Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу
Знайдено ймовiрнiсний розподiл локального часу однорiдного транзiєнтного дифузiйного
 процесу. Для цього розглянуто диференцiальне рiвняння другого порядку, породжене генератором процесу, й аналiтичними методами встановлено властивостi його монотонних розв’язкiв як функцiй параметра. Одночас...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86182 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу / М.О. Перестюк, Ю.С. Мішура, Г.М. Шевченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 29–35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860186824269365248 |
|---|---|
| author | Перестюк, М.О. Мішура, Ю.С. Шевченко, Г.М. |
| author_facet | Перестюк, М.О. Мішура, Ю.С. Шевченко, Г.М. |
| citation_txt | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу / М.О. Перестюк, Ю.С. Мішура, Г.М. Шевченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 29–35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Знайдено ймовiрнiсний розподiл локального часу однорiдного транзiєнтного дифузiйного
процесу. Для цього розглянуто диференцiальне рiвняння другого порядку, породжене генератором процесу, й аналiтичними методами встановлено властивостi його монотонних розв’язкiв як функцiй параметра. Одночасно використано ймовiрнiсне зображення
монотонних розв’язкiв цього рiвняння. Поєднання методiв теорiї диференцiальних рiвнянь i теорiї випадкових процесiв дозволило знайти параметр експоненцiйного розподiлу локального часу.
Найдено вероятностное распределение локального времени однородного транзиентного дифузионного процесса. Для этого рассмотрено дифференциальное уравнение второго порядка,
порожденное генератором процесса, и аналитическими методами установлены свойства
его монотонных решений как функций параметра. Одновременно использовано вероятностное представление монотонных решений этого уравнения. Сочетание методов теории дифференциальных уравнений и теории случайных процессов позволило найти параметр экспоненциального распределения локального времени.
On the distribution of a local time of a homogeneous diffusion process
The probabilistic distribution of the local time of a homogeneous transient diffusion process is
found. To this end, a second order differential equation corresponding to the process generator is
considered, and properties of its monotone solutions as functions of a parameter are established with
the help of analytic tools. At the same time, a probabilistic representation of monotone solutions
is used. Combining the techniques of differential equations theory and stochastic processes theory
allowed us to identify the parameter of an exponential distribution of the local time.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:04:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21+517.9
Академiк НАН України М. О. Перестюк, Ю. С. Мiшура,
Г.М. Шевченко
Про розподiл локального часу однорiдного дифузiйного
процесу
Знайдено ймовiрнiсний розподiл локального часу однорiдного транзiєнтного дифузiйного
процесу. Для цього розглянуто диференцiальне рiвняння другого порядку, породжене ге-
нератором процесу, й аналiтичними методами встановлено властивостi його монотон-
них розв’язкiв як функцiй параметра. Одночасно використано ймовiрнiсне зображення
монотонних розв’язкiв цього рiвняння. Поєднання методiв теорiї диференцiальних рiв-
нянь i теорiї випадкових процесiв дозволило знайти параметр експоненцiйного розподiлу
локального часу.
Розглянемо сiм’ю однорiдних одновимiрних дифузiйних процесiв {Xx
t , t > 0, x ∈ R}, заданих
на стандартному ймовiрнiсному просторi з фiльтрацiєю {Ω,F , {Ft}t>0, P} за допомогою
стохастичного диференцiального рiвняння
dXx
t = b(Xx
t )dt+ a(Xx
t ) dWt, t > 0, (1)
Xx
0 = x ∈ R — початкове значення, {Wt, t > 0} — стандартний вiнерiвський процес. Роз-
глядаючи тi об’єкти, для яких початкове значення розв’язку не вiдiграє ролi, вiдповiдний
процес позначатимемо X. Нехай коефiцiєнти рiвняння (1) задовольняють будь-якi умови
iснування слабкого розв’язку, а також є неперервними за x ∈ R, i a(x) 6= 0, x ∈ R. Iз сiм’єю
процесiв {Xx
t , t > 0, x ∈ R} пов’яжемо такi об’єкти:
1. Для f ∈ C2(R) позначимо генератор дифузiйного процесу X через
Lf(x) = a2(x)
2
f ′′(x) + b(x)f ′(x).
2. Визначимо функцiї
ϕ(x0, x) = exp
{
−2
z
∫
x0
b(u)
a2(u)
du
}
, Φ(x0, x) =
x
∫
x0
ϕ(x0, z) dz, x0, x ∈ R
⋃{−∞,+∞}.
