Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням

Запропоновано математичну модель надійності системи із роздільним навантажувальним резервуванням, призначену для аналізу причин непрацездатності такої системи. Модель сформовано у три етапи. На першому надійність системи математично описано динамічним деревом відмов, особливість якого полягає у тому...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Системні дослідження та інформаційні технології
Date:	2015
Main Author:	Щербовських, С.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2015
Subjects:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86134
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням / С.В. Щербовських // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 87-98. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860120091491827712
author	Щербовських, С.В.
author_facet	Щербовських, С.В.
citation_txt	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням / С.В. Щербовських // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 87-98. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Системні дослідження та інформаційні технології
description	Запропоновано математичну модель надійності системи із роздільним навантажувальним резервуванням, призначену для аналізу причин непрацездатності такої системи. Модель сформовано у три етапи. На першому надійність системи математично описано динамічним деревом відмов, особливість якого полягає у тому, що його логічні блоки задають не лише умову непрацездатності системи, а також умови перерозподілу навантаження між елементами. На другому етапі за динамічним деревом відмов побудовано та проаналізовано математичну модель графу станів та переходів системи. На третьому — модель графу перетворено у розщеплену однорідну марковську модель. За результатами обчислення одержано ймовірнісні характеристики множини мінімальних перетинів та встановлено найймовірнішу причину непрацездатності системи. Показано, що зі збільшенням тривалості експлуатування, найймовірніша причина непрацездатності змінюється. Таку поведінку показників надійності системи обумовлено впливом перерозподілу навантаження між елементами, напрацювання яких розподілене за законом Вейбулла. Предложена математическая модель надежности системы с раздельным нагрузочным резервированием, предназначенная для анализа причин неработоспособности такой системы. Модель сформирована в три этапа. На первом — надежность системы математически описана динамическим деревом отказов, особенность которого заключается в том, что его логические блоки задают не только условие неработоспособности системы, а так же условия перераспределения нагрузки между элементами. На втором этапе по динамическому дереву отказов построена и проанализирована математическая модель графа состояний и переходов системы. На третьем — модель графа преобразована в расщепленную однородную марковскую модель. По результатам вычисления получены вероятностные характеристики множества минимальных сечений и установлено наиболее вероятную причину неработоспособности системы. Показано, что с увеличением продолжительности эксплуатации, наиболее вероятная причина неработоспособности меняется. Такое поведение показателей надежности системы обусловлено влиянием перераспределения нагрузки между элементами, наработки которых распределены по закону Вейбулла. The mathematical reliability model of a repairable system with a separate derating redundancy for the failure causes analysis of such a system is proposed. The model is formed in three stages. An the first stage, the system reliability is mathematically described by a dynamic fault tree, whose main feature is that its logic blocks define not only the failure condition of a system, but also the conditions for load-sharing between the components. At the second stage, based on the dynamic fault tree, the mathematical model of the state and transition graph of the system is constructed and analyzed. At the third stage, the graph model based on the tensor analysis is transformed to a split homogeneous Markov model. According to the calculation results, the probability characteristics of the minimal cut set are determined and the most likely system failure cause is recognized. It is shown that with increasing the duration of usage, the most likely system failure cause changes. Such a behavior of system reliability indices is due to the impact of load-sharing between components whose lives have Weibull distribution.
