Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации
Побудовано клас комбінаційних числових методів, для яких похибка дискретизації зменшується зі зростанням порядку комбінації. Отримана комбінація, для якої з точністю до членів другого порядку малості похибка дискретизації відсутня. Наведені аналітичні оцінки похибки дискретизації апробовані при анал...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86220 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации / В.М. Заяць // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 115-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859611620619059200 |
|---|---|
| author | Заяць, В.М. |
| author_facet | Заяць, В.М. |
| citation_txt | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации / В.М. Заяць // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 115-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Побудовано клас комбінаційних числових методів, для яких похибка дискретизації зменшується зі зростанням порядку комбінації. Отримана комбінація, для якої з точністю до членів другого порядку малості похибка дискретизації відсутня. Наведені аналітичні оцінки похибки дискретизації апробовані при аналізі консервативних систем без втрат, кварцових генераторів та високодобротних систем з тривалими перехідними процесами.
A class of numerical combination methods is developed where the discretization error decreases as the order of combination increases. A combination is obtained for which the discretization error is absent up to the second order of smallness. The analytical error estimates are tested in the analysis of conservative systems without losses, quartz oscillators, and high-Q systems with long transients.
|
| first_indexed | 2025-11-28T13:07:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.372
Â.Ì. ÇÀßÖÜ
ÊÎÌÁÈÍÀÖÈÎÍÍÛÅ ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ
Ñ ÌÈÍÈÌÀËÜÍÎÉ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÜÞ ÄÈÑÊÐÅÒÈÇÀÖÈÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîìáèíàöèîííûé ÷èñëåííûé ìåòîä,
äèñêðåòíàÿ ìîäåëü, ïîãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè, êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ðåàëüíûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ, îáåñïå÷èâàþùèõ
æåëàåìûå õàðàêòåðèñòèêè èíôîðìàöèîííîãî ñèãíàëà ïî àìïëèòóäå, ÷àñòîòå è
ôîðìå, öåëåñîîáðàçíî ïðîâåñòè èõ àíàëèç è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ïó-
òåì ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàçðàáàòûâàåìîãî îáúåêòà. Òàêîé ïîä-
õîä òðåáóåò çíà÷èòåëüíî ìåíüøèõ çàòðàò âðåìåíè è òåõíè÷åñêèõ ñðåäñòâ ïî
ñðàâíåíèþ ñ ôèçè÷åñêèì ýêñïåðèìåíòîì, îñîáåííî íà ïðåäâàðèòåëüíîé ñòàäèè
ðàçðàáîòêè.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ â íåëèíåéíîé äèíàìèêå øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå íàõîäÿò
äèñêðåòíûå ìîäåëè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì [1–5], äëÿ êîòîðûõ äèñêðåòíîñòü çàëî-
æåíà â ïðèðîäå ñàìîãî îáúåêòà èññëåäîâàíèé, à íå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äèñêðå-
òèçàöèè íåïåðûâíîé ñèñòåìû. Öåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ äèñêðåòíûõ ïî
ñâîåé ïðèðîäå ìîäåëåé îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèìè îñîáåííîñòÿìè:
— ïðîñòîòîé ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ íåïðåðûâíûìè
ìîäåëÿìè;
— íàëè÷èåì øèðîêîãî ñïåêòðà äèíàìè÷åñêèõ ðåæèìîâ;
— êîíå÷íîé ìåðíîñòüþ, ÷òî ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü êàæäóþ íîâóþ ãàðìî-
íèêó ïóòåì åå ââåäåíèÿ â âåêòîð ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, â òî âðåìÿ êàê â íåïðå-
ðûâíûõ ñèñòåìàõ äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íåîáõîäèìî ïîâûøàòü ðàçìåðíîñòü
ñèñòåìû;
— îòñóòñòâèåì íåîáõîäèìîñòè îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî øàãà äèñêðåòèçà-
öèè, îöåíêè ëîêàëüíîé è ãëîáàëüíîé ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, èññëåäî-
âàíèÿ èõ óñòîé÷èâîñòè;
— ìàêñèìàëüíîé ïðèñïîñîáëåííîñòüþ ê ïîñòàíîâêå êîìïüþòåðíîãî ýêñïå-
ðèìåíòà.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âîçíèêíîâåíèþ è ðàçâèòèþ òåîðèè íåïðåðûâíûõ è
äèñêðåòíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì â çíà÷èòåëüíîé ìåðå ñïîñîáñòâîâàëè èçâåñò-
íûå ðàáîòû Âàí-äåð-Ïîëÿ, À.À. Àíäðîíîâà, Ñ.Å. Õàéêèíà [6–8], êîòîðûå îñíîâû-
âàþòñÿ íà ìåòîäå ìåäëåííîìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä [8]. Ïîñêîëüêó ïîëó÷åííûå
ïðè òàêîì ïîäõîäå óðàâíåíèÿ ïðèáëèæåííûå, òî ðÿä ýôôåêòîâ, òàêèõ êàê ãåíåðà-
öèÿ íà êâàçèãàðìîíèêàõ, õàîòè÷åñêèå äâèæåíèÿ, áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ
ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå äèíàìèêè ñèñòåìû, íå áûëè
âûÿâëåíû.
