Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів
На прикладi вiдомої задачi про радiальнi коливання тонкої круглої п’єзокерамiчної пластини з суцiльними електродами дослiджуються амплiтудно-фазовi залежностi для радiальних змiщень, суми головних напружень i компонентiв повної провiдностi в околi
 резонансних i антирезонансних частот. Резул...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85896 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів / М.О. Шульга, В.Л. Карлаш // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 80–86. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860087798788259840 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. Карлаш, В.Л. |
| author_facet | Шульга, М.О. Карлаш, В.Л. |
| citation_txt | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів / М.О. Шульга, В.Л. Карлаш // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 80–86. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | На прикладi вiдомої задачi про радiальнi коливання тонкої круглої п’єзокерамiчної пластини з суцiльними електродами дослiджуються амплiтудно-фазовi залежностi для радiальних змiщень, суми головних напружень i компонентiв повної провiдностi в околi
резонансних i антирезонансних частот. Результати розрахункiв добре узгоджуються
з експериментальними даними, отриманими за опрацьованою авторами новою методикою.
На примере известной задачи о радиальных колебаниях тонкой круглой пьезокерамической
пластины со сплошными электродами исследуются амплитудно-фазовые зависимости для
радиальных перемещений, суммы главных напряжений и компонент полной проводимости
в окрестности резонансных и антирезонансных частот. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными по разработанной авторами новой методике.
By the example of the known problem of radial vibrations of a thin piezoceramic plate with unbroken
electrodes, the amplitude-phase dependences for radial displacements and the sums of principal
stresses and admittance components near the resonant and antiresonant frequencies of a disk
are studied. The results of calculations are in good agreement with experimental data obtained by authors’ new method.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:21:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.4
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга , В. Л. Карлаш
Амплiтудно-фазовi характеристики радiальних
коливань тонкого п’єзокерамiчного диска
бiля резонансiв
На прикладi вiдомої задачi про радiальнi коливання тонкої круглої п’єзокерамiчної плас-
тини з суцiльними електродами дослiджуються амплiтудно-фазовi залежностi для ра-
дiальних змiщень, суми головних напружень i компонентiв повної провiдностi в околi
резонансних i антирезонансних частот. Результати розрахункiв добре узгоджуються
з експериментальними даними, отриманими за опрацьованою авторами новою мето-
дикою.
Коливання п’єзокерамiчних елементiв конструкцiй характеризуються високими коефiцiєн-
тами електромеханiчного зв’язку i значними амплiтудами механiчних напружень та змi-
щень. Сама природа внутрiшнiх фiзичних процесiв у таких тiлах призводить до того, що
i змiщення, i напруження, i провiднiсть, i iмпеданс мають бiля резонансних частот як актив-
нi, так i реактивнi компоненти. Розрахувати будь-яку амплiтуду можливо лише тодi, коли
беруться до уваги втрати енергiї. Донинi аналiтичнi розв’язки задач про електромеханiчнi
коливання таких тiл побудованi лише для простих геометричних форм, таких як стрижнi,
пластини, диски, цилiндричнi й сферичнi оболонки тощо. Такi розв’язки застосовуються
у стандартах для експериментального визначення коефiцiєнтiв зв’язку та компонентiв тен-
зорiв пружних, дiелектричних i п’єзоелектричних сталих.
Електромеханiчнi коливання збуджуються за допомогою електричного поля, яке ство-
рюється електричною напругою, прикладеною до розмiщених на поверхнi електродiв, не-
вiд’ємно зв’язаних з поверхнею. Мiжелектродна ємнiсть п’єзокерамiчних елементiв конст-
рукцiй досягає кiльканадцяти нанофарад i iстотно впливає на внутрiшнi процеси в них.
