Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка

Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі геоміграційного процесу в насиченому сольовим розчином геопористому середовищі на основі субдифузійної моделі, що описується системою рівнянь розподіленого порядку....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Булавацкий, В.М., Кривонос, Ю.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86236
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86236
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-862362025-02-09T17:16:07Z Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка Математичне моделювання динаміки аномальних міграційних полів в рамках моделі розподіленого порядку Mathematical modeling of the dynamics of abnormal migration fields within the framework of the model of distributed order Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Системный анализ Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі геоміграційного процесу в насиченому сольовим розчином геопористому середовищі на основі субдифузійної моделі, що описується системою рівнянь розподіленого порядку. The paper addresses the mathematical modeling of the dynamics of a locally nonequilibrium (in time) geomigration process in a geoporous environment saturated with a salt solution, on the basis of a sub-diffusion model described by a system of equations of distributed order. 2013 Article Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86236 517.9: 519.6 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка Кибернетика и системный анализ
description	Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі геоміграційного процесу в насиченому сольовим розчином геопористому середовищі на основі субдифузійної моделі, що описується системою рівнянь розподіленого порядку.
format	Article
author	Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г.
author_facet	Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г.
author_sort	Булавацкий, В.М.
title	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
title_short	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
title_full	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
title_fullStr	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
title_full_unstemmed	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
title_sort	математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86236
citation_txt	Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT bulavackijvm matematičeskoemodelirovaniedinamikianomalʹnyhmigracionnyhpolejvramkahmodeliraspredelennogoporâdka AT krivonosûg matematičeskoemodelirovaniedinamikianomalʹnyhmigracionnyhpolejvramkahmodeliraspredelennogoporâdka AT bulavackijvm matematičnemodelûvannâdinamíkianomalʹnihmígracíjnihpolívvramkahmodelírozpodílenogoporâdku AT krivonosûg matematičnemodelûvannâdinamíkianomalʹnihmígracíjnihpolívvramkahmodelírozpodílenogoporâdku AT bulavackijvm mathematicalmodelingofthedynamicsofabnormalmigrationfieldswithintheframeworkofthemodelofdistributedorder AT krivonosûg mathematicalmodelingofthedynamicsofabnormalmigrationfieldswithintheframeworkofthemodelofdistributedorder
first_indexed	2025-11-28T13:08:31Z
last_indexed	2025-11-28T13:08:31Z
_version_	1850039682477326336
