Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами
Для довiльної C₀-групи та аналiтичної C₀-пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому
 просторi встановлюється iснування щiльної у цьому просторi множини, на елементах якої задану групу або пiвгрупу можна зобразити у виглядi степеневого ряду для
 експоненти вiд її генератора. Даються ум...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85887 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами / М.Л. Горбачук, В.М. Горбачук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 22–28. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860256922378174464 |
|---|---|
| author | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. |
| author_facet | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. |
| citation_txt | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами / М.Л. Горбачук, В.М. Горбачук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 22–28. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Для довiльної C₀-групи та аналiтичної C₀-пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому
просторi встановлюється iснування щiльної у цьому просторi множини, на елементах якої задану групу або пiвгрупу можна зобразити у виглядi степеневого ряду для
експоненти вiд її генератора. Даються умови, за яких цей степеневий ряд є цiлою оператор-функцiєю експоненцiального типу.
Для произвольной C₀-группы и аналитической C₀-полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве устанавливается существование плотного в этом пространстве множества, на элементах которого заданную группу или полугруппу можно представить
в виде степенного ряда для экспоненты от ее генератора. Приводятся условия, при которых
этот степенной ряд является целой оператор-функцией экспоненциального типа.
For an arbitrary C₀-group, as well as an arbitrary analytic C₀-semigroup of linear operators on
a Banach space, the existence of a dense set in this space, on elements of which the given group
or semigroup may be represented in the form of a power series for the exponential function of
its infinitesimal generator, is established. The conditions are found, under which this power series
determines an entire operator-function of exponential type.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:50:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
Член-кореспондент НАН України М. Л. Горбачук, В. М. Горбачук
Зображення груп лiнiйних операторiв у банаховому
просторi степеневими рядами
Для довiльної C0-групи та аналiтичної C0-пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому
просторi встановлюється iснування щiльної у цьому просторi множини, на елемен-
тах якої задану групу або пiвгрупу можна зобразити у виглядi степеневого ряду для
експоненти вiд її генератора. Даються умови, за яких цей степеневий ряд є цiлою опе-
ратор-функцiєю експоненцiального типу.
Нехай {U(t)}t>0 — C0-пiвгрупа лiнiйних операторiв у банаховому просторi B з нормою ‖ · ‖
над полем C комплексних чисел, тобто:
(i) ∀ t, s ∈ R+ = [0,∞) : U(t + s) = U(t)U(s);
(ii) U(0) = I (I — одиничний оператор в B);
(iii) ∀x ∈ B : U(t)x → x при t → 0.
Якщо сiм’я лiнiйних операторiв U(t) в B, задана на всiй дiйснiй осi R, задовольняє
умови (i)–(iii) на R, то {U(t)}t∈R визначає C0-групу.
Позначимо через A генератор пiвгрупи {U(t)}t∈R+
(групи {U(t)}t∈R):
Ax = lim
t→0
U(t)x− x
t
, D(A) =
{
x ∈ B | ∃ lim
t→0
U(t)x− x
t
}
(D(·) — область визначення оператора).
Як вiдомо, оператор A замкнений i D(A) = B. Вiн є неперервним тодi i тiльки тодi,
коли U(t) → I (t → 0) в рiвномiрнiй операторнiй топологiї. У цьому випадку
∀x ∈ B : U(t)x =
∞
∑
k=0
tkAkx
k!
(1)
i U(t) допускає продовження до цiлої B-значної функцiї експоненцiального типу.
Якщо ж оператор A не є неперервним, то постають такi питання:
1. Чи iснує щiльний в B пiдпростiр B1 такий, що рiвнiсть (1) здiйснюється для кожного
x ∈ B1?
2. Чи знайдеться в B пiдпростiр B0, щiльний в B i такий, що для будь-якого x ∈ B0
вектор-функцiя U(t)x є цiлою експоненцiального типу?
Перше питання тiсно пов’язане з проблемою розв’язностi задачi Кошi для рiвняння
y′(t) = Ay(t) у рiзних класах аналiтичних вектор-функцiй, а друге — з можливiстю на-
ближеного розв’язання цiєї задачi методом степеневих рядiв. Нижче цi проблеми розгля-
даються у випадках, коли A є генератором C0-групи або аналiтичної C0-пiвгрупи лiнiйних
операторiв в B.