Зауважимо, що при кожному фiксованому x0 ∈ R функцiя Φ(x0, ·) є розв’язком однорiдного
диференцiального рiвняння другого порядку LΦ(x0, ·) = 0.
3. Для x, y ∈ R нехай τxy = inf{t > 0,Xx
t = y} — момент першого попадання в точку y,
а для x ∈ (a, b) τxa,b = inf{t > 0,Xx
t /∈ (a, b)} = τxa ∧ τxb — момент виходу з iнтервалу (a, b).
(Вважатимемо, що inf ∅ = +∞.)
4. Визначимо нормований коефiцiєнтом дифузiї a локальний час перебування проце-
су Xx в точцi y ∈ R на вiдрiзку [0, t] (множник a2(y) включено згiдно iз загальним визна-
ченням Мейєра–Танаки локальних часiв семiмартингалiв [1]):
Lx
t (y) = a2(y) lim
ε↓0
1
2ε
t
∫
0
I{|Xx
s − y| 6 ε} ds,
© М. О. Перестюк, Ю.С. Мiшура, Г.М. Шевченко, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 29
де границя майже напевно iснує i визначає неперервний неспадний випадковий процес
{Lx
t (y), t > 0} для всiх x, y ∈ R. Локальний час перебування на всьому промiжку [0,+∞)
позначимо Lx
∞(y).
Метою роботи є визначення ймовiрнiсного розподiлу локального часу Lx
∞. Зазначимо,
що дане питання розглядалося в роботах [1, 2], проте параметри розподiлу в них не було
визначено явно, а лише як границю певних функцiоналiв вiд розв’язкiв диференцiальних
рiвнянь, див. формулу (4).
Згiдно з [3, 4], у випадку, коли Φ(x,+∞) = −Φ(x,−∞) = +∞ для деякого x ∈ R
(а тодi цi рiвностi мають мiсце для всiх x ∈ R), дифузiйний процес X є рекурентним,
тобто P{ lim
t→+∞
Xx
t = +∞, lim
t→+∞
Xx
t = −∞} = 1, i локальний час Lx
∞(y) = +∞ для всiх
x, y ∈ R м. н. Поведiнка процесу, оберненого до процесу локального часу, вивчалася в ре-
курентному випадку в роботах [1, 5, 6].
Тому розглядаємо лише випадок транзiєнтного процесу X, коли хоча б один з iнтегралiв
Φ(x0,+∞), або Φ(−∞, x0) є скiнченним (поведiнку траєкторiй X у цьому випадку описано
в [3, теорема 1, с. 119] та [7, теорема 3.1, с. 351].
Далi, зауважимо, що достатньо розглянути випадок x = y. Справдi, внаслiдок строгої
марковської властивостi процесу X, для довiльного l > 0
P (Lx
∞(y) > l) = P (Ly
∞(y) > l)P (τxy < +∞).
Ймовiрнiсть P (τxy < +∞) = 1 − P (τxy = +∞) можна визначити, користуючись вiдомою
формулою (див. [8, c. 500]): для x ∈ (a, b)
P (Xx
τa,b
= b) =
Φ(a, x)
Φ(a, b)
.
Тодi шукане значення ймовiрностi залежить вiд спiввiдношення мiж x та y та вiд значення
iнтегралiв Φ(x,+∞) та Φ(x,−∞). А саме якщо x > y, то
P (τxy = +∞) = lim
a→+∞
P (Xx
τy,a
= a) = lim
a→+∞
Φ(y, x)
Φ(y, a)
,
тому при x > y
P (τxy = +∞) =
Φ(y, x)
Φ(y,+∞)
, Φ(x,+∞) < +∞,
0, Φ(x,+∞) = +∞.
(2)
При x < y
P (τxy = +∞) = lim
a→−∞
(1− P (Xx
τa,y
= y)) = lim
a→−∞
Φ(a, y)− Φ(a, x)
Φ(a, y)
=
= lim
a→−∞
φ(a, x)Φ(x, y)
−φ(a, y)Φ(y, a) = lim
a→−∞
−φ(a, x)φ(x, y)Φ(y, x)
−φ(a, y)Φ(y, a) = lim
a→−∞
Φ(y, x)
Φ(y, a)
,
тому
P (τxy = +∞) =
Φ(y, x)
Φ(y,−∞)
, −Φ(x,−∞) < +∞,
0, −Φ(x,−∞) = +∞.
