Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Розвинено нелінійний алгоритм керування пристінковим потоком, який використовує спіймані вихори в поперечних канавках, а також ежекцію рідини. Побудований контролер ґрунтується на моделі точкових вихорів з одним ступенем свободи і складається з рівняння рівноваги вихору та умови Кутта-Жуковського в...
Saved in:
| Published in: | Системні дослідження та інформаційні технології |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86115 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах / І.М. Горбань, О.В. Хоменко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 87-99. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859546001266704384 |
|---|---|
| author | Горбань, І.М. Хоменко, О.В. |
| author_facet | Горбань, І.М. Хоменко, О.В. |
| citation_txt | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах / І.М. Горбань, О.В. Хоменко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 87-99. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Системні дослідження та інформаційні технології |
| description | Розвинено нелінійний алгоритм керування пристінковим потоком, який використовує спіймані вихори в поперечних канавках, а також ежекцію рідини. Побудований контролер ґрунтується на моделі точкових вихорів з одним ступенем свободи і складається з рівняння рівноваги вихору та умови Кутта-Жуковського в гострих крайках канавки. Розраховано параметри керуючої системи для канавок різної глибини в стаціонарному потоці. Одержано, що в мілких канавках область стійкості вихорів є ширшою, ніж в глибоких, тому вони є більш перспективними для керування. Ці результати використано для розрахунку параметрів активної керуючої схеми зі зворотним зв’язком у нестаціонарному потоці, коли система оперативно реагує на зовнішні збурення. Наведено приклади реалізації цієї схеми, коли швидкість течії змінюється періодично або за лінійним законом.
Развит нелинейный алгоритм управления пристеночным потоком, который использует пойманные вихри в поперечных канавках и эжекцию жидкости. Построенный контроллер основывается на модели точечных вихрей с одной степенью свободы и состоит из уравнения равновесия вихря и условия Кутта-Жуковского в острых кромках канавки. Рассчитаны параметры управляющей системы для канавок различной глубины в стационарном потоке. Получено, что в мелких канавках область устойчивости вихрей шире, чем в глубоких, поэтому они являются более перспективными для управления. Эти результаты использованы для расчета параметров активной управляющей схемы с обратной связью в нестационарном потоке, когда система оперативно реагирует на внешние возмущения. Приведены примеры реализации этой схемы, когда скорость течения меняется периодически или по линейному закону.
We present a non-linear near-wall flows control algorithm. This algorithm uses captured vortices in the cross grooves and fluid ejection. The controller is based on a model of point vortices with one degree of freedom and consists of the equation of vortex equilibrium and the Kutta condition in the groove edges. Parameters of a control system for grooves of different depths in a stationary stream are calculated. We determined that in shallow grooves, the region of stability of vortices is wider, than in deep grooves, so they are more promising for control. These results are used to estimate the parameters of the active control scheme with a feedback in a nonstationary flow when the system is responsive to external perturbations. Examples of an implementation of such a scheme are presented for the case when the flow velocity changes periodically or linearly.
|
| first_indexed | 2025-11-26T01:42:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
© І.М. Горбань, О.В. Хоменко, 2014
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 87
УДК 517.9
ТЕОРЕТИЧНІ МОДЕЛІ КЕРУВАННЯ ПРИСТІНКОВИМИ
ПОТОКАМИ В ГІДРОДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ
І.М. ГОРБАНЬ, О.В. ХОМЕНКО
Розвинено нелінійний алгоритм керування пристінковим потоком, який вико-
ристовує спіймані вихори в поперечних канавках, а також ежекцію рідини.
Побудований контролер ґрунтується на моделі точкових вихорів з одним сту-
пенем свободи і складається з рівняння рівноваги вихору та умови Кутта-
Жуковського в гострих крайках канавки. Розраховано параметри керуючої си-
стеми для канавок різної глибини в стаціонарному потоці. Одержано, що
в мілких канавках область стійкості вихорів є ширшою, ніж в глибоких, тому
вони є більш перспективними для керування. Ці результати використано для
розрахунку параметрів активної керуючої схеми зі зворотним зв’язком у не-
стаціонарному потоці, коли система оперативно реагує на зовнішні збурення.
Наведено приклади реалізації цієї схеми, коли швидкість течії змінюється
періодично або за лінійним законом.
ВСТУП
Трансформація турбулентної течії в систему регулярних вихорів із заданими
властивостями є однією з успішних стратегій керування пристінковими по-
токами рідини. Вона застосовується, зокрема, для поліпшення гідродина-
мічних характеристик погано обтічних тіл [1–3]. Локальні вихрові зони
у пристінковій області можуть генеруватися за допомогою штучних нерів-
ностей (ребер, виступів, заглиблень), деформацій поверхні, вібрацій тіла,
тощо. Зважаючи на чутливість циркуляційної течії до зовнішніх збурень [4],
практична реалізація алгоритмів керування такого типу в широкому діапа-
зоні чисел Рейнольдса потребує розвитку активних (із залученням зовніш-
ньої енергії) схем стабілізації вихорів.
