Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла
Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу в компартментній системі з розподіленими запізненнями на основі нерівності Хейла–Лунелла та його застосування. Практичне значення даної роботи проілюстровано за допомогою фармакокінетичної моделі з анестезіології. The paper presents a method...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86231 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859820584871919616 |
|---|---|
| author | Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Гандзюк, Н.М. |
| author_facet | Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Гандзюк, Н.М. |
| citation_txt | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу в компартментній системі з розподіленими запізненнями на основі нерівності Хейла–Лунелла та його застосування. Практичне значення даної роботи проілюстровано за допомогою фармакокінетичної моделі з анестезіології.
The paper presents a method for constructing exponential estimates in a compartment system with distributed delays based on the Hale–Lunell inequality and its application. The practical significance of this study is illustrated by a pharmacokinetic model from anesthesiology.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:24:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.929
Â.Ï. ÌÀÐÖÅÍÞÊ, È.Å. ÀÍÄÐÓÙÀÊ, Í.Ì. ÃÀÍÄÇÞÊ
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÎÖÅÍÊÈ
 ÊÎÌÏÀÐÒÌÅÍÒÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ
ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈßÌÈ: ÏÎÄÕÎÄ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ
ÕÅÉËÀ–ËÓÍÅËËÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîìïàðòìåíòíàÿ ñèñòåìà, çàïàçäûâàíèå, óñòîé÷èâîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Çàäà÷è ïîïóëÿöèîííîé äèíàìèêè, ôàðìàêîêèíåòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé ýïèäåìè-
îëîãèè è äðóãèå çàäà÷è îïèñûâàþòñÿ êîìïàðòìåíòíûìè ñèñòåìàìè ñ çàïàçäû-
âàíèåì. Ðåøåíèå òàêèõ óðàâíåíèé äàæå â ëèíåéíîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê ïðè-
áëèæåííûì âû÷èñëÿåìûì ïðîöåäóðàì, ÷òî íå äàåò âîçìîæíîñòè íàéòè â ÿâ-
íîì âèäå ðåøåíèå ñëåäóþùèõ çàäà÷:
— îïðåäåëèòü ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ÷èñëî èíôèöèðîâàííûõ ëèö ìåíüøå
îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ i* (ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýïèäåìèîëîãèÿ);
— îöåíèòü âðåìÿ, êîãäà â îðãàíèçìå ïàöèåíòà îñòàíåòñÿ íå áîëüøå d * åäè-
íèö ëåêàðñòâåííîãî ïðåïàðàòà (ôàðìàêîêèíåòèêà) è äð.
ßâíûå ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâå îöåíîê ýêñïîíåíöè-
àëüíîãî òèïà.
Ïîñòðîåíèþ ýêñïîíåíöèàëüíûõ îöåíîê äëÿ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì ïîñâÿ-
ùåí ðÿä ðàáîò. Òàê, â [1] îöåíêó äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ïîëó÷åíî, èñõîäÿ èç ôîð-
ìóëû Êîøè. Â [2] ñ ýòîé öåëüþ ðàçâèâàåòñÿ ïîäõîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà ñ óñëî-
âèÿìè òèïà Ðàçóìèõèíà. Â [3] îöåíêà íàõîäèòñÿ íà îñíîâå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî
íåðàâåíñòâà äëÿ ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî. Â [4] äëÿ ôóíêöèîíàëà
Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ïîñòðîåíî äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîå íåðàâåíñòâî.
Äëÿ êîìïàðòìåíòíûõ ñèñòåì ïåðñïåêòèâåí ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [5], ãäå ðàç-
ðàáîòàí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ öåëîãî êëàññà ýêñïîíåíöèàëüíûõ îöåíîê íà îñíîâå
íåðàâåíñòâà Õåéëà–Ëóíåëëà.
