Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями
Розглянуто загальну схему каркасного аналізу предметної області, яка описує широкий клас задач динамічної теорії пружності, що дозволяє розробити інструментальний програмний засіб синтезу застосувань (CASE-засіб) чисельного паралельного високоточного розв язання цього класу задач. Наведено схему вис...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86176 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями / Б.Е. Панченко, А.М. Назаренко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 172-187. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859791302792577024 |
|---|---|
| author | Панченко, Б.Е. Назаренко, А.М. |
| author_facet | Панченко, Б.Е. Назаренко, А.М. |
| citation_txt | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями / Б.Е. Панченко, А.М. Назаренко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 172-187. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто загальну схему каркасного аналізу предметної області, яка описує широкий клас задач динамічної теорії пружності, що дозволяє розробити інструментальний програмний засіб синтезу застосувань (CASE-засіб) чисельного паралельного високоточного розв язання цього класу задач. Наведено схему високоточного паралельного розв язання систем сингулярних інтегральних рівнянь, які виникають при дослідженні задач дифракції пружних гармонійних хвиль на системах неоднорідностей довільного поперечного перетину. Наведено нові результати обчислень.
We present a general scheme of framework analysis of the subject domain that describes a wide class of problems of the dynamic elasticity theory, which allows developing a software tool for the synthesis of applications (CASE-method) of the numerical high-precision parallel solution of this class of problems. We propose a scheme of the high-precision parallel solution to systems of singular integral equations (SIE) that occur in the analysis of certain problems of diffraction of elastic harmonic waves on systems of discontinuities of an arbitrary cross-section. New numerical results are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-02T11:51:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.652, 539.3
Á.Å. ÏÀÍ×ÅÍÊÎ, À.Ì. ÍÀÇÀÐÅÍÊÎ
ÊÀÐÊÀÑÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÉ ÎÁËÀÑÒÈ:
ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÇÀÄÀ×È ÒÅÎÐÈÈ
ÓÏÐÓÃÎÑÒÈ ÄËß ÈÇÎÒÐÎÏÍÛÕ ÑÐÅÄ Ñ ÏÐÎÈÇÂÎËÜÍÛÌÈ
ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÎÑÒßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðåëÿöèîííûé êàðêàñ, ñõåìà ðåëÿöèîííîé áàçû äàííûõ, ïðåä-
ìåòíàÿ îáëàñòü — äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè, èçîòðîïíûå ñðå-
äû ñ ïðîèçâîëüíûìè íåîäíîðîäíîñòÿìè, CASE-ñðåäñòâî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñîâðåìåííûå âû÷èñëèòåëüíûå êîìïëåêñû â ñî÷åòàíèè ñ ïðîãðàììíûìè ñèñòå-
ìàìè, áàçèðóþùèìèñÿ íà îáóñëîâëåííûõ àëãîðèòìàõ, ïîçâîëÿþò âûñîêîýôôåê-
òèâíî ìîäåëèðîâàòü íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå ñðåä ñ óñëîæíåí-
íûìè ñâîéñòâàìè. Îäíàêî âîïðîñ àâòîìàòèçèðîâàííîãî ñèíòåçà ïðèëîæåíèé,
ãèáêî ïåðåíàñòðàèâàåìûõ â çàâèñèìîñòè îò èçìåíåíèÿ êîíôèãóðàöèè ìåõàíè-
÷åñêèõ ñèñòåì, ïðàêòè÷åñêè íå èçó÷åí. Áîëüøèíñòâî èññëåäîâàíèé â ýòîé îá-
ëàñòè ïîñâÿùåíî ðàçâèòèþ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ [1]. Îäíàêî ñóùåñòâóþò
èíûå ïîäõîäû, ïîçâîëÿþùèå ñóùåñòâåííî ýêîíîìèòü âû÷èñëèòåëüíûå ðåñóðñû è
òåì ñàìûì ïîâûøàòü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñà
ïðîåêòèðîâàíèÿ èíñòðóìåíòàëüíûõ ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ (CASE-ñðåäñòâ) [2],
ïîçâîëÿþùèõ ñèíòåçèðîâàòü è ñîïðîâîæäàòü ïðèëîæåíèÿ (ìîäåëèðóþùèå äèíà-
ìè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñëîæíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì) íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðî-
âàòü èìåííî ýòè ìåòîäèêè ðåøåíèÿ çàäà÷ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä.
Äëÿ àíàëèçà ðåñóðñîâ êîíñòðóêöèé, èìåþùèõ çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî íåîäíî-
ðîäíîñòåé è ðàáîòàþùèõ ïîä âîçäåéñòâèåì äèíàìè÷åñêèõ íàãðóçîê, íåîáõîäèìî
èññëåäîâàòü âçàèìîäåéñòâèå âîëí ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé â óïðóãîé ñðåäå
ñ îòâåðñòèÿìè, âêëþ÷åíèÿìè, òðåùèíàìè è ëèíåéíûìè âñòàâêàìè. Ïîýòîìó èç-
ó÷åíèå äèôðàêöèè óïðóãèõ âîëí íà ñèñòåìàõ ïðîèçâîëüíûõ íåîäíîðîäíîñòåé ÿâ-
ëÿåòñÿ âàæíûì è àêòóàëüíûì âîïðîñîì. Îäíàêî ââèäó ïðèâëå÷åíèÿ áîëüøèõ
îáúåìîâ âû÷èñëåíèé è çíà÷èòåëüíûõ ðåñóðñîâ öèôðîâîé ïàìÿòè òàêèå çàäà÷è
ìàëî èññëåäîâàíû.  ñâÿçè ñ ýòèì îñîáîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàþò ýôôåêòèâíûå
ïàðàëëåëüíûå àëãîðèòìû, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæàò îáîñíîâàííûå àíàëèòè÷åñêèå
ìåòîäû [3]. Äëÿ ðåøåíèÿ ïëîñêèõ è àíòèïëîñêèõ çàäà÷ òåîðèè äèôðàêöèè [4, 5]
áîëüøîé ýôôåêòèâíîñòüþ îáëàäàåò ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé [6–8]. Äî-
ïîëíèòåëüíûå ïðåèìóùåñòâà ýòîãî ïîäõîäà çàêëþ÷àþòñÿ â ñîêðàùåíèè ÷èñëà
ïðîñòðàíñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, äîñòàòî÷íî âûñîêîé ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè
è âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ýôôåêòèâíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ
ðåøåíèÿ [6]. Êðîìå òîãî, ìåòîä îáëàäàåò áîëüøèìè âîçìîæíîñòÿìè ïðè
ïîñòðîåíèè ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñõåì [9].
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ïðîãðàììíîãî CASE-ñðåäñòâà ñèíòåçà è ñîïðîâîæäåíèÿ
ïðèëîæåíèé, êàê ïðàâèëî, ïðåäìåòíàÿ îáëàñòü (ÏðÎ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
ñõåìû áàçû äàííûõ (ÁÄ) [2, 10], è âñå äàëüíåéøèå äåéñòâèÿ ñâîäÿòñÿ ê ïðîåê-
òèðîâàíèþ èíñòðóìåíòàëüíîãî ïðèëîæåíèÿ ÁÄ.
Öåëü íàñòîÿùåé ñòàòüè — àíàëèç ñïåöèàëèçèðîâàííîé ÏðÎ — ìåòîäà ñèí-
ãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÈÓ), à òàêæå àëãîðèòìà ïàðàëëåëüíîãî
172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
© Á.Å. Ïàí÷åíêî, À.Ì. Íàçàðåíêo, 2013
÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÑÈÓ íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ äèíàìè÷åñêîé òåî-
ðèè óïðóãîñòè. Ðåçóëüòàòîì àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ñõåìû ÁÄ è, êàê ñëåä-
ñòâèå, ïðîåêò CASE-ñðåäñòâà ïàðàëëåëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåì ÑÈÓ, ðàçðàáîòàí-
íûé íà ÏðÎ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ñèñòåì íåîäíîðîäíîñòåé â èçîòðîïíîé
íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå, íàõîäÿùåéñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí
ïëîñêîé è àíòèïëîñêîé äåôîðìàöèè.
Ñõåìó ÁÄ èññëåäóåìîé ÏðÎ áóäåì ðàçðàáàòûâàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì êàðêàñ-
íîãî àíàëèçà, êîãäà ðåëÿöèîííûé êàðêàñ [10] èñïîëüçóåòñÿ êàê øàáëîí ñõåìû.
Êàðêàñíûé àíàëèç ÏðÎ ïîçâîëèë ñôîðìèðîâàòü ñïèñêè îñíîâíûõ ñóùíîñòåé-
îáúåêòîâ, à òàêæå âñåõ ñâÿçåé ìåæäó íèìè. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ïðèäàòü ñòðóê-
òóðå ðàçðàáàòûâàåìîé ïðîãðàììíîé ñèñòåìû ñîîòâåòñòâèå òðåáîâàíèÿì ìîäèôè-
öèðóåìîñòè è áåçàíîìàëüíîñòè [10], ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î
êðîññïëàòôîðìíîñòè è èíòåðîïåðàáåëüíîñòè ïðîåêòèðóåìîãî ñðåäñòâà.
Äîïîëíèòåëüíûì êîíêóðåíòíûì ïðåèìóùåñòâîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ
âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ñîâðåìåííûõ OLAP-ðåøåíèé ê ïîëó÷àåìûì èòîãîâûì
ìíîæåñòâàì (ìàññèâàì ðåøåíèé), õðàíèìûì â ðåëÿöèîííîé ÁÄ, è ñîîòâåòñòâåí-
íî ÷èñëåííîìó [11] ðåøåíèþ îáðàòíûõ çàäà÷ ìåõàíèêè — çàäà÷è èäåíòèôèêà-
öèè è çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ïîâåäåíèåì ñèñòåì.
Òàêîé àíàëèç ïîçâîëÿåò ó÷åñòü â ñõåìå ÁÄ âñå íåîáõîäèìûå ñîâîêóïíîñòè
ñóùíîñòåé-îáúåêòîâ — ìåòàäàííûõ, ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê èññëåäóå-
ìûõ ðåøåòîê, èñêîìûõ âåëè÷èí, îáúåêòîâ èíòåðôåéñà ïðèëîæåíèé è ò.ä. Ïðè
ýòîì îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ñòðóêòóðû ÏðÎ, ïîëîæåííûå â îñíîâó ïðîåêòè-
ðóåìîãî èíñòðóìåíòàëüíîãî ñðåäñòâà, ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ñïèñêîâ, à îñíîâ-
íûå ôóíêöèè — êàê ïðîöåäóðû îòñëåæèâàíèÿ öåëîñòíîñòè äàííûõ. Ðàññìîòðèì
áîëåå ïîäðîáíî íåêîòîðûå áàçîâûå çàäà÷è, à òàêæå îñíîâíûå îòëè÷èòåëüíûå
îñîáåííîñòè ìåòîäà ÑÈÓ äëÿ êàæäîé èç íèõ.