1. Нехай A — довiльний замкнений, щiльно заданий в B лiнiйний оператор. Множину
таких операторiв позначимо через E(B), а через L(B) — множину всiх обмежених на B
© М. Л. Горбачук, В. М. Горбачук, 2013
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
лiнiйних операторiв. Вектор x ∈ C∞(A) =
∞
⋂
n=1
D(An) називається цiлим для оператора A,
якщо ряд у правiй частинi (1) збiгається в C. Очевидно, що x ∈ C∞(A) є цiлим вектором
оператора A ∈ E(B) тодi i тiльки тодi, коли
∀α > 0 ∃ c = c(x) > 0: ‖Anx‖ 6 cαnnn (∀n ∈ N0 = {0}
⋃
N)
(скрiзь у подальшому пiд c розумiтимемо сталу, вiдповiдну до розглядуваної ситуацiї). Для
оператора A ∈ L(B) будь-який вектор x ∈ B є цiлим. Що ж до необмежених операторiв,
то серед них є такi, для яких жоден вектор, вiдмiнний вiд нульового, не є цiлим.
Будемо говорити, що цiлий вектор x оператора A ∈ E(B) має скiнченний порядок, якщо
iснує число γ ∈ (−∞, 1) таке, що, починаючи з деякого номера n0 = n0(x),
∀n > n0 : ‖Anx‖ 6 nnγ.
Точну нижню межу p(x) таких γ назвемо порядком вектора x. Тип s(x) вектора x порядку
p(x) визначається як
s(x) = inf{α > 0: ‖Anx‖ 6 αnnp(x) (n > n0)}.
Вважатимемо, що цiлий вектор x оператора A порядку p(x) має мiнiмальний тип, якщо
s(x) = 0, нормальний — за умови, що 0 < s(x) < ∞, i максимальний — при s(x) = ∞.
Для числа β покладемо
G{β}(A) =
⋃
α>0
G
α
β(A) при 0 6 β < 1;
G(β)(A) =
⋂
α>0
G
α
β(A) при 0 < β 6 1,
де
Gα
β(A) = {x ∈ C∞(A) | ∃ c = c(x) > 0: ‖Anx‖ 6 cαnnnβ (n ∈ N0)} —
банахiв простiр вiдносно норми
‖x‖Gα
β
(A) = sup
n∈N0
‖Anx‖
αnnnβ
.
Якщо x — цiлий вектор оператора A порядку p i скiнченного типу, то x ∈ G{p}(A). Елементи
простору G{0}(A) називаються цiлими векторами експоненцiального типу оператора A.
У просторах G{β}(A) i G(β)(A) вводиться топологiя iндуктивної та, вiдповiдно, проек-
тивної границi просторiв G
α
β(A) (див [1, 2]):
G{β}(A) = ind lim
α→∞
Gα
β(A), G(β)(A) = proj lim
α→0
Gα
β(A).
Зауважимо, що простiр G{β}(A) є регулярною iндуктивною границею, а тому послiдовнiсть
xn ∈ G{β}(A) збiгається до x у цьому просторi тодi i тiльки тодi, коли iснує α > 0 таке, що
xn ∈ G
α
β(A) i xn → x (n → ∞) у цьому банаховому просторi. Збiжнiсть у просторi G(β)(A)
рiвносильна збiжностi в G
α
β(A) для довiльного α > 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 23
B-значна вектор-функцiя f(λ) називається цiлою в G{β}(A) (G(β)(A)), якщо вона є цiлою
у банаховому просторi G
α
β(A) з деяким (будь-яким) α. Для оператора A ∈ L(B) маємо
G{0}(A) = B.
У конкретному випадку, коли B = C([a, b]), −∞ < a < b < ∞, а
Ax(t) = x′(t), D(A) = C1([a, b]),
C∞(A) є не що iнше, як множина всiх нескiнченно диференцiйовних на [a, b] функцiй,
G(1)(A) (G{0}(A)) — простiр усiх неперервних на [a, b] функцiй, що допускають продов-
ження до цiлих (цiлих експоненцiального типу) функцiй.
2. У даному вище прикладi простiр G{0}(A) є щiльним в C([a, b]). Але це, взагалi ка-
жучи, не так у випадку довiльного замкненого A. Неважко навести приклад оператора
A ∈ E(B), для якого G(1)(A) = {0}. Проте якщо A — генератор C0-групи, то має мiсце
таке твердження.
Теорема 1. Нехай A — генератор C0-групи {U(t)}t∈R в B. Тодi
∀ β ∈ (0, 1) : G{β}(A) = G(β)(A) = B.
