Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия
Розглянуто умови конзистентності і асимптотичної нормальності оцінки максимальної правдоподібності для марковських послідовностей з гіббсовським розподілом. Сформульовано і доведено теореми, які дозволяють апроксимувати критеріальну функцію марковського процесу з єдиною точкою максимуму її емпірично...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86227 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия / А.С. Самосёнок // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 178-187. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859938121158754304 |
|---|---|
| author | Самосёнок, А.С. |
| author_facet | Самосёнок, А.С. |
| citation_txt | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия / А.С. Самосёнок // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 178-187. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто умови конзистентності і асимптотичної нормальності оцінки максимальної правдоподібності для марковських послідовностей з гіббсовським розподілом. Сформульовано і доведено теореми, які дозволяють апроксимувати критеріальну функцію марковського процесу з єдиною точкою максимуму її емпіричною оцінкою. Розглянуті теореми є ефективним інструментом для дослідження збіжності оцінок невідомих параметрів до їх істинних значень.
The paper examines the properties of consistency and asymptotic normality of maximum likelihood estimate for Markov sequences with Gibbs distribution. Theorems that allow approximating the criterion function of the Markov process with a single point of minimum by its empirical estimate are formulated and proved. The results can be applied to analyze the convergence of unknown parameters to their true values.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:10:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
À.Ñ. ÑÀÌÎѨÍÎÊ
ÓÄÊ 519.21 ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÖÅÍÎÊ
ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÃÈÁÁÑÎÂÑÊÎÃÎ
ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß, ÏÎËÓ×ÅÍÍÛÕ ÌÅÒÎÄÎÌ
ÌÀÊÑÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÐÀÂÄÎÏÎÄÎÁÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ãèááñîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäî-
áèÿ, ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïîëÿ, ñòîõàñòè÷åñêèå ïðîöåññû, îöåíêà ïàðàìåòðîâ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêóþ ìîäåëü, â êîòîðîé ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ðàñ-
ïðåäåëåíèé ôîðìèðóåò ìàðêîâñêîå ïîëå ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì, çàâèñÿùåå îò
íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà v (v ��); îí ìîæåò áûòü êàê îäíîìåðíûì, òàê è ìíî-
ãîìåðíûì. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ïîëÿ s S� ñ íåêîòîðîé
âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç ñâîèõ ñîñòîÿíèé xs, ïðèíàäëåæà-
ùèõ íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó Õ . Ìàðêîâîñòü â äàííîì ñëó÷àå îçíà÷àåò, ÷òî ýòà
âåëè÷èíà çàâèñèò ëèøü îò ñîñòîÿíèé ýëåìåíòîâ ïîëÿ, ïðèíàäëåæàùèõ îêðåñò-
íîñòè �s âåðøèíû s. Êàæäîé ïàðå ñîñåäíèõ ýëåìåíòîâ ïîëÿ ñîïîñòàâëÿåòñÿ
ôóíêöèÿ H x v( , ) — åå ïîòåíöèàë, çàâèñÿùèé îò çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ðåà-
ëèçàöèåé ïîëÿ x íà ýòèõ ýëåìåíòàõ [1]. Ñóììó ïîòåíöèàëîâ âñåõ ïàð, â êîòî-
ðûå âõîäèò ðàññìàòðèâàåìûé ýëåìåíò s , íàçîâåì ýíåðãåòè÷åñêîé ôóíêöèåé
U x vs ( , ) ïî îêðåñòíîñòè ýëåìåíòà s:
U x v H x vs i
i
m
( , ) ( , )�
�
�
1
.
Îáùèé âèä ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè íàáëþäåíèÿ êîíêðåòíîãî ñîñòîÿíèÿ
èçâåñòåí ñ òî÷íîñòüþ äî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà v0 �� è èìååò ôîðìó
ãèááñîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
� s sx v Z v U x v( , ) ( ) exp ( ( , ))� �1 ,
ãäå Z v( ) — íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü, ðàâíûé ñóììå âñåõ ïîòåíöèàëîâ ñèñòåìû.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé òàêîé ñèñòåìû ëîêàëüíî íåçàâèñèìà â ñëåäó-
þùåì ñìûñëå:
� �( | ; ) ( | ; )\x x v x x vs S s
s T
s s
s T�
�
�
� �� ,
ãäå Ò — íåêîòîðîå êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà âåðøèí S; xs — ñîñòî-
ÿíèå âåðøèíû s .