first_indexed	2025-12-07T17:38:29Z
format	Article
fulltext	© С.В. Щербовських, 2015 Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 87 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 519.718.2 МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ НАДІЙНОСТІ ДЛЯ АНАЛІЗУ ПРИЧИН НЕПРАЦЕЗДАТНОСТІ СИСТЕМИ ІЗ РОЗДІЛЬНИМ НАВАНТАЖУВАЛЬНИМ РЕЗЕРВУВАННЯМ С.В. ЩЕРБОВСЬКИХ Запропоновано математичну модель надійності системи із роздільним наван- тажувальним резервуванням, призначену для аналізу причин непрацездатності такої системи. Модель сформовано у три етапи. На першому надійність систе- ми математично описано динамічним деревом відмов, особливість якого поля- гає у тому, що його логічні блоки задають не лише умову непрацездатності си- стеми, а також умови перерозподілу навантаження між елементами. На другому етапі за динамічним деревом відмов побудовано та проаналізовано математичну модель графу станів та переходів системи. На третьому — мо- дель графу перетворено у розщеплену однорідну марковську модель. За ре- зультатами обчислення одержано ймовірнісні характеристики множини міні- мальних перетинів та встановлено найймовірнішу причину непрацездатності системи. Показано, що зі збільшенням тривалості експлуатування, найймовір- ніша причина непрацездатності змінюється. Таку поведінку показників надій- ності системи обумовлено впливом перерозподілу навантаження між елемен- тами, напрацювання яких розподілене за законом Вейбулла. ВСТУП Розроблення рекомендацій щодо підвищення надійності систем виконують на основі пошуку і аналізу причин їх непрацездатності. Кожній причині не- працездатності відповідає унікальний набір непрацездатних елементів, який називають перетином. Усій сукупності незалежних причин непрацездатнос- ті відповідає мінімальна множина перетинів. Завдання аналізу надійності полягає у визначені ймовірнісних характеристик усіх перетинів із мінімаль- ної множини. Під час аналізу систем із навантажувальним резервуванням виникає потреба адекватно відобразити вплив непрацездатності окремих елементів та їх груп, напрацювання до відмови яких розподілено за законом Вейбулла, на навантаження решти працездатних елементів. У результаті та- кого впливу зазнають змін ймовірнісні характеристики перетинів, для ви- значення яких необхідно розробити адекватну математичну модель надійно- сті. Ця проблема актуальна під час проектування електротехнічних та електроенергетичних систем, які застосовують в об’єктах підвищеної небез- пеки. С.В. Щербовських ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 88 Мета роботи — розробити математичну модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резерву- ванням. Для досягнення поставленої мети розв’язано наступні завдання: • формалізовано надійність системи на основі динамічного дерева відмов; • побудовано модель станів і подій системи; • сформовано розщеплену однорідну марковську модель системи; • обчислено ймовірнісні характеристики мінімальних перетинів сис- теми та визначено найімовірнішу причину непрацездатності системи. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ Для визначення ймовірнісних характеристик перетинів застосовують два підходи: логіко-ймовірнісний аналіз та марковський аналізи. Логіко- ймовірнісний аналіз ґрунтується на складанні логічних умов, які відповіда- ють перетинам, із подальшим їх перетворенням до ймовірнісних виразів [1–3]. Такий підхід простий у застосуванні, проте на його основі не можна корект- но враховувати перерозподіл навантаження, спричинений відмовами елеме- нтів. Марковський аналіз зазначених обмежень не має [4, 5], однак під час його застосування виникають складності, пов’язані із високою трудомісткіс- тю та обмеженням розподілу тривалості напрацювання та ремонтування елементів експоненціальним законом. Для зменшення трудомісткості такого аналізу необхідно вдосконалити методи автоматичної побудови марковської моделі [6]. Таку побудову виконують на основі дерева відмов, яке необхідно доповнити параметрами, що математично описують надійнісну поведінку за навантаженням [7]. Для усунення обмеження експоненціальним розподілом слід застосувати розщеплення простору станів [8–11], яке має адекватно урахувати запам’ятовування передісторії напрацювання елементів системи за навантаженням. ОПИС СИСТЕМИ ТА ЇЇ ДИНАМІЧНЕ ДЕРЕВО ВІДМОВ Система складається з чотирьох елементів (рис. 1,а): двох генераторів G1 й G2 та двох трансформаторів TV1 й TV2. Генератори G1 та G2 утворюють першу групу, а трансформатор TV1 та TV2 — другу. У кожній групі елеме- нти працюють за алгоритмом навантажувального резервування, тобто якщо обидва елементи у групі працездатні, то навантаження розподіляється між ними порівну. Якщо один із елементів у групі стає непрацездатним, то навантаження іншого подвоюється. Групи між собою утворюють послідовне