ÀÍÒÈÏËÎÑÊÀß ÄÅÔÎÐÌÀÖÈß
Ïîä ïðîäîëüíûì ñäâèãîì (èëè àíòèïëîñêîé äåôîðìàöèåé) ïîíèìàþò íàïðÿ-
æåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå öèëèíäðè÷åñêîãî òåëà, íàãðóæåííîãî ïî
áîêîâîé ïîâåðõíîñòè óñèëèÿìè, êîòîðûå íàïðàâëåíû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäå-
ëåíû âäîëü îáðàçóþùåé. Ïðåäïîëàãåòñÿ, ÷òî îñü äåôîðìàöèè íàïðàâëåíà
âäîëü îñè OZ äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXYZ. Îòëè÷íû-
ìè îò íóëÿ ÿâëÿþòñÿ äâå êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé: �13 , � 23 è ïåðåìå-
ùåíèå W x y t( , , ) , ïðè÷åì
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�13 23
2
2x y
f
W
t
, � �13 �
�
�
W
x
, � �23 �
�
�
W
y
,
ãäå � — ïëîòíîñòü, � — ìîäóëü ñäâèãà ñðåäû, t — âðåìÿ, f — îáúåìíàÿ ñèëà.
Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ïåðåìåùåíèå W x y t( , , ) óäîâëåòâîðÿåò íåîäíîðîäíîìó
âîëíîâîìó óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà [6]:
� �
�
�
� �2
2
2
2
1 1
W
c
W
t
f
�
, c2 �
�
�
.
Ñèñòåìà öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíîðîäíîñòåé â áåñêîíå÷íîé ñðåäå. Ðàññìîò-
ðèì íåîãðàíè÷åííîå èçîòðîïíîå ïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç m
áåñêîíå÷íûõ âäîëü îñè OZ íåîäíîðîäíîñòåé, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðûõ ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé çàìêíóòûå (áåç îáùèõ òî÷åê) èëè ðàçîìêíóòûå êîíòóðû ïðîèçâîëüíîé
ôîðìû. Ïóñòü L — ñîâîêóïíîñòü ýòèõ êîíòóðîâ è ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå âûáðà-
íî òàê, ÷òî ïðè äâèæåíèè âäîëü L îáëàñòü D1 îñòàåòñÿ ñëåâà (ðèñ. 1).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 173
Ñîâîêóïíîñòü L âêëþ÷àåò ñî-
âîêóïíîñòè
• êîíòóðîâ îäíîðîäíûõ
óïðóãèõ âêëþ÷åíèé (L( )1 );
• êîíòóðîâ îòâåðñòèé (L( )2 );
• çàìêíóòûõ êîíòóðîâ îäíî-
ðîäíûõ æåñòêèõ âêëþ÷åíèé
(L( )3 );
• ðàçîìêíóòûõ êîíòóðîâ êðè-
âîëèíåéíûõ æåñòêèõ âñòà-
âîê (L( )4 );
• êðèâîëèíåéíûõ êîíòóðîâ òðåùèí-ðàçðåçîâ (L( )5 ).
Èñòî÷íèêîì âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ïîëÿ ïåðåìåùåíèé ìîæåò áûòü íàáåãàþ-
ùàÿ íà öèëèíäðû èç áåñêîíå÷íîñòè ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ SH-âîëíà èëè ãàðìîíè÷å-
ñêèé ñîñðåäîòî÷åííûé èñòî÷íèê çàäàííîé èíòåíñèâíîñòè [7].  ðåçóëüòàòå âçàèìî-
äåéñòâèÿ ïðèõîäÿùåé âîëíû ñ äàííîé ñèñòåìîé íåîäíîðîäíîñòåé âîçíèêàåò ñëîæ-
íîå äèôðàãèðîâàííîå âîëíîâîå ïîëå. Ñ÷èòàåì, ÷òî îòðàæåííàÿ è ïðîíèêàþùàÿ
(ñëó÷àé ïðèñóòñòâèÿ óïðóãèõ âêëþ÷åíèé) âîëíû èìåþò òó æå ÷àñòîòó êîëåáàíèé,
÷òî è âîçáóæäàþùèé èñòî÷íèê. Ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïåðåõîä ê àìïëèòóäàì ïåðå-
ìåùåíèé. Ïóñòü W0 , W1 , W2 — àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé âîçáóæäàþùåãî, îòðà-
æåííîãî è ïðîíèêàþùåãî ïîëåé ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà îáùåå ïîëå àìïëèòóä W ñî-
ñòàâëÿåòW W W� � �0 1 â ìàòðèöå (îáëàñòü D1) è W W� � 2 âíóòðè óïðóãèõ âêëþ÷å-
íèé (îáëàñòü D2).  ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè (e i t� � )
àìïëèòóäû W1 è W2 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãåëüìãîëüöà [6].
Ñôîðìóëèðóåì êðàåâûå óñëîâèÿ íà ñîâîêóïíîñòè L äëÿ ðàçðåøàþùèõ óðàâ-
íåíèé Ãåëüìãîëüöà:
1) íà L( )1 : � �
n n
0 0
� �� , W W� �� — óñëîâèå òèïà ñêëåéêè ñîîòâåòñòâóþùèõ
êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé è ïåðåìåùåíèé ñî ñòîðîíû ìàòðèöû è âêëþ÷åíèé;
2) íà L( )2 : � �
n
W
n0
1
0
0�
�
�
�
�
� ;
3) íà L( )3 : W � � const;
4) íà L( )4 : W � � const;
5) íà L( )5 : �
n0
0� � — áåðåãà òðåùèí-ðàçðåçîâ ñâîáîäíû îò ñèë.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à äèôðàêöèè SH-âîëí íà ñèñòåìå íåîäíîðîäíîñòåé
ðàññìîòðåííîãî òèïà â íåîãðàíè÷åííîé èçîòðîïíîé ñðåäå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ
óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà ïðè âûïîëíåíèè êðàåâûõ óñëîâèé íà L è äîïîëíèòåëü-
íûõ óñëîâèé èçëó÷åíèÿ òèïà Çîììåðôåëüäà íà áåñêîíå÷íîñòè [6].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷ 1–4 îñíîâàíî íà ïðåäñòàâëåíèè
àìïëèòóäû W1 ðàññåÿííîãî ïîëÿ (è àìïëèòóäû W2 ïðîíèêàþùåãî ïîëÿ ïðè íàëè-
÷èè L( )1 ) â âèäå ïîòåíöèàëà òèïà ïðîñòîãî ñëîÿ [9]
W x y f s G x y dsm m m
L
( , ) ( ) ( , , , )� � � � , G
i
H rm m�
1
4 0
1( ) ( ) , m �1 2, , (1)
r z� �| |
, z x iy� � ,
� �� � i L ,
à ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è 5 — â âèäå ïîòåíöèàëà òèïà äâîéíîãî ñëîÿ
W x y g s
G
n
ds
L
1
5
( , ) ( )
( )
� �
�
�� . (2)
174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ðèñ. 1
n s
s0
n0
D1
Äàííûå èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþò íåîáõîäè-
ìûì óðàâíåíèÿì Ãåëüìãîëüöà è óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Îñòà-
åòñÿ âûïîëíèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà êîíòóðàõ íåîäíîðîäíîñòåé.
Ñäåëàåì ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå. Óäîâëåòâîðåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî ïå-
ðåìåùåíèÿì ïðèâîäèò ê èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ðîäà ñ ëîãàðèôìè-
÷åñêèìè ÿäðàìè, ÷èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ êîòîðûõ íåäîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíà ñ òî÷-
êè çðåíèÿ òî÷íîñòè ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé. Ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ ÑÈÓ ïåðâîãî
ðîäà, äëÿ êîòîðûõ ðàçðàáîòàíà âûñîêîòî÷íàÿ ñõåìà ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëå-
íèé [9], ãðàíè÷íîå ðàâåíñòâî ïî ïåðåìåùåíèÿì äèôôåðåíöèðîâàëîñü ïî äóãîâîé
êîîðäèíàòå s0 . Åäèíñòâåííûå ðåøåíèÿ ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà, êîòîðûå âîçíèêàþò
â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ïîëó÷àåì, åñëè
ê ýòèì óðàâíåíèÿì ïðèñîâîêóïèòü íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëüíûå ðà-
âåíñòâà (äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ), âûòåêàþùèå èç ïîñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùåé
êðàåâîé çàäà÷è.
 ñëó÷àå, åñëè ñîâîêóïíîñòü L( )1 ñîäåðæèò I êîíòóðîâ óïðóãèõ âêëþ÷åíèé,
êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äëèíó li , íåîáõîäèìûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ âûòå-
êàþò èç ðàâåíñòâà ñðåäíèõ ïåðåìåùåíèé íà Li
( )1 , i I�1, ,� :
1 1
0 0
1 1
l
W ds
l
W ds
i
i
L
i
i
Li i
� �
� ��
( ) ( )
, i I�1, ,� . (3)
Åñëè ñîâîêóïíîñòü L( )3 ñîäåðæèò K çàìêíóòûõ êîíòóðîâ ïîäâèæíûõ æåñòêèõ
âêëþ÷åíèé, äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëüíûå ðàâåíñòâà (äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ)
ñëåäóþò, èñõîäÿ èç çàêîíîâ äâèæåíèÿ âêëþ÷åíèé êàê àáñîëþòíî æåñòêèõ òåë.
Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âêëþ÷åíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� � �
n
k
L
k
L
ds S W ds
k k
0
3 3
0
2
0 0 0
� �
� �� �
( ) ( )
, k K�1, ,� , (4)
ãäå � — ÷àñòîòà êîëåáàíèé, � 0 è S 0 — ñîîòâåòñòâåííî ïëîòíîñòü è ïëîùàäü
îäíîðîäíûõ æåñòêèõ âêëþ÷åíèé.
Åñëè L( )4 — ñîâîêóïíîñòü M êîíòóðîâ êðèâîëèíåéíûõ æåñòêèõ âñòàâîê, äî-
ïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ âûòåêàþò èç ðàâåíñòâà íóëþ ãëàâíîãî âåêòîðà ñèë,
äåéñòâóþùèõ íà êîíòóðå Lm
( )4 m-é âñòàâêè (m M�1, ,� ):
f s dsm m
L m
1
4
0( )
( )
� � , f s
W
n
m
1 ( ) �
�
�
�
�
�
� íà Lm
( )4 . (5)
Óäîâëåòâîðåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà L ñâîäèò ðàññìàò-
ðèâàåìûå êðàåâûå çàäà÷è ê ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Èçëîæèì ýòî
áîëåå ïîäðîáíî.
1. Íà L( )1 âûïîëíåíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî íàïðÿæåíèÿì ïðèâîäèò ê èí-
òåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, à âûïîëíåíèå ìîäèôèöèðî-
âàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî ïåðåìåùåíèÿì — ê ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà. Äëÿ çàìû-
êàíèÿ àëãîðèòìà íåîáõîäèìî ïðèñîâîêóïèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ (3).
2. Íà L( )2 êðàåâàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâ-
íåíèé Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà.