Проблема активного керування нестаціонарними потоками рідини є не-
лінійною. Оскільки на сьогодні не існує загального розв’язку задачі про ке-
рування нелінійними системами, важливу роль в алгоритмах керування те-
чіями відіграє модель рідини, на якій вони побудовані. Контролери, що
використовують в’язку модель, є дуже складними, оскільки мають ґрунтува-
тися на розв’язанні рівнянь Нав’є-Стокса і враховувати інформацію про ве-
лику кількість фізичних параметрів. З іншого боку, прості лінійні моделі не
можуть забезпечити бажаного результату. Тому почали розвиватись алго-
ритми керування на основі топологічної інформації, яка отримується з ди-
намічного аналізу поля течії [5, 6]. Сучасні підходи у цій галузі пов’язані
з формуванням необхідної топології, за якої бажаний результат досягається
з мінімальними енергетичними витратами.
Для дослідження динамічних властивостей вихрових течій використо-
вується переважно нев’язка модель точкових вихорів, в якій поле завихре-
ності представляється дискретною множиною перпендикулярних до площи-
ни потоку ізольованих сингулярних відрізків [7]. Оскільки точковий вихор
І.М. Горбань, О.В. Хоменко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 88
є «слабким» розв’язком рівнянь динаміки ідеальної рідини Ейлера, то поле
течії зводиться тут до кінцевої системи вихорів, які рухаються за траєкторі-
ями частинок рідини. На основі вихрової моделі одержано багато важливих
результатів щодо поведінки когерентних структур у турбулентних потоках
[8], а також у галузі керування потоками рідини [6]. Докладний огляд дослі-
джень, присвячених хаотизації вихрових систем та її зв’язку з двовимірною
турбулентністю, представлений в роботі [9]. Приклади течій, для яких ре-
зультати розрахунків з використанням ідеалізованої моделі точкових вихо-
рів є дуже близькими до експериментальних даних, наведено в [10].
Як вже було зауважено, ефективним способом генерації великомасштаб-
них вихорів у пристінковій області є розташування на поверхні, що обтіка-
ється, поперечних канавок, за допомогою яких завихреність з граничного
шару «збирається» у циркуляційні зони. Вперше цю технологію запропону-
вав Рінглеб для зменшення гідравлічних втрат у дифузорах [11]. Розвинута
ним модель спійманих вихорів у канавках типу «сніговий карниз» ґрунтува-
лася на аналізі критичних точок потоку і дозволила одержати геометричні
параметри нерівності, які забезпечують існування стійкої циркуляційної те-
чії без підведення зовнішньої енергії. Прикладом реалізації концепції спій-
маних вихорів в аеродинаміці є крило Каспера, що застосовується для збі-
льшення під’ємної сили літальних апаратів [3]. Клас поверхонь, поблизу
яких можлива генерація стійких областей завихреності, розширює теорети-
чна модель спійманих вихорів у канавках, запропонована в роботі [12].
Аналіз динамічної поведінки спійманих вихорів у циліндричних канав-
ках, проведений в роботах [5, 13], показав, що такі вихори розташовуються
на осі канавки і мають нейтральну стійкість. Через це вони виявляють вибі-
ркову чутливість до зовнішніх збурень, особливо реагуючи на ті з них, які
мають періодичну складову. У періодично збуреному потоці вихор відхиля-
ється від положення рівноваги, демонструючи резонансну поведінку, коли
частота збурень наближається до власної частоти вихору.
У реальних умовах пульсації вихрової зони призводять до витоку зави-
хреності з канавки, що істотно знижує ефективність керування. Для стабілі-
зації циркуляційної течії в канавці можуть бути застосовані активні (з під-
водом енергії) методи контролю: відбір рідини, інжекція струменю, ротори
для введення додаткового імпульсу тощо [14, 15]. Їх ефективність та доціль-
ність застосування залежать від рівня необхідних енерговитрат. Тому роз-
робка активної керуючої схеми має містити розв’язання задач оптимізації
і стабілізації щодо контролера, який запропоновано [6, 16].
У цій роботі розвинено комплексну схему керування пристінковим по-
током рідини за допомогою «спійманого» (стоячого) вихору, розташованого
в поперечній канавці, стабілізація якого забезпечується відбором (або вду-
вом) рідини. Для теоретичного обґрунтування запропонованого алгоритму
використовується спрощена динамічна модель з одним ступенем свободи,
коли циркуляційна течія в канавці замінюється точковим вихором, розташо-
ваним у центрі вихрової зони. Оскільки метою керування в цьому випадку
є усунення генерації завихреності в кутах канавки, то контролер будується
таким чином, щоб задовольнити умові Кутта-Жуковського в гострих край-
ках границі. Крім того, знайдено оптимальні параметри управляючого при-
строю, за яких стійка конфігурація течії підтримується з мінімальними енер-
гетичними витратами.
Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 89
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ КЕРУВАННЯ
Розглядається течія ідеальної нестисливої рідини в області, яка обмежена
стінкою з вирізаною у ній циліндричною канавкою (рис. 1). Вважається, що
параметри нерівності значно перевищують товщину граничного шару, сфор-
мованого перед нею. Вісь xO системи координат спрямована вздовж стін-
ки, а вертикальна вісь yO проходить через центр нерівності. Геометрія ка-
навки описується напівхордою a та кутом β між віссю xO й дотичною до
канавки в точці їх перетину (рис. 1). Залежно від глибини канавки, її центр
),( cc yx може бути розташовано вище або нижче стінки. Швидкість зовніш-
ньої течії в загальному випадку складається зі швидкості рівномірного пото-
ку ∞U та нестаціонарної компоненти :)(tu ).()( tuUtU += ∞ Циркуляційна
зона, яка генерується в канавці внаслідок відриву граничного шару в гост-
рих крайках, замінюється точковим вихором циркуляції vΓ з координатами
),( vv yx . Процес відбору рідини, що застосовується для стабілізації вихрової
течії, моделюється стоком інтенсивності ,),( qq yxQ розташованим на стінці
канавки. Його положення однозначно задається кутовою координатою α
(рис. 1): ,sinαrxq = cq yry +−= αcos .
Практична мета керування полягає в тому, щоб сформувати і підтриму-
вати в канавці стаціонарну циркуляційну течію, яка б запобігала генерації
вихрових пелен поблизу гострих кутів. Виходячи з цього, теоретичне моде-
лювання процесу зводиться до визначення параметрів відбору рідини α,Q ,
при яких забезпечується існування стійкого нерухомого (стоячого) вихору
за умови, що в гострих крайках границі задовольняється теорема Кутта-
Жуковського про скінченність швидкості.
Динамічна система, що розглядається, має один ступінь свободи, отже,
її еволюція описується нелінійним диференційним рівнянням в :2R
,)()( Xf
dt
tXd r
r
= (1)
де 2)( RtX ∈
r
— вектор координат вихору, вектор-функція 22: RRf → задає
швидкість вихору, яка генерується тут зовнішнім потоком і відбором ріди-
ни. Якщо швидкість зовнішньої течії не змінюється з часом, рівняння (1)
є автономним, а його права частина виражається через функцію течії, яка є
Гамільтоніаном цієї системи [9]. Оскільки вихор рухається вздовж ліній те-
Рис. 1. Геометрія області течії
І.М. Горбань, О.В. Хоменко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 90
чії, фазовий простір динамічної системи співпадає з областю течії, а його
зв’язаними змінними є координати вихору. Таким чином, положення рівно-
ваги вихору у потоці, які знаходяться з рівняння
,0)( =Xf
r
(2)
співпадають з критичними точками течії. Тип критичних точок, а отже, від-
повідні моди поведінки рівноважного вихору, визначається з аналізу влас-
них чисел Якобіану лінеаризованої системи:
,XA
dt
Xd ′=
′
(3)
де )(tX ′
r
— вектор малих збурень рівноважного розв’язку ,0X
r
)( 0XfA
r
∇= .
Згідно з теоремою Кутта-Жуковського, кути канавки будуть обтікатися
безвідривно, якщо виконується:
1
*
1 )( CzV =
r
, 2
*
2 )( CzV =
r
, (4)
де V
v
— швидкість течії, *
2
*
1 , zz — комплексні координати гострих крайок,
21, CC — довільні константи.
Сукупність рівнянь (2)–(4) повністю описує проблему керування, яка
розглядається, в тому сенсі, що вони дозволяють однозначне визначення
характеристик циркуляційної течії і параметрів відбору рідини, за яких за-
безпечується безвідривне обтікання кутів канавки.
ГІДРОДИНАМІЧНА МОДЕЛЬ
Поле швидкості V
r
в області знаходиться з гідродинамічної задачі, яку для
обмеженої течії ідеальної нестисливої рідини представлено рівняннями Ей-
лера з граничною умовою непротікання:
0)( =∇⋅+
∂
∂ VV
t
V rr
r
в ,),0( TS × (5)
,0=⋅ ∂SnV rr
(6)
∞=
=UV
t 0
r
, (7)
де S — область течії, S∂ — її границя, T — проміжок часу, що розгляда-
ється.
Однією з важливих переваг вихрових моделей є потенційність течії
у всій області, що розглядається, за винятком точок, де розташовуються ви-
хори. Це дозволяє під час розв’язання задачі (5)–(7) застосовувати апарат
теорії функцій комплексної змінної. Гранична умова (6) задовольняється
конформним перетворенням області течії в фізичній площині ),( yxz у пів-
площину допоміжної площини ),( ηξζ , де функція Гріна для вихору буду-
ється його дзеркальним відображенням відносно стінки. Функція )(zf=ζ ,
яка реалізує вказане перетворення для півплощини з вирізаною циліндрич-
ною канавкою (рис. 1), має такий вигляд [17]:
Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 91
.,
1
1
)(
βπ
βγγ γ
γ
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
az
az
az
az
azf (8)
Конфігурація течії у фізичній і канонічній площинах, а також відповід-
ність точок при перетворенні показано на рис. 2.
