Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной

В статье предлагается алгоритм реконструкции динамической системы по единственной наблюдаемой переменной процесса, представленной в виде временного ряда. При этом неизвестная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений заменяется системой известного вида, в которой неизвестные перемен...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Кибернетика и вычислительная техника
Date:	2015
Main Authors:	Городецкий, В.Г., Осадчук, Н.П.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України 2015
Subjects:	Интеллектуальное управление и системы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86147
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 179. — С. 56-69. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859719122013650944
author	Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П.
author_facet	Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П.
citation_txt	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 179. — С. 56-69. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Кибернетика и вычислительная техника
description	В статье предлагается алгоритм реконструкции динамической системы по единственной наблюдаемой переменной процесса, представленной в виде временного ряда. При этом неизвестная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений заменяется системой известного вида, в которой неизвестные переменные заменяются производными наблюдаемой переменной. Для нахождения коэффициентов реконструированной системы составляется переопределенная система линейных алгебраических уравнений, которая решается с помощью метода наименьших квадратов. Выполнена проверка правильности результатов алгоритма на численных примерах с учетом влияния точности представления исходных данных. У статті пропонується алгоритм реконструкції динамічної системи за єдиною спостережною змінною процесу, представленою у вигляді часового ряду. При цьому невідома автономна система звичайних диференціальних рівнянь замінюється системою відомого виду, в якій невідомі змінні замінюються похідними спостережної змінної. Для знаходження коефіцієнтів реконструйованої системи складається перевизначена система лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується за допомогою методу найменших квадратів. Виконано перевірку правильності результатів алгоритму на численних прикладах з урахуванням впливу точності представлення вихідних даних. The purpose of this work is to simplify and improve the accuracy of G. Gouesbet algorithm for determining the coefficients of the standard system.
first_indexed	2025-12-01T09:13:02Z
format	Article
fulltext	56 УДК 517.925 АЛГОРИТМ РЕКОНСТРУКЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ОДНОЙ НАБЛЮДАЕМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт» В статье предлагается алгоритм реконструкции динамической системы по единственной наблюдаемой переменной процесса, представленной в виде временного ряда. При этом неизвестная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений заменяется системой известного вида, в которой неизвестные переменные заменяются производными наблюдаемой переменной. Для нахождения коэффициентов реконструированной системы составляется переопределенная система линейных алгебраических уравнений, которая решается с помощью метода наименьших квадратов. Выполнена проверка правильности результатов алгоритма на численных примерах с учетом влияния точности представления исходных данных. Ключевые слова: оригинальная система, стандартная система, реконструкция, метод наименьших квадратов, наблюдаемая переменная. У статті пропонується алгоритм реконструкції динамічної системи за єдиною спостережною змінною процесу, представленою у вигляді часового ряду. При цьому невідома автономна система звичайних диференціальних рівнянь замінюється системою відомого виду, в якій невідомі змінні замінюються похідними спостережної змінної. Для знаходження коефіцієнтів реконструйованої системи складається перевизначена система лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується за допомогою методу найменших квадратів. Виконано перевірку правильності результатів алгоритму на численних прикладах з урахуванням впливу точності представлення вихідних даних. Ключові слова: оригінальна система, стандартна система, реконструкція, метод найменших квадратів, спостережна змінна. ВВЕДЕНИЕ Часто единственной информацией о некотором исследуемом процессе может быть дискретный временной ряд данных о поведении одной из переменных этого процесса. Для получения математической модели в этом случае необходимо решить задачу реконструкции системы по единственной наблюдаемой переменной [1, 2]. Пусть система обыкновенных дифференци- альных уравнений      = = ),,...,( ),,...,( 1 111 nnn n xxFx xxFx & K & (1) описывает некоторый процесс, где nxx ,...,1 — переменные состояния процесса; nFF ,...,1 — полиномы. Систему (1) будем называть оригинальной системой (ОС) [3].  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 57 Допустим, единственной наблюдаемой переменной процесса будет )(1 tx . Широко распространен подход [4, 5], при котором неизвестные переменные системы (1) заменяются производными наблюдаемой переменной по времени, и вместо (1) рассматривается система (2)        = = = ),,,( , , 1 32 21 nn yyYy yy yy K& K & & (2) где Y — некоторая функция, которая выбирается таким образом, чтобы решение системы (2) (функция )(1 ty ) совпадало с наблюдаемой переменной ОС. Причем в некоторых случаях [5] это совпадение может быть точным ( )()( 11 tytx ≡ ), а в других [6, 7] речь идет о более или менее точной аппроксимации на некотором промежутке времени ( )()( 11 tytx ≈ ). Систему (2) называют стандартной системой (СС), а функцию Y — стандартной функцией (СФ) [8]. В качестве СФ чаще всего выбирают полиномы различного вида [6], функции вида «полином плюс дробь» [3, 5] и отношение полиномов [5, 9]: ),...,( ),...,(),...,( 12 11 1 n n n yyP yyPyyY = . (3) Очевидно, что случай (3) наиболее универсальный из трех перечисленных, т.к. другие два типа СФ легко сводятся к (3). Цель данной работы — усовершенствовать предложенный [5] алгоритм определения коэффициентов стандартной системы для повышения точности результатов. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА Преобразования, связывающие коэффициенты систем (1) и (2), достаточно сложны и громоздки, могут иметь нелинейный характер. Поэтому в литературе (например, [3]) приведены соотношения для различных случаев систем с числом переменных 3≤n . Как было показано в [5], при использовании формы СФ (3) можно построить простой алгоритм для вычисления ее коэффициентов. Если принять 3=n , то СС (2) будет иметь вид:      = = = ),,,( , , 3213 32 21 yyyYy yy yy & & & (4)  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 58 где ∑ ∑ = i ii i ii yyypD yyypN yyyY ),,( ),,( ),,( 321 321 321 . (5) В выражении (5) числитель и знаменатель — полиномы, iN и iD — постоянные коэффициенты, ( )321 ,, yyypi — произведения степеней пере- менных СС. В данной статье использовались приведенные в таблице 1 функ- ции ( )321 ,, yyypi , которые соответствуют полиному третьей степени. При необходимости таблица 1 может быть дополнена произведениями более высоких степеней. Таблица 1 Произведения степеней переменных СС, используемые в (5) i ( )321 ,, yyypi i ( )321 ,, yyypi i ( )321 ,, yyypi i ( )321 ,, yyypi 0 1 5 21yy 10 3 1y 15 2 31yy 1 1y 6 31yy 11 2 2 1 yy 16 3 2y 2 2y 7 2 2y 12 3 2 1 yy 17 3 2 2 yy 3 3y 8 32 yy 13 2 21yy 18 2 32 yy 4 2 1y 9 2 3y 14 321 yyy 19 3 3y Заметим, что при умножении числителя и знаменателя (5) на одну и ту же постоянную величину значение ),,( 321 yyyY не изменится. Поэтому величины коэффициентов (5) не могут быть вычислены однозначно. Для устранения такой ситуации можно зафиксировать один из коэффициентов, считая его известным. Например, в [5] было принято 10 =D . Тогда после приведения к общему знаменателю и группировки слагаемых выражение (5) с учетом табл. 1 примет вид: ,... ... 