3. Íà L( )3 ìîäèôèöèðîâàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
dW
ds
�
�
0
0 ïðèâîäÿò ê ñèñ-
òåìå ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà. Íåîáõîäèìûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ðàçðåøè-
ìîñòè ýòèõ óðàâíåíèé âûòåêàþò èç (4).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 175
4. Íà L( )4 òàêæå âûïîëíÿþòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
dW
ds
�
�
0
0 , â ðåçóëüòàòå èìååì ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà íà ñèñòåìå ðàçîìêíóòûõ êîíòó-
ðîâ. Äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëüíûå ðàâåíñòâà, îáåñïå÷èâàþùèå åäèíñòâåííîñòü
ðåøåíèÿ, èìåþò âèä (5). Çäåñü ïëîòíîñòè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ðàâíû ñêà÷-
êàì ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè îò àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèÿ ( f s
W
n
m
1 ( ) �
�
�
�
�
�
� íà
Lm
( )4 ), è îíè èìåþò êîðíåâóþ îñîáåííîñòü íà êîíöàõ m-é êðèâîëèíåéíîé âñòàâêè
(m M�1, ,� ).
5. Íà L( )5 èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (2) àâòîìàòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåò íå-
ïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè îò ïåðåìåùåíèÿ. Ñêà÷îê ïåðåìåùåíèÿ íà
L( )5 èìååò âèä (g s Wn( ) [ ]� íà Ln
( )5 , n N�1, ,� ). Êðàåâàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñèí-
ãóëÿðíûì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ðîäà. Íåîáõîäèìûå
äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ âûòåêàþò èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ñêà÷êîâ ïåðåìå-
ùåíèé íà êîíöàõ Ln
( )5 , n N�1, ,� :
dg
dsn
L n
�� 0
5( )
, n N�1, ,� . (6)
Çäåñü ðåøåíèå
dg
dsn
èìååò êîðíåâóþ îñîáåííîñòü íà êîíöàõ n-ãî ðàçðåçà.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà çàïèøåì ÑÈÓ äëÿ ñëó÷àÿ L L L� �( ) ( )1 2 , ãäå L( )1 — ñîâî-
êóïíîñòü I êîíòóðîâ óïðóãèõ âêëþ÷åíèé, L( )2 — ñîâîêóïíîñòü J êîíòóðîâ
ïîëîñòåé. Èìååì
1
2
1
2
1 1 10 2 2 10
� �f s f si i( ) ( )� �
� �� �( ( , ) ( ) ( , ) ( ))� �1 10 1 1 1 2 10 1 2 1 1
K s s f s K s s f s dsi p p i p p p
Lp
I
p
( )11
��
�
�
� ���
�
�1 10 2 2 2
1
1 10
2
K s s f s ds N si r r r
Lr
J
i
r
( , ) ( ) ( )
( )
,
( ( , ) ( ) ( , ) ( ))
( )
M s s f s M s s f s dsi p p i p p p
Lp
� ��
10 1 1 1 10 1 2 1 1
1
��
�
�
p
I
1
� ���
�
M s s f s ds N si r r r
Lr
J
i
r
( , ) ( ) ( )
( )
10 2 2 2
1
2 10
2
, i I�1, ,� ,
1
2
1 20 1 20 1 1 1 1
1 1
� �f s K s s f s dsj j p p p
Lp
I
p
( ) ( , ) ( )
( )
� ��
�
��
� ���
�
�1 20 2 2 2
1
3 20
2
K s s f s ds N sj r r r
Lr
J
j
r
( , ) ( ) ( )
( )
, j J�1, ,� . (7)
Çäåñü ÿäðà M s si p� ( , )
10 1
, M s si p� ( , )
10 1
— ñèíãóëÿðíû, îñòàëüíûå ÿäðà — íå-
ïðåðûâíû. ÑÈÓ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ñîâìåñòíî ñ äîïîëíèòåëüíûìè
óñëîâèÿìè (3).
 ñëó÷àå ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ çàùåìëåííîé èëè ñâîáîäíîé îò ñèë ãðàíèöåé
y � 0 ñèñòåìà ÑÈÓ ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà, åñëè èñõîäèòü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ
èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé, ðàññìîòðåííûõ â [12–14].
176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ïåðèîäè÷åñêàÿ ñèñòåìà íåîäíîðîäíîñòåé â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå. Ìå-
òîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàçâèâàåìûé â äàííîé ðàáîòå, ÿâëÿåòñÿ óíèâåð-
ñàëüíûì. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåìàÿ ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà
ñëó÷àé äèôðàêöèè ãàðìîíè÷åñêîé âîëíû ñäâèãà W e
i y
0
2� ��
íà 2d-ïåðèîäè÷åñ-
êîé ðåøåòêå, ñîñòàâëåííîé èç íåîäíîðîäíîñòåé óêàçàííîãî òèïà (ðèñ. 2).
 ýòîé ïîñòàíîâêå òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëå-
íèÿ (1), (2), åñëè â íèõ â êà÷åñòâå ôóíêöèé èñòî÷íèêà G1 è G2 âûáðàòü ïåðèîäè-
÷åñêèå ôóíêöèè èñòî÷íèêà äëÿ îáëàñòåé D1 è D2 (ñëó÷àé ïðèñóòñòâèÿ â ðåøåòêå
óïðóãèõ âêëþ÷åíèé). Èìååì [15]
G x ym ( , , , )� � �
� �
� ��
�
��
�
�
���
ln
ln sin
( )
sin
( ) (2
2
1
4 2 2
1
2� �
�
�
z
d
z
d d
f
k
m ) ( )cos ( )y xk
k
� �
�
�
� � � �
0
, (8)
f p
p e
i
m
i p
m
m
0 2 2
( )
| |
( )
| |
� � �
, f p
e
i
e
k
m
i p
k
m
p
k
k
m
k
( )
| |
( )
| |
( )
( )
� �
�
�
�
, k � 0 , �
�
k
k
d
� ,
�
k
m
m k
( ) � �2 2 , �m k� ,
�
k
m
k mi( ) � �2 2 , � k m� , m �1 2, .
Ðÿä â (8) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî: â òî÷êå ïðèëîæåíèÿ èñòî÷íèêà
îáùèé ÷ëåí ðÿäà âåäåò ñåáÿ êàê
1
3k
. Ïðè òàêîì âûáîðå
k
m( ) äëÿ ðàñïðîñòðàíÿþ-
ùèõñÿ ìîä çíàêè ãðóïïîâîé è ôàçîâîé ñêîðîñòåé â êàæäîé ìîäå ñîâïàäàþò ïî
âñåé îáëàñòè ÷àñòîò. Îäèíàêîâàÿ íàïðàâëåííîñòü ôàçîâîé ñêîðîñòè è ñêîðîñòè
ïåðåíîñà ýíåðãèè â ãàðìîíè÷åñêîé âîëíå îáåñïå÷èâàþò âûïîëíåíèå óñëîâèé
èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè [6].
Àíàëîãè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü è â ñëó÷àå ïîëóïðîñòðàí-
ñòâà [13, 14].
Ñèñòåìà öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíî-
ðîäíîñòåé â âîëíîâîäàõ. Ïðåäñòàâëÿåò èí-
òåðåñ èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîé íàïðÿ-
æåííîñòè íåðåãóëÿðíûõ âîëíîâîäîâ ïðè
ðàñïðîñòðàíåíèè â íèõ ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí
ñäâèãà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñòåíêè âîëíîâî-
äà x � 0 è x d� ñâîáîäíû îò ñèë (A � �1)
èëè çàùåìëåíû (A �1), à íåðåãóëÿðíîñòü
âîëíîâîäà âûçâàíà íàëè÷èåì âíóòðè íåãî
öèëèíäðè÷åñêèõ ïîëîñòåé, æåñòêèõ èëè
óïðóãèõ âêëþ÷åíèé, êðèâîëèíåéíûõ æåñò-
êèõ âñòàâîê èëè òðåùèí-ðàçðåçîâ (ðèñ. 3).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 177
Ðèñ. 2
�2d � d 0
D1
d 2d
Ðèñ. 3
d
D1
Âîçáóæäàþùåé íàãðóçêîé ìîæåò áûòü èçëó÷àþùàÿñÿ èç áåñêîíå÷íîñòè ãàðìîíè-
÷åñêàÿ SH-âîëíà èëè ëèíåéíûé ãàðìîíè÷åñêèé èñòî÷íèê.
Ñëåäóÿ âûáðàííîé ìåòîäèêå èññëåäîâàíèÿ, â èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíè-
ÿõ (1) è (2) âìåñòî ôóíêöèé èñòî÷íèêà G1 è G2 èñïîëüçóåòñÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî âîëíîâîäà (A � �1 èëè A �1). Èìååì [16]
G x y
A z
d
A z
( , , , ) ln ln sin
( )
ln sin
(
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
2
2
1
2 2 2
)
2d
�
� � �
�
�
�
�
��
�
�
1
0d
f y
x
xk
m k k
k kk
( ) ( )
cos cos
sin sin
�
� � �
� � �
, m �1 2, . (9)
Çäåñü â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ âåðõíèå çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ñëó÷àþ âîëíîâîäà
ñî ñâîáîäíûìè îò ñèë ñòåíêàìè (A � �1), íèæíèå — ñëó÷àþ âîëíîâîäà ñ çà-
ùåìëåííûìè ñòåíêàìè (A �1).
Ïðè âûáîðå âåòâè êîðíÿ â âûðàæåíèè äëÿ
k
m( ) (ñì. (8)) èçëó÷àåìàÿ ýíåðãèÿ
îãðàíè÷åíà ïðè y �� è âîëíîâîå ïîëå âíóòðè âîëíîâîäà íîñèò õàðàêòåð ðàñõîäÿ-
ùèõñÿ âîëí, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ (çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè e i t� � ).
Òî÷êè � k m� ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè âîçíèêíîâåíèÿ íîâûõ âîëíîâîäíûõ ðàñïðîñòðà-
íÿþùèõñÿ ãàðìîíèê.  ñëó÷àå çàùåìëåííîãî âîëíîâîäà (A �1) ãàðìîíèêè íà÷èíàþò
âîçíèêàòü ïðè �m � 1 è èõ ÷èñëî ðàâíî
�
m d
�
�
�
� ; åñëè ñòåíêè âîëíîâîäà ñâîáîäíû
îò ñèë (A � �1), òî ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âîëíû íàáëþäàþòñÿ ïðè ëþáîé ÷àñòîòå
è èõ ÷èñëî ðàâíî 1�
�
�
�
�
�
m d
( [ ]! îçíà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà).