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé x xs s
n1, ,� ,
x Xs
i � , i n�1 2, , ,� , çà ñîñòîÿíèåì íåêîòîðîãî ýëåìåíòà s ìàðêîâñêîãî ïîëÿ. Çàäà-
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
À.Ñ. Ñàìîñ¸íîê, 2013
÷à ñîñòîèò â îöåíèâàíèè çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà v0 èëè íàõîæäåíèè
íåêîòîðîé íåèçâåñòíîé ôóíêöèè îò ýòîãî ïàðàìåòðà F v( )0 íà îñíîâàíèè ðåçóëü-
òàòîâ íàáëþäåíèé x X� . ×àñòî ââèäó âàæíîñòè òàêîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Ïîñêîëüêó íà ïðàêòèêå íåðåäêî åãî âèä íåèçâåñòåí, ìîæ-
íî àïïðîêñèìèðîâàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè, ïîëó-
÷åííûìè íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé.
 äàííîé ñòàòüå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà èñ-
ïîëüçóåòñÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ è èññëåäóþòñÿ óñëîâèÿ ñõîäè-
ìîñòè òàêèõ îöåíîê ê èñòèííûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà.
Òàê êàê äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü íàáëþäåíèÿ è ïðîèçâîäèòü ðàñ÷åòû îòíî-
ñèòåëüíî íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ýëåìåíòà ïîëÿ, à âëèÿíèå åãî «ñîñåäåé»
îãðàíè÷èâàåòñÿ ôóíêöèåé U x vs ( , ), äëÿ óäîáñòâà îïóñòèì íèæíèé èíäåêñ ïðè àð-
ãóìåíòå x, ïîäðàçóìåâàÿ ïîä x i ñîñòîÿíèå ýëåìåíòà ïîëÿ s â ³-ì íàáëþäåíèè.
Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
L x v x v x v x vn
n( , ) ( ; ) ( ; ) ( ; )�
� � �1 2
� .
Ïîñêîëüêó ñîãëàñíî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàáëþäàåìûå
ðåçóëüòàòû ñîîòâåòñòâóþò ïàðàìåòðó, ïðè êîòîðîì âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ ýòèõ
äàííûõ ìàêñèìàëüíà, îöåíêîé îïòèìàëüíîãî ïàðàìåòðà v0 áóäåò ðåøåíèå çàäà÷è
ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
v L x vn n� arg max ( , ).
Òàê êàê ôóíêöèÿ ln ( , )L x vn ïðè ôèêñèðîâàííûõ x äîñòèãàåò ìàêñèìóìà
â òîé æå òî÷êå, ÷òî è L x v( , ), â äàëüíåéøåì ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùóþ
ôóíêöèþ:
G x x v L v x v x vn
n
n
n( , , , ) ln ( , ) ln ( ( ; ) ( ; )) ln (1 1
� ��
�
�� � � x vi
i
n
; )
�
�
1
.
Îáîçíà÷èì
f x v U x v Z vi i( , ) ( ; ) ln ( )� �
è àïïðîêñèìèðóåì íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ F v E f x v( ) ( ( , ))� ñ òî÷êîé ìàêñèìó-
ìà v0 ôóíêöèåé F x x v
n
f x vn
n i
i
n
( , ..., ; ) ( , )1
1
1
�
�
� ñ òî÷êîé ìàêñèìóìà vn .
Ïðè èññëåäîâàíèè ñîñòîÿòåëüíîñòè òàêîé îöåíêè ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ:
êîíå÷íîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî çíà÷åíèé ìàðêîâñêîãî ïîëÿ; ïðîèçâîëüíîå ìíî-
æåñòâî ñîñòîÿíèé ìàðêîâñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ìíîæåñòâî ïàðàìåòðîâ �
â îáîèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ïîäìíîæåñòâîì R .
ÑÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÑÒÜ ÎÖÅÍÊÈ ÌÀÊÑÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÐÀÂÄÎÏÎÄÎÁÈß
 ÑËÓ×ÀÅ ÊÎÍÅ×ÍÎÃÎ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÌÀÐÊÎÂÑÊÎÃÎ ÏÎËß
Ïðåäâàðèòåëüíî ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíîê ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Òåîðåìà 1 [2]. Ïóñòü ( , , )� I P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, Ê — êîìïàêòíîå
ïîäìíîæåñòâî íåêîòîðîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ñ íîðìîé | | | |
; { }I n n N, � —
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü �-àëãåáð, I In � , I In n1 2
� , n n1 2
. Ïóñòü òàêæå {Q sn ( ) �
� � � �Q s w s w K n Nn ( , ):( , ) ,� } — ñåìåéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, óäîâëåò-
âîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ n w, ôóíêöèÿ Q s wn ( , ), s K� , íåïðåðûâíà;
2) äëÿ ëþáûõ n s, ôóíêöèÿ Q s wn ( , ), w��, I n -èçìåðèìà;
3) äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà s K0 � è ëþáîãî s K� èìååì Q s w s sn ( , ) ( ; )� � 0 ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 179
n � �, ïî âåðîÿòíîñòè, ãäå �( ; )s s0 , s K� , — äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâ-
íàÿ íà Ê è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ � �( ; ) ( ; )s s s s0 0 0
, s s� 0 ;
4) ñóùåñòâóþò � 0 0� è ôóíêöèÿ c( ):� � � 0, c( )� � 0, � � 0, òàêèå, ÷òî ïðè
âñåõ � �s K è � � �:0 0
èìååì
lim | ( ) ( )| ( )
|| ||n s s
n nP Q s Q s c
�� � �
� �
�{ sup }
�
� 1 .
