Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною
З використанням концепцiї межових шарiв розв’язана некоректна задача визначення параметрiв внутрiшнього межового шару у площинi трiщини, який при довiльно заданих нормальних напруженнях на її поверхнях забезпечує їх повний контакт без додаткового тиску. С применением концепции граничных слоев решен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86187 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною / В.А. Галазюк, Г.Т. Сулим // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 65–69. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859886532889935872 |
|---|---|
| author | Галазюк, В.А. Сулим, Г.Т. |
| author_facet | Галазюк, В.А. Сулим, Г.Т. |
| citation_txt | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною / В.А. Галазюк, Г.Т. Сулим // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 65–69. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | З використанням концепцiї межових шарiв розв’язана некоректна задача визначення
параметрiв внутрiшнього межового шару у площинi трiщини, який при довiльно заданих нормальних напруженнях на її поверхнях забезпечує їх повний контакт без додаткового тиску.
С применением концепции граничных слоев решена некорректная задача определения параметров внутреннего граничного слоя в плоскости трещины, который при произвольно заданных нормальных напряжениях на его поверхностях обеспечивает их полный контакт
без дополнительного давления.
Using the conception of internal boundary layers, the ill-posed problem of determining the parameters of an internal boundary layer in the crack plane is solved. The boundary layer provides the full
contact without additional pressure by arbitrarily specified normal stresses on the crack surface.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:53:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3.
В.А. Галазюк, Г. Т. Сулим
Напружено-деформований стан необмеженого
середовища iз “залiкованою” дисковою трiщиною
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Г.С. Кiтом)
З використанням концепцiї межових шарiв розв’язана некоректна задача визначення
параметрiв внутрiшнього межового шару у площинi трiщини, який при довiльно зада-
них нормальних напруженнях на її поверхнях забезпечує їх повний контакт без додат-
кового тиску.
У роботi [1] запропоновано математичну iнтерпретацiю явища деформування тiла з дис-
ковою трiщиною, в якiй вона вважається частиною площини розриву параметрiв напру-
жено-деформованого стану нульового порядку [2] — внутрiшнiм межовим шаром (рос. —
погранслоем). Використання концепцiї внутрiшнього межового шару дає можливiсть за
допомогою межового шару з тими або iншими параметрами формулювати i розв’язува-
ти оберненi задачi теорiї трiщин, задачi управлiння напруженнями i перемiщеннями на
берегах трiщини, а разом з тим виконанувати, крiм класичних коректних i некоректних
крайових умов на поверхнях трiщини, також i фiзично обгрунтовану вимогу неперервностi
змiни пружних кутiв повороту лiнiйних елементiв на її фронтi, забезпечуючи там плавне
змикання її поверхонь.
1. Однорiдний iзотропний пружний простiр вiднесемо до цилiндричної системи коор-
динат (Rα,R,Rγ) i вважатимемо, що пiд дiєю навантаження у просторi реалiзується осе-
симетричний вiдносно осi γ напружено-деформований стан. Вiдповiдно до результатiв [1]
у площинi майбутньої трiщини γ = 0 (разом iз її серединною поверхнею) розподiлимо пе-
лену об’ємних сил
Xα(α) = 4k2
∞
∫
0
ξA(ξ, q)J1(ξα) dξ (1)
з довiльною твiрною функцiєю A(ξ, q), якi заникають на нескiнченностi. У цьому випадку
компоненти uα(α, γ) i uγ(α, γ) вектора пружного перемiщення ~u у напрямку осей α i γ
вiдповiдно визначаються розв’язками рiвнянь рiвноваги
k2∂αθ + 2∂γωβ = δ(γ)Xα(α), k2∂γθ − 2α−1∂α(αωβ) = 0 (2)
стосовно першого iнварiанта тензора деформацiї i компоненти вектора локального жорст-
кого повороту ~Ω = 0,5 rot ~u
θ = div ~u = α−1∂α(αuα) + ∂γuγ , 2ωβ = (rot ~u)β = ∂γuα − ∂αuγ (3)
© В. А. Галазюк, Г.Т. Сулим, 2013
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 65
i подаються iнтегралами Ганкеля
uα(α, γ) = −(k2 + 1)
∞
∫
0
A(ξ, q) exp−ξ|γ|J1(ξα) dξ + (k2 − 1)|γ|
∞
∫
0
ξA(ξ, q)×
× exp−ξ|γ|J1(ξα) dξ,
uγ(α, γ) = (k2 − 1)|γ|
∞
∫
0
ξA(ξ, q) exp−ξ|γ|J0(ξα) dξ.