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû — îïèñàíèå ïðèìåíåíèÿ ïîäõîäà íà îñíîâå íåðà-
âåíñòâà Õåéëà–Ëóíåëëà [5] ê ïîñòðîåíèþ ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêè ðåøåíèÿ
êîìïàðòìåíòíûõ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè çàïàçäûâàíèÿìè.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÎÖÅÍÊÈ
Íåðàâåíñòâî Õåéëà–Ëóíåëëà. Ïóñòü u t( ) è �( )t — äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûå íå-
ïðåðûâíûå ôóíêöèè íà [ , ]a b , �( )t � 0 — èíòåãðèðîâàííàÿ íà [ , ]a b ôóíêöèÿ,
òàêèå, ÷òî
u t t s u s ds a t b
a
t
( ) ( ) ( ) ( ) ,� � � ��� � .
Òîãäà u t t s s e a t b
d
a
t
s
t
( ) ( ) ( ) ( ) ,
( )
� �
�
� ��� � �
� � �
.
Åñëè, �( )t — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî
u t t e a t b
d
a
t
( ) ( ) ,
( )
�
�
� ��
� � �
.
26 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
© Â.Ï. Ìàðöåíþê, È.Å. Àíäðóùàê, Í.Ì. Ãàíäçþê, 2013
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ íåñêîëüêèìè çàïàçäûâàíèÿìè, íàïðèìåð íåîòðèöà-
òåëüíóþ ñèñòåìó
dx
dt
Ax t A x t t
x t t t
di
i
n
i
d
� � � �
� �
�
( ) ( ), ,
( ) ( ), [ max
1
0�
� � , ].0
(1)
Çäåñü x t R n( ) , A R n n � — ñóùåñòâåííî íåîòðèöàòåëüíàÿ ìàòðèöà,
A R i ndi
n n
d �� , ,1 , — íåîòðèöàòåëüíûå ìàòðèöû, � � � �max max ,� � �{ },1 2 � nd
� �( ) , [ , ]maxt t� �0 0 , — ïîêîìïîíåíòíî íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ (èñïîëüçó-
åòñÿ ïîíÿòèå íåîòðèöàòåëüíîñòè, ïðåäëîæåííîå â [6]). Â óêàçàííîé ðàáîòå ïî-
êàçàíî, ÷òî ñèñòåìà (1) íåîòðèöàòåëüíà.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë
V x p x t p A x s dst
T T
di t
i
n
i
d
( ) ( ) ( ) ,� �
��
�
�
0
1
(2)
ãäå p �� 0 — ïîêîìïîíåíòíî ïîëîæèòåëüíûé âåêòîð èç R n
� . Òîãäà
dV x
dt
p Ax t A x tt T
di i
i
nd( )
( )
( ) ( )
1 1
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�
�
� �
( ( ) ( ))p A x t p A x t p A AT
di
T
di i
i
n
T
di
i
nd d
�
1 1 �
�
�
x t( ).
(3)
Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò âåêòîð r �� 0 òàêîé, ÷òî
A A p rT
di
T
i
nd
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
1
0 .
(4)
Òîãäà, ïðîäîëæàÿ (3), èìååì
dV x
dt
r x tt T( )
( )
( )
1
� � . (5)
Äîïóñòèì â äàëüíåéøåì, ÷òî r p�� .
Ó÷èòûâàÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü x t( ), èìååì
dV x
dt
p x t p x t p A x s dst T T T
di t
i
n
i
d( )
( )
( ) ( ) ( )
1
0
1
� � � � �
��
�
�
�
� �
��
p A x s dsT
di t
i
n
i
d
�
0
1
( )
� � � � � �
�� �
�
V x p A x s ds V x p A xt
T
di t
i
n
t
T
di t
i
n
i
d
( ) ( ) ( )
�
0
1 1
d
s ds
�
�
( )
max�
0
. (6)
Óìíîæèâ (6) íà et , ïîëó÷èì
d
dt
V x e p e A x s dst
t T t
di t
i
nd
[ ( ) ] ( )
max
�
��
�
1
0
�
. (7)
Ïðîèíòåãðèðîâàâ (7) íà ïðîìåæóòêå [ , ]0 t , çàïèøåì
V x e V x p e A x s dsdt
t T
t
di
i
nd
( ) ( ) ( ) .
