Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
Розглянуто достатнi умови слабкої збiжностi у C([0, T]) для випадкових процесiв, що
 описуються диференцiально-функцiональними рiвняннями з випадковими операторами.
 Одержано достатнi умови слабкої збiжностi для розв’язкiв даних рiвнянь за умов, накладених на коефiцiєнти вихiдного...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86184 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / І.В. Малик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 41–46. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860084276529201152 |
|---|---|
| author | Малик, І.В. |
| author_facet | Малик, І.В. |
| citation_txt | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / І.В. Малик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 41–46. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто достатнi умови слабкої збiжностi у C([0, T]) для випадкових процесiв, що
описуються диференцiально-функцiональними рiвняннями з випадковими операторами.
Одержано достатнi умови слабкої збiжностi для розв’язкiв даних рiвнянь за умов, накладених на коефiцiєнти вихiдного рiвняння.
Рассмотрены достаточные условия слабой сходимости в C([0, T]) для случайных процессов, описываемых дифференциально-функциональными уравнениями со случайными операторами. Получены достаточные условия слабой сходимости для решений данных уравнений в условиях, наложенных на коэффициенты исходного уравнения.
We consider sufficient conditions for the weak convergence in C([0, T]) for random processes described by functional differential equations with random operators. Sufficient conditions for the weak
convergence of solutions of the equations under conditions imposed on the coefficients of the original equation are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:18:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.214,519.65
I. В. Малик
Збiжнiсть у схемi дифузiйної апроксимацiї розв’язкiв
диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального
типу
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Розглянуто достатнi умови слабкої збiжностi у C([0, T ]) для випадкових процесiв, що
описуються диференцiально-функцiональними рiвняннями з випадковими операторами.
Одержано достатнi умови слабкої збiжностi для розв’язкiв даних рiвнянь за умов, на-
кладених на коефiцiєнти вихiдного рiвняння.
Дослiдженню збiжностi випадкових процесiв у схемi дифузiйної апроксимацiї у рiзних про-
сторах присвячено багато робiт, наприклад [1–4]. Це пов’язано з широким використанням
дифузiйних процесiв як математичних моделей реальних явищ: моделювання цiни вартостi
акцiй та облiгацiй [5], модель розвитку популяцiї [6] тощо. У роботi [4] розглянуто слаб-
ку збiжнiсть випадкових процесiв у просторi неперервних функцiй C([0, T ]) та у просторi
Скорохода D([0, T ]). Робота [2] присвячена збiжностi напiвмарковських випадкових ево-
люцiй у схемi усереднення та дифузiйної апроксимацiї. Дана робота присвячена збiжностi
у схемi дифузiйної апроксимацiї для розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь
нейтрального типу. Данi рiвняння описують реальнi явища, якi “мають” пам’ять.
Отже, на ймовiрнiсному базисi (Ω, F,ℑ, P ) [7], де ℑ := {Ft, t > 0} — потiк σ-алгебр,
задано сiм’ю випадкових процесiв xε(t) := x(t, ε, ω), t > 0, ε ∈ (0, ε0), де xε(t) — сильнi
розв’язки лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь (ДФР) в R1 з випадковими
операторами [8]
dDεxεt = Lεxεtdt, (1)
що задовольняють невипадкову початкову умову
xε0 = ϕ, (2)
де для ψ ∈ C([−h,∞)) визначено лiнiйнi оператори:
Dεψt := ψ(t)−
0
∫
−h
D(t, ε−1s, ω)ψ(t− s) ds, Lεψt :=
0
∫
−h
L(t, ε−1s, ω)ψ(t− s) ds,
ψt := {ψ(t+s), s ∈ [−h, 0]}, 0 < h <∞. Тут D, L : R+×R1×Ω → R1 — вимiрнi вiдображення
за всiма своїми аргументами. Будемо припускати, що оператори Dε та Lε задовольняють
глобальну умову Лiпшiца м. н. з деякою константою l < ∞
|Dεψ1 −Dεψ2|+ |Lεψ1 −Dεψ2| 6 l‖ψ1 − ψ2‖, (3)
де ‖ψ‖ := sup
s∈[−h,0]
|ψ(s)| — рiвномiрна норма на [−h, 0].
© I. В. Малик, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 41
Для вiдображення D будемо також вимагати таку умову [9]:
sup
ε∈(0,ε0),t∈R+,‖ϕ‖=1
0
∫
−h
|D(t, ε−1s, ω)ϕ(s)| ds < 1, (4)
яка є необхiдною умовою iснування розв’язку задачi (1), (2). При умовах (3) та (4) iснує
єдиний сильний розв’язок задачi (1), (2) [9].