Ïðè ïîñòðîåíèè äèñêðåòíîé ìîäåëè ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ÷èñëåííîãî àëãîðèò-
ìà íåîáõîäèìî ïîçàáîòèòüñÿ î ïðèìåíåíèè òàêîãî ìåòîäà äèñêðåòèçàöèè, êîòî-
ðûé ìèíèìèçèðóåò ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé è ÿâëÿåòñÿ À-óñòîé÷èâûì.  ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå íàêîïëåíèå ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèé ïðèâåäåò ê ïîòåðå íå òîëü-
êî ïðèåìëåìûõ êîëè÷åñòâåííûõ ðåçóëüòàòîâ, íî è ê ïîòåðå êà÷åñòâåííîãî
ñîîòâåòñòâèÿ íåïðåðûâíîé ñèñòåìû è åå äèñêðåòíîé ìîäåëè.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 115
© Â.Ì. Çàÿöü, 2013
 äàííîé ðàáîòå ïðåäëîæåí êëàññ êîìáèíàöèîííûõ ðàçíîñòíûõ àëãîðèòìîâ,
êîòîðûå ïîçâîëÿþò ìèíèìèçèðîâàòü âåëè÷èíó ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè, Öå-
ëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäîâ ýòîãî êëàññà ïîäòâåðæäåíà ðàññìîòðåíè-
åì êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì áåç ïîòåðü, àâòîêîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì ñ äëèòåëüíûìè
ïåðåõîäíûìè ïðîöåññàìè è ñèñòåì ñ âûñîêèìè êà÷åñòâåííûìè ïîêàçàòåëÿìè.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÊÎÌÁÈÍÀÖÈÎÍÍÛÕ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÕ ÌÅÒÎÄÎÂ
È ÎÖÅÍÊÀ ÈÕ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÄÈÑÊÐÅÒÈÇÀÖÈÈ
Ïîñòðîèì êëàññ êîìáèíàöèîííûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
îáåñïå÷èòü óìåíüøåíèå ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè ïî ìåðå ðîñòà ïîðÿäêà
êîìáèíàöèè, è ïîïûòàåìñÿ íàéòè òàêóþ êîìáèíàöèþ, äëÿ êîòîðîé â ïåðâîì
ïðèáëèæåíèè ïîãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè îòñóòñòâóåò.
 ïðîãðàììàõ êîìïüþòåðíîãî àíàëèçà ýëåêòðîííûõ ñõåì [9], àíàëèçå äèíà-
ìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ âûñîêèìè êà÷åñòâåííûìè ïîêàçàòåëÿìè, äëÿ êîòîðûõ ñâîéñò-
âåííû äëèòåëüíûå ïåðåõîäíûå ïðîöåññû [10], âîçíèêàåò ïðîáëåìà ìåæäó ñëîæ-
íîñòüþ ðàçíîñòíîãî àëãîðèòìà è åãî òî÷íîñòüþ. Êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþò ìåòîäû
íå âûøå âòîðîãî ïîðÿäêà ñëîæíîñòè.  ÷àñòíîñòè, ÷àñòî çàäåéñòâóþò ìåòîä òðàïåöèé
[3, 9, 10]. Ðàçíîñòíàÿ ôîðìóëà ýòîãî ìåòîäà èìååò âèä
x x h f fn n n n� �� � � �1 1( ) , (1)
ãäå h — âåëè÷èíà øàãà äèñêðåòèçàöèè; x xn n, �1 — çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ñî-
ñòîÿíèÿ â n è n �1 òî÷êàõ äèñêðåòèçàöèè; f fn n, �1 — çíà÷åíèÿ ôóíêöèé, îïðå-
äåëÿþùèõ íåïðåðûâíóþ ñèñòåìó â ñîîòâåòñòâóþùèõ äèñêðåòíûõ òî÷êàõ.
