Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий
Розглянуто стійкість в середньому квадратичному для інваріантних многовидів нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь. Аналіз стохастичної стійкості зведено до оцінки спектрального радіусу деякого позитивного оператора. Для важливого випадку многовидів одиничної корозмірності виконано конструк...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86167 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий / Л.Б. Ряшко, И.А. Башкирцева // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 82-90. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86167 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ряшко, Л.Б. Башкирцева, И.А. 2015-09-08T18:09:43Z 2015-09-08T18:09:43Z 2013 Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий / Л.Б. Ряшко, И.А. Башкирцева // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 82-90. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86167 531.36 Розглянуто стійкість в середньому квадратичному для інваріантних многовидів нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь. Аналіз стохастичної стійкості зведено до оцінки спектрального радіусу деякого позитивного оператора. Для важливого випадку многовидів одиничної корозмірності виконано конструктивний спектральний аналіз цього оператора. На основі спектрального методу отримано параметричний критерій стохастичної стійкості циклу і 2-тора. The mean square stability for invariant manifolds of nonlinear stochastic differential equations is considered. The stochastic stability analysis is reduced to the estimation of the spectral radius of some positive operator. For the important case of manifolds with codimension one, a constructive spectral analysis of this operator is carried out. On the basis of this spectral technique, parametrical criteria of the stochastic stability of limit cycle and 2-torus are developed. Работа частично поддержана АВЦП (грант 1.1099.2011) и ФЦП (грант 14.А18.21.0364). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий Спектральний критерій стохастичної стійкості інваріантних многовидів A spectral criterion of stochastic stability for invariant manifolds Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий |
| spellingShingle |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий Ряшко, Л.Б. Башкирцева, И.А. Системный анализ |
| title_short |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий |
| title_full |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий |
| title_fullStr |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий |
| title_full_unstemmed |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий |
| title_sort |
спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий |
| author |
Ряшко, Л.Б. Башкирцева, И.А. |
| author_facet |
Ряшко, Л.Б. Башкирцева, И.А. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Спектральний критерій стохастичної стійкості інваріантних многовидів A spectral criterion of stochastic stability for invariant manifolds |
| description |
Розглянуто стійкість в середньому квадратичному для інваріантних многовидів нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь. Аналіз стохастичної стійкості зведено до оцінки спектрального радіусу деякого позитивного оператора. Для важливого випадку многовидів одиничної корозмірності виконано конструктивний спектральний аналіз цього оператора. На основі спектрального методу отримано параметричний критерій стохастичної стійкості циклу і 2-тора.
The mean square stability for invariant manifolds of nonlinear stochastic differential equations is considered. The stochastic stability analysis is reduced to the estimation of the spectral radius of some positive operator. For the important case of manifolds with codimension one, a constructive spectral analysis of this operator is carried out. On the basis of this spectral technique, parametrical criteria of the stochastic stability of limit cycle and 2-torus are developed.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86167 |
| citation_txt |
Спектральный критерий стохастической устойчивости инвариантных многообразий / Л.Б. Ряшко, И.А. Башкирцева // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 82-90. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT râškolb spektralʹnyikriteriistohastičeskoiustoičivostiinvariantnyhmnogoobrazii AT baškircevaia spektralʹnyikriteriistohastičeskoiustoičivostiinvariantnyhmnogoobrazii AT râškolb spektralʹniikriteríistohastičnoístíikostíínvaríantnihmnogovidív AT baškircevaia spektralʹniikriteríistohastičnoístíikostíínvaríantnihmnogovidív AT râškolb aspectralcriterionofstochasticstabilityforinvariantmanifolds AT baškircevaia aspectralcriterionofstochasticstabilityforinvariantmanifolds |
| first_indexed |
2025-11-26T15:10:45Z |
| last_indexed |
2025-11-26T15:10:45Z |
| _version_ |
1850627665574232064 |
| fulltext |
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
ÓÄÊ 531.36
Ë.Á. ÐßØÊÎ, È.À. ÁÀØÊÈÐÖÅÂÀ
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÛÉ ÊÐÈÒÅÐÈÉ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÛÕ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈÉ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ, ñòîõàñòè÷åñêàÿ óñòîé÷è-
âîñòü, ñïåêòðàëüíûé êðèòåðèé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìíîãèå ÿâëåíèÿ íåëèíåéíîé äèíàìèêè, íàáëþäàåìûå ïðè ïåðåõîäå îò ïîðÿäêà
ê õàîñó, ÷àñòî ñâÿçàíû ñ öåïüþ ðåæèìîâ áèôóðêàöèé: ñòàöèîíàðíûé (òî÷êà ðàâíî-
âåñèÿ) – ïåðèîäè÷åñêèé (ïðåäåëüíûé öèêë) – êâàçèïåðèîäè÷åñêèé (òîð) – õàîòè÷åñ -
êèé (ñòðàííûé àòòðàêòîð). Êîìïàêòíûå èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿþòñÿ îá-
ùåé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ äèíàìè÷åñêèõ ðåæèìîâ
è ïåðåõîäîâ ìåæäó íèìè. Êàæäûé òàêîé ïåðåõîä ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòåðåé óñòîé÷è-
âîñòè ïðîñòîãî ìíîãîîáðàçèÿ è ðîæäåíèåì íîâîãî, áîëåå ñëîæíîãî, óñòîé÷èâîãî
ìíîãîîáðàçèÿ. Àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðà-
çèé — êëþ÷ äëÿ ïîíèìàíèÿ ñëîæíîãî ïîâåäåíèÿ íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.