У данiй роботi на прикладi вiдомої задачi про радiальнi коливання тонкої круглої п’єзо-
керамiчної пластини з суцiльними електродами дослiджуються амплiтудно-фазовi залеж-
ностi в околi резонансних i антирезонансних частот. Розрахунки амплiтуд i фаз для ра-
дiальних змiщень на ободi диска, суми головних напружень в його центрi i компонентiв
повної провiдностi ведуться з використанням одержаних в експериментi за новою методи-
кою даних. Результати розрахункiв добре узгоджуються з експериментальними даними.
Фазовi зсуви при радiальних коливаннях тонкого диска. В [1–3] наведено вирази
для радiальних змiщень Ur, cуми головних напружень σr + σθ i повної провiдностi Y , на
основi яких можемо записати такi спiввiдношення:
Ur =
(1 + ν)d31EzJ1(λx)
∆(x)
, (1)
σr + σθ =
d31Ez
sE
11
(1− ν)
(
(1 + ν)xJ0(λx)
∆(x)
− 2
)
, (2)
Y = jωC0
[
1− k2p +
(1 + ν)k2pJ1(x)
∆(x)
]
= jωC0
∆a(x)
∆(x)
, (3)
© М. О. Шульга, В. Л. Карлаш, 2013
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
Рис. 1. Фазовi зсуви в радiальних змiщеннях бiля краю диска на перших чотирьох резонансах i АЧХ ком-
понентiв змiщень в околi резонансних частот
де ∆(x) = xJ0(x) − (1 − ν)J1(x) — резонансний, а ∆a(x) = (1 − k2p)∆(x) + (1 + ν)k2pJ1(x) —
антирезонансний визначник; ν — коефiцiєнт Пуассона; λ = r/R — вiдношення радiусiв точки
спостереження до радiуса пластини; d31 — п’єзомодуль; Ez — напруженiсть електричного
поля; C0 — власна статична ємнiсть; x — безрозмiрна частота; ω — кругова частота; j —
уявна одиниця.
Вирази (1) — (3), резонансний та антирезонансний визначники, а також безрозмiрна
частота [4] i планарний КЕМЗ [3, 5] є комплексними функцiями
x = x0 − jx2; x2 = 0,5s11Mx0, (4)
k2p = k2po[1 + j(s11M + ε33M − 2d31M )]. (5)
На рис. 1 наведено графiки фазочастотних i амплiтудно-частотних залежностей, роз-
рахованих за формулою (1) для конкретного п’єзокерамiчного диска iз ЦТБС-3 з розмiра-
ми 66,4 · 3,1 мм, в якому C0 = 18,5 нФ, тангенс дiелектричних втрат ε33m = 0,0085; тангенс
механiчних втрат s11m = 0,0069; коефiцiєнт Пуассона ν = 0,35; квадрат планарного КЕМЗ
k2po = 0,31; тангенс п’єзоелектричних втрат d31m = 0,0076. По горизонталi вiдкладена без-
розмiрна частота x. По вертикалi (на першому графiку) — кут мiж реактивним i активним
компонентами радiальних змiщень бiля краю пластини (λ = 0,998), а на iнших трьох — ком-
поненти вiдношення Ur1 = Ur/(d31Ez) в тiй же точцi для перших трьох радiальних резонан-
сiв. Активнi складовi зображенi штрихпунктирними кривими, реактивнi — пунктирними,
а їхня векторна сума, тобто абсолютне значення комплексних чисел, — суцiльними лiнiями.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 81
Рис. 2. Фазовi зсуви суми головних напружень в центрi диска на перших чотирьох резонансах i АЧХ ком-
понентiв цiєї суми в околi резонансних частот
Щоб перейти вiд Ur1 до Ur (у метрах), треба помножити число, яке є ординатою, на d31Ez.
В нашому диску, наприклад, d31 = 1,64 · 10−10 Кл/Н i витримує вiн на першому резонансi
без нагрiвання поле до 1000 В/м. Простий розрахунок показує, що максимальнi змiщення
бiля обода становлять 9 мкм. На наступних двох резонансах амплiтуда радiальних змiщень
знижується майже в десять i двадцять разiв.
Аналiз графiкiв показує, що в околi кожного радiального резонансу кут мiж реактив-
ною i активною складовими радiальних змiщень змiнюється вiд −π/2 до π/2, спадаючи на
резонансних частотах до нуля. На всiх трьох амплiтудно-частотних залежностях хiд вiд-
повiдних кривих подiбний i вiдрiзняються вони лише амплiтудами. На кожному з перших
трьох радiальних резонансiв активна складова досягає свого максимального значення, то-
дi як реактивна складова спершу зростає, потiм спадає до нуля i знову зростає, змiнивши
знак. При пiдходi до резонансу знак реактивностi позитивний, при вiдходi — негативний.
Наступна змiна знака реактивної складової спостерiгається в промiжках мiж резонансами,
саме в тих точках, де вiдбувається перехiд фази вiд π/2 до −π/2.
На рис. 2 подано аналогiчнi залежностi, розрахованi за формулою (2) для суми голов-
них напружень у центрi пластини (λ = 0,01) в тих же частотних iнтервалах. Символом
Tr1 позначено вiдношення (σr + σθ)s
E
11
(1 − ν)/d31Ez. Помноживши безрозмiрне число Tr1
на d31Ez/(s
E
11
(1 − ν)), одержимо суму головних напружень в центрi пластини в паскалях.
У нашому прикладi sE11 = 16,2 · 10−12 м2/Н, тому Tr = 9,1 · 106 Па на першому радiальному
резонансi i знижується на другому та третьому приблизно у пiвтора i два рази.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
Рис. 3. Фазовi зсуви мiж компонентами повної провiдностi диска на перших чотирьох резонансах i АЧХ цих
компонентiв в околi резонанс — антирезонанс
У випадку суми головних напружень також має мiсце змiна фазового зсуву мiж ре-
активним i активним компонентами вiд −π/2 до π/2 при проходженнi кожного радiального
резонансу та змiна вiд π/2 до −π/2 — у зворотному напрямку мiж резонансами. Якщо
у попередньому випадку мiж резонансами змiнювалася лише полярнiсть реактивної скла-
дової, то тепер змiна полярностi компонентiв вiдбувається одночасно, так що до кожного
наступного резонансу вони наближаються з однаковим спiввiдношенням полярностей. Цiєю
обставиною й пояснюється подiбнiсть фазових залежностей для радiальних змiщень бiля
краю пластини i головних напружень у її центрi.
На рис. 3 наведено аналогiчнi залежностi, розрахованi за формулою (3) для повної про-
вiдностi пластини. Частотнi iнтервали розширенi в бiк високих частот i вмiщують як резо-
нанс, так i антирезонанс. Символом Y позначено повну провiднiсть та її активний i реактив-
ний компоненти (у мiлiсiменсах). Слiд вiдзначити, що дiапазон змiни повної провiдностi вiд
максимального до мiнiмального значень на першiй радiальнiй модi дуже широкий — вiд 129
до 0,09 мСм. На другiй i третiй радiальних модах маємо вiдповiдно 42 i 1,15 та 29 i 4,5 мСм.
Усi цi розрахованi за графiками числа дуже близькi до експериментальних даних. Поляр-
нiсть активного та реактивного компонентiв при пiдходi до кожного наступного резонансу
i їх спiввiдношення зберiгаються. Зворотнi переходи фази вiдбуваються не в промiжку мiж
сусiднiми резонансами, як було для змiщень i напружень, а на антирезонансних частотах.
Фазовий кут мiж компонентами повної провiдностi змiнюється в межах вiд π/2 до −π/2
i назад тiльки на першому радiальному резонансi. На другому резонансi кут змiнюється
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 83
вiд π/2 до −0,9 рад i назад, на третьому — вiд π/2 до −0,2 рад i назад, а на четвертому —
лише до 0,4 рад i назад.
