Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием
Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу для розв язків компартментних моделей із запізненням. Побудова оцінок таких систем є актуальною, оскільки значну увагу в галузі системних медичних досліджень направлено на вивчення задач, що описуються компартментними моделями. The paper pro...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86169 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием / В.П. Марценюк, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 96-101. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243369615163392 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Гандзюк, Н.М. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Гандзюк, Н.М. |
| citation_txt | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием / В.П. Марценюк, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 96-101. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу для розв язків компартментних моделей із запізненням. Побудова оцінок таких систем є актуальною, оскільки значну увагу в галузі системних медичних досліджень направлено на вивчення задач, що описуються компартментними моделями.
The paper proposes a method to construct the exponential estimates for solutions of compartmental models with time delay. Constructing estimates for such systems is important since much attention in medical system study is paid to problems described by compartmental models.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.929
Â.Ï. ÌÀÐÖÅÍÞÊ, Í.Ì. ÃÀÍÄÇÞÊ
ÌÅÒÎÄ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ÎÖÅÍÊÈ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
 ÊÎÌÏÀÐÒÌÅÍÒÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óñòîé÷èâîñòü, êîìïàðòìåíòíàÿ ñèñòåìà, çàïàçäûâàíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ïîñëåäíèå ãîäû â îòðàñëè ñèñòåìíûõ ìåäèöèíñêèõ èññëåäîâàíèé ïîâûøåí-
íîå âíèìàíèå ó÷åíûõ óäåëÿëîñü èçó÷åíèþ ïðîöåññîâ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ
êîìïàðòìåíòíûìè ìîäåëÿìè (çàäà÷è ôàðìàêîêèíåòèêè, ýïèäåìèîëîãè÷åñêèå
èññëåäîâàíèÿ è äð.), ïðèíàäëåæàùèìè øèðîêîìó êëàññó äèññèïàòèâíèõ ñèñ-
òåì [1]. Îäíàêî ìíîãèå áèîëîãè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â òàêèõ ñèñòåìàõ îáúÿñíÿþòñÿ
ëèøü ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ çàïàçäûâàíèÿ âî âðåìåíè (íàïðèìåð, âîçíèêíîâåíèå
ïîâòîðíûõ âñïûøåê ýïèäåìèé). Ýòî îáóñëîâëèâàåò íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâà-
íèÿ êîìïàðòìåíòíûõ ìîäåëåé ñ çàïàçäûâàíèåì. Àêòóàëüíî ïîñòðîåíèå îöåíîê
ðåøåíèé òàêèõ ñèñòåì, ïîñêîëüêó â ÿâíîì âèäå èõ îáû÷íî íå óäàåòñÿ ïðîèí-
òåãðèðîâàòü. Êðîìå òîãî, ýòè îöåíêè èìåþò çíà÷åíèå ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé-
÷èâîñòè ñèñòåì [2].
Öåëüþ íàñòîÿùåé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ïîñòðîåíèÿ ýêñïîíåíöèàëü-
íûõ îöåíîê ðåøåíèé êîìïàðòìåíòíûõ ìîäåëåé ñ çàïàçäûâàíèåì è ïîëó÷åíèå íà
èõ îñíîâå ñîîòâåòñòâóþùèõ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè.
ËÈÍÅÉÍÀß ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ
Ñ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈßÌÈ
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
— íîðìà âåêòîð-ôóíêöèè | ( )| | ( )|
[ , ], ,
� � ��
� �
� �
� � �
sup
0 1i n
i , ãäå � �� �C 1 0[ , ] —
íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå íà [ , ]�� 0 ôóíêöèè;
— ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðè÷íàÿ íîðìà | | | |M äëÿ ìàòðèöû M R n n� � ;
— åâêëèäîâà íîðìà | | | |x äëÿ âåêòîðà x R n� .