303 3 3193 2 3218322 311 3 319 2 321822110 yDyyDyyyDyyD yyDyNyyNyNyNN &&&& & =−−−+ +−+++++ (6) где 10 =D . Так как значения 1y , 12 yy &= , 23 yy &= , 3y& легко вычисляются на основании данных о наблюдаемом временном ряде, то несложно получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой неизвестными станут коэффициенты iN и iD уравнения (6). При использовании этого уравнения для формирования СЛАУ может иметь место ситуация, когда 00 =D . Тогда, приняв предварительно 10 =D , мы получим при вычислении коэффициентов ошибочный результат. Следовательно,  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 59 необходимо иметь возможность фиксировать любой из коэффициентов СФ. Кроме этого, как будет показано далее, для реальных систем может быть заранее известно, какие коэффициенты СФ равны нулю. Поэтому предлагаемый алгоритм, в отличие от [5], предусматривает возможность присвоения произвольного значения любому из коэффициентов СФ. В этом случае целесообразно использовать более общий вид уравнения (6): ( ) ( ) ( ) ( ),,,~,,~ ,,,, 3213213 3213321 ∑∑ ∑∑ −= =− i ii i ii i ii i ii yyypNyyypDy yyypDyyyypN & & (7) где слева сгруппированы слагаемые, в которых iN и iD — неизвестные коэффициенты, а справа — iN~ , iD~ — коэффициенты СФ, значения которых приняты известными. На основе вышеизложенного можно предложить следующий алгоритм вычисления коэффициентов СС. Пусть )(1 jy — дискретная временная последовательность значений наблюдаемой переменной ОС с шагом дискретизации t∆ , содержащая N точек. Используя уравнения системы (4), можно с помощью численного дифференцирования сформировать дискретные временные последовательности ),(2 jy ),(3 jy )(3 jy& . Для получения системы алгебраических уравнений, позволяющей вычислить коэффициенты СФ (5), формируется векторная временная последовательность )}(),(),(),({)( 3321 jyjyjyjyjv &= , (8) С учетом общего вида полиномов числителя и знаменателя (5), а также количества известных коэффициентов определяется число неизвестных коэффициентов СС k . В то же время число возможных алгебраических уравнений вида (7) для расчета коэффициентов iN и iD определяется количеством точек m в векторной временной последовательности (8). В результате получается система из m линейных алгебраических уравнений с k неизвестными. Для решения этой системы можно использовать метод наименьших квадратов, согласно которому [10] baaXa TT = , (9) где a — матрица коэффициентов размера km× ; значения элементов этой матрицы определяются в каждой j -й точке на основании выражения в левой части уравнения (7); элементы вектора b вычисляются для каждого j на основании правой части уравнения (7); X — вектор искомых коэффициентов iN и iD числителя и знаменателя СФ системы (5).  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 60 Обозначим: AaaT = , BbaT = . Тогда (9) примет вид: BAX = , откуда BAX 1−= . (10) МОДЕЛИРОВАНИЕ ОРИГИНАЛЬНЫХ СИСТЕМ, ОТНОСЯЩИХСЯ К R-КЛАССУ Предлагаемый алгоритм был применен к моделированию ОС, относящихся к R-классу [8], т.е. системам вида      ++++++= +++= +++= . , , 32631521433221103 33221102 33221101 xxcxxcxxcxcxcxccx xbxbxbbx xaxaxaax & & & (11) CC, соответствующая ОС (11), имеет вид: ( )            ++++ ++++++++ ++++++ ++ = = = . 1 , , 3 216 2 311532114 2 2113 3 2 1122 2 111 3 110 2 39328 2 27316 215 2 143322110 22110 3 32 21 yNyyNyyyNyyN yyNyyNyNyNyyNyNyyN yyNyNyNyNyNN yDyDD y yy yy & & & (12) К R-классу относится ряд хаотических систем, в том числе и система Ресслера [11], которая с учетом обозначений (11) имеет вид:      ++= += += . , , 3153303 22112 33221 xxcxccx xbxbx xaxax & & & (13) Данная система была решена методом Рунге-Кутта 4-го порядка с коэффициентами 132 −== aa , 151 == cb , 15.02 =b , 2.00 =c , 103 −=c на временном интервале 40~с с шагом 0.002~с. Временные зависимости и фазовые портреты системы (13) представлены на рис. 1. В качестве наблюдаемой была взята переменная 1x , т.е. )()( 11 txty ≡ . Очевидно, что трехкратное численное дифференцирование временного ряда )()( 11 jyty = приводит к его незначительному укорочению, т.