(3)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
Отже, справдi достатньо знати розподiли величин Lx
∞(x). Для визначення останнiх вико-
ристаємо такi факти.
1. Згiдно з [1, теорема 1], P (Lx
∞(x) > l) = exp(−lψx(0)), де
ψx(0) = ψx,+(0) + ψx,−(0), ψx,±(0) = ±1
2
lim
λ↓0
y′λ,±(x)
yλ,±(x)
, (4)
функцiї yλ,+ та yλ,− є вiдповiдно зростаючим та спадним розв’язком рiвняння (λ > 0, фi-
ксоване)
Ly = λy. (5)
2. Згiдно з [4], функцiї yλ,+ та yλ,− мають iмовiрнiснi зображення
yλ,+(x) =
{
Ee−λτx
0 , x < 0,
(Ee−λτ0x )−1, x > 0,
(6)
yλ,−(x) =
{
Ee−λτx
0 , x > 0,
(Ee−λτ0x )−1, x < 0.
(7)
При цьому ми вважаємо, що e−λt = 0 при t = +∞, λ > 0.
3. Будь-який розв’язок yλ(x) рiвняння (5) допускає iнтегральне зображення
yλ(x) = C1(λ) + C2(λ)Φ(x0, x) + 2λ
x
∫
x0
Φ(s, x)
a2(s)
yλ(s) ds, (8)
y′λ(x) = C2(λ)ϕ(x0, x) + 2λ
x
∫
x0
ϕ(s, x)
a2(s)
yλ(s) ds. (9)
Теорема 1. Має мiсце формула
ψx(0) =
1
2
(
1
Φ(x,+∞)
− 1
Φ(x,−∞)
)
, (10)
де
1
∞ := 0.
Доведення. Нам треба знайти границi в рiвностях (4). З цiєю метою спочатку звер-
немося до зображення (8), в яке пiдставимо yλ,+(x) i покладемо x0 = 0. Оскiльки з (6)
випливає, що yλ,+(0) = 1, то з (8) та (9) —
yλ,+(x) = 1 + c2(λ)Φ(0, x) + 2λ
x
∫
0
Φ(s, x)
a2(s)
yλ,+(s) ds (11)
та
y′λ,+(x) = c2(λ)ϕ(0, x) + 2λ
x
∫
0
ϕ(s, x)
a2(s)
yλ,+(s) ds. (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 31
Пiдставимо в (12) x = 0. Оскiльки φ(0, 0) = 1, то y′λ,+(0) = c2(λ), отже, (11) i (12) пере-
творяться на
yλ,+(x) = 1 + y′λ,+(0)Φ(0, x) + 2λ
x
∫
0
Φ(s, x)
a2(s)
yλ,+(s) ds (13)
та
y′λ,+(x) = y′λ,+(0)ϕ(0, x) + 2λ
x
∫
0
ϕ(s, x)
a2(s)
yλ,+ds. (14)
Таким чином, треба перейти до границi при λ→ 0 в (13) та (14) при фiксованому x ∈ R.
Спочатку перейдемо до границi в iнтегралах. Нехай x > 0 фiксоване. Тодi обидвi пiдiн-
тегральнi функцiї додатнi, пiдiнтегральнi функцiї Φ(s, x)/a2(s) та ϕ(s, x)/a2(s) обмеженi.
Оскiльки λ ↓ 0, то можна вважати, що λ ∈ (0, 1]. При x > 0 з (6) видно, що yλ,+(x) зростає
за λ, значить, 0 6 yλ,+(s) 6 (E0e
−τ0s )−1, i ця функцiя обмежена при s ∈ [0, x]. Отже,
lim
λ↓0
λ
x
∫
0
Φ(s, x)
a2(s)
yλ,+(s) ds = lim
λ↓0
λ
x
∫
0
ϕ(s, x)
a2(s)
yλ,+(s) ds = 0.
Той самий висновок можна зробити i при x < 0, якщо помiняти знак при Φ(s, x) i зазначити,
що 0 6 yλ,+(s) 6 1 при s < 0. Аналогiчно розглядаються границi вiдповiдних iнтегралiв
для спадного розв’язку yλ,−(x), i вони також дорiвнюють нулю. Тепер знайдемо lim
λ↓0
y′λ,+(0).