Слiд пiдкреслити, що на рис. 1, 2 наведенi лише результати розрахункiв для тих мiсць
пластини, де вiдповiднi величини досягають своїх максимальних значень. В iнших точках
радiуса картина фазових залежностей набагато складнiша.
Експериментальне визначення фазових зсувiв. Фазовi зсуви мiж струмом, що про-
тiкає через п’єзоелемент при радiальних коливаннях, i прикладеною до нього рiзницею по-
тенцiалiв визначалися за новою методикою. Дослiджуваний п’єзоелемент приєднувався до
генератора електричних сигналiв ультразвукових частот через узгоджувальний подiльник
напруги [3, 6], складений iз двох послiдовно з’єднаних резисторiв R1 = 68 i R2 = 10 Ом, з ко-
ефiцiєнтом дiлення 7,8 : 1. Електрична напруга, яка видiляється на резисторi R2, є вхiдною
рiзницею потенцiалiв Uin для схеми вимiрювання. Щоб визначити електричний струм I, що
проходить через п’єзоелемент при його взаємодiї з електричним полем збудження, до нього
послiдовно приєднувався резистор навантаження R i вимiрювався спад напруги на ньо-
му UR. Опiр резистора навантаження R вибирався з урахуванням рекомендацiй робiт [6–8]
i становив 11,2 Ом або 20 кОм. Водночас цей струм створював на самому п’єзоелементi
спад напруги Upe. За означенням, повна провiднiсть Y є вiдношенням струму I до спаду
напруги Upe [1, 3]
Y =
I
Upe
=
UR
UpeR
. (6)
П’єзоелемент Pe i резистор навантаження R приєднувалися до виходу подiльника напру-
ги через двополюсний комутатор [9], який давав можливiсть за допомогою одного й того ж
вольтметра на кожнiй вибранiй частотi вимiрювати почергово спади напруг UR та Upe,а та-
кож вхiдну напругу Uin. Цi три спади напруг утворюють своєрiдний трикутник, в якому
кути напроти вiдповiдних сторiн можна розрахувати за теоремою косинусiв
cosα =
U2
pe + U2
R − U2
in
2UpeUR
, cos β =
U2
in + U2
R − U2
pe
2UinUR
, cos γ =
U2
in + U2
pe − U2
R
2UinUpe
(7)
або вимiряти транспортиром пiсля графiчної побудови.
Частота генератора ГЗ-56/1 змiнювалася вiд 20 до 200 кГц i вольтметром В3–38 вимiрю-
валися спади напруг Uin, Upe та UR. Одержанi в такий спосiб данi заносилися в комп’ютер
i будувалися частотнi залежностi кутiв α, β i γ, як вiдповiдних арккосинусiв. Одночасно за
формулою (2) вираховувалася повна провiднiсть пластини. За графiками АЧХ бiля резонан-
сних i антирезонансних частот на рiвнi −3 дБ визначалися компоненти добротностi Qm [10],
якi бралися до уваги при розрахунках для рис. 1–3.
На рис. 4 подано амплiтудно-фазовi характеристики повної провiдностi на перших двох
радiальних резонансах, розрахованi за формулою (3), а також визначенi експериментально
iз застосуванням теореми косинусiв (7). На верхнiх графiках до залежностей типу v =
= atan(w) (суцiльнi лiнiї, w = imag(Y )/ real(Y )) додано кривi abs(v) (штрихпунктирнi лi-
нiї). Так зроблено тому, що в експериментi вольтметр не реагує на полярнiсть вимiрюваних
напруг, а тiльки на їх ефективнi значення. Через цю обставину побудованi вище графiки
вiдображають не самi фазовi зсуви, а їхнi абсолютнi значення. Модуль фазового зсуву мiж
реактивною i активною складовими повної провiдностi на частотах резонансiв i антирезо-
нансiв знижується до нуля, а потiм зростає в обидва боки на першому резонансi до π/2.