max
� �
� �
��
0
0
0 1
�
�
� � (8)
Èçìåíèâ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîñëåäíåì ñîñòàâëÿþùåì (8), áóäåì
èìåòü
I p e A x s dsd p e A x s dsT
t
di
i
n
T
di
d
� �
� �
��
�
�
�
��
max
( ) ( )
0
0 1
1 1d
i
nt
d
�
� �
�
��
�� �
10 max
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 27
� �
�
� �
��
p e A x s d dsT
s
st
di
i
nd
�
�
�
�
1
1
1 1
1
max
( )
� �
�
� �
��
p e A x s d ds p eT
s
s
di
i
n
T
s
s
d
�
�
�
��
1
1
1
10
1 1
1
max
max
( )
�
�
��
�
�
�
0
1 1
1
t
di
i
n
A x s d ds
d
( )
� � � �
��
�
p e A x s ds p e AT
di
i
n
T
d
d
[ ] ( ) [ ]max
max
max�
�
�
1 11
0
1
1
i
s
t
i
n
e x s ds
d
1
1
0
1
1
( )�
�
. (9)
Ñîâìåùàÿ íåðàâåíñòâà (8) è (9), ïîëó÷àåì
V x e V x p e A x s dst
t T
di
i
nd
( ) ( ) [ ] ( )max
max
� � � �
��
�
0 1
0
1
1
1
�
�
� � �
�
p e A e x s dsT
di
s
t
i
nd
[ ] ( )max�
1 1
1 1
01
. (10)
Èç âèäà ôóíêöèîíàëà (2) è ïðåäïîëîæåíèÿ î íåîòðèöàòåëüíîñòè ñèñòåìû (1)
èìååì
V x p x tt
T( ) ( )� . (11)
Èòàê, èç (10) ñëåäóåò, ÷òî
p x t e V x p e A x s dsT t T
di
i
nd
( ) ( ) [ ] ( )max
max
� � �
� �
�0
1
1 1
0
1
�
�
�
� � �
�
p e A e x s dsT
di
s
t
i
nd
[ ] ( ) .max�
1 1
0
1 1
1
(12)
Âûáåðåì âåêòîð p �� 0 êàê ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A
di
T
i
nd
�
1
, êîòîðûé îò-
âå÷àåò îïðåäåëåííîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ � A
di
T
i
nd
�
�
�
�
�
�
�
�
1
. Òîãäà
p x t e K e A p x s eT t
di
T
i
n
T
t
d
( ) [ ] ( )max� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
1
1
0
s
ds1
1, (13)
ãäå K V x p e A x s dsT
di
T
i
nd
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
( ) [ ] ( )max
ma
0
1
1 11
�
�
�
x
0
� .
Ïðèìåíÿÿ ê (13) íåðàâåíñòâî Õåéëà–Ëóíåëëà, ãäå
u t p x t e t K s e AT t
di
T
i
nd
( ) ( ) , ( ) , ( ) [ ]� � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �� 1
1
�
�, ,a 0 (14)
ïîëó÷àåì p x t e Ke tT t
e A tdi
T
i
nd
( ) , ,
[ ]max
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
1 0 ò.å.
p x t Ke tT
e A tdi
T
i
nd
( ) , .
([ ]max
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1 1
1 0 (15)
Èòàê, èìååì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
28 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Òåîðåìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåîòðèöàòåëüíàÿ ñèñòåìà (1) òàêîâà, ÷òî ñó-
ùåñòâóåò âåêòîð p �� 0 — ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A
di
T
i
nd
�
1
, äëÿ êîòîðîãî ñó-
ùåñòâóåò âåêòîð r p�� — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4).
Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ (1) x t( ) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (15).
Ñëåäñòâèå. Åñëè ñèñòåìà (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû è âûïîëíÿåòñÿ íåðà-
âåíñòâî [ ] ,maxe A
di
T
i
nd
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
1
òî îíà ýêñïîíåíöèàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ìåòîä íà îñíîâå ïðèìåðà èç ôàðìàêîêèíåòèêè.