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó
dx
dt
A t x t B t x ti
i
m
i� � �
�
�( ) ( ) ( ) ( ),
1
� (1)
x t t t t t( ) ( ), [ , ]� � �� �0 0 , ãäå � ��
�
max
,i m
i
1
.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñèñòåìà (1) òàêîâà, ÷òî:
— ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ( , )t s ñèñòåìû
dx
dt
A t x t� ( ) ( ) , ò.å.
d t s
dt
A t t s
s s E
( , )
( ) ( , ),
( , ) ,
�
�
�
�
�
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó | | ( , )| | ( ) t s ke t s� � �� , ãäå k � �1 0, � ;
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
© Â.Ï. Ìàðöåíþê, Í.Ì. Ãàíäçþê, 2013
— èìååì | | ( )| |B t Bi
i
m
�
� �
1
, ãäå B � 0 ;
— ñóùåñòâóåò ðåøåíèå íåðàâåíñòâà
e
k
B
�
� �
��
� �( ) , � � 0 . (2)
Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà | | ( )| | | ( )|
( )
x t k e
t t� � �� � � � 0
äëÿ ëþáîãî t t� �0 �, ãäå � � 0 — ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó (2).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ðåøåíèÿ x t( ) ñèñòåìû (1) â ñèëó ôîðìóëû Êîøè ñïðà-
âåäëèâî ðàâåíñòâî
x t t t t t s B s x s dsi
i
m
i
t
t
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )� � �
�
�� 0 0
1
0
� � .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå y t
dx
dt
A x x t B t x ti
i
m
i( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � �
�
�
1
� . Òîãäà èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî
| | ( )| | | | ( )| | | | ( )| |
( ) ( )x t k t e ke y s
t t t s
t
t
� �� � � �
�� � �
0
0
0
ds �
� �� � � �
�k e ke y s ds
t t t s
t
t
| ( )| | | ( )| |
( ) ( )� � � � �0
0
.
(3)
Íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü îöåíêó äëÿ | | ( )| |x t , ò.å. íàéòè òàêîå � � 0 , ÷òîáû
| | ( )| | | ( )|
( )
x t k e
t t� � �� � � � 0 .
Îáîçíà÷èì X t k e
t t
( ) | ( )|
( )� � �� � � � 0 , à Y t( ) — íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ òàêóþ,
÷òî | | ( )| | ( )y t Y t� äëÿ âñåõ t t� � �[ , )0 � .
Ïîäáåðåì ôóíêöèþ Y t( ) òàê, ÷òîáû
X t k e ke Y s ds
t t t s
t
t
( ) | ( )| ( )
( ) ( )� �� � � �
�� � � � �0
0
. (4)
Âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (4) íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî
| | ( )| | ( )y t Y t� , åñëè | | ( )| | ( )x t X t� .
Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ Y s e s( ) | ( )| ( ) ( )� � �� � � �� � ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (4).
Äåéñòâèòåëüíî, èìååì
k e k e ke
t t t t t s
t
t
| ( )| | ( )| |
( ) ( ) ( )� � � �� � � � �� � � � � �� � �0 0
0
� � � �� �
( )| ( )
( )� �� �
e ds
s t0
� � �� � � � �k e k e e ds
t t t t s
t
| ( )| | ( )| ( )
( ) ( )� � � � � �� � � � � � �0 0
0
t
� �
� �
�
�
�� �
� �
k e k
e
k
t t
t t
| ( )| | ( )|
( )
| (
( )
( )
� � � �
� �
� �
� �� � �
�
0
0
)|
( )
( )
�
�� �
� �
�
�
�
� �
e
t t0
� �� �
k e X t
t t
| ( )| ( )
( )� � � � 0
ïðè t t� � �[ , )0 � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 97
Äàëåå, íåîáõîäèìî íàéòè òàêîå � � 0, ÷òîáû | | ( )| | ( ) | | ( ) | | ( ),x t X t y t Y t� �
t t� � �[ , )0 � .