Èññëåäîâàíèå êîìïàêòíûõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì ïðèâëåêàåò âíèìàíèå ìíîãèõ ó÷åíûõ. Ðåçóëüòàòû àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè
ìíîãîîáðàçèé ïðè ìàëûõ âîçìóùåíèÿõ è òîïîëîãè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ñîâïàäàþùèõ íà ìíîãîîáðàçèè, ïðåäñòàâëåíû â [1–5].
 òåîðèè ñëó÷àéíûõ ñèñòåì ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå òèïû ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé-
÷èâîñòè. Îäíèì èç âàæíåéøèõ íàïðàâëåíèé àíàëèçà óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿåòñÿ òåõ-
íèêà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ ìíîãèìè àâòîðàìè äëÿ èçó÷åíèÿ
ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèé (ñì., íàïðèìåð, [6–11]).
Ìåòîä îðáèòàëüíûõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàçèïîòåíöèàëà
ïðèìåíåí â àíàëèçå óñòîé÷èâîñòè è ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñòîõàñòè÷åñêè âîçìóùåí-
íûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ [12, 13]. Íà îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ïîñòðîåíî äåòàëüíîå âå-
ðîÿòíîñòíîå îïèñàíèå ñòîõàñòè÷åñêèõ àòòðàêòîðîâ â çîíå áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ
ïåðèîäà, à òàêæå ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå âûçâàííûõ øóìîì ïåðåõîäîâ [14, 15].
Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïðåäñòàâèòü íîâûé îáùèé ñïåêòðàëüíûé êðèòåðèé
ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì (ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè) äëÿ
ñòîõàñòè÷åñêè âîçìóùåííûõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé íåëèíåéíûõ ñèñòåì.
Äàëåå ïðèâåäåíû íåîáõîäèìûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ èç [16, 17], ââåäåíû
ïîíÿòèå ñèñòåì ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ äëÿ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé äåòåð-
ìèíèðîâàííûõ ñèñòåì è òåðìèí Ð-óñòîé÷èâîñòè.
Èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü ïóòåì àíàëèçà ðàçðåøèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî
ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ Ëÿïóíîâà âåñüìà òðóäíî, îñîáåííî â ñëó÷àÿõ, áëèçêèõ
ê êðèòè÷åñêèì. Ýôôåêòèâíûå êðèòåðèè ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâå-
ñèÿ äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïîëó÷åíû â [18, 19]
ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïåêòðàëüíîé òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ [20] äëÿ àíà-
ëèçà ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè îáùèõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé. Íàéäåí ïàðàìåòðè-
÷åñêèé êðèòåðèé ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè. Ñòîõàñòè÷åñêèé àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ñâå-
äåí ê îöåíêå ñïåêòðàëüíîãî ðàäèóñà íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî îïåðàòîðà.
Äàí ïîäðîáíûé ñïåêòðàëüíûé àíàëèç ýòîãî îïåðàòîðà äëÿ âàæíîãî ñëó÷àÿ
ìíîãîîáðàçèÿ åäèíè÷íîé êîðàçìåðíîñòè. Ðàçðàáîòàííàÿ îáùàÿ òåîðèÿ ïðè-
ìåíåíà ïðè èññëåäîâàíèè ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ
ïðåäåëà è èíâàðèàíòíûõ òîðîâ. Ïðåäñòàâëåíû ÿâíûå ïàðàìåòðè÷åñêèå êðèòåðèè.
1
Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà ÀÂÖÏ (ãðàíò 1.1099.2011) è ÔÖÏ (ãðàíò 14.À18.21.0364).
� Ë.Á. Ðÿøêî, È.À. Áàøêèðöåâà, 2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 83
ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÛÕ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈÉ
Ðàññìîòðèì àâòîíîìíóþ íåëèíåéíóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé
dx f x dt x n� �( ) , R , (1)
ãäå f x( ) — äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèñ-
òåìà (1) èìååò ãëàäêîå êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M n� R [1, 2, 5].
Äëÿ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè U ìíîãîîáðàçèÿ M ôóíêöèÿ èìååò âèä
� �( ) min | | – | | , ( ) ( )x x y x x xy M� � ��arg � ,
ãäå | | | |� — åâêëèäîâà íîðìà, � ( )x — áëèæàéøàÿ ê x òî÷êà ìíîãîîáðàçèÿ M ,
� ( ) ( )x x x� � � — âåêòîð îòêëîíåíèÿ x îò M . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îêðåñòíîñòü U
èíâàðèàíòíà äëÿ (1). Ôóíêöèÿ � ( )x â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ìíîãîçíà÷íîé.
Ðàññìîòðèâàÿ âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè, îêðåñòíîñòü U ìîæíî ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íî ìà-
ëîé. Ïðè ýòîì ôóíêöèè � ( )x è � ( )x áóäóò â U îäíîçíà÷íûìè è ãëàäêèìè.
Îïðåäåëåíèå 1. Èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëü-
íî óñòîé÷èâûì (Ý-óñòîé÷èâûì) äëÿ ñèñòåìû (1) â U , åñëè ïðè íåêîòîðûõ K 0,
l 0 äëÿ âñåõ t 0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå | | ( ( ))| | | | ( )| |� �x t Ke xlt2
0
2
� , ãäå x t( ) —
ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x x U( )0 0� � .