Ôîðìóëà (1) ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé äâóõ ìåòîäîâ. Íà ïåðâîé ïîëîâèíå øàãà
äèñêðåòèçàöèè èñïîëüçóåòñÿ ÿâíûé ìåòîä Ýéëåðà, à íà âòîðîé — íåÿâíûé ìåòîä
Ýéëåðà. Â ðåçóëüòàòå ïîñòðîåíèÿ òàêîé êîìáèíàöèè, ÷òî ïîäòâåðæäàþò ìíîãî-
÷èñëåííûå ïóáëèêàöèè, òî÷íîñòü ðàñ÷åòà âîçðàñòàåò áîëåå ÷åì íà ïîðÿäîê ïî
ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäàìè Ýéëåðà. Êðîìå òîãî, äëÿ ýòîãî ìåòîäà õàðàêòåðíî
ñâîéñòâî À-óñòîé÷èâîñòè.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íîâîãî ìåòîäà, êàê ïðåäëîæåíî â ðàáîòå [11], áóäåì ó÷èòû-
âàòü ïîïðàâêè äëÿ ñëåäóþùåé òî÷êè äèñêðåòèçàöèè íå íà ñðåäèíå øàãà, êàê ýòî
èìååò ìåñòî â ìåòîäå òðàïåöèé, à â òîò ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà âêëàäû ÿâíîãî è
íåÿâíîãî ìåòîäîâ Ýéëåðà ýêâèâàëåíòíû. Äëÿ ýòîãî ðàçíîñòíóþ ôîðìóëó (1)
ïðåäñòàâèì â âèäå, ïðåäëîæåííîì Ëèíèãåðîì–Óèëàáè [3]:
x x h f h fn n n n� �� � � � � � � �1 11(( ) )� � , (2)
ãäå � — ïàðàìåòð, èçìåíÿþùèéñÿ îò íóëÿ ê åäèíèöå. Ïðèðàâíÿâ âòîðîé è
òðåòèé ÷ëåíû ïðàâîé ÷àñòè â ôîðìóëå (2), ïîëó÷èì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà �,
ïðè êîòîðîì ÿâíûé è íåÿâíûé ìåòîäû Ýéëåðà âíîñÿò îäèíàêîâûé âêëàä â ïî-
ïðàâêó ê çíà÷åíèþ ïåðåìåííîé ñîñòîÿíèÿ â n �1 òî÷êå äèñêðåòèçàöèè:
� �
� �
f
f f
n
n n 1
. (3)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (3) â (2) ïîëó÷èì íîâóþ ðàçíîñòíóþ ôîðìóëó:
x x
h f f
f f
n n
n n
n n
�
�
�
� �
� � �
�
1
1
1
2
( )
.
(4)
Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî ôîðìóëå (4) âêëàä êàæäîãî èç ìåòîäîâ Ýéëåðà íå ïðåâû-
øàåò ïîëîâèíû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó õn è õn �1 ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ, ìå-
òîä (4) äàåò ãàðàíòèðîâàííóþ âåðõíþþ ãðàíèöó íà âåëè÷èíó ïîãðåøíîñòè
äèñêðåòèçàöèè íà êàæäîì øàãå è îáåñïå÷èâàåò åå ïîëîæèòåëüíîñòü.