Ïðè ïîäñòàíîâêå ôóíêöèé Ãðèíà (9) â èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (1) àâòî-
ìàòè÷åñêè áóäóò óäîâëåòâîðåíû ðàçðåøàþùèå óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà, îáåñïå-
÷åíî âûïîëíåíèå óñëîâèé èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà
ñòåíêàõ âîëíîâîäà. Êðîìå òîãî, â ñëó÷àå L( )4 àâòîìàòè÷åñêè îáåñïå÷èâàåòñÿ íå-
ïðåðûâíîñòü ïåðåìåùåíèÿ è ñêà÷êà ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè îò ïåðåìåùåíèÿ íà
ñèñòåìå êðèâîëèíåéíûõ æåñòêèõ âñòàâîê. Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå L( )5 ïðåäñòàâëå-
íèå (2) àâòîìàòè÷åñêè äàåò ñêà÷êà ïåðåìåùåíèÿ íà ñèñòåìå êðèâîëèíåéíûõ òðå-
ùèí-ðàçðåçîâ. Ïîäñòàíîâêà èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
íà L ñîîòâåòñòâóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷ ñâîäèò ïîñëåäíèå ê ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé. (Òèï è ñòðóêòóðà ýòèõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé îïèñàíû âûøå.) Åñëè
èñïîëüçóþòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïî ïåðåìåùåíèÿì (äèôôå-
ðåíöèðîâàíèå ïî äóãîâîé êîîðäèíàòå s0), ê âîçíèêàþùèì ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà
íåîáõîäèìî ïðèñîâîêóïèòü äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëüíûå ðàâåíñòâà,
îáåñïå÷èâàþùèå îäíîçíà÷íîñòü ðåøåíèé.
ÏËÎÑÊÀß ÄÅÔÎÐÌÀÖÈß
Ïîä ïëîñêîé äåôîðìàöèåé ïîíèìàþò íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå
öèëèíäðè÷åñêîãî òåëà, íàãðóæåííîãî ïî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè óñèëèÿìè,
äåéñòâóþùèìè â ïëîñêîñòè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îñü
öèëèíäðà íàïðàâëåíà âäîëü îñè 0Z äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò, ïåðåìåùåíèå V3 âäîëü ýòîé îñè ðàâíî íóëþ, à ïåðåìåùåíèÿ V1 è V2 ,
à òàêæå è êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé � i j (i j, ,�1 2) çàâèñÿò òîëüêî îò
êîîðäèíàò X è Y . Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ èçîòðîïíîãî
òåëà � �13 23 0� � è � � � �33 11 22� �( ) , ãäå � — êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ñðåäû.
Ñèñòåìà íåîäíîðîäíîñòåé â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå. Ïóñòü â íåîãðàíè÷åí-
íîé èçîòðîïíîé ñðåäå èìååòñÿ ñèñòåìà áåñêîíå÷íûõ âäîëü îñè OZ öèëèíäðè÷åñ-
êèõ íåîäíîðîäíîñòåé (ñì. ðèñ. 1), ïðè÷åì âíåøíåå ïîëå ïåðåìåùåíèé äåéñòâóåò
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè OZ. Ïðè òàêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ èìååì óñëîâèÿ ïëîñêîé
äåôîðìàöèè.  êà÷åñòâå âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ áóäåì ðàññìàòðèâàòü íàáåãàþ-
ùóþ íà öèëèíäðû èç áåñêîíå÷íîñòè ìîíîõðîìàòè÷åñêóþ âîëíó ðàñøèðå-
íèÿ-ñæàòèÿ (� � const)
V
0
1 0( ) � , V e
i y
0
2 1
1
( )
( )
�
�
�
,
�
1
1
1
1
( )
( )
�
c
, c
1
1 1 1
1
2( ) �
�� �
�
(10)
èëè âîëíó ñäâèãà (� � const)
V e
i y
0
1 1
2
( )
( )
�
�
�
, V
0
2 0( ) � ,
�
1
2
1
2
( )
( )
�
c
, c
1
2 1
1
( ) �
�
�
. (11)
Çäåñü c
1
1( ) è c
1
2( )— ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâåííî ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé âîëí â
ìàòðèöå (îáëàñòü D1). Àíàëîãè÷íûå ñêîðîñòè âíóòðè îäíîðîäíûõ âîëîêîí (îá-
ëàñòü D2) áóäåì îáîçíà÷àòü c
2
1( ) è c
2
2( ) (�1, �1 è � 2 , �2 — êîýôôèöèåíòû
Ëÿìý, à �1, � 2— ïëîòíîñòè ìàòðèöû è èíîðîäíûõ âêëþ÷åíèé ñîîòâåòñòâåííî).
Ïðè âçàèìîäåéñòâèè ïðèõîäÿùåé âîëíû ñ öèëèíäðàìè âîçíèêàþò îòðàæåí-
íûå è ïðîõîäÿùèå âíóòðü öèëèíäðîâ (åñëè îíè ÿâëÿþòñÿ óïðóãèìè âêëþ÷åíèÿìè)
âîëíû òîëüêî äâóõ òèïîâ: ïðîäîëüíûå è ïîïåðå÷íûå [17]. Ïóñòü V
k
( )1 è V
k
( )2 —
àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé îòðàæåííîãî (k �1) è ïðîõîäÿùåãî (k � 2) ïîëåé
ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà êîìïîíåíòû îáùåãî ïîëÿ ïåðåìåùåíèé
� �
V V� � ïðè k �1
è
� �
V V� � ïðè k � 2 îïðåäåëÿþòñÿ êàê
V V k V
k
( ) ( ) ( )( )1 1
0
12� � � , V V k V
k
( ) ( ) ( )( )2 2
0
22� � � . (12)
 ñëó÷àå ãàðìîíè÷åñêîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè (e i t� � ) êîìïîíåíòû âåêòî-
ðîâ àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé
�
V óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ [17]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )� � � � � ���
�
�
�
�
�
� �
�
� �
�2
2 1
2
2 1
2
2 1
2 1V
x
V
y
V
x y
V � 0 , (13)
� � � � � ��
�
�
� �
�
�
� �
�
� �
�
2 2
2
2 2
2
2 2
2 22
V
x
V
y
V
x y
V
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) � 0
ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì çàäàíèè ïàðàìåòðîâ ìàòðèöû è âêëþ÷åíèé.
Íà áåñêîíå÷íîñòè ( y ��) ïîëå ðàññåÿííîé âîëíû äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü
óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ, ò.å. êîìïîíåíòû V
1
1( ) è V
1
2( ) äîëæíû ïðåäñòàâëÿòü
ðàñõîäÿùèåñÿ âîëíû.
Áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò òåíçîðà íà-
ïðÿæåíèé ñâÿçàíû ñ àìïëèòóäàìè ïåðåìåùåíèé ôîðìóëàìè [17]
� � � �11 22
1 2 1 2
2� � �
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )V iV
z
V iV
z �
�
�
, (14)
z x iy� � , z x iy� � ,
� � � �22 11 12
1 2
2 4� � � �
� �
�
i
V iV
z
( )( ) ( )
, � � � �22 11 12
1 2
2 4� � � �
� �
�
i
V iV
z
( )( ) ( )
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 179
Îáîçíà÷èì S1 è S 2 àìïëèòóäû òàíãåíöèàëüíîé è íîðìàëüíîé êîìïîíåíò
âåêòîðà íàïðÿæåíèé
�
S íà L. Òîãäà â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå
� �0 0 0� � i L ýòè íà-
ïðÿæåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
2 21 2 11 22 22 11 12
0 0i S iS e i e
i i
( ) ( ) ( )� � � � � � �� � � � �� �
, (15)
� � � � � � ��
2 21 2 11 22 22 11 12
0 0i S iS e i e
i i
( ) ( ) ( )� � � � �� �
,
ãäå �0 — óãîë ïîëîæèòåëüíîé êàñàòåëüíîé ê L â òî÷êå
0 L ñ îñüþ OX .
Íà ãðàíèöå öèëèíäðîâ ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä
íàïðÿæåíèé
� � �n S S
0 1 0 2 0� �sin cos ,
� � �n s S S
0 0 1 0 2 0� �cos sin , � � � �s n0 011 22� � �( ) . (16)
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà L èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
1) íà L( )1 :
� �
S S� �� ,
� �
V V� �� — óñëîâèÿ òèïà ñêëåéêè êîìïîíåíò âåêòîðà
íàïðÿæåíèé
�
S è âåêòîðà ïåðåìåùåíèé
�
V ñî ñòîðîíû ìàòðèöû è âêëþ÷åíèé;
2) íà L( )2 :
�
S � � 0 ;
3) íà L( )3 : V B( )1
1 0 0� �� � , V B( )2
2 0 0� �� � , ( , ) ( )� �0 0
3 L ;
4) íà L( )4 : V B( )1
1 0 0� �� � , V B( )2
2 0 0� �� � , ( , ) ( )� �0 0
4 L ;
5) íà L( )5 :
�
S � � 0 — áåðåãà òðåùèí-ðàçðåçîâ ñâîáîäíû îò ñèë.
 ñëó÷àÿõ 3 è 4 ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îäíîðîäíûå æåñòêèå âêëþ÷åíèÿ ïåðå-
ìåùàþòñÿ è ïîâîðà÷èâàþòñÿ âìåñòå ñ ìàòðèöåé; B1 è B2 — àìïëèòóäû ïîñòóïà-
òåëüíîãî äâèæåíèÿ, � 0 — çíà÷åíèå àìïëèòóäû æåñòêîãî ïîâîðîòà âêëþ÷åíèé.
 ñëó÷àå 3, èñïîëüçóÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ, êîòîðûå
õàðàêòåðèçóþò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå îäíîðîäíûõ æåñòêèõ âêëþ÷åíèé:
S ds S Br
k
r
L k
0 0
2
0 0
3
� �� � �
( )
, r �1 2, , k K�1, ,� . (17)
Óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå âêëþ÷åíèé, èìååò âèä
( ( ) ( ))
( )
S y S x ds Jk k k
A
Lk
1 0 2 0 0
2
0
3
� � � �� � � � �� , (18)
ãäå � 0 — ïëîòíîñòü, �S 0 — ïëîùàäü îäíîðîäíûõ æåñòêèõ âêëþ÷åíèé, JA —
ìîìåíò èíåðöèè âêëþ÷åíèé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A x y( , ) .
