapman & Hall/CRC, 2002. – 781 p.
5. Boyko V.M., Kunzinger M., Popovych R.O. Singular reduction modules of differential equations. – arXiv:
1201.3223, 30 p.
6. Fushchych W. I., Tsyfra I.M. On a reduction and solutions of the nonlinear wave equations with broken
symmetry // J. Phys. A: Math. Gen. – 1987. – 20. – L45–L48.
7. Kunzinger M., Popovych R.O. Singular reduction operators in two dimensions // J. Phys. A: Math. Theor. –
2008. – 41. – 505201, 24 p.
8. Popovych R.O., Vaneeva O.O., Ivanova N.M. Potential nonclassical symmetries and solutions of fast
diffusion equation // Phys. Lett. A. – 2007. – 362. – P. 166–173.
9. Zhdanov R. Z., Tsyfra I.M., Popovych R.O. A precise definition of reduction of partial differential equa-
tions // J. Math. Anal. Appl. – 1999. – 238. – P. 101–123.
10. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. – Москва: Мир, 1989. – 639 с.
Надiйшло до редакцiї 07.03.2013Iнститут математики НАН України, Київ
Iнститут Вольфганга Паулi, Вiдень, Австрiя
В.Н. Бойко, Р. Е. Попович
Условные симметрии линейного уравнения стержня
Изучены условные симметрии (1+1)-мерного линейного уравнения стержня, что иллюст-
рирует новую теорему о линейных операторах редукции линейных дифференциальных урав-
нений в частных производных.
V.M. Boyko, R.O. Popovych
Conditional symmetries of the linear rod equation
Conditional symmetries of the (1+1)-dimensional linear rod equation are studied, which illustrates
a new theorem on linear reduction operators of linear partial differential equations.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 15
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85885 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T13:52:09Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойко, В.М. Попович, Р.О. 2015-08-31T16:14:48Z 2015-08-31T16:14:48Z 2013 Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня / В.М. Бойко, Р.О. Попович // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 7–15. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85885 517.95 Вивчено умовнi симетрiї (1+1)-вимiрного лiнiйного рiвняння стрижня, що iлюструє нову теорему про лiнiйнi оператори редукцiї лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Изучены условные симметрии (1+1)-мерного линейного уравнения стержня, что иллюстрирует новую теорему о линейных операторах редукции линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Conditional symmetries of the (1+1)-dimensional linear rod equation are studied, which illustrates a new theorem on linear reduction operators of linear partial differential equations. Дослiдження пiдтримано Австрiйським науковим фондом (FWF), проект P25064. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня Условные симметрии линейного уравнения стержня Conditional symmetries of the linear rod equation Article published earlier |
| spellingShingle | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня Бойко, В.М. Попович, Р.О. Математика |
| title | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня |
| title_alt | Условные симметрии линейного уравнения стержня Conditional symmetries of the linear rod equation |
| title_full | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня |
| title_fullStr | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня |
| title_full_unstemmed | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня |
| title_short | Умовні симетрії лінійного рівняння стрижня |
| title_sort | умовні симетрії лінійного рівняння стрижня |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85885 |
| work_keys_str_mv | AT boikovm umovnísimetríílíníinogorívnânnâstrižnâ AT popovičro umovnísimetríílíníinogorívnânnâstrižnâ AT boikovm uslovnyesimmetriilineinogouravneniâsteržnâ AT popovičro uslovnyesimmetriilineinogouravneniâsteržnâ AT boikovm conditionalsymmetriesofthelinearrodequation AT popovičro conditionalsymmetriesofthelinearrodequation |