Комплексний потенціал течії у канонічній площині будується супе-
рпозицією основних потоків:
)(ln)()](ln)([ln
2
)( vvv
v tQ
i
UW ζζζζζζ
π
ζζ ζ −+−−−
Γ
+= ∞ , (9)
де ,ζ∞U )0,(),,( qqvvv ξζηξζ — швидкість бічної течії і комплексні коорди-
нати вихору та стоку в площині .ζ
З інваріантності комплексного потенціалу при конформному перетво-
ренні та властивостей функції (8) випливає:
ζ
ζ
ζ
ζ ∞
∞→∞→
∞ === U
dz
d
d
dW
dz
dWU
z
limlim . (10)
Тоді комплексно-спряжена швидкість в області має вигляд:
( )
dz
dftQ
i
U
dz
df
d
dWyxV
qvv
v
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
Γ
+== ∞ ξζζζζζπζ
)(11
2
, . (11)
Швидкість вихору знаходиться з (11) з урахуванням поправки Раусса
[18]:
( )
vv
dz
df
dz
fd
idz
dftQUyxV v
qvv
v
vv
ζζζζ πξζηπ
==
∞ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛Γ
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
Γ
+= 2
2
4
)(
4
, . (12)
Систему рівнянь для визначення параметрів стоячого вихору і контро-
лера будуємо, виділяючи дійсну та уявну частини (12) і покладаючи, що
кожна з них дорівнює нулю, а також з умов (4) у гострих крайках *
2,1z .
З урахуванням того, що функція )(zf в точках *
2,1z має сингулярність, ви-
конання теореми Кутта-Жуковського забезпечується співвідношенням
0
*
2,1
=
=ζζζd
dW , або
Рис. 2. Течія над поперечною канавкою: а — фізична полщина; б — канонічна
площина
а б
І.М. Горбань, О.В. Хоменко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 92
,0)(
)(
1)( *
2,1
22*
2,1
=
−
+
+−
Γ
+
qvv
vv tQtU
ξξηξξ
η
π
(13)
де )0,( *
2,1
*
2,1 ξζ — координати крайок канавки в площині .ζ
З (12), (13) випливають 4 трансцендентні рівняння для розрахунку
в кожен момент часу координат стоячого вихору vv yx , , його циркуляції ,vΓ
інтенсивності стоку Q й кутової координати α точки відбору рідини. Для
того, щоб ця система була замкненою, один із цих параметрів потрібно зафік-
сувати. Якщо задати координату ,vx отримаємо криву, на якій розташовано
стоячі вихори, і відповідні до неї значення ., αQ Зважаючи на складність
одержаних рівнянь, вони розв’язуються чисельно. Зазначимо також, що за-
дача розглядається у безрозмірному вигляді, де за характерні параметри по-
кладено напівхорду канавки a й швидкість незбуреної течії ,∞U так що
,axx = ,ayy = ,atUt ∞= ,∞Γ=Γ aUvv ∞= aUQQ (надалі риски, що
позначають безрозмірні величини, будемо пропускати).
ЦИРКУЛЯЦІЙНА ТЕЧІЯ В КАНАВЦІ БЕЗ ВІДБОРУ РІДИНИ
За відсутності відбору рідини течія складається з бічного потоку швидкості
∞U й вихору, який моделює циркуляційну зону в канавці. Тоді координати
критичної точки обчислюються з рівняння (2), а циркуляція стоячого вихору
однозначно знаходиться з умови Кутта–Жуковського в одній з гострих кра-
йок канавки [13]. Результати розрахунків і аналіз стійкості критичних точок
показують, що стоячий вихор, який реалізується в циліндричній канавці,
розташовується на її осі і має нейтральну стійкість, що відповідає спряженій
парі уявних власних значень Якобіану лінеаризованої системи (3). Такий
вихор обертається у малому околі критичної точки з частотою, яка дорівнює
власному значенню, тому останнє можна вважати частотою вихору .0ω
Одержана залежність вертикальної координати вихору від геометрії
області (рис. 3) показує, що для канавок з o80≤β стоячий вихор розташову-
ється над стінкою, що дозволяє використовувати мілкі канавки для створен-
ня у пристінній течії так званої «вихрової змазки», коли турбулентний гра-
ничний шар замінюється системою регулярних вихорів. Циркуляція
стоячого вихору vΓ є приблизно постійною в мілких та середніх канавках
і різко зростає в глибоких канавках (рис. 4, крива 1). Найвища частота вихо-
ру 0ω спостерігається в канавках середнього розміру (при ,)90o=β
у великих і малих заглибленнях вона падає (рис. 4, крива 2).
Рух частинок рідини в області, що розглядається, описується системою
рівнянь:
,
ydt
dx
∂
∂
=
ψ ,
xdt
dy
∂
∂
−=
ψ (14)
де функція течії ψ представляє собою Гамільтоніан системи, а координати
yx, є канонічними змінними. Якщо вихор знаходиться у положенні рівно-
Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 93
ваги, тобто, конфігурація течії з часом не змінюється, то система (14) буде
автономною та інтегрованою. Її права частина знаходиться з виразу для
комплексно-спряженої швидкості (11) при .0=Q Одержана картина ліній
течії (рис. 5,а) свідчить про регулярний характер руху рідини навколо стоя-
чого вихору. З іншого боку, на ній є лінія, яка з’єднує дві точки можливого
відриву потоку (гострі крайки) і розділяє траєкторії різних типів. Наявність
такої гетероклінної орбіти є передумовою виникнення хаотичного пере-
мішування частинок рідини в збуреній системі.
