Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов
Розглянуто задачу обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з класу диференційовних функцій у випадку, коли інформаційний оператор заданий фіксованою таблицею своїх значень двома способами. Побудовано оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функ...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86217 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов / В.К. Задирака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 83-93. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860025478836912128 |
|---|---|
| author | Задирака, В.К. Мельникова, С.С. Луц, Л.В. |
| author_facet | Задирака, В.К. Мельникова, С.С. Луц, Л.В. |
| citation_txt | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов / В.К. Задирака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 83-93. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з класу диференційовних функцій у випадку, коли інформаційний оператор заданий фіксованою таблицею своїх значень двома способами. Побудовано оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій. Отримано оптимальні оцінки похибки методу.
The problem of computing integrals of rapidly oscillating differentiable functions using various information operators is considered. Quadrature formulas of optimal accuracy are derived and lower-bound estimates are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:49:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.64:517.443:519.254-37
Â.Ê. ÇÀÄÈÐÀÊÀ, Ñ.Ñ. ÌÅËÜÍÈÊÎÂÀ, Ë.Â. ËÓÖ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÁÛÑÒÐÎÎÑÖÈËËÈÐÓÞÙÈÕ
ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÊËÀÑÑÅ W L N2, , Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÐÀÇÍÛÕ
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÎÍÍÛÕ ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÂ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíòåãðàëû îò áûñòðîîñöèëëèðóþùèõ ôóíêöèé, èíòåðïîëÿ-
öèîííûå êëàññû ôóíêöèé, îïòèìàëüíûå ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà îò áûñòðîîñöèëëèðóþùåé ôóíêöèè
âèäà
I f x xdx
a
b
( ) ( )sin� �� � (1)
â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî f x F( ) � (F — íåêîòîðûé êëàññ ôóíêöèé), � — ïðîèç-
âîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî (| | ( )� �� �2 b a ), èíôîðìàöèÿ î ôóíêöèè f x( )
çàäàíà íåêîòîðûì èíôîðìàöèîííûì îïåðàòîðîì �( , )f x , a , b — çàäàííûå äåé-
ñòâèòåëüíûå ÷èñëà.  êà÷åñòâå F ðàññìîòðèì èíòåðïîëÿöèîííûé êëàññ ôóíê-
öèé W L N2, , [1]. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f x W L N( ) , ,� 2 íà èíòåðâàëå
[ , ]a b , åñëè: 1) åå ïðîèçâîäíàÿ �f x( ) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
Ëèïøèöà ñ êîíñòàíòîé L , ò.å. �x x a b1 2, [ , ]
| ( ) ( ) | | |� � �
�f x f x L x x1 2 1 2 , (2)
L, a, b — çàäàííûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; 2) èíôîðìàöèîííûé îïåðàòîð (è. î.)
�( , )f x çàäàí ôèêñèðîâàííîé òàáëèöåé ñâîèõ çíà÷åíèé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþ-
ùèå è. î., êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ìíîæåñòâî çàäàííûõ ôèêñèðîâàííûõ âåêòî-
ðîâ äëèíû N : �1 0
1
0
1
0
1� �� � �{{ } { } { } }f f xi
N
i
N
i
N, , è �2 0
1
0
1� � �{{ } { } }f xi
N
i
N, ,
i N� �0 1, , x a0 � , x bN � �1 , çíà÷åíèÿ L, N , a, b çàäàíû.
Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ, òàêèõ êàê ñòàòèñòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà äàí-
íûõ, öèôðîâàÿ ôèëüòðàöèÿ, êîìïüþòåðíàÿ òîìîãðàôèÿ, ðàñïîçíàâàíèå îáðàçîâ
è ìíîãèõ äðóãèõ, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ âèäà (1),
ïðè÷åì ñ çàäàííîé (÷àñòî äîâîëüíî âûñîêîé) òî÷íîñòüþ. Êëàññè÷åñêèå êâàäðà-
òóðíûå ôîðìóëû íå âñåãäà ìîãóò îáåñïå÷èòü òðåáóåìóþ òî÷íîñòü, ïîñêîëüêó,
êàê ïðàâèëî, íå ó÷èòûâàþò îñöèëëÿöèþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè.  ñâÿçè
ñ ýòèì çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè (è áëèçêèõ ê íèì) êâàäðà-
òóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ (1) â óñëîâèÿõ íàèáîëåå ïîëíîãî èñïîëü-
çîâàíèÿ àïðèîðíîé èíôîðìàöèè ÿâëÿåòñÿ âàæíîé è àêòóàëüíîé. Îäèí èç ïîäõî-
äîâ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâ (1) ðàññìîòðåí â ðàáîòàõ [1–3].  íèõ ïîñòðîåíà
îïòèìàëüíàÿ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà è íàéäåíà îïòèìàëüíàÿ îöåíêà
ïîãðåøíîñòè ìåòîäà íà êëàññå W L N2, , ñ èñïîëüçîâàíèåì è. î. �1 ( , )f x ïðè âû-
ïîëíåíèè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé, êîòîðûå íàêëàäûâàþòñÿ íà ôóíêöèþ è åå
ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ. Ýòè óñëîâèÿ ñóùåñòâåííûì îáðàçîì ñóæèâàþò êëàññ çà-
äà÷, ê êîòîðûì ìîæíî ïðèìåíèòü ïðåäëîæåííûå àëãîðèòìû.
Äàííàÿ ðàáîòà ðàçâèâàåò è óãëóáëÿåò ðåçóëüòàòû èç [1–3]. Ïðèìåíèâ ìåòîä
ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé [1–4], ïîñòðîèì îïòèìàëüíóþ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíóþ
ôîðìóëó áåç íàëîæåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé íà ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 83
© Â.Ê. Çàäèðàêà, Ñ.Ñ. Ìåëüíèêîâà, Ë.Â. Ëóö, 2013
è åå ïðîèçâîäíóþ. Êðîìå òîãî, ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé äëÿ èññëåäîâàíèÿ
ñëó÷àé èñïîëüçîâàíèÿ è. î. �2 ( , )f x , êîãäà çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé { }� �f i
N
0
1 íå çà-
äàíû.  ýòîì ñëó÷àå ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì { }f i
N
0
1� â óçëàõ { }xi
N
0
1� è êîíñ-
òàíòå L íóæíî ïîñòðîèòü îöåíêó ïðîèçâîäíîé [5–7], à çàòåì èñïîëüçîâàòü ýòè
çíà÷åíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ
èíòåãðàëà (1).
Ââåäåì õàðàêòåðèñòèêè:
� � � �( , , , ) sup ( ( ), ), , ,
, ,
W R I RL N k i
N
f W L N
2 0
1
2
{ }� �
�
� ,
(3)
� � � �� �� �( , , ) inf ( , ,, , , , , ,W W RL N k i
N
R
L N k i
N
2 0
1
2 0
1{ } { }� � , )� , (4)
ãäå � �( ( ), )I R — ïîãðåøíîñòü ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, R R f R� ( , ,
{ }�k i
N
, , )0
1� � — ðåçóëüòàò ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ I ( )� ñ ïîìîùüþ êâàä-
ðàòóðíîé ôîðìóëû R, k �1 2, .
Êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó R * , íà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ �, íàçîâåì îïòèìàëüíîé
ïî òî÷íîñòè â êëàññå W L N2, , .
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëå-
íèÿ (1) ïðèìåíèì ìåòîä ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé, êîòîðûé îñíîâàí íà ïîñòðîåíèè
âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèé èíòåãðàëà (1)
I � ( )� è I � ( )� , ÷åáèøåâñêèé öåíòð êîòîðîé I * ( )� äàåò îïòèìàëüíóþ êâàäðàòóð-
íóþ ôîðìóëó, à ÷åáèøåâñêèé ðàäèóñ — îïòèìàëüíóþ îöåíêó (4). Ñîãëàñíî
ýòîìó ìåòîäó
I f x x dx
a
b
� �� �( ) ( )sin� � , I f x x dx
a
b
� �� �( ) ( )sin� � , (5)
ãäå f x f x
f W L N
�
�
�( ) sup ( )
, ,2
, f x f x
f W L N
�
�
�( ) inf ( )
, ,2
— âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû
îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè êëàññà W N L2, , . Èçâåñòíî, ÷òî îïòèìàëüíàÿ êâàäðà-
òóðíàÿ ôîðìóëà èìååò âèä
I
I I
f x f x x dx
a
b
* ( )
( ) ( )
( ( ) ( ))sin�
� �
��
�
� �
� �
� ��2
1
2
, (6)
à ÷åáèøåâñêèé ðàäèóñ
� �
� �
�* ( )
( ) ( )
( ( ) ( ))sin�
�
� �
� �
� ��
I I
f x f x x dx
a
b
2
1
2
(7)
ñîâïàäàåò ñ îïòèìàëüíîé îöåíêîé (4) [1].
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ I * ( )� è � �* ( ) ñîîòâåòñòâåííî âèäà (6) è (7) íå-
îáõîäèìî îïðåäåëèòü ôóíêöèè f x� ( ) è f x� ( ) , à òàêæå ôóíêöèè
f x f x f x* ( ) ( ( ) ( ))� �� �1
2
, (8)
� * ( ) ( ( ) ( ))x f x f x� �� �1
2
. (9)
1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé çàäàíèÿ àïðèîðíîé èíôîðìàöèè è. î. � �1 1 0
1� �{ }, i
N .
Îïðåäåëèì àíàëèòè÷åñêèé âèä ôóíêöèé f x� ( ) è f x� ( ) . Ââåäåì óñëîâèå, êîòî-
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
ðîå ïî àíàëîãèè ñ [1–3] îáîçíà÷èì óñëîâèå A: [| | ( ) / ]� �b a� �1 íóëü ôóíêöèè
sin �x ñîâïàäàåò ñ óçëàìè ñåòêè { }xi
N
0
1� . Ìàæîðàíòó è ìèíîðàíòó êëàññà W L N2, ,
íà [ , ]x xi i�1 íåîáõîäèìî ñòðîèòü ñ ó÷åòîì çíàêà ôóíêöèè sin �x . Ýòî ïîçâîëèò
ïîëó÷èòü áîëåå òî÷íûå îöåíêè ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ è óëó÷-
øèòü êà÷åñòâî ïðåäëîæåííûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ (1).
Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî W L N2, , íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì îòðåçêå [ , ]x xi i�1
îãðàíè÷åíî ÷åòûðüìÿ êðèâûìè:
f f x x
L
x x x
f f x x
i i i i i
i i i
� � � � �
� � �� �
( ) ( ) ( ),
(
2
2
1 1
sign sin �
� �� �1 1
2
2
) ( ) ( ),
L
x x xi isign sin �
(10)
êîòîðûå ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ x x x xi i i i
�1, ãäå x x xi � min ( , )1 2 ,
x x xi � max ( , )1 2 ,
x
x x h f f f
f Lh
x
x x
i i i i i i
i i
i i
1
1 1
2
2
2
2
�
�
�
� � � �
� �
�
�
� �( )
( )
,
� ��
� � � �
� �
1 1
2
2
2
h f f f
f Lh
i i i i
i i
( )
( )
,
(11)
h x xi i i� ��1 ,
f f fi i i� ��1 ,
� � � � ��f f fi i i1 , L — êîíñòàíòà Ëèïøèöà.
Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå îòðåçêè.
� x x xi i�[ , ].  ýòîì ñëó÷àå âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöà îáëàñòè íåîïðåäåëåí-
íîñòè çíà÷åíèé f x W L N( ) , ,� 2 èìååò âèä
f x f f x x
L
x x x
f x f
i i i i i i
i
�
�
� � � � � �
�
( ) ( ) ( ) ( ),
( )
2
2 sign sin �
i i i i if x x
L
x x x� � � � �( ) ( ) ( ).
2
2 sign sin �
(12)
� x x xi i�[ , ]. Ïîñòðîåíèå ãðàíè÷íûõ ôóíêöèé â ýòîì ñëó÷àå áîëåå ñëîæíîå,
ïîñêîëüêó f x� ( ) è f x� ( ) çàâèñÿò îò çíàêà
f i . Îïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
f x f f x x
L
x xi
x x x
i i i i
i i
�
�
� � � � � �( ) max ( ) ( ) (
[ , ] 2
2 sign sin �x
f f x x
L
x x x
i
i i i i i
);
( ) ( ) ( )
�
�
�
� � � � � �
� � � �1 1 1 1
2
2
sign sin � �
�
,
f x f f x x
L
x xi
x x x
i i i i
i i
�
�
� � � � � �( ) min ( ) ( ) (sin
[ , ] 2
2 sign �x
f f x x
L
x x x
i
i i i i i
),
( ) ( ) (sin )
�
�
�
� � � � � �
� � � �1 1 1 1
2
2
sign � �
�
.
Ïðèìåíÿÿ ôóíêöèþ sign ( )x , ïåðåïèøåì ýòè ñîîòíîøåíèÿ â âèäå
f x
f
f f x x
L
x xi
i
i i i i
� �
�
� � � � �( )
( )
( ) ( ) (sin
1
2 2
2sign
sign
�xi )
�
�
�
�
�
��
�
�
� � � � �� � � �
1
2 2
1 1 1 1
2sign
sign
( )
( ) ( ) (si
f
f f x x
L
x xi
i i i i n ) ,
( )
( )
( ) (
�x
f x
f
f f x x
L
x x
i
i
i
i i i
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �� 1
2 2
sign
i ix) (sin )2 sign �
�
�
�
�
�
��
(13)
�
�
� � � � �� � � �
1
2 2
1 1 1 1
2sign
sign
( )
( ) ( ) (si
f
f f x x
L
x xi
i i i i n )�xi
�
�
�
�
�
� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 85
� x x xi i� �[ , ]1 .  ýòîì ñëó÷àå
f x f f x x
L
x x xi i i i i i
�
� � � �� � � � � �( ) ( ) ( ) (sin ),1 1 1 1
2
2
sign �
f x f f x x
L
x x xi i i i i i
�
� � � �� � � � � �( ) ( ) ( ) (sin ).1 1 1 1
2
2
sign �
(14)
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (12)–(14), à òàêæå (8), (9), ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ
âû÷èñëåíèÿ f xi
* ( ) è � i x* ( ) íà [ , ]x xi i�1 :
f x
f f x x x x x
f f x x f
i
i i i i i
i i i i
* ( )
( ), [ , ],
[ ( )
�
� � � �
� � � � �
1
2
1 � � � �
� � � �
� �
�
f x x
Lh
f x x x x x x
i i
i
i i i i
1 1
1
4
2
( )]
( )( ), [ ,sign
i
i i i i i
N N
N
f f x x x x x
x x x
f
],
( ), [ , ],
[ , ],
� � � �
�
�
� � � �
�
1 1 1 1
1
1 � � � �
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
� � � �f x x x x xN N N N1 1 1( ), [ , ];
(15)
�
�
i
i i i i
i
x
L
x x x x x x
L
x x
* ( )
( ) (sin ), [ , ],
[( )
�
� �
� �
2
4
2
2
sign
( ) ] (sin ) ( )
(
x x x f
f f x f
i i i
i i i
� � �
� � � � �
�1
2 1
2
sign sign�
� �
�
� � �
� �
1 1
1
2
2
x f x x x x
L
x x x x
i i i i i
i i
), [ , ],
( ) (sin ),sign � [ , ],
[ , ],
( ) (sin ),
x x
x x x
L
x x x x
i i
N N
N N
�
�
� �
�
� �
1
1
1
2
1
2
sign � [ , ].x xN N�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 1
(16)
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà [ , ]x xi i�1 è f x Wi L N
*
, ,( ) � 2 .
Î÷åâèäíî, ÷òî ÷åáûøåâñêèé öåíòð è ÷åáûøåâñêèé ðàäèóñ îáëàñòè íåîïðå-
äåëåííîñòè êëàññà W L N2, , îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
f x f x
i
N
i
* *( ) ( )�
�
�
0
1
� , � �* *( ) ( )x x
i
N
i�
�
�
0
1
� .
(17)
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå À, f x W L N( ) , ,� 2 , è èñïîëüçóåòñÿ
è. î. �1 ( , )f x . Êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1)
R f x x dx f x x dx
a
b
i
x
x
i
N
i
i
( ) ( )sin ( )sin* *� � �� �� ��
�
�
� 1
0
1
, (18)
ãäå f x* ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (15), (17), ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé ïî
òî÷íîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé íà êëàññå W L N2, , â ñìûñëå õàðàêòåðèñòèê (4),
ïðè÷åì
� �
�
� �( , , ) cos (sin ), , ,W x x
L
L N i
N
i2 1 0
1
1
1
{ } sign� � �
�
�
�
�
!
h x x xi i i
i
N ( )�
�
� � �
�
�
�
��� 1 1
0
2 2
4
�
� � � � � � �
�
���
� �
f f x f x f x
x xi i i i i i
i
1 1 1
2
2
cos (sin� �sign )
( )Lh x x xi i i� � �
�
�
�
��
1 22
4
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
�
� � � � � � �
�
��
"
#
$ �� �
f f x f x f x
xi i i i i i2 1 1
2 1
2
1
2�
�[sin (sign(sin ) )�x Lh fi i i� � �
� � � �sin ( (sin ) )] (sin ) (cos� � �
�
x x Lh f x
L
i i i i2 3
sign sign
� �x xi i� �
�
�
�
�1 cos )
� � �
�
�
�
��
� �sign(sin ) sin
( )
cos�
� �
� �x
L h
b
h
bN
N N
1
1 1
2
2
� �
�
�
���
1
2 1
�
� �(cos cos )b x N , (19)
ãäå xi , xi , x1, x2 îïðåäåëåíû â (11).
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè (7) èìååì
� � � � �( , , ) ( ) ( ( ) ( ))sin, , ,
*W f x f x xL N i
N
a
2 1 0
1 1
2
{ }� � � �� � �
b
dx� �
� � �� �
�
� �
�� 1
2
1
0
2
( ( ) ( ))sin ( )sin*f x f x x dx xi i
x
x
i
N
i
i
i
� � �x dx
x
x
i
N
i
i�
��
�
�
�
1
0
2
� � � ��
L
x x x x dx x xi i
x
x
i
i
i
2
2sign sign(sin )( ) sin (sin )(� � � x xdxi
x
x
i
N
i
i
�
�
� �
��
�
!
!
"
#
$
$
�1
2
0
2 1
) sin �
� � � � �
�
�
L
x x x x x x dxi i i
x
x
i
N
i
i
4
2
1
2
0
sign(sin )(( ) ( ) )sin� �
�
� �
2
� � � � � � �� �
1
2
1 1sign( ) ( )sin
f f f x f x f x x dxi i i i i i i
x
x
i
i
���
�
�
�
i
N
0
2
� � �� �
�
�
L
x x x xdxN N
x
x
N
N
2
1 1
2
1
sign(sin )( ) sin� �
�
�
�
�
�
!
� �
�
�
�
��
�1 2
4
1
1 1
�
� �cos (sin )
( )
x x
Lh x x x
i
i i i
i
sign
�
�
�
0
2N
�
� � � � � � �
�
���
� �
f f x f x f x
x xi i i i i i
i
1 1 1
2
2
cos (sin� �sign )
( )Lh x x xi i i� � �
�
�
�
��
1 22
4
�
� � � � � � �
�
���
� �
f f x f x f x
xi i i i i i2 1 1
2 1
2
1
2�
�[sin ( (sign sin ) )�x Lh fi i i� � �
� � � �sin ( (sin ) )] (sin ) (cos� � �
�
x x Lh f x
L
i i i i2 3
sign sign
� �x xi i� �
�
�
�
�1 cos )
� � ��
� �sign(sin ) sin
( )
cos (cos�
� �
� �
�
�x
L h
b
h
bN
N N
1
1 1
2
22
1
b x N�
�
�
�
�
�
�
�
��cos )� 1 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè îöåíêó ñíèçó. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íå-
îáõîäèìî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþ îöåíêó ñâåðõó äëÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìó-
ëû R ( )� âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1). Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì
� � �( , ( ), , ) sup ( ( ), , ,
( )
*
, ,
W R f x fL N k i
N
f x W L N
2 0
1
2
{ }� �
�
� � ( ))sinx x dx
a
b
�� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 87
� � �
� �
� �
��sup ( ( ) ( ))sin
( )
*
, ,f x W x
x
i
N
i
L N
i
i
f x f x x dx
2
1
0
1
�
� � ��
�
� �
��max ( ( ) ( ))sin ; ( ( )* *f x f x x dx f x fi i
x
x
i
N
i
i
i
�
1
0
1
i
x
x
i
N
x x dx
i
i
�
�
� �
��
�
�
�
��
�
�
�
��
�( ))sin �
1
0
1
�
�
�
� �
�
� �
��
f x f x
x dx x xi i
x
x
i
N
i
xi
i
i
( ) ( )
sin ( )sin*
2
1
0
1
� � �
x
i
N i
dx
�
��
�
� 1
0
1
.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
2. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé çàäàíèÿ àïðèîðíîé èíôîðìàöèè è. î. � �2 2 0
1� �{ }, i
N .
Ïðè ýòîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé f x� ( ) è f x� ( ) íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü çíà-
÷åíèå ïðîèçâîäíûõ { }� �f i
N
0
1 ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì { }f i
N
0
1� â óçëàõ { }xi
N
0
1�
è çàäàííîé êîíñòàíòå L ñ ìèíèìàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèç-
âîäíîé ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïòèìàëüíûé ïî òî÷íîñòè àëãîðèòì [5–7], êîòîðûé
îñíîâàí íà ïîñòðîåíèè îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè çíà÷åíèé ïðîèçâîäíûõ êëàññà
C L N2, , , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Ëèïøèöà (2). ×åáûøåâñêèé öåíòð ýòîé îá-
ëàñòè äàåò îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ( ) ( )*�f x â êëàññå C L N2, , , à ÷åáû-
øåâñêèé ðàäèóñ — îïòèìàëüíóþ îöåíêó ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ýòîì
êëàññå.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ( ) ( )*�f x îïèñàí â [5–7] è çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Íàçîâåì ôóíêöèþ �
k f F
x f x
k
�
�
� �( ) max ( ) (� k
f F
x f x
k
�
�
� �( ) min ( )), F f x Fk � �{ ( ) ,
x x xk k� �[ , ]1 , � �k k k
f x� �
�
( ) , � �k k k
f x�
�
� �
�
�
1 1 1
( ) }, F C L N% 2, , ,
f f
x x
k k
k k
�
�
�
�
�1
1
�
�
�
�
�
�� � � �
�
�L
x x f f
x x
L
x xk k
i i
k k
k k
k k1 1
1
1
2 2
� � , i k k� �, 1, âåðõíåé (íèæíåé)
ãðàíèöåé çíà÷åíèé ïðîèçâîäíûõ íà [ , ]x xk k�1 . Èñêîìûå çíà÷åíèÿ �
k
� , � k
� ,
k N� �0 1, , êîòîðûå îïðåäåëÿþò ãðàíèöó îáëàñòè âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïðîèç-
âîäíûõ êëàññà C L N2, , , âû÷èñëÿþòñÿ çà N �1 øàãîâ âïåðåä è N �2 øàãîâ íàçàä
(÷òîáû ñîãëàñîâàòü âñå îãðàíè÷åíèÿ [5]).
Ïîëîæèì
~
�
0
1 0
1 0
1 0
2
� �
�
�
�
�f f
x x
L
x x
,
~
� 0
1 0
1 0
1 0
2
� �
�
�
�
�f f
x x
L
x x
.
Äëÿ êàæäîãî k N� �0 2 2, , ,� âû÷èñëÿåì [6]:
~
min ,
�� �
k k
a k k
k k
k kf f
x x
L
x x
�
� � �
� �
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�1
2 1
2 1
2 1
2 �
,
~
max ,� �k k
i k k
k k
k kf f
x x
L
x x
�
� � �
� �
� ��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
1
2 1
2 1
2 1
2
,
ãäå
� � �
�
k
a
k k k
k k k k kL x x L
x x x x� ~
( )
( )
~
( ) (�
�
�
�
�� � �
�
�
� �
1
1
2
12
2
f f
L
k k� �1 )
,
� �
�
k
i
k k k
k k k k k
L x x L
x x x x f
� � � �
�
�
� ��
�
�
�
�~
( )
( )
~
( ) (
1
1
2
1
2
2
k kf
L
� �1 )
.
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Ïóñòü � �
N N�
�
�
��
1 1
~
, � �N N�
�
�
��1 1
~
, � �
N N�
�
�
��
2 2
~
, � �N N�
�
�
��2 2
~
.
Äëÿ êàæäîãî k N N� � �3 4 0, , ,� âû÷èñëèì
� � �
k k k
a� �� min
~
, }{ , � � �k k k
i� �� max
~
, }{ , (20)
ãäå
� � �
�
k
a
k k k
k k k k kL x x L
x x x x
�
�
�
� �
�
�� � �
�
�
� �
1 1
1
2
1 12
2
( )
( ) ( ) ( )f f
L
k k� �1 ,
� � �
�
k
i
k k k
k k k k k
L x x L
x x x x
�
�
�
� �
�
�
� � �
�
�
� �
1 1
1
2
1 1
2
2
( )
( ) ( ) ( )f f
L
k k� �1
.
Êàê äîêàçàíî â [7], âåëè÷èíû �
k
� , � k
� , k N� �0 1, , ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå
îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðû, ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíî è ìèíèìàëüíî âîçìîæíûìè
çíà÷åíèÿìè ïðîèçâîäíîé â óçëàõ, à îöåíêà ïîãðåøíîñòè íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû
r r
k N
k�
�
max
0 1
, rk
k k
�
�� �� �
2
, (21)
�
k
k k
k k
k k k k
k k
kf f
x x
L
x x f f
x x
L
x� �
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�min ,1
1
1 1
12
��
�
�
�
�
�
�xk 1
2
,
� k
k k
k k
k k k k
k k
kf f
x x
L
x x f f
x x
L
x� �
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�max ,1
1
1 1
12
��
�
�
�
�
�
�xk 1
2
.
 [6] äîêàçàíî, ÷òî èñêîìûé ÷åáûøåâñêèé öåíòð è ïîãðåøíîñòü îïðåäåëÿ-
þòñÿ â âèäå
( ) ( )
( ) ( )*� �
�� �
f x
x x� �
2
, r x
x x
( )
( ) ( )
�
�� �� �
2
, � ��
�
�
��( ) ( )x x
k
N
k
0
1
� .
 [6] òàêæå äîêàçàíî, ÷òî äëÿ îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè ïðî-
èçâîäíîé ( ) ( )*�f x ñïðàâåäëèâàÿ ñëåäóþùàÿ îöåíêà ïîãðåøíîñòè:
r x f x f x
x x
f x C N L
( ) max | ( ) ( ) ( ) |
( ) ( )
( )
*
, ,
� � � � �
�
�
� �
' 2 2
� � Lh
2
, (22)
ãäå h x x
k N
k k� �
�
�max | |
0 1
1 .
Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1) è ïðèâåäåì àíàëèòè÷åñêèé âèä
ôóíêöèé f x� ( ) è f x� ( ) ñ ó÷åòîì âû÷èñëåííûõ ñ ïîìîùüþ ðàññìîòðåííîãî âûøå
àëãîðèòìà çíà÷åíèé ïðîèçâîäíûõ. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîæåñòâî F W L N% 2, , â ýòîì ñëó-
÷àå íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì îòðåçêå [ , ]x xi i�1 , i N� �0 2, , îãðàíè÷åíî êðèâûìè
f x x
L
x x x
f x x
i i i i i
i i i
� � � �
� �
�
�
�
�
� �
�
( ) ( ) (sin ),
(
2
2
1 1
sign
) ( ) (sin ),� � �
L
x x xi i
2
1
2 sign �
(23)
êîòîðûå ïîïàðíî ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ x x x xi i i i
�
~ ~~
1, ãäå ~ min ( � , � )x x xi � 1 2 ,
~~ max ( � , � )x x xi � 1 2 ,
�
( )
( )
,
�
x
x x h f
Lh
x
x
i i i i i i
i i
i
1
1 1
2
2
2
2
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
x h f
Lh
i i i i i
i i
�
�
�
�
�
�
� �
�
1 1
2
2( )
,
� �
�
&'
(
, (24)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 89
h x xi i i� ��1 ,
f f fi i i� ��1 ,
� � �i i i
�
�
� �� �
1
, L — êîíñòàíòà Ëèïøèöà.
Îòäåëüíî ðàññìîòðèì îòðåçêè [ , ~ ]x xi i , [~ , ~~ ]x xi i , [~
~
, ]x xi i�1 è ïî àíàëîãèè ñ
ïðåäûäóùèì ñëó÷àåì ïðèâåäåì ôóíêöèè f x� ( ) íà íèõ. Ðàññìîòðèì ñîîòíîøå-
íèÿ (12)–(14):
� x x xi i�[ , ~ ], âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû îáëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè çíà-
÷åíèé f x W L N( ) , ,� 2 çàïèøåì
f x f x x
L
x x x
f x f
i i i i i i
i
� �
�
� � � � �
�
( ) ( ) ( ) (sin ),
( )
� �
2
2 sign
i i i i ix x
L
x x x� � � ��� �( ) ( ) (sin );
2
2 sign
(25)
� x x xi i�[~ , ~~ ], f x� ( ) è f x� ( ) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (â çàâèñè-
ìîñòè îò çíàêà
f i ):
f x f x x
L
x xi
x x x
i i i i
i i
�
�
�� � � � �( ) min ( ) ( ) (s
[ ~ ,~
~
]
�
2
2 sign in );
( ) ( ) (sin
�
� �
x
f x x
L
x x x
i
i i i i
�
�
�
� � � �� �
�
� �1 1 1 1
2
2
sign i ) ,
�
�
�
f x f x x
L
x xi
x x x
i i i i
i i
�
�
�� � � � �( ) min ( ) ( ) (s
[ ~ ,~
~
]
�
2
2 sign in );
( ) ( ) (sin
�
� �
x
f x x
L
x x x
i
i i i i
�
�
�
� � � �� �
�
� �1 1 1 1
2
2
sign i ) ,
�
�
�
ïðèìåíÿÿ ôóíêöèþ sign( )x , ïåðåïèøåì ýòè ñîîòíîøåíèÿ â âèäå
f x
f
f x x
L
x xi
i
i i i i
� ��
�
� � � �( )
( )
( ) ( ) (sin
1
2 2
2sign
sign
� �xi )
�
�
�
�
�
��
�
�
� � � �� �
�
� �
1
2 2
1 1 1 1
2sign
sign
( )
( ) ( ) (si
f
f x x
L
x xi
i i i i� n ) ,
( )
( )
( ) (
�
�
x
f x
f
f x x
L
x x
i
i
i
i i i
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �� �1
2 2
sign
i ix) (sin )2 sign �
�
�
�
�
�
��
(26)
�
�
� � � �� �
�
� �
1
2 2
1 1 1 1
2sign
sign
( )
( ) ( ) (si
f
f x x
L
x xi
i i i i� n )�xi
�
�
�
�
�
� ;
� x x xi i� �[~
~
, ]1 , çäåñü
f x f x x
L
x x xi i i i i i
�
� �
�
� �� � � � �( ) ( ) ( ) (sin ),1 1 1 1
2
2
� �sign
f x f x x
L
x x xi i i i i i
�
� �
�
� �� � � � �( ) ( ) ( ) (sin ).1 1 1 1
2
2
� �sign
(27)
Îáúåäèíèâ ñîîòíîøåíèÿ (25)–(27), ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ñëó÷àåì ïî-
ëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ f xi
* ( ) è � i x* ( ) íà [ , ]x xi i�1 :
f x
f f x x x x x
f f x x
i
i i i i i
i i
*
*
*
( )
( ) ( ), [ , ~ ],
[ ( ) (
�
� � � �
� � �
1
2
i i i i
i
i i i
f f x x
Lh
f x x x
) ( ) ( )]
( )(
*� � � � �
� � �
� � �
�
1 1 1
4
2sign
1
1 1 1 1
), [~ , ~~ ],
( ) ( ), [~
~
,*
x x x
f f x x x x x
i i
i i i i i
�
� � � �� � � � ],
[ , ],
( ' ) ( ), [ , ],*
x x x
f f x x x x x
N N
N N N N N
�
� � �
�
�
�
� � � �
1
1 1 1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(28)
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
�
�
i
i i i i i i
x
L
x x x r x x x x x
L
* ( )
( ) (sin ) ( ), [ , ~ ],
�
� � � �
2
2 sign
4
1
2
2
1
2
1
[( ) ( ) ] (sin )
[ ( )
x x x x x
r x x r
i i i
i i i
� � � �
� � �
�
�
sign �
( )]
( )
[ ( ) ( ) (* *
x x
f
f f x f x
i
i
i i i i
� �
� � � � � � �
�
� �
1
1 1
2
sign
f x x x x
L
x x x r
i i i i
i i i
) ], [~ , ~~ ],
( ) (sin ) (
* �
� �� �
2
1
2
1sign � x x x x x
x x x
L
x x
i i i
N N
N
� �
�
�
� �
�
�
1 1
1
1
2
2
), [~~ , ],
[ , ],
( ) (sign sin ) ( ), [ , ],�x r x x x x xN N N N N� � � �� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1 1
�
�
(29)
ãäå ( ) ( ) /*� � �� �f i i i� � 2 , ri i i� �� �( ) /� � 2 — îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé
è åå îöåíêà ïîãðåøíîñòè ñîîòâåòñòâåííî, ( )* * *� � � � ��f f fi i i1 , i N� �0 2, , L —
êîíñòàíòà Ëèïøèöà, � i
� è � i
� îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (20). Î÷åâèäíî, ÷òî â
ýòîì ñëó÷àå, êàê è â ïðåäûäóùåì, ÷åáûøåâñêèé öåíòð è ÷åáûøåâñêèé ðàäèóñ îá-
ëàñòè íåîïðåäåëåííîñòè êëàññà W L N2, , òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (17)
f x f x
i
N
i
* *( ) ( )�
�
�
0
1
� , � �* *( ) ( )x x
i
N
i�
�
�
0
1
� .
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè çíà÷åíèÿ { }� �f i
N
0
1 çàäàíû è íå íóæäàþòñÿ â âû÷èñëåíèè,
òî { } { }� �2 0
1
1 0
1
, ,i
N
i
N� �� è ñîîòíîøåíèÿ (23)–(29) ñîâïàäàþò ñ (10)–(16).
Ñïðàâåäëèâàÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå À, f x W L N( ) , ,� 2 è èñïîëüçóåòñÿ è. î.
�2 ( , )f x . Êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà (18) âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1), ãäå f x* ( ) îïðå-
äåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (29), (17), ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè êâàäðà-
òóðíîé ôîðìóëîé íà êëàññå W L N2, , â ñìûñëå õàðàêòåðèñòèê (4), ïðè÷åì
� �( , , ), , ,W S SL N i
N
2 2 0
1
1 2{ }� � � � , (30)
ãäå
S x x
Lh x x x
i
i i i
1 1
1 11
2
2
�
�
�
�
�
!
�
�
��
� ��
�
� �cos � (sin )
�
sign
20
2
�
�
�
�
i
N
�
� � � � � � �
�
���
� �
f f x f x f xi i i i i i( ) � ( ) ( )* * *
1 1 1
2
�
�
�
��
� �
��cos � (sin )
�
� �x x
Lh x x x
i
i i i
2
1 2
2
2
2
sign
�
� � � � � � �
�
��
"
#
$ �� �
f f x f x f xi i i i i i( ) � ( ) ( )* * *
2 1 1
2
� � � �
1
2 2 1 2
�
� � �[sin � ( (sin ) ( ) ) sin � (*x x Lh f xi i isign sig
n(sin ) ( ) )]*�x Lh fi i i� � �
� �
�
�
�
�� �
L
x x x xi i i N
�
� � � �
3 1 1sign sign(sin )(cos cos ) (sin )
L
�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 91
�
�
�
�� � � �
�� �
�
h
b
h
b b xN N
N
1 1
2
2 1
2
1
�
� �
�
� �sin
( )
cos (cos cos )
�
�� , (31)
S r x x r x x x ri i i i i i i i2 1 1
1
2
�
�
�
�
� � � �� �
�
�[( (~ ) ( ~ ))cos ~ ( (~
~
)x xi i
i
N
� �
�
�
�
0
2
� � � �� �r x x x r x xi i i i i i1 1 2
1
2
( ~~ ))cos ~~ ] (sin ~ sin ~~�
�
� �
i )
�
�
�
�
� � �� �
�
r h
b r b r aN N
N
1 1
2 1 0
1
�
�
�
� �cos ( sin sin ) , (32)
~xi , ~~xi , �x1, �x2 îïðåäåëåíû â (24),
r r ri i i� ��1 , i N� �0 2, .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà îñíîâàíèè (7) èìååì
� � � � �( , , ) ( )
( ) ( )
sin, , ,
*W
f x f x
x dL N i
N
a
b
2 2 0
1
2
{ }� �
� �
� �
�
� x �
�
�
�
�
� � �
� �
�
i
N
x
x
i i
i
xi
i
i
f x f x
x dx x x
0
1 1
2
( ) ( )
sin ( )sin*� � �
x
i
N i
dx
�
��
�
�
�
1
0
1
�
�
�
�
��
�
�
!
!
��
�
�L
x x x x dxi i
x
x
i
N
i
i
2
2
0
( ) (sin )sin
~
sign � �
2
�
� �
"
#
$
$
$
� ��
�
� ( ) (sin )sin ((
~~
x x x x dx
L
xi i
x
x
i
i
1
2
1
4
sign � � x x xi i
x
x
i
N
i
i
) ( ) )
~
~~
2
1
2
0
2
� � ��
�
�
��
� � � � �sign sign(sin )sin ( ) ( ( )*
~
~
� �x x dx f f f xi i i i
xi
1
2
~
x
i
N i
��
�
�
0
2
� � � �
�
�
�
��
� �� � �
�
( ) ( ) )sin ( )* *f x f x x dx
L
x xi i i i N
xN
1 1 1
2
2
�
1
1
x
N
N
x x dx� � �sign(sin )sin� �
� � �
�
�
�
��
� ���
�
�
�r x x x dx r x x ri i
x
x
i
N
i i i
i
i
( )sin [ ( )
~
�
0
2 1
2
1 1( )]sin
~
~~
x x x dxi
x
x
i
i
� ��� �
� �
�
�
�
��
� �� � � �
�
�
�r x x x dx r x xi i
x
x
N N
x
i
i
N
1 1 1 1
1
( )sin ( )
~~
�
1
1 2
xN
x dx S S� � �sin � ,
ãäå S1 îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåì (31) è ñîâïàäàåò ñ � �( , , ), , ,W L N i
N
2 1 0
1{ }� �
ïðè � � �f fi i( )* , x x1 1� � , x x2 2� � , à S 2 îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåìì (32) è âîçíè-
êàåò âñëåäñòâèå ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ïðîèçâîäíûõ { }f i
N
0
1�
â óçëàõ { }xi
N
0
1� .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè îöåíêó ñíèçó. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íå-
îáõîäèìî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþ îöåíêó ñâåðõó äëÿ êâàäðàòóðíîé ôîðìó-
ëû R ( )� âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1). Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
� � �( , ( ), , ) sup ( ( ), , ,
( )
*
, ,
W R f x fL N i
N
f x W L N
2 2 0
1
2
{ }� �
�
� � ( ))sinx x dx
a
b
�� �
� � �
� �
� �
��sup ( ( ) ( ))sin
( )
*
, ,f x W x
x
i
N
i
L N
i
i
f x f x x dx
2
1
0
1
�
� � �
�
�� �
�
�
max ( ( ) ( ))sin ; ( ( )* *
x
x
i i
i
N
i
i
i
f x f x x dx f x f
1
0
1
� i
x
x
i
N
x x dx
i
i
�
�
� �
��
�
�
�
��
�
�
�
��
�( )) sin �
1
0
1
�
�
�
� �
�
� �
��
f x f x
x dx x xi i
x
x
i
N
i
xi
i
i
( ) ( )
sin ( )sin*
2
1
0
1
� � �
x
i
N i
dx
�
��
�
� 1
0
1
.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 2. Åñëè çíà÷åíèÿ { }� �f i
N
0
1 çàäàíû è íå íóæäàþòñÿ â âû÷èñëåíèè,
òî îöåíêà (30) ñîâïàäàåò ñ îöåíêîé (19).
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé ñòàòüå ïîñòðîåíû îïòèìàëüíûå ïî òî÷íîñòè êâàä-
ðàòóðíûå ôîðìóëû âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà îò áûñòðîîñöèëëèðóþùåé ôóíêöèè
â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ çàäàíèÿ
àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î êëàññå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ç à ä è ð à ê à  . Ê . Òåîðèÿ âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1983. — 215 ñ.
2. Ç à ä è ð à ê à Â . Ê . , Ì å ë ü í è ê î â à Ñ . Ñ . Öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà,
1993. — 294 ñ.
3. Î ï ò è ì à ë ü í ³ àëãîðèòìè îá÷èñëåííÿ ³íòåãðàë³â â³ä øâèäêîîñöèëþþ÷èõ ôóíêö³é òà ¿õ
çàñòîñóâàííÿ:  2-õ ò. / ².Â. Ñåð㳺íêî, Â.Ê. Çàä³ðàêà, Î.Ì. Ëèòâèí, Ñ.Ñ. Ìåëüí³êîâà, Î.Ï. Íå÷óéâ³òåð
— Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2011. — Ò. 1. — 447 ñ.; Ò. 2. — 346 ñ.
4. È â à í î â Â . Â . Îá îïòèìàëüíûõ àëãîðèòìàõ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèé íåêîòîðûõ êëàññîâ // Êèáåðíå-
òèêà. — 1972. — ¹ 4. — Ñ. 40–45.
5. È â à í î â  .  . Ìåòîäû âû÷èñëåííûé íà ÝÂÌ (ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå). — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. —
584 ñ.
6. Á å ë à ÿ Í . È . Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé ïî òî÷íîñòè ïðîèçâîäíîé â êëàññå C N L2, , //
Èçâ. âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. — 1978. — ¹ 8. — Ñ. 31–40.
7. Á å ë à ÿ Í . È . Ïðîãðàììà îïòèìàëüíîãî ïî òî÷íîñòè âîññòàíîâëåíèÿ ïðîèçâîäíîé / Çàïîðîæüå,
1984. — 50 ñ. — Äåï. â Ãîñôàï 28.09.1984, ¹ ÏÎÎ7843.
Ïîñòóïèëà 16.03.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 93
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86217 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:49:37Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задирака, В.К. Мельникова, С.С. Луц, Л.В. 2015-09-09T18:01:24Z 2015-09-09T18:01:24Z 2013 Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов / В.К. Задирака, С.С. Мельникова, Л.В. Луц // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 83-93. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86217 519.64:517.443:519.254-37 Розглянуто задачу обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій з класу диференційовних функцій у випадку, коли інформаційний оператор заданий фіксованою таблицею своїх значень двома способами. Побудовано оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій. Отримано оптимальні оцінки похибки методу. The problem of computing integrals of rapidly oscillating differentiable functions using various information operators is considered. Quadrature formulas of optimal accuracy are derived and lower-bound estimates are obtained. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов Оптимальне інтегрування швидкоосцилюючих функцій у класі W2, L, N з використанням різних інформаційних операторів Optimal integration of rapidly oscillating functions in the class W2, L, N with the use of different information operators Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов Задирака, В.К. Мельникова, С.С. Луц, Л.В. Системный анализ |
| title | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов |
| title_alt | Оптимальне інтегрування швидкоосцилюючих функцій у класі W2, L, N з використанням різних інформаційних операторів Optimal integration of rapidly oscillating functions in the class W2, L, N with the use of different information operators |
| title_full | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов |
| title_fullStr | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов |
| title_full_unstemmed | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов |
| title_short | Оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе W2, L, N с использованием разных информационных операторов |
| title_sort | оптимальное интегрирование быстроосциллирующих функций в классе w2, l, n с использованием разных информационных операторов |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86217 |
| work_keys_str_mv | AT zadirakavk optimalʹnoeintegrirovaniebystrooscilliruûŝihfunkciivklassew2lnsispolʹzovaniemraznyhinformacionnyhoperatorov AT melʹnikovass optimalʹnoeintegrirovaniebystrooscilliruûŝihfunkciivklassew2lnsispolʹzovaniemraznyhinformacionnyhoperatorov AT luclv optimalʹnoeintegrirovaniebystrooscilliruûŝihfunkciivklassew2lnsispolʹzovaniemraznyhinformacionnyhoperatorov AT zadirakavk optimalʹneíntegruvannâšvidkooscilûûčihfunkcíiuklasíw2lnzvikoristannâmríznihínformacíinihoperatorív AT melʹnikovass optimalʹneíntegruvannâšvidkooscilûûčihfunkcíiuklasíw2lnzvikoristannâmríznihínformacíinihoperatorív AT luclv optimalʹneíntegruvannâšvidkooscilûûčihfunkcíiuklasíw2lnzvikoristannâmríznihínformacíinihoperatorív AT zadirakavk optimalintegrationofrapidlyoscillatingfunctionsintheclassw2lnwiththeuseofdifferentinformationoperators AT melʹnikovass optimalintegrationofrapidlyoscillatingfunctionsintheclassw2lnwiththeuseofdifferentinformationoperators AT luclv optimalintegrationofrapidlyoscillatingfunctionsintheclassw2lnwiththeuseofdifferentinformationoperators |