 êëàññè÷åñêîé äåòåðìèíèðîâàííîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèé è ïðåäåëü-
íûõ öèêëîâ èñïîëüçóþòñÿ êîíñòðóêöèè ñèñòåì ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, â êà÷åñòâå êîòî-
ðûõ äëÿ îáùèõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé ïðèìåíÿþòñÿ ëèíåéíûå ðàñøèðåíèÿ [3, 4].
Äëÿ (1) ñèñòåìà ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ èìååò âèä
dx f x dt x M
dz F x zdt z n
� �
� �
( ) , ,
( ) , ,R
(2)
ãäå F x
f
x
x( ) ( )�
�
�
.
Äëÿ êàæäîãî x M� îáîçíà÷èì Tx êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ê M â x, à N x
îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê Tx â R n . Åñëè dim M s� , òî dim T sx � è
dim N n sx � � . Ïóñòü Px ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì îðòîãîíàëüíîãî äîïîëíåíèÿ íà
ïîäïðîñòðàíñòâî N x .
Ââåäåì ïðîñòðàíñòâî � ñèììåòðè÷åñêèõ n n
-ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé V x( ),
îïðåäåëåííûõ è äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ íà M ñ óñëîâèåì
� � � � �x M z T V x zx, ( ) 0 . (3)
Äëÿ ýëåìåíòîâ V �� âñëåäñòâèå (3) èìååì rank V x n s( )
� .
Îïðåäåëåíèå 2. Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ V x( ) �� íàçûâàåòñÿ P-ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåííîé, åñëè
� � � � � � x M z P z z V x zn
x, ( , ( ) )R 0 0 .
 ïðîñòðàíñòâå � ðàññìîòðèì êîíóñ K V V x� �{ � | ( ) íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåí-
íàÿ ïðè âñåõ x M� } è ìíîæåñòâî K V VP � �{ � | — P-ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ}.
Îïðåäåëåíèå 3. Ñèñòåìà ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ (2) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëü-
íî P-óñòîé÷èâîé (äàëåå P-óñòîé÷èâîé), åñëè ñóùåñòâóþò K 0, l 0 òàêèå, ÷òî
| | ( )| | | | | |( )P z t Ke P zx t
lt
x
2
0
2
0
� ïðè ëþáîì t 0 , ãäå ( ( ), ( ))x t z t ÿâëÿåòñÿ ðåøåíè-
åì ñèñòåìû (2) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì ( ( ), ( )) ( , )x z x z0 0 0 0� , x M0 � , z n
0 �R .
Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íûé îïåðàòîð Ëÿïóíîâà A, çàäàííûé ôîðìóëîé
A V f
V
x
F V VF[ ] ,�
�
�
�
�
�
�
�
�� �T . (4)
Çàìå÷àíèå 1. Çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà f
V
x
,
�
�
�
�
�
�
�
� äëÿ V � � â òî÷êàõ ìíîãîîáðàçèÿ
M ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ôóíêöèèV x( ) íà M . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ x t M( ) � ñèñòåìû (1) èìååì
f x t
V
x
x t
d
dt
V x t( ( )), ( ( )) ( ( ))
�
�
�
�
�
�
�
� � .
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà èç [16], êîòîðàÿ ñâîäèò çàäà÷ó ýêñïî-
íåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ìíîãîîáðàçèÿ ê àíàëèçó ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè
óðàâíåíèÿ Ëÿïóíîâà.
Òåîðåìà 1. Ýêâèâàëåíòíû cëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
— êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M ñèñòåìû (1) ÿâëÿåòñÿ
Ý-óñòîé÷èâûì;
— ñèñòåìà (2) ÿâëÿåòñÿ P-óñòîé÷èâîé;
— äëÿ ëþáîãî W KP� ñóùåñòâóåò V KP� , óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ
A V W[ ] � � .
Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü.
Ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ ïðè àíàëèçå óñòîé÷èâîñòè äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòå-
ìû (1) ê âîçäåéñòâèþ ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà ñòîõàñòè÷åñêèõ
óðàâíåíèé Èòî [8]:
dx f x dt x dw tr r
r
m
� �
�
�( ) ( ) ( )�
1
, (5)
ãäå w tr ( ) ( , , )r m�1 � — íåçàâèñèìûå ñòàíäàðòíûå âèíåðîâñêèå ïðîöåññû,
f x( ) è � r x( ) — äîñòàòî÷íî ãëàäêèå âåêòîð-ôóíêöèè. ×òîáû ìíîãîîáðàçèå
M îñòàâàëîñü èíâàðèàíòíûì è äëÿ ñèñòåìû (5), ïðèìåì
� r M| � 0. (6)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îêðåñòíîñòüU èíâàðèàíòíà è äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû (5).
Îïðåäåëåíèå 4. Èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëü-
íî óñòîé÷èâûì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì (ÝÑÊ-óñòîé÷èâûì) äëÿ ñèñòåìû (5) â U ,
åñëè ïðè íåêîòîðûõ K 0, l 0 äëÿ âñåõ t 0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
E| | E| |� �( ( ))| | ( )| |x t Ke xlt2
0
2
� , ãäå x t( ) — ðåøåíèå ñèñòåìû (5) ñ íà÷àëüíûì
óñëîâèåì x x U( )0 0� � .
