Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей
Розглянуто вiдому проблему про добуток внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей на комплекснiй площинi. Для деяких часткових випадкiв дана проблема була розв’язана. Рассмотрена известная проблема о произведении внутренних радиусов неналегающих областей на комплексной плоскости. Для некоторых частн...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86178 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей / О.К. Бахтін, Я.В. Заболотний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 7–10. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86178 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бахтін, О.К. Заболотний, Я.В. 2015-09-09T16:54:10Z 2015-09-09T16:54:10Z 2013 Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей / О.К. Бахтін, Я.В. Заболотний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 7–10. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86178 517.5 Розглянуто вiдому проблему про добуток внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей на комплекснiй площинi. Для деяких часткових випадкiв дана проблема була розв’язана. Рассмотрена известная проблема о произведении внутренних радиусов неналегающих областей на комплексной плоскости. Для некоторых частных случаев данная проблема была решена. The well-known problem of a product of the inner radii of nonoverlapping domains on the complex plane is considered and solved in some partial cases. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей Оценки произведения внутренних радиусов трех неналегающих областей Estimates of the product of the inner radii of three nonoverlapping domains Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей |
| spellingShingle |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей Бахтін, О.К. Заболотний, Я.В. Математика |
| title_short |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей |
| title_full |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей |
| title_fullStr |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей |
| title_full_unstemmed |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей |
| title_sort |
оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей |
| author |
Бахтін, О.К. Заболотний, Я.В. |
| author_facet |
Бахтін, О.К. Заболотний, Я.В. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оценки произведения внутренних радиусов трех неналегающих областей Estimates of the product of the inner radii of three nonoverlapping domains |
| description |
Розглянуто вiдому проблему про добуток внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей
на комплекснiй площинi. Для деяких часткових випадкiв дана проблема була розв’язана.
Рассмотрена известная проблема о произведении внутренних радиусов неналегающих областей на комплексной плоскости. Для некоторых частных случаев данная проблема была решена.
The well-known problem of a product of the inner radii of nonoverlapping domains on the complex
plane is considered and solved in some partial cases.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86178 |
| citation_txt |
Оцінки добутку внутрішніх радіусів трьох неперетинних областей / О.К. Бахтін, Я.В. Заболотний // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 7–10. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bahtínok ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívtrʹohneperetinnihoblastei AT zabolotniiâv ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívtrʹohneperetinnihoblastei AT bahtínok ocenkiproizvedeniâvnutrennihradiusovtrehnenalegaûŝihoblastei AT zabolotniiâv ocenkiproizvedeniâvnutrennihradiusovtrehnenalegaûŝihoblastei AT bahtínok estimatesoftheproductoftheinnerradiiofthreenonoverlappingdomains AT zabolotniiâv estimatesoftheproductoftheinnerradiiofthreenonoverlappingdomains |
| first_indexed |
2025-11-24T03:49:36Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:49:36Z |
| _version_ |
1850839771982594048 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
10 • 2013
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
О.К. Бахтiн, Я.В. Заболотний
Оцiнки добутку внутрiшнiх радiусiв трьох
неперетинних областей
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
Розглянуто вiдому проблему про добуток внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей
на комплекснiй площинi. Для деяких часткових випадкiв дана проблема була розв’язана.
Серед напрямкiв розвитку геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної важливе мiс-
це займає розв’язування екстремальних задач на класах областей, що не перетинаються.
Першим важливим результатом даної тематики була теорема Лаврентьєва [1]. Значний вне-
сок у розвиток цього напрямку зроблено багатьма дослiдниками (див., наприклад, [1–9]).
Зокрема, в роботi [5] було сформульовано таку екстремальну задачу:
Задача 1. Довести, що максимум функцiонала
In(γ) = rγ(B0, a0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak), (1)
де B0, B1, B2, . . . , Bn (n > 2) — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, k =
= 1, n, r(Bj, aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0, n i 0 < γ 6 n
(див., наприклад, [5, 6]), досягається для деякої конфiгурацiї областей, якi мають n-кратну
симетрiю.
Ми розв’язуватимемо дану задачу при n = 2 i γ ∈ (0; 1,4].
Варто зауважити, що випадок n = 2 є одним з найскладнiших у данiй проблемi. Так,
у роботi [6] знайдено розв’язок задачi 1 при γ = 1 i довiльному n. У роботi [7], отрима-
но розв’язок проблеми для n > 5 i α0 < 2/
√
γ (чому дорiвнює α0, буде вказано пiзнiше).
Г. В. Кузьмiною [8] розв’язано задачу Дубiнiна для ∀n i 0 < γ < 1. В роботi [10] дове-
дено правильнiсть твердження задачi 1 для n = 2 i γ ∈ (0; 1.1] при додатковiй умовi, що
r(B0, a0) 6 1. В [11] цю умову було знято.
У данiй роботi встановлено такий результат:
© О.К. Бахтiн, Я.В. Заболотний, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 7
Теорема 1. Для n = 2 i γ ∈ (0; 1,4] виконується нерiвнiсть
rγ(B0, a0)
2
∏
k=1
r(Bk, ak) 6 rγ(D0, a
0
0)
2
∏
k=1
r(Dk, a
0
k),
де B0, B1, B2 — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |a1| = |a2| = 1, причому знак
рiвностi досягається, зокрема, за умов ak = a0k, Bk = Dk, k = 0, 2, де a0k, Dk, — вiдповiдно
полюси i круговi областi квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)2
dw2. (2)
Доведення. Оскiльки в роботi [11] було доведено дану теорему для γ ∈ (0; 1,1], то нам
залишається розглянути випадок γ ∈ (1,1; 1,4].
