Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений
Запропоновано метод розв язку задачі математичного програмування з нечіткою множиною індексів обмежень. Побудовано відображення приналежності нечіткої множини типу 2, яка є множиною її допустимих альтернатив. Досліджено властивості цієї множини і розглянуто задачі вибору раціональних рішень. The aut...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86166 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений / С.О. Мащенко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 73-81. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859785041535565824 |
|---|---|
| author | Мащенко, С.О. |
| author_facet | Мащенко, С.О. |
| citation_txt | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений / С.О. Мащенко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 73-81. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано метод розв язку задачі математичного програмування з нечіткою множиною індексів обмежень. Побудовано відображення приналежності нечіткої множини типу 2, яка є множиною її допустимих альтернатив. Досліджено властивості цієї множини і розглянуто задачі вибору раціональних рішень.
The author proposes a method to solve a mathematical programming problem with a fuzzy set of the indices of constraints. A mapping of belonging of a fuzzy set of type 2 is constructed, which is the set of its feasible alternatives. The properties of this set are analyzed and problems of the choice of rational decisions are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:41:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ñ.Î. ÌÀÙÅÍÊÎ
ÇÀÄÀ×À ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß Ñ ÍÅ×ÅÒÊÈÌ
ÌÍÎÆÅÑÒÂÎÌ ÈÍÄÅÊÑΠÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà 2, íå÷åò-
êîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ïðèíÿòèå ðåøåíèé.
Êëàññè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèè ñîñòîèò
â ïîèñêå ýêñòðåìóìà òàê íàçûâàåìîé öåëåâîé ôóíêöèè g x( ) íà ìíîæåñòâå F
äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ x — ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà X . Öåëåâàÿ
ôóíêöèÿ õàðàêòåðèçóåò ïîëåçíîñòü àëüòåðíàòèâ äëÿ ëèöà, ïðèíèìàþùåãî
ðåøåíèå (ËÏÐ), è ïðåäñòàâëÿåò îäíî èç ñâîéñòâ: öåíó, âåñ è ò.ï. Ìíîæåñòâî
äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ F çàäàåòñÿ íà X íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòüþ M �
� { }1 2, , ,� m îãðàíè÷åíèé-íåðàâåíñòâ âèäà f xi ( ) � 0, i M� .
Ðàçëè÷íûå ôîðìû îïèñàíèÿ íå÷åòêèõ èñõîäíûõ äàííûõ ìîãóò ïðèâîäèòü
ê ðàçëè÷íûì ïîñòàíîâêàì çàäà÷ íå÷åòêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
(ÍÌÏ): äîñòèæåíèÿ íå÷åòêî ïîñòàâëåííîé öåëè ïðè íå÷åòêèõ îãðàíè÷åíèÿõ [1];
ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì àëüòåðíàòèâ [2]; ñ öåëüþ, çàäàííîé íå÷åòêèì îòîáðàæå-
íèåì [2]; ñî «ñìÿã÷åííîé» öåëåâîé ôóíêöèåé è (èëè) îãðàíè÷åíèÿìè [3]; ñ íå÷åò-
êèìè êîýôôèöèåíòàìè [3]; âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè íà íå÷åòêî çàäàííîì êîìáè-
íàòîðíîì ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ [4] è äð.
 îòìå÷åííûõ ïîñòàíîâêàõ çàäà÷ ÍÌÏ íå÷åòêîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ êàê â îïèñà-
íèè öåëåâîé ôóíêöèè, òàê è ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ, íå êàñàÿñü ìíîæåñòâà îãðà-
íè÷åíèé.  íàñòîÿùåé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðî-
âàíèÿ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ËÏÐ íå ìîæåò ÷åòêî óêàçàòü, êàêèå îãðàíè÷åíèÿ èç ìíî-
æåñòâà M m� { }1 2, , ,� â äåéñòâèòåëüíîñòè äîëæíû îïðåäåëÿòü äîïóñòèìûå àëü-
òåðíàòèâû, à ìîæåò ëèøü çàäàòü ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè �( )i , i M� , íå÷åòêîãî
ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
~
M M� àêòóàëüíûõ, ïî åãî ìíåíèþ, îãðàíè÷åíèé. Áåç îãðà-
íè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ËÏÐ ìàêñèìèçèðóåò öåëåâóþ ôóíêöèþ.
Òîãäà âîçíèêàåò çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íå÷åòêèì
ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé â ñëåäóþùåé ïîñòàíîâêå:
g x( ) max� , x X� , f xi ( ) � 0, i M�
~
. (1)
Îáîçíà÷èì F x X f xi i� � �{ }| ( ) 0 ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
îãðàíè÷åíèþ ñ èíäåêñîì i M� . Òîãäà çàäà÷ó (1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
g x( ) max� , x F�
~
, (2)
ãäå
~
~
F Fi
i M
�
�
� — ìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ ïåðåñå÷åíèåì íå÷åòêîãî ïîäìíîæåñ-
òâà
~
M M� ÷åòêèõ ìíîæåñòâ Fi , i M� . Îïðåäåëèì ýòî ïîíÿòèå â ñîîòâåòñòâèè
ñ ïîäõîäîì, ïðåäëîæåííûì â [5].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 73
� Ñ.Î. Ìàùåíêî, 2013
Íà ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ X îïðåäåëèì � �i M ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè
(õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ) ÷åòêîãî ìíîæåñòâà Fi , êîòîðóþ îáîçíà÷èì
� i
i
i
x
f x
f x
( )
, ( ) ,
, ( ) .