За умови, що спектр σ(A) оператора A є дiйсним i мажоранта його резольвенти M(δ) =
= sup
|Imλ|>δ>0
‖Rλ(A)‖ задовольняє умову Левiнсона
1
∫
0
ln lnM(δ) dδ < ∞, (2)
маємо G{0}(A) = B.
Будемо називати генератор A C0-групи {U(t)}t∈R неквазiаналiтичним, якщо
∞
∫
−∞
ln ‖U(t)‖
1 + t2
dt < ∞. (3)
Як показано в [3], спектр неквазiаналiтичного A лежить на дiйснiй осi, а для його резоль-
венти виконується нерiвнiсть (2). Вiдмiтимо також, що умова (3) є близькою до необхiдної.
Це пiдтверджує такий приклад.
П р и к л ад 1 . Нехай B = L2(R, τ
2(t)dt), де вимiрна локально обмежена функцiя τ(t) > 1, t ∈ R,
задовольняє умови: 1) ∀ t, s ∈ R : τ(t + s) 6 τ(t) · τ(s); 2)
∞
∫
−∞
ln τ(t)
1 + t2
dt = ∞. Тодi оператор
(Ax)(t) = −x′(t),
D(A) = {x(t) ∈ C(R) | x(t) абсолютно неперервна i x(t), x′(t) ∈ L2(R, τ
2(t)dt)},
породжує C0-групу (U(t)x)(s) = x(s − t), для якої ‖U(t)‖ 6 τ(t). Покажемо, що для будь-якого
α > 0 G
α
0 (A) = {0}.
Припустимо, що це не так. Тодi iснують α > 0 та 0 6≡ x(t) ∈ L2(R, τ
2(t)dt) такi, що x ∈ Gα
0 (A),
тобто
∞
∫
−∞
|x(n)(t)|2 dt 6
∞
∫
−∞
|x(n)(t)|2τ2(t) dt < (cαn)2 (n ∈ N0),
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
а отже, x(t) ∈ L2(R) допускає продовження до цiлої функцiї експоненцiального типу. З нерiвностi
2 ln+ |x(t)| < |x(t)|2 випливає, що
∞
∫
−∞
ln+ |x(t)|
1 + t2
dt < ∞,
звiдки (див. [4, с. 315])
∞
∫
−∞
| ln |x(t)||
1 + t2
dt < ∞.
Покладемо тепер y(t) = τ(t)x(t). Оскiльки
|y(t)|2 = exp
(
2(1 + t2)
1 + t2
ln |y(t)|
)
>
2(1 + t2)
1 + t2
ln |y(t)| >
ln |y(t)|
1 + t2
=
ln |x(t)|
1 + t2
+
ln |τ(t)|
1 + t2
,
то
∞
∫
−∞
|y(t)|2 dt = ∞, що суперечить включенню x(t) ∈ L2(R, τ
2(t)dt).
Нагадаємо, що цiла вектор-функцiя f(λ) має скiнченний порядок росту, якщо для до-
статньо великих |λ| виконується нерiвнiсть ‖f(λ)‖ 6 exp(|λ|γ) з деяким γ > 0. Точна нижня
межа ρ = ρ(f) таких γ називається порядком f(λ). Пiд типом вектор-функцiї f(λ) поряд-
ку ρ розумiється число
σ(f) = inf{a > 0: ‖f(λ)‖ 6 exp(a|λ|ρ)}.
Якщо σ(f) = 0, то тип f(λ) вважається мiнiмальним, а при 0 < σ(f) < ∞ — нормальним.
Якщо ж ρ(f) 6 1, то f(λ) називається цiлою вектор-функцiєю експоненцiального типу.
Як зазначалося вище, у випадку, коли генератор A C0-групи (C0-пiвгрупи) U(t), t ∈
∈ R(t ∈ R+) обмежений, вектор-функцiя U(t)x є цiлою експоненцiального типу для довiль-
ного x ∈ B. Це, взагалi кажучи, не так, якщо A не є обмеженим. Але для C0-груп має мiсце
Теорема 2. Нехай {U(t)}t∈R — C0-група лiнiйних операторiв в B з генератором A.