Якщо стоячий вихор відхилити від положення рівноваги, його траєкто-
рії у фазовому просторі ),( vv yx знаходяться інтегруванням рівняння (1), де
права частина обчислюється з виразу (12). Одержаний портрет траєкторій
стоячого вихору в канавці (рис. 5,б) демонструє лінії різних типів, які
пов’язані як зі стійкою критичною точкою, що лежить на осі, так і з двома
гіперболічними точками типу «сідло», розташованими над кутами канавки.
З рис. 5,б випливає, що за незначних відхилень від точки рівноваги вихор
буде рухатися навколо свого стаціонарного положення, але за істотних збу-
рень він може перейти через сепаратрису між різними траєкторіями і «вими-
тися» з канавки.
Передбачається, що відбір рідини, який пропонується ввести в управ-
ляючу схему, має зробити вихор більш стійким та в разі відхилення вихору
повертати його в положення рівноваги.
Рис. 5. Топологія течії: а — картина ліній течії при обтіканні стоячого вихору в
канавці; б — фазовий портрет траєкторій стоячого вихору при o60=β
а б
Рис. 3. Залежності координати стоячого
вихору vy (крива 1) і глибини канавки h
(крива 2) від кута β
Рис. 4. Залежності циркуляції стоячого
вихору vΓ (крива 1) і його частоти 0ω
(крива 2) від кута β
І.М. Горбань, О.В. Хоменко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 94
ЦИРКУЛЯЦІЙНА ТЕЧІЯ В КАНАВЦІ З ВІДБОРОМ РІДИНИ
Розглянемо, як змінюється топологія течії в канавці, коли на її стінці реалі-
зується відбір рідини. Якщо горизонтальну координату стоячого вихору vx
вважати заданою, то інша його координата ,vy циркуляція ,vΓ а також ін-
тенсивність і положення точки відбору ,Q α обчислюються однозначно
з рівнянь (12), (13). Стаціонарні криві, пораховані для канавок різної форми,
показано на рис. 6. Кожній точці цієї кривої відповідає вихор, який не руха-
ється і задовольняє умову Кутта–Жуковського в крайках канавки. Залежнос-
ті циркуляції стоячого вихору vΓ та потужності відбору рідини Q від гори-
зонтальної координати x представлено на рис. 7 відповідно.
Аналіз власних чисел матриці A лінеаризованої системи рівнянь (3)
виявив наступні топологічні моди стоячого вихору:
• стійкий фокус, якому відповідають спряжені власні числа з від’ємною
дійсною частиною;
• нестійкий фокус, коли дійсні частини обох власних чисел є додатними;
• сідло, для якого властиві протилежні за знаком дійсні власні числа.
Рис. 7. Характеристики для канавок різної глибини 1 — o60=β , 2 — o90=β , 3 —
:120o=β а — циркуляція стоячих вихорів; б — потужність відбору рідини
Q
а б
Рис. 6. Криві стоячих вихорів в канавках різної глибини: а — ,60o=β б —
,90o=β в — o120=β
а б в
Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 95
На стаціонарних кривих (рис. 6) зони стійкості вихору затемнені.
В мілких канавках, вони ширші і розташовані в центральній частині
(рис. 6, а, б). В глибоких канавках (рис. 6,в) області стійких вихорів звужу-
ються і переміщуються до крайок. Такі результати свідчать про те, що мілкі
канавки є більш перспективними з точки зору створення стійких циркуля-
ційних зон у пристінному потоці. Кожному вихору зі стаціонарної кривої
відповідають свої положення та потужність відбору рідини. На рис. 7,б вид-
но, що стійкість циркуляційної зони може бути досягнута не лише відсмок-
туванням, а й вдувом (інжекцією) рідини в канавку. Розраховані положення
точок відбору-вдуву рідини, які відповідають стійким стоячим вихорам, на
рис. 6 показано маркерами на границях канавок •( — ,0<Q ∗ — .)0>Q
Картини ліній течії зі стоячим вихором та відбором/або вдувом рідини пред-
ставлено на рис. 8а,б відповідно. Рис. 8,а вказує на наявність достатньо ши-
рокого шару рідини, яка засмоктується управляючим пристроєм. Розділяю-
чи циркуляційну зону і зовнішній потік, цей шар підтримує стійку вихрову
конфігурацію в області. Розміри циркуляційної зони тут істотно зменшу-
ються у порівнянні з неконтрольованим потоком (рис. 5,а). Лінії течії на
рис. 8,б свідчать про те, що рідина, яка вдувається у канавку, закручується
навколо вихору, тим самим, підсилюючи його і збільшуючи розміри цирку-
ляційної зони відносно неконтрольованого випадку.