�
�
�
�
1 0
0 0
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî F Fi
i M
�
�
,� ÿâëÿþùååñÿ ïåðåñå÷åíèåì ÷åòêîãî ìíî-
æåñòâà M ÷åòêèõ ìíîæåñòâ Fi , i M� .  ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêîé òåîðèåé
îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷åòêîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå íà X çàäàåòñÿ ôóíêöèåé ïðè-
íàäëåæíîñòè � �( ) min ( )x x
i M
i�
�
, x X� . Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè
ïðèíàäëåæíîñòè �( )x ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè àëüòåðíàòèâû x X�
ôàêòè÷åñêè îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè òðèâèàëüíîé çàäà÷è
«÷åòêîãî» ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ � ��
�
min
i M
i (â äàííîé çàïèñè íå
óêàçàíî ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå x X� ).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïåðåñå÷åíèå
~
~
F Fi
i M
�
�
� íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
M ÷åòêèõ
ìíîæåñòâ Fi , i M� . Åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå êëàññè÷åñêîé îïåðàöèè ïåðåñå÷å-
íèÿ ÷åòêîãî ìíîæåñòâà M ÷åòêèõ ìíîæåñòâ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìíîæåñòâî
~
F
çàäàåòñÿ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè
y x x
i M
i( ) min ( )~�
�
� , x X� . (3)
Î÷åâèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè y x( ) äëÿ êàæäîé ôèêñè-
ðîâàííîé àëüòåðíàòèâû x X� îïðåäåëÿåòñÿ êàê çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè çàäà-
÷è ÍÌÏ
y
i M
i�
�
min~ � (4)
(â äàííîé çàïèñè, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, íå óêàçàíî ôèêñèðîâàííîå çíà-
÷åíèå x X� ).
Çàäà÷è ÍÌÏ äîñòàòî÷íî õîðîøî èçó÷åíû. Ñîãëàñíî [2] ðåøåíèåì çàäà÷è (4)
íàçûâàåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
~ *M , íîñèòåëåì êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ (îáîçíà÷èì åãî M PO ) äâóõêðèòåðèàëüíîé
çàäà÷è äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè
� i � min, �( ) maxi � , i M� . (5)
Ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè ~� íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~ *M ÿâëÿåòñÿ ñóæåíèå
ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè �( )i , i M� , ñ óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé M íà ìíîæåñòâî M MPO � . Èíûìè ñëîâàìè, ýòà ôóíêöèÿ ïðèíàä-
ëåæíîñòè èìååò âèä
~( )
( ), ,
, .
�
�
i
i i M
i M
PO
PO
� �
�
� 0
Ìíîæåñòâó ðåøåíèé çàäà÷è (4), êîòîðûì ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
~ *M
ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè ~( )� i , i M� , ñîãëàñíî [2] ñîîòâåòñòâóåò íå÷åòêîå
ìíîæåñòâî � � { }0 1, îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé öåëåâîé ôóíêöèè ýòîé çàäà÷è
ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè � : , [ , ]{ }0 1 0 1� , � �
�
( ) max ~( ),y i
i y
�
�
y �{ }0 1, . Îòìå-
òèì, ÷òî óíèâåðñàëüíûì ìíîæåñòâîì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà � îïòèìàëüíûõ çíà-
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
÷åíèé öåëåâîé ôóíêöèè çàäà÷è (4) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî { }0 1, , ñîñòîÿùåå èç äâóõ
ýëåìåíòîâ: y � 0, y �1. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïåðåìåííàÿ y ìîæåò ïðèíèìàòü
çíà÷åíèÿ, ðàâíûå òîëüêî � i x( ), i M� , êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðè ëþáîé
ôèêñèðîâàííîé àëüòåðíàòèâå x X� ìîãóò áûòü ðàâíû íóëþ èëè åäèíèöå.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ êàæäîé ôèêñèðîâàííîé àëüòåðíàòèâû x X� çíà÷åíèÿ
y x( ) ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè (3) íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
~
F Fi
i M
�
�
� îáðàçóþò òàê-
æå íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî � óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà Y � { }0 1, . Îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
~
F ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìîå [7] íå÷åòêîå
ìíîæåñòâî òèïà 2.
Ôîðìàëèçóåì ïîíÿòèå ïåðåñå÷åíèÿ
~
~
F Fi
i M
�
�
� íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
M ÷åò-
êèõ ìíîæåñòâ Fi , i M� .
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé àëüòåðíàòèâû x X� ðàññìîòðèì îòíîøåíèå äîìèíèðîâà-
íèÿ, êîòîðîå ïîðîæäàåòñÿ öåëåâûìè ôóíêöèÿìè çàäà÷è (5) íà ìíîæåñòâå
îãðàíè÷åíèé M .
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî îãðàíè÷åíèå ñ èíäåêñîì i M� äîìèíèðóåò îãðàíè÷åíèå
ñ èíäåêñîì j M� äëÿ àëüòåðíàòèâû x X� è îáîçíà÷àòü ýòî i j
x
� , åñëè ñïðàâåäëè-
âû íåðàâåíñòâà � �i jx x( ) ( )� , � �( ) ( )i j� è õîòÿ áû îäíî èç íèõ ñòðîãîå.