Òîãäà åñëè s Q sn
s K
n�
�
arg max ( ), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }s nn , � 1 ñõîäèòñÿ ïî
âåðîÿòíîñòè ê s0 : äëÿ ëþáîãî �� �
lim {| | | | }
n
nP s s
��
� � �0 0� ,
à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }Q s nn n( ), � 1 ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê �( ; )s s0 0 .
Òåîðåìà 2 [1]. Ïóñòü { }� i i N, � — îäíîðîäíàÿ öåïü Ìàðêîâà ñ ïðèìèòèâ-
íûì ìàðêîâñêèì ÿäðîì Ð íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Õ . Òîãäà äëÿ ëþáîãî íà÷àëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ v è ëþáîé ôóíêöèè f X: � R ïî âåðîÿòíîñòè èìååì
1
1n
f E fi
i
n
( ) ( )�
�
� � , n � �,
ãäå — èíâàðèàíòíîå ðàñïðåäåëåíèå ìàðêîâñêîãî ÿäðà Ð.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïî
âåðîÿòíîñòè äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé Õ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì è v0 — åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè F v( ). Òîãäà
äëÿ ëþáîé òî÷êè ìàêñèìóìà vn ôóíêöèè F x x vn
n( , , ; )1
� ñïðàâåäëèâî v vn � 0 ,
n � �, ïî âåðîÿòíîñòè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èñïîëüçóåì òåîðåìó 1; âîçüìåì
Q Fn n� è I n
ix i n� ��{ }, ,1 è ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé 1–4 äëÿ ðàññìàò-
ðèâàåìîãî ñëó÷àÿ.
Óñëîâèÿ 1 è 2 î÷åâèäíû â ñèëó âûáîðà ôóíêöèè Fn .
Ñîãëàñíî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ìàðêîâñêèõ öåïåé
P
n
f x v E f v ni
i
n1
1
1
( ; ) ( ( ; )) ,
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
,
äëÿ êàæäîãî v �� è ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî
, îòêóäà ñëåäóåò óñëîâèå 3.
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó âûïîëíèìîñòè óñëîâèÿ 4. Îáîçíà÷èì
� � �
�
�
( , ) | ( , ) ( , )| ,
, :
|| ||
x f x u f x v
u v
u v
� � �
�
�
sup 0, x X� .
Äëÿ âñåõ n u, , u1 ��, � � 0
sup
|| ||
| ( ) ( )| ( , )
u u
n n
i
i
n
F u F u
n
x
�
�
� � �
1
1
1
1
�
� � . (1)
Ñîãëàñíî òåîðåìå 2
1
1n
x E ni
i
n
� � � � ( , ) ( ( , )),�
� �
�
� , ïî âåðîÿòíîñòè.
Îáîçíà÷èâ c E( ) ( , )� � ��
2 { }, â ñèëó òîãî, ÷òî ïðè ëþáîì x X� èìååì
� �( , )x � 0 ïðè � � 0, íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà (1) çàïèøåì
P F u F u c
n u u
n nlim | ( ) ( )| ( )
|| ||�� �
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
�sup
1
1
�
� 1, ãäå c( )� � 0 ïðè � � 0.
180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 4 òåîðåìû 1. Ñëåäîâàòåëüíî, èç òåîðå-
ìû 1 âûòåêàåò òåîðåìà 3. $
ÑÈËÜÍÀß ÑÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÑÒÜ ÎÖÅÍÊÈ ÌÀÊÑÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÏÐÀÂÄÎÏÎÄÎÁÈß
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñèëüíîé ñîñòîÿòåëüíîñòè ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ðàíåå
äîêàçàííûå ôàêòû è óñëîâèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Ïóñòü ïðîøëîå ïðîöåññà Õ t îïðåäåëÿåòñÿ �-àëãåáðàìè âèäà I ��
� , à áóäó-
ùåå — âèäà I �
� .