Встановимо спочатку, що твердження теореми правильне для γ = 1,4. Метод доведен-
ня спирається на застосування, аналогiчне теоремi 5.2.3 роботи [9], методу роздiляючого
перетворення областей, який детально розроблений в роботах [5, 6]. Опис роздiляючого
перетворення областей для даного випадку проведений в [11], тут лише запишемо потрiбнi
нам висновки.
Отже, нехай a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, 2, та 0 = arg a1 < arg a2 < 2π.
Означимо числа αk таким чином:
α1 :=
1
π
(arg a2 − arg a1), α2 :=
1
π
(2π − arg a2).
Як i в теоремi 5.2.3 [9], за допомогою роздiляючого перетворення отримаємо нерiвнiсть
I2(γ) 6
[
2
∏
k=1
αkr
γα2
k(D0, 0)r(D1, i)r(D2,−i)
]1/2
, (3)
де Dk, k = 0, 2, — згаданi вище круговi областi квадратичного диференцiала (2). Дана нерiв-
нiсть правильна для 0 < γ 6 1 на основi результатiв роботи [6]. При γ > 1 ї ї застосування,
взагалi кажучи, некоректне. Встановимо умови її правильностi для γ = 1,4.
Для доведення цього твердження припустимо, що α0 > 2/
√
γ, де α0 := max{α1, α2}.
Згiдно з теоремою 5.2.3 роботи [9]
I02 (γ) = rγ(D0, a0)
2
∏
k=1
r(Dk, ak) =
4γγ/2
(
1− γ
4
)2+γ/2
1−
√
γ
2
1 +
√
γ
2
2
√
γ
.
Легко побачити, що I02 (1, 4) ≈ 0,647887.
Позначимо r(B0, 0) = p i I02 (γ) = q. Тодi, згiдно з лемою 1 роботи [12], отримаємо
нерiвнiсть
rγ(B0, 0)
2
∏
k=1
r(Bk, ak) 6 I02 (γ)
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
при умовi
r(B0, 0) > q1/(γ−n) ≈ 2,061464.
Залишилося розглянути випадок p < 2,061464 =: p0.
Виконаємо такi перетворення:
I2(γ) = pγ−1
2
∏
k=0
r(Bk, ak) 6 pγ−1
0
2
∏
k=0
r(Bk, ak). (4)
Iз спiввiдношення (4) за допомогою нерiвностi Голузiна [2, с. 162] отримаємо, що
I2(γ) 6
128
81
√
3
pγ−1
0 sinπ
(
1− 1√
γ
)
. (5)
Врахувавши в (5), що p0 = 2,061464 i γ = 1,4, отримаємо I2(γ) 6 0,569698 < I02 (γ).
Таким чином, встановлено, що для α0 > 2/
√
γ виконується нерiвнiсть I2(γ) < I02 (γ).
Залишається розглянути випадок α0 < 2/
√
γ, для якого нерiвнiсть (3) виконується.
Використовуючи метод роботи [11], встановлюємо, що екстремальною буде конфiгурацiя
областей D0, D1, D2 i точок a00, a
0
1, a
0
2.
Для γ = 1,4 теорему доведено. Функцiонал I02 (γ) як функцiя вiд γ монотонно спадає на
промiжку [1,1; 1,4]. Водночас функцiя
128
81
√
3
pγ−1
0 sinπ
(
1− 1√
γ
)
є монотонно зростаючою на
цьому ж промiжку. А отже, для γ ∈ [1,1; 1,4] i α0 > 2/
√
γ
I2(γ)
I02 (γ)
6
I2(1,4)
I02 (1,4)
< 1.
Для γ ∈ (1,1; 1,4] i α0 < 2/
√
γ мiркування аналогiчнi наведеним в роботi [11] для випадку
γ = 1,1. Звiдси для γ ∈ [1,1; 1,4] I2(γ) 6 I02 (γ), а тому I02 (γ) — екстремальне значення
функцiї I2(γ).
Теорему доведено.
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
4. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
5. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3–76.
6. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров. Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
7. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности //
Дальневост. мат. сб. – 1996. – 2. – С. 96–98.
8. Кузьмина Г. В. Метод экстремальной метрики в задачах о максимуме произведения степеней кон-
формных радиусов неналегающих областей при наличии свободных параметров // Зап. науч. семи-
наров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2003. – 302. – С. 52–67.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 9
9. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометричес-
кие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – Київ, 2008. – Т. 73. –
308 с.
10. Бахтiн О.К., Заболотний Я.В. Застосування роздiляючого перетворення в задачах про неперетиннi
областi // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 2. – С. 327–331.
11. Заболотний Я.В. Застосування роздiляючого перетворення в задачах про неперетиннi областi //
Доп. НАН України. – 2011. – № 4. – С. 20–24.
12. Заболотний Я.В. Про одну екстремальну задачу В. М. Дубiнiна // Укр. мат. журн. – 2012. – 64,
№ 1. – С. 24–31.
Надiйшло до редакцiї 05.04.2013Iнститут математики НАН України, Київ
О.К. Бахтин, Я.В. Заболотный
Оценки произведения внутренних радиусов трех неналегающих
областей
Рассмотрена известная проблема о произведении внутренних радиусов неналегающих облас-
тей на комплексной плоскости. Для некоторых частных случаев данная проблема была
решена.
O.K. Bakhtin, Ja.V. Zabolotnij
Estimates of the product of the inner radii of three nonoverlapping
domains
The well-known problem of a product of the inner radii of nonoverlapping domains on the complex
plane is considered and solved in some partial cases.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
|