з’єднання. Вважаємо, що засоби технічної діагностики та перемикання ідеальні, а три- валість зміни навантаження між елементами у групі — миттєва. Функція системи полягає у забезпеченні електричною енергією споживачів, які під- ключені до її виходу. Надійність системи формалізовано динамічним дере- вом відмов, структуру якого подано на рис. 1,б. Динамічне дерево відмов є математичною моделлю, яка описує умову непрацездатності системи та умови зміни навантаження на основі блоків, що позначають логічні операції Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 89 та операції відношення. Непрацездатність системи, яка позначена блоком «Вершина подій 1», полягає у тому, що система нездатна забезпечити енер- гією споживачів, які підключені до її виходу. Вважаємо, що така непраце- здатність катастрофічна. Тобто, якщо настають непрацездатності окремих елементів, проте система зберігає працездатність, то такі елементи віднов- люються стільки разів, скільки у цьому існує потреба. Якщо ж уся система стає непрацездатною, то відновлення елементів системи вважається немож- ливим. Такий стан системи настає, якщо непрацездатна перша або друга група елементів, що описано блоком «Оператор 1», тип якого задано логіч- ною операцією АБО. Непрацездатність першої групи настає, якщо непраце- здатні усі її елементи, що описано блоком «Оператор 2», тип якого задано логічною операцією І. Непрацездатність другої групи описуємо за аналогією блоком «Оператор 5», тип якого задано логічною операцією І. Непрацездат- ність генератора G1 позначено блоком «Базова подія 1», а його напрацю- вання до відмови розподілено за законом Вейбулла із параметрами 000111 =α год та .1,11 =β Непрацездатність трансформатора TV1 — бло- ком «Базова подія 2» та за розподілом Вейбулла із параметрами 00092 =α год та ;3,12 =β непрацездатність G2 — блоком «Базова подія 3» та за розподілом Вейбулла із параметрами α3 = 10 000 год та ;1,13 =β та не- працездатність TV2 — блоком «Базова подія 4» та за розподілом Вейбулла із параметрами α4 = 8 000 год та .3,14 =β Тривалість ремонтування усіх елементів системи вважаємо розподіленою експоненціально із параметром 02,0=μ год–1. У цій моделі надійності відбуваються такі динамічні явища: • зміна навантаження елементів першої групи, залежно від стану дру- гої групи; • зміна навантаження елементів другої групи, залежно від стану пер- шої групи; • зміна навантаження елемента першої групи, залежно від стану іншо- го її елемента; • зміна навантаження елемента другої групи, залежно від стану іншого її елемента. а б Рис. 1. Функціональна схема системи (а) та динамічне дерево відмов системи (б) С.В. Щербовських ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 90 Перше та друге явища в явній формі задавати непотрібно, оскільки як- що відбувається відмова однієї із груп, то система є непрацездатною, що автоматично означає переведення у ненавантажений режим працездатних елементів, які залишились. Для опису третього явища введемо у структуру дерева відмов блоки «Оператор 3» та «Оператор 4», які є повторювачами логічного сигналу, і задамо у них умови зміни навантаження. Якщо логічний сигнал на виході блока «Оператор 3» дорівнює ІСТИННО, тобто генератор G2 непрацездат- ний, то інтенсивність процесу напрацювання генератора G1, який задано у блоці «Базова подія 1», множимо на .1,31 =k Відповідно, якщо логічний сигнал на виході блока «Оператор 4» дорівнює ІСТИННО, тобто генератор G1 непрацездатний, то інтенсивність процесу напрацювання генератора G2, який задано у блоці «Базова подія 3», множимо на .2,33 =k Для опису четвертого явища введемо у структуру дерева відмов блоки «Оператор 6» та «Оператор 7», які є повторювачами логічного сигналу, і задамо у них умови зміни навантаження. Якщо логічний сигнал на виході блока «Оператор 6» дорівнює ІСТИННО, тобто трансформатор TV1 є не- працездатним, то інтенсивність процесу напрацювання трансформатора TV2, який задано у блоці «Базова подія 4», множимо на .2,44 =k Відповід- но, якщо логічний сигнал на виході блока «Оператор 7» дорівнює ІСТИННО, тобто трансформатор TV2 непрацездатний, то інтенсивність процесу напрацювання трансформатора TV1, який задано у блоці «Базова подія 2», множимо на .1,42 =k МОДЕЛЬ СТАНІВ ТА ПОДІЙ СИСТЕМИ На підставі наведеного вище динамічного дерева відмов системи із роздільним навантажувальним резервуванням, згідно із формалізованими правилами [10, c. 67; 11, с. 148] складено модель станів та подій. Така мо- дель є математичним описом станів, в яких може перебувати система, та по- дій, які у ній можуть відбуватися, у проекційному зв’язку до процесів, що у ній протікають. Граф станів та переходів такої моделі подано на рис. 2, а її параметри у таблиці. У моделі станів та подій процеси напрацювання і ремонтування для ге- нератора G1 позначено як 1P й ,P5 для трансформатора TV1 — 2P й ,P6 для генератора G2 — 3P й ,P7 та для трансформатора TV2 — 4P й .P8 Сис- тема перебуває у п’ятнадцяти станах, із яких дев’ять працездатні — ,SS 1115 − 679 ,,S SS й 3S та шість непрацездатні — 245810 ,,,,S SSSS й .1S У системі відбувається 36 подій, із яких 24 відмови і пошкодження: ,TT 71 − ,T,T,TT 1413119 − ,TT 1917 − ,T,T 2221 ,T,T,T,TT 3330292725 − 34T та 12 від- новлень: ,T,T,T,T,T 201615128 ,T,T,T,T,T,T 353231282423 .T36 Параметра- ми станів є значення коефіцієнтів масштабування для процесів 81 PP − та логічна функція ,y яка набуває значення «1», якщо система працездатна, та «0» — якщо ні. Параметрами подій є назва початкового стану, назва про- цесу, який завершився та назва кінцевого стану. Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 91 Т а б л и ц я . Параметри моделі станів та подій системи Опис станів Опис подій Коефіцієнти масштабування № Поч. стан Графічний опис стану P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 Y Назва події Заверш. процес Кінц. стан 1 T1 P1 S14 2 T2 P2 S13 3 T3 P3 S11 4 S15 1 1 1 1 0 0 0 0 1 T4 P4 S7 5 T5 P2 S12 6 T6 P3 S10 7 T7 P4 S6 8 S14 0 1 k3 1 1 0 0 0 1 T8 P5 S15 9 T9 P1 S12 10 T10 P3 S9 11 T11 P4 S5 12 S13 1 0 1 k4 0 1 0 0 1 T12 P6 S15 13 T13 P3 S8 14 T14 P4 S4 15 T15 P5 S13 16 S12 0 0 k3 k4 1 1 0 0 1 T16 P6 S14 17 T17 P1 S10 18 T18 P2 S9 19 T19 P4 S3 20 S11 k1 1 0 1 0 0 1 0 1 T20 P7 S15 21 S10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — — — Рис. 2. Граф станів та переходів моделі станів та подій системи С.В. Щербовських ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 92 Продовження таблиці 22 T21 P1 S8 23 T22 P4 S1 24 T23 P6 S11 25 S9 k1 0 0 k4 0 1 1 0 1 T24 P7 S13 26 S8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — — — 27 T25 P1 S6 28 T26 P2 S5 29 T27 P3 S3 30 S7 1 k2 1 0 0 0 0 1 1 T28 P8 S15 31 T29 P2 S4 32 T30 P3 S2 33 T31 P5 S7 34 S6 0 k2 k3 0 1 0 0 1 1 T32 P8 S14 35 S5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — — — 36 S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — — — 37 T33 P1 S2 38 T34 P2 S1 39 T35 P7 S7 40 S3 k1 k2 0 0 0 0 1 1 1 T36 P8 S11 41 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — — — 42 S1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — — — МАРКОВСЬКА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ Ґрунтуючись на моделі станів та подій системи із роздільним навантажувальним резервуванням, згідно з формалізованими правилами [8, c. 78; 11, с. 163], сформовано розщеплену однорідну марковську модель. Таку модель подають системою диференціальних рівнянь Колмогорова– Чепмена виду: ),()( tt dt d pAp = ).()( tt pCy = де t — час; )(tp — вектор, що містить функції ймовірності фаз; )(ty — вектор, який містить функції ймовірності перетинів. Марковська модель є множиною матриць, які задають інтенсивності переходів між фазами A, початкові ймовірності фаз ,)0(p а також зв’язок C функцій ймовірності фаз із характеристиками надійності системи. Для до- сліджуваної системи марковську модель подано у виразі (). Компоненти марковської моделі системи формуємо на основі марковських моделей про- цесів. Параметри марковських моделей процесів визначаємо згідно з крите- рієм рівності першого і центрованого другого моментів фактичного розпо- Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 93 ділу процесу та його марковської моделі. Вважаємо, що для процесу },{ 111 βαP параметри його марковської моделі становлять: ;}),0(,{ 111 CpA для },{P 222 βα — ;}),0(,{ 222 CpA для },{P 333 βα — ;}),0(,{ 333 CpA для },{P 444 βα — ;}),0(,{ 444 CpA для }{P5 μ — ;}),0(,{ 555 CpA для }{P6 μ — ;}),0(,{ 666 CpA для }{P7 μ — ;}),0(,{ 777 CpA для }{P8 μ — .}),0(,{ 888 CpA , 158122028 1141632 2131524 5912 3112336 617 10189 1321 473135 7256 1126 1429 19273 3033 2234 STTTT TSTT TSTT TTS TSTT TT TTS TT TSTT TTS TT TT TTS TT TT ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = AAAAA AAAA AAAA AAA AAAA AA AAA AA AAAA AAA AA AA AAA AA AA A [ ] ,)0()0( T S15 pp = . 10 8 5 4 2 1 S S S S S S ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = C C C C C C C () Відповідно до вказаних параметрів компоненти марковської моделі си- стеми обчислено згідно із поданими нижче формулами. Для працездатного стану :S15 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 87654321S15 EEEEEEEAA +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEEEAE +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEEAEE ,87654321 EEEEAEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ ),0()0()0()0()0()0()0()0()0( 87654321S15 ppppppppp ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= С.