Інтенсивність притягання чи відштовхування вихору відносно критич-
ної точки визначається дійсною частиною власних чисел. Одержані в розра-
хунках значення rλ в зоні стій-
кого фокусу мають порядок
210− при відборі рідини і 410−
при її інжекції. Із цього факту,
а також з аналізу рис. 8 випли-
ває, що відбір рідини забезпе-
чує більш стійку вихрову кон-
фігурацію в канавці, ніж її вдув,
і є більш перспективним для
керування течією.
На рис. 9 показано картину
траєкторій, по яким буде руха-
Рис. 9. Фазовий портрет траєкторій стоячого
вихору в канавці із відбором рідини
:)60( o=β • — стійка точка рівноваги, + —
положення відбору
Рис. 8. Картини ліній течії при обтіканні стоячого вихору в канавці :60o=β а —
при відборі рідини; б — при інжекції рідини
Q<0
Q>0
а б
І.М. Горбань, О.В. Хоменко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 96
тися стоячий вихор в управляючий схемі з відбором рідини у разі відхилен-
ня його від рівноважного положення. Вона свідчить про те, що відбір пере-
шкоджає виносу вихору з канавки в напрямку течії. Але, крім замкнутих
обертальних траєкторій навколо стійкої критичної точки, тут існують пара-
болічні криві, зумовлені наявністю нестійкої особливості над переднім ку-
том канавки, по яких вихор може рухатися проти течії. Для того, щоб стабі-
лізувати вихор в околі стійкої критичної точки і не дати йому перейти через
сепаратрису, яка розділяє траєкторії різних типів, має застосовуватися ак-
тивне керування зі зворотнім зв’язком, коли параметри управляючого при-
строю вибираються в залежності від змін у потоці.
КЕРУВАННЯ ТЕЧІЄЮ В КАНАВЦІ ЗІ ЗВОРОТНІМ ЗВ’ЯЗКОМ
Рух стоячого вихору з великими амплітудами, який виникає при збуреннях
його початкового положення, призводить до порушення умови Кутта-
Жуковського в гострих крайках канавки, і вони стають генераторами вихро-
вих шарів. У цьому випадку не досягається головна мета керування — міні-
мізація вихроутворення на границях області течії. Для стабілізації вихору
у збуреному потоці має застосовуватися активна управляюча схема, в якій
потужність відбору рідини реагує на зміну зовнішніх умов.
Існують різні підходи до керування циркуляційною течією в пристін-
ному потоці за допомогою відбору рідини. В роботі [19] з метою керування
слідом за вертикальною пластиною контролюється сумарна циркуляція, яка
сходить в потік в гострих кромках. В цій статті запропоновано відслідкову-
вати положення стоячого вихору, так, щоб при збуреннях зовнішньої течії
забезпечувалося виконання умови Кутта–Жуковського в гострих крайках
канавки. Для розрахунку нових координат стоячого вихору і потужності
відбору рідини в цій схемі застосовується контролер, що складається з рів-
нянь (12), (13). Якщо за початкові дані взято параметри стоячого вихору
і точки відбору рідини, відомі зі стаціонарного розв’язку, то розв’язання цих
рівнянь за наявності збурень дозволить отримати реакцію системи на зміни
зовнішніх умов.
Реалізація керування буде більш зручною, якщо зафіксувати положен-
ня точки відбору рідини (кут )α і кількість завихреності в канавці, тобто,
циркуляцію стоячого вихору vΓ . Для розрахунку координат стоячого вихо-
ру ,vx vy та потужності відбору Q застосуємо рівняння (12) та умову Кут-
та-Жуковського (13) в передній крайці канавки. Оскільки в задній крайці
вихроутворення є незначним і не буде істотно впливати на пристінну течію,
то ним можна знехтувати. Таким чином, контролер зі зворотнім зв’язком
складається з трьох рівнянь і використовує дані, відомі зі стаціонарного
розв’язку.
На рис. 10 представлено реакцію керуючої системи на малі періодичні
збурення швидкості потоку, які задаються наступним рівнянням:
,1,)sin1()( <<Ω+= ∞ εε tUtU (15)
де ,ε Ω — амплітуда та частота коливань відповідно. У правому верхньо-
му кутку на рис. 10,а можна бачити, як змінюється швидкість зовнішньої
течії у межах періоду ],0[ T , де .2 Ω= πT
Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 97
Одержана функція )(tQ знаходиться у протифазі до ,)(tU її амплітуда
приблизно у три рази вища за амплітуду коливань швидкості. Положення
стоячого вихору (рис. 10,б) коливається в малому околі стаціонарної критич-
ної точки (на рис. 10,б її помічено кружечком). З аналізу рис. 10 випливає,
коли в межах періоду швидкість потоку збільшується, інтенсивність відбору
падає, а вихор, який забезпечує безвідривне обтікання передньої крайки ка-
навки, переміщується вгору. Надалі процес іде в зворотному напрямку.