Äàííîå ïîíÿòèå ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî
àëüòåðíàòèâ äâóõêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è (5), êîòîðîå áóäåò íîñèòåëåì íå÷åòêîãî
ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷è (4). Äëÿ x X� îáîçíà÷èì åãî â âèäå
M x i M j i j MPO
x
( ) |� � � � �{ }� . (6)
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ x X� , i M� îïðåäåëèì ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åò-
êîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé çàäà÷è (2):
~ ( , )
( ), ( ),
, ( ).
�
�
x i
i i M x
i M x
PO
PO
� �
�
� 0
(7)
Ïåðåñå÷åíèåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
M ÷åòêèõ ìíîæåñòâ Fi , i M� , íàçîâåì
~
~
F Fi
i M
�
�
� — íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà 2, êîòîðîå çàäàåòñÿ òðîéêàìè ( , ( , ))x x y� ,
ãäå � : [ , ]X Y� � 0 1 — íå÷åòêîå îòîáðàæåíèå, âûïîëíÿþùåå ðîëü íå÷åòêîé
ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè è îïðåäåëåííîå ñëåäóþùèì îáðàçîì:
�
� � �
�
( , )
max ~( , )| ( ) , : ( ) ,
, (
x y
x i x y i M x y
x
i M
i i
i
�
� � � �
�
{ }
0 ) ;� � �
�
� y i M
(8)
x — ýëåìåíò ìíîæåñòâà àëüòåðíàòèâ X ; y — ýëåìåíò óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñ-
òâà Y � { }0 1, çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x y íå÷åòêîãî ìíîæåñ-
òâà
~
F òèïà 2.
Çíà÷åíèÿ íå÷åòêîãî îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x y äëÿ ôèêñèðîâàí-
íîé àëüòåðíàòèâû x X0 � îáðàçóþò íå÷åòêîå ïîäìíîæåñòâî �Y x( )0 ìíîæåñòâà
Y � { }0 1, ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x y0 , y �{ }0 1, . Çíà÷åíèå �( , )x 0 1 áóäåì
ïîíèìàòü êàê ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè àëüòåðíàòèâû x X0 � ìíîæåñòâó
~
F , ñîîò-
âåòñòâåííî çíà÷åíèå �( , )x 0 0 — êàê ñòåïåíü îòñóòñòâèÿ ïðèíàäëåæíîñòè x X0 �
ýòîìó ìíîæåñòâó.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 75
 òî æå âðåìÿ, åñëè â îòîáðàæåíèè �( , )x y çàôèêñèðîâàòü y �1 , òî ïîëó÷èì
íå÷åòêîå ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ x X� , ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó
~
F , ñ ôóíêöè-
åé ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x 1 . Îáîçíà÷èì ýòî ìíîæåñòâî �X ( )1 . Àíàëîãè÷íî äëÿ
ôèêñèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ y � 0 ïîëó÷èì íå÷åòêîå ìíîæåñòâî àëüòåðíàòèâ x X� ,
íå ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó
~
F , ñ ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x 0 . Îáîçíà-
÷èì åãî �X ( )0 . Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå � �X X( ) ( )0 1� è ñîîòâåòñòâåííî
� �( , ) ( , )x x0 1 1� � . Ïîýòîìó êàê íå÷åòêîå ìíîæåñòâî �X ( )0 , òàê è �X ( )1 ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé íå÷åòêèå ìíîæåñòâà ñå÷åíèé ñîîòâåòñòâåííî ïðè y � 0 è y �1
íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
F òèïà 2 è ÿâëÿþòñÿ åãî íåîòúåìëåìûìè ñîñòàâëÿþùèìè.
Óïðîñòèòü ïîñòðîåíèå îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x y ïîçâîëÿåò ñëå-
äóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà. Ïóñòü Fi , i M� , — ÷åòêèå ìíîæåñòâà, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå X
ñîîòâåòñòâóþùèìè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè � i x( ), x X� , i M� ; �( )i ,
i M� , — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
M . Äëÿ òîãî ÷òîáû íå-
÷åòêîå ìíîæåñòâî
~
F òèïà 2, çàäàííîå îòîáðàæåíèåì ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x y ,
x X� , y �{ }0 1, , áûëî ïåðåñå÷åíèåì íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
~
M ÷åòêèõ ìíîæåñòâ Fi ,
i M� , ò.å.
~
~
F Fi
i M
�
�
� , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî äëÿ x X� :
�
� �
�
�( , )
max ( ), : ( ) ,
, ( ) ;
( )x
i i M x
x i M
i x
i
i
0
0
0 1
0�
� � �
� � �
��
�
��
�
� � �
( , )
max ( ), ( ) max ( ),
,
x
i x i j
i
i M
i
j M1
1
0
�
� � �
� �
� �
Arg
Arg max ( ) : ( ) .