116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Ïðîâåäåì îöåíêó ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè ìåòîäà (4). Ñ ýòîé öåëüþ äëÿ
îïðåäåëåííîñòè áóäåì ðàññìàòðèâàòü òåñòîâóþ ìîäåëü êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû
âòîðîãî ïîðÿäêà, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì
d x
dt
x
2
2
2� � �� , (5)
ãäå � — ÷àñòîòà êîëåáàíèé. Òî÷íîìó ðåøåíèþ x0 óðàâíåíèÿ (5) ñîîòâåòñòâó-
åò ãàðìîíè÷åñêèé ñèãíàë ñ åäèíè÷íîé àìïëèòóäîé. Äëÿ àíàëèçà óäîáíåå ïðè-
âåñòè (5) ê íîðìàëüíîé ôîðìå Êîøè â âèäå äâóõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà:
dx
dt
x� 1;
dx
dt
x
1
2� � �� . (5�)
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ (4) ê óðàâíåíèÿì (5�) ïðèõîäèì ê ðàçíîñòíûì óðàâíåíèÿì
x x
h x x
x x
n n
n n
n n
�
�
�
� �
� � �
�
1
1
1 1
1
1 1
2
è x x
h x x
x xn n
n n
n n
�
�
�
�
� �
� � �
�1
1 1
2
1
1
2 �
, (5� �)
ðåøåíèå êîòîðûõ õ ð , ïðèáëèæåííîå ê ðåøåíèþ (5), èìååò âèä
x
x
c c
c c
n
n
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
1
1
1
11 12
21 22
1
2
C � �
�
� � ,
ãäå � — âåêòîð-ñòîëáåö ìóëüòèïëèêàòîðîâ ðàçíîñòíîé ñèñòåìû (5� �); Ñ — ìàò-
ðèöà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñèñòåìû (5� �). Íåñëîæíî óáå-
äèòüñÿ, ÷òî ìóëüòèïëèêàòîðû äèñêðåòíîé ìîäåëè (5� �) îïðåäåëÿþòñÿ ñîáñòâåí-
íûìè çíà÷åíèÿìè íåïðåðûâíîé ñèñòåìû (5). Ëîãè÷íî ñðàçó âìåñòî ñèñòåìû
âòîðîãî ïîðÿäêà àíàëèçèðîâàòü äâà óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà, çàïèñàííûõ
îòíîñèòåëüíî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (5):
dx
dt
j x� � �� è
dx
dt
j x� � � �� ,
(5� � �)
êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ìóëüòèïëèêàòîðû äèñêðåòíîé ñèñòåìû (5� �):
� � �1
2 21� � � � � �j h h( ) è � � �2
2 21� � � � � � �j h h( ).
Ïîñêîëüêó ýëåìåíòû ìàòðèöû Ñ îïðåäåëÿþñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, êîòî-
ðûå ñóùåñòâåííî âëèÿþò íà îáëàñòü ñõîäèìîñòè ïðîöåññà âû÷èñëåíèé, à ïî-
ãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè ÷èñëåííîãî ìåòîäà îò íèõ íå çàâèñèò, äîñòàòî÷íî îöå-
íèòü ìîäóëè è àðãóìåíòû ìóëüòèïëèêàòîðîâ:
| | | |� �1 2 1� � è � �
�
�
1 2 2 21 2
� � �
�
� �
arctg
h
h( / )
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîãðåøíîñòü â îïðåäåëåíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé ñ òî÷íîñ-
òüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà (4) îòñóòñòâó-
åò. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðèáëèæåííóþ âåëè÷èíó ïåðèîäà êîëåáàíèé ìîæíî
îïðåäåëèòü èç ðàâåíñòâà
T
h
p �
�2�
�
,
îòíîñèòåëüíàÿ âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè â îïðåäåëåíèè ïåðèîäà êîëåáàíèé ñî-
ñòàâëÿåò
�
�
T
T T
T
hp
�
�
�
0
0
2 2
6
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 117
Ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì òðàïåöèè [3] ýòà âåëè÷èíà â äâà ðàçà áîëüøå ïî àá-
ñîëþòíîé âåëè÷èíå, íî èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê. Ïðèìåíÿÿ íà ïåðâîé ïîëî-
âèíå øàãà äèñêðåòèçàöèè ôîðìóëó (4), à íà âòîðîé — ôîðìóëó (1), ïîëó÷àåì
ðàçíîñòíóþ ôîðìóëó
x x
h f f
f f
h
f fn n
n n
n n
n n�
�
�
�� �
� �
�
� �1
1
1
1
4( )
( ) , (6)
êîòîðóþ íàçîâåì ðàçíîñòíîé êîìáèíàöèåé ïåðâîãî ðîäà (Ê1Ð). Äëÿ ýòîé
êîìáèíàöèè ìóëüòèïëèêàòîðû, îïðåäåëåííûå ïóòåì äèñêðåòèçàöèè óðàâíåíèé
(5� � �) ñ èñïîëüçîâàíèåì Ê1Ð (6) èìåþò âèä
�
� �
�
1
2 26 8 1 2
8 1 4
�
� � � � � � �
� � � �
j h h
j h
( / )
( / )
è �
� �
�
2
2 26 8 1 2
8 1 4
�
� � � � � � � �
� � � �
j h h
j h
( / )
( / )
.