е. Nm < . Величина этого укорочения зависит от вида применяемых формул численного дифференцирования. Использовались два разных способа численного дифференцирования. Первый способ использует формулу t jyjyjy ii i ∆ −−+ = 2 )1()1()(& . (14) Во втором способе для каждой точки )( jyi временной последовательности на интервале ]45,45[ +− jj по методу наименьших  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 61 квадратов выполняется аппроксимация временной последовательности полиномом 4-ой степени, после чего аналитически вычисляется производная от аппроксимирующего полинома. Величина этого интервала, с одной стороны, достаточно велика, чтобы обеспечить хорошее сглаживание, а с другой стороны, достаточно мала, чтобы не привести к значительному искажению формы кривых )(1 ty& , )(1 ty&& , )(1 ty&&& . Рис. 1. Временные зависимости и фазовые портреты системы (13) Размер матрицы a с учетом укорочения при дифференцировании первым способом составил km× = 1919994× , а при втором — km× = 1919731× . С помощью соотношения (10) были определены значения коэффициентов СС (12), которые представлены в табл. 2. Для сравнения в таблице приведены точные значения, полученные с помощью аналитических соотношений между коэффициентами ОС и СС [8]. Из таблицы видно, что коэффициенты 161514139 ,,,, NNNNN и 2D малы, что позволяет принять их равными нулю. В этом случае система (12) примет вид: (          ++++++ ++++++ + = = = ). 1 , , 3 2 1122 2 111 3 110328 2 27316 215 2 143322110 110 3 32 21 yyNyyNyNyyNyNyyN yyNyNyNyNyNN yDD y yy yy & & & (15)  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 62 Таблица. 2 Коэффициенты СС, определенные различными способами для переменной )(1 tx системы (13) Расчетные значения коэффициентов СС (12) СС (15) Коэффи- циент Способ дифференциро- вания 1 Способ дифференциро- вания 2 Способ дифференциро- вания 1 Способ дифференциро- вания 2 Аналити- ческие значения коэффициен- тов 0N 0,02990 0,05140 0,02949 0,02393 0,03000 1N -10,00312 -10,06667 -10,00224 -10,01107 -10,00296 2N 0,48033 0,48757 0,48022 0,48221 0,48030 3N -9,85017 -9,91567 -9,84924 -9,85755 -9,85000 4N 1,98530 1,99797 1,98509 1,98555 1,98522 5N -0,29781 -0,30268 -0,29776 -0,29869 -0,29778 6N 1,97054 1,98391 1,97031 1,97073 1,97044 7N 0,01478 0,01512 0,01478 0,01490 0,01478 8N -0,09853 -0,10166 -0,09852 -0,09937 -0,09852 9N 1,45678∙10-5 4,69638∙10-4 0 0 0 10N -0,09853 -0,09928 -0,09851 -0,09851 -0,09852 11N 0,01478 0,01519 0,01478 0,01476 0,01478 12N -0,09853 -0,09934 -0,09851 -0,09852 -0,09852 13N -2,40217∙10-7 -4,83136∙10-5 0 0 0 14N 2,44258∙10-6 2,79380∙10-4 0 0 0 15N -1,75095∙10-6 -7,97295∙10-5 0 0 0 16N -1,12451∙10-7 1,15990∙10-5 0 0 0 0D 1 1 1 1 1 1D -0,09852 -0,09856 -0,09852 -0,09850 -0,09852 2D 3,93687∙10-7 1,50274∙10-6 0 0 0 Значения коэффициентов этой системы рассчитаны аналогично предыдущему случаю и также представлены в табл. 2. Кроме этого, для оценки точности результатов рассчитаны относительные отклонения значений коэффициентов СС, полученных численным методом, от аналитических значений. Эти отклонения, вычисленные только для ненулевых коэффициентов СС, приведены в таблице 3.  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 63 Таблица. 3 Относительные отклонения значений коэффициентов СС при разных способах дифференцирования Относительные отклонения значений коэффициентов СС (12) СС (15) Коэффициент Способ дифференцирова- ния 1 Способ дифференцирова- ния 2 Способ дифференцирова- ния 1 Способ дифференцирова- ния 2 0N 3,415∙10-3 0,713 0,017 0,202 1N 1,625∙10-5 6,369∙10-3 7,163∙10-5 8,107∙10-4 2N 5,761∙10-5 0,015 1,711∙10-4 3,969∙10-3 3N 1,709∙10-5 6,667∙10-3 7,766∙10-5 7,667∙10-4 4N 4,232∙10-5 6,421∙10-3 6,613∙10-5 1,674∙10-4 5N 8,461∙10-5 0,016 5,148∙10-5 3,065∙10-3 6N 5,185∙10-5 6,838∙10-3 6,751∙10-5 1,483∙10-4 7N 1,669∙10-5 0,023 6,359∙10-5 8,340∙10-3 8N 1,224∙10-4 0,032 4,561∙10-5 8,630∙10-3 10N 7,229∙10-5 7,742∙10-3 6,067∙10-5 8,065∙10-5 11N 8,369∙10-5 0,028 2,267∙10-4 1,055∙10-3 12N 9,258∙10-5 8,317∙10-3 5,225∙10-5 4,433∙10-5 1D 2,869∙10-6 4,302∙10-4 1,595∙10-5 2,438∙10-4 Как видно из таблицы, дифференцирование 1-м способом приводит к более точному результату. Это объясняется тем, что при выбранных параметрах аппроксимирующего полинома его использование приводит к некоторому искажению формы кривой, из-за чего расчетные значения коэффициентов СС больше отклоняются от точных значений. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ Как известно [12], корректность решения (10) СЛАУ зависит от числа обусловленности матрицы A , а именно: ( )     +    ≤ B ΔB A ΔA A X ΔX cond , (16) где ⋅ — норма вектора или матрицы (здесь и далее использовалась евклидова норма), ΔX — вектор отклонений решения СЛАУ, ΔA — матрица отклонений фактических значений элементов матрицы A от точных, ΔB — вектор отклонений фактических значений элементов вектора B от точных, ( )Acond — число обусловленности матрицы A , ( ) 1cond −= AAA .  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 64 Матрица A , полученная для системы (12), имеет ( ) 910341,1cond ⋅=A , а для упрощенной системы (15) — ( ) 710413,5cond ⋅=A . Хотя приведенные в табл. 2 расчетные значения коэффициентов iN и iD близки к аналитическим, большие значения ( )Acond говорят о возможной неустойчивости решений. Для оценки границ возможной неустойчивости решений было исследовано влияние точности представления чисел на результат. В предыдущем разделе рассматривалась временная последовательность )(1 tx системы (13) со значениями в интервале (-13,6; 16,4), представленными с точностью 16=d знаков после запятой. Такая точность, как правило, недостижима в результате реальных измерений. Поэтому необходимо исследовать, как уменьшение точности исходных данных повлияет на результаты, полученные с помощью предложенного алгоритма. В нашем численном эксперименте уменьшение точности осуществлялось путем отбрасывания младших разрядов для всех точек временной последовательности. В табл. 4 приведены величины из соотношения (16), которые характеризуют ошибки результатов в зависимости от точности представления значений исходного временного ряда )()( 11 txty ≡ . Эти же результаты представлены графически в логарифмическом масштабе на рисунках 2 и 3. Как видно из табл. 4, при численном дифференцировании по формуле (14) отношение XXΔ становится неприемлемо большим при 7≥d (соответствующие значения выделены в таблице жирным шрифтом). В то же время 2-й способ дифференцирования обеспечивает получение адекватных результатов при точности исходных данных меньшей на 4 порядка по сравнению с 1-м способом. Рис. 2. Зависимости составляющих формулы (16) от точности представления исходных данных при использовании 1-го способа дифференцирования  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 65 Рис. 3. Зависимости составляющих формулы (16) от точности представления при использовании 2-го способа дифференцирования Таблица 4 Значения составляющих выражения (16) в зависимости от точности представления исходных данных Способ дифференцирования 1 Способ дифференцирования 2 d B B A A ΔΔ + X XΔ B B A A ΔΔ + X XΔ 14 1,259∙10-15 1,538∙10-12 - - 13 4,075∙10-13 3,257∙10-11 - - 12 4,407∙10-12 1,149∙10-10 - - 11 1,016∙10-10 2,483∙10-9 - - 10 3,661∙10-10 7,516∙10-8 - - 9 5,687∙10-9 6,326∙10-6 - - 8 2,233∙10-7 6,601∙10-4 1,302∙10-9 1,362∙10-8 7 2,526∙10-5 0,053 8,071∙10-9 1,291∙10-7 6 2,472∙10-3 0,431 1,376∙10-7 6,596∙10-7 5 - - 2,029∙10-6 1,579∙10-5 4 - - 1,668∙10-5 6,726∙10-4 3 - - 9,693∙10-5 0,045 2 - - 5,978∙10-3 0,65 Очевидно, что в нашем случае основными источниками погрешностей являются низкая точность представления значений исходного числового ряда и вычислительный шум, возникающий при численном дифференцировании. Влияние этих факторов иллюстрирует график, представленный на рис. 4, где приведен фрагмент зависимости )(1 ty&&& для 7=d и 16=d при дифференцировании по формуле (14). При высокой точности ( 16=d ) график практически не имеет шума, а при низкой ( 7=d ) — величина шума сравнима с полезным сигналом, что приводит к значительной погрешности вектора B и, как следствие, к значительной ошибке результата — вектора  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 66 X . При применении 2-го способа дифференцирования погрешность )(1 ty&&& — значительно меньше и достигает величин, искажающих результат, при точности задания исходного временного ряда 3=d , что