Припустимо також, що при фiксованому t ∈ R+ випадковi процеси D, L є стацiонарними
за s, тодi
D(t) := ED(t, s, ω), L(t) := EL(t, s, ω).
Зауважимо, що при виконаннi умов (3) та (4) iснує єдиний розв’язок рiвняння
dDx0t = Lx0t dt (5)
при початковiй умовi (2), де
Dψt := ψ(t)−
0
∫
−h
D(t)ψ(t− s) ds, Lψt :=
0
∫
−h
L(t)ψ(t− s) ds.
Введемо сiм’ю випадкових процесiв для ε > 0:
ξε(t) := ε−1/2(xε(t)− x0(t)), t > 0, (6)
де xε(t), t > 0 — розв’язки задач (1), (2); x0(t), t > 0 — розв’язок задачi (5), (2). Згiдно
з означенням випадкових процесiв xε(t), x0(t), t > 0, отримаємо
ξε(t) = ε−1/2
0
∫
−h
(D(t, ε−1s, ω)xε(t− s)−D(t)x0(t− s)) ds +
+ ε−1/2
t
∫
0
0
∫
−h
(L(s, ε−1s1, ω)x
ε(s− s1)− L(s)x0(s− s1)) ds1ds =
= ε−1/2
0
∫
−h
(D(t, ε−1s, ω)(x0(t− s) + ε1/2ξε(t− s))−D(t)x0(t− s)) ds +
+ ε−1/2
t
∫
0
0
∫
−h
(L(s, ε−1s1, ω)(x
0(s−s1) +ε
1/2ξε(s−s1))−L(s)x
0(s−s1)) ds1ds =
= ε−1/2
0
∫
−h
(D(t, ε−1s, ω)−D(t))x0(t− s) ds+
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
+ ε−1/2
t
∫
0
0
∫
−h
(L(s, ε−1s1, ω)− L(s))x0(s− s1) ds1ds+
+
0
∫
−h
D(t, ε−1s, ω)ξε(t− s) ds+
t
∫
0
0
∫
−h
L(s, ε−1s1, ω)ξ
ε(s + s1) ds1ds. (7)
Для ε > 0 позначимо сiм’ю випадкових процесiв zε(t), t > 0, що заданi спiввiдношеннями
zε(t) := ε−1/2
0
∫
−h
(D(t, ε−1s, ω)−D(t))x0(t− s) ds+
+ ε−1/2
t
∫
0
0
∫
−h
(L(s, ε−1s1, ω)− L(s))x0(s− s1) ds1ds. (8)
Згiдно з спiввiдношенням (7) та означенням (8), отримаємо, що сiм’я випадкових про-
цесiв ξε(t), t > 0, ε > 0 задовольняє ДФР
dDεξεt = Lεξεt dt+ dzε(t).
Введемо позначення
BD(t1, t2, s) := E((D(t1, v, ω) −D(t1))(D(t2, v + s, ω)−D(t2))),
BL(t1, t2, s) := E((L(t1, v, ω)− L(t1))(L(t2, v + s, ω)− L(t2))),
де t1, t2 ∈ R+, s, v ∈ R1.
Сформулюємо достатнi умови слабкої збiжностi [2–4] сiм’ї випадкових процесiв ξε(t) до
деякого дифузiйного процесу ξ0(t) при ε → 0 в C([0, T ]), T < ∞.
Теорема 1. Нехай:
1) ϕ ∈ C([−h, 0]) та виконується умова склеювання в точцi 0: lim
t→0+
xε(t) = ϕ(0);
2) D(t, s, ω), L(t, s, ω) — вимiрнi за всiма змiнними, ергодичнi стацiонарнi процеси
за s при фiксованих t i виконується умова Лiпшiца (3) та умова (4); випадковi проце-
си D(t1, s, ω), L(t2, s, ω) — незалежнi при фiксованих t1, t2 ∈ R+;
3) функцiї BD(t1, t2, s) та BL(t1, t2, s) задовольняють спiввiдношення:
sup
t1,t2∈R+
∞
∫
−∞
|BD(t1, t2, s)| ds +
∞
∫
0
∞
∫
0
∞
∫
−∞
|BL(t1, t2, s)| dsdt1dt2 <∞;
4) |L(t, s, ω)|, E|L(t, s, ω)|2 — рiвномiрно iнтегровнi за t; |D(t, s, ω)| — рiвномiрно обме-
жена за t.