Цей висновок підтверджується також даними, які одержані при засто-
суванні розробленого контролера до потоку, в якому швидкість змінюється
за лінійним законом від 1 до 0,5 і навпаки (рис. 11). На рис. 11 видно, коли
швидкість U падає на 50%, то потужність відбору, яка забезпечує стійкість
стоячого вихору, збільшується за абсолютним значенням приблизно у 4 ра-
зи. Положення стоячого вихору переміщується при цьому ближче до перед-
ньої крайки канавки.
Представлені результати демонструють здатність розробленого конт-
ролера реагувати на збурення у зовнішньому потоці, чим забезпечується го-
ловна мета керування — створення стійкої циркуляційної зони і безвідривне
обтікання крайок канавки.
а б
Q
Рис. 10. Характеристики для мілкої )60( o=β канавки в періодично збуреному
потоці при ,01,0=ε :10 =Ω ω а — потужність відбору рідини; б — координати
стоячого вихору
Q
а б
Рис. 11. Характеристики при зміні швидкості потоку за лінійним законом: а —
потужність відбору рідини; б — положення стоячого вихору
І.М. Горбань, О.В. Хоменко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2014, № 4 98
ВИСНОВКИ
Розвинено комплексну схему керування пристінковим потоком рідини, яка
спрямована на перетворення турбулентної течії в систему регулярних вихо-
рів із заданими властивостями. Для генерації вихорів у цій схемі застосову-
ються поперечні канавки, а їхня стійкість забезпечується відбором рідини.
Теоретичний аналіз запропонованого алгоритму ґрунтується на спрощеній
моделі, в якій циркуляційна течія замінюється точковим вихором, а відбір
рідини моделюється гідродинамічним стоком.
Побудовано нелінійний контролер пристінної течії, який складається
з рівняння рівноваги вихору і умови Кутта-Жуковського в гострих крайках
канавки. Його використано для розрахунку параметрів керуючої системи,
при яких забезпечується існування стійкого стоячого (спійманого) вихору та
безвідривне обтікання кутів канавки. Проведений динамічний аналіз виявив,
що при стаціонарному обтіканні канавки з відбором рідини критичні точки
можуть бути стійкими або нестійкими фокусами, або сідлами. Одержано,
що в мілких канавках область, яка відповідає стійкій точці притягання,
є ширшою, ніж в глибоких, тому вони є більш перспективними для керу-
вання.
Розроблено контролер, який застосовано для розрахунку параметрів ак-
тивної керуючої схеми зі зворотним зв’язком у нестаціонарному потоці, ко-
ли система оперативно реагує на зовнішні збурення. Наведено приклади
реалізації цієї схеми, коли швидкість зовнішньої течії змінюється періодич-
но або за лінійним законом. Робота частково підтримана грантом Президен-
та України GP F50/049.
ЛІТЕРАТУРА
1. Gad-el-Hak M., Bushnell D.M. Separation control: rewiew // Journal of Fluids Engi-
neering. — 1991. — 113, № 1. — P. 5–30.
2. Protas B., Wesfreid J.E. Drag force in the open-loop control of the cylinder wake in
the Laminar Regime // Physics of Fluids. — 2002. — 14, № 2. — P. 810–826.
3. Wu J.Z., Vakili A.D., Wu J.M. Review of the physics of enhancing vortex lift by
unsteady excitation // Progress in Aerospace Sciences. — 1991. — 28, № 2. —
P. 73–131.
4. Roos F.W., Kegelman J.T. Control of coherent structures in reattaching laminar and
turbulent shear layers // AIAA Journal. — 1980. — 24, №12. — P. 1956–1963.
5. Gorban V., Gorban I. Dynamics of vortices in near-wall flows: eigenfrequencies,
resonant properties, algorithms of control // AGARD Report. — 1998. — 827. —
P. 15–11.
6. Protas B. Vortex dynamics models in flow control problems // Nonlinearity. —
2008. — 21, № 9. — P. 1−54.
7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир. — 1973. — 757 c.
8. Chorin A.J. Vorticity and Turbulence. — Berlin: Springer. —1994. — 330 p.
9. Aref H., Kadtke J.B., Zawadski I. Point vortex dynamics: recent results and open
problems // J. Fluid Dyn. Res. — 1988. — 3. — P. 63–64.
10. Meleshko V.V., van Heijst G.J.F. Interacting two-dimensional vortex structures:
point vortices, contour kinematics and stirring properties // Chaos, Solutions and
Fractals. — 1994. — 4. — P. 977–1010.
Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах
Системні дослідження та інформаційні технології, 2014, № 4 99
11. Ringleb F.O. Two-Dimensional Flow with Standing Vortex in Ducts and Diffusers //
ASME J. Basic Eng. — 1960. — 82, № 4. — P. 921–927.
12. Bunyakin A.V., Chernyshenko S.I., Stepanov G.Yu. High-Reynolds-number
Bftchelor-model asymptotics of a flow past an aerofoil with a vortex trapped in
a cavity // J. Fluid Mech. — 1998. — 358. — P. 283–297.