видно из рис. 5. Рис. 4. Фрагмент временного ряда )()( 13 txty &&&& ≡ при использовании 1-го способа дифференцирования для 2-х значений точности представления исходных данных Рис. 5. Фрагмент временного ряда )()( 13 txty &&&& ≡ при использовании 2-го способа дифференцирования  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 67 Следует отметить, что для рассмотренной временной последовательности при 2=d шаг дискретизации по амплитуде составляет примерно 30001 от диапазона изменения значений )()( 11 txty ≡ , что сопоставимо с точностью измерений, доступной на практике. Таким образом, используя метод численного дифференцирования, устойчивый к шумам и понижению точности, можно применить предложенный алгоритм для реконструкции реальных временных последовательностей. ВЫВОДЫ В статье предложен алгоритм вычисления коэффициентов стандартной системы на основе временной последовательности одной наблюдаемой переменной оригинальной системы. Предлагаемый подход позволяет расширить область применения алгоритма [5] за счет возможности присвоения любым коэффициентам стандартной функции произвольных известных значений. Проведенный анализ показал значительное влияние точности представления чисел исходного временного ряда на ошибку вычислений. Так как одной из основных операций данного алгоритма является численное дифференцирование, следует предвидеть возможное увеличение ошибок из-за этой операции. При высокой точности задания исходных данных дифференцирование с использованием простых соотношений обеспечивает меньшую погрешность определения коэффициентов стандартной системы, а при понижении точности исходных данных преимущество имеет дифференцирование с использованием аппроксимирующего полинома. Также для уменьшения вычислительного шума, появляющегося при численном дифференцировании, можно использовать сглаживание как исходной временной последовательности, так и ее производных. Алгоритм может быть обобщен на случай дробно-рациональной стандартной функции с большим числом слагаемых. Существование систем, реконструкция которых возможна с использованием стандартной функции более общего вида, подтверждается предварительными результатами, которые будут представлены в дальнейшем. 1. Cremers J. Construction of differential equations from experimental data / J. Cremers, A. Hubler // Naturforsch. — 1987. — vol. 42a. — P. 797–802. 2. Breeden J. L. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables / J. L. Breeden, A. Hubler // Phys. Rev. A. — 1990. — Vol. 42. — P. 5817–5826. 3. Gouesbet G. Reconstruction of standard and inverse vector fields equivalent to the Rössler system / G. Gouesbet // Phys. Rev. A. — 1991. — Vol. 44. — P. 6264–6280. 4. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence / F. Takens // in: D.A. Rand, L.S. Young (Eds.), Dynamical System and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics. — New York : Springer. — 1981. — No. 898. — P. 366–381. 5. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems from numerical scalar time series / G. Gouesbet // Phys. Rev. A. — 1991. — Vol. 43. — P. 5321–5331.  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 68 6. Gouesbet G. Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets / G. Gouesbet, C. Letellier // Phys. Rev. E. — 1994. — Vol. 49, No. 6. — P. 4955–4972. 7. Maquet J. Scalar modeling and analysis of a 3D biochemical reaction model / J. Maquet, C. Letellier, L. A. Aguirre // Journal of Theoretical Biology. — 2004. —Vol. 228. — P. 421–430. 8. Gorodetskyi V. Reconstruction of chaotic systems of a certain class / V. Gorodetskyi, M. Osadchuk // International Journal of Dynamics and Control. — Available at: DOI 10.1007/s40435-014-0100-y. 9. Le Sceller L. Structure selection for Global vector field reconstruction by using the identification of fixed points / L. Le Sceller, C. Letellier, G. Gouesbet // Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 60, No. 2. — P. 1600–1606. 10. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения / Г. Стренг. — М. : Мир, 1980. — 459 с. 11. Rössler O. E. An equation for continuous chaos / O. E. Rössler // Phys. Lett. A. — 1976. — Vol. 57. — P. 397–398. 