j M
ij x
�
�
�
�
��
� � 0
(9)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (8) ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
�
�
( , )
max ( ), ( , ) ,
, ( , ) ,
( , )x y
i M x y
M x y
i M x y�
� �
� �
�
�
�
0
(10)
ãäå
M x y i M y x x ii
j i
j
xj
( , ) | ( ) min ( ), ( ) max
( ) ( ) (
� � � � �
�
{ � � �
� � � ) ( )
( )
��
�
i x
j }. (11)
Îòìåòèì, ÷òî èç (7), (8) î÷åâèäíî ñëåäóåò
�
� � �
�
( , )
max ( )| ( ) , : ( ) ,
,
( )x y
i x y i M x y
i M x
i i
i
PO�
� � � �
�
{ }
0 ( ) .x y i M� � �
�
�
��
(12)
Ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè (8) è (10) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü,
÷òî ôîðìóëà (12) ýêâèâàëåíòíà (10). Äëÿ ýòîãî äîêàæåì, ÷òî
M x i M x x iPO
i
j i
j
xj
( ) | ( ) min ( ), ( ) max
( ) ( ) ( )
� � � �
� �
{ � � �
� � � �
�
i x
j
( )
( )}. (13)
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ x X� , i M� âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
� � � �
� � � �
i
j i
j
x x
x x i j
j i
( ) min ( ), ( ) max ( )
( ) ( ) ( ) ( )
� �
� �
. (14)
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî i M xPO
( ). Òîãäà ñîãëàñíî (6) � �l M , äëÿ
êîòîðîãî l i
x
� , ò.å. � �l ix x( ) ( )� , � �( ) ( )l i� , èëè � �l ix x( ) ( )� , � �( ) ( )l i .
 ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî � �
� �l j i
jx x( ) min ( )
( ) ( )
�
�
, âî âòîðîì —
íåðàâåíñòâî � �
� �
( ) max ( ).
( ) ( )
l j
j ix x
�
Îáà íåðàâåíñòâà ïðîòèâîðå÷àò (14), ïîýòîìó
èìååì i M xPO� ( ).
Ïóñòü i M xPO� ( ). Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî
èç íåðàâåíñòâ: � �
� �
i
j i
jx x( ) min ( )
( ) ( )
�
èëè � �
� �
( ) max ( )
( ) ( )
i j
j ix x
�
�
.
Îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî íåðàâåíñòâà äåëàåì âûâîä, ÷òî � �l M , äëÿ êîòîðîãî
� �l ix x( ) ( )� , � �( ) ( )l i� . Òîãäà l i
x
� è ñîãëàñíî (6) i M xPO
( ).
Àíàëîãè÷íî äëÿ âòîðîãî íåðàâåíñòâà � �k M , äëÿ êîòîðîãî � �( ) ( )k i ,
� �k ix x( ) ( )� . Òîãäà k i
x
� è ñîãëàñíî (6) i M xPO
( ). Òàêèì îáðàçîì, â îáîèõ
ñëó÷àÿõ ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå, ïîýòîìó èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (13). Îòìåòèì,
÷òî äîêàçàòåëüñòâî (13) ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì êðèòåðèÿ îïòè-
ìàëüíîñòè ïî Ïàðåòî [6].
Èç (11), (13) î÷åâèäíî ñëåäóåò ðàâåíñòâî M x y M x i M xPO
i( , ) ( ) | ( )� � � �{ �
� y}, ïîýòîìó ôîðìóëà (12) ýêâèâàëåíòíà (10). Îòñþäà ôîðìóëà (8) òàêæå ýêâèâà-
ëåíòíà (10).
Òåïåðü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü
ôîðìóë (9) è (10).
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì (9) è (10) ïðè y � 0 â äâóõ âîçìîæíûõ ñëó÷àÿõ. Ïóñòü
� i x( ) �1 � �i M . Òîãäà ñîãëàñíî (9) �( , )x 0 0� . Â òî æå âðåìÿ èç (11) ñëåäóåò
M x( , )0 � �. Ïîýòîìó ñîãëàñíî (10) ïîëó÷èì �( , )x 0 0� .
Ïóñòü � � �i M xi: ( )� 0. Îïðåäåëèì èç (10) çíà÷åíèå �( , )x 0 . Äëÿ ýòîãî
â ñîîòâåòñòâèè ñ (11) ïîñòðîèì ìíîæåñòâî M x i M xi( , ) | ( )0 0� � � �{ �
� �
� �
min ( ), ( ) max ( )
( ) ( ) ( )� � �
� � �
j i
j
x
x i j
j 0
}. Ïîêàæåì, ÷òî M x j
j x
( , ) max ( )
( )
0
0
�
�
Arg
�
� .
Îáîçíà÷èì � �
�
0
0
*
( )
( ) max ( )x j
j x
�
�
. Ïóñòü i j
j x
�
�
Arg max ( )
( )�
�
0
. Òîãäà � �( ) ( )*i x� 0 è
min ( ) min min ( ), min
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*� � � � �
� �
j i
j
j x
j
j
x x
� �
� {
0 � � �
� �
0 0
0
* *( ) ( ) ( )
( ) min , min ( )
x
j
j x
jx x} { }� �
� �0 � i x( ). Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî i M x� ( , )0 .
È íàîáîðîò, ïóñòü i M x� ( , )0 . Òîãäà 0 � �
�
� �
� �
i
j i
jx x( ) min ( )
( ) ( )
è �( )i �.
� �0
* ( )x . Îòñþäà i j
j x
�
�
Arg max ( )
( )�
�
0
. Òîãäà ñîãëàñíî (9) � �( , ) *x 0 0� . Òàêèì îáðà-
çîì, ôîðìóëû (9), (10) ýêâèâàëåíòíû ïðè y � 0.