Ñòîõàñòè÷åñêèì ëèíåéíûì ðàñøèðåíèåì äëÿ íåëèíåéíîé ñòîõàñòè÷åñêîé
ñèñòåìû (5) ñ èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì M ÿâëÿåòñÿ
dx f x dt x M
dz F x zdt S x zdw t zr r
r
m
n
� �
� � �
�
�
( ) , ,
( ) ( ) ( ), .
1
R
(7)
Çäåñü F x
f x
x
( )
( )
�
�
�
, S x
x
x
r
r( )
( )
�
�
�
�
.
Âñëåäñòâèå (6) ìàòðè÷íûå ôóíêöèè S xr ( ) ñèíãóëÿðíû:
� �x M , � �z Tx S x zr ( ) � 0. (8)
Îïðåäåëåíèå 5. Ñòîõàñòè÷åñêîå ëèíåéíîå ðàñøèðåíèå (7) íàçûâàåòñÿ ýêñïî-
íåíöèàëüíî P-óñòîé÷èâûì â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì (P-óñòîé÷èâûì), åñëè ïðè
íåêîòîðûõ K 0, l 0 äëÿ âñåõ t 0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
E| | E| |P z t Ke P zx t
lt
x( ) ( )| | | |2
0
2
0
� ,
ãäå ( ( ), ( ))x t z t — ðåøåíèå (7) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ( ( ), ( )) ( , )x z x z0 0 0 0� ,
x M0 � , z n
0 �R .
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Äëÿ ñèñòåìû (7) ðàññìîòðèì îïåðàòîð Ëÿïóíîâà L:
L V f
V
x
F V VF S VSr r
r
m
[ ] ,�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�T T
1
. (9)
Ðàññìîòðèì òåîðåìó, óñòàíàâëèâàþùóþ ýêâèâàëåíòíîñòü ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñ-
òè ñòîõàñòè÷åñêè âîçìóùåííûõ ìíîãîîáðàçèé è ïðîáëåìû ðàçðåøèìîñòè ñî-
îòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ Ëÿïóíîâà.
Òåîðåìà 2. Ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:
— êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M ñèñòåìû (5) ÿâëÿåòñÿ
ÝÑÊ-óñòîé÷èâûì;
— ñèñòåìà (7) ÿâëÿåòñÿ P-óñòîé÷èâîé;
— äëÿ ëþáîãî W KP� ñóùåñòâóåòV KP� , óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ
L V W[ ] � � . (10)
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðèâåäåíî â [17].
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÛÉ ÊÐÈÒÅÐÈÉ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Òåîðåìà 2 ñâîäèò ïðîáëåìó èññëåäîâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìíîãî-
îáðàçèÿ M ê àíàëèçó ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (10) â ïðîñòðàíñòâå P-ïîëîæè-
òåëüíî îïðåäåëåííûõ ìàòðèö KP .
Èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü ïóòåì àíàëèçà ðàçðåøèìîñòè ýòîãî ìàòðè÷íîãî
óðàâíåíèÿ Ëÿïóíîâà âåñüìà òðóäíî, îñîáåííî â ñëó÷àÿõ, áëèçêèõ ê êðèòè÷åñêèì.
Ðàññìîòðèì îáîáùåííûé âàðèàíò ýôôåêòèâíûõ êðèòåðèåâ [18, 19], èñïîëüçóþ-
ùèé ñïåêòðàëüíóþ òåîðèþ ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ [20].
Ïðåäñòàâèì îïåðàòîð L èç (9) â âèäå ñóììû L A S� � , ãäå îïåðàòîð A
îïðåäåëåí â (4), à îïåðàòîð S — íà ýëåìåíòàõ ïðîñòðàíñòâà � ðàâåíñòâîì
S V S VSr r
r
m
[ ] �
�
� T
1
. Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (10) ìîæíî çàïèñàòü
A V S V W[ ] [ ]� � � . (11)
Äëÿ P-óñòîé÷èâîé äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (2) â ñèëó òåîðåìû 1 ñó-
ùåñòâóåò îáðàòíûé îïåðàòîð A�1, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì ïî îòíîøå-
íèþ ê êîíóñó K. Óìíîæàÿ (11) íà A�1, ïîëó÷àåì
V P V A W� � � �[ ] [ ]1 , (12)
ãäå îïåðàòîð P A S� � �1 , êàê ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ:
� �A 1 è S , òàêæå ïîëîæèòåëüíûé.
Äëÿ ïðîñòðàíñòâà � (ñì. (3)) ñ íîðìîé | | | | max ( ( ))V V xx M� � tr 2 êîíóñ K ÿâ-
ëÿåòñÿ íîðìàëüíûì è òåëåñíûì.
Àíàëèç P-óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû (7) ìîæíî ñâåñòè ê îöåíêå
ñïåêòðàëüíîãî ðàäèóñà �( )P îïåðàòîðà P.
Òåîðåìà 3. Êîìïàêòíîå èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿ
ÝÑÊ-ó÷òîé÷èâûì äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû (5) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ìíîãîîáðàçèå M äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (1) Ý-óñòîé÷èâî è âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
�( )P � 1 . (13)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M ñòîõàñòè÷åñêîé
ñèñòåìû (5) ÿâëÿåòñÿ ÝÑÊ-óñòîé÷èâûì. Òîãäà ñîãëàñíî òîðåìàì 1 è 2 ìíîãîîá-
ðàçèå M äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (1) Ý-óñòîé÷èâî è ñóùåñòâóåò îïåðàòîð
A�1, à äëÿ ëþáîãî W KP� ñóùåñòâóåò � ��A W KP
1[ ] è ñïðàâåäëèâî ðàâåí-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 85
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
ñòâî (12), èç êîòîðîãî ñëåäóåò
V P V KP� �[ ] . (14)
Êîíóñ K � � ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì è òåëåñíûì. Òîãäà èç (14) (òåîðåìà 16.7
â [20]) âûòåêàåò íåðàâåíñòâî (13).
Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (1) ÿâ-
ëÿåòñÿ Ý-óñòîé÷èâûì. Ýòî ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòîðîâ A�1 è
P A S� � �1 . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð R V V P V[ ] [ ]� � . Â ñèëó (13) ñóùåñòâóåò îáðàò-
íûé îïåðàòîð R P k
k
�
�
�
� �1
0
.
Îïåðàòîð R ïîëîæèòåëüíûé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî W KP� ìàòðèöà
V R A W KP� � �� �1 1[ [ ]] ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (12). Âñëåäñòâèå ýêâèâàëåíòíîñòè
(10) è (12) ìàòðèöà V KP� óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (10). Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò
(ñì. òåîðåìó 2), ÷òî ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿ ÝÑÊ-óñòîé÷èâûì.
Çàìå÷àíèå 2. Ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ � �� �( )P 0 îïðåäåëÿåò áèôóðêàöèîííîå
çíà÷åíèå � �* /� 1 èíòåíñèâíîñòè � � 0 ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé äëÿ ñèñòåìû
dx f x dt x dw tr r
r
m
� �
�
�( ) ( ) ( )� �
1
. (15)
Ìíîãîîáðàçèå M äëÿ ñèñòåìû (15) ÿâëÿåòñÿ ÝÑÊ-óñòîé÷èâûì ïðè âñåõ
� �� * è íåóñòîé÷èâûì ïðè � �� * . Ñëó÷àé � � 0 îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà (15)
ÝÑÊ-óñòîé÷èâà äëÿ âñåõ � � 0.
Çàìå÷àíèå 3.  ñëó÷àå, êîãäà òî÷íîå îòûñêàíèå ñïåêòðàëüíîãî ðàäèóñà �
çàòðóäíèòåëüíî, ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ åãî äâóñòîðîííèå îöåíêè: � � �1 2� � .
Äåéñòâèòåëüíî, íåðàâåíñòâî � 2 1� äàåò äîñòàòî÷íîå, à �1 1� — íåîáõîäèìîå
óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè. Ïðè ýòîì ðàçíîñòü � �2 1� ìîæåò ñëóæèòü ìåðîé ãðóáîñ-
òè äàííûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè.
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀ P ÄËß ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈÉ
ÅÄÈÍÈ×ÍÎÉ ÊÎÐÀÇÌÅÐÍÎÑÒÈ
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ìíîãîîáðàçèå M èìååò ðàçìåðíîñòü dim ( ) –M n� 1
(codim ( ) )M �1 . Ïðè ýòîì dim ( )N x �1, rank ( )Px �1, rank ( ( ))S xr
1 è äëÿ ìàò-
ðèö Px è S xr ( ) ñïðàâåäëèâà ôàêòîðèçàöèÿ P p x p xx � ( ) ( )T , S x g x p xr r( ) ( ) ( )� T ,
g x S x p xr r( ) ( ) ( )� . Çäåñü p x( ) è g xr ( ) — n-âåêòîð-ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà
M , p x( ) ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì è îðòîãîíàëüíûì ê M â òî÷êå x. Âñëå-
äñòâèå ýòîé ôàêòîðèçàöèè îïåðàòîð S ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
S V pg Vg p g Vg ppr
r
m
r r
r
m
r[ ] � �
� �
� �T T T T
1 1
.
(16)
Èç (16) ñëåäóåò
S V g V P[ ] [ ]� , (17)
ãäå g V g Vgr
r
m
r[ ] �
�
� T
1
— ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ýòîì îïåðàòîð P A S� � �1
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
P V A g V P[ ] [ [ ] ]� � �1 . (18)
Íàðÿäó ñ P ðàññìîòðèì îïåðàòîð B:
B g A P[ ] [ [ ]]� �� � �1 . (19)
Çäåñü � ��1, ïðè ýòîì �1 — ïðîñòðàíñòâî ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé �( )x , îïðåäå-
ëåííûõ è äîñòàòî÷íî ãëàäêèõ íà ìíîãîîáðàçèè M .  ïðîñòðàíñòâå �1 ðàñ-
ñìîòðèì êîíóñ K x1 1 0� � �{ }� �� | ( ) è åãî âíóòðåííîñòü
K x
P
1 1 0� � {� �� | ( ) }. Îïåðàòîð B ïîëîæèòåëåí íà K 1.
Ëåììà 1. Îïåðàòîðû P è B èìåþò îäèíàêîâûå ñïåêòðàëüíûå ðàäèóñû:
�� � �P B� ( ).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �� ( )P — ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, ñîîòâåòñòâóþ-
ùåå ñîáñòâåííîé ôóíêöèè V îïåðàòîðà P:
P V V[ ] � � . (20)
Èç (18) è (20) ñëåäóþò ðàâåíñòâà � ��A g V P V1[ [ ] ] � , � ��g A g V P g V[ [ [ ] ]] [ ]1 � .
Äëÿ � � g V[ ] èìååì � ��g A P[ [ ]]1 � ��.