Ïðèìåð. Ìîäåëü îáùåé àíåñòåçèè. Ðàññìàòðèâàåòñÿ òðåõêîìïàðòìåíòíàÿ
ìîäåëü: � � � � � � � � �x t a a a x t a x t a x t1 11 21 31 1 12 2 1 13 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � ,
( ) ( ) ( ),
( ) ( )
� � � � �
� � � �
x t a x t a x t
x t a x t a
2 12 2 21 1 1
3 13 3 31
�
x t t
x t t t
1 2 0
0
( ), ,
( ) ( ), [ , ].max
� �
� �
�
� �
(16)
Çäåñü x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( ) — ìàññû â ãðàììàõ àíåñòåòè÷åñêîãî ïðåïàðàòà ïðîïî-
ôîë â öåíòðàëüíîì êîìïàðòìåíòå è êîìïàðòìåíòàõ 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî,
�1 0� — âðåìÿ òðàíñïîðòèðîâêè ïðåïàðàòà ìåæäó öåíòðàëüíûì êîìïàðòìåí-
òîì è ïåðèôåðè÷åñêèì êîìïàðòìåíòîì 2 (ìûøå÷íîé òêàíüþ), �2 0� — âðåìÿ
òðàíñïîðòèðîâêè ïðåïàðàòà ìåæäó öåíòðàëüíûì êîìïàðòìåíòîì è ïåðèôåðè-
÷åñêèì êîìïàðòìåíòîì 3 (æèðîâîé òêàíüþ), � � �max max , , ,� �{ }1 2 0aij i j� ,
i j, ,�1 3, — ïîñòîÿííûå â ìèí–1 ïåðåíåñåíèÿ ïðåïàðàòà ìåæäó êîìïàðòìåíòà-
ìè, a11 0� — ñêîðîñòíàÿ ïîñòîÿííàÿ â ìèí–1 ìåòàáîëèçìà è ýëèìèíàöèè ïðå-
ïàðàòà èç öåíòðàëüíîãî êîìïàðòìåíòà. Ñõåìà ìîäåëè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1.
Ñèñòåìà (16) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå (1) ñ âåêòîðîì ñîñòîÿíèÿ
x x x x T� ( , , )1 2 3 , ãäå
A
a a a
a
a
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
( )11 21 31
12
13
0 0
0 0
0 0
, A
a
ad1
12
21
0 0
0 0
0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, A
a
a
d 2
13
31
0 0
0 0 0
0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Ìàòðèöà A A
d
T
d
T
1 2
� èìååò âèä
A
a a
a
a
d 2
21 13
12
13
0
0 0
0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Åå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì x a a a a( ) ( )� � �� � � � � �3
12 21 13 31 , êîðíÿìè
êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
� �1 2 3 12 21 13 310� � � � � �, , a a a a .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 29
Ðèñ. 1
Ìûøå÷íàÿ òêàíü Æèðîâàÿ òêàíü
Âíóòðèñîñóäèñòàÿ
êðîâü
a x12 2 1,�
a x21 1 1,�
a x31 1 2, �
a x12 2 2, �
a x11 1 � ýëèìèíàöèÿ (ïå÷åíü, ïî÷êè)
Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, êîòîðûå îòâå÷àþò ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì � 2 3, ,
èìåþò âèä x x
a
x x
a
x1 2
12
2 3
1 3
13
2 3
1, ,
, ,
� �
� �
.
Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíîé ñîáñòâåííûé âåêòîð
p �� 0 , öåëåñîîáðàçíî ðàññìàòðèâàòü ëèøü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
� 2 12 21 13 31� � � �a a a a
è òî ñåìåéñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, êîòîðîå ê íåìó îòíîñèòñÿ:
p
k
a
k
a
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
12
2
13
2
�
�
, (17)
ãäå k � 0 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, êîòîðàÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó
( )A A A p pT
d
T
d
T� � �� �
1 2
, (18)
ò.å.