Äàëåå ñðàâíèì (9) è (10) ïðè y �1 â äâóõ âîçìîæíûõ ñëó÷àÿõ. Îáîçíà÷èì
� �1
* max ( )�
�j M
j , I j
j M
* max ( )�
�
Arg � . Ïóñòü � i x( ) �1 � �i I *. Òîãäà ñîãëàñíî (9)
� �( , ) *x 1 1� . Îïðåäåëèì çíà÷åíèå �( , )x 1 ïî ôîðìóëå (10). Äëÿ ýòîãî ïîñòðîèì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 77
â ñîîòâåòñòâèè ñ (11) ìíîæåñòâî M x i M x xi
j i
j( , ) | ( ) min ( ),
( ) ( )
1 1� � � �
�
{ � �
� �
� � � �( ) max ( ) | ( ) min ( )* *
*
i j i I x x I
j M
i
j I
j� � � � � �
� �
} { }1 . Îòñþäà ñîãëàñíî (9) �( , )x 1 �
� �1
* . Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå çíà÷åíèÿ (9) è (10) ïðè y �1ñîâïàäàþò.
Ðàññìîòðèì äðóãîé ñëó÷àé. Ïóñòü � � �i I xi
*: ( )� 0. Òîãäà ñîãëàñíî (9)
�( , )x 1 0� Îïðåäåëèì çíà÷åíèå �( , )x 1 èç (10). Íà îñíîâàíèè (11) M x( , )1 �
� � � �
�
{i M x xi
j i
j| ( ) min ( )
( ) ( )
1 � �
� �
, � � � �( ) max ( ) | ( )* *i j i I x
j M
i� � � � � �
�
1 1} {
� � � �
�
min ( )
*j I
j
x� 0} . Îòñþäà ñîãëàñíî (10) �( , )x 1 0� , ïîýòîìó ôîðìóëû (8), (9)
ýêâèâàëåíòíû ïðè y �1 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Íà îñíîâàíèè èçëîæåííîãî î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî
~
F äîïóñòèìûõ àëüòåð-
íàòèâ çàäà÷è (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå÷åòêîå ìíîæåñòâî òèïà 2, êîòîðîå çàäàåò-
ñÿ îòîáðàæåíèåì ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x y , x X� , y �{ }0 1, , ãäå
�
�
( , )
max ( ), : ( ) ,
, ( ) ,
( )x
i i M f x
f x i M
f x
i
i
i0
0
0 0
0�
� �
� � �
�
�
��
(15)
ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ íåäîïóñòèìîñòè àëüòåðíàòèâû x X� ;
�
� �
( , )
max ( ), ( ) max ( ),
,
x
i f x i i
i
i M
i
i M
1
0
0
�
� � �
� �
� �
Arg
Arg max ( ): ( ) ,
i M
ii f x
�
�
�
��
� 0
(16)
ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ åå äîïóñòèìîñòè.
×òîáû îïðåäåëèòü, êàêèì îáðàçîì ËÏÐ ìîæåò èñïîëüçîâàòü íå÷åòêîå ìíî-
æåñòâî òèïà 2 äëÿ ðàöèîíàëüíîãî âûáîðà àëüòåðíàòèâ â çàäà÷å (1), ðàññìîòðèì
«èäåàëüíûé ñëó÷àé». Ïðåäïîëîæèì, ËÏÐ ìîæåò ÷åòêî ñêàçàòü, ÷òî âñå îãðàíè÷å-
íèÿ èç ìíîæåñòâà M m� { }1 2, , ,� àêòóàëüíû, ò.å.
~
M M� , è ïîýòîìó ôóíêöèÿ
ïðèíàäëåæíîñòè �( )i �1 .
Âûáåðåì íåêîòîðóþ àëüòåðíàòèâó x X� è ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f xi ( ) � 0 � �i M , ò.å. àëüòåðíàòèâà x äîïóñòèìà. Òîãäà
ñîãëàñíî (15), (16) ñòåïåíü åå íåäîïóñòèìîñòè �( , )x 0 0� , à ñòåïåíü äîïóñòèìîñòè
� �( , ) max ( ) .x i
i M
1 1� �
�
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � � j M f xj: ( ) 0, ò.å. àëüòåðíàòèâà x íåäîïóñòèìà. Òîãäà
ñòåïåíü åå íåäîïóñòèìîñòè � �( , ) max ( ) ,
( )
x i
f xi
0 1
0
� �
à ñòåïåíü äîïóñòèìîñòè
�( , )x 1 0� .
Òàêèì îáðàçîì, åñëè x * — ðåøåíèå çàäà÷è (1), òî � �( , ) max ( , )*
~
x x
x F
1 1 1� �
�
,
� �( , ) min ( , )*
~
x x
x F
0 0 0� �
�
.
Ïîýòîìó ËÏÐ, ñòðåìÿñü ê «èäåàëüíîìó ñëó÷àþ», â ðåàëüíîé ñèòóàöèè ïðè-
íÿòèÿ ðåøåíèÿ áóäåò ìàêñèìèçèðîâàòü ïîìèìî öåëåâîé ôóíêöèè g x( ) òàêæå ñòå-
ïåíü �( , )x 1 äîïóñòèìîñòè àëüòåðíàòèâ è ìèíèìèçèðîâàòü ñòåïåíü �( , )x 0 èõ
íåäîïóñòèìîñòè.
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 79
Èíûìè ñëîâàìè, ïåðåä ËÏÐ âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ òðåõêðèòåðèàëüíàÿ çàäà÷à:
g x x x x X( ) , ( , ) , ( , ) ,� � � �max max min� �1 0 . (17)
Îáîçíà÷èì PO ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ äàííîé çàäà÷è.