Тодi для T <∞ має мiсце слабка збiжнiсть сiм’ї випадкових процесiв ξε до випадкового
процесу ξ0 в C([0, T ]), де ξ0(t), t ∈ [0, T ] задовольняє ДФР рiвняння
dDξ0t = Lξ0t dt+ dz0(t), (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 43
причому z0(t) — гауссовий процес, для якого
Ez0(t) = 0,
E(z0(t1)z
0(t2)) =
0
∫
−h
∞
∫
−∞
BD(t1, t2, v)x
0(t1 + s)x0(t2 + s) dvds +
+
t1
∫
0
t2
∫
0
0
∫
−h
∞
∫
−∞
BL(s1, s2, v)x
0(s1 + s)x0(s2 + s) dvdsds1ds2.
(10)
Доведення теореми розiб’ємо на два етапи:
1) доведемо, що випадковий процес zε(t), t ∈ [0, T ] є асимптотично гауссовим випадковим
процесом при ε → 0;
2) доведемо, що за ймовiрнiстю sup
t∈[0,T ]
|ξε(t)− ζε(t)| → 0, де ζε(t) — частково усереднений
випадковий процес, який задовольняє ДФР
dDζεt = Lζεt dt+ dzε(t). (11)
Найперше зауважимо, що при умовi 1 теореми 1 та (3) вiрна оцiнка
sup
t∈[−h,T ]
|x0(t)| <∞.
Розглянемо Bε(t1, t2) := E(zε(t1)z
ε(t2)), враховуючи умову 2 теореми:
Bε(t1, t2) = ε−1
0
∫
−h
0
∫
−h
BD(t1, t2, ε
−1(s1 − s2))x
0(t1 + s1)x
0(t2 + s2) ds1ds2 +
+ ε−1
t1
∫
0
t2
∫
0
0
∫
−h
0
∫
−h
BL(z1, z2, ε
−1(s1 − s2))x
0(z1 + s1)x
0(z2 + s2) ds1ds2dz1dz2.
Зробивши замiну u1 = s1, u2 = ε−1(s1 − s2) у двох iнтегралах, отримаємо
Bε(t1, t2) =
0
∫
−h
ε−1(h+u1)
∫
ε−1u1
BD(t1, t2, u2)x
0(t1 + u1)x
0(t2 + u1 − εu2) du2du1 +
+
t1
∫
0
t2
∫
0
0
∫
−h
ε−1(h+u1)
∫
ε−1u1
BL(z1, z2, u2)x
0(z1 + u1)x
0(z2 + u1 − εu2) du2du1dz1dz2.
З умови 3 теореми та обмеженостi розв’язку x0(t), t ∈ [0, T ] випливає, що ∃B(t1, t2):
B(t1, t2) : = lim
ε→0
Bε(t1, t2) = E(z0(t1)z
0(t2)),
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
де z0 — гауссовий процес з параметрами, визначеними в (10). Тодi, згiдно з теоремою 2.1 [4],
lim
ε→0
zε ⇉ z0, (12)
де через ⇉ позначимо слабку збiжнiсть у просторi неперервних функцiй C([0, T ]) (див.
[2, 4]).
У лiтературi, наприклад [10], випадковi процеси ζε(t), ε > 0, iнодi називають частково
усередненими процесами. З урахуванням умов 2, 4 теореми 1 та умови (3) для рiзницi
|ξε(t) − ζε(t)|, t ∈ [0, T ] вiрна нерiвнiсть
|ξε(t)− ζε(t)| 6 K sup
s∈[0,T ]
|ξε(s)− ζε(s)|+Ψε(t, ω),
де K = K(l, T ) < ∞,
Ψε(t, ω) :=
∣
∣
∣
∣
∣
0
∫
−h
(D(t, ε−1s, ω)−D(t))ζε(t+ s) ds +
+
t
∫
0
0
∫
−h
(L(s, ε−1s1, ω)− L(s))ζε(s+ s1) ds1ds
∣
∣
∣
∣
∣
.
Для доведення того, що
sup
t∈[0,T ]
|ξε(t)− ζε(t)| → 0 (13)
за ймовiрнiстю при ε → 0, достатньо показати, що
lim
ε→0
Ψε(T, ω) = 0.
Доведення аналогiчного факту можна знайти в [11], де розглянуто збiжнiсть за ймовiр-
нiстю розв’язкiв задач (1), (2) у схемi усереднення при ε → 0.
Згiдно з (13), випадковi процеси ζε та ξε є асимптотично близькi за ймовiрнiстю на [0, T ]
при ε → 0, тобто для ∀ δ > 0
lim
ε→0
P
{
sup
s∈[0,T ]
|ζε(s)− ξε(s)| > δ
}
= 0
та має мiсце слабка збiжнiсть (12) в C([0, T ]).