 ñëó÷àå 4 ðåçóëüòèðóþùèå ñèëû è êðóòÿùèé ìîìåíò, äåéñòâóþùèå íà L( )4 ,
ðàâíû íóëþ:
S dsr
m
Lk
0
0
4
��
( )
, r �1 2, ; ( ( ) ( ))
( )
S y S x dsm m m
Lm
1 0 2 0 0
0
4
� �� � � �� , m M�1, ,� . (19)
Êàê è â ñëó÷àå àíòèïëîñêîé äåôîðìàöèè, ðåøåíèå êðàåâûõ çàäà÷ 1–4 îñíî-
âàíî íà èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé îòðàæåííîãî
(k �1) è ïðîõîäÿùåãî âíóòðü óïðóãèõ âêëþ÷åíèé (k � 2) ïîëåé â âèäå
ïîòåíöèàëîâ òèïà ïðîñòîãî ñëîÿ [17]:
V x y f s G x y f s G
k
m k
m
k k
m
k( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ( ) ( , , , ) ( )� �
1 1 2 2
� � ( , , , ))x y ds
L
� �� , m �1 2, . (20)
180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Çäåñü f sk
1
( ) ( ) è f sk
2
( ) ( ) — íåçàâèñèìûå ôóíêöèè (k �1 2, ); G
j
k
1
( ) è G
j
k
2
( ) —
ôóíêöèè Ãðèíà ( j �1 2, ), ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé j-ãî
ñîñòîÿíèÿ â òî÷êå ( , )x y Dk ïðè äåéñòâèè ãàðìîíè÷åñêîé ñîñðåäîòî÷åííîé
ñèëû, ïðèëîæåííîé â òî÷êå
� �� � i L è íàïðàâëåííîé âäîëü OX (ïåðâîå ñî-
ñòîÿíèå) èëè âäîëü îñè OY (âòîðîå ñîñòîÿíèå).  ñëó÷àå 4 ïðåäñòàâëåíèÿ (20)
àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ íåïðåðûâíîñòè ïåðåìåùåíèé ïðè ïåðå-
õîäå ÷åðåç L( )4 è îáåñïå÷èâàþò ñêà÷êè íàïðÿæåíèé: [ ] ( )( )S f s1 1
1� ,
[ ] ( )( )S f s2 2
1� .
Ïðè ðåøåíèè êðàåâîé çàäà÷è 5 èñïîëüçóåì èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ
òèïà äâîéíîãî ñëîÿ [18]:
V x y g s S x y g s S x y dsm
m m
L
( ) ( , ) ( ( ) ( , , , ) ( ) ( , , , ))� �1 1 2 2� � � �
( )5
� . (21)
Çäåñü g s1 ( ) è g s2 ( ) — íåèçâåñòíûå ôóíêöèè; S j1 è S j2 — ôóíêöèè Ãðèíà
( , )j �1 2 , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé àìïëèòóäû íàïðÿæåíèé â îáëàñòè D1 ïðè äåé-
ñòâèè ñîñðåäîòî÷åííîé ñèëû, ïðèëîæåííîé â òî÷êå
L è íàïðàâëåííîé âäîëü
îñè OX (ïåðâîå ñîñòîÿíèå) èëè âäîëü îñè OY (âòîðîå ñîñòîÿíèå). Ïðåäñòàâëåíèÿ
(21) àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþò íåïðåðûâíîñòü íàïðÿæåíèé ïðè ïåðåõîäå ÷å-
ðåç L( )5 è îáåñïå÷èâàþò ñêà÷êè ïåðåìåùåíèé: [ ] ( )( )V g s1
1� , [ ] ( )( )V g s2
2� .
Ôóíêöèè (20) è (21) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ (13) è óñëîâèÿì
èçëó÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå óêàçàííûõ ôóíêöèé
Ãðèíà. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ñôîðìóëèðîâàííûõ çàäà÷ äèôðàêöèè ñâîäèòñÿ ê
íàõîæäåíèþ íåèçâåñòíûõ ïëîòíîñòåé èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïî çàäàííûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íà L.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýôôåêòèâíîãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà ïðè óäîâëåòâîðåíèè
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî ïåðåìåùåíèÿì íà L âû÷èñëÿëèñü êîìáèíàöèèV iV( ) ( )1 2� ,
êîòîðûå äèôôåðåíöèðîâàëèñü ïî äóãîâîé êîîðäèíàòå s0 . Àíàëîãè÷íî ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ ïî íàïðÿæåíèÿì óäîâëåòâîðÿëèñü äëÿ êîìáèíàöèé S iS1 2� . Òàêîé ïîä-
õîä ïîçâîëèë ïîëó÷èòü ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì èõ.
1. Íà êîíòóðàõ óïðóãèõ âêëþ÷åíèé L( )1 ïðè âûïîëíåíèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
ïî íàïðÿæåíèÿì âîçíèêàþò ÑÈÓ âòîðîãî ðîäà, à óäîâëåòâîðåíèå ìîäèôèöèðî-
âàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïî ïåðåìåùåíèÿì ïðèâîäèò ê ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà. Íå-
îáõîäèìûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ðàçðåøèìîñòè ïîñëåäíèõ âûòåêàþò èç
ðàâåíñòâà ñðåäíèõ àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé íà L( )1 .
2. Íà êîíòóðàõ ïîëîñòåé L( )2 ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê
ñèñòåìå ÑÈÓ âòîðîãî ðîäà, êîòîðàÿ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
3. Íà çàìêíóòûõ êîíòóðàõ æåñòêèõ âêëþ÷åíèé L( )3 ìîäèôèöèðîâàííîå ãðà-
íè÷íîå óñëîâèå ïî ïåðåìåùåíèÿì ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà, ê êîòî-
ðûì íåîáõîäèìî ïðèñîâîêóïèòü äîïîëíèòåëüíûå èíòåãðàëüíûå ðàâåíñòâà,
âûòåêàþùèå èç (17), (18).
4. Íà ðàçîìêíóòûõ êðèâîëèíåéíûõ êîíòóðàõ æåñòêèõ âñòàâîê L( )4 òàêæå
âîçíèêàþò ÑÈÓ ïåðâîãî ðîäà. Çäåñü ïëîòíîñòè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
ÿâëÿþòñÿ ñêà÷êàìè íàïðÿæåíèé íà L( )4 è èìåþò êîðíåâóþ îñîáåííîñòü íà
êîíöàõ ðàçîìêíóòûõ êîíòóðîâ. Íåîáõîäèìûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ
âîçíèêàþò èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ãëàâíîãî âåêòîðà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà
áåðåãàõ âñòàâêè L( )4 . Æåñòêèé ïîâîðîò îäíîðîäíûõ êðèâîëèíåéíûõ æåñòêèõ
âñòàâîê îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ãëàâíîãî ìîìåíòà ñèë,
âîçíèêàþùèõ íà L( )4 (ñì. (19)).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 181
5. Íà ñèñòåìå êðèâîëèíåéíûõ òðåùèí-ðàçðåçîâ L( )5 êðàåâàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ
ê ñèíãóëÿðíûì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ðîäà. Äîïîëíè-
òåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ èõ ðàçðåøèìîñòè âûòåêàþò èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ
ñêà÷êîâ ïåðåìåùåíèé íà êîíöàõ òðåùèí-ðàçðåçîâ:
dg
ds
ds
n
n
L n
1 0
5
��
( )
,
dg
ds
ds
n
n
L n
2 0
5
��
( )
, n N�1, ,� . (22)
Çäåñü ïðîèçâîäíûå îò ñêà÷êîâ ïåðåìåùåíèé íà L( )5 èìåþò êîðíåâóþ îñîáåí-
íîñòü íà êîíöàõ ðàçðåçîâ.
Ïåðèîäè÷åñêàÿ ñèñòåìà íåîäíîðîäíîñòåé â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå. Ýëå-
ìåíòû êîíñòðóêöèé, èñïîëüçóåìûå â òåõíèêå è ñòðîèòåëüñòâå, ôóíêöèîíèðóþò
ïîä äåéñòâèåì öèêëè÷åñêèõ íàãðóçîê è ÷àñòî ñîäåðæàò áîëüøîå êîëè÷åñòâî íå-
îäíîðîäíîñòåé, îðèåíòèðîâàííûõ âäîëü íåêîòîðîé îñè. Òàêóþ êîíå÷íóþ ðåøåòêó
ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü áåñêîíå÷íîé, à èìåííî ïåðèîäè÷åñêîé ðåøåòêîé, ñî-
ñòàâëåííîé èç óïðóãèõ è æåñòêèõ âêëþ÷åíèé, ïîëîñòåé, à òàêæå êðèâîëèíåéíûõ
æåñòêèõ âñòàâîê èëè òðåùèí-ðàçðåçîâ. Îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ è
ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ïëîñêèõ çàäà÷ äèôðàêöèè â
ñðåäíå÷àñòîòíîì äèàïàçîíå âîëí ÿâëÿåòñÿ ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ðàññìîòðèì íåîãðàíè÷åííóþ èçîòðîïíóþ ñðåäó ñ ïëîòíîñòüþ �1 è êîýôôè-
öèåíòàìè Ëÿìå �1, �1, â êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ 2d-ïåðèîäè÷åñêàÿ âäîëü îñè OX
ñèñòåìà öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíîðîäíîñòåé ðàññìîòðåííîãî òèïà (ñì. ðèñ. 2).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ïåðèîäè÷åñêóþ ðåøåòêó èç áåñêîíå÷íîñòè íàáåãàåò ãàðìî-
íè÷åñêàÿ P-âîëíà (10) èëè SV -âîëíà (11). Íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü âîçíèêàþ-
ùóþ ïëîñêóþ ïåðèîäè÷åñêóþ çàäà÷ó äèôðàêöèè ìåòîäîì èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé è îöåíèòü äèíàìè÷åñêèå è ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè
ïåðèîäè÷åñêîé ðåøåòêè.
Ïðè ðåøåíèè êðàåâûõ çàäà÷ 1–4 â ïåðèîäè÷åñêîé ïîñòàíîâêå èíòåãðàëüíûå
ïðåäñòàâëåíèÿ àìïëèòóä ïåðåìåùåíèé áóäåì èñêàòü â âèäå (20), ïðè÷åì çäåñü ñëå-
äóåò ïîëîæèòü G
j
k
1
( ) è G
j
k
2
( ) — êîìïîíåíòàìè ìàòðèö Ãðèíà â îáëàñòè D1 (k �1) è
â îáëàñòè D2 (k � 2), êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àìïëèòóäû ïåðåìåùåíèé â òî÷-
êå ( , )x y Dk ïðè äåéñòâèè ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû ãàðìîíè÷åñêèõ ñèë, ñîñðåäî-
òî÷åííûõ â òî÷êàõ ( , )� �� 2dp Lp ( , , , )p � � �0 1 2 � è íàïðàâëåííûõ âäîëü îñè
OX ( j �1) èëè âäîëü îñè OY ( j � 2) [19].
Ïðè ðåøåíèè ïåðèîäè÷åñêîé êðàåâîé çàäà÷è 5 áóäåì èñïîëüçîâàòü èíòåã-
ðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ (21), åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî â íèõ S j1 è S j2 — êîìïîíåíòû
ìàòðèöû Ãðèíà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé àìïëèòóäû íàïðÿæåíèé â ìàòðèöå (îá-
ëàñòü D1) ïðè äåéñòâèè ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû ãàðìîíè÷åñêèõ ñèë, ñîñðåäîòî-
÷åííûõ â òî÷êàõ ( , )� �� 2dp Lp ( p � � �0 1 2, , ,�) è íàïðàâëåííûõ âäîëü îñè
OX ( j �1) èëè âäîëü îñè OY ( j � 2) [20].
Ïîäñòàíîâêà èíòåãðàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé (20) èëè (21) â çàäàííûå êðàåâûå
óñëîâèÿ íà L ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ÑÈÓ ðàññìîòðåííûõ âûøå òèïîâ. Ê ÑÈÓ ïåð-
âîãî ðîäà íåîáõîäèìî ïðèñîâîêóïèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, âûòåêàþùèå èç
ìåõàíè÷åñêîé ïîñòàíîâêè èññëåäóåìîé êðàåâîé çàäà÷è.