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïðîìåæóòîê t t t� �[ , ]0 0� . Ñîîòíîøåíèå | | ( )| | ( )x t t� ��
� �� �
k e X t
t t
| ( )| ( )
( )� � � � 0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, êîãäà k � 1 (ïîòîìó ÷òî
e
t t� � ��( )0 1 ïðè t t t� �[ , ]0 0� äëÿ âñåõ � � 0). Ïîñòðîèì íà ýòîì ïðîìåæóòêå àíà-
ëîãè÷íîå íåðàâåíñòâî äëÿ | | ( )| |y t . Ïîñêîëüêó y t B t x ti
i
m
i( ) ( ) ( )� �
�
�
1
� , íåîáõîäè-
ìî èìåòü çíà÷åíèå x t( ) íà ïðîìåæóòêå [ , ]t t0 02� �� � .
Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè x t t( ) ( )� �� �0 äëÿ ëþáîãî t t t� � �[ , ]0 02� � . Òîã-
äà ïîëó÷èì
| | ( )| | | | ( ) ( )| | | | ( ) || | ( )y t B t x t B ti
i
m
i i
i
m
� � �
� �
� �
1 1
� � � |� .
Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî | | ( )| |B t Bi
i
m
�
� �
1
. Òîãäà | | ( )|| | ( )|B ti
i
m
�
� �
1
� � � B| ( )|� � � �
� � �
B e
t t
| ( )|
( )� � � � 0 . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïîòîìó, ÷òî t t� �0 0
ïðè t t t� �[ , ]0 0� . Îòñþäà e
t t� � ��( )0 1 äëÿ âñåõ � � 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òîãî
÷òîáû ïîñòðîèòü íåðàâåíñòâî | | ( )| | ( ),y t Y t� íåîáõîäèìî âûáðàòü � � 0 òàêîå, ÷òî
� �� � B. Òîãäà | | ( ) | | | ( )| | ( ) | ( )
( ) ( )
y t B e e Y
t t t t� � � �� � � �� � � � � �� � � �0 0 ( )t .
Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
� � �1 2 0( ) | | ( )| | ( ), ( ) | | ( )| | ( ), [ , )t x t X t t y t Y t t t� � � � � � � .
Ðàíåå ïîêàçàíî, ÷òî íà ïðîìåæóòêå t t t� �[ , ]
0 0� èìååì � �1 20 0( ) , ( )t t� � .
Òåïåðü íàéäåì � � 0 òàêîå, ÷òîáû | | ( )| | ( )x t X t� èëè �1 0( )t � ïðè t t� 0 .
Îöåíèì �1 ( )t , âû÷èòàÿ èç (3) ðàâåíñòâî (4):
� � � � � �
1
0
0
( ) | ( )| | | ( )| | |
( ) ( )t k e ke y s ds k
t t t s
t
t
� � �� � � �
� � � � �
( )|
( )
e
t t� � �0
� � �� � � �
� �ke Y s ds k e y s Y s dt s
t
t
t s
t
t
� �( ) ( )( ) (| | ( )| | ( ))
0 0
s k e s dst s
t
t
� � �
�
� �( ) ( ) .2
0
(5)
Ñ ó÷åòîì (5) ìîæíî îöåíèòü � 2 ( )s :
� �2
1
( ) | | ( )| | ( ) | | ( ) ( )| | ( ) | |s y t Y t B t x t Y t Bi i
i
m
� � � � � �
�
� i
i
m
it x t Y t( )| | | | ( )| | ( )
�
� � �
1
� .
Ïîñëå íåêîòîðûõ òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
Y t e
e
k
ke e
t t
( ) | ( )| ( ) | ( )| ( )
( )� � � �� �
�
�� � � � � � � �� �
��
�� �0 � � ��( )t t0
� � � � �
�
� � �
�e
k
k e
e
k
X t
t t
��
� � �
��
� � � � � � �| ( )| ( ) ( ) ( )
( )0 . (6)
Òîãäà
| | ( )|| || ( ) | | ( ) | | ( )|| || (B t x t Y t B t x ti
i
m
i i
i
m
� �
� �� � �
1 1
� � � � �
�
� � � �
��
i
e
k
X t)| | ( ) ( ) .