Òàêèì îáðàçîì,
| | | |� �1 2 1� � è � �
� � �
1 2
2 21 2
4 4
� � �
� � � �
�
�
arctg
3
arctg
h h h( / )
.
Ïîñêîëüêó ìîäóëè ýòèõ ìóëüòèïëèêàòîðîâ ðàâíû åäèíèöå, òî ïîãðåøíîñòü
îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé îòñóòñòâóåò. Ïîãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè
ïðè èñïîëüçîâàíèè (6) ê êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìå (5) îêàçûâàåòñÿ â äâà ðàçà
ìåíüøå ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíîé ïî çíàêó ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì òðà-
ïåöèè, ò.å. ðàâíà h2 2 24� / . Çàìåòèì, ÷òî ýòà êîìáèíàöèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì
À-óñòîé÷èâîñòè, ïîñêîëüêó ìîäóëè ìóëüòèïëèêàòîðîâ íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû
êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà.
Òåïåðü ïîñëå óñðåäíåíèÿ (1) è (6) ïîëó÷àåì ðàçíîñòíóþ êîìáèíàöèþ âòîðî-
ãî ðîäà (Ê2Ð):
x x
h f f
f f
h
f fn n
n n
n n
n n�
�
�
�� �
� �
� �
�
�
�1
1
1
1
2
3
8( )
( ) . (7)
Êàê ïîêàçàëè ðåçóëüòàòû îöåíêè ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè ìåòîäà (7) ïðè
ðàññìîòðåíèè ìîäåëè áåç ïîòåðü (5), îíà îêàçàëàñü â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå ïî-
ãðåøíîñòè ìåòîäà òðàïåöèé è â äâà ðàçà ìåíüøå ïîãðåøíîñòè ìåòîäà (6). Òàêèì
îáðàçîì, äëÿ ìåòîäà (7) � �T h� � 2 2 48/ . Ïðè ýòîì çíàê ïîãðåøíîñòè â Ê2Ð ñîâ-
ïàäàåò ñî çíàêîì ïîãðåøíîñòè ìåòîäà òðàïåöèé è èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê
ê ïîãðåøíîñòè, êîòîðûé äàåò Ê1Ð. Êàê è ïðåäûäóùàÿ êîìáèíàöèè, ìåòîä (7)
îáëàäàåò ñâîéñòâîì À-óñòîé÷èâîñòè.
Âèäèìî, ìîæíî îæèäàòü äàëüíåéøåãî óìåíüøåíèÿ âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè
äèñêðåòèçàöèè êîìáèíàöèè ìåòîäîâ (6) è (7), êîòîðàÿ ïðèâîäèò ê ðàçíîñòíîé
êîìáèíàöèè òðåòüåãî ðîäà (Ê3Ð):
x x
h f f
f f
h
f fn n
n n
n n
n n�
�
�
�� �
� � �
� �
�
�
�1
1
1
1
3
4
5
16( )
( ) . (8)
Çàìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàòü êîìáèíàöèþ (6) èç (4) íåöåëåñîîáðàçíî (õîòÿ
îíà è èìååò ïðàâî íà ñóùåñòâîâàíèå), ïîñêîëüêó çíàêè ïîãðåøíîñòè â (4) è (6)
ñîâïàäàþò è òàêàÿ êîìáèíàöèÿ íå ìîæåò óëó÷øèòü òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé. Ïî-
ãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè êîìáèíàöèè (8) ïðèìåíèòåëüíî ê ìîäåëè (5) â äâà ðàçà
ìåíüøå îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòè ìåòîäà (7).