Î÷åâèäíî, ÷òî â îïðåäåëåíèå ðàöèîíàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1) ñëåäóåò
âêëþ÷àòü ëèøü àëüòåðíàòèâû èç ìíîæåñòâà PO. Ýòè ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò
ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.
Îïðåäåëåíèå. Îáùèì ðåøåíèåì çàäà÷è (1) ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðî-
âàíèÿ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé íàçîâåì íå÷åòêîå ìíîæåñ-
òâî
~ *F òèïà 2 ñ îòîáðàæåíèåì ïðèíàäëåæíîñòè
�
�
*( , )
( , ), ,
, ,
x y
x y x PO
x PO
�
�
�
� 0
ãäå x X� , y Y� � { }0 1, .
Êîíêðåòíóþ àëüòåðíàòèâó äëÿ ËÏÐ ìîæíî âûáðàòü ñ ïîìîùüþ ëþáîãî èç
ìåòîäîâ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, ðåøèâ çàäà÷ó (17).
Ïîñêîëüêó ôóíêöèè �( , )x 0 è �( , )x 1 äîñòàòî÷íî ñëîæíû, íåñêîëüêî óïðîñ-
òèì çàäà÷ó (17). Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâà
PO-îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ.
Îáîçíà÷èì F è X *ìíîæåñòâî ñîîòâåòñòâåííî äîïóñòèìûõ è îïòèìàëüíûõ
àëüòåðíàòèâ çàäà÷è, â êîòîðîé, ïî ìíåíèþ ËÏÐ, âñå îãðàíè÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà M
àêòóàëüíû è îïðåäåëÿþò äîïóñòèìûå àëüòåðíàòèâû (ò.å. ìíîæåñòâî èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé ÷åòêîå è ðàâíî M ):
g x( ) max� , x X� , f xi ( ) � 0, i M� . (18)
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ çà-
äà÷è (1) ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé íåñðàâíèìî ñ ìíîæåñòâîì äîïóñòèìûõ àëüòåðíàòèâ çàäà÷è (18), èç
(15), (16) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî.
Ñâîéñòâî 1 . Ëþáàÿ àëüòåðíàòèâà x * èç ìíîæåñòâà F äîïóñòèìûõ àëüòåðíà-
òèâ çàäà÷è (18) èìååò â çàäà÷å (17) íàèëó÷øèå çíà÷åíèÿ ñòåïåíåé: äîïóñòèìîñòè
�( , )*x 1 è íåäîïóñòèìîñòè �( , )*x 0 , ò.å. � �( , ) max ( )*x i
i M
1 �
�
, �( , )*x 0 0� � �x F* .
Îòñþäà âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî.
Ñâîéñòâî 2. Ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé çàäà÷è (18) âêëþ÷àåòñÿ âî
ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ çàäà÷è (17), ò.å. X PO* � .
Èç ýòèõ ñâîéñòâ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ËÏÐ óäîâëåòâîðåíî îïòèìàëüíûì çíà÷å-
íèåì öåëåâîé ôóíêöèè g x( )* , x X* *� , çàäà÷è (18) ñ ÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåê-
ñîâ îãðàíè÷åíèé M , òî àëüòåðíàòèâà x X* *� îïòèìàëüíà ïî Ïàðåòî â çàäà-
÷å (17). Ïðè ýòîì îíà áóäåò èìåòü íàèëó÷øèå çíà÷åíèÿ ñòåïåíåé: äîïóñòèìîñòè
�( , )*x 1 è íåäîïóñòèìîñòè �( , )*x 0 . Òàêèì îáðàçîì, ðåøèâ çàäà÷ó (18) ñ ÷åòêèì
ìíîæåñòâîì îãðàíè÷åíèé M , ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1) ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèé öåëåâîé ôóíêöèè çàäà÷è (1) áîëüøèõ, ÷åì g x( )* ,
x X* *� , ìîæíî èñïîëüçîâàòü äâóõêðèòåðèàëüíóþ çàäà÷ó
g x x f x i I i x Xi
i M
( ) max; ( , ) min; ( ) , max ( );*� � � � � �
�
� �0 0 Arg . (19)
Îáîçíà÷èì PO1 ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ äàííîé çàäà÷è.
Ñâîéñòâî 3. Ìíîæåñòâî PO1 îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ çàäà-
÷è (19) âêëþ÷àåòñÿ âî ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâ çàäà-
÷è (17), ò.å. PO PO1 � .
Îòìåòèì, ÷òî â çàäà÷å (19) îòñóòñòâóþò àëüòåðíàòèâû çàäà÷è (17), èìåþùèå
íàèõóäøåå èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé max ( )
i M
i
�
� êðèòåðèàëüíîé ôóíêöèè �( , )x 0 .
Åñëè ýòî ïðèåìëåìî, òî ËÏÐ ïîëó÷èò äëÿ âñåõ àëüòåðíàòèâ çàäà÷è (19) ìàêñè-
ìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå max ( )
i M
i
�
� êðèòåðèàëüíîé ôóíêöèè �( , )x 1 . Òàêèì îá-
ðàçîì, çàäà÷à (19) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëîãè÷íûì óïðîùåíèåì çàäà÷è (17).