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ïîñêîëüêó | | ( )|| || ( )| |B t x ti
i
m
i
�
� � �
1
0� è
e
k
X t
�
� � �
��
� � �( ) ( ) 0 (ïðè
� �� � B), èõ ðàçíîñòü òîëüêî óâåëè÷èòñÿ, åñëè äîïóñòèòü, ÷òî � � 0 :
e
k
B ti
i
m�
�
� � �
��
� �( ) | | ( )| |
1
.
Ïîëó÷èì
| | ( )|| || ( )| | ( ) ( )B t x t
e
k
X ti
i
m
i
�
�
� � � � � �
1
� � � �
��
� � � �
� �
� �| | ( )|| || ( )| | | | ( )|| || ( )|B t x t B t X ti
i
m
i i
i
m
1 1
� � | .
Ïîñêîëüêó X t( ) ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ, òî X t X t i( ) ( )� � �� � äëÿ âñåõ
i m�1, . Ïîýòîìó
| | ( )|| || ( )| | | | ( )| | ( ) | |B t x t B t X t Bi
i
m
i i
i
m
� �
� �� � � �
1 1
� � i
i
m
it x t( )|| || ( )| |
�
� � �
1
�
� � � � �
� �
� �| | ( )| | ( ) | | ( )| |(| | ( )| |B t X t B t x ti
i
m
i i
i
m
i
1 1
� � X t B t ti i i
i
m
( )) | | ( )| | ( ),� � �
�
�� � �1
1
ò.å. èìååì, ÷òî
� � �2 1
1
( ) | | ( )| | ( )t B t ti i
i
m
� �
�
� , t � 0. (7)
Ïîäñòàâèâ îöåíêó (7) â (5), ïîëó÷èì â ñèëó ìîíîòîííîñòè èíòåãðàëà
� �� �
1 2
0 0
( ) ( ) | | ( )| |( ) ( )t k e s ds k e B st s
t
t
t s
t
t
i
i
� �� � � �
� �
�
� �
1
1
m
is ds� �( ) . (8)
Ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî (8) íà ïðîìåæóòêå t t t� �[ , ]0 0 � . Ïîñêîëüêó
�1 0( )t � ïðè t t t� �[ , ]0 0� , ïîëó÷èì íà îñíîâå (8), ÷òî �1 0( )t � äëÿ âñåõ
t t t� �[ , ]0 0 � .
Ðàññìîòðèì t t t� � �[ , ]0 0 2� � . Ïîñêîëüêó �1 0( )t � äëÿ âñåõ t t t� �[ , ]0 0 � ,
èç (8) �1 0( )t � äëÿ âñåõ t t t� � �[ , ]0 0 2� � . Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî
�1 00( ) , [ , )t t t� � � .
Ñëåäîâàòåëüíî, � ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâàì
� � � � �
��
� � � � �
�
�
�0
1
, , ( ) | | ( )| |B
e
k
B ti
i
m
.
Ïîñêîëüêó B B ti
i
m
�
�
� | | ( )| |
1
, à ( ) ( )� � � �
��
� � �
�e
k
e
k
�
�
��
1 , òî � � 0 íóæíî
âûáðàòü èç íåðàâåíñòâà
e
k
B
�
� �
��
� �( ) .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 99
ÊÎÌÏÀÐÒÌÅÍÒÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ
Èñïîëüçóåì îïðåäåëåíèÿ, ââåäåííûå â ðàáîòå [4].
Îïðåäåëåíèå 1. Ìàòðèöà A a Rij
n n� � �{ } íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé,
åñëè a i j nij � �0 1, , , .
Îïðåäåëåíèå 2. Ìàòðèöà A a Rij
n n� � �{ } íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî íåîòðè-
öàòåëüíîé, åñëè a i j n i jij � � �0 1, , , , .