12. Форсайт Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений / Дж. Форсайт, К. Молер. — М. : Мир, 1969. — 164 с. UDC 517.925 ALGORITHM FOR RECONSTRUCTING THE DYNAMICAL SYSTEMS USING ONE OBSERVABLE VARIABLE V.G. Gorodetskyi, M.P. Osadchuk National technical university of Ukraine “Kyiv polytechnic institute”. Introduction. We consider the problem of reconstructing the system of ordinary differential equations by using one observable variable. The data under investigation is a scalar time series of some process data. It is assumed that the dynamics of the process can be described by an original system of ordinary differential equations with polynomial right-hand sides. We replace the original system by standard system of known type in which the unknown variables are replaced by derivatives of the observable variable, and one of the variables of the standard system is the same as observable variable. We use standard systems which have the ratio of polynomials with unknown coefficients in the right-hand sides. The purpose of this work is to simplify and improve the accuracy of G. Gouesbet algorithm for determining the coefficients of the standard system. Methods. As well as in the prototype algorithm, the time series is differentiated to find all the variables of the standard system. Then we form the system of linear algebraic equations which are solved with respect to the unknown coefficients of the standard system. The algorithm uses such novelties: ability to assign the known values for any coefficient of the standard system, solving the overdetermined algebraic system by using least square method, possibility to use different methods of differentiation. Results. Algorithm was utilized to reconstruct standard system by use of one variable of Rossler system and other systems with chaotic evolution. All the results confirmed the effectiveness of the algorithm improvements. Conclusion. The proposed novelties allow to improve the accuracy of computing the coefficients of the standard system and simplify the algorithm.  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179 69 Keywords: original system, standard system, reconstructing, least square method, observable variable. 1. Cremers J., Hubler A. Construction of differential equations from experimental data. Naturforsch, 1987, vol. 42a, pp. 797–802. 2. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables. Phys. Rev. A, 1990, vol. 42, pp. 5817–5826. 3. Gouesbet G. Reconstruction of standard and inverse vector fields equivalent to the Rössler system. Phys. Rev. A, 1991, vol. 44, pp. 6264–6280. 4. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence. In: D.A. Rand, L.S. Young (Eds.), Dynamical System and Turbulence, Lecture Notes in Mathematics. Springer, New York. 1981, no. 898, pp. 366–381. 5. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems from numerical scalar time series. Phys. Rev. A, 1991, vol. 43, pp. 5321–5331. 6. Gouesbet G., Letellier C. Global vector-field reconstruction by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets. Phys. Rev. E, 1994, vol. 49, no. 6, pp. 4955–4972. 7. Maquet J., Letellier C., Aguirre L. A. Scalar modeling and analysis of a 3D biochemical reaction model. Journal of Theoretical Biology, 2004, vol. 228, pp. 421–430. 8. Gorodetskyi V., Osadchuk M. Reconstruction of chaotic systems of a certain class. International Journal of Dynamics and Control. Available at: DOI 10.1007/s40435-014- 0100-y. 9. Le Sceller L., Letellier C., Gouesbet G. Structure selection for Global vector field reconstruction by using the identification of fixed points. Phys. Rev. E, 1999,. vol. 60, no. 2, pp. 1600–1606. 10. Strang G. Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole, 2006, 487 p. 11. Rössler O.E. An equation for continuous chaos. Phys. Lett. A, 1976, vol. 57, pp. 397–398. 12. Forsythe G. E., Moler C.B. Computer solution of linear algebraic systems. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1967, 148 p. Получено 30.01.2015  В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук, 2015 ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2015. Вып. 179