Для цього спочатку зауважимо, що з вигляду зображень (6), (7) випливає, що при кожному
x ∈ R yλ,+(x) i yλ,−(x) є неперервними функцiями λ. Тому в (13) лiва частина й iнтеграл
в правiй частинi неперервнi за λ. Отже, i y′λ,+(0), (yλ,−)
′(0) неперервнi за λ. Тому границi
lim
λ↓0
y′λ,±(0) дорiвнюють значенням вiдповiдних похiдних у нулi:
lim
λ↓0
y′λ,±(0) = lim
x→0
(
yλ,±(x)− 1
x
∣
∣
∣
∣
λ=0
)
.
Тепер, при λ > 0 мають мiсце рiвностi E(e−λτx
0 − 1) = −P{τx0 = +∞}+ E(e−λτx
0 − 1)I{τx0 <
< +∞}, отже, E(e−λτx
0 − 1)
∣
∣
λ=0
= −P{τx0 = +∞}. Значить,
lim
λ↓0
y′λ,+(0) = − lim
x↑0
P{τx0 = +∞}
x
,
lim
λ↓0
y′λ,−(0) = − lim
x↓0
P{τx0 = +∞}
x
.
Згiдно з формулами (2), (3) маємо
P (τx0 = +∞) =
Φ(0, x)
Φ(0,−∞)
, −Φ(0,−∞) < +∞,
0, −Φ(0,−∞) = +∞
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
при x < 0 та
P (τx0 = +∞) =
Φ(0, x)
Φ(0,+∞)
, Φ(0,+∞) < +∞,
0, Φ(0,+∞) = +∞
при x > 0. Зауважимо, що
Φ(0, x)
x
=
Φ(0, x)− Φ(0, 0)
x− 0
→ Φ′
x(0, x)|x=0 = ϕ(0, 0) = 1, x→ 0.
Таким чином,
lim
λ↓0
y′λ,+(0) = − 1
Φ(0,−∞)
, lim
λ↓0
y′λ,−(0) = − 1
Φ(0,+∞)
.
Пiдставимо цi границi в (13) та (14) i знайдемо, використовуючи властивостi функцiй Φ
та ϕ, що
lim
λ↓0
yλ,+(x) =
φ(0, x)Φ(x,−∞)
Φ(0,−∞)
, −Φ(0,−∞) < +∞,
1, −Φ(0,−∞) = +∞;
lim
λ↓0
yλ,−(x) =
φ(0, x)Φ(x,+∞)
Φ(0,+∞)
, Φ(0,+∞) < +∞,
1, Φ(0,+∞) = +∞;
lim
λ↓0
y′λ,+(x) = − φ(0, x)
Φ(0,−∞)
, lim
λ↓0
y′λ,−(x) = − φ(0, x)
Φ(0,+∞)
.
Доведення теореми завершується застосуванням формули (4).
Наслiдок 1. 1. Якщо має мiсце будь-який з випадкiв: x = y; x < y та −Φ(0,−∞) =
= +∞; x > y та Φ(0,+∞) = +∞, то локальний час Lx
∞(y) має експоненцiйний розподiл
з параметром ψy(0), що задається формулою (10).
2. Якщо x < y та −Φ(0,−∞) < +∞, то локальний час Lx
∞(y) розподiлений як κξ, де
ξ має експоненцiйний розподiл з параметром ψy(0), κ — незалежна вiд ξ бернулiївська
випадкова величина з
P (κ = 0) = 1− P (κ = 1) =
Φ(y, x)
Φ(y,−∞)
.
3. Якщо x > y та Φ(0,+∞) < +∞, то локальний час Lx
∞(y) розподiлений як κξ, де
ξ має експоненцiйний розподiл з параметром ψy(0), κ — незалежна вiд ξ бернулiївська
випадкова величина з
P (κ = 0) = 1− P (κ = 1) =
Φ(y, x)
Φ(y,+∞)
.
П р и к л ад 1 . Нехай a(x) ≡ a 6= 0 та b(x) ≡ b є сталими. Тодi ϕ(x, y) = e−2b(y−x)/a2
, Φ(x, y) =
=
a2
2b
(1−e−2b(y−x)/a2
) при b 6= 0 та Φ(x, y) = y−x при b = 0. Тодi процес є транзiєнтним тодi й тiльки
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 33
тодi, коли b 6= 0, причому при b > 0 −Φ(0,−∞) = +∞, Φ(0,+∞) < +∞; при b < 0 −Φ(0,−∞) < +∞,
Φ(0,+∞) = +∞. Цi випадки є симетричними, тому розглянемо лише випадок b > 0.