13. Gorban I.M., Homenko O.V. Dynamics of vortices in near-wall flows with irregular
boundaries // Continuous and Distributed Systems: Theory and Applications.
Solid Mechanics and Its Applications / M.Z. Zgurovsky, V.A. Sadovnichiy
(Eds.). — 2014. — 211. — P. 115–128.
14. Cortelezzi L., Leonard A., Doyle J. An example of active circulation control of the
unsteady separated flow past a semi-infinite plate // J. Fluid Mech. — 1994. —
260. — P. 127–154.
15. Chernyshenko S.I. Stabilization of trapped vortices by alternating blowing suction //
J. Phys. Fluids. — 1995. — 7, № 4. — P. 802–807.
16. Iollo A., Zanetti L. Trapped vortex optimal control by suction and blowing at
the wall // European Journal of Mechanics B-fluids. — 2001. — 20, № 1. —
P. 7–24.
17. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. — К.:
Наукова думка. — C. 531.
18. Clements R.R. An inviscid model of two-dimensional vortex shedding // Journal of
Fluid Mechanics. — 1973. — 57. — P. 321–336.
19. Cortelezzi L. Nonlinear feedback control of the wake past a plate with a suction point
on the downstream wall // Journal of Fluid Mechanics. — 1996. — 327. —
P. 303–324.
Надійшла 29.08.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86115 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1681–6048 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-26T01:42:33Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горбань, І.М. Хоменко, О.В. 2015-09-08T07:38:42Z 2015-09-08T07:38:42Z 2014 Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах / І.М. Горбань, О.В. Хоменко // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2014. — № 4. — С. 87-99. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86115 517.9 Розвинено нелінійний алгоритм керування пристінковим потоком, який використовує спіймані вихори в поперечних канавках, а також ежекцію рідини. Побудований контролер ґрунтується на моделі точкових вихорів з одним ступенем свободи і складається з рівняння рівноваги вихору та умови Кутта-Жуковського в гострих крайках канавки. Розраховано параметри керуючої системи для канавок різної глибини в стаціонарному потоці. Одержано, що в мілких канавках область стійкості вихорів є ширшою, ніж в глибоких, тому вони є більш перспективними для керування. Ці результати використано для розрахунку параметрів активної керуючої схеми зі зворотним зв’язком у нестаціонарному потоці, коли система оперативно реагує на зовнішні збурення. Наведено приклади реалізації цієї схеми, коли швидкість течії змінюється періодично або за лінійним законом. Развит нелинейный алгоритм управления пристеночным потоком, который использует пойманные вихри в поперечных канавках и эжекцию жидкости. Построенный контроллер основывается на модели точечных вихрей с одной степенью свободы и состоит из уравнения равновесия вихря и условия Кутта-Жуковского в острых кромках канавки. Рассчитаны параметры управляющей системы для канавок различной глубины в стационарном потоке. Получено, что в мелких канавках область устойчивости вихрей шире, чем в глубоких, поэтому они являются более перспективными для управления. Эти результаты использованы для расчета параметров активной управляющей схемы с обратной связью в нестационарном потоке, когда система оперативно реагирует на внешние возмущения. Приведены примеры реализации этой схемы, когда скорость течения меняется периодически или по линейному закону. We present a non-linear near-wall flows control algorithm. This algorithm uses captured vortices in the cross grooves and fluid ejection. The controller is based on a model of point vortices with one degree of freedom and consists of the equation of vortex equilibrium and the Kutta condition in the groove edges. Parameters of a control system for grooves of different depths in a stationary stream are calculated. We determined that in shallow grooves, the region of stability of vortices is wider, than in deep grooves, so they are more promising for control. These results are used to estimate the parameters of the active control scheme with a feedback in a nonstationary flow when the system is responsive to external perturbations. Examples of an implementation of such a scheme are presented for the case when the flow velocity changes periodically or linearly. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах Теоретические модели управления пристеночными потоками в гидродинамических системах Theoretical models of flow control in near-wall areas Article published earlier |
| spellingShingle | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах Горбань, І.М. Хоменко, О.В. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| title | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах |
| title_alt | Теоретические модели управления пристеночными потоками в гидродинамических системах Theoretical models of flow control in near-wall areas |
| title_full | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах |
| title_fullStr | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах |
| title_full_unstemmed | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах |
| title_short | Теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах |
| title_sort | теоретичні моделі керування пристінковими потоками в гідродинамічних системах |
| topic | Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| topic_facet | Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86115 |
| work_keys_str_mv | AT gorbanʹím teoretičnímodelíkeruvannâpristínkovimipotokamivgídrodinamíčnihsistemah AT homenkoov teoretičnímodelíkeruvannâpristínkovimipotokamivgídrodinamíčnihsistemah AT gorbanʹím teoretičeskiemodeliupravleniâpristenočnymipotokamivgidrodinamičeskihsistemah AT homenkoov teoretičeskiemodeliupravleniâpristenočnymipotokamivgidrodinamičeskihsistemah AT gorbanʹím theoreticalmodelsofflowcontrolinnearwallareas AT homenkoov theoreticalmodelsofflowcontrolinnearwallareas |