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86147
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0452-9910
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T09:13:02Z
publishDate	2015
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
record_format	dspace
spelling	Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П. 2015-09-08T12:46:25Z 2015-09-08T12:46:25Z 2015 Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной / В.Г. Городецкий, Н.П. Осадчук // Кибернетика и вычислительная техника. — 2015. — Вип. 179. — С. 56-69. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86147 517.925 В статье предлагается алгоритм реконструкции динамической системы по единственной наблюдаемой переменной процесса, представленной в виде временного ряда. При этом неизвестная автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений заменяется системой известного вида, в которой неизвестные переменные заменяются производными наблюдаемой переменной. Для нахождения коэффициентов реконструированной системы составляется переопределенная система линейных алгебраических уравнений, которая решается с помощью метода наименьших квадратов. Выполнена проверка правильности результатов алгоритма на численных примерах с учетом влияния точности представления исходных данных. У статті пропонується алгоритм реконструкції динамічної системи за єдиною спостережною змінною процесу, представленою у вигляді часового ряду. При цьому невідома автономна система звичайних диференціальних рівнянь замінюється системою відомого виду, в якій невідомі змінні замінюються похідними спостережної змінної. Для знаходження коефіцієнтів реконструйованої системи складається перевизначена система лінійних алгебраїчних рівнянь, яка розв’язується за допомогою методу найменших квадратів. Виконано перевірку правильності результатів алгоритму на численних прикладах з урахуванням впливу точності представлення вихідних даних. The purpose of this work is to simplify and improve the accuracy of G. Gouesbet algorithm for determining the coefficients of the standard system. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Кибернетика и вычислительная техника Интеллектуальное управление и системы Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной Алгоритм реконструкції динамічних систем за однією спостержною змінною Algorithm for Reconstructing the Dynamical Systems Using One Observable Variable Article published earlier
spellingShingle	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной Городецкий, В.Г. Осадчук, Н.П. Интеллектуальное управление и системы
title	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной
title_alt	Алгоритм реконструкції динамічних систем за однією спостержною змінною Algorithm for Reconstructing the Dynamical Systems Using One Observable Variable
title_full	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной
title_fullStr	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной
title_full_unstemmed	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной
title_short	Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной
title_sort	алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной
topic	Интеллектуальное управление и системы
topic_facet	Интеллектуальное управление и системы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86147
work_keys_str_mv	AT gorodeckiivg algoritmrekonstrukciidinamičeskihsistempoodnoinablûdaemoiperemennoi AT osadčuknp algoritmrekonstrukciidinamičeskihsistempoodnoinablûdaemoiperemennoi AT gorodeckiivg algoritmrekonstrukcíídinamíčnihsistemzaodníêûsposteržnoûzmínnoû AT osadčuknp algoritmrekonstrukcíídinamíčnihsistemzaodníêûsposteržnoûzmínnoû AT gorodeckiivg algorithmforreconstructingthedynamicalsystemsusingoneobservablevariable AT osadčuknp algorithmforreconstructingthedynamicalsystemsusingoneobservablevariable

Алгоритм реконструкции динамических систем по одной наблюдаемой переменной

Institution

Similar Items