A p pp
T � � ��� 2 0, (19)
ãäå 0 — íîëü-âåêòîð.
Ïîäñòàâëÿÿ (17) â (19), èìååì:
� � � � � �
� � � �
�
( ) ,
,
a a a k k k
a
k a k
a
k
a
11 21 31 2
12
2
2
12
12
2
1
0
0
�
� �
3
2
2
13
13
2
0
� �
k a k
a
k� � � ,
(20)
ò.å., ñîêðàòèâ íåðàâåíñòâà íà k � 0, ïîëó÷èì
� 2 11 21 311 0� � � � �a a a ,
a a a12 2 12 12
2 0� � � � , (21)
a a a13 2 13 13
2 0� � � � .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (16):
a a a a11 12 21 131 6 1 901 0 207 1 98� � � �, , , , , , , ,
a31 10 090 0 5� �, , ,� ìèí–1, �2 0 75� , ìèí–1
(22)
è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:
x t
t
t
1
40 0
0 0
( )
,
, [ , ),max
�
�
�
�
! �
x t x t t2 3 0 0( ) ( ) , [ , ]max� � � � . (23)
Ïðèìåì � 2 0 756� , .  ýòîì ñëó÷àå âñå íåðàâåíñòâà (21) âûïîëíÿþòñÿ. Ïîýòî-
ìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêè ïðèìåíèì òåîðåìó ñ ñîáñòâåííûì
âåêòîðîì p T� ( , , )1 2 514 2 619 . Îöåíêà (15) áóäåò èìåòü âèä
p x t e tT t( ) ,,� ��40 00 155 .
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå ñèñòåìû (16) ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ
(22) è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (23) (êðèâûå 1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþò x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( ).
Åãî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îöåíêà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3.
30 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Ýêñïîíåíöèàëüíîå îöåíèâàíèå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
p x tT ( ) äëÿ ñèñòåìû (16), ãäå ñîáñòâåííûé âåêòîð p èìååò âèä (17): 1 — ñêàëÿð-
íîå ïðîèçâåäåíèå p x tT ( ), 2 — åãî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îöåíêà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå îïèñàí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêè ðåøåíèÿ
ëèíåéíîé êîìïàðòìåíòíîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì. Ñ ýòîé öåëüþ èñïîëüçîâàí ëè-
íåéíûé ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî è íåðàâåíñòâî Õåéëà–Ëóíåëëà. Ðåçóëüòàò
ïðîèëëþñòðèðîâàí ôàðìàêîêèíåòè÷åñêîé ìîäåëüþ èç îáëàñòè àíåñòåçèîëîãèè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ð î æ ê î â Â . È . Îá îöåíêå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ // Òð. ñåìèíàðà ïî òåîðèè äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé ñ îòêëîíÿþùèìñÿ àðãóìåíòîì. — 1975. — Âûï. 9. — Ñ. 39–52.
2. Õ ó ñ à è í î â Ä . ß . Îöåíêè ðåøåíèé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé íåé-
òðàëüíîãî òèïà // Óêð. ìàò. æóðí. — 1991. — ¹ 9. — Ñ. 1123–1135.
3. K e r t e s z V . Stability evestigations and exponential estimations for functional differential equations of
retarded type // Acta Mathematica Hungarica. — 1990. — 55, N 3,4. — P. 365–378.
4. Õ ó ñ à è í î â Ä . ß . , Ì à ð ö å í þ ê Â . Ï . Äâóõñòîðîííèå îöåíêè ðåøåíèé ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ çà-
ïàçäûâàíèåì // Äîêë. ÍÀÍ Óêðàèíû. — 1996. — ¹ 8. — Ñ. 8–13.
5. W a n g T . Exponential stability and inequalities of solutions of abstract functional differential equations //
J. Math. Analysis and Appl. — 2006. — 324, N 2. — P. 982–991.
6. H a d d a d W . M . , C h e l l a b o i n a V . Stability theory for nonnegative and compartmental dynamical
systems with time delay // Systems and Control Letters. — 2004. — 51, N 5. — Ð. 335–361.