Îïðåäåëåíèå 1. Ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ â óçêîì ñìûñëå Õ t íàçûâàåòñÿ
óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ, åñëè
sup
A B
P AB P A P B
ñ
� �
%
��
�
� � �
I I0 1
,
| ( ) ( ) ( )| ( )
�
�
� �
, �� 0, �� 0, c� 0 .
Ôóíêöèþ
�( ) íàçîâåì êîýôôèöèåíòîì ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 2. Åñëè íà �-àëãåáðå I X ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ìåðà m ñ m( )I � 0,
öåëîå ÷èñëî v �1 è ÷èñëî �� 0 òàêèå, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà p Av( ) ( , )� çà v øà-
ãîâ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ p Av( ) ( , )� �� �1 ïðè m A( ) � �, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
âûïîëíÿåòñÿ ãèïîòåçà Äåáëèíà.
Åñëè âûïîëíÿåòñÿ ãèïîòåçà Äåáëèíà è ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ýðãîäè÷åñ-
êèé êëàññ, ïðè÷åì îí íå ñîäåðæèò ïîäêëàññîâ, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ðàñïðåäåëå-
íèå p A( ) íà I X , ÷òî
sup
x A
n np x A p A c
,
( )| ( , ) ( )|� � � , (2)
ãäå c� 0, 0 1
� — êîíñòàíòû [3].
Âåðíåìñÿ ê ðàññìàòðèâàåìîìó ñëó÷àþ. Ñîãëàñíî [3], åñëè ñïðàâåäëèâî ñîîòíî-
øåíèå (2) è íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå �0 ( , )x v ñòàöèîíàðíî, ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ
Õ t óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì
�( )n c n� 2 .
Òåîðåìà 4 [4]. Ïóñòü ( , , )� I P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, Ê — êîì-
ïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî íåêîòîðîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ñ íîðìîé | | | |
;
{ }I n n N, � — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
-àëãåáð, I In � , I In n1 2
� , n n1 2
. Ïóñòü
òàêæå { }Q s Q s w s w K n Nn n( ) ( , ):( , ) ,� � � �� — ñåìåéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíê-
öèé, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ n w, ôóíêöèÿ Q s wn ( , ), s K� , íåïðåðûâíà;
2) äëÿ ëþáûõ n s, ôóíêöèÿ Q s wn ( , ), w��, I n -èçìåðèìà;
3) äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà s K0 � äëÿ ëþáîãî s K� èìååì Q s w s sn ( , ) ( ; )� � 0 ,
n � �, c âåðîÿòíîñòüþ 1, ãäå �( ; )s s0 , s K� , — äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðå-
ðûâíàÿ íà Ê è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ � �( ; ) ( ; )s s s s0 0 0
, s s� 0 ;
4) ñóùåñòâóþò � 0 0� è ôóíêöèÿ c( )� , � � 0, c( )� � 0, � � 0, òàêèå, ÷òî ïðè
âñåõ ��s K è � � �:0 0
èìååì
P Q s Q s c
n s s
n nlim | ( ) ( )| ( )
|| ||�� � �
� �
�
�
!
"
#
�sup
�
� 1 .
Äëÿ âñåõ n w, ýëåìåíò s s wn n� ( ) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì Q sn n( ) �
�
�
max ( )
s K
nQ s . Òàêîé ýëåìåíò ìîæíî âûáðàòü I n -èçìåðèìûì ïî w. Òîãäà
P s s nn{ }� � � �0 1, , à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }Q s nn n( ), � 1 ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿò-
íîñòè ê �( ; )s s0 0 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 181
Ïðè íàëè÷èè ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè s sn � 0 òåîðåìó ìîæíî ñôîð-
ìóëèðîâàòü èíà÷å è èìåííî â òàêîì âèäå èñïîëüçîâàòü ïðè äîêàçàòåëüñòâå
àñèìïòîòè÷åñêîé íîðìàëüíîñòè îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ñåìåéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé {Q s Q s wn n( ) ( , ) :�
( , ) ,s w K n N� � �� } óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) äëÿ ôèêñèðîâàííûõ n w, ôóíêöèÿ Q s wn ( , ), s K� , íåïðåðûâíà;
2) äëÿ ëþáûõ n s, ôóíêöèÿ Q s wn ( , ), w��, I n -èçìåðèìà;
3) ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò s K0� , ÷òî
P s s
n
n{ lim | | | | }
��
� � �0 0 1 ;
4) äëÿ ëþáîãî s K� èìååì Q s sn ( ) ( )�� ïðè n �� ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, ãäå
�( )s — äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà K .