В. Щербовських ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 94 де ⊗ — оператор тензорного множення; 81 EE − — одиничні матриці, роз- мірність яких дорівнює розмірності матриць .81 AA − Для працездатного стану :14S +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 87654321S14 EEEEEEAEA +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543213 EEEEEAEEk +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEAEEE .87654321 EEEAEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для працездатного стану :S13 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 87654321S13 EEEEEEEAA +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEEAEE +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543214 EEEEAEEEk .87654321 EEAEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для працездатного стану :S12 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 876543213S12 EEEEEAEEA k +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543214 EEEEAEEEk +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEAEEEE .87654321 EEAEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для працездатного стану :S11 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 876543211S11 EEEEEEEAA k +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEEEAE +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEAEEE .87654321 EAEEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для працездатного стану :S9 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 876543211S9 EEEEEEEAA k +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543214 EEEEAEEEk +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEAEEEEE .87654321 EAEEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 95 Для працездатного стану :S7 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 87654321S7 EEEEEEEAA +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543212 EEEEEEAEk +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEEEAEE .87654321 AEEEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для працездатного стану :S6 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 876543212S6 EEEEEEAEA k +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543213 EEEEEAEEk +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EEEAEEEE .87654321 AEEEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для працездатного стану :S3 +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗= 876543211S3 EEEEEEEAA k +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 876543212 EEEEEEAEk +⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ 87654321 EAEEEEEE .87654321 AEEEEEEE ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+ Для непрацездатних станів 85421 S,S,S,S,S та :S10 , 1085421 SSSSSS ICCCCCC ====== де I — одиничний вектор-рядок, розмірність якого дорівнює добутку роз- мірностей усіх матриць інтенсивності переходів .AA 81 − Для подій 25211791 T,T,T,T,T та 33T спричинених завершенням про- цесу :P1 ,876543211TTT 2591 EEEEEEECpAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== . 1332117 T1TTT AAAA k=== Для подій 29261852 T,T,T,T,T та ,T34 спричинених завершенням про- цесу :P2 ,876543221TTT 1852 EEEEEECpEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== . 2342926 T2TTT AAAA k=== Для подій 27131063 T,T,T,T,T та ,T30 спричинених завершенням про- цесу :P3 С.В. Щербовських ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 96 ,876543321TTT 27103 EEEEECpEEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== . 330136 T3TTT AAAA k=== Для подій 19141174 T,T,T,T,T та ,T22 спричинених завершенням про- цесу :P4 ,876544321TTT 1974 EEEECpEEEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== . 4221411 T4TTT AAAA k=== Для подій 158 T,T та ,T31 спричинених завершенням процесу :P5 .876554321TTT 31158 EEECpEEEEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== Для подій 1612 T,T та ,T23 спричинених завершенням процесу :P6 .876654321TTT 231612 EECpEEEEEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== Для подій 2420 T,T та ,T35 спричинених завершенням процесу :P7 .877654321TTT 352420 ECpEEEEEEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== Для подій 3228 T,T та ,T36 спричинених завершенням процесу :P8 .887654321TTT 363228 CpEEEEEEEAAA ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=== Одержана модель містить 240 диференціальних рівнянь. ЙМОВІРНІСНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ МІНІМАЛЬНИХ ПЕРЕТИНІВ Застосовуючи розщеплену однорідну марковську модель системи із роздільним навантажувальним резервуванням на основі методу Розенброка обчислено ймовірнісні характеристики мінімальних перетинів системи. Використання методу Розенброка обумовлено тим, що марковська модель системи жорстка. Таку її властивість обумовлено: • розкидом параметрів для процесів напрацювання та ремонтування; • особливістю алгоритму розщеплення простору станів; • впливом коефіцієнтів перерозподілу навантаження k1–k4. Мінімальна множина перетинів системи містить два перетини «G1–G2», якому відповідають непрацездатні стани 82 S,S й ,S10 та «TV1–TV2» — ,S,S 110 й .S5 Криві ймовірнісних характеристик мінімальних перетинів системи подано на рис. 3, зокрема суцільна крива 1 відповідає функції ймо- вірності перетину «TV1–TV2», а штрихова крива 2 — «G1–G2». На підставі даних про перетини робимо висновок, що для зменшення ймовірності відмови системи для моменту часу 10 000 год необхідно вжити заходів щодо підвищення безвідмовності групи трансформаторів TV1 та TV2, оскільки їх одночасна непрацездатність є найімовірнішою причиною непрацездатності досліджуваної системи із відносною вагою 52,63 %. Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи … Системні дослідження та інформаційні технології, 2015, № 1 97 ВИСНОВКИ Розроблено математичну модель надійності системи із роздільним наванта- жувальним резервуванням, призначену для визначення імовірнісних показ- ників перетинів. Надійність системи математично описано на основі дина- мічного дерева відмов, а ймовірнісні показники визначено за розщепленою однорідною марковською моделлю. Одержано модель, яка забезпечила аде- кватне урахування перерозподілу навантаження між елементами, тривалість напрацювання до відмови яких розподілено за законом Вейбулла. За вказа- ною моделлю адекватно визначено ймовірнісні показники перетинів та по- казано, надійність яких елементів необхідно покращувати першочергово, щоб зменшити ймовірність відмови системи. Подальші дослідження скеро- вані на розроблення математичних моделей надійності, які призначені для аналізу причин непрацездатності систем із складною структурою. ЛІТЕРАТУРА 1. Wei-Chang Yeh. A new algorithm for generating minimal cut sets in k-out-of-n net- works // Reliability Engineering & System Safety. — 2006. — 91, № 1. — P. 36–43. 2. Vega M., Sarmiento H.G. Algorithm to evaluate substation reliability with cut and path sets // Industry Applications, IEEE Transactions on. — 2008. — 44, № 6. — P. 1851–1858. 3. Стефанидин Д.В., Романчук К.Г. Логіко-імовірнісна оцінка ризику збитків від аварійного виливу води з басейну добового регулювання Зарамагської ГЕС-1 // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2013. — № 3. — С. 130–141. 4. Yong Liu, Singh C. Reliability evaluation of composite power systems using Markov cut-set method // IEEE Trans. on Power Systems. — 2010. — 25, № 2. — P. 777–785. 5. Песчанский А.И. Календарное техническое обслуживание элементов монотон- ной системы с учетом их минимального аварийного восстановления // Рис. 3. Криві ймовірнісних характеристик множини мінімальних перетинів системи С.В. Щербовських ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2015, № 1 98 Системні дослідження та інформаційні технології. — 2011. — № 1. — С. 34–49. 6. Haitao Guo, Xianhui Yang. Automatic creation of Markov models for reliability as- sessment of safety instrumented systems // Reliability Engineering & System Safety. — 2008. — 3, № 6. — P. 829–837. 7. Codetta-Raiteri D. Integrating several formalisms in order to increase Fault Trees’ modeling power // Reliability Engineering & System Safety. — 2011. — 96, № 5. — P. 534–544. 8. Juan Eloy Ruiz-Castro, Rafael Pérez-Ocón, Gemma Fernández-Villodre. Modelling a reliability system governed by discrete phase-type distributions // Reliability Engineering & System Safety. — 2008. — 93, № 11. — P. 1650–1657. 9. Chryssaphinou O., Limnios N., Malefaki S. Multi-state reliability systems under dis- crete time semi-markovian hypothesis // IEEE Trans. on Reliability. — 2011. — 60, № 1. — P. 80–87. 10. Щербовських С.В. Математичні моделі та методи для визначення харак- теристик надійності багатотермінальних систем із урахуванням перероз- поділу навантаження: монографія — Львів: Львівська політехніка, 2012. — 296 с. 11. Бобало Ю.Я., Волочій Б.Ю., Лозинський О.Ю., Мандзій Б.А., Озірковський Л.Д., Федасюк Д.В., Щербовських С.В., Яковина В.С. Математичні моделі та методи для аналізу надійності радіоелектронних, електротехнічних та програмних систем: монографія. — Львів: Львівська політехніка, 2013. — 300 с. Надійшла 16.04.2014
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86134
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1681–6048
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T17:38:29Z
publishDate	2015
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
record_format	dspace