Ïðåäëàãàåìûå êîìáèíàöèè ðàçíîñòíûõ ñõåì ïîñòðîåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî
â êîìáèíàöèÿõ íå÷åòíîãî ðîäà (Ê1Ð, Ê3Ð), îïðåäåëÿåìûõ ôîðìóëàìè (6) è (8),
áîëåå ñóùåñòâåííî âëèÿíèå âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ïîëó÷åííûõ ôîðìóëàõ ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ òðåòüèì, à â êîìáèíàöèÿõ ÷åòíîãî ðîäà (Ê2Ð) ýòè âêëàäû ïðàêòè÷åñêè
118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
ñðàâíèìû. Òàêîå ïîñòðîåíèå îáåñïå÷èâàåò èçìåíåíèå çíàêà ïîãðåøíîñòè ïðè ïî-
ëó÷åíèè êàæäîé íîâîé êîìáèíàöèè. Èòàê, ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü ìåòîä âòîðî-
ãî ïîðÿäêà, êîòîðûé îáåñïå÷èò ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè
ñêîëü óãîäíî ìàëóþ ïîãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè ïðè îïðåäåëåíèè ïåðèîäà
êîëåáàíèé. Ïîñëå àðèôìåòè÷åñêîãî óñðåäíåíèÿ (7) è (8) ïðèõîäèì ê ðàçíîñòíîé
ñõåìå ÷åòâåðòîãî ðîäà (Ê4Ð):
x x
h f f
f f
h
f fn n
n n
n n
n n�
�
�
�� �
� � �
� �
�
�
�1
1
1
1
5
8
11
32( )
( ) , (9)
äëÿ êîòîðîé òàêæå íàáäþäàåòñÿ óìåíüøåíèå ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè ïðè
îïðåäåëåíèè ïåðèîäà êîëåáàíèé â äâà ðàçà ñ èçìåíåíèåì çíàêà ñðàâíèòåëüíî
ñ ïðåäûäóùåé êîìáèíàöèåé.
Àíàëèçèðóÿ ôîðìóëû (6)–(9), íà k-ì øàãå, èñïîëüçóÿ ïîëøàãà ÷åòíóþ êîì-
áèíàöèþ, à ïîëøàãà — íå÷åòíóþ, ïîëó÷àåì ðàçíîñòíóþ ñõåìó äëÿ êîìáèíàöèè
k-ãî ðîäà (ÊÊÐ):
x x
a h f f
f f
a h f fn n
k n n
n n
k n n�
�
�
� �� �
� � �
�
� � � �1
1
1
1 1
( )
( ), (10)
ãäå a ak
k k
k k
k k
k
�
� �
�
�
� �
�� �
�
�
2 1
3 2
2 1
3 21 1
1
1
( )
;
( )
.
Ïîñêîëüêó ñ óâåëè÷åíèåì k çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ àê è àê �1 óìåíüøà-
þòñÿ, òî ýòî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè. Îòíîñèòåëü-
íàÿ ïîãðåøíîñòü äèñêðåòèçàöèè ïðè îïðåäåëåíèè ïåðèîäà êîëåáàíèé ñ ïîìîùüþ
ëþáîé k-é êîìáèíàöèè ìîæåò áûòü îöåíåíà ïî ôîðìóëå
� �
�
�
( )
,
1
2 1
k
k
(11)
÷òî ïîäòâåðæäåíî êàê àíàëèçîì êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì âòîðîãî ïîðÿäêà, òàê
è ñèñòåì ñ âûñîêîé äîáðîòíîñòüþ è äëèòåëüíûìè ïåðåõîäíûìè ïðîöåññàìè,
êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âûñîêîãî ïî-
ðÿäêà.