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { ( ), }Q s nn n �1 ñõîäèòñÿ ê �( )s0 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1:
P Q s s
n
n n{ lim ( ) ( )}
��
� �� 0 1 .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñèëüíîé ñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäî-
ïîäîáèÿ ïîêàæåì, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 5. Åñëè ôóíêöèÿ F v( ) èìååò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ìàêñèìóìà v0 ,
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x n óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Äåáëèíà ïðè �
�
n c
n
�
%1
è
E f x v
v
{sup }
�
�
�
( , ) , òî äëÿ ëþáîé òî÷êè ìàêñèìóìà vn ôóíêöèè F x x vn
n( , ..., ; )1
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå P v v nn{ }� � � �0 1, .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèì òåîðåìó 4; âîçüìåì Q Fn n� , I n
nx i n� ��{ }, ,1
è ïðîâåðèì âûïîëíèìîñòü óñëîâèé 1–4 äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ. Î÷åâèäíî,
÷òî óñëîâèÿ 1 è 2 âûïîëíåíû â ñèëó âûáîðà ôóíêöèè Fn .
Ðàññìîòðèì óñëîâèå 3 òåîðåìû 4. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x n óäîâëåòâî-
ðÿåò óñëîâèþ ðàâíîìåðíîãî ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì — ïîêà-
çàòåëüíîé ôóíêöèåé, âûáåðåì � òàêèì îáðàçîì, ÷òî
E f x v f x v E f x v Ef x v
c
i j
i j i j( ( , ) ( , )) ( , ) ( , )
| |
� �
% � % �1 1 �
, � �� 0 .
Îáîçíà÷èì � n n nv F v EF v( ) ( ) ( )� � è îöåíèì E vn� 2 ( ):
E v E
n
f x v E
n
f x vn
i
i
n
i
i
n
� 2
1 1
1 1
( ) ( , ) ( , )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
!
"
�
#�
�
2
� � �
��
�E
n
f x v Ef x v f x v Ef x vi i j j
j
n
i
n1
2
11
[ ( , ) ( , )][ ( , ) ( , )]� ��
�
�
�
�
!
"
�
#�
�
��
1
2
11n
Ey yi j
j
n
i
n
,
ãäå y f x v Ef x vi
i i� �( , ) ( , ).
Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ, èìååì
Ey y
c
i j
i j �
% � % �1 1| | �
, � �� 0 ,
ïîýòîìó
1
12
11
2 1
11n
Ey y
c
n
c
i j
c
n
i j
j
n
i
n
j
n
i
n
��
% �
��
�� ���
% �
�
| | �
.
182 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
Ïóñòü n m� 2 . Òîãäà ñîãëàñíî ëåììå Áîðåëÿ–Êàíòåëëè P
m m
{ lim }
��
� �� 2 0 1 .
Îáîçíà÷èì � � �m
m n m
n m
� �
� � %
sup
2 2
2
1( )
| | . Äëÿ m n m2 21� � %( ) ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:
| | | | | |
( )
� � � �n m
m n m
n m
� % �
� � %
2
2 2
2
1
sup .
Äëÿ � m çàïèøåì
E E
m
Eym
m n m
n m
m n m
( ) | |
( ) ( )
� � �2
1 1
22 2
2
2 2
1
� � �
� � % � � %
sup sup i j
j
n
i
n
y
��
��
&
&
&
&
&
&�
11
� �
% � �
� %
%
� %
%
��1 1 1
2
1
1
1
1 2 2
2
2
2
2
m
E y y c
m m
i j
j m
m
i m
m
| |
( )( )( )
m
c
m2
2
2
2
'
(
)
)
*
+
,
,
� .
Îòñþäà ñîãëàñíî ëåììå Áîðåëÿ–Êàíòåëëè P
m
n{ lim }
��
� �� 0 1. Òîãäà
P
m
n{ lim
��
� �� 0 1} è, ñëåäîâàòåëüíî, P F v E f x v
n
n{ lim }
��
� �( ) ( , ) 1 . À çíà÷èò,
è óñëîâèå 3 òåîðåìû 4 âûïîëíåíî.
Ïåðåéäåì ê óñëîâèþ 4. Îáîçíà÷èì
� � �
�
�
( , ) | ( , ) ( , )| ,
, :
|| ||
x f x u f x v
u v
u v
� � �
�
�
sup 0, x X� .
Äëÿ âñåõ n u, , u1 ��, � � 0 èìååì
sup
|| ||
| ( ) ( )| ( , )
u u
n n
i
i
n
F u F u
n
x
�
�
� � �
1
1
1
1
�
� � . (3)
Ó÷èòûâàÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, ïîëó÷àåì
1
1n
x Ei
i
n
� � � �( , ) ( ( , ))�
�
� , n � �,
ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Îáîçíà÷èâ c E( ) ( , )� � ��
2 { }, â ñèëó òîãî, ÷òî äëÿ ëþáîãî x X� èìååì
� �( , )x � 0 ïðè � � 0, íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà (3) çàïèøåì
P F u F u c
n u u
n nlim sup
�� �
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
�
|| ||
| ( ) ( )| ( )
1
1
�
� 1 , ãäå c( )� � 0 ïðè � � 0.