Èç ýòîãî ðàâåíñòâà è (19) ñëåäóåò B[ ]� ��� . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî � — ñîáñòâåí-
íîå çíà÷åíèå, à � — ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà B. Ñëåäîâàòåëüíî,
� �( ) ( )B P� .
Äîêàæåì ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî. Ïóñòü � �� ( )B — ñîáñòâåííîå
çíà÷åíèå, à � — ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà B:
B[ ]� ��� . (21)
Èç (19) è (21) ñëåäóåò, ÷òî � ��g A P[ [ ]]1 � ��. ÂîçüìåìV A P� � �1[ ]� . Òîãäà
P V A S A P A P V[ ] [ [ ]] [ [ ]] [ ]� � � � � �� � �1 1 1� � � � . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî � — ñîá-
ñòâåííîå çíà÷åíèå, à V — ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà P. Ñëåäîâàòåëüíî,
� �( ) ( )B P
. Òàêèì îáðàçîì, � �( ) ( )P B� . Ëåììà äîêàçàíà.
Âñëåäñòâèå ýòîé ëåììû â àíàëèçå ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè ìíîãîîáðàçèÿ M
â ñëó÷àå dim ( )M n� �1 îïåðàòîð P â òåîðåìå 3 ìîæíî çàìåíèòü íà áîëåå ïðî-
ñòîé îïåðàòîð B. Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñïåêòðàëüíûé àíàëèç ñòîõàñòè÷åñêîé
óñòîé÷èâîñòè áîëåå êîíñòðóêòèâíûì.
Èñïîëüçóÿ ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ V A P� � �1[ ]� , ìîæíî çàïèñàòü ñïåêòðàëü-
íîå óðàâíåíèå B[ ]� ��� â âèäå ñèñòåìû
g V[ ] � ��,
A V P[ ] � �� . (22)
 ñëó÷àå dim ( )M n� �1 ìàòðèöà V x( ) èìååò ñëåäóþùóþ ôàêòîðèçàöèþ:
V x x Px( ) ( )� , ãäå ( )x — ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ è � èç (22) ñëåäóåò
� A P g P P[ ] [ ]� � 0. (23)
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÐÅÄÅËÜÍÛÕ ÖÈÊËÎÂ
Ïóñòü èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M — ïðåäåëüíûé öèêë, ñîîòâåòñòâóþùèé
T-ïåðèîäè÷åñêîìó ðåøåíèþ
( )t ñèñòåìû (1). Ðàññìîòðèì ôóíêöèè
F t
f
x
t( ) ( ( ))�
�
�
, S t
x
tr
r( ) ( ( ))�
�
�
�
,
V t V t( ) ( ( ))�
, P t P t( ) ( )�
, p t p t( ) ( ( ))�
,
çàäàííûå íà [ , ]0 T .  ýòîì ñëó÷àå � ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì T-ïåðèîäè÷åñêèõ
ñèììåòðè÷åñêèõ n n
-ìàòðèö V t( ) ñ óñëîâèåì ñèíãóëÿðíîñòè V t f t( ) ( ( ))
� 0.
Äëÿ n � 2 àíàëèç ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè ïðåäåëüíîãî öèêëà M ìîæíî ïðîâåñòè
íà îñíîâå òåîðåìû 3 è ëåììû 1.  ýòîì ñëó÷àå V t t P t( ) ( ) ( )� . Èñïîëüçóÿ çàìå-
÷àíèå 1, ìîæíî ïåðåïèñàòü ñïåêòðàëüíîå óðàâíåíèå (23) â âèäå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 87
� �[ � � ( )]P P F P PF P� � � � �T 0, (24)
ãäå � � g P( ). Óìíîæàÿ (24) íà pT ñëåâà è íà p ñïðàâà è ïðèíèìàÿ âî âíèìà-
íèå òîæäåñòâà p Pp p PpT T� �1 0, � , ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
� � � ( � )� � � 0, (25)
ãäå � � �p F F pT T( ) . Ïîäåëèâ óðàâíåíèå (25) íà � 0 è ïðîèíòåãðèðîâàâ îò
t � 0 äî t T� , ïîëó÷èì �
�
�
� �
�
�
. Çäåñü � � �� �
0
T
t dt( ) . Íåðàâåíñòâî
� �� 0 (26)
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì Ý-óñòîé÷èâîñòè ïðåäåëüíîãî
öèêëà M äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (1). Âñëåäñòâèå ðàâåíñòâà � ��
� � 2 tr F óñëîâèå (26) ýêâèâàëåíòíî õîðîøî èçâåñòíîìó êðèòåðèþ Ïóàíêàðå
� ��
1
0
0
T
F t dt
T
tr ( ) äëÿ n � 2. Çäåñü
— ëÿïóíîâñêàÿ ýêñïîíåíòà. Äëÿ äâóõìåð-
íîãî ñëó÷àÿ èìååì �( ) ( ) ( )t S t S tr
r
m
r�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�tr T
1
.
Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî �( )P � 1èç òåîðåìû 3 ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
� � � � �� �
�
� � tr T
0 1
2 0
T
r
r
m
rF t S t S t dt[ ( ) ( ) ( )] .
Ýòîò êðèòåðèé ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì êëàññè÷åñêîãî êðèòåðèÿ
Ïóàíêàðå äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî ñëó÷àÿ.
ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ 2-ÒÎÐÎÂ
Ïóñòü èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì M ñèñòåìû (1) äëÿ n � 3 ÿâëÿåòñÿ äâóõ-
ìåðíàÿ òîðîèäàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïàðàìåòðèçàöèþ.
Ïóñòü íà M (ðèñ. 1) ëåæèò íåêîòîðàÿ çàì-
êíóòàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ êðèâàÿ � (ýêâàòîð),
çàäàâàåìàÿ ôóíêöèåé �( )s íà èíòåðâàëå 0 1
s
ñ óñëîâèåì � �( ) ( )0 1� , a x s s� �( , ) ( )0 � — íà-
÷àëüíàÿ òî÷êà ðåøåíèÿ x t s( , ), b x T x s� �( ( ), )
� � �( ( ))s — òî÷êà ïåðâîãî âîçâðàùåíèÿ ðåøå-
íèÿ x t s( , ) íà êðèâóþ �. Èç êàæäîé òî÷êè �( )s
êðèâîé �, êàê íà÷àëüíîé, èìååì ðåøåíèå
x t s( , ) ñèñòåìû (1) ñ óñëîâèåì x s( , )0 � �( )s .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òðàåêòîðèÿ x t s( , ), îáîéäÿ
âîêðóã òîðà M , ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ âíîâü
ïåðåñå÷åò êðèâóþ �. Ïóñòü T s t( ) min |� { 0
x t s( , ) ��} — ìîìåíò ïåðâîãî âîçâðàùåíèÿ
òðàåêòîðèè x t s( , ) íà êðèâóþ �, ïðè ýòîì x T s s( ( ), ) åñòü òî÷êà âîçâðàùåíèÿ. Ïóñòü
�( )s — òî÷êà èíòåðâàëà [ , )0 1 , ïðè êîòîðîé � �( ( )) ( ( ), )s x T s s� . Çäåñü �( )s — ôóíêöèÿ
ïîñëåäîâàíèÿ ñå÷åíèé Ïóàíêàðå êðèâîé � ôàçîâûìè òðàåêòîðèÿìè ñèñòåìû (1).
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôàçîâûå òðàåêòîðèè ñåìåéñòâà ðåøåíèé x t s( , ) ñèñòå-
ìû (1) ïîëíîñòüþ ïîêðûâàþò M . Ïðè ýòîì òîðîèäàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò ñî-
ñòîÿòü êàê èç çàìêíóòûõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé (öèêëîâ) è òðàåêòîðèé, ê íèì ñõî-
äÿùèõñÿ, òàê è èç ñåìåéñòâà íåçàìêíóòûõ òðàåêòîðèé, ëåæàùèõ âñþäó ïëîòíî íà
M (êâàçèïåðèîäè÷åñêèé ñëó÷àé). Ôóíêöèÿ x t s( , ) óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíî-
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ðèñ. 1
�
çíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè 2-òîðà M è òî÷êàìè ìíîæåñòâà
D t s t T s s�
�
�{ }( , ) | ( ),0 0 1 . Âåêòîð-ôóíêöèè
�
�
x t s
t
( , )
,
�
�
x t s
s
( , )
ÿâëÿþòñÿ ëèíåé-
íî íåçàâèñèìûìè. Äëÿ êàæäîé òî÷êè � � M ìîæíî íàéòè t t s s� �( ), ( )� � òàêóþ,
÷òî x t s( , ) � �.
Èñïîëüçóÿ ïàðàìåòðèçàöèþ 2-òîðà M , ñâÿçàííóþ ñ ñåìåéñòâîì ðåøåíèé
x t s( , ), ââåäåì ôóíêöèè
F t s
f
x
x t s S t s
x
x t sr
r( , ) ( ( , )), ( , ) ( ( , ))�
�
�
�
�
�
�
,
V t s V x t s P t s P x t s p t s p x t s( , ) ( ( , )), ( , ) ( ( , )), ( , ) ( ( , ))� � � ,
îïðåäåëåííûå íà D. Ðàâåíñòâà x t s x t s x T s t s x t s( , ) ( , ), ( ( ) , ) ( , ( ))� � � �1 � ïîçâîëÿ-
þò ðàñïðîñòðàíèòü ýòè ôóíêöèè íà âñþ ïëîñêîñòü � � ��� � ��{( , )| ,t s t
��� � ��s }.
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå V t s t s P t s( , ) ( , ) ( , )� . Èñïîëüçóÿ çàìå÷àíèå 1,
ìîæíî ïåðåïèñàòü ñïåêòðàëüíîå óðàâíåíèå (23) â âèäå
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
!
"
#$
� �
t
P
P
t
F P PF P( )T 0, (27)
ãäå
�( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (t s p t s S t s P t s S t s pr
r
m
r�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�T T
1
t s, ) .
Óìíîæàÿ (27) íà pT ñëåâà è íà p ñïðàâà ñ ó÷åòîì p PpT �1, p
P
t
pT �
�
� 0, ïî-
ëó÷àåì óðàâíåíèå
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
t
0 ,
(28)
ãäå �( , ) ( , )( ( , ) ( , )) ( , )t s p t s F t s F t s p t s� �T T .
Ïóñòü � �
%� �� �lim ( )
T
T
T
t dt
1
0
.
Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå (28) íà � 0 è èñïîëüçîâàâ ðàâåíñòâî
�
�
�
�
�
�
�
%� �
t T t
dt
T
T
/ lim /
1
0
0
,
ïîëó÷èì ÿâíóþ ôîðìóëó �
�
�
� �
�
�
. Ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî t çíà÷åíèå � çàâè-
ñèò îò s s: � �� . Ñëåäîâàòåëüíî, �
�
�
( ) maxP
s
�
�
�
&
'
(
)
*
+
.