Рiвняння (5) є лiнiйним рiвнянням зi сталими коефiцiєнтами
a2
2
y′′(x) + by′(x) = λy(x),
загальний розв’язок якого
y(x) = C1 exp
{−b+
√
b2 + 2a2λ
a2
x
}
+ C2 exp
{−b−
√
b2 + 2a2λ
a2
x
}
.
Зростаючим та спадним розв’язком є вiдповiдно
yλ,+(x) = exp
{−b+
√
b2 + 2a2λ
a2
x
}
, yλ,−(x) = exp
{−b−
√
b2 + 2a2λ
a2
x
}
.
Тодi
y′λ,+(x)
yλ,+(x)
=
−b+
√
b2 + 2a2λ
a2
→ 0, λ ↓ 0;
y′λ,−(x)
yλ,−(x)
=
−b−
√
b2 + 2a2λ
a2
→ − 2b
a2
, λ ↓ 0.
Отже, ψx(0) = b/a2, що збiгається з результатом теореми 1, оскiльки в даному випадку
ψx(0) =
1
2Φ(x,+∞)
=
1
2a2/2b
=
b
a2
.
Таким чином, при x 6 y локальний час Lx
∞
(y) має експоненцiйний розподiл з параметром b/a2, а при
x > y вiн розподiлений як κξ, де ξ має експоненцiйний розподiл з параметром b/a2, κ — незалежна
вiд ξ бернулiївська випадкова величина з P (κ = 1) = 1 − P (κ = 0) = e−2b(x−y)/a2
. Використовуючи
властивостi експоненцiйного розподiлу, цi випадки можна об’єднати: Lx
∞
(y)
d
= (ξ − 2(x − y)+)+, де
a+ = a ∨ 0 — додатна частина a.
П р и к л а д 2 . Нехай a(x) =
√
x2 + 1 та b(x) = x. Тодi ϕ(x, y) = (x2 + 1)/(y2 + 1), Φ(x, y) =
= (1 + x2)(arctg y − arctg x). Бачимо, що процес є транзiєнтним, причому −Φ(0,−∞) = Φ(0,∞) =
= π/2 < ∞.
Ми не будемо розв’язувати рiвняння (5) й одразу перейдемо до визначення розподiлу локального
часу. За наслiдком 1, локальний час Lx
∞
(y) розподiлений як κξ, де ξ має експоненцiйний розподiл
з параметром
ψx(0) =
1
2Φ(x,+∞)
− 1
2Φ(x,+∞)
=
1
(1 + x2)(π − 2 arctgx)
− 1
(1 + x2)(π + 2 arctgx)
=
=
4 arctgx
(1 + x2)(π2 − 4 arctg2 x)
,
κ — незалежна вiд ξ бернулiївська випадкова величина з
P (κ = 1) = 1− P (κ = 0) =
π − 2 arctg x
π − 2 arctg y
, x > y,
π + 2 arctg x
π + 2 arctg y
, x < y.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
1. Pitman I., Yor M. Hitting, occupation and inverse local times of one-dimensional diffusions: martingale
and excursion approaches // Bernoulli. – 2003. – 9, No 1. – P. 1–24.
2. Comtet A., Tourigny Y. Excursions of diffusion processes and continued fractions // Ann. Inst. H. Poincaré
Probab. Statist. – 2011. – 47, No 3. – P. 850–874.
3. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка,
1968. – 256 с.
4. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. – Москва: Мир, 1965. – 395 с.
5. Salminen P., Vallois P., Yor M. On the excursion theory for linear diffusions // Jap. J. Math. – 2007. –
2, No 1. – P. 97–127.
6. Salminen P., Vallois P. On subexponentiality of the Lévy measure of the diffusion inverse local time; with
applications to penalizations // Electron. Commun. Probab. – 2009. – 14. – P. 1963–1991.
7. Ватанабе С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. –
Москва: Мир, 1986. – 448 с.
8. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. – Москва: Наука, 1977. –
568 с.