Для того щоб U(t)x допускала продовження до цiлої вектор-функцiї в B, необхiдно i до-
статньо, щоб x ∈ G(1)(A). Вектор-функцiя U(t)x є цiлою скiнченного порядку ρ i нормаль-
ного (мiнiмального) типу σ тодi i тiльки тодi, коли вектор x є цiлим для оператора A
порядку p i нормального (мiнiмального) типу s, пов’язаних з ρ i σ спiввiдношеннями
ρ =
1
1− p
, σ =
(se)ρ
ρe
.
Бiльш того, якщо x ∈ G(β)(A) з β ∈ (0, 1](G{β}(A) з β ∈ [0, 1)), то ряд у правiй части-
нi (1) збiгається у просторi G(β)(A)(G{β}(A)) в усiй комплекснiй площинi i визначає цiлу
вектор-функцiю у цьому просторi.
З теорем 1, 2 випливає, що для C0-групи {U(t)}t∈R з генератором A у просторi B зазна-
чена вище проблема, асоцiйована з питанням 1, завжди має розв’язок, а B1 = G(1)(A) —
максимальний простiр, на якому ця проблема є розв’язною, тобто, якщо ряд у правiй час-
тинi (1) збiгається для довiльного t ∈ R+, то x ∈ G(1)(A) i його сума дорiвнює U(t)x для
всiх t ∈ C. Що стосується питання 2, то, як показує приклад 1, проблема, пов’язана з ним,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 25
не завжди є розв’язною — iснують C0-групи {U(t)}t∈R, для яких вектор-функцiя U(t)x є цi-
лою експоненцiального типу лише при x = 0. Але якщо {U(t)}t∈R задовольняє умову (3),
то є така множина B0 : B0 = B, а саме B0 = G{0}(A), на елементах x якої U(t)x допускає
продовження до цiлої вектор-функцiї експоненцiального типу.
3. Припустимо тепер, що A — генератор C0-пiвгрупи {U(t)}t∈R+
. Неважко навести при-
клад, коли множина тих x ∈ D(A), на якiй ряд в (1) збiгається до U(t)x на R+, складається
лише з нуля. Проте якщо {U(t)}t∈R+
є аналiтичною, вiдповiдь на питання 1 є позитивною.
Нагадаємо (див. [5]), що C0-пiвгрупа {U(t)}t∈R+
називається аналiтичною з кутом θ ∈
∈ (0, π/2], якщо оператор-функцiя U(t) визначена в секторi Sθ = {z ∈ C : | arg z| < θ},
є аналiтичною в цьому секторi i має там такi властивостi:
1) ∀ z1, z2 ∈ Sθ : U(z1 + z2) = U(z1)U(z2);
2) ∀x ∈ B : U(z)x є аналiтичною в Sθ;
3) ∀x ∈ B : ‖U(z)x − x‖ → 0 при z → 0 у будь-якому замкненому пiдсекторi з Sθ.
Аналiтична з кутом θ пiвгрупа {U(t)}t∈R+
називається обмеженою, якщо оператор-функ-
цiя U(z) є обмеженою в кожному секторi Sϕ з ϕ < θ.
Теорема 3. Нехай {U(t)}t∈R+
— обмежена аналiтична C0-пiвгрупа з кутом θ 6 π/2
у банаховому просторi B i A — її генератор. Тодi G(γ)(A) = B для довiльного γ > 1−2θ/π.
У випадку, коли θ = π/2, iснують обмеженi аналiтичнi з кутом θ = π/2 C0-пiвгрупи, для
яких G{0}(A) = {0}. Але за умови (2) маємо G{0}(A) = B.
Ця теорема дає змогу сформулювати вiдповiдi на поставленi вище запитання 1, 2 для
аналiтичних пiвгруп.
Теорема 4. Нехай {U(t)}t∈R+
— обмежена аналiтична C0-пiвгрупа з кутом θ 6 π/2
у банаховому просторi B i A — її генератор. Тодi вiдповiдь на запитання 1 є позитивною,
а саме B1 = G(1)(A), i цей простiр є максимальним, на якому ряд у правiй частинi (1)
збiгається при t ∈ R. Якщо θ = π/2 i виконується умова (2), тодi розв’язною є i проблема,
пов’язана з питанням 2. У цьому випадку B0 = G{0}(A).
Варто зазначити, що умова (2), що фiгурує у цiй теоремi, є близькою до необхiдної
в тому розумiннi, що iснують аналiтичнi пiвгрупи з кутом θ = π/2, для яких B0 = {0}.
4. Зупинимося коротко на iсторичних аспектах розглянутих вище проблем.