Òàêèì îáðàçîì, âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 4 òåîðåìû 4. Ñëåäîâàòåëüíî, òåïåðü èç
òåîðåìû 4 âûòåêàåò òåîðåìà 5. $
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÍÎÐÌÀËÜÍÎÑÒÜ
Èññëåäóåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà, ïîëó÷åííàÿ
ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ãèááñîâñêîãî ïîëÿ, ÿâëÿåòñÿ àñèì-
ïòîòè÷åñêè íîðìàëüíîé. Ñôîðìóëèðóåì íåêîòîðûå óòâåðæäåíèÿ è ðàññìîòðèì
íåêîòîðûå óñëîâèÿ, êàñàþùèåñÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ðàçíîñòè v vn � 0
ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå íàáëþäåíèé (n � �).
Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå ñóùåñòâîâàíèå ñîñòîÿòåëüíîé
îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà:
1) ïàðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî � — çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî R l , l � 1;
2) ôóíêöèÿ f x v x v( , ) ln ( ; )� � íåïðåðûâíà ïî v, v ��.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 183
Òåîðåìà 6 [5]. Ïóñòü � i
p�R , i � 1 , — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, E ai{ }� � , D i{ }� �� �2 0. Òîãäà
1
0 2
1n
a N E ai i
i
n
( ) ( , ( ) )� �� � �
�
� { } ïî ðàñïðåäåëåíèþ.
Òåîðåìà 7 [6]. Ïóñòü { }� i i N, � , � i
k�R , — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí òàêàÿ, ÷òî � i ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíå �, { }� i i N, � , � i
l�R , — ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîòîðàÿ
ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê âåëè÷èíå ñ.
Òîãäà åñëè � — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ R Rk l m% � , òî � � �( , )i i ñõîäèòñÿ
ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê � �( , )c ïðè i � �.
Òåîðåìà 8. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) E f x v{ }<( , ) �;
2) v0 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà �;
3) f x vi( , ) äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ â îêðåñòíîñòè Ov0
òî÷êè
v0 äëÿ ëþáîãî x Xi � ;
4) E f x v
v Ov
{ }<max | | ( , )| |
�
- �
0
�
, ãäå
�
- �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f x v
f x v
v j j
l
( , )
( , )
1
, v v j j
l�
�
( )
1
;
5) E x v
v Ov
{ }<max | | ( , )| |
�
�
0
� , ãäå
�( ; )
( , )
,
x v
f x v
v vj k j k
l
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
;
6) det A0 0� , ãäå A E x v0 0� { }�( , ) ;
7) E f x v{ }| | ( , )| |
�
-
�0
2 è det C � 0, ãäå
C E f x v f x v� - - �{ }
� �
( , )( ( , ))0 0 .
Òîãäà n v vn( )� 0 ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê N A C A( , ( ) ( ) )0 0
1
0
1� � ,
n � �.
Ïóñòü òàêæå âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
8) E f x v{ }( ( , ))0
2
�;
9) � 2
0 0
2 0� � �E f x v E f x v{ { } }( ( , ) ( , ) ) .
Òîãäà n F v F vn n( ( ) ( ))� 0 ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê N ( , )0 2� , n � �.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè vn è óñëîâèå 3, ïðèìå-
íèì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ êàæäîé êîìïîíåíòû âåêòîð-ôóíêöèè
�
-( ( ))F vn
â îêðåñòíîñòè òî÷êè v0 :
� �
- �- % � %F v F v B v v o vn n( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 ,
ãäå
184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
� �
- �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� -
� �
�F v
F v
v n
f x vn
n
j j
l
i
n
i( )
( )
( , )
1 1
1
,
B
F v
v v n
f x v
v v
n
j k
j k
l
i
j k
0
2
0
1
2
01
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
( ) ( , )
, i
n
j k
l
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1,
.
Ïîñêîëüêó vn ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèè F vn ( ), çíà÷èò,
� �
- �F x vn n( , ) 0.  òàêîì ñëó÷àå ïðè v vn� ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, òîãäà
�- � � %
�
F v B v v o vn n( ) ( ) ( )0 0 0 .
Òàê êàê ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ
� �
- �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� -
� �
�F v
F v
v n
f x vn
n
j j
l
i
n
i( )
( )
( , )0
0
1 1
0
1
,
çàïèøåì
� - . �
�
�1
0
1
0 0
n
f x v B v vi
i
n
n
�
( , ) ( ) ,
èëè
n v v B
n
f x vn
i
i
n
( ) ( ) ( , )� . � -�
�
�0 0
1
0
1
1 �
. (4)
Ðàññìîòðèì áîëåå äåòàëüíî êàæäûé ìíîæèòåëü ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà.
Çàôèêñèðóåì j k, . Ñîãëàñíî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ 5 äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû B0 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
P
n
f x v
v v
E
f x v
v vn
i
j ki
n
j k
lim
�� �
�
� �
�
�
� �
�
�
� �1
2
0
1
2
0( , ) ( , )
�
!
"
�
#�
�1 ,
èëè
P B A
n
{ lim }
��
� �0 0 1 .
Ïåðåéäåì êî âòîðîìó ìíîæèòåëþ. Ïðèìåíèâ òåîðåìó Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì
ïåðåõîäå, â ñèëó óñëîâèé 3 è 4 ìîæåì çàïèñàòü
� �
- �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� -
�
E f x v
E f x v
v
E f x v
j j
l
{ }
{ }
{ }( , )
( , )
( , )
1
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî v0 — îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà,
ñïðàâåäëèâî E f x v{ }
�
- �( , )0 0, à çíà÷èò, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
� - � � - � -
� �
�1 1
0
1
0 0
1n
f x v
n
f x v E f x v
i
n
v
i
n� � �
( , ) ( ( , ) ( , ) ){ }� .
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ñîãëàñíî òåîðåìå 6 è óñëîâèþ 7 àñèìïòîòè÷åñ-
êè íîðìàëüíà ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé
E f x v f x v{ }
� �
- - �( , )( ( , ))0 0 , ò.e.
� - �
�
�1
00
1n
f x v N C
i
n �
( , ) ( , ), n � � .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 185
Íà îñíîâàíèè èçëîæåííîãî, ðàâåíñòâà (4) è òåîðåìû 7 ìîæíî ñäåëàòü âûâîä
î ñïðàâåäëèâîñòè óòâåðæäåíèÿ â ïåðâîé ÷àñòè òåîðåìû, à èìåííî
n v v N A C An
D
( ) ( , ( ) ( ) )� � � �
0 0
1
0
10 .
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû. Ïðèìåíèì ôîðìóëó Òåé-
ëîðà íåïîñðåäñòâåííî ê ôóíêöèè F x vn n( , ) â îêðåñòíîñòè òî÷êè v0 :
F x v F x v F x v v vn n n n n( , ) ( , ) ( ( , )) ( )� � - � � %0 0 0
�
% � �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0
2
1
0( )
( , )
( )
,
v v
F x v
v v
v vn
n
j k
j k
l
n ,
ãäå v v v vn� % �0 0�( ) , 0 1
� .
Îáîçíà÷èì
B
F x v
v v n
f x v
v v
v
n
j k
j k
l
i
j k
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
2
1
2
1( , ) ( , )
, i
n
j k
l
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1,
è âûðàçèì F x vn n( , ) â âèäå
F x v
n
f x v v v v vn n
i
i
n
n n( , ) ( , ) ( ) (� -
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� % �
�
�1 1
2
0
1
0
�
0 0 0
1
1
� � %
�
�) ( ) ( , )B v v
n
f x vv n
i
i
n
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
n F x v F v
n
f x v v vn n
i
i
n
n( ( , ) ( )) ( , ) (� � -
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0 0
1
0
1 �
) %
% � � � % �
�
�n
v v B v v
n
f x v E f x vn v n
i
i
n
2
1
0 0 0 0
1
( ) ( ) ( ( , ) ( , ) ){ } .
Îöåíèì êàæäîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà.
Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü vn ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ê v0 , ìîæåì ãîâî-
ðèòü î ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ê íóëþ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî:
1
00
1
0
n
f x v v vi
i
n
n
�
-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� ( , ) ( ) , n � � .
Îáîçíà÷èì
� n
jk
i
j ki
n
v
n
f x v
v v
( )
( , )
�
�
� ��
�1
2
1
è ïðèìåíèì ñëåäñòâèå 1 òåîðåìû 4 ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé Qn �
� � n
jk v( ). Â ñèëó òàêîãî âûáîðà ôóíêöèè Qn ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü óñëî-
âèÿ 1 (íåïðåðûâíîñòè) è óñëîâèÿ 2 (èçìåðèìîñòè) äëÿ ôóíêöèè � n
jk v( ).
Óñëîâèå 3 âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê vn — ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà, ò.å.
P v v
n
n{ lim | | | | }
��
� � �0 0 1 .