ÑÕÅÌÀ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ
Êàê âèäíî èç îïèñàíèÿ ÏðÎ, êàæäàÿ ëîêàëüíàÿ çàäà÷à ñâåäåíà ê ñèñòåìå
ÑÈÓ, ñòðóêòóðà êàæäîãî èç êîòîðûõ ñòðîãî òèïèçèðîâàíà. Áîëåå òîãî, ìåòîäè-
êà ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü êîìáèíèðîâàíèå òèïîâûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð. Îïèøåì îáùóþ ñõåìó ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ),
ê êîòîðûì â èòîãå ñâîäÿòñÿ ñèñòåìû ÑÈÓ, ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòîì äèñêðåòèçàöèè
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
êîíòóðîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî ðàçìåð ìàòðèöû ïðîïîðöèîíàëåí ÷èñëó íåîäíîðîäíî-
ñòåé. Ïðèìåíèì ðàñïàðàëëåëèâàíèå àëãîðèòìà, â êîòîðîì êàæäûé ýëåìåíò
ìàòðèöû îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè óçëîâ äèñêðåòèçàöèè.
Êàê ïîêàçàíî â [9], äàííûé ìåòîä ñâîäèòñÿ ê îáõîäó êàæäîãî êîíòóðà ïî òî÷-
êàì êîëëîêàöèè âíåèíòåãðàëüíîé ïåðåìåííîé
k0 è îäíîâðåìåííîìó îáõîäó êàæ-
äîãî êîíòóðà ïî àíàëîãè÷íûì ëèáî èíûì óçëàì ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ
k .
Ïàðàëëåëüíî-êîíâåéåð-
íàÿ ñõåìà âû÷èñëåíèé ïîêà-
çàíà íà ðèñ. 4. Çäåñü ïðèâåäå-
íû ñîîòíîøåíèÿ ïðîïîðöèè
èíòåðâàëîâ âðåìåíè âû÷èñëå-
íèé íà ñèíòåç ìàññèâîâ èñ-
õîäíûõ äàííûõ (âðåìÿ t0 ïðè
êîëè÷åñòâå ïðîöåññîâ P1),
ñèíòåç ìàòðèö ÑËÀÓ (âðåìÿ
t1 ïðè êîëè÷åñòâå ïðîöåññîâ
P1), ðåøåíèå ÑËÀÓ ìåòîäîì
Ãàóññà (t2 — îïòèìàëüíîå
âðåìÿ âû÷èñëåíèé ïðè îïòè-
ìàëüíîì ÷èñëå ïðîöåññîâ P0),
ñèíòåç ìàññèâîâ èòîãîâûõ ðåøåíèé (âðåìÿ t3). Ïåðâûé, âòîðîé è ÷åòâåðòûé ýòà-
ïû ìàêðîêîíâåéåðà íå òðåáóþò ïåðåñûëîê äàííûõ, ÷òî îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü
âû÷èñëåíèé. Íà òðåòüåì ýòàïå äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíîå ÷èñ-
ëî ïðîöåññîâ, îïðåäåëÿåìîå ñïåöèôèêîé ìàòðèöû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ïåðâîãî,
âòîðîãî è ÷åòâåðòîãî ýòàïîâ àëãîðèòìà îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî ïðîöåññîâ,
ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëó êîýôôèöèåíòîâ ÑËÀÓ.
 äàííîé ìåòîäèêå ðåøåíèÿ âñåõ ïåðå÷èñëåííûõ êðàåâûõ çàäà÷ îñíîâíîé
îïåðàöèåé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå òåêóùåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè êîëëîêà-
öèè è èíòåãðèðîâàíèÿ, çàäàííîãî íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ïàðàìåòðè÷åñêèõ êîîð-
äèíàò íåîäíîðîäíîñòåé. Óêàçàííîå ðàññòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ àðãóìåíòîì ôóíêöèè
Ãðèíà. È ïîñêîëüêó êîìáèíàöèè ñàìèõ ôóíêöèé Ãðèíà è êîýôôèöèåíòîâ ïðè
íèõ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ìàòðèöû ÑËÀÓ, äàííàÿ ïðîöåäóðà ìîæåò áûòü áàçî-
âîé ïðè ðàçðàáîòêå CASE-ñðåäñòâà, òåì áîëåå ÷òî, êàê ïîêàçàíî â [9, 13, 14],
àëãîðèòì õîðîøî ìàñøòàáèðóåòñÿ ïî âû÷èñëèòåëüíûì óçëàì.
Âû÷èñëèòåëüíûé ïðîöåññ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàñïàðàëëåëèâà-
åòñÿ ñîãëàñíî [21]. Ïàðàëëåëüíîå âû÷èñëåíèå èòîãîâûõ èñêîìûõ õàðàêòåðèñòèê
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé ìàññèâîâ çíà÷åíèé íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé f k p( )
â èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèé àíàëîãè÷íî ïðîöåäóðàì ôîðìèðîâàíèÿ
ìàòðèöû ÑËÀÓ. Â çàâèñèìîñòè îò îïåðàöèîííîé ñðåäû, äîñòóïíîé ïîëüçîâàòå-
ëþ, ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ äâà òèïà ôîðìèðîâàíèÿ ìàòðèöû: ïîýëåìåíòíîå èëè ïî-
ñòðî÷íîå. Êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4, áîëåå îïòèìàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîýëåìåíòíîå ïà-
ðàëëåëüíîå ôîðìèðîâàíèå ìàòðèöû ÑËÀÓ. Ïðè ýòîì ÷èñëî óçëîâ ðàâíî ÷èñëó
ýëåìåíòîâ ìàòðèöû. Îäíàêî äëÿ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ ýôôåêòèâíåå èñïîëüçîâàòü ïî-
ñòðî÷íîå ðàñïàðàëëåëèâàíèå, êîãäà ïåðåñûëêè è âû÷èñëåíèÿ íàõîäÿòñÿ â áàëàí-
ñå. Òàêèì îáðàçîì, íàèáîëåå ïðîãðåññèâíîé ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèîííàÿ ñðåäà, â êî-
òîðîé ïîëüçîâàòåëü èìååò âîçìîæíîñòü ñî÷åòàòü îáà ìåõàíèçìà, ãèáêî èçìåíÿÿ
÷èñëî èñïîëüçóåìûõ óçëîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòàïîì âû÷èñëåíèé.
Ñõåìà ÏðÎ è CASE-ñðåäñòâà. Èç ïðèâåäåííîãî âûøå îïèñàíèÿ ÏðÎ ñëå-
äóåò, ÷òî ñòðóêòóðèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì. Î÷åâèäíî, ÷òî èòîãîâîå
ìíîæåñòâî äàííûõ, ò.å. ìàññèâ çíà÷åíèé èñêîìûõ ôóíêöèé, ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòà-
òîì âçàèìîäåéñòâèÿ âñåõ áàçîâûõ êîìïîíåíòîâ: ôóíêöèé Ãðèíà ñî ñâîèìè àð-
ãóìåíòàìè, ïðàâûõ ÷àñòåé, äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé èëè âíåèíòåãðàëüíûõ ÷ëå-
íîâ, ãåîìåòðè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìûõ çàäà÷ è ò.ï. Òàêèì îáðàçîì,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 183
Ðèñ. 4
P
P1
Pi
P0
0
ôóíêöèîíèðîâàíèå ïðèëîæåíèÿ òàêîé ÁÄ — ýòî ðàáîòà ñî ñïèñêàìè ýòèõ ñóù-
íîñòåé–îáúåêòîâ.
Ïðèâåäåííûé âûøå ñïèñîê çàäà÷ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä ìîæíî çíà÷èòåëüíî
ðàñøèðèòü. Òàê, ê òèïàì íàãðóçêè ìîãóò áûòü äîáàâëåíû èçãèáíûå âîëíû, à êàòåãî-
ðèÿ âîëí ðàñøèðåíà íåñòàöèîíàðíûìè. Îáëàñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæåò áûòü çàìêíó-
òîé. Ñâîéñòâà ñðåäû ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîãóò áûòü íå òîëüêî èçîòðîïíûìè, íî è îðòî-
òðîïíûìè è äàæå àíèçîòðîïíûìè. Ìîäåëè îïèñàíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, íàïðèìåð, èçãèá-
íûõ âîëí â ïëàñòèíàõ ìîãóò áûòü òàêæå ðàçëè÷íûìè — îò ìîäåëè Êèðõãîôà–Ëÿâà [22]
äî óòî÷íåííûõ ìîäåëåé òèïà Òèìîøåíêî [23]. Îòìåòèì, ÷òî íà ñòûêå ìåõàíèêè è
ýëåêòðîôèçèêè èññëåäóþòñÿ íî-
âûå ñðåäû [24]. Îäíàêî îáùèì
âû÷èñëèòåëüíûì áàçèñîì äëÿ
ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ çàäà÷
ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ÑÈÓ.
 [25, 26] îïèñàíà ñòðóê-
òóðà êàðêàñíîé [10] èíñòðó-
ìåíòàëüíîé ïðîãðàììíîé ñðå-
äû, êîòîðàÿ ìàñøòàáèðóåòñÿ
ìåòàäàííûìè. Êàê ïîêàçàë
àíàëèç ÏðÎ, äëÿ âñåõ çàäà÷
ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ðå-
øàåìîé ìåòîäîì ÑÈÓ, ñòðóê-
òóðà àëãîðèòìà è áîëüøèí-
ñòâî âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöå-
äóð òèïèçèðóåìû. Çíà÷èò, äëÿ
ïðîåêòèðîâàíèÿ íîâîãî
CASE-ñðåäñòâà ìîæåò áûòü
ïðèìåíåí ðåëÿöèîííûé êàð-
êàñ. Èç ðèñ. 5 ñëåäóåò, ÷òî
äàæå ïðè óñëîâèè íåïîëíîòû
àíàëèçà ÏðÎ è íåçàâåðøåí-
íîñòè ïðîåêòà CASE-ñðå-
äñòâî, îñíîâàííîå íà êàðêàñ-
íîì øàáëîíå, ìîæåò áûòü ìî-
äèôèöèðóåìî è ðàçâèâàåìî.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé. Ïðîâåäåì ïàðàìåòðè÷åñêîå èñ-
ñëåäîâàíèå îäíîé èç íîâûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Ñ öåëüþ èññëåäîâàíèÿ ñõîäèìîñòè
ïîñòðîåííîãî àëãîðèòìà ðàññìîòðèì ñëó÷àé íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ âîëíû ñäâèãà [9]
íà ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç ýëëèïòè÷åñêèõ èëè ðîìáè÷åñêèõ îòâåðñòèé è óïðóãèõ
âêëþ÷åíèé, ïîî÷åðåäíî ðàñïî-
ëîæåííûõ â óïðóãîì ïîëóïðîñò-
ðàíñòâå íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿ-
íèè d îäèí îò äðóãîãî è îðèåí-
òèðîâàííûõ âäîëü ñâîáîäíîé îò
ñèë ãðàíèöû ïîëóïðîñòðàíñòâà
y � 0 (ðèñ. 6).