Äëÿ ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè â (10) îñóùåñòâèì ïðåäåëü-
íûé ïåðåõîä, óñòðåìèâ k ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïîëó÷àåì ðàçíîñòíóþ ñõåìó (12), äëÿ
êîòîðîé ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïîãðåøíîñòü äèñêðåòè-
çàöèè îòñóòñòâóåò:
x x
h f f
f f
h f fn n
n n
n n
n n�
�
�
�� �
� � �
� �
� � � �1
1
1
1
2
3
1
3( )
( ).
(12)
Âûâîä îá îòñóòñòâèè ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû (12),
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé ìåòîäà òðàïåöèé (ÌÌÒ), ñëåäóåò èç ôîðìóëû
(11), åñëè â íåé óñòðåìèòü k ê áåñêîíå÷íîñòè. Îòìåòèì, ÷òî ÌÌÒ ïî ïîñòðîåíèþ
äàåò ãàðàíòèðîâàííîå îãðàíè÷åíèå íà âåëè÷èíó ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè, êî-
òîðàÿ îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé øàãà äèñêðåòèçàöèè. Äëÿ ýòîãî ìåòîäà ñëåäóåò òàê-
æå îæèäàòü ðàñøèðåíèÿ îáëàñòè ñõîäèìîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì òðàïåöèé,
ïîñêîëüêó âåëè÷èíà ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè íà êàæäîì øàãå îãðàíè÷åíà
ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ â ñîñåäíèõ òî÷êàõ äèñêðåòèçàöèè.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïî îöåíêå ïîãðåøíîñòè äèñêðåòèçàöèè äëÿ ïîëó-
÷åííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì (6)–(10) è (12) ïîäòâåðæäåíû ïðè ìîäåëèðîâàíèè óñòà-
íîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ â ãåíåðàòîðå Âàí-äåð-Ïîëÿ [3], â ìîäåëü êîòîðîãî ââåäåíî
êóáè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü äëÿ çàòÿãèâàíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Êàê ñâèäå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 119
òåëüñòâóþò ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïîãðåøíîñòü â îïðåäåëå-
íèè ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè îòñóòñòâóåò, à ïîãðåøíîñòü
âû÷èñëåíèÿ ïåðèîäà êîëåáàíèé âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíè-
åì (11) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà k.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ïðè àíàëèçå êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì, â êîòîðûõ îòñóòñòâóþò ïîòåðè ýíåðãèè,
èññëåäîâàíèè ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ ñ âûñîêîé äîáðîòíîñòüþ, ðàñ÷åòå
ñèñòåì ñ äëèòåëüíûìè ïåðåõîäíûìè ïðîöåññàìè, ïîèñêå ïåðèîäè÷åñêèõ ðåæè-
ìîâ â ñèñòåìàõ ñî ñëîæíîé äèíàìèêîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì èñ-
ïîëüçîâàíèå ðàçíîñòíîé ôîðìóëû (12), êîòîðàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðî-
ãî ïîðÿäêà ìàëîñòè îáåñïå÷èâàåò îòñóòñòâèå ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèé ïðè
îïðåäåëåíèè êàê àìïëèòóäû, òàê è ïåðèîäà êîëåáàíèé.
Ïîëó÷åííûå êîìáèíàöèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (10) ïðè ïðîèçâîëüíîì k è
êîìáèíàöèÿ (12) îáëàäàþò ñâîéñòâîì À-óñòîé÷èâîñòè.
Èñïîëüçîâàíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû (12) ïðè ïîñòðîåíèè äèñêðåòíûõ ìîäåëåé
â ïðîãðàììàõ êîìïüþòåðíîãî àíàëèçà ðàäèîýëåêòðîííûõ ñèñòåì ïîâûñèò ýôôåê-
òèâíîñòü è íàäåæíîñòü èõ ðàáîòû.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ä è í à ì è ê à îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé / À.Í. Øàðêîâñêèé, Ñ.Ô. Êîëÿäà, À.Ã. Ñèâàê,
Â.Â. Ôåäîðåíêî. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1989. — 216 ñ.
2. Ç à ÿ ö ü Â . Ì . Ïîñòðîåíèå è àíàëèç ìîäåëè äèñêðåòíîé êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû // Êèáåðíå-
òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2000. — ¹ 4. — Ñ. 161–165.