Çàôèêñèðóåì j k, . Ñîãëàñíî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ 5 òåîðå-
ìû 8 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
P v v
n
n
jk jk{ lim ( ) ( )}
��
� �� � 1 ,
186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2
ãäå � jk v( ) — ýëåìåíòû ìàòðèöû A E x v vjk
j k
l� � �{ ( , )} ( ( ))
,
� �
1
, ÷òî, ïî ñóòè,
è ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì 4 ñëåäñòâèÿ 1 .
Òàêèì îáðàçîì, âñå óñëîâèÿ ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 4 ñïðàâåäëèâû. Çíà÷èò,
P v v nn
jk jk{ ( ) ( ), }� �� � � �0 1 ,
à ñëåäîâàòåëüíî,
P B A n
n
v{ lim , }
��
� � � �0 1 .
 òàêîì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ê v0 ,
n
v v B v vn u n
2
00 0( ) ( )� � � � , n � � .
 ðåçóëüòàòå óñëîâèÿ 8 è 9 ïîçâîëÿþò çàïèñàòü
1
00 0
2
1n
f x v E f x v Ni D
i
n
( ( , ) { ( , )}) ( , )� �
�
� � .
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðèìåíèì òåîðåìó 2 è òàêèì îáðàçîì ïîëó-
÷èì ñïðàâåäëèâîñòü âòîðîé ÷àñòè òåîðåìû 3.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. W i n k l e r G . Analysis, random fields and dynamic Monte Carlo methods. — Berlin: Springer, 1995. —
325 p.
2. Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . Òåîðèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Êè¿â: Âèùà øê., 1982. —
80 c.
3. È á ð à ã è ì î â È . À . , Ë è í í è ê Þ .  . Íåçàâèñèìûå è ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûå âåëè÷èíû. — Ì.:
Íàóêà, 1965. — 524 ñ.
4. K n o p o v P . S . , K a s i t s k a y a E . J . Properties of empirical estimates in stochastic optimization and
identification problems // Ann. Oper. Res. — 1995. — 56. — P. 225–239.
5. Ê î ð î ë þ ê  . Ñ . , Ï î ð ò å í ê î Í . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . , Ò ó ð á è í À . Ô . Ñïðàâî÷íèê ïî
òåîðèè âåðîÿòíîñòè è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. — Ì.: Íàóêà, 1985. — 640 c.
6. S c h m e t t e r e r L . Introduction to mathematical statistics. — Berlin: Springer-Verlag, 1974. — 502 p.
Ïîñòóïèëà 04.04.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 2 187
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86227 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:10:08Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самосёнок, А.С. 2015-09-09T18:41:20Z 2015-09-09T18:41:20Z 2013 Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия / А.С. Самосёнок // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 2. — С. 178-187. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86227 519.21 Розглянуто умови конзистентності і асимптотичної нормальності оцінки максимальної правдоподібності для марковських послідовностей з гіббсовським розподілом. Сформульовано і доведено теореми, які дозволяють апроксимувати критеріальну функцію марковського процесу з єдиною точкою максимуму її емпіричною оцінкою. Розглянуті теореми є ефективним інструментом для дослідження збіжності оцінок невідомих параметрів до їх істинних значень. The paper examines the properties of consistency and asymptotic normality of maximum likelihood estimate for Markov sequences with Gibbs distribution. Theorems that allow approximating the criterion function of the Markov process with a single point of minimum by its empirical estimate are formulated and proved. The results can be applied to analyze the convergence of unknown parameters to their true values. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия Дослідження емпіричних оцінок параметрів гіббсовського розподілу, отриманих методом максимальної правдоподібності Analyzing the estimates of empirical parameters of a Gibbs distribution obtained by the maximum likelihood method Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия Самосёнок, А.С. Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа |
| title | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия |
| title_alt | Дослідження емпіричних оцінок параметрів гіббсовського розподілу, отриманих методом максимальної правдоподібності Analyzing the estimates of empirical parameters of a Gibbs distribution obtained by the maximum likelihood method |
| title_full | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия |
| title_fullStr | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия |
| title_full_unstemmed | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия |
| title_short | Исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия |
| title_sort | исследование эмпирических оценок параметров гиббсовского распределения, полученных методом максимального правдоподобия |
| topic | Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа |
| topic_facet | Новые средства кибернетики, информатики, вычислительной техники и системного анализа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86227 |
| work_keys_str_mv | AT samosenokas issledovanieémpiričeskihocenokparametrovgibbsovskogoraspredeleniâpolučennyhmetodommaksimalʹnogopravdopodobiâ AT samosenokas doslídžennâempíričnihocínokparametrívgíbbsovsʹkogorozpodíluotrimanihmetodommaksimalʹnoípravdopodíbností AT samosenokas analyzingtheestimatesofempiricalparametersofagibbsdistributionobtainedbythemaximumlikelihoodmethod |