Èñïîëüçóåì èçâåñòíûå [27]
ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ
çàäàíèÿ îñíîâíîãî êîíòóðà L0 :
�
�
( ) sin sin� �b 3 ,
�
�
( ) cos cos� �a 3 ,
0 2" "
� . (23)
184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
L p� L0 L1L�1 Lp
d d
�a a0 X
Y
Ïðè � � 0 14036, êîíòóð èìååò âèä ðîìáà ñî ñêðóãëåííûìè òî÷êàìè âîçâðàòà,
à ïðè � � 0 êîíòóð èìååò ýëëèïòè÷åñêóþ ôîðìó. Îñòàëüíûå êîíòóðû äëÿ ïðîñòîòû
áóäåì ðàñïîëàãàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Y .  ýòîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàå-
ìàÿ äèôðàêöèîííàÿ çàäà÷à îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñèììåòðèè, ÷òî ïîçâîëÿåò îñóùå-
ñòâëÿòü ïåðâè÷íîå ñàìîòåñòèðîâàíèå ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
 õîäå ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè îïðåäåëÿëèñü áåçðàçìåðíûå íàïðÿæåíèÿ
� � �
� s / 1 íà êîíòóðàõ îòâåðñòèé, à òàêæå áåçðàçìåðíûå êîíòóðíûå íàïðÿæå-
íèÿ � � �
� s / 1 è � � �n n� / 1 íà êîíòóðàõ óïðóãèõ âêëþ÷åíèé. Òî÷íîñòü âû÷èñ-
ëåíèé ïðîâåðÿëàñü ñðàâíåíèåì ðåçóëüòàòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ N . Ïðîâî-
äèëîñü òàêæå ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïðèâåäåííûìè
â [14], êàê äëÿ ñëó÷àÿ ñèñòåìû ðîìáè÷åñêèõ îòâåðñòèé â ïîëóïðîñòðàíñòâå ñî
ñâîáîäíîé îò ñèë ãðàíèöåé, òàê è äëÿ îäèíî÷íîãî îòâåðñòèÿ èëè óïðóãîãî
âêëþ÷åíèÿ [12].
×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ïîêàçàëî, ÷òî â ïîëóáåñêîíå÷íîì ñëó÷àå ñ ãðàíèöåé,
ñâîáîäíîé îò ñèë, ïðè âîçäåéñòâèè íà îïèñàííóþ ñèñòåìó SH-âîëíîé èç áåñêîíå÷-
íîñòè ýôôåêò íàñûùåíèÿ [28], êàê è â [14], íàáëþäàåòñÿ íå ñòðîãî. È õîòÿ ïðè ëè-
íåéíîì è ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî íàãðóçêè ðàñïîëîæåíèè íåîäíîðîäíîñòåé
âäîëü ãðàíèöû äëÿ óñðåäíåííîãî èññëåäîâàíèÿ äîñòàòî÷íî íå áîëåå äåâÿòè íå-
îäíîðîäíîñòåé, ïðè äàëüíåéøåì íàðàùèâàíèè ÷èñëà íåîäíîðîäíîñòåé íàáëþäà-
þòñÿ íåçíà÷èòåëüíûå ïóëüñàöèè â ðàñïðåäåëåíèè íàïðÿæåíèé. Îáóñëîâëåííîñòü
ìàòðèö ïðè ýòîì ïðîâåðÿëàñü íà îñíîâàíèè àëãîðèòìà, îïèñàííîãî â [29].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâîäèëèñü âû÷èñëåíèÿ êîíòóðíûõ íàïðÿæåíèé � n è �
âäîëü êîíòóðîâ öåíòðàëüíîãî L0 è êðàéíåãî Lk âêëþ÷åíèÿ (ïîëîãî èëè óïðóãîãî,
ðèñ. 6) â ñëó÷àå ðåøåòêè, ñîñòîÿùåé èç íå÷åòíîãî ÷èñëà íåîäíîðîäíîñòåé
( p k� ). Îòñ÷åò óãëà
âåäåòñÿ îò íóëÿ (òåíåâàÿ òî÷êà) äî � (ëîáîâàÿ òî÷êà) äëÿ
öåíòðàëüíîãî îòâåðñòèÿ (ó÷èòûâàåòñÿ ñèììåòðèÿ â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ïàäåíèÿ
âîëíû ñäâèãà) è îò íóëÿ äî 2� äëÿ êðàéíèõ óïðóãèõ âêëþ÷åíèé (â ñèëó ñèììåò-
ðèè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé íà êîíòóðàõ Lk è L k� çåðêàëüíû). Ðàññìàòðèâàåò-
ñÿ ñëó÷àé, êîãäà íåîäíîðîäíîñòè èìåþò ôîðìó ðîìáîâ, âûòÿíóòûõ íàâñòðå÷ó íà-
áåãàþùåé âîëíå. Äëÿ âñåõ ãðàôèêîâ � �1 2 5 0/ ,� ; � �1 2 2 0/ ,� ; b a/ ,� 2 5 , à ðàñ-
ñòîÿíèå îò ãðàíèöû äî öåíòðàëüíîãî âîëîêíà h � 4 (íà ðèñ. 6 íå ïîêàçàíî).
Íà ðèñ. 7 äàíû ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ áåçðàçìåðíûõ êîíòóðíûõ íàïðÿæå-
íèé �
è � n äëÿ êðàéíåãî ðîìáè÷åñêîãî óïðóãîãî âêëþ÷åíèÿ â ñëó÷àå òðåõ íå-
îäíîðîäíîñòåé è íàáåãàíèÿ èç áåñêîíå÷íîñòè âîëíû ñäâèãà â ïîëóïðîñòðàíñòâà
ñ ãðàíèöåé, ñâîáîäíîé îò ñèë. Äëÿ êðèâûõ 1, 2 è 3 âîëíîâîå ÷èñëî 2a ðàâíî
0,3, 0,9, è 1,5 ñîîòâåòñòâåííî.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 185
Ðèñ. 7
à á
�
� n
Íà ðèñ. 8 ïîêàçàíû ãðàôèêè ðàñïðå-
äåëåíèÿ êîíòóðíûõ íàïðÿæåíèé �
íà
ãðàíèöå öåíòðàëüíîãî ðîìáè÷åñêîãî îò-
âåðñòèÿ äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ íåîäíîðîäíîñòåé
è íàáåãàíèÿ èç áåñêîíå÷íîñòè âîëíû
ñäâèãà â ïîëóïðîñòðàíñòâå ñ ãðàíèöåé,
ñâîáîäíîé îò ñèë. Êàê è íà ðèñ. 7, êðèâûå
1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþò 2a = {0,3; 0,9; 1,5}.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Êàê óêàçûâàëîñü â [3, 9, 13, 14], â çàäà-
÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ïàðàëëåëü-
íûå àëãîðèòìû ïîçâîëÿþò çíà÷èòåëüíî
ñîêðàòèòü âðåìÿ âû÷èñëåíèé è áîëåå äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü õàðàêòåðèñòè-
êè èññëåäóåìûõ ïîëåé. Ýòî âàæíî, òàê êàê ïîëó÷åíèå òî÷íûõ âåëè÷èí, íàïðè-
ìåð ìàêñèìóìîâ íàïðÿæåíèé âïëîòü äî âîñüìîãî çíàêà, à òàêæå òî÷íûõ êîîð-
äèíàò èõ äèñëîêàöèè ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ðàçðóøåíèé êîíñòðóêöèé, ðàáîòàþùèõ
â óñëîâèÿõ äèíàìè÷åñêèõ íàãðóçîê.
Ñî÷åòàíèå ìåòîäà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùåãî çíà÷èòåëüíî
óñêîðèòü ðåøåíèå çàäà÷è, è ïðîöåäóð ðàñïàðàëëåëèâàíèÿ, òàêæå ïðèâîäÿùèõ ê
çíà÷èòåëüíîé ýêîíîìèè âðåìåíè âû÷èñëåíèé, ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàåò
ýôôåêòèâíîñòü ðàññìîòðåííîãî àëãîðèòìà.
Èñõîäÿ èç ýòîãî, ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ïîñòðîåííûå ïðåäëîæåííûì ìåòîäîì
èíñòðóìåíòàëüíûå ïðîãðàììíûå ñðåäñòâà ñèíòåçà ïðèëîæåíèé, ÷èñëåííî ðåøà-
þùèå ðàçíîîáðàçíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþò ñâîåâðåìåííî è òî÷íî
ïðîãíîçèðîâàòü ïîâåäåíèå ðàçëè÷íûõ ñèñòåì ñ óñëîæíåííûìè ñâîéñòâàìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À ã à ï î â  . Ï . Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ â ñòàòèêå, äèíàìèêå è óñòîé÷èâîñòè ïðîñòðà-
íñòâåííûõ òîíêîñòåííûõ ïîäêðåïëåííûõ êîíñòðóêöèé. — Ì.: Èçä. ÀÑÂ (Àññîöèàöèè ñòðîè-
òåëüíûõ âóçîâ), 2000. — 152 ñ.
2. Ê î ë ÿ í î â Ã . Í . CASE. Ñòðóêòóðíûé ñèñòåìíûé àíàëèç (àâòîìàòèçàöèÿ è ïðèìåíå-
íèå). — Ì.: Ëîðè, 1996. — 360 c.
3.  å ð ò ã å é ì È . È . , Ò å ð ï ó ã î â  . Í . Ïàðàëëåëüíûå òåõíîëîãèè âû÷èñëåíèé â ìåõàíèêå
ñïëîøíûõ ñðåä è ÌÄÒÒ: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. — Ïåðìü: ÏÃÓ, 2007. — 84 ñ.
4. Ã ó ç ü À . Í . , Ê ó á å í ê î Â . Ä . , × å ð å â ê î Ì . À . Äèôðàêöèÿ óïðóãèõ âîëí. — Ê.: Íàóê. äóì-
êà, 1978. — 307 ñ.
5. Ñ å ë å ç î â È . Ò . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . , ß ê î â ë å â Â . Â . Ðàññåÿíèå âîëí ëîêàëüíûìè íåîäíî-
ðîäíîñòÿìè â ñïëîøíûõ ñðåäàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1985. — 136 ñ.
6. Ï à í à ñ þ ê Â . Â . , Ñ à â ð ó ê Ì . Ï . , Í à ç à ð ÷ ó ê Ç . Ò . Ìåòîä ñèíãóëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé â äâóìåðíûõ çàäà÷àõ äèôðàêöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1984. — 344 ñ.
7. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Äèôðàêöèÿ âîëí ñäâèãà íà öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíî-
ðîäíîñòÿõ ïðîèçâîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ // Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ìàøèí. — 1991. —
Âûï. 52. — Ñ. 38–45.