(4)
За вiдомими компонентами (4) вектора пружного перемiщення, спiввiдношеннями (3) та
законом Гука обчислимо характеристики напружено-деформованого стану:
θ(α, γ) = −2
∞
∫
0
ξA(ξ, q) exp−ξ|γ|J0(ξα) dξ,
ωβ(α, γ) = k2 sgn γ
∞
∫
0
ξA(ξ, q) exp−ξ|γ|J1(ξα) dξ,
(5)
σγγ(α, γ) = 2µ×
×
{ ∞
∫
0
ξA(ξ, q) exp−ξ|γ|J0(ξα) dξ − (k2 − 1)
∞
∫
0
ξ2A(ξ, q) exp−ξ|γ|J0(ξα) dξ
}
,
σαγ(α, γ) = 2µ×
×
{
sgnγ
∞
∫
0
k2A(ξ, q) exp−ξ|γ|J1(ξα) dξ−(k2−1)γ
∞
∫
0
ξ2A(ξ, q) exp−ξ|γ|J1(ξα) dξ
}
.
(6)
У рiвняннях (2) i поданнях (4)–(6) k2 = 2(l − ν)/(l − 2ν), ν — коефiцiєнт Пуассона.
Отже, вiдповiдно до подань (5) та (6) компонента ωβ(α, γ) вектора локального жорсткого
повороту ~Ω i дотичне напруження σαγ(α, γ) мають стрибки пiд час переходу через площину
γ = 0, що є механiчним проявом внутрiшнього межового шару, а розподiлена пелена об’єм-
них сил Xα(α)(1) є механiзмом його реалiзацiї, його механiчною, а вiдтак, i математичною
моделлю.
2. Нехай пiд дiєю зовнiшнього нормального навантаження береги дискової трiщини роз-
ходяться i перестають контактувати. Задача полягає в знаходженнi такої об’ємної сили
Xα(α)(1), яка забезпечує вiдсутнiсть розкриття трiщини, її механiчне “залiковування” при
довiльно заданому, симетричному вiдносно осi α розподiлi нормальних напружень на її
поверхнях. Отже, маємо крайовi умови:
σγγ(α,±0) = −σ0
γγf(α
2) (0 6 α 6 1),
uγ(α,±0) = 0 (0 6 α < ∞),
(7)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
якi, з погляду класичної теорiї пружностi, є некоректними, оскiльки стосуються одночас-
ного задання однойменних складових векторiв напруження i перемiщення. Оскiльки по-
дання (4) автоматично забезпечує виконання другої умови (7), то вiдповiдно до виразу (6)
i першої умови (7) для визначення функцiї A(ξ, q) одержимо iнтегральне рiвняння першого
роду
∞
∫
0
ξA(ξ, q)J0(ξα) dξ = −
σ0
γγ
2µ
f(α2) (0 6 α 6 1), (8)
розв’язок якого подамо узагальненим рядом Неймана [3]
ξA(ξ, q) =
∞
∑
n=0
an
J2n−q+1(ξ)
ξq
. (9)
Ряд (9) пiдставимо в iнтегральне рiвняння (8) та обчислимо розривний iнтеграл Вебера–
Шафхейтлiна [4] i в результатi одержимо рiвняння для визначення коефiцiєнтiв an:
∞
∑
n=0
an
Γ(n− q + 1)F (n − q + 1;−n; 1;α2)
2qΓ(n+ 1)
= −
σ0
γγ
2µ
f(α2) (0 6 α 6 1). (10)
Оскiльки F (n − q + 1;−n; 1;α2) i є полiномами Якобi, то ряд у лiвiй частинi (10) стосовно
коефiцiєнтiв an є рядом за полiномами Якобi [4] з аргументом (1 − 2α2), якi утворюють
повну i ортогональну систему функцiй на промiжку [0, 1], то коефiцiєнти an iснують при
довiльнiй неперервнiй функцiї f(α2) та обчислюються за формулою ортогональностi.