Тодi, за теоремою 4.1 [4], отримуємо твердження теореми 1, тобто ξε ⇉ ξ0 при ε → 0
в C([0, T ]), де граничний процес ξ0(t), t > 0, задовольняє граничне ДФР (9).
Теорема 1 доведена.
Автор висловлює щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради акад. НАН України
В.С. Королюку.
1. Kolmanovskia V., Koroleva N., Maizenberg T. et al. Neutral stochastic differential delay equations with
Markovian switching // Stochastic Analysis and Applications. – 2003. – 21, Iss. 4. – P. 819–847.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 45
2. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Singapore: World Scientific, 2005. –
331 p.
3. Pinsky M.A. Lectures on random evolutions. – Singapore: World Scientific, 1991. – 135 p.
4. Биллинсгли П. Сходимость вероятностных мер. – Москва: Наука, 1977. – 352 с.
5. Мiшура Ю.С., Шевченко Г.М. Математика фiнансiв. – Київ: Вид.-полiграф. центр “Київський унi-
верситет”, 2009. – 352 с.
6. Петунин Ю.И. Приложение теории случайных процессов в биологии и медицине. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 320 с.
7. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2-х т. – Москва: Физ-
матлит, 1994. – Т. 2. – 368 с.
8. Королюк В.С., Царков Є.Ф., Ясинський В.К. Ймовiрнiсть, статистика та випадковi процеси. Теорiя
та комп’ютерна практика. В 3-х т. – Чернiвцi: Золотi литаври, 2009. – T. 3. – 798 с.
9. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 421 с.
10. Mao X.-R., Shaikhet L. Delay-dependent stability criteria for stochastic differential delay equations with
Markovian switching // Stability and Control. Theory and Application. – 2000. – 3, No 2. – P. 88–102.
11. Малик I.B. Збiжнiсть у схемi усереднення диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального
типу // Доп. НАН України. – 2013. – № 9. – С. 51–56.
Надiйшло до редакцiї 09.01.2013Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
И.В. Малык
Сходимость в схеме диффузионной аппроксимации решений
дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа
Рассмотрены достаточные условия слабой сходимости в C([0, T ]) для случайных процес-
сов, описываемых дифференциально-функциональными уравнениями со случайными опера-
торами. Получены достаточные условия слабой сходимости для решений данных уравнений
в условиях, наложенных на коэффициенты исходного уравнения.
I. V. Malyk
Convergence in the diffusion approximation scheme for solutions of
differential-functional equations of the neutral type
We consider sufficient conditions for the weak convergence in C([0, T ]) for random processes descri-
bed by functional differential equations with random operators. Sufficient conditions for the weak
convergence of solutions of the equations under conditions imposed on the coefficients of the ori-
ginal equation are obtained.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86184 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:18:33Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малик, І.В. 2015-09-09T16:58:56Z 2015-09-09T16:58:56Z 2013 Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / І.В. Малик // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 41–46. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86184 519.214,519.65 Розглянуто достатнi умови слабкої збiжностi у C([0, T]) для випадкових процесiв, що
 описуються диференцiально-функцiональними рiвняннями з випадковими операторами.
 Одержано достатнi умови слабкої збiжностi для розв’язкiв даних рiвнянь за умов, накладених на коефiцiєнти вихiдного рiвняння. Рассмотрены достаточные условия слабой сходимости в C([0, T]) для случайных процессов, описываемых дифференциально-функциональными уравнениями со случайными операторами. Получены достаточные условия слабой сходимости для решений данных уравнений в условиях, наложенных на коэффициенты исходного уравнения. We consider sufficient conditions for the weak convergence in C([0, T]) for random processes described by functional differential equations with random operators. Sufficient conditions for the weak
 convergence of solutions of the equations under conditions imposed on the coefficients of the original equation are obtained. Автор висловлює щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради акад. НАН України В.С. Королюку. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Сходимость в схеме диффузионной аппроксимации решений дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Convergence in the diffusion approximation scheme for solutions of differential-functional equations of the neutral type Article published earlier |
| spellingShingle | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Малик, І.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_alt | Сходимость в схеме диффузионной аппроксимации решений дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Convergence in the diffusion approximation scheme for solutions of differential-functional equations of the neutral type |
| title_full | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_short | Збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_sort | збіжність у схемі дифузійної апроксимації розв'язків диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86184 |
| work_keys_str_mv | AT malikív zbížnístʹushemídifuzíinoíaproksimacíírozvâzkívdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipu AT malikív shodimostʹvshemediffuzionnoiapproksimaciirešeniidifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniineitralʹnogotipa AT malikív convergenceinthediffusionapproximationschemeforsolutionsofdifferentialfunctionalequationsoftheneutraltype |