Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка
Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі геоміграційного процесу в насиченому сольовим розчином геопористому середовищі на основі субдифузійної моделі, що описується системою рівнянь розподіленого порядку. The paper addresses the mathematical modeling of the dynamics...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86236 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859611615957090304 |
|---|---|
| author | Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| author_facet | Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. |
| citation_txt | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі геоміграційного процесу в насиченому сольовим розчином геопористому середовищі на основі субдифузійної моделі, що описується системою рівнянь розподіленого порядку.
The paper addresses the mathematical modeling of the dynamics of a locally nonequilibrium (in time) geomigration process in a geoporous environment saturated with a salt solution, on the basis of a sub-diffusion model described by a system of equations of distributed order.
|
| first_indexed | 2025-11-28T13:08:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9: 519.6
Â.Ì. ÁÓËÀÂÀÖÊÈÉ, Þ.Ã. ÊÐÈÂÎÍÎÑ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÀÍÎÌÀËÜÍÛÕ ÌÈÃÐÀÖÈÎÍÍÛÕ ÏÎËÅÉ
 ÐÀÌÊÀÕ ÌÎÄÅËÈ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, íåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè,
íåðàâíîâåñíàÿ ãåîôèëüòðàöèÿ, ìîäåëü ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà, ñèñòåìû äèô-
ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êðàåâûå çàäà÷è, ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîâûñèëñÿ èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèþ ãåîìèãðàöèîííûõ ïðî-
öåññîâ àíîìàëüíîé ïðèðîäû [1, 2], äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî ñóùåñòâåííîå îò-
êëîíåíèå îò êëàññè÷åñêîãî çàêîíà Ôèêà. Ïðîÿâëÿþùèåñÿ â ñëîæíûõ ãîðíî-ãå-
îëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûå ñâîéñòâà ãåîìèãðàöèîííîãî
ïðîöåññà îáóñëîâëåíû ìíîãèìè ïðè÷èíàìè, â ÷àñòíîñòè, ñëîæíîñòüþ ïðîñòðà-
íñòâåííî-âðåìåííîé ñòðóêòóðû ãåîñðåäû, åå ìèêðîíåîäíîðîäíîñòüþ, êàâåðíîç-
íîñòüþ, ðåëàêñàöèîííûìè ñâîéñòâàìè ïîðèñòîãî ñêåëåòà è íàñûùàþùèõ æèä-
êîñòåé, ìíîãîôàçíîñòüþ ñîñòàâà, íåèçîòåðìè÷íîñòüþ ïðîöåññîâ, âëèÿíèåì ãåî-
õèìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ è ò.ä. [3]. Îòìåòèì, ÷òî ëîêàëüíî-íå ðàâíîâåñíûå
äèôôóçèîííûå ïðîöåññû èìåþò ìåñòî òàêæå â âûñîêîýíåðãåòè÷åñêîé ïëàçìå,
ïðè ïåðåíîñå âî ôðàêòàëüíûõ ñðåäàõ è àìîðôíûõ ïîëóïðîâîäíèêàõ, ïîëèìå-
ðàõ, áèîëîãè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, ñëó÷àéíûõ è ðàçðåæåííûõ ñðåäàõ.
Ïîïûòêè òåîðåòè÷åñêîãî ó÷åòà ýôôåêòîâ ïàìÿòè è ïðîñòàíñòâåííûõ êîððåëÿ-
öèé (âðåìåííàÿ è ïðîñòðàíñòâåííàÿ íåëîêàëüíîñòè) â ðàìêàõ êëàññè÷åñêèõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðèâîäÿò ê èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì, ÿäðî êî-
òîðûõ ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ î ïðèðîäå íåëîêàëüíîñòè ïðîöåññà. Ïðè ðåøåíèè
ýòèõ óðàâíåíèé èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ðàçëàãàþòñÿ â ðÿäû äèôôåðåíöèàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ, èìåþùèõ ðàñòóùèå ïîêàçàòåëè ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïî-
ýòîìó äàííûé ïîäõîä íå ýôôåêòèâåí ïðè îòñóòñòâèè íàäëåæàùåãî ìàëîãî ïàðà-
ìåòðà [4]. Èñïîëüçóÿ àïïàðàò èíòåãðîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ äðîáíîãî ïîðÿäêà,
â ðàìêàõ êîòîðîãî óäàåòñÿ ïîëó÷èòü íîâûå âàæíûå ðåçóëüòàòû [1, 2, 5–7], ìîæíî
äîñòè÷ü ýôôåêòèâíîñòè ïîäõîäà â îïèñàíèè ïðîöåññîâ ïåðåíîñà â ñèñòåìàõ, äëÿ
êîòîðûõ âàæåí ó÷åò íåëîêàëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñâîéñòâ.
Ãåîèíôîðìàöèîííûå çàäà÷è, îòíîñÿùèåñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâà-
íèþ äèíàìèêè ñèñòåì, îïèñûâàþùèõ ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ãåîôèëüòðàöèè, ìàñ-
ñîïåðåíîñà è ìàññîîáìåíà, ïðåäñòàâëÿþò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ ïðè ðàçðàáîòêå
ñîâðåìåííûõ ãåîòåõíîëîãèé, à òàêæå ïðè èçó÷åíèè âîïðîñîâ îõðàíû ïîäçåìíûõ
âîä îò çàãðÿçíåíèé â ðåçóëüòàòå âîçäåéñòâèÿ òåõíîãåííûõ ôàêòîðîâ ÷åëîâå÷åñ-
êîé äåÿòåëüíîñòè.  ÷àñòíîñòè, èíôîðìàöèÿ îá îñîáåííîñòÿõ äèíàìèêè íåðàâíî-
âåñíûõ ãåîìèãðàöèîííûõ ïðîöåññîâ èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè ðåøåíèè çàäà÷
îõðàíû ïîäçåìíûõ âîä îò çàãðÿçíåíