Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей
Розглянуто задачу чисельного моделювання та оптимізації хвильових процесів у неоднорідних середовищах з імпедансною межею на основі параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера. Сформульовано критерій оптимальності, досліджено диференціальні властивості оптимізаційної задачі. Запропоновано чисе...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86218 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 94-105. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860239010394275840 |
|---|---|
| author | Гладкий, А.В. |
| author_facet | Гладкий, А.В. |
| citation_txt | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 94-105. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу чисельного моделювання та оптимізації хвильових процесів у неоднорідних середовищах з імпедансною межею на основі параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера. Сформульовано критерій оптимальності, досліджено диференціальні властивості оптимізаційної задачі. Запропоновано чисельний метод для моделювання та оптимізації акустичних полів у неоднорідних середовищах.
The problem of numerical modeling and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with impedance border for parabolic Schrodinger-type wave equation is considered. The optimality criterion is formulated, differential properties of the optimization problem are analyzed, and a numerical method is proposed for modeling and optimization of acoustic fields in inhomogeneous domains.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:27:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9:519.6
À.Â. ÃËÀÄÊÈÉ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ È ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÂÎËÍÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
 ÍÅÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑÐÅÄÀÕ Ñ ÈÌÏÅÄÀÍÑÍÎÉ ÃÐÀÍÈÖÅÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: àêóñòè÷åñêîå ïîëå, óðàâíåíèå òèïà Øðåäèíãåðà, ýêñòðå-
ìàëüíàÿ çàäà÷à, ðàçíîñòíàÿ ñõåìà, óñòîé÷èâîñòü.
Èíòåíñèâíûå èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ ðàñïðîñòðàíåíèÿ àêóñòè÷åñêèõ âîëí
â äâóìåðíûõ è òðåõìåðíûõ ïîäâîäíûõ íåîäíîðîäíûõ âîëíîâîäàõ íà÷àëèñü
ñ 80-õ ãîäîâ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ â ñâÿçè ñ ïîòðåáíîñòÿìè äèñòàíöèîííîãî çîí-
äèðîâàíèÿ è àêóñòè÷åñêîãî ìîíèòîðèíãà ðåãèîíîâ Ìèðîâîãî îêåàíà [1–4].
Ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ âèäàõ ñèãíàëèçàöèè, ñâÿçè, ëîêàöèè, äëÿ äèñòàíöèîííîãî
èçó÷åíèÿ âîäíûõ ìàññ è äíà îêåàíà èñïîëüçóþòñÿ çâóêîâûå âîëíû. Çíà÷èòåëü-
íûé èíòåðåñ òàêæå ïðåäñòàâëÿþò âîïðîñû ôîðìèðîâàíèÿ àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé
ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè è îñîáåííîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí â íå-
îäíîðîäíûõ âîëíîâîäàõ.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàñ÷åò çâóêîâîãî ïîëÿ òî÷å÷íîãî èëè ðàñïðå-
äåëåííîãî èñòî÷íèêîâ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà â íåîäíîðîäíûõ îáëàñòÿõ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ðàçðàáîòàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ è âû÷èñëè-
òåëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìûõ èëè ýêñòðåìàëüíûõ âîëíîâûõ çàäà÷
â îäíîðîäíûõ è ñëîèñòî-íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ [1, 2, 5–10]. Ìàòåìàòè÷åñêèå òðóä-
íîñòè òàêèõ çàäà÷, îáóñëîâëåííûå êîìïëåêñíîçíà÷íîñòüþ ðåøåíèÿ, íåñàìîñîïðÿ-
æåííîñòüþ äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, íå-
îäíîðîäíîñòüþ è íåîãðàíè÷åííîñòüþ îáëàñòè, ìîæíî ïðåîäîëåòü, èñïîëüçóÿ ìå-
òîäèêó àïïðîêñèìàöèè âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà ïàðàáîëè÷åñêèìè
óðàâíåíèÿìè òèïà Øðåäèíãåðà [3–5, 11–16]. Ýòî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ðàçðà-
áîòêè ýôôåêòèâíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ àïïðîêñèìà-
öèîííûõ çàäà÷ ñ íåñàìîñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíîçíà÷íûì îïåðàòîðîì.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ âîïðîñû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è
îïòèìèçàöèè àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé íà áàçå ïàðàáîëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
â îñåñèììåòðè÷íîì íåîäíîðîäíîì äâóõñëîéíîì âîëíîâîäå ñ êóñî÷íî-ïîñòîÿí-
íîé ïëîòíîñòüþ è èìïåäàíñíîé ãðàíèöåé, ÷òî ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ýôôåêòû îòðàæå-
íèÿ, ïîãëîùåíèÿ, ðàññåèâàíèÿ ýíåðãèè íà ãðàíèöå âîäà–äíî. Ïðåäëîæåí ÷èñëåí-
íûé ìåòîä ðåøåíèÿ ïðÿìîé è îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷, èçó÷åíû äèôôåðåíöèàëü-
íûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëà êà÷åñòâà, èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé
ñõåìû äëÿ ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé êðàåâûõ çàäà÷ ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìî-
ñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ çàäà÷ó îòûñêàíèÿ çâóêîâîãî ïîëÿ â ïîäâîäíîì ñëîèñ-
òî-íåîäíîðîäíîì îñåñèììåòðè÷íîì âîëíîâîäå G r r z H r� � � � � � �{ 0 00 0, , },
ãäå ( , )r z — öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû è îñü z íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî
âíèç. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî âîëíîâîä äâóõñëîéíûé ñ ãîðèçîíòàëü-
íîé ãðàíèöåé ðàçäåëà ñðåä, íà êîòîðîé âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè
àêóñòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ è íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèö, à êóñî÷-
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
� À.Â. Ãëàäêèé, 2013
íî-íåïðåðûâíàÿ ñêîðîñòü çâóêà c r z( , ) è êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ïëîòíîñòü ñðåäû
�( )z èìåþò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà íà ëèíèè z � �. Êðîìå òîãî, âåðõíÿÿ ãðàíèöà
z � 0 âîëíîâîäà àáñîëþòíî ìÿãêàÿ, íèæíÿÿ ãðàíèöà èìïåäàíñíàÿ, ò.å. îïèñûâà-
åòñÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì òðåòüåãî ðîäà ñ êîìïëåêñíûì êîýôôèöèåíòîì. Òîã-
äà â ðàìêàõ ïàðàáîëè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ àêóñòè÷åñêîå ïîëå â âîëíîâîäå G
îïèñûâàåòñÿ êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèÿ òèïà Øðåäèíãåðà ñ êîìïëåêñíûì
íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì
2
1
10 0
2 2ik
p
r
z
z z
p
z
k n r z p
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��� � ��
�
( )
( )
( ( , ) ) 0, (1)
z H� �( , ) ( , )0 � � , r r0 � � �,
[ ]|p z� �� 0,
1
0
�
�
( )z
p
z
z
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
, �
� ��
� �
( )
,
, ,
z
z
z H
�
� �
� �
�
�
�
1
2
0
(2)
p z| � �0 0,
�
�
�
�
�
� �
�
p
z
p
z H
� 0, (3)
p u zr r| ( )� �
0
. (4)
Çäåñü p r z( , ) — êîìïëåêñíîçíà÷íîå ðåøåíèå, u z( ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ (íà-
÷àëüíîå çíà÷åíèå), i � �1 — ìíèìàÿ åäèíèöà, k c0 0� � / — âîëíîâîå ÷èñëî,
c0 — íåêîòîðîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè çâóêà c r z( , ), � — ÷àñòîòà, n r z2 ( , ) �
� �( / ( , )) ( ( , ))c c r z i r z0
2 1 � — êîìïëåêñíîçíà÷íûé êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ,
[ ( , )]| ( , ) ( , )f r z f r f rz� � � � �� � �0 0 — ñêà÷îê f , �( , )r z � 0 — êîýôôèöèåíò ïî-
ãëîùåíèÿ, � �� ( )r , Re � � 0, Im � � 0, Re Im� �� �| | 0.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàëü-
íåãî êîìïëåêñíîçíà÷íîãî àêóñòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ P r z( , ), ñîçäàâàåìîãî òî÷å÷-
íûì ãàðìîíè÷åñêèì èñòî÷íèêîì â äâóõñëîéíîì íåîäíîðîäíîì îñåñèììåòðè÷-
íîì âîëíîâîäå ñ ïîãëîùàþùåé ãðàíèöåé. Ýòî äàâëåíèå âíå èñòî÷íèêà
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëüöà [1, 5]
1 1
0
2 0
r r
r
P
r
z
z z
P
z
k
c
c r
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
����
�
( )
( ) ( , )
( ( , ))
z
i r z P
��
�
�� � �
2
1 0� , (5)
z H� �( , ) ( , )0 � � , 0� � �r ,
óñëîâèÿì íåïðåðûâíîñòè íà ëèíèè ðàçäåëà àêóñòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ è íîðìàëü-
íîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ÷àñòèö
[ ]| | | ,
( )
P P P
z
P
z
z z z
z
� � �
�
� � �
�
�
�
�
�
� �� �� �
�
�
�
�
0 0
1
0, �
� �
� �� � �
( )
, ,
,
z
z
z H
�
� ��
�
�
1
2
0
(6)
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
P
P
z
Pz
z H
| ,�
�
� �
�
�
� �0 0 0
�
�
� (7)
è ïðè k r0 1�� ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ôóíêöèè Õàíêåëÿ ïåðâîãî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 95
ðîäà íóëåâîãî ïîðÿäêà H
0
1( ) ( )� è ïëàâíîé àìïëèòóäû: P r z H k r p r z( , ) ( ) ( , )( )�
0
1
0 .
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ P r z( , ) â (5) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ Õàíêåëÿ
y H k r�
0
1
0
( ) ( ) óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ �� � � � �y
r
y k y
1
0
0
2 ,
à òàêæå åå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå H k r e k r
ik r
0
1
0 0
0( ) ( ) / ïðè k r0 1�� , äëÿ
êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû p r z( , ) ïîëó÷àåì ýëëèïòè÷åñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå
2
1
0
2
2 0
2 2ik
p
r
p
r
z
z z
p
z
k n r
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
��
�
���( )
( )
( ( , z p) )� �1 0.
Ïðåíåáðåãàÿ â ýòîì óðàâíåíèè ÷ëåíîì
�
�
2
2
p
r
, ïðèõîäèì ê óçêîóãîëüíîìó ïàðà-
áîëè÷åñêîìó óðàâíåíèþ òèïà Øðåäèíãåðà (1), êîòîðîå îïèñûâàåò ðàñïðîñòðà-
íåíèå àêóñòè÷åñêèõ âîëí â íàïðàâëåíèÿõ, áëèçêèõ ê ãîðèçîíòàëüíîìó.
Ñ ó÷åòîì P r z H k r p r z( , ) ( ) ( , )( )�
0
1
0 èç (6), (7) âûòåêàþò ñîîòâåòñòâóþùèå óñëîâèÿ
ñîïðÿæåíèÿ è êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1).
Îòìåòèì, ÷òî îáëàñòü ýôôåêòèâíîãî èñïîëüçîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (1) îãðàíè÷å-
íà óãëàìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ äî ãîðèçîíòàëè â ïðåäåëàõ 10 15� �– , à íàëè÷èå â íåì
ìíèìîãî êîýôôèöèåíòà �( , )r z ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü ìîäåëèðîâàíèå àêóñòè÷åñêèõ
ïîëåé ñ ó÷åòîì ïîãëîùåíèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è ñôîðìóëèðóåì êàê
ðåøåíèå âàðèàöèîííîé çàäà÷è ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà â öåëÿõ
îáåñïå÷åíèÿ ìèíèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê àêóñòè÷åñêîãî ïîëÿ îò çà-
äàííûõ â íåêîòîðîé îáëàñòè âîëíîâîäà. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïðèíè-
ìàåòñÿ íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è. Òîãäà îäíó èç
ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë
J u
z
z p R z p z dz
z
u z
H
�
�
�
( )
( )
( ) | ( , ) ( )|
( )
| ( )|� � �!
1 1 1
0
2
0
2
2
0
dz
H
! (8)
ïðè óñëîâèè, ÷òî p r z u( , ; ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è
2
1
10 0
2 2ik
p
r
z
z z
p
z
k n r z p
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��� � ��
�
( )
( )
( ( , ) ) 0 , (9)
z H� �( , ) ( , )0 � � , r r0 � � �,
[ ]| ,p z� �� 0
1
0
�
�
( )z
p
z
z
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
, (10)
p
p
z
pz
z H
| ,�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 0 0� , (11)
p u zr r| ( )� �
0
. (12)
Çäåñü p R z p R z u( , ) ( , ; )� — ðåøåíèå çàäà÷è (1)–(4) ïðè r R� , r R0 � � �, ñîîò-
âåñòâóþùåå óïðàâëåíèþ u z( ), �( )z � 0 — çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ
âåñîâàÿ ôóíêöèÿ, p z0 ( ) — çàäàííàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, u z( ) — êîì-
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 97
ïëåêñíîçíà÷íîå óïðàâëåíèå èç íåêîòîðîãî âûïóêëîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà
U u z L� �{ }( ) ( , / )2 1" � , ãäå L2 1( , / )" � — ïðîñòðàíñòâî êîìïëåêñíîçíà÷íûõ
ôóíêöèé, èíòåãðèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì è âåñîì 1/ � â îáëàñòè " � ( , )0 H . Ñêà-
ëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìà â L2 1( , / )" � îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
( , ) ( , )
( )
( ) ( )( , / )u v u v
z
u z v z dzL� � !2 1
1
"
"
�
�
, | | | | ( , )
( )
| ( )|/
/
u u u
z
u z dz� �
�
�
�
�
�!
1 2 2
1 2
1
"
�
,
â êîòîðûõ ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ âûäåëåíèÿ îãðàíè÷åííîãî ðåøåíèÿ â ôóíêöèîíàë êà÷åñòâà (8)
äîáàâëåí ñòàáèëèçèðóþùèé ôóíêöèîíàë
1
2
2
| | | |u ïðè íåêîòîðîì çàäàííîì
� 0.
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè êîì-
ïëåêñíîçíà÷íîãî óïðàâëåíèÿ u U� , ïðè êîòîðîì ôóíêöèîíàë (8) äîñòèãàåò ñâîåé
íèæíåé ãðàíè:
J w J u
u L
�
( ) ( )
( , / )
�
�
inf
2 1"
. (13)
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÎÉ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (8)–(13). Ñíà÷àëà
ïîêàæåì, ÷òî ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ýëåìåíòå u U� ñîîòâåòñòâóþùåå ðå-
øåíèå p r z p r z u( , ) ( , ; )� êðàåâîé çàäà÷è (9)–(12) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 1 . Äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è (9)–(12) ñïðà-
âåäëèâà îöåíêà
| | ( , )| | | | ( )| |p R z u z� , r R0 � � �. (14)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà (14) óðàâíåíèå
Lp ik
p
r
z
z z
p
z
k n r z�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��� �2
1
10 0
2 2�
�
( )
( )
( ( , ) ) p � 0,
n r z c c r z i r z2
0
2 1( , ) ( / ( , )) ( ( , ))� � �
óìíîæèì íà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ p r z u( , ; ) è ïðîèíòåãðèðóåì
ñ âåñîì 1/ ( )� z ïî îáëàñòè z H�( , )0 , ó÷èòûâàÿ ðàçðûâíîñòü ôóíêöèè �( )z .
Òîãäà ïîëó÷èì
( , )
( )
Lp p
z
Lppdz Lppdz Lppdz
HH
� � � �! !!
1 1 1
0
10 20
� � �
�
�
èëè
2
1 1 1
0 0
2ik
z
p
r
pdz
z z
p
z
pdz k
� � �( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�� �! !
" "
( )
( ( , ) )| |
z
n r z p dz2 21 0� �!
"
.
Îòäåëèâ â ýòîì òîæäåñòâå ìíèìóþ ÷àñòü, ïîëó÷èì
k
z
p
r
p
p
r
p dz
i z z
p
z
0
1 1
2
1
� �( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
��
�
��pdz
z z
p
z
pdz�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�!!!
1
�( )
"""
� �!k
z
n r z p dz
0
2 2 21
0
�( )
( ( , ))| |Im
"
. (15)
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (10) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (11), äëÿ âòîðîãî
ñëàãàåìîãî â (15) íàõîäèì
�
�
�
�
��
�
�� �
�
�
�
�
��
�
��!z z
p
z
pdz
z z
p
z
pdz
1 1
� �( ) ( )
""
! !�
�
�
�
�
��
�
�� �
z z
p
z
pdz
1
0
�
�
( )
�
�
�
�
�
��
�
�� �
�
�
�
�
��
�
��! z z
p
z
pdz
z z
p
z
pd
H
1 1
� �
�
( ) ( )
z
z z
p
z
pdz
H
�
�
�
�
�
��
�
�� �!!
1
0
�
�
�
( )
� � � �� �
1 1
2
2
2
2
2
�
� �
�
�( )| | | ( )| | |p i pz H z HIm .
 ðåçóëüòàòå ñîîòíîøåíèå (15) ïðèíèìàåò âèä
k
z
p
r
p
p
r
p dz p
z H
0
2
21 1
� �
�
( )
( )| |
�
�
�
�
�
�
�
� � �! �
"
Im
� �!k
z
n r z p dz
0
2 2 21
0
�( )
( ( , ))| |Im
"
. (16)
Ïðîèíòåãðèðóåì òåïåðü (16) ïî r r R�( , )0 . Òîãäà ïîñëå ïðåîáðàçîâàíé è ó÷å-
òà íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (12) èìååì
k
z
p dz p dr k dr
r R z H
r
R
r
R
0
2
2
2
0
21 1
0 0
� �
�
( )
| | ( )| |
� �! ! !� �
"
Im
1 2 2
�( )
( ( , ))| |
z
n r z p dzIm �!
"
� !k
z
u dz0
21
�( )
| |
"
. (17)
Ïîñêîëüêó Im n r z c c r z r z2
0
2 0( , ) ( / ( , )) ( , )� �� , Im ( )� � 0, èç (17) îêîí÷à-
òåëüíî ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (14). Îöåíêà (14) îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ
çàäà÷è (9)–(12) è åãî íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Ñ öåëüþ èñïîëüçîâàíèÿ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè èññëåäóåì äèô-
ôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà êðèòåðèÿ êà÷åñòâà (8). Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàë (8)
äèôôåðåíöèðóåì â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå u z U( )� â êîìïëåêñíîì ïðîñòðàíñòâå ñî
ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
� � �u v u v, ( , )Re . (18)
Äëÿ ýòîãî îöåíèì ãëàâíóþ ëèíåéíóþ ÷àñòü ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà
#J u J u u J u
�( ) ( ) ( )� � � â çàâèñèìîñòè îò ïðèðàùåíèÿ óïðàâëåíèÿ �u.
Ó÷èòûâàÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîñòü óïðàâëåíèÿ u U� , ðàññìîòðèì ñëó÷àé àì-
ïëèòóäíî-ôàçîâîãî óïðàâëåíèÿ. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðèðàùåíèå ðå-
øåíèÿ � � �p p r z p r z u u p r z u� � � �( , ) ( , ; ) ( , ; ) óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å
2
1
10 0
2 2ik
p
r
z
z z
p
z
k n r z
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��� �
�
�
�
�
( )
( )
( ( , ) )�p � 0,
(19)
z H� �( , ) ( , )0 � � , r r0 � � �,
[ ]|� �p z� � 0,
1
0
�
�
�
( )z
p
z
z
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
, (20)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 99
�
�
��p
p
z
pz
z H
| ,�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 0 0 (21)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
� �p u zr r| ( )� �
0
. (22)
Ðàññìàòðèâàÿ òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà (8), èìååì
# J u
z
z p u u p p u p
H
�
� �( )
( )
( )( | ( ) | | ( ) | )� � � � � �!
1
0
2
0
2
0
{
� � �
1
2
2 2
�( | | | | )u u u dz,
ãäå äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åíî p u u p R z u u( ) ( , ; )� � �� � , p u p R z u( ) ( , ; )� .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèðàùåíèå ôóíêöèîíàëà ìîæíî çàïè-
ñàòü â âèäå
#J u
z
z p p u p dz
z
u u
H
�
� �
�
�( )
( )
( ) ( ( ) )
( )
� � �!2
1
2
1 1
0
0
2
Re Re dz
H
�!
0
� �!
1 12
2
2
0
�
� �
�
( )
( ( )| | | | )
z
z p u dz
H
. (23)
Îöåíèì â (23) èíòåãðàëüíûé ÷ëåí, ñîäåðæàùèé ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ �p.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 1 è ó÷òåì, ÷òî �p óäîâëåòâîðÿåò êðàåâîé çàäà÷å
(19)–(22). Òîãäà íà îñíîâàíèè îöåíêè (14) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
1 1 1
0
2
0
2
0
�
� �
�
�
�( )
( )| |
( )
| |
( )z
z p dz M
z
p M
z
H
r R
H
r R
H
! ! !� �
� � | | | | | | ,� �u dz M u2 2� (24)
ãäå M z z H� �max �( ), [ , ]0 .
Ó÷èòûâàÿ â (23) îöåíêó (24), äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèîíàëà #J u
( ) ïîëó÷àåì
ñîîòíîøåíèå
#J u
z
z p p u p dz
H
�
� �( )
( )
( ) ( ( ) )� � �!2
1
0
0
Re
� �!2
1 1
2
0
�
� �Re
( )
(| | | | )
z
u u dz o u
H
. (25)
×òîáû îêîí÷àòåëüíî îïðåäåëèòü âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ëèíåéíîé ÷àñòè,
ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñîïðÿæåííóþ ôóíêöèþ � �( , ) ( , ; )r z r z u� êàê ðåøåíèå
â îáëàñòè G r r R z HR � � � � �{ }0 0, êðàåâîé çàäà÷è
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
��� �2
1
10 0
2 2ik
r
z
z z z
k n r z
�
�
�
�
�( )
( )
( ( , ) ) � 0, (26)
z H� �( , ) ( , )0 � � , r r R0 � � ,
[ ]|� �z� � 0 ,
1
0
�
�
�
( )z z
z
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
, (27)
�
�
��| ,z
z H
z
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 0 0, (28)
� �| ( )( ( ) )r R z p u p� � � 0 . (29)
Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 1 ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäó-
þùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 2. Ïóñòü � �p, — ðåøåíèÿ çàäà÷è (19)–(22) è (26)–(29) ñîîòâåòñòâåí-
íî. Òîãäà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
1 1
0 0
0�
� �
�
� �
( )
|
( )
|
z
p dz
z
p dz
H
r r
H
r R! !� �� . (30)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå â (25) ïîëó÷åííóþ îöåíêó (30) è íà÷àëüíîå óñëî-
âèå (22), ìîæíî îêîí÷àòåëüíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèî-
íàëà #J u
( ) â âèäå
#J u
z
udz
z
u u dz o
H
r r
H
�
� �
�
�( )
( ) ( )
(|� � �! !�
2
1 2 1
0
2
0
0
Re Re | | | )�u . (31)
Îòñþäà ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèîíàëà J u
( ) ïî u z( ) â ïðîñòðàíñòâå
L
2
2 1( , / )" � äåéñòâèòåëüíûõ ïàð {Re Im }u u, . Ëåãêî òàêæå âèäåòü, ÷òî ôóíêöè-
îíàë (8) âûïóêëûé.
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ôóíêöèîíàë (8) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì íà ìíîæåñòâå U , äèôôåðåíöè-
ðóåìûì ïî Ôðåøå â ïðîñòðàíñòâå L
2
2 1( , / )" � äåéñòâèòåëüíûõ ïàð {Re Im }u u, . Ãðà-
äèåíò ôóíêöèîíàëà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
� � � �
�
�
�
$
%
&
J u r z u u r z u u
�
�
( ) ( , ; ) , ( , ; )2
1 1
1 0 2 1 2 0 2 2 , (32)
ãäå � � �� �1 2i — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (26)–(29), u u z iu z� �1 2( ) ( ).
Èç èçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãðàäèåíòà íåîáõîäèìî ïðè
ôèêñèðîâàííîì u z( ) ïîëó÷èòü ðåøåíèå äâóõ êðàåâûõ çàäà÷. Âíà÷àëå ñ ïîìîùüþ
ïðÿìîé çàäà÷è (9)–(12) ñëåäóåò îïðåäåëèòü ôóíêöèþ p r z u( , ; ), à çàòåì èç
(26)–(29) íàéòè çíà÷åíèå ñîïðÿæåííîé ôóíêöèè.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (8)–(13) ìîæíî
ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ãðàäèåíòíûå ìåòîäû [17, 18]. Ïîýòîìó â òàêèõ çàäà÷àõ ïðå-
æäå âñåãî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ãðàäèåíò ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà è
ñôîðìóëèðîâàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè.  ñëó÷àå ýêñòðåìàëüíûõ
çàäà÷ áåç îãðàíè÷åíèé óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè èìååò âèä
grad infJ w J w J u
u L
�
( ) , ( ) ( )
( , / )
� �
�
0
2 1"
. (33)
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (33) ìîæíî ïðèìåíèòü ïðèáëèæåííûå ìåòîäû, â ÷àñòíîñòè
w w
J w kk k
k
k
�
�
�
� � �1
1
0 0 1
�
grad ( ) , , , ,�
(34)
ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ âûáîðà èòåðàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ �k .
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ âûáîð èòåðàöèîííîãî ïàðàìåòðà â (34) èç
óñëîâèÿ ìîíîòîííîñòè J w J wk k
( ) ( )� �1 . Íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî çàäàííîãî
çíà÷åíèÿ èòåðàöèîííûé ïàðàìåòð óìåíüøàþò äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âû-
ïîëíåíî óñëîâèå ìîíîòîííîñòè.
 ñëó÷àå çàäà÷ îïòèìèçàöèè ñ îãðàíè÷åíèÿìè âìåñòî (34) èñïîëüçóåòñÿ èòå-
ðàöèîííûé ïðîöåññ
w P w J wk U k k k� �� �1 1( ( ))�
grad , (35)
ãäå PU — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ìíîæåñòâî U .
Àëãîðèòì (35) ìîæíî ðåàëèçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
~
( )
w w
J wk k
k
k
�
�
�
� �1
1
0
�
grad ,
(36)
w P w kk U k� �� �1 1 0 1(~ ), , ,� (37)
Çäåñü íà ïåðâîì øàãå (36) âû÷èñëåíèå àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ çàäà÷è áåç îãðàíè÷å-
íèé. Íà âòîðîì øàãå (37) ðåàëèçóåòñÿ ââîä â ïîäïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åíèé U .
Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ãðàäèåíòà ñâÿçàíî ñ ÷èñëåííûì ðåøåíèåì ïðÿ-
ìîé êðàåâîé çàäà÷è (9)–(12) è ñîïðÿæåííîé çàäà÷è (26)–(29) ñ êîìïëåêñíûìè íå-
ñàìîñîïðÿæåííûìè îïåðàòîðàìè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ
ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé êðàåâûõ çàäà÷ ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäèí è òîò æå ìåòîä,
êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿ äàëåå.
ÐÀÇÍÎÑÒÍÀß ÑÕÅÌÀ ÄËß ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÂÎËÍÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ
Äëÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çâóêîâûõ ïîëåé íà îñíîâå íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è (1)–(4) ñ êîìïëåêñíîçíà÷íûì íåñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì íàèáî-
ëåå óäîáíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñåòîê. Èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ìåòîäà
òðåáóåò èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè, ñõîäèìîñòè è îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñ-
òè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû [5, 17, 19]. Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè ðàç-
íîñòíûõ ñõåì íàèáîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì
äàííûì, ÷òî ãàðàíòèðóåò îòñóòñòâèå íàêîïëåíèÿ îøèáîê, äîïóùåííûõ íà íå-
êîòîðîì øàãå âû÷èñëåíèé.
Ðàññìîòðèì áîëååå ïîäðîáíî íåêîòîðûå èç ýòèõ âîïðîñîâ.
 îáëàñòè G äëÿ ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è (1)–(4)
ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó, ïðåäïîëàãàÿ ñîèçìåðèìîñòü îòðåçêîâ ( , )0 � è ( , )� H :
� � � � �� � �h h hr z r z� ' � � �{ }( , ), , ,
� �� � � � � �{ }r r r m mm 0 0 1 2, , , , ,� , � �� �� � � �{ }r r mm , 1 ,
� �h kz z kh k N h H N N� � � � � �{ }, , , / /0 1 ,
� �h k hz z k N� � � � �{ , ,1 1, � �
h k hz z k N� � � � �{ }, ,1 .
Èñïîëüçóÿ èíòåãðî-èíòåðïîëÿöèîííûé ìåòîä [17], óðàâíåíèå (1) ñ ó÷åòîì
óñëîâèé ñîïðÿæåíèÿ (2) àïïðîêñèìèðóåì íà ñåòêå ��h äâóõñëîéíûì ðàçíîñòíûì
óðàâíåíèåì
4 00ik b z y ay ay d r z y y r zr z z z z( ) ( � ) ( ) ( , )( � ) , ( , )� � � � � � '�� � h , (38)
ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
y y r z y y y y y y y y hm k k
m m
k k
m
r� � � � � � ��( , ) , � , ( � ) /1 ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 101
y y y h y y y hz k k z k k� � � �� �( ) / , ( ) /1 1 ,
( ) ( ( ) ), (,ay
h
a y a a y a y a az z k k k
m
k k k
m
k k
m
k� � � � �� � � �
1
2 1 1 1 1
zk ).
Êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (38) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
a z
z h
h z
z H
( )
( , )
, ,
, ,
�
�
�
� �
� �
�
�
((
�
(
(
1
0 5
1
1
1
2
�
�
�
�
�
b z
z
z
z
( )
/ , ,
, ,
/ , ,
�
�
�
��
�
�� �
�
�
�
((
�
1
1
2
1 1
1
1
1 2
2
� �
� �
�
� �
(
(
d r z
k r z
z
r z r z r z n
( , )
~ ( , )
( )
, ~ ( , ) ( / , ), ( , )
�
� � �0
2
22
�
�
( , ) , ,
~ ( , ) ~ ( , )
, .
r z z
k r r
z
� �
�
�
��
�
�
�
�
� �
1
2
0 00
2
1 2
�
�
�
�
�
�
�
�
(
(
�
(
(
Ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (38) àï-
ïðîêñèìèðóåò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1) â óçëàõ, íå ïðèíàäëåæàùèõ ëèíèè
ðàçäåëà, ñ ïîãðåøíîñòüþ O h( )�2 2� , è ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì — â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå (38) ïðèíèìàåò âèä
4 00 0
2ik y y y k r z y yr zz zz� � � � �� ~( , )( � )
, z � � ,
ik y
h
y y y yr z z z z0
1 2 2 1
1 1 1
2
1 1
� � � �
�
��
�
�� � � � �
� ( � ) ( � )�
�
��� � �
1
2
0d r z y y( , )( � )
ïðè z � �.
Èìïåäàíñíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (3) â óçëàõ ( , ) ( , ),r z r z rN� ��� , àïïðîê-
ñèìèðóåì óðàâíåíèåì
2
2
00 0
2ik hy y y
h
k r z r y yr z z� � � �
�
�
� � �( � ) ~ ( , ) ~ ( ) ( � )
� ,
ãäå ~( ) ( / )� � �r r� � 2 .
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîé çàäà÷å (1)–(3) ñîïîñòàâèì ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó
4 00ik b z y ay ay d r z y y r zr z z z z( ) (( � ) ( ) ) ( , )( � ) , ( , )� � � � � ��� �' h , (39)
2
2
1
00
2
ik hb y a y y
h
d r y yN r N z z N� � � �
��
�
�� � �( � ) ~ ( ) ( � )
�
� ,
( , ) ( , ),r z r z rN� ��� , (40)
y r r( , ) ,0 0� ��� . (41)
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ðàçíîñòíîé ñõåìû (39)–(41) ââåäåì ãèëüáåðòîâî
ïðîñòðàíñòâî � � �L
h2 ( )� êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ íà ñåòêå �
h
� .
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó â � îïðåäåëèì ïî ôîðìóëàì
[ , ] ( , ) ,y v y v hy v
h N N� �� 0 5 , |[ ]| [ , ] /y y y� 1 2 ,
( , )y v hyv
h
hz
�
�
�
�
) , | | | | ( , )( )
/y y yL h h2
1 2
� �
� ,
ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (39)–(41), çàäà÷å (1)–(4) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
äâóõñëîéíóþ íåÿâíóþ ðàçíîñòíóþ ñõåìó â îïåðàòîðíîé ôîðìå
4 00ik By A y y rr � � � �( � ) , �� , (42)
y0 çàäàíî. (43)
Çäåñü y0 , y��, y u z z
h
0 � � �{ }( ), � , y y r y r z z
h
� � � �( ) ( , ),{ }� , B b z E� ( ) , ãäå
E — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð, à ëèíåéíûé êîìïëåêñíîçíà÷íûé îïåðàòîð A
äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå � è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
Av
h
a v
h
a v d r z v z h
av d r z v z z k
z
z z k�
� � �
� �
1 1
2 2 1 ( , ) , ,
( ) ( , ) , , � �
� � � �
�
�
(
(
�
(
(
2 1
2 2 1
2
, ,
~ ( ) , .,
N
h
a v d v
h
r v z HN z N N N N
�
�
Óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì áóäåì èññëåäîâàòü â ýíåðãåòè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå � D , îïðåäåëÿåìîì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì ( , ) [ , ]y v Dy vD � è
íîðìîé |[ ]| [ , ] /y Dy yD � 1 2 , ãäå D — íåêîòîðûé (âîçìîæíî, çàâèñÿùèé îò r) ñàìî-
ñîïðÿæåííûé ïîëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííûé îïåðàòîð. Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóõ-
ñëîéíîé ñõåìå (42), (43) ðàâíîìåðíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî íà÷àëüíûì äàííûì â � D
îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ýíåðãåòè÷åñêîãî íåðàâåíñòâà
[ , ] [ , ] , , , ,/ /Dy y Dy y mm m m m� � � �1 1 1 2 1 2 0 1 2 �
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âñïîìîãàòåëüíûé îïåðàòîð âòîðîé ðàçíîñòíîé ïðî-
èçâîäíîé *v av z z� ( ) , äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäå-
ëåííûõ íà ñåòêå �h è ïðèíèìàþùèõ íóëåâîå çíà÷åíèå ïðè z � 0.
Èìååò ìåñòî óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 3. Ïóñòü y��. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
Im Im( , ( � )) ( � ),iby y y ihb y y yr
k
N
k r k k kh
� � �
�
�
�
$
%
&
�
�
�
)�
1
1 1
�
� �(( �, � ) ( , ) ),by y by y
h h
� (44)
Im Im( ( � ), � )) (| � | | | ) ( )* y y y y
hk
b y y
h
d
h N N N N� � � � ��
�
2
2
0 2 2 | � |y yN N� �2
� �
1
2
2
�
�Im (~( ))| � |r y yN N .
(45)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (44) ó÷òåì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ìíè-
ìîé ÷àñòè
Im ( ( ) ( � )) [ ( )( ( � ) ( � ))]ib z y y y b z y y y y y yr r r� � � � �
1
2
.
Ó÷èòûâàÿ äàëåå âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà ðàçíîñòíîé ïðîèçâîäíîé, ïîñëå
íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì
Im ( ( ) ( � )) ( )(| � | | | )ib z y y y b z y yr � � �
1 2 2
�
.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ìíèìîé ÷àñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , ( � ))iby y yr h
� �
ïîëó÷àåì
Im ( , � ) (( �, � ) ( , ) )iby y y by y by yr h h h
� � �� � �
�
1
.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî òîæäåñòâà (45) çàìåòèì, ÷òî
Im {( ( � ), � ) ( ( � ), � ) ( � , ( �* * *y y y y
i
y y y y y y y
h h
� � � � � � �� �
1
2
� y
h
) }� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 103
Îòñþäà, âîñïîëüçîâàâøèñü ðàçíîñòíîé ôîðìóëîé Ãðèíà äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷-
íûõ ôóíêöèé [19]
( , ( ) ) (( ) , )y av ay vz z z zh h� �� �
� � � � � � �(( ) , ] [ ] [ ], ,a a y v yav vay y a v v a yz z z z N z z0 1 0 0 1 0
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî a a v y� � � �0 00 0, , ïîëó÷àåì
Im ( , ) [ ] , �*w w
i
a ww ww w y y
h N z z N� � � � �
2
.
(46)
Ïðèìåíèâ êðàåâîå óñëîâèå (40), èìååì
Im ( , ) ~ ( ),*w w
i
w ik hb y
h
d w r w
h N N r N N N N�
�
�� � � �
�
�
�
�
�2
2
2
1
0
2
� �
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
$
%
&
�w ik hb y
h
d w r wN N r N N N N2
2
1
0
2
,
~ ( )
�
�
� � � � � �
i
ik hb wy wy
h
w d d w rN r r N N N N
2
2
2
1
0
2
2
2[ ] | | ( ) | | (~ ( )
�
� �
�
�
�
$
%
&
~( ))� r .
Ïîñêîëüêó
[ ]| (| � | | | )wy wy y yr r N N N� � �
2 2 2
�
,
èç ïðåäûäóùåãî òîæäåñòâà îêîí÷àòåëüíî ñëåäóåò
Im Im( , ) (| � | | | ) ( )| |*w w
hk
b y y
h
d w
h N N N N N�
� �
� � � �
2
2
10 2 2 2
2
Im ~( )| |� r wN
2 .
Ïåðåéäåì ê àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû (42), (43) ïî íà÷àëü-
íûì äàííûì. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 2. Äëÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû (42), (43) ñïðàâåäëèâî ýíåðãåòè-
÷åñêîå òîæäåñòâî
[ �, � ] [ ( )( � ), � ] (~ )| �by y
k
d y y y y
k
yN� � � � �
�
�
�
�
4
1
40 2 0
Im Im y by yN | [ , ].2 � (47)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà óìíîæèì â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ( , )� � óðàâ-
íåíèå (42) íà âåëè÷èíó w y y� �� . Òîãäà, îòäåëÿÿ ìíèìóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî
òîæäåñòâà, èìååì
Im { }4 00k iby w w w dw wr( , ) ( , ) ( , )� � �* . (48)
Èñïîëüçóÿ äàëåå ëåììó 3, à òàêæå âûðàæåíèå
Im Im Im( , ) ( ) | | ( ) /dw w hd w w d
k
N
k
n
k
n
k
n�
�
�
�
$
%
&
�
�
�
� �)
1
1
1 1 1 2 2( � )| |y y� ,
òîæäåñòâî (48) ïðåîáðàçóåì ê âèäó
( �, � ) | � | [( ( ) , ) ( )| |by y
h
b y
k
d w w
h
d w
h N N N N�
�
� � �
2 4 2
2
0
Im Im 2 ]�
� � �
1
4 22 0
2 2
�
�
� �
k
r w by y
h
b yN N Nh
Im ~( )| | ( , ) | | .
Îòñþäà ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû.
Íà îñíîâàíèè òîæäåñòâà (47) ìîæíî óñòàíîâèòü åäèíñòâåííîñòü è ðàâíîìåð-
íóþ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (42), (43) ïî íà÷àëüíûì äàííûì â íîðìå
ýíåðãåòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé � B ñî ñêàëÿðíûì
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
ïðîèçâåäåíèåì è íîðìîé ñîîòâåòñòâåííî:
[ , ] ( , ) ,By v by v hb y v
h N N N� �� 0 5 , |[ ]| [ , ] /y By yB � 1 2 .
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 3. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (42), (43) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Òåîðåìà 4. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (42), (43) ðàâíîìåðíî óñòîé÷èâà ïî íà÷àëüíûì
äàííûì â íîðìå � B , è äëÿ åå ðåøåíèÿ èìååò ìåñòî àïðèîðíàÿ îöåíêà
|[ ]| | [ ]| , , , ,y y mm
B
m
B
� � �1 0 1 2 � (49)
Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì íåðàâåíñòâà (49) ÿâëÿåòñÿ îöåíêà
|[ ]| | [ ]| , , , ,y y mm
B B� �0 0 1 2 � ,
âûðàæàþùàÿ óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíîé ñõåìû (42), (43) ïî íà÷àëüíûì äàííûì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á ð å õ î â ñ ê è õ Ë . Ì . , Ë û ñ à í î â Þ . Ï . Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû àêóñòèêè îêåàíà. — Ë.:
Ãèäðîìåòåîèçäàò, 1982. — 264 ñ.
2. Ð à ñ ï ð î ñ ò ð à í å í è å âîëí è ïîäâîäíàÿ àêóñòèêà / Ïîä ðåä. Äæ.Á. Êåëëåðà è Äæ. Ïàïàäà-
êèñà. — Ì.: Ìèð, 1980. — 230 ñ.
3. Ò à ï ï å ð ò Ô . Ä . Ìåòîä ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ // Ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ïîäâîäíîé
àêóñòèêå. — Ì.: Ìèð, 1980. — Ñ. 180–226.
4. Ç à â à ä ñ ê è é Â . Þ . Ìîäåëèðîâàíèå âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1991. — 368 ñ.
5. à ë à ä ê è é À .  . , Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèå
ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2001. — 452 ñ.
6. À ë å ê ñ å å â à .  . , Ê î ì à ð î â Å . à . ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ òåîðèè
èçëó÷åíèÿ çâóêà â ïëîñêîì âîëíîâîäå // Ìàò. ìîäåëèðîâàíèå. — 1991. — 3, ¹ 12. — Ñ. 52–64.
7. À ë å ê ñ å å â à .  . , Ê î ì à ø è í ñ ê à ÿ Ò . Ñ . , Ñ è í ü ê î  . à . Ðàñïðåäåëåííûå âû÷èñëåíèÿ
â çàäà÷àõ àêòèâíîé ìèíèìèçàöèè çâóêà â äâóìåðíîì ìíîãîìîäîâîì âîëíîâîäå // Ñèá. æóðí.
èíäóñòð. ìàòåìàòèêè. — 2004. — 7, ¹ 2. — Ñ. 9–22.
8. Ä à í è ë î â  . ß . , Ê ð à â ö î â Þ . À . , Í à ê î í å ÷ í û é À . à . Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû
óïðàâëåíèÿ ãèäðîàêóñòè÷åñêèìè ïîëÿìè // Ôîðìèðîâàíèå àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé â îêåàíè÷åñêèõ
âîëíîâîäàõ. — Í. Íîâãîðîä: ÈÏÔ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1991. — Ñ. 32–55.
9. B e r m u d e z A . , G a m a l l o P . , R o d r i g u e z R . Finite element methods in local active con-
trol of sound // SIAM J. Control and Optim. — 2004. — 43, N 2. — P. 437–465.
10. Ñ à â å í ê î â à À . Ñ . Ìóëüòèïëèêàòèâíîå óïðàâëåíèå â çàäà÷å ðàññåÿíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ
Ãåëüìãîëüöà // Ñèá. æóðí. èíäóñòð. ìàòåìàòèêè. — 2007. — 10, ¹ 1. – Ñ. 128–139.
11. L e e D . , M c D a n i e l S . T . Ocean acoustic propagation by finite difference method // Comput.
Math. Appl. — 1987. — 14. — P. 305–423.
12. à ë à ä ê è é À .  . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . , Ï î ä ë à ñ î â Å . Ñ . ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå
âîëíîâûõ ïðîöåññîâ â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ ñ èìïåäàíñíîé ãðàíèöåé // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2006. — ¹ 4. — C. 41–50.
13. Ã ë à ä ê è é À . Â . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . , Õ à ð ð è ñ î í Ä . À . Àíàëèç è ôîðìèðîâàíèå
àêóñòè÷åñêèõ ïîëåé â íåîäíîðîäíûõ âîëíîâîäàõ // Òàì æå. — 2009. — ¹ 2. — C. 63–71.
14. L e e D . , P i e r s e A . D . , S h a n g E . C . Parabolic equation development in the twentieth Cen-
tury // J. Comput. Acoust. — 2000. — 1, N 4. — P. 527–637.
15. M e y e r M . , H e r m a n d J . - P . Optimal nonlocal boundary control of the wide-angle parabolic
equation for inversion of a waveguide acoustic field // J. Acoust. Soc. Amer. — 2005. — 117, N 5.
— P. 2937–2948.
16. M e y e r M . , H e r m a n d J . - P . , A s c h M . , L e G a c J . - C . An analytic multiple frequency
adjoint-based inversion algorithm for parabolic-type approximations in ocean acoustics // Inverse
Probl. Sci. and Eng. — 2006. — 14, N 3. — P. 245–265.
17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . ,  à á è ù å â è ÷ Ï . Í . Âû÷èñëèòåëüíàÿ òåïëîïåðåäà÷à. — Ì.:
Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2003. — 784 ñ.
18. Â à ñ è ë ü å â Ï . Ô . Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. — Ì.: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. — 824 ñ.
19. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , à ó ë è í À .  . Óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1973. —
416 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.01.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 105
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86218 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:27:25Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладкий, А.В. 2015-09-09T18:02:39Z 2015-09-09T18:02:39Z 2013 Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей / А.В. Гладкий // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 94-105. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86218 517.9:519.6 Розглянуто задачу чисельного моделювання та оптимізації хвильових процесів у неоднорідних середовищах з імпедансною межею на основі параболічного хвильового рівняння типу Шредінгера. Сформульовано критерій оптимальності, досліджено диференціальні властивості оптимізаційної задачі. Запропоновано чисельний метод для моделювання та оптимізації акустичних полів у неоднорідних середовищах. The problem of numerical modeling and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with impedance border for parabolic Schrodinger-type wave equation is considered. The optimality criterion is formulated, differential properties of the optimization problem are analyzed, and a numerical method is proposed for modeling and optimization of acoustic fields in inhomogeneous domains. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей Дослідження та оптимізація хвильових процесів у неоднорідних середовищах з імпедансною межею Investigation and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with impedance border Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей Гладкий, А.В. Системный анализ |
| title | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей |
| title_alt | Дослідження та оптимізація хвильових процесів у неоднорідних середовищах з імпедансною межею Investigation and optimization of wave processes in inhomogeneous domains with impedance border |
| title_full | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей |
| title_fullStr | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей |
| title_full_unstemmed | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей |
| title_short | Исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей |
| title_sort | исследование и оптимизация волновых процессов в неоднородных средах с импедансной границей |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86218 |
| work_keys_str_mv | AT gladkiiav issledovanieioptimizaciâvolnovyhprocessovvneodnorodnyhsredahsimpedansnoigranicei AT gladkiiav doslídžennâtaoptimízacíâhvilʹovihprocesívuneodnorídnihseredoviŝahzímpedansnoûmežeû AT gladkiiav investigationandoptimizationofwaveprocessesininhomogeneousdomainswithimpedanceborder |