8. Ô è ë ü ø ò è í ñ ê è é Ë . À . Äèôðàêöèÿ óïðóãèõ âîëí íà òðåùèíàõ, îòâåðñòèÿõ, âêëþ÷åíèÿõ
â èçîòðîïíîé ñðåäå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. — 1991. — ¹ 4. — Ñ. 119–127.
9. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Ñõåìà ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé â çàäà÷àõ äèôðàê-
öèè âîëí ñäâèãà íà ñèñòåìå îòâåðñòèé â áåñêîíå÷íîé óïðóãîé ñðåäå // Ïðîáëåìû ïðîãðàììè-
ðîâàíèÿ. — 2010. — ¹ 2–3. — Ñ. 604–610.
10. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Êàðêàñíîå ïðîåêòèðîâàíèå äîìåííî-êëþ÷åâîé ñõåìû ðåëÿöèîííîé áàçû
äàííûõ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 3. — Ñ. 174–187.
11. Á å ë î â  . Ñ . Èíôîðìàöèîííî-àíàëèòè÷åñêèå ñèñòåìû. Îñíîâû ïðîåêòèðîâàíèÿ è ïðèìåíå-
íèÿ. — Ì.: ÌÝÑÈ, 2005. — 111 ñ.
186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1
Ðèñ. 8
�
12. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . Äèôðàêöèÿ âîëí ñäâèãà íà öèëèíäðè÷åñêèõ âêëþ÷åíèÿõ è ïîëîñòÿõ â
óïðóãîì ïîëóïðîñòðàíñòâå // Ïðîáëåìû ïðî÷íîñòè. — 1990. — ¹ 11. — Ñ. 90–94.
13. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Âûñîêîòî÷íîå êëàñòåðíîå ðåøåíèå çàäà÷è äèôðàêöèè âîëí ñäâèãà íà ñèñ-
òåìå îòâåðñòèé â ïîëóáåñêîíå÷íîé èçîòðîïíîé ñðåäå ñ çàùåìëåííîé ãðàíèöåé // Ïðîáëåìû
ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — 2012. — ¹ 1. — Ñ. 121–131.
14. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Ïîâåäåíèå ñèñòåìû íåêðóãîâûõ îòâåðñòèé â ïîëóïðîñòðàíñòâå ñî ñâîáîä-
íîé ãðàíèöåé îò âîçäåéñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ SH-âîëí // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòè-
êè. — 2012. — ¹ 4. — C. 84–93.
15. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Âçàèìîäåéñòâèå âîëí ñäâèãà ñ ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòå-
ìîé öèëèíäðè÷åñêèõ íåîäíîðîäíîñòåé ïðîèçâîëüíîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ // Ïðîáëåìû ìà-
øèíîñòðîåíèÿ. — 1992. — Âûï. 38. — Ñ. 48–52.
16. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Äèíàìè÷åñêàÿ íàïðÿæåííîñòü ïîëîñû ñ íåîäíîðîä-
íîñòÿìè ïðîèçâîëüíîé ôîðìû (àíòèïëîñêàÿ äåôîðìàöèÿ) // Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ìàøèí. —
1991. — Âûï. 52. — C. 68–74.
17. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . Äèôðàêöèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ âîëí íà öèëèíäðè÷åñêîì óïðóãîì âêëþ÷åíèè
â óñëîâèÿõ ïëîñêîé äåôîðìàöèè // Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. — 2005. — ¹ 19. — Ñ. 54–60.
18. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Ô è ë ü ø ò è í ñ ê è é Ë . À . Âçàèìîäåéñòâèå óïðóãèõ âîëí ñ êðèâîëèíåé-
íîé òðåùèíîé â ïîëóïëîñêîñòè // Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà. — 1988. — Âûï. 19.
— Ñ. 77–82.
19. Ë î æ ê ³ í Î . Ì . , Í à ç à ð å í ê î Î . Ì . Äèôðàêö³ÿ ïðóæíèõ õâèëü íà ïåð³îäè÷íèõ ñèñòåìàõ
öèë³íäðè÷íèõ ïîðîæíèí òà æîðñòêèõ âêëþ÷åíü // Àêóñòè÷íèé â³ñíèê. — 2006. — 9, ¹ 4. —
Ñ. 35–42.
20. Í à ç à ð å í ê î Î . Ì . , Ë î æ ê ³ í Î . Ì . Äèôðàêö³ÿ ïðóæíèõ ãàðìîí³÷íèõ õâèëü íà ïåð³îäè÷í³é
ñèñòåì³ êðèâîë³í³éíèõ òð³ùèí â óìîâàõ ïëîñêî¿ äåôîðìàö³¿ // Ïðèêëàäí³ ïðîáëåìè ìåõàí³êè ³
ìàòåìàòèêè. — 2006. — Âèï. 4. — Ñ. 162–169.
21 Õ è ì è ÷ À . Í . , Ì î ë ÷ à í î â È . Í . , Ï î ï î â À .  . ×èñëåííîå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå
èíòåëëåêòóàëüíîãî MIMD-êîìïüþòåðà «Èíïàðêîì». — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. — 220 ñ.
22. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . , Î ñ ò ð è ê Â . È . Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíêè
ñ òîíêèì êðèâîëèíåéíûì âêëþ÷åíèåì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. — 1990. —
¹ 4. — Ñ. 93–98.
23. Í à ç à ð å í ê î À . Ì . Îá îäíîì ïîäõîäå ê èññëåäîâàíèþ âîëíîâûõ ïîëåé â ïëàñòèíàõ ñ òðåùè-
íàìè è âêëþ÷åíèÿìè â ðàìêàõ óòî÷íåííûõ òåîðèé // Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ìàøèí. — 1989.
— Âûï. 50. — Ñ. 49–55.
24. Á à ð ä ç î ê à ñ Ä . È . , Ê ó ä ð ÿ â ö å â Á . À . , Ñ å í è ê Í . À . Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí
â ýëåêòðîìàãíèòîóïðóãèõ ñðåäàõ. — Ì.: Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2003. — 336 ñ.
25. Ï å ð å â î ç ÷ è ê î â à Î . Ë . , Ò ó ë ü ÷ è í ñ ê è é Â . Ã . , Ê î ë î ì è å ö À . Â . è äð. Âûñîêîïðîäóêòèâ-
íûå ìåòîäû àíàëèçà è ñïåöèôèêàöèè ïðîñòðàíñòâ àòðèáóòîâ ïðåäìåòíîé îáëàñòè äëÿ îðãàíèçà-
öèè âû÷èñëåíèé // Îò÷åò î ÍÈÐ ¹ 0107U000800 ÂÔ.145.09.11. — Ê., 2011. — 378 ñ.
26. Ï à í ÷ å í ê î Á . Å . Èññëåäîâàíèÿ äîìåííî-êëþ÷åâîé ñõåìû ðåëÿöèîííîé áàçû äàííûõ // Êè-
áåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç — 2012. — ¹ 6. — Ñ. 157–172.
27. Ã ó ç ü À . Í . , Í å ì è ø Þ . Í . Ìåòîä âîçìóùåíèÿ ôîðìû ãðàíèöû â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ
ñðåä. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1989. — 352 ñ.
28. Ê þ ð ê ÷ à í À . à . , Ñ ê î ð î ä ó ì î â à Å . À . Ðåøåíèå òðåõìåðíîé çàäà÷è äèôðàêöèè âîëí íà
ãðóïïå îáúåêòîâ // Àêóñòè÷åñêèé æóðíàë. — 2007. — 53, ¹ 1. — Ñ. 5–14.
29. Õ è ì è ÷ À . Ì . , Ï î ë ÿ í ê î  .  . Ýôôåêòèâíîñòü äâóìåðíûõ áëî÷íî-öèêëè÷íûõ ïàðàëëåëü-
íûõ àëãîðèòìîâ // Ïðîáëåìû ïðîãðàììèðîâàíèÿ. — 2008. — ¹ 3. — Ñ. 145–149.
Ïîñòóïèëà 03.07.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 1 187
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86176 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T11:51:47Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Панченко, Б.Е. Назаренко, А.М. 2015-09-08T18:28:18Z 2015-09-08T18:28:18Z 2013 Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями / Б.Е. Панченко, А.М. Назаренко // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 1. — С. 172-187. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86176 004.652, 539.3 Розглянуто загальну схему каркасного аналізу предметної області, яка описує широкий клас задач динамічної теорії пружності, що дозволяє розробити інструментальний програмний засіб синтезу застосувань (CASE-засіб) чисельного паралельного високоточного розв язання цього класу задач. Наведено схему високоточного паралельного розв язання систем сингулярних інтегральних рівнянь, які виникають при дослідженні задач дифракції пружних гармонійних хвиль на системах неоднорідностей довільного поперечного перетину. Наведено нові результати обчислень. We present a general scheme of framework analysis of the subject domain that describes a wide class of problems of the dynamic elasticity theory, which allows developing a software tool for the synthesis of applications (CASE-method) of the numerical high-precision parallel solution of this class of problems. We propose a scheme of the high-precision parallel solution to systems of singular integral equations (SIE) that occur in the analysis of certain problems of diffraction of elastic harmonic waves on systems of discontinuities of an arbitrary cross-section. New numerical results are presented. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями Каркасний аналіз предметної області: стаціонарні динамічні задачі теорії пружності для ізотропних середовищ з довільними неоднорідностями Framework analysis of the subject domain: stationary dynamic problems of the elasticity theory for isotropic media with arbitrary discontinuities Article published earlier |
| spellingShingle | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями Панченко, Б.Е. Назаренко, А.М. Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа |
| title | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями |
| title_alt | Каркасний аналіз предметної області: стаціонарні динамічні задачі теорії пружності для ізотропних середовищ з довільними неоднорідностями Framework analysis of the subject domain: stationary dynamic problems of the elasticity theory for isotropic media with arbitrary discontinuities |
| title_full | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями |
| title_fullStr | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями |
| title_full_unstemmed | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями |
| title_short | Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями |
| title_sort | каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями |
| topic | Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа |
| topic_facet | Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86176 |
| work_keys_str_mv | AT pančenkobe karkasnyianalizpredmetnoioblastistacionarnyedinamičeskiezadačiteoriiuprugostidlâizotropnyhsredsproizvolʹnymineodnorodnostâmi AT nazarenkoam karkasnyianalizpredmetnoioblastistacionarnyedinamičeskiezadačiteoriiuprugostidlâizotropnyhsredsproizvolʹnymineodnorodnostâmi AT pančenkobe karkasniianalízpredmetnoíoblastístacíonarnídinamíčnízadačíteoríípružnostídlâízotropnihseredoviŝzdovílʹnimineodnorídnostâmi AT nazarenkoam karkasniianalízpredmetnoíoblastístacíonarnídinamíčnízadačíteoríípružnostídlâízotropnihseredoviŝzdovílʹnimineodnorídnostâmi AT pančenkobe frameworkanalysisofthesubjectdomainstationarydynamicproblemsoftheelasticitytheoryforisotropicmediawitharbitrarydiscontinuities AT nazarenkoam frameworkanalysisofthesubjectdomainstationarydynamicproblemsoftheelasticitytheoryforisotropicmediawitharbitrarydiscontinuities |