Виходячи з формули Тейлора, Ж.Л. Лагранж (див. [6]) у 1772 р. записав формулу
x(t+ s) = exp
(
t
d
ds
)
x(s) =
∞
∑
0
tnx(n)(s)
n!
, (4)
в якiй, як бачимо, група зсувiв U(t)x(s) = x(t + s) зображується у виглядi експоненти вiд
її генератора — оператора диференцiювання. I хоча формула (4) не була обгрунтована,
вiн використовував її з великою майстернiстю. Ця формула привела його до низки нових
теорем, доведення яких важко собi уявити без її iснування. Для осмислення ж цього ре-
зультату у випадку довiльного лiнiйного оператора A, тобто усвiдомлення того, а що ж
саме треба розумiти пiд etA, знадобилось майже два столiття — i це стало одним iз най-
важливiших досягнень математичного аналiзу середини XX ст. Так, у випадку, коли A —
лiнiйний оператор у просторi B = C, тобто Ax = ax, a ∈ C, Л. Ейлер [7] (1728 р.) дав два
визначення експоненти:
eta =
∞
∑
0
(ta)n
n!
та eta = lim
n→∞
(
1 +
at
n
)n
.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
У 1821 р. А.Л. Кошi [8] дав означення U(t) = eta як розв’язок функцiонального рiвняння
U(t+ s) = U(t)U(s), (5)
а точнiше, встановив, що якщо U(t) — неперервний розв’язок рiвняння (5), то iснує єдине
a ∈ C таке, що U(t) = eta. У подальшому цей факт був поширений на випадок довiльних
оператора з L(B) i оператор-функцiї U(t), неперервної в рiвномiрнiй операторнiй топологiї
(див., наприклад, [5]). Що стосується C0-груп i C0-пiвгруп з необмеженим генератором,
а саме вони найчастiше зустрiчаються в задачах математичної фiзики (прикладом є група
зсувiв у формулi Лагранжа), то М. Стоуном [9] (1932 р.) на основi операцiйного числення
для самоспряжених операторiв було встановлено, що сiм’я {U(t)}t∈R унiтарних операторiв
у гiльбертовому просторi H утворює C0-групу тодi i тiльки тодi, коли iснує самоспряжений
оператор A в H такий, що
∀ t ∈ R : U(t) = eitA =
∞
∫
−∞
eitλdEλ
(Eλ — розклад одиницi оператора A). Оскiльки для самоспряженого оператора A простори
G{0}(A) = {E∆x : x ∈ H,∆ — компакт в R} та
G(1)(A) =
{
x ∈ H | ∀α > 0:
∞
∫
−∞
eαλ d(Eλx, x) < ∞
}
є щiльними в H, то, беручи до уваги теореми 3, 4, робимо висновок, що для довiльної
C0-групи унiтарних операторiв в H проблеми, асоцiйованi з питаннями 1, 2, вирiшуються
позитивно.
У зв’язку зi сказаним вище А.М. Колмогоров поставив задачу: довести для будь-якої
C0-групи {U(t)}t∈R лiнiйних операторiв у банаховому просторi B iснування щiльної в Bмно-
жини B1, на елементах якої ця група зображується рядом (1). У випадку, коли {U(t)}t∈R
є обмеженою, ця проблема була розв’язана I. М. Гельфандом [10]. Варто зазначити, що сфор-
мульована у п. 2 теорема 2 не тiльки розв’язує поставлену задачу для довiльної C0-групи,
але й описує максимальну множину B1, на елементах якої ряд (1) збiгається до U(t) при
t ∈ R.
Робота виконана за пiдтримки спiльного українсько-росiйського проекту НАН України i Ро-
сiйського фонду фундаментальних дослiджень (проект № 01/01-12).
1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. – Москва:
Физматгиз, 1959. – 684 с.
2. Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht:
Kluwer, 1991. – 347 p.
3. Любич Ю.И., Мацаев В.И. Об операторах с отделимым спектром // Мат. сб. – 1962. – 56, № 4. –
С. 433–468.
4. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – Москва: Гостехтеоретиздат, 1956. – 632 с.
5. Хилле Э., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. – Москва: Изд-во иностр. лит.,
1962. – 830 с.
6. Lagrange J. L. Nouvelle espèce de calcul // Nouveaux Mémoires de l’Académie Rouale des Sciences et
Belles-Lettres. – 1772. – 3. – P. 185–218.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 27
7. Euler L. Nova methodus innumerabiles aequationes differentiales secundi gradus reducendi ad aequationes
differentiales primi gradus // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. – 1728. – 3. – P. 124–
137.