fulltext	ÓÄÊ 517.9: 519.6 Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ, Þ.Ã. ÊÐÈÂÎÍÎÑ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÀÍÎÌÀËÜÍÛÕ ÌÈÃÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÎËÅÉ Â ÐÀÌÊÀÕ ÌÎÄÅËÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, íåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè, íåðàâíîâåñíàÿ ãåîôèëüòðàöèÿ, ìîäåëü ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà, ñèñòåìû äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êðàåâûå çàäà÷è, ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîâûñèëñÿ èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèþ ãåîìèãðàöèîííûõ ïðî- öåññîâ àíîìàëüíîé ïðèðîäû [1, 2], äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî ñóùåñòâåííîå îò- êëîíåíèå îò êëàññè÷åñêîãî çàêîíà Ôèêà. Ïðîÿâëÿþùèåñÿ â ñëîæíûõ ãîðíî-ãå- îëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûå ñâîéñòâà ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà îáóñëîâëåíû ìíîãèìè ïðè÷èíàìè, â ÷àñòíîñòè, ñëîæíîñòüþ ïðîñòðà- íñòâåííî-âðåìåííîé ñòðóêòóðû ãåîñðåäû, åå ìèêðîíåîäíîðîäíîñòüþ, êàâåðíîç- íîñòüþ, ðåëàêñàöèîííûìè ñâîéñòâàìè ïîðèñòîãî ñêåëåòà è íàñûùàþùèõ æèä- êîñòåé, ìíîãîôàçíîñòüþ ñîñòàâà, íåèçîòåðìè÷íîñòüþ ïðîöåññîâ, âëèÿíèåì ãåî- õèìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ è ò.ä. [3]. Îòìåòèì, ÷òî ëîêàëüíî-íå ðàâíîâåñíûå äèôôóçèîííûå ïðîöåññû èìåþò ìåñòî òàêæå â âûñîêîýíåðãåòè÷åñêîé ïëàçìå, ïðè ïåðåíîñå âî ôðàêòàëüíûõ ñðåäàõ è àìîðôíûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ, ïîëèìå- ðàõ, áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, ñëó÷àéíûõ è ðàçðåæåííûõ ñðåäàõ. Ïîïûòêè òåîðåòè÷åñêîãî ó÷åòà ýôôåêòîâ ïàìÿòè è ïðîñòàíñòâåííûõ êîððåëÿ- öèé (âðåìåííàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåëîêàëüíîñòè) â ðàìêàõ êëàññè÷åñêèõ ìàòå- ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðèâîäÿò ê èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, ÿäðî êî- òîðûõ ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î ïðèðîäå íåëîêàëüíîñòè ïðîöåññà. Ïðè ðåøåíèè ýòèõ óðàâíåíèé èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ðàçëàãàþòñÿ â ðÿäû äèôôåðåíöèàëü- íûõ îïåðàòîðîâ, èìåþùèõ ðàñòóùèå ïîêàçàòåëè ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïî- ýòîìó äàííûé ïîäõîä íå ýôôåêòèâåí ïðè îòñóòñòâèè íàäëåæàùåãî ìàëîãî ïàðà- ìåòðà [4]. Èñïîëüçóÿ àïïàðàò èíòåãðîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ äðîáíîãî ïîðÿäêà, â ðàìêàõ êîòîðîãî óäàåòñÿ ïîëó÷èòü íîâûå âàæíûå ðåçóëüòàòû [1, 2, 5–7], ìîæíî äîñòè÷ü ýôôåêòèâíîñòè ïîäõîäà â îïèñàíèè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â ñèñòåìàõ, äëÿ êîòîðûõ âàæåí ó÷åò íåëîêàëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñâîéñòâ. Ãåîèíôîðìàöèîííûå çàäà÷è, îòíîñÿùèåñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâà- íèþ äèíàìèêè ñèñòåì, îïèñûâàþùèõ ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ãåîôèëüòðàöèè, ìàñ- ñîïåðåíîñà è ìàññîîáìåíà, ïðåäñòàâëÿþò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ ïðè ðàçðàáîòêå ñîâðåìåííûõ ãåîòåõíîëîãèé, à òàêæå ïðè èçó÷åíèè âîïðîñîâ îõðàíû ïîäçåìíûõ âîä îò çàãðÿçíåíèé â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ òåõíîãåííûõ ôàêòîðîâ ÷åëîâå÷åñ- êîé äåÿòåëüíîñòè. Â ÷àñòíîñòè, èíôîðìàöèÿ îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè íåðàâíî- âåñíûõ ãåîìèãðàöèîííûõ ïðîöåññîâ èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ îõðàíû ïîäçåìíûõ âîä îò çàãðÿçíåíèé ñîäåðæèìûì íàêîïèòåëåé ïðîìûøëåí- íûõ è áûòîâûõ ñòîêîâ. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ãåîìèãðàöèîí- íûõ ïðîöåññîâ òðàäèöèîííî ðàçâèâàëîñü â ïðåäïîëîæåíèè íàñûùåííîñòè ìàññè- âîâ ãåîïîðèñòîé ñðåäû ÷èñòîé âîäîé, îäíàêî â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ ýêîëî- ãè÷åñêèìè ïðèëîæåíèÿìè îñîáóþ àêòóàëüíîñòü ïðèîáðåòàþò èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèîííûõ ïðîöåñ- ñîâ â ïîðèñòûõ ìàññèâàõ ãåîñðåäû, íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè. Âåäóòñÿ 74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 � Â.Ì. Áóëàâàöêèé, Þ.Ã. Êðèâîíîñ, 2013 êîìïëåêñíûå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ ïðè ó÷åòå ðåëàêñàöèîííûõ ñâîéñòâ æèäêîñòè è ïîðèñòîãî ñêåëåòà, íåèçîòåðìè÷íîñòè ïðî- öåññà, âëèÿíèÿ ãåîõèìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ è äð. [8–10]. Â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [11] ðàçðàáîòàíà íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîì ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãåîïîðèñòîì ìàñ- ñèâå â óñëîâèÿõ ñèëüíîé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè. Óêàçàííàÿ ìîäåëü áàçèðóåò- ñÿ íà ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðèè àíîìàëüíûõ ñóáäèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ [1, 2, 5–7] è âêëþ÷àåò ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîèçâîäíûìè äèñêðåòíîãî äðîáíîãî ïîðÿäêà îò èñêîìûõ ôóíêöèé (ïîðîâîãî äàâëåíèÿ è êîíöåíòðàöèè). Â íàñòîÿùåé ñòàòüå âûïîëíåíî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìåíè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîé ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãåîïîðèñòîé ñðåäå íà îñíîâå ñóáäèôôóçèîííîé ìîäåëè, îïè- ñûâàåìîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà, ÷òî ïîçâîëÿåò ìîäåëè- ðîâàòü ïðîöåññ â ðàìêàõ òåîðèè ñâåðõìåäëåííîé äèôôóçèèè [12–14]. Â ïîñòà- íîâêå çàäà÷è ó÷òåíà òàêæå âðåìåííàÿ íåëîêàëüíîñòü ïðîöåññà ìåæôàçíîãî ìàññîîáìåíà. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìå- íè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîé ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãåîïîðèñ- òîé ñðåäå áàçèðóåòñÿ íà ñëåäóþùèõ îáîáùåíèÿõ çàêîíîâ Äàðñè è Ôèêà [11]: u D k p x C x x t� � � � � � � � � � �� 1 � � � , (1) q D d C x C k p x C x t� � � � � � � � � � � � � � �� 1 � � � , (2) ãäå ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè; q — ïëîòíîñòü äèôôóçèîííîãî ïîòîêà; C — êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â æèäêîé ôàçå; p — ïîðîâîå äàâëåíèå; k — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè; d — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè; � — êîýôôèöèåíò îñìîñà; � — óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè; Dt 1� � — îïåðàòîð äðîáíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ Ðè- ìàíà–Ëèóâèëëÿ [6] ïîðÿäêà 1� � ( )0 1 �� . Ñ ó÷åòîì (1), (2) èç óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè æèäêîé ôàçû è ìàòåðèàëüíîãî áàëàíñà ìàññû ðàñòâîðåííîãî âåùåñòâà â ïðåäïîëîæåíèè íàëè÷èÿ óñëîâèé ñèëü- íîé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè, à òàêæå ìàññîîáìåíà ìåæäó æèäêîé è òâåðäîé ôàçàìè ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîäåëè â âèäå D p C p x C x t ( )� � �� 2 2 2 2 , (3) � � �� D C D N d C x k p x C x C x t t ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � �� 2 2 , (4) ãäå N — êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà â òâåðäîé ôàçå; C� — êîýôôèöèåíò êîíñî- ëèäàöèè [8]; � �� C k ; Dt ( )� — îïåðàòîð ðåãóëÿðèçîâàííîé äðîáíîé ïðîèç- âîäíîé [6] ïîðÿäêà �; � — ïîðèñòîñòü ñðåäû. Îáîáùåííîå íà ñëó÷àé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè óðàâíåíèå êèíåòèêè ìàñ- ñîîáìåíà ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ íåðàâíîâåñíîé îáðàòèìîé ñîðáöèè ïðè èçîòåðìå ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 75 Ãåíðè çàïèøåì â âèäå D N C Nt ( ) ( )� � � �� 0 0 , (5) ãäå � 0 — êîýôôèöèåíò ðàâíîâåñíîãî ñîðáöèîííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, � 0 — êî- ýôôèöèåíò ñêîðîñòè ñîðáöèè [15]. Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàññìàòðèâàåìîãî ëîêàëüíî-íåðàâ- íîâåñíîãî âî âðåìåíè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì îñìîòè÷åñêèõ ÿâëå- íèé â óñëîâèÿõ ìàññîîáìåíà áàçèðóåòñÿ íà ñèñòåìå óðàâíåíèé (3)–(5). Âèäîèçìå- íÿÿ óðàâíåíèÿ ìîäåëè íà ñëó÷àé îïèñàíèÿ ñâåðõìåäëåííûõ ñóáäèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ [12–14], ïîëó÷àåì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â ãåîïîðèñòîé ñðåäå â óñëîâèÿõ âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ïðîèçâîäíûìè ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà âèäà D p C p x C x t ( ) � �� 2 2 2 2 , (6) � � � D C D N d C x k p x C x C x t t ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � �� 2 2 , (7) D N C Nt ( ) ( ) � � �� 0 0 , (8) ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå [14]: D u D udt t ( ) ( )( ) � � �� 0 1 , (9) �( ) � 0 — âåñîâàÿ ôóíêöèÿ. Â ðàìêàõ íåêëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, áàçèðóþùåéñÿ íà ñèñòå- ìå óðàâíåíèé (6)–(8), èññëåäîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé äàâëåíèé è êîíöåíòðàöèé ïðè ãåîôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â óñëîâèÿõ ìàññîîáìåíà è âðåìåííîé íå- ëîêàëüíîñòè ïðîöåññà â ñëó÷àå ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ ïðîíèöàåìîé íèæíåé è íåïðîíèöàåìîé âåðõíåé ãðàíÿìè ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè ( , ) ( , )0 0l � �� ñèñòåìû óðàâíåíèé (6)–(8) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè p t( , )0 0� , � �p l tx ( , ) 0, p x p( , )0 0� , (10) C t C( , )0 0� , � �C l tx ( , ) 0, C x( , )0 0� , N x N( , )0 0� , (11) ãäå p0 — íà÷àëüíîå ïîðîâîå äàâëåíèå â ìàññèâå, C0 — çàäàííîå çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè ñîëåé íà âõîäå ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà, N 0 — çàäàííîå çíà÷å- íèå íà÷àëüíîé êîíöåíòðàöèè âåùåñòâà â òâåðäîé ôàçå. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå è ïàðàìåòðû ñîîòíîøåíèÿìè � �x x l , � � � � � ��t C l t� � 2 1 , � �C C C0 , � �p p p0 , � �N N C0 , � �d d C� , � �� C C 0 , � �k kp C 0 � � , � �� C p 0 0 , � �N N C 0 0 0 , � �� 0 0 2l C . (12) 76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Ïåðåõîäÿ â (6)–(11) ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (12) è îïóñêàÿ â äàëüíåéøåì çíàê øòðèõ íàä áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, ïîëó- ÷àåì â îáëàñòè ( , ) ( , )0 1 0� �� íåëèíåéíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó âèäà D p p x C x t ( ) �� 2 2 2 2 , (13) � � D C D N d C x k p x C x C x t t ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 , (14) D N C Nt ( ) ( ) � � �� 0 0 , (15) p t( , )0 0� , � �p tx ( , )1 0, p x( , )0 1� , (16) C t( , )0 1� , � �C tx ( , )1 0, C x( , )0 0� , N x N( , )0 0� . (17) ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È È ÀËÃÎÐÈÒÌ ÐÀÑ×ÅÒÀ Èçëîæèì êðàòêî ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà- ÷è (13)–(17), áàçèðóþùóþñÿ íà ñîâìåñòíîì èñïîëüçîâàíèè êîìáèíàöèè ÷èñ- ëåííî-àíàëèòè÷åñêîãî è ÷èñëåííîãî ïîäõîäîâ. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàäà÷ó (13), (16) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè p (ôóíêöèÿ C x t( , ) ïðè ýòîì ñ÷è- òàåòñÿ èçâåñòíîé). Äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è èñïîëüçóåì ïîäõîä, ñî÷å- òàþùèé äâà ìåòîäà: äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûé è ñóììàðíûõ ïðåäñòàâëå- íèé [15]. Ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ñåòî÷íóþ îáëàñòü h i ix x ih� �{ : ( , )i m� �0 1 }, ãäå h — øàã ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, ïðèìåíèì ê èíòåãðàëó â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (13) ïðîñòåéøóþ êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó òðàïåöèé ïî òðåì óçëàì: � 0 0� , �1 0 5� , , � 2 1� . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì çàäà÷ó �2 1 1 2 2 2 0 2 2 � � � � � � � � � � � � � �p t D p p x p C x t , (18) p t( , )0 0� , � �p tx ( , )1 0, p x( , )0 1� , (19) ãäå 0 1 4 0� ( ), 1 1 2 1 2 � � � � � , 2 1 4 1� ( ). Íà ñåòêå h ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å (18), (19) äèôôåðåíöèàëü- íî-ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó âèäà 2 1 1 2 2 3 0 1 2 d p t dt D p t h T Et m � �( ) ( ) ( )( )� � � � � � � � � � � � � � � � � � p t h T E C tm( ) ( ) ( ),( )� 2 3 2 (20) � � p e( )0 � , (21) ãäå îáîçíà÷åíî � p t p t p t p tm( ) [ ( ), ( ), ..., ( )]� 1 2 T , � C t C t C t C tm( ) [ ( ), ( ), ..., ( )]� 1 2 T , � �e � [ , , , ]1 1 1 T , u t u x ti i( ) ( , )� ( , )i m�1 , T m 3 ( ) — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m, îïðåäåëåííàÿ â [16], E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà m-ãî ïîðÿäêà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 77 Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå P-òðàíñôîðìàöèè âåêòîðîâ � � � p C e, , ñîîòíîøåíèÿìè � ( ) ( ), � ( ) ( ), �( ) ( ) ( )* * � � � � � � p t P p t Ñ t P C t e P em m m� � � 3 3 3 , (22) ãäå P m 3 ( ) — òðàíñïîíèðîâàííàÿ ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå P m 3 ( ) êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m, P m 3 ( ) — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå T m 3 ( ) , îïðåäåëåííàÿ ñîîòíîøåíèåì [16]: P p m k j m m kj k j m 3 3 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , [ ] sin ( ) � � � � � � � � � � � �� k j m , 1 . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (22) è óìíîæàÿ (20), (21) ñëåâà íà ìàòðèöó P m 3 ( )* ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà [16]: T P Pm m m m 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )*� � , çäåñü � 3 1 3 2 3( ) ( ) ( )[ , ,m � � ... , ]( ) m 3 — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû T m 3 ( ) , k ( )3 � � � �2 2 1 2 1cos ( ( ) / ( ))� k m ( , )k m�1 , ïîëó÷àåì â èçîáðàæåíèÿõ çàäà÷ó Êîøè, çà- ïèñàííóþ â ñêàëÿðíîé ôîðìå â âèäå dp t dt D p t p t F ti t i i i i � ( ) � ( ) � ( ) � ( )� � � � � � � � 1 2 ( , )i m�1 , (23) � ( ) �p ei i0 � ( , )i m�1 , (24) ãäå � ( ) ( ) � ( )( )F t h C ti i i� � � 2 2 32 , � i i h � � � � � � � � � 1 1 2 2 2 3 0( )( ) , � � 1 2 , � ( )e pi ki k m � � � 3 1 ( , )i m�1 . (25) Ðåøåíèå çàäà÷è (23)–(25) ñîãëàñíî [6] çàïèøåì â âèäå � ( ) � ( ) ( ) � ( ) , ; , p t e t G t F di i i i t i � � �� 1 1 20 � ( , )i m�1 , (26) ãäå � �i i n n t t n n n t( ) ( ) ! ( , ) , � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! " # $ t n n t1 1 1 1 3 2 1 2 � ( , ) , , (27) G z z n n n i i n n 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 2 , ; , ( ) ( ) ! ( , ) , � � � � � � � � � � � � � z � � � � � � � � � � � � , (28) 1 1� ( )z — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Ðàéòà [6]. Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (26) ê îðèãèíàëàì ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðå- ìåííîé, ïîëó÷àåì ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîé çàäà÷è (20), (21) â âèäå p t t t C di i ik k t k m ( ) ( )� � �� % ( ) ( ) 01 ( , )i m�1 , (29) ãäå � i i l k m k l l l m t p p t( ) ( )( ) ( )� �� 3 1 3 1 � ( , )i m�1 , (30) % ik i l k l l l m t h p p G l ( ) ( )( ) ( ) ( ) , ; , � � � � � � �2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 ( )t � ( , ; , ).i m k m� �1 1 (31) 78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå, àïïðîêñèìèðóÿ èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (15) ñîãëàñíî êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå òðàïåöèé, ïîëó÷àåì äëÿ îïðåäå- ëåíèÿ êîíöåíòðàöèè N x t( , ) çàäà÷ó � � � � � � � � � �N t D N N C N x Nt � � 1 2 00~ , ( , ) , (32) ãäå ~� � � � � �0 0 0 2 , � �� 0 2 . Ðåøåíèå çàäà÷è (32) ñîãëàñíî [6] çàïèøåòñÿ â âèäå N x t N R t G t C x d t ( , ) ( ) ( ) ( , ) , ; ,~ � � ��0 1 1 20 � � , (33) ãäå ôóíêöèè R G, îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (27), (28) ñ ïðåäâàðè- òåëüíîé çàìåíîé â ýòèõ ôîðìóëàõ � i íà ~�. Òàêèì îáðàçîì, ÿâíûå çàâèñèìîñòè (29)–(31) è (33) îòêðûâàþò âîçìîæíîñòü íå- ïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå çíà÷åíèé íåèç- âåñòíûõ ïîëåé p è N ïðè èçâåñòíîì çíà÷åíèè ïîëÿ êîíöåíòðàöèè C íà ýòîì ñëîå. Çàäà÷à äëÿ îòûñêàíèÿ ïîëÿ êîíöåíòðàöèé C ðåøàåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì ìåòîäîì. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñåòî÷íóþ îáëàñòü h i jx t� {( , ) : x ihi � ( , )i m� �0 1 , t jj � ( , )}j n� 0 , çäåñü h, — øàãè ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñ- êîé ïåðåìåííîé è âðåìåíè ñîîòâåòñòâåííî, è ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å (14), (17) ñèñòåìó ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííóþ â ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷å- íèÿõ [17] â âèäå � � � � & t xx xx x x x x C d C C kp C C C( ) ( � ) ( )( � ) ( �� 2 1 2 0 0 0 0 0 C N�� 0 ) , (34) ãäå & t s j t s s j C C( ) ( ) �� 0 , � � � � �s j s jb d( ) ( )( ) ( ) ( )� �� ' 2 0 1 , b j s j ss j( ) ( ) (( ) ( ) )� � � �� 1 1 11 , C C C t s s s � ��1 , '( )� — ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà [18]. Îòìåòèì, ÷òî â êëàññå äîñòàòî÷íî ãëàä- êèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå D Ct ( ) � & t C O( ) ( ) � . Ðàñïèñûâàÿ â ñîîòíîøåíèè (34) ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè- ÷åñêèõ óðàâíåíèé: A C S C B C Fi j i j i j i j i j i j i j � � � � �� 1 1 1 1 1 ( , ; , )i m j n� �1 0 , (35) ãäå îáîçíà÷åíî A h d hi j i j� � � � � � 1 2 � , B h d hi j i j� � � � � � 1 2 � , S A Bi j i j i j� � � � � �� 0 , � �i j i j i j i j i j h k p p C C� � � � � � � � 1 4 1 1 1 1 ( ( ) ( )), � � � � � � � � � ( ) ( ) 1 0 1 2' d , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 79 F C C C d h C Ci j i j s j i s i s s j i j i j� � � � � � � � �� ( ) ( 1 0 1 2 1 2 2 � � � C i j 1 ) � � � � � � � � �i j i j i j i j h C C N 2 1 1 0 0( ) , ( )( � � � � s j 0 1 0 ïðè j � 0. Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (35) ÿâëÿþòñÿ òðåõòî÷å÷íûìè è ýôôåêòèâíî ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè [17], óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî ïðè ýòîì âûòåêàåò èç ôàêòà äèàãîíàëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ â ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ ïðèâåäåííîé ñèñ- òåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùèé êîìáèíèðîâàííûé àëãî- ðèòì äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è (13)–(17): 1) çíàÿ çíà÷åíèÿ âåëè÷èí p è N íà ïðåäûäóùåì âðåìåííîì ñëîå, âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ C íà äàííîì âðåìåííîì ñëîå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçíîñòíîé ñõåìîé (34); 2) ñ ó÷åòîì íàéäåííûõ çíà÷åíèé C íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå âû- ÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ p è N íà íåì ñîãëàñíî ÿâíûì çàâèñèìîñòÿì (29) è (33); 3) çàâåðøåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå. Ïåðåõîäèì íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé ñëîé è ïîâòîðÿåì âû÷èñëåíèÿ íà÷èíàÿ ñ ï. 1. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâëåíèé è ïî- ëåé êîíöåíòðàöèé â íàñûùåííîì ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãåîïîðèñòîì ìàññèâå â ñî- îòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì àëãîðèòìîì âûïîëíåíî îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè (12). Íåêîòîðûå èç ïî- ëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèþ � � �( ) ( ) ( )� � �H H 1 , çäåñü H — åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà [18], ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1, ãäå ïîêàçàíà äèíàìèêà ïîëåé ïîðîâûõ äàâëåíèé (êðèâûå 1–5) è ïîëåé êîíöåíòðàöèé C â æèäêîé ôàçå (êðèâûå � � �1 5 ) â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû áåçðàçìåðíîãî âðåìåíè t (êðèâûå 1,1� ïðè t � 0 01, ; êðèâûå 2, 2� ïðè t � 0 05, ; êðèâûå 3 3, � ïðè t � 0 1, ; êðèâûå 4 4, � ïðè t � 0 2, ; êðèâûå 5 5, � ïðè t � 0 3, ). Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñ- ëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿ- åò, â ÷àñòíîñòè, ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ïðèíÿòàÿ â ðàáîòå ìà- òåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü è ðàçðàáî- òàííûé àëãîðèòì ðàñ÷åòà àíî- ìàëüíîãî ãåîìèãðàöèîííîãî ïðî- öåññà â óñëîâèÿõ âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè ïðèâîäÿò ê ôèçè- ÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîé êàðòèíå äèíàìèêè ðàññåèâàíèÿ ïîëÿ ïåð- âîíà÷àëüíûõ ïîðîâûõ äàâëåíèé è äèíàìèêè ðîñòà êîíöåíòðàöèè ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ â íàñû- ùåííîé ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãåîïîðèñòîé ñðåäå (ñì. ðèñ. 1). Ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà ñîãëàñíî ðàññìîòðåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà êà÷åñòâåííî ñîãëàñó- þòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ðàíåå [11] â ðàìêàõ ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíîé ãåî- ìèãðàöèîííîé ìîäåëè äèñêðåòíîãî äðîáíîãî ïîðÿäêà. 80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Ðèñ. 1 1' 2 3 4 5 5'4'3' 2' 1 p, C x ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðàññìîòðåííàÿ íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ ëîêàëü- íî-íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìåíè ìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííûõ ñîëå- âûìè ðàñòâîðàìè ãåîïîðèñòûõ ñðåäàõ â óñëîâèÿõ ìàññîîáìåíà ïîçâîëÿåò òåî- ðåòè÷åñêè èçó÷àòü äèíàìèêó àíîìàëüíûõ ìèãðàöèîííûõ ïîëåé â ðàìêàõ òåî- ðèè ñâåðõìåäëåííîé äèôôóçèè [12–14] è ïðîèçâîäèòü ó÷åò âàæíûõ äîïîëíèòåëüíûõ ôàêòîðîâ (íàïðèìåð, âðåìåííóþ íåëîêàëüíîñòü ñîñòàâëÿþ- ùèõ ïðîöåññà ïåðåíîñà), òðàäèöèîííî íå ó÷èòûâàåìûõ â êëàññè÷åñêèõ ìàòå- ìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ. Ó÷åò óêàçàííûõ ôàêòîðîâ ïðè ïîñòðîåíèè ñîâðåìåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ãåîìèãðàöèè îáóñëîâëåí íåîáõîäèìîñòüþ ïîâûøåíèÿ ñòåïåíè àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåðàâíîâåñíûõ ïðîöåñ- ñîâ ïåðåíîñà â ñëîæíûõ ãîðíî-ãåîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. M e t z l e r R . , K l a f t e r J . The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dy- namics approach // Phys. Reports. — 2000. — 339. — P. 1–77. 2. Z a s l a v s k y G . M . Chaos, fractional kinetics and anomalous transport // Phys. Reports. — 2002. — 371. — P. 461–580. 3. Õ à ñ à í î â Ì . Ì . , Á ó ë ã à ê î â à Ã . Ò . Íåëèíåéíûå è íåðàâíîâåñíûå ýôôåêòû â ðåîëîãè÷åñêè ñëîæíûõ ñðåäàõ. — Ìîñêâà — Èæåâñê: Èí-ò êîìïüþò. èññëåä., 2003. — 288 ñ. 4. Ì å é ë à í î â Ì . Ì . , Ø è á à í î â à Ì . Ð . Îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïåðåíîñà â ïðîèçâîäíûõ äðîáíîãî ïîðÿäêà // Æóðí. òåõí. ôèçèêè. — 2011. — 81, ¹ 7. — Ñ. 1–6. 5. G o r e n f l o R . , M a i n a r d i F . Random walk models for space-fractional diffusion procesess // Fractional calculus and applied analysis. — 1998. — N 1. — P. 167–191. 6. K i l b a s A . A . , S r i v a s t a v a H . M . , T r u j i l l o J . J . Theory and applications of fractional differential equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 p. 7. Ó ÷ à é ê è í Â . Â . Ìåòîä äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Óëüÿíîâñê: Èçä-âî «Àðòèøîê», 2008. — 512 ñ. 8. Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . Íåêëàñè÷í³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 283 ñ. 9. Á î ì á à À . ß . , Á ó ë à â à ö ü ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é Â . Â . Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. — 292 ñ. 10. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é Â . Â . Íåêëàññè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå ìîäåëè äèíàìèêè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 3. — Ñ. 78–87. 11. Á ó ë à â à ö ê è é Â . Ì . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãåîèíôîðìàòèêè äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2011. — ¹ 6. — Ñ. 76–83. 12. C h e c h k i n A . V . , G o r e n f l o R . , S o k o l o v I . M . , G o n c h a r V . Y u . Distributed or- der time fractional diffusion equation // Fractional Calculus and Appl. Analysis. — 2003. — N 6. — P. 259–279. 13. N a b e r M . Distributed order fractional sub-diffusion // Fractals. — 2004. — 12. — P. 23–32. 14. K o c h u b e i A . N . Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal. Appl. — 2008. — 340, N 1. — P. 252–281. 15. Ë ÿ ø ê î È . È . , Ä å ì ÷ å í ê î Ë . È . , Ì è ñ ò å ö ê è é Ã . Å . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ òåïëî- è ìàññîïåðåíîñà â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1991. — 264. 16. Ï î ë î æ è é Ã . Í . ×èñëåííîå ðåøåíèå äâóõìåðíûõ è òðåõìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è ôóíêöèè äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà. — Ê.: Âèùà øêîëà, 1962. — 161 ñ. 17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 656 ñ. 18. A b r a m o v i t z M . , S t e g u n I . A . Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover, 1965. — 831 p. Ïîñòóïèëà 10.05.2012 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 81

Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка

Репозитарії

Схожі ресурси