Îïðåäåëåíèå 3. Ìàòðèöà A a Rij
n n� � �{ } íàçûâàåòñÿ êîìïàðòìåíòíîé, åñëè
îíà ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíîé è aij
i
n
�
�
� 0
1
, j n�1, .
Îïðåäåëåíèå 4. Ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåì
�� íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé,
åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé � �� ��C [ , ]0 âûïîëíÿåòñÿ ðåøåíèå
x t R n( ) � � . Çäåñü C� �[ , ]� 0 — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà [ , ]�� 0 ïî-
êîìïîíåíòíî íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé, R x x x x i nn
n i� � � �( , , ...., ) , , .|1 2 0 1T }
Ïðè ðàññìîòðåíèè ëèíåéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì áåç çàïàçäûâàíèÿ òèïà
dx t
dt
A t x t
( )
( ) ( )� (9)
ââîäèòñÿ àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå íåîòðèöàòåëüíîñòè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ñóùåñòâóåò òàêîé êðèòåðèé.
Òåîðåìà 2 [3]. Ñèñòåìà (9) ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà A t( ) ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíàÿ äëÿ êàæäîãî t t� 0 .
Ïðè ðàññìîòðåíèè ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì
dx t
dt
Ax t
( )
( )� (10)
èìååò ìåñòî ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 3 [3]. Ìàòðèöà A R n n� � ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíîé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà eAt íåîòðèöàòåëüíàÿ ïðè âñåõ t � 0. Îòñþäà, åñëè A
ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíàÿ è x R n( )0 � � , òî x t R n( ) � � , t � 0, ò.å. ñèñòåìà (10)
íåîòðèöàòåëüíàÿ.
Äàëåå ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ñòàöèîíàðíóþ ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì
dx t
dt
Ax t Bx t
( )
( ) ( )� � � � . (11)
Òåîðåìà 4 [4]. Ñèñòåìà ñ çàïàçäûâàíèåì (11) ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà A ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíàÿ, à ìàòðèöà B íå-
îòðèöàòåëüíàÿ.
Ïðàêòè÷åñêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷ â îòðàñëè ñèñòåìíûõ ìåäèöèíñêèõ èññëåäî-
âàíèé (ôàðìàêîêèíåòèêà, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýïèäåìèîëîãèÿ) òðåáóþò ïîñòðîåíèÿ
ìîäåëåé òèïà (11), â êîòîðûõ ìàòðèöà A êîìïàðòìåíòíàÿ.
Òåîðåìà 5. Ïóñòü â ñèñòåìå (11) A — êîìïàðòìåíòíàÿ ìàòðèöà, B — íåîòðè-
öàòåëüíàÿ ìàòðèöà òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåò � � 0 ðåøåíèå íåðàâåíñòâà
� � ��e A B�� � �( ( ) ) | | | |min ,
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
ãäå � min ( )� — ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû. Òîãäà äëÿ ðåøå-
íèÿ ñèñòåìû (11) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
| | ( )| | | ( )| , ,x t k e t kt� � ��� � � � 0 1 . (12)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îöåíêè, êàê â òåîðåìå 1,
à èìåííî äëÿ ïîñòîÿííîé ìàòðèöû A èìååì ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó
( , ) ( )t s eA t s� � .
 ðàáîòå [3] ïîêàçàíî, ÷òî êîìïàðòìåíòíàÿ ñèñòåìà òèïà (10) ÿâëÿåòñÿ
óñòîé÷èâîé (êàê ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ñóììà âñåõ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ
íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû íå ðàñòåò ñî âðåìåíåì). Ñëåäîâàòåëüíî,
| | ( , )| | min ( )( )
t s e
A t s� ��
.
Ïîâòîðÿÿ âñå ñëåäóþùèå âûêëàäêè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 ïðè
� �� � min ( )A , ïîëó÷àåì îöåíêó (12).