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
Рис. 4. Фазовi зсуви мiж компонентами повної провiдностi диска бiля перших двох радiальних резонансiв
На другому резонансi зростання фазового зсуву до π/2 має мiсце лише ранiше вiд резо-
нансу i пiзнiше за антирезонанс. У промiжку резонанс — антирезонанс фазовий зсув не
перевищує 0,9 рад. На нижнiх графiках наведено фазово-частотнi залежностi кутiв харак-
теристичного трикутника.
Кут α (суцiльнi кривi) утворений сторонами UR та Upe i характеризує фазовий зсув
мiж струмом в п’єзоелементi i напругою на його електродах. Кут β (штрихпунктирнi кри-
вi) утворений сторонами Uin та UR i характеризує фазовий зсув мiж напругою на виходi
генератора та споживаним вiд генератора струмом. Кут γ (пунктирнi кривi) утворений
сторонами Uin та Upe, тобто мiж спадами напруги на виходi генератора i на п’єзоелементi.
Хiд кривих кута β на першому резонансi та антирезонансi, а також на другому резонан-
сi, iдентичний до розрахованих фазових зсувiв мiж компонентами повної провiдностi. На
другому антирезонансi мiнiмум не досягає нуля, що пояснюється неточностями вимiрювань
при малих струмах.
На закiнчення зробимо такi висновки.
1. Запропонована авторами нова розрахунково-експериментальна методика з вивчення
фазових i амплiтудних характеристик радiальних коливань тонких п’єзокерамiчних дискiв
показала свою ефективнiсть. Вона застосовувалася також для тiл ускладненої геометричної
форми.
2. Фазовi зсуви мiж активним i реактивним компонентами пружних змiщень i головних
напружень залежать вiд мiсця спостереження, а для повної провiдностi — вiд величини
планарного КЕМЗ. Перехiд вiд −π/2 до π/2 вiдбувається у всiх випадках в околi резо-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 85
нансних частот. Зворотний перехiд для змiщень i напружень має мiсце в промiжках мiж
резонансами, а для компонентiв повної провiдностi — на антирезонансах.
3. Розрахунок фазово-частотних i амплiтудно-частотних характеристик коливань у ком-
плекснiй формi забезпечує результати, якi добре узгоджуються з експериментами.
4. Описану методику можна рекомендувати для дослiдження коливань будь-яких еле-
ментiв конструкцiй iз п’єзокерамiки.
1. Карлаш В.Л. Резонансные электромеханические колебания пьезоэлектрических пластин // Прикл.
мех. – 2005. – 41, № 7. – С. 3–46.
2. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с.
3. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2008. – 272 с.
4. Катц Г.В. Магнитные и диэлектрические приборы. Ч. I. – Москва-Ленинград: Энергия, 1964. – 416 с.
5. Holland R., Eer Nisse E.P. Design of resonant piezoelectric devices. – Cambridge, London: MIT Press,
1969. – 256 p.
6. Глозман И.А. Пьезокерамика. – Москва: Энергия, 1972. – 288 с.
7. Шарапов В.М., Минаев И. Г., Бондаренко Ю.Ю. и др. Пьезоэлектрические преобразователи: Уч.
пос. / Под ред. В. М. Шарапова. – Черкассы: ЧГТУ, 2004. – 435 с.
8. ГОСТ 12370–72. Материалы пьезокерамические, методы испытаний. – Москва: Изд-во стандартов,
1973. – 28 с.
9. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Вимiрювання повної провiдностi п’єзокерамiчних елементiв у схемi чо-
тириполюсника Мезона та її варiантах // Тези IV Мiжнар. наук.-техн. конф. “Датчики, прилади та
системи – 2008”. – Черкаси – Гурзуф, 2008. – С. 54–56.
10. IRE Standards on Piezoelectric Crystals: Measurements of Piezoelectric Ceramics. 1961 // Proс. IRE. –
1961. – 49. – P. 1161–1169.