Êðèòåðèàëüíóþ ôóíêöèþ (15) �( , )x 0 â çàäà÷å (19) ìîæíî óïðîñòèòü äî âèäà
� �( , ) max ( )| ( )x i f x
i M
i0 0�
�
{ }, åñëè èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ àëüòåðíàòèâû,
äîïóñòèìûå â çàäà÷å (18) (ìíîæåñòâî F ). Ýòî âîçìîæíî, åñëè ËÏÐ ðåøèò ïîëó-
÷èòü â çàäà÷å (1) ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì îãðàíè÷åíèé çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíê-
öèè g x( ) áîëüøåå (÷òî åñòåñòâåííî), ÷åì â ñëó÷àå ÷åòêîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé M , ò.å. g x g x( ) ( )* . Òîãäà çàäà÷à (19) ìîæåò áûòü óïðîùåíà äî
ñëåäóþùåãî âèäà:
g x( ) max� ; max ( )| ( ) ; ( ) , ; ( ) ( );* *
i M
i ii f x f x i I g x g x x
�
� � � { } min� 0 0 � X .(20)
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåííûé ìåòîä íå òîëüêî ðàñøèðÿåò îá-
ëàñòü ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íà ñëó÷àé íå÷åòêîãî ìíî-
æåñòâà èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé, íî è ïðåäïîëàãàåò íîâûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ÷åò-
êèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íåñîâìåñòíîé ñèñòåìîé îãðà-
íè÷åíèé, ñóòü êîòîðîãî çàêëþ÷àåòñÿ â ôàççèôèêàöèè ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé çàäà÷è.
ÏÐÈÌÅÐ
Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ðåøèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ìàòåìà-
òè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íå÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé:
g x x x( ) max� � �1 2 , f x x x1 1 22 3 0( ) � � � � ,
f x x x2 1 22 4 0( ) � � � � , x X� � �{ } { }0 1 0 1 2 3, , , , .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ËÏÐ íå çíàåò, êàêèå îãðàíè÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé M � { }1 2, â äåéñòâèòåëüíîñòè äîëæíû îïðåäåëÿòü äîïóñòèìûå àëü-
òåðíàòèâû, à ìîæåò òîëüêî çàäàòü ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè �( ) ,1 0 7� ; �( ) ,2 0 4�
íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà èíäåêñîâ
~
M M� àêòóàëüíûõ, ïî åãî ìíåíèþ,
îãðàíè÷åíèé.
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû: çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ x1 0 1�{ }, , x2 0 1 2 3�{ }, , , ; çíà÷å-
íèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé îãðàíè÷åíèé
�1
1 2
1 2
1 2 3 0
0 2 3 0
( )
, ,
, ,
x
x x
x x
�
� � �
� �
�
�
�2
1 2
1 2
1 2 4 0
0 2 4 0
( )
, ,
, ;
x
x x
x x
�
� � �
� �
�
�
çíà÷åíèÿ �( , )x 0 , �( , )x 1 , x X� , îòîáðàæåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íå÷åòêîãî ìíî-
æåñòâà
~
F òèïà 2; çíà÷åíèÿ öåëåâîé ôóíêöèè g x( ), x X� .
 ñòðîêàõ 1–3, 5, 6 òàáëèöû ïðåäñòàâëåíû äîïóñòèìûå àëüòåðíàòèâû,
à â ñòðîêàõ 3 è 6 — îïòèìàëüíûå àëüòåðíàòèâû, äîñòàâëÿþùåå ìàêñèìàëüíîå
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
çíà÷åíèå 2 öåëåâîé ôóíêöèè g x( ) çàäà÷è (18) ñ ÷åòêèì ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ
îãðàíè÷åíèé M .
Îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (1) ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íå÷åòêèì
ìíîæåñòâîì èíäåêñîâ îãðàíè÷åíèé (íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
~ *F òèïà 2), êîòîðîå
îïðåäåëÿåòñÿ îïòèìàëüíûìè ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâàìè ìíîæåñòâà PO çàäà-
÷è (17), çàïèñàíî â ñòðîêàõ 3, 4, 6, 8. Êðîìå äîïóñòèìûõ â çàäà÷å (18) àëüòåðíàòèâ
â ñòðîêàõ 4 è 8 ïðèâåäåíû íåäîïóñòèìûå àëüòåðíàòèâû ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè
ñòåïåíåé ïðèíàäëåæíîñòè �( , )x 0 , �( , )x 1 . Îíè îáåñïå÷èâàþò ñîîòâåòñòâåííî çíà÷å-
íèÿ 3 è 4 öåëåâîé ôóíêöèè g x( ). ËÏÐ ìîæåò âûáðàòü êîíêðåòíóþ àëüòåðíàòèâó èç
ìíîæåñòâà PO â çàâèñèìîñòè îò ñâîåãî ïðåäïî÷òåíèÿ íà ìíîæåñòâå êðèòåðèåâ çà-
äà÷è (17) ñ ïîìîùüþ ëþáîãî èç ìåòîäîâ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè.
Äîïóñòèìûå àëüòåðíàòèâû äâóõêðèòåðèàëüíîé çàäà÷è (19) ïðåäñòàâëåíû
â ñòðîêàõ 1–6. Èç íèõ îïòèìàëüíû ïî Ïàðåòî (ìíîæåñòâî PO1) àëüòåðíàòèâû
â ñòðîêàõ 3, 4, 6. Çàäà÷à (19) ïðîùå ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, ÷åì (17), íî
àëüòåðíàòèâà, ïðåäñòàâëåííàÿ â ñòðîêå 6, â íåé íåäîïóñòèìà. Ñ îäíîé ñòîðîíû,
îíà èìååò íàèõóäøåå çíà÷åíèå 0,7 ñòåïåíè íåäîïóñòèìîñòè �( , )x 0 , ñ äðóãîé —
îáåñïå÷èâàåò íàèëó÷øåå çíà÷åíèå 4 öåëåâîé ôóíêöèè g x( ).