Ñëåäñòâèå 1. Ïðè âûïîëíåííûå óñëîâèé òåîðåìû 5 òðèâèàëüíîå ðåøåíèå
ñèñòåìû (11), ãäå A — êîìïàðòìåíòíàÿ, B — íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà, x t( ) � 0
ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâûì.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðåäëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îöåíîê ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà äëÿ ðåøåíèé
êîìïàðòìåíòíûõ ìîäåëåé. Ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû ÿâëÿåòñÿ ïîëîæè-
òåëüíûì ðåøåíèåì êâàçèïîëèíîìèàëüíîãî íåðàâåíñòâà, êîòîðîå ìîæíî íàéòè
÷èñëåííûìè ìåòîäàìè. Âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî êîìïàðòìåíòíûå ìîäåëè èìåþò
øèðîêîå ïðèìåíåíèå â áèîëîãèè è ìåäèöèíå, ïîëó÷åííûå ýêñïîíåíöèàëüíûå
îöåíêè ñâèäåòåëüñòâóþò î ñêîðîñòè «âûçäîðîâëåíèÿ» ñèñòåìû.
CÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ì à ð ö å í þ ê  . Ï . , À í ä ð ó ù à ê ² . ª . Ôàðìàêîê³íåòè÷íà ìîäåëü êåðóâàííÿ ïàòîëîã³÷íèì
ïðîöåñîì // ³ñí. ÊÄÓ ³ì. Ò.Ã. Øåâ÷åíêà. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 113–119
2. Õ ó ñ à è í î â Ä . ß . , Ì à ð ö å í þ ê Â . Ï . Äâóõñòîðîííèå îöåíêè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ çà-
ïàçäûâàíèåì // Äîêë. ÍÀÍ Óêðàèíû. — 1996. — ¹ 8. — Ñ. 8–13
3. H a d d a d W . M . , C h e l l a b o i n a E . V . Audust stability and dissipativity theory for non-negative
dynamical systems // A thermodynamic framework for biological and physiological systems: Proc. IEEE
Conf. Decision and Control, Orlando, FL, Decem. 2001. — Orlando, 2001. — P. 442–458.
4. H a d d a d W . M . , C h e l l a b o i n a E . V . Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical
systems with time delay // Systems and Control Letters. — 2001. — N 51. — Ð. 355–361.
Ïîñòóïèëà 10.01.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 101
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86169 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:40Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Гандзюк, Н.М. 2015-09-08T18:15:48Z 2015-09-08T18:15:48Z 2013 Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием / В.П. Марценюк, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 96-101. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86169 517.929 Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу для розв язків компартментних моделей із запізненням. Побудова оцінок таких систем є актуальною, оскільки значну увагу в галузі системних медичних досліджень направлено на вивчення задач, що описуються компартментними моделями. The paper proposes a method to construct the exponential estimates for solutions of compartmental models with time delay. Constructing estimates for such systems is important since much attention in medical system study is paid to problems described by compartmental models. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием Метод побудови оцінки стійкості в компартментній моделі з запізненням Method of constructing the stability estimate for compartmental models with time delay Article published earlier |
| spellingShingle | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием Марценюк, В.П. Гандзюк, Н.М. Системный анализ |
| title | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием |
| title_alt | Метод побудови оцінки стійкості в компартментній моделі з запізненням Method of constructing the stability estimate for compartmental models with time delay |
| title_full | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием |
| title_fullStr | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием |
| title_full_unstemmed | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием |
| title_short | Метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием |
| title_sort | метод построения оценки устойчивости в компартментной модели с запаздыванием |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86169 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp metodpostroeniâocenkiustoičivostivkompartmentnoimodeliszapazdyvaniem AT gandzûknm metodpostroeniâocenkiustoičivostivkompartmentnoimodeliszapazdyvaniem AT marcenûkvp metodpobudoviocínkistíikostívkompartmentníimodelízzapíznennâm AT gandzûknm metodpobudoviocínkistíikostívkompartmentníimodelízzapíznennâm AT marcenûkvp methodofconstructingthestabilityestimateforcompartmentalmodelswithtimedelay AT gandzûknm methodofconstructingthestabilityestimateforcompartmentalmodelswithtimedelay |