Надiйшло до редакцiї 27.03.2013Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Академик НАН Украины Н.А. Перестюк, Ю.С. Мишура, Г. М. Шевченко
О распределении локального времени однородного дифузионного
процесса
Найдено вероятностное распределение локального времени однородного транзиентного ди-
фузионного процесса. Для этого рассмотрено дифференциальное уравнение второго порядка,
порожденное генератором процесса, и аналитическими методами установлены свойства
его монотонных решений как функций параметра. Одновременно использовано вероятност-
ное представление монотонных решений этого уравнения. Сочетание методов теории диф-
ференциальных уравнений и теории случайных процессов позволило найти параметр экс-
поненциального распределения локального времени.
Academician of the NAS of Ukraine M.O. Perestyuk, Yu. S. Mishura,
G.M. Shevchenko
On the distribution of a local time of a homogeneous diffusion process
The probabilistic distribution of the local time of a homogeneous transient diffusion process is
found. To this end, a second order differential equation corresponding to the process generator is
considered, and properties of its monotone solutions as functions of a parameter are established with
the help of analytic tools. At the same time, a probabilistic representation of monotone solutions
is used. Combining the techniques of differential equations theory and stochastic processes theory
allowed us to identify the parameter of an exponential distribution of the local time.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86182 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:04:43Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Перестюк, М.О. Мішура, Ю.С. Шевченко, Г.М. 2015-09-09T16:55:18Z 2015-09-09T16:55:18Z 2013 Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу / М.О. Перестюк, Ю.С. Мішура, Г.М. Шевченко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 29–35. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86182 519.21+517.9 Знайдено ймовiрнiсний розподiл локального часу однорiдного транзiєнтного дифузiйного
 процесу. Для цього розглянуто диференцiальне рiвняння другого порядку, породжене генератором процесу, й аналiтичними методами встановлено властивостi його монотонних розв’язкiв як функцiй параметра. Одночасно використано ймовiрнiсне зображення
 монотонних розв’язкiв цього рiвняння. Поєднання методiв теорiї диференцiальних рiвнянь i теорiї випадкових процесiв дозволило знайти параметр експоненцiйного розподiлу локального часу. Найдено вероятностное распределение локального времени однородного транзиентного дифузионного процесса. Для этого рассмотрено дифференциальное уравнение второго порядка,
 порожденное генератором процесса, и аналитическими методами установлены свойства
 его монотонных решений как функций параметра. Одновременно использовано вероятностное представление монотонных решений этого уравнения. Сочетание методов теории дифференциальных уравнений и теории случайных процессов позволило найти параметр экспоненциального распределения локального времени. On the distribution of a local time of a homogeneous diffusion process
 The probabilistic distribution of the local time of a homogeneous transient diffusion process is
 found. To this end, a second order differential equation corresponding to the process generator is
 considered, and properties of its monotone solutions as functions of a parameter are established with
 the help of analytic tools. At the same time, a probabilistic representation of monotone solutions
 is used. Combining the techniques of differential equations theory and stochastic processes theory
 allowed us to identify the parameter of an exponential distribution of the local time. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу О распределении локального времени однородного дифузионного процесса On the distribution of a local time of a homogeneous diffusion process Article published earlier |
| spellingShingle | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу Перестюк, М.О. Мішура, Ю.С. Шевченко, Г.М. Математика |
| title | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу |
| title_alt | О распределении локального времени однородного дифузионного процесса On the distribution of a local time of a homogeneous diffusion process |
| title_full | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу |
| title_fullStr | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу |
| title_full_unstemmed | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу |
| title_short | Про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу |
| title_sort | про розподіл локального часу однорідного дифузійного процесу |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86182 |
| work_keys_str_mv | AT perestûkmo prorozpodíllokalʹnogočasuodnorídnogodifuzíinogoprocesu AT míšuraûs prorozpodíllokalʹnogočasuodnorídnogodifuzíinogoprocesu AT ševčenkogm prorozpodíllokalʹnogočasuodnorídnogodifuzíinogoprocesu AT perestûkmo oraspredeleniilokalʹnogovremeniodnorodnogodifuzionnogoprocessa AT míšuraûs oraspredeleniilokalʹnogovremeniodnorodnogodifuzionnogoprocessa AT ševčenkogm oraspredeleniilokalʹnogovremeniodnorodnogodifuzionnogoprocessa AT perestûkmo onthedistributionofalocaltimeofahomogeneousdiffusionprocess AT míšuraûs onthedistributionofalocaltimeofahomogeneousdiffusionprocess AT ševčenkogm onthedistributionofalocaltimeofahomogeneousdiffusionprocess |