8. Cauchy A.L. Cours d’Analise de l’Ecole Royale Polytechnique, première Partie Analyse Algébrique. – Paris,
1821. – 576 p.
9. Stone M.H. On one-parameter unitary groups in Hilbert space // Ann. Math. – 1932. – 33. – P. 643–648.
10. Гельфанд И.М. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве //
Докл. АН СССР. – 1939. – 25, № 9. – С. 713–718.
Надiйшло до редакцiї 29.03.2013Iнститут математики НАН України, Київ
НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
Член-корреспондент НАН Украины М. Л. Горбачук, В.М. Горбачук
Представление групп линейных операторов в банаховом
пространстве степенными рядами
Для произвольной C0-группы и аналитической C0-полугруппы линейных операторов в ба-
наховом пространстве устанавливается существование плотного в этом пространстве
множества, на элементах которого заданную группу или полугруппу можно представить
в виде степенного ряда для экспоненты от ее генератора. Приводятся условия, при которых
этот степенной ряд является целой оператор-функцией экспоненциального типа.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. L. Gorbachuk, V.M. Gorbachuk
Representation of groups of linear operators on a Banach space by
means of power series
For an arbitrary C0-group, as well as an arbitrary analytic C0-semigroup of linear operators on
a Banach space, the existence of a dense set in this space, on elements of which the given group
or semigroup may be represented in the form of a power series for the exponential function of
its infinitesimal generator, is established. The conditions are found, under which this power series
determines an entire operator-function of exponential type.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85887 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:50:08Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. 2015-08-31T16:15:23Z 2015-08-31T16:15:23Z 2013 Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами / М.Л. Горбачук, В.М. Горбачук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 22–28. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85887 517.98 Для довiльної C₀-групи та аналiтичної C₀-пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому
 просторi встановлюється iснування щiльної у цьому просторi множини, на елементах якої задану групу або пiвгрупу можна зобразити у виглядi степеневого ряду для
 експоненти вiд її генератора. Даються умови, за яких цей степеневий ряд є цiлою оператор-функцiєю експоненцiального типу. Для произвольной C₀-группы и аналитической C₀-полугруппы линейных операторов в банаховом пространстве устанавливается существование плотного в этом пространстве множества, на элементах которого заданную группу или полугруппу можно представить
 в виде степенного ряда для экспоненты от ее генератора. Приводятся условия, при которых
 этот степенной ряд является целой оператор-функцией экспоненциального типа. For an arbitrary C₀-group, as well as an arbitrary analytic C₀-semigroup of linear operators on
 a Banach space, the existence of a dense set in this space, on elements of which the given group
 or semigroup may be represented in the form of a power series for the exponential function of
 its infinitesimal generator, is established. The conditions are found, under which this power series
 determines an entire operator-function of exponential type. Робота виконана за пiдтримки спiльного українсько-росiйського проекту НАН України i Росiйського фонду фундаментальних дослiджень (проект № 01/01-12). uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами Представление групп линейных операторов в банаховом пространстве степенными рядами Representation of groups of linear operators on a Banach space by means of power series Article published earlier |
| spellingShingle | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами Горбачук, М.Л. Горбачук, В.М. Математика |
| title | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами |
| title_alt | Представление групп линейных операторов в банаховом пространстве степенными рядами Representation of groups of linear operators on a Banach space by means of power series |
| title_full | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами |
| title_fullStr | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами |
| title_full_unstemmed | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами |
| title_short | Зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами |
| title_sort | зображення груп лінійних операторів у банаховому просторі степеневими рядами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85887 |
| work_keys_str_mv | AT gorbačukml zobražennâgruplíníinihoperatorívubanahovomuprostorístepenevimirâdami AT gorbačukvm zobražennâgruplíníinihoperatorívubanahovomuprostorístepenevimirâdami AT gorbačukml predstavleniegrupplineinyhoperatorovvbanahovomprostranstvestepennymirâdami AT gorbačukvm predstavleniegrupplineinyhoperatorovvbanahovomprostranstvestepennymirâdami AT gorbačukml representationofgroupsoflinearoperatorsonabanachspacebymeansofpowerseries AT gorbačukvm representationofgroupsoflinearoperatorsonabanachspacebymeansofpowerseries |