Äîïóñòèìûå àëüòåðíàòèâû íàèáîëåå ïðîñòîé çàäà÷è (20) ïðèâåäåíû â ñòðî-
êàõ 4, 6. Èç íèõ îïòèìàëüíàÿ ïî Ïàðåòî àëüòåðíàòèâà çàïèñàíà â ñòðîêå 4.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî àëüòåðíàòèâà èñõîäíîé çàäà÷è èç ñòðîêè 4, êîòîðóþ
ìîæíî ïîëó÷èòü, ðåøèâ êàê çàäà÷ó (19), òàê è (20), ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü äëÿ ËÏÐ
ðàçóìíûé êîìïðîìèññ ìåæäó íàèëó÷øèìè çíà÷åíèÿìè öåëåâîé ôóíêöèè g x( ), ñòå-
ïåíÿìè äîïóñòèìîñòè �( , )x 1 è íåäîïóñòèìîñòè �( , )x 0 àëüòåðíàòèâ â çàäà÷å (17).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B e l l m a n R . Decision making in a fuzzy environment / R. Bellman, L.A. Zadeh // Manag. Sci. — 1970.
— 17. — P. 141–162.
2. Î ð ë î â ñ ê è é Ñ . À . Ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íå÷åòêîé èñõîäíîé èíôîðìàöèè — Ì.:
Íàóêà. Ãë. ðåä. ôèç.-ìàò. ëèò., 1981. — 208 ñ.
3. Ç à é ÷ å í ê î Þ . Ï . Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé: Íå÷åòêàÿ îïòèìèçàöèÿ: Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ê.: Âèùà
øê., 1991. — 191 ñ.
4. Ñ å ì å í î â à Í .  . , Ê î ë å ÷ ê è í à Ë . Í . , Í à ã î ð í à ÿ À . Í . Âåêòîðíûå çàäà÷è îïòèìèçàöèè
ñ ëèíåéíûìè êðèòåðèÿìè íà íå÷åòêî çàäàííîì êîìáèíàòîðíîì ìíîæåñòâå àëüòåðíàòèâ //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 2. — Ñ. 77–87.
5. Ì à ù å í ê î Ñ . Î . Íå÷åòêèå èíäèâèäóàëüíî-îïòèìàëüíûå ðàâíîâåñèÿ // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñëè-
òåëüíàÿ òåõíèêà. — 2010. — Âûï. 159. — Ñ. 19–29.
6. Ï î ä è í î â ñ ê è é Â . Â . , Í î ã è í Â . Ä . Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çàäà÷.
— 2-å èçä., èñïð. è äîï. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2007. — 255 ñ.
7. Ç à ä å Ë . À . Îñíîâû íîâîãî ïîäõîäà ê àíàëèçó ñëîæíûõ ñèñòåì è ïðîöåññîâ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé //
Ìàòåìàòèêà ñåãîäíÿ. — Ì.: Çíàíèå, 1974. — C. 5–49.
Ïîñòóïèëà 17.02.2011
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 81
Íîìåð
ñòðîêè
x1
x2 �1 ( )x �2 ( )x �( , )x 0 �( , )x 1 g x( )
1 0 0 1 1 0 0,7 0
2 0 1 1 1 0 0,7 1
3 0 2 1 1 0 0,7 2
4 0 3 1 0 0,4 0,7 3
5 1 0 1 1 0 0,7 1
6 1 1 1 1 0 0,7 2
7 1 2 0 0 0,7 0 3
8 1 3 0 0 0,7 0 4
Ò à á ë è ö à 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86166 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:41:20Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мащенко, С.О. 2015-09-08T18:08:04Z 2015-09-08T18:08:04Z 2013 Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений / С.О. Мащенко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 73-81. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86166 519.8 Запропоновано метод розв язку задачі математичного програмування з нечіткою множиною індексів обмежень. Побудовано відображення приналежності нечіткої множини типу 2, яка є множиною її допустимих альтернатив. Досліджено властивості цієї множини і розглянуто задачі вибору раціональних рішень. The author proposes a method to solve a mathematical programming problem with a fuzzy set of the indices of constraints. A mapping of belonging of a fuzzy set of type 2 is constructed, which is the set of its feasible alternatives. The properties of this set are analyzed and problems of the choice of rational decisions are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений Задача математичного програмування з нечіткою множиною індексів обмежень A mathematical programming problem with the fuzzy set of indices of constraints Article published earlier |
| spellingShingle | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений Мащенко, С.О. Системный анализ |
| title | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений |
| title_alt | Задача математичного програмування з нечіткою множиною індексів обмежень A mathematical programming problem with the fuzzy set of indices of constraints |
| title_full | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений |
| title_fullStr | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений |
| title_full_unstemmed | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений |
| title_short | Задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений |
| title_sort | задача математического программирования с нечетким множеством индексов ограничений |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86166 |
| work_keys_str_mv | AT maŝenkoso zadačamatematičeskogoprogrammirovaniâsnečetkimmnožestvomindeksovograničenii AT maŝenkoso zadačamatematičnogoprogramuvannâznečítkoûmnožinoûíndeksívobmeženʹ AT maŝenkoso amathematicalprogrammingproblemwiththefuzzysetofindicesofconstraints |