Ïîñòóïèëà 21.05.2012
Ïîñëå äîðàáîòêè 25.10.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 31
Ðèñ. 2
– 0,75 1,1 2,9 4,8 6,7 8,6 10,4 12,3 14,2 16,1 17,9
36,5
26,7
20,9
13,0
5,2
– 2,5
– 8,4
1
2
3
x
t
Ðèñ. 3
– 0,75 1,0 2,8 4,5 6,3 8,1 9,9 11,6 13,4 15,2 17,1 18,7
40,0
37,7
27,4
17,1
6,0
– 3,5
– 11,2
1 2
x
t
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86231 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:24:50Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Гандзюк, Н.М. 2015-09-10T18:23:38Z 2015-09-10T18:23:38Z 2013 Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла / В.П. Марценюк, И.Е. Андрущак, Н.М. Гандзюк // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 26-31. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86231 517.929 Запропоновано метод побудови оцінок експоненціального типу в компартментній системі з розподіленими запізненнями на основі нерівності Хейла–Лунелла та його застосування. Практичне значення даної роботи проілюстровано за допомогою фармакокінетичної моделі з анестезіології. The paper presents a method for constructing exponential estimates in a compartment system with distributed delays based on the Hale–Lunell inequality and its application. The practical significance of this study is illustrated by a pharmacokinetic model from anesthesiology. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла Побудова експоненціальної оцінки в компартментній системі з розподіленими запізненнями: підхід на основі нерівності Хейла–Лунелла Constructing exponential estimates for compartmental systems with distributed delays: An approach based on the Hale–Lunel inequality Article published earlier |
| spellingShingle | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла Марценюк, В.П. Андрущак, И.Е. Гандзюк, Н.М. Кибернетика |
| title | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла |
| title_alt | Побудова експоненціальної оцінки в компартментній системі з розподіленими запізненнями: підхід на основі нерівності Хейла–Лунелла Constructing exponential estimates for compartmental systems with distributed delays: An approach based on the Hale–Lunel inequality |
| title_full | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла |
| title_fullStr | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла |
| title_full_unstemmed | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла |
| title_short | Построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства Хейла–Лунелла |
| title_sort | построение экспоненциальной оценки в компартментной системе с распределенными запаздываниями: подход на основе неравенства хейла–лунелла |
| topic | Кибернетика |
| topic_facet | Кибернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86231 |
| work_keys_str_mv | AT marcenûkvp postroenieéksponencialʹnoiocenkivkompartmentnoisistemesraspredelennymizapazdyvaniâmipodhodnaosnoveneravenstvaheilalunella AT andruŝakie postroenieéksponencialʹnoiocenkivkompartmentnoisistemesraspredelennymizapazdyvaniâmipodhodnaosnoveneravenstvaheilalunella AT gandzûknm postroenieéksponencialʹnoiocenkivkompartmentnoisistemesraspredelennymizapazdyvaniâmipodhodnaosnoveneravenstvaheilalunella AT marcenûkvp pobudovaeksponencíalʹnoíocínkivkompartmentníisistemízrozpodílenimizapíznennâmipídhídnaosnovínerívnostíheilalunella AT andruŝakie pobudovaeksponencíalʹnoíocínkivkompartmentníisistemízrozpodílenimizapíznennâmipídhídnaosnovínerívnostíheilalunella AT gandzûknm pobudovaeksponencíalʹnoíocínkivkompartmentníisistemízrozpodílenimizapíznennâmipídhídnaosnovínerívnostíheilalunella AT marcenûkvp constructingexponentialestimatesforcompartmentalsystemswithdistributeddelaysanapproachbasedonthehalelunelinequality AT andruŝakie constructingexponentialestimatesforcompartmentalsystemswithdistributeddelaysanapproachbasedonthehalelunelinequality AT gandzûknm constructingexponentialestimatesforcompartmentalsystemswithdistributeddelaysanapproachbasedonthehalelunelinequality |