Íåðàâåíñòâî max
s
� �� 0 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè 2-òîðà M äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé ñèñòåìû (1).
Êðèòåðèé �( )P � 1 èç òåîðåìû 3 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
max max lim [ ( , ) ( , )
s s T
T
r
r
m
r
T
F t s S t s S� � � �
%� �
� �� �
1
2
0 1
tr T ( , )]t s dt� 0.
Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì
ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè 2-òîðà M äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû (2) ïðè n � 3.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 89
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðîáëåìà àíàëèçà ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè ìíîãîîáðàçèÿ ñâåäåíà ê èñ-
ñëåäîâàíèþ ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ Ëÿïóíîâà. Îäíàêî èññëåäîâàíèå ðàçðåøè-
ìîñòè íàïðÿìóþ âåñüìà òðóäîåìêî, îñîáåííî â ñëó÷àÿõ, áëèçêèõ ê êðèòè÷åñêèì.
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûé àëãåáðàè÷åñêèé
êðèòåðèé ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè îáùèõ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé, ïîëó÷åííûé
ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ. Äëÿ âàæíîãî ñëó÷àÿ ìíîãî-
îáðàçèÿ åäèíè÷íîé êîðàçìåðíîñòè ïðîâåäåí ïîäðîáíûé ñïåêòðàëüíûé àíàëèç.
Ðàçðàáîòàííàÿ îáùàÿ òåîðèÿ ïðèìåíåíà ê èññëåäîâàíèþ ÝÑÊ-óñòîé÷èâîñòè ñòî-
õàñòè÷åñêèõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ ïðåäåëà è èíâàðèàíòíûõ òîðîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ à ì î é ë å í ê î À . Ì . Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ìíîãî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèé.
Èíâàðèàíòíûå òîðû. — Ì.: Íàóêà, 1987. — 303 ñ.
2. W i g g i n s S . Normally hyperbolic invariant manifolds in dynamical systems. — Berlin:
Springer-Verlag, 1994. — 193 p.
3. K i r c h g a b e r U . , P a l m e r K . J . Geometry in the neighborhood of invariant manifolds of
maps and flows and linearization. — New York: Longman, 1990. — 221 p.
4. B r o n s t e i n I . U . , K o p a n s k i i A . Y a . Smooth invariant manifolds and normal forms. — Sin-
gapore: World Sci., 1994. — 203 p.
5. F e n i c h e l N . Persistence and smoothness of invariant manifolds for flows // Indiana Univer.
Math. J. — 1971. — N 2. — P. 193–226.
6. Ê à ö È . ß . , Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Îá óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì ñî ñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè //
Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1960. — 24. — Âûï. 5. — Ñ. 809–823.
7. K u s h n e r H . J . Stochastic stability and control. — New York: Acad. press, 1967. — 161 p.
8. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ
âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 368 ñ.
9. Ê î ð å í å â ñ ê è é Ä . à . Óñòîé÷èâîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ
ïàðàìåòðîâ. Àëãåáðàè÷åñêèå êðèòåðèè. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. — 208 ñ.
10. M a o X . Exponential stability of stochastic differential equations. — Marcel: Dekker, 1994. —
307 p.
11. A r n o l d L . Random Dynamical Systems. — Berlin: Springer, 1998. — 374 p.
12. Ð ÿ ø ê î Ë . Á . Îá óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêè âîçìóùåííûõ îðáèòàëüíûõ äâèæåíèé //
Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. — 1996. — 60. — Âûï. 4. — Ñ. 582–594.
13. B a s h k i r t s e v a I . A . , R y a s h k o L . B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Math. and
Comput. in Simulation. — 2004. — N 66. — P. 55–67.
14. R y a s h k o L . , B a s h k i r t s e v a I . , G u b k i n A . , S t i k h i n P . Confidence tori in the ana-
lysis of stochastic 3D-cycles // Math. and Comput. in Simulation. — 2009. — N 80. — P. 256–269.
15. B a s h k i r t s e v a I . , R y a s h k o L . Constructive analysis of noise-induced transitions for coex-
isting periodic attractors of Lorenz model // Phys. Rev. E. — 2009. – N 79. — P. 041106–041114.
16. R y a s h k o L . B . , S h n o l E . E . On exponentially attracting invariant manifolds of ODEs //
Nonlinearity. — 2003. — N 16. — P. 147–160.
17. R y a s h k o L . B . Exponential mean square stability of stochastically forced invariant manifolds for
nonlinear SDE’s // Stochastics and Dynamics. — 2007. — N 7. — P. 389–401.
18. R i a s h k o L . B . Stabilization of linear stochastic systems with state and control dependent pertur-
bations // J. Appl. Math. Mech. — 1979. — N 43. — P. 655–663.
19. R i a s h k o L . B . Stabilization of linear systems with multiplicative perturbations and incomplete
information // J. Appl. Math. Mech. — 1981. — N 45. — P. 581–587.
20. Ê ð à ñ í î ñ å ë ü ñ ê è é Ì . À . , Ë è ô ø è ö Å . À . , Ñ î á î ë å â À . Â . Ïîçèòèâíûå ëèíåéíûå
ñèñòåìû. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 256 ñ.
Ïîñòóïèëà 07.11.2011
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
|