spelling	Щербовських, С.В. 2015-09-08T11:09:16Z 2015-09-08T11:09:16Z 2015 Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням / С.В. Щербовських // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 87-98. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86134 519.718.2 Запропоновано математичну модель надійності системи із роздільним навантажувальним резервуванням, призначену для аналізу причин непрацездатності такої системи. Модель сформовано у три етапи. На першому надійність системи математично описано динамічним деревом відмов, особливість якого полягає у тому, що його логічні блоки задають не лише умову непрацездатності системи, а також умови перерозподілу навантаження між елементами. На другому етапі за динамічним деревом відмов побудовано та проаналізовано математичну модель графу станів та переходів системи. На третьому — модель графу перетворено у розщеплену однорідну марковську модель. За результатами обчислення одержано ймовірнісні характеристики множини мінімальних перетинів та встановлено найймовірнішу причину непрацездатності системи. Показано, що зі збільшенням тривалості експлуатування, найймовірніша причина непрацездатності змінюється. Таку поведінку показників надійності системи обумовлено впливом перерозподілу навантаження між елементами, напрацювання яких розподілене за законом Вейбулла. Предложена математическая модель надежности системы с раздельным нагрузочным резервированием, предназначенная для анализа причин неработоспособности такой системы. Модель сформирована в три этапа. На первом — надежность системы математически описана динамическим деревом отказов, особенность которого заключается в том, что его логические блоки задают не только условие неработоспособности системы, а так же условия перераспределения нагрузки между элементами. На втором этапе по динамическому дереву отказов построена и проанализирована математическая модель графа состояний и переходов системы. На третьем — модель графа преобразована в расщепленную однородную марковскую модель. По результатам вычисления получены вероятностные характеристики множества минимальных сечений и установлено наиболее вероятную причину неработоспособности системы. Показано, что с увеличением продолжительности эксплуатации, наиболее вероятная причина неработоспособности меняется. Такое поведение показателей надежности системы обусловлено влиянием перераспределения нагрузки между элементами, наработки которых распределены по закону Вейбулла. The mathematical reliability model of a repairable system with a separate derating redundancy for the failure causes analysis of such a system is proposed. The model is formed in three stages. An the first stage, the system reliability is mathematically described by a dynamic fault tree, whose main feature is that its logic blocks define not only the failure condition of a system, but also the conditions for load-sharing between the components. At the second stage, based on the dynamic fault tree, the mathematical model of the state and transition graph of the system is constructed and analyzed. At the third stage, the graph model based on the tensor analysis is transformed to a split homogeneous Markov model. According to the calculation results, the probability characteristics of the minimal cut set are determined and the most likely system failure cause is recognized. It is shown that with increasing the duration of usage, the most likely system failure cause changes. Such a behavior of system reliability indices is due to the impact of load-sharing between components whose lives have Weibull distribution. uk Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України Системні дослідження та інформаційні технології Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням Математическая модель надежности для анализа причин неработоспособности системы с раздельным нагрузочным резервированием Mathematical reliability model for failure cause analysis of a system with separated derating redundancy Article published earlier
spellingShingle	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням Щербовських, С.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
title	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням
title_alt	Математическая модель надежности для анализа причин неработоспособности системы с раздельным нагрузочным резервированием Mathematical reliability model for failure cause analysis of a system with separated derating redundancy
title_full	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням
title_fullStr	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням
title_full_unstemmed	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням
title_short	Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням
title_sort	математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86134
work_keys_str_mv	AT ŝerbovsʹkihsv matematičnamodelʹnadíinostídlâanalízupričinnepracezdatnostísistemiízrozdílʹnimnavantažuvalʹnimrezervuvannâm AT ŝerbovsʹkihsv matematičeskaâmodelʹnadežnostidlâanalizapričinnerabotosposobnostisistemysrazdelʹnymnagruzočnymrezervirovaniem AT ŝerbovsʹkihsv mathematicalreliabilitymodelforfailurecauseanalysisofasystemwithseparatedderatingredundancy

Математична модель надійності для аналізу причин непрацездатності системи із роздільним навантажувальним резервуванням

Institution

Similar Items