За вiдомими коефiцiєнтами an i поданням (1) знайдемо розподiл об’ємної сили Xα(α),
яка забезпечує нерозкриття трiщини при заданих на її берегах нормальних напруженнях:
Xα(α) = 4k2
∞
∑
n=0
an
∞
∫
0
J2n−q+1(ξ)
ξq
J1(ξα) dξ.
Обчислення розривного iнтеграла Вебера–Шафхейтлiна дає в областi 0 6 α 6 1
Xα(α) = 4k2
∞
∑
n=0
an
Γ(n− q + 1,5)α
2qΓ(n+ 0,5)
F (n− q + 1,5;−n+ 0,5; 2;α2) (11)
i в областi 0 6 α 6 ∞ —
Xα(α) = 4k2
∞
∑
n=0
an
Γ(n− q + 1,5)F (n − q + 1,5;−n + 0,5; 2n − q + 2;α−2)
2qΓ(2n − q + 2)Γ(−n + q + 0,5)α2n−2q+2
. (12)
Отже, вiдповiдно до подань (11) i (12), об’ємна сила Xα(α) має рiзнi, залежнi вiд параметра q
аналiтичнi вирази в областях 0 6 α < 1 i 1 6 α < ∞. Оскiльки цi вирази у точцi α = 1
можуть давати рiзнi значення, то будемо вимагати, щоб
lim
α→1−0
Xα(α) = lim
α→1+0
Xα(α), lim
α→∞
Xα(α) = 0. (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 67
Вiдзначимо, що при виконаннi умов (13) усi характеристики напружено-деформованого
стану також будуть неперервними на фронтi трiщини i заникатимуть на нескiнченностi.
Оскiльки гiпергеометрична функцiя Гаусса F (a, b, c;x2), яка входить у вирази (11) i (12),
є неперервною в точцi x = 1 при умовi c − a − b > 0, то умови (13) будуть виконуватися,
якщо параметр q обмежений нерiвнiстю
0 < q < 0,5. (14)
Тепер за поданнями (4)–(6) i вiдомою твiрною функцiєю A(ξ, q) можна обчислити усi
характеристики напружено-деформованого стану у середовищi iз “залiкованою” дисковою
щiлиною, який зумовлений пеленою об’ємних сил (11) i (12). При цьому при виконаннi
нерiвностi (14) усi характеристики будуть неперервними на фронтi трiщини i заникатимуть
на нескiнченностi. Зазначимо, що є справедливою рiвнiсть:
Xα(α) = 4|ωβ(α,±0)| = 2µ−1|σαγ(α,±0)|, (15)
яка є наслiдком спiввiдношень (1), (5), (6) i простими залежностями пов’язує об’ємну силу
Xα(α), компоненту ωβ(α,±0) вектора ~Ω i дотичне напруження σαγ(α,±0).
4. Якщо припустити, що поза межами щiлини межовий шар вiдсутнiй (дотичнi напру-
ження нульовi), то умова Xα(α) = 0 в областi 1 6 α < ∞ буде виконуватися, якщо параметр
q = −0,5. Тодi на промiжку 0 6 α 6 1 за поданням (11) виявимо для розподiленої тут
масової сили
Xα(α) = 4k
√
2k2
∞
∑
n=0
an
Γ(n+ 1)α
Γ(n+ 0,5)
F (n+ 2;−n + 0,5; 2;α2) =
=
4k
√
2k2α
√
(1− α2)
∞
∑
n=0
an
Γ(n+ 1)α
Γ(n+ 0,5)
F (−n;n+ 1,5; 2;α2)
класичну кореневу особливiсть. У вiповiдностi з рiвнiстю (15) компонента ωβ(α,±0) вектора
також необмежено ~Ω зростає, що суперечить гiпотезi суцiльностi.
1. Галазюк В.А., Сулим Г.Т. Рiвновага дискової щiлини з поверхневим шаром з реологiчними власти-
востями // Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. – 2004. – № 4. – С. 17–33.
2. Трусделл К. Первоначальний курс механики сплошных сред. – Москва: Мир, 1975. – 592 с.
3. Галазюк В.А. Обмежений розв’язок крайової задачi про напружено-деформований стан пружного
тiла з абсолютно жорстким дископодiбним включенням нульової товщини // Доп. АН УРСР. Сер. А. –
1987. – № 12. – С. 23–27.
4. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. – Москва: Наука, 1979. – 832 с.
Надiйшло до редакцiї 19.03.2013Львiвський нацiональний унiверситет
iм. Iвана Франка
В.А. Галазюк, Г. Т. Сулим
Напряженно-деформированное состояние неограниченной среды
с “залеченной” дисковой трещиной
С применением концепции граничных слоев решена некорректная задача определения па-
раметров внутреннего граничного слоя в плоскости трещины, который при произвольно
заданных нормальных напряжениях на его поверхностях обеспечивает их полный контакт
без дополнительного давления.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №10
V.A. Halazyuk, G.T. Sulym
Stress-strain state of the unlimited medium with a “healed” disc crack
Using the conception of internal boundary layers, the ill-posed problem of determining the parame-
ters of an internal boundary layer in the crack plane is solved. The boundary layer provides the full
contact without additional pressure by arbitrarily specified normal stresses on the crack surface.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №10 69
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86187 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:53:23Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Галазюк, В.А. Сулим, Г.Т. 2015-09-09T16:59:42Z 2015-09-09T16:59:42Z 2013 Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною / В.А. Галазюк, Г.Т. Сулим // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 10. — С. 65–69. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86187 539.3. З використанням концепцiї межових шарiв розв’язана некоректна задача визначення параметрiв внутрiшнього межового шару у площинi трiщини, який при довiльно заданих нормальних напруженнях на її поверхнях забезпечує їх повний контакт без додаткового тиску. С применением концепции граничных слоев решена некорректная задача определения параметров внутреннего граничного слоя в плоскости трещины, который при произвольно заданных нормальных напряжениях на его поверхностях обеспечивает их полный контакт без дополнительного давления. Using the conception of internal boundary layers, the ill-posed problem of determining the parameters of an internal boundary layer in the crack plane is solved. The boundary layer provides the full contact without additional pressure by arbitrarily specified normal stresses on the crack surface. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною Напряженно-деформированное состояние неограниченной среды с “залеченной” дисковой трещиной Stress-strain state of the unlimited medium with a “healed” disc crack Article published earlier |
| spellingShingle | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною Галазюк, В.А. Сулим, Г.Т. Механіка |
| title | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною |
| title_alt | Напряженно-деформированное состояние неограниченной среды с “залеченной” дисковой трещиной Stress-strain state of the unlimited medium with a “healed” disc crack |
| title_full | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною |
| title_fullStr | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною |
| title_full_unstemmed | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною |
| title_short | Напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною |
| title_sort | напружено-деформований стан необмеженого середовища із ''залікованою'' дисковою тріщиною |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86187 |
| work_keys_str_mv | AT galazûkva napruženodeformovaniistanneobmeženogoseredoviŝaízzalíkovanoûdiskovoûtríŝinoû AT sulimgt napruženodeformovaniistanneobmeženogoseredoviŝaízzalíkovanoûdiskovoûtríŝinoû AT galazûkva naprâžennodeformirovannoesostoânieneograničennoisredyszalečennoidiskovoitreŝinoi AT sulimgt naprâžennodeformirovannoesostoânieneograničennoisredyszalečennoidiskovoitreŝinoi AT galazûkva stressstrainstateoftheunlimitedmediumwithahealeddisccrack AT sulimgt stressstrainstateoftheunlimitedmediumwithahealeddisccrack |