Надiйшло до редакцiї 04.02.2013Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Член-корреспондент НАН Украины Н. А. Шульга , В.Л. Карлаш
Амплитудно-фазовые характеристики радиальных колебаний
тонкого пьезокерамического диска возле резонансов
На примере известной задачи о радиальных колебаниях тонкой круглой пьезокерамической
пластины со сплошными электродами исследуются амплитудно-фазовые зависимости для
радиальных перемещений, суммы главных напряжений и компонент полной проводимости
в окрестности резонансных и антирезонансных частот. Результаты расчетов хорошо со-
гласуются с экспериментальными данными, полученными по разработанной авторами но-
вой методике.
Corresponding Member of the NAS of Ukraine М. O. Shul’ga , V. L. Karlash
Amplitude-phase characteristics of radial vibrations of a thin
piezoceramic disk near resonances
By the example of the known problem of radial vibrations of a thin piezoceramic plate with unbroken
electrodes, the amplitude-phase dependences for radial displacements and the sums of principal
stresses and admittance components near the resonant and antiresonant frequencies of a disk
are studied. The results of calculations are in good agreement with experimental data obtained
by authors’ new method.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85896 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:21:02Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. Карлаш, В.Л. 2015-08-31T16:17:41Z 2015-08-31T16:17:41Z 2013 Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів / М.О. Шульга, В.Л. Карлаш // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 80–86. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85896 539.4 На прикладi вiдомої задачi про радiальнi коливання тонкої круглої п’єзокерамiчної пластини з суцiльними електродами дослiджуються амплiтудно-фазовi залежностi для радiальних змiщень, суми головних напружень i компонентiв повної провiдностi в околi
 резонансних i антирезонансних частот. Результати розрахункiв добре узгоджуються
 з експериментальними даними, отриманими за опрацьованою авторами новою методикою. На примере известной задачи о радиальных колебаниях тонкой круглой пьезокерамической
 пластины со сплошными электродами исследуются амплитудно-фазовые зависимости для
 радиальных перемещений, суммы главных напряжений и компонент полной проводимости
 в окрестности резонансных и антирезонансных частот. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными по разработанной авторами новой методике. By the example of the known problem of radial vibrations of a thin piezoceramic plate with unbroken
 electrodes, the amplitude-phase dependences for radial displacements and the sums of principal
 stresses and admittance components near the resonant and antiresonant frequencies of a disk
 are studied. The results of calculations are in good agreement with experimental data obtained by authors’ new method. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів Амплитудно-фазовые характеристики радиальных колебаний тонкого пьезокерамического диска возле резонансов Amplitude-phase characteristics of radial vibrations of a thin piezoceramic disk near resonances Article published earlier |
| spellingShingle | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів Шульга, М.О. Карлаш, В.Л. Механіка |
| title | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів |
| title_alt | Амплитудно-фазовые характеристики радиальных колебаний тонкого пьезокерамического диска возле резонансов Amplitude-phase characteristics of radial vibrations of a thin piezoceramic disk near resonances |
| title_full | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів |
| title_fullStr | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів |
| title_full_unstemmed | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів |
| title_short | Амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів |
| title_sort | амплітудно-фазові характеристики радіальних коливань тонкого п'єзокерамічного диска біля резонансів |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85896 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo amplítudnofazovíharakteristikiradíalʹnihkolivanʹtonkogopêzokeramíčnogodiskabílârezonansív AT karlašvl amplítudnofazovíharakteristikiradíalʹnihkolivanʹtonkogopêzokeramíčnogodiskabílârezonansív AT šulʹgamo amplitudnofazovyeharakteristikiradialʹnyhkolebaniitonkogopʹezokeramičeskogodiskavozlerezonansov AT karlašvl amplitudnofazovyeharakteristikiradialʹnyhkolebaniitonkogopʹezokeramičeskogodiskavozlerezonansov AT šulʹgamo amplitudephasecharacteristicsofradialvibrationsofathinpiezoceramicdisknearresonances AT karlašvl amplitudephasecharacteristicsofradialvibrationsofathinpiezoceramicdisknearresonances |