3. Ç à ÿ ö ü  . Ì . Äèñêðåòí³ ìîäåë³ êîëèâíèõ ñèñòåì äëÿ àíàë³çó ¿õ äèíàì³êè. — Ëüâ³â: Âèä-âî
ÓÀÄ, 2011. — 286 ñ.
4. Ø ó ñ ò å ð Ã . Äåòåðìèíèðîâàííûé õàîñ: Ââåäåíèå: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ìèð, 1988. — 240 ñ.
5. Z a y a t s V . Chaos searching algorithm for second order oscillatory system // Proc. Intern. Conf.
“TCSET–2002”. — Lviv–Slavsk. — 2002. — P. 97, 98.
6. À í ä ð î í î â À . À . , Â è ò À . À . , Õ à é ê è í Ñ . Å . Òåîðèÿ êîëåáàíèé. — Ì.: Íàóêà, 1981.
— 400 ñ.
7. Á ó ò å í è í Í . Â . , Í å é ì à ð ê . È . , Ô ó ô à å â Í . À . Ââåäåíèå â òåîðèþ íåëèíåéíûõ êîëå-
áàíèé. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 354 ñ.
8.  à í - ä å ð - Ï î ë ü . Íåëèíåéíàÿ òåîðèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. — Ì.: Ñâÿçü, 1935. — 186 ñ.
9. × ó à Ë . Î . , Ï å í - Ì è í Ë è í . Ìàøèííûé àíàëèç ýëåêòðîííûõ ñõåì (àëãîðèòìû è âû÷èñ-
ëèòåëüíûå ìåòîäû). — Ì.: Ýíåðãèÿ, 1980. — 640 ñ.
10. Ç à ÿ ö ü  . Ì . Óñêîðåííûé ïîèñê óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ â âûñîêî÷àñòîòíûõ àâòîãåíåðà-
òîðàõ ñ äëèòåëüíûìè ïåðåõîäíûìè ïðîöåññàìè // Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. — 1993. —
¹ 3. — Ñ. 26–32.
11. Ç à ÿ ö ü  . Ì . Íîâà ð³çíèöåâà ñõåìà äëÿ àíàë³çó êîëèâíèõ ñèñòåì ç òðèâàëèì ïåðåõ³äíèìè
ïðîöåñàìè // Òåõí³÷íà åëåêòðîäèíàì³êà. — 2008. — ×. 8. — Ñ. 3–6.
Ïîñòóïèëà 16.03.2012
120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86220 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T13:07:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заяць, В.М. 2015-09-09T18:05:32Z 2015-09-09T18:05:32Z 2013 Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации / В.М. Заяць // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 115-120. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86220 621.372 Побудовано клас комбінаційних числових методів, для яких похибка дискретизації зменшується зі зростанням порядку комбінації. Отримана комбінація, для якої з точністю до членів другого порядку малості похибка дискретизації відсутня. Наведені аналітичні оцінки похибки дискретизації апробовані при аналізі консервативних систем без втрат, кварцових генераторів та високодобротних систем з тривалими перехідними процесами. A class of numerical combination methods is developed where the discretization error decreases as the order of combination increases. A combination is obtained for which the discretization error is absent up to the second order of smallness. The analytical error estimates are tested in the analysis of conservative systems without losses, quartz oscillators, and high-Q systems with long transients. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации Комбінаційні числові методи з мінімальною похибкою дискретизації Combination numerical methods with minimum discretization error Article published earlier |
| spellingShingle | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации Заяць, В.М. Системный анализ |
| title | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации |
| title_alt | Комбінаційні числові методи з мінімальною похибкою дискретизації Combination numerical methods with minimum discretization error |
| title_full | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации |
| title_fullStr | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации |
| title_full_unstemmed | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации |
| title_short | Комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации |
| title_sort | комбинационные численные методы с минимальной погрешностью дискретизации |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86220 |
| work_keys_str_mv | AT zaâcʹvm kombinacionnyečislennyemetodysminimalʹnoipogrešnostʹûdiskretizacii AT zaâcʹvm kombínacíiníčislovímetodizmínímalʹnoûpohibkoûdiskretizacíí AT zaâcʹvm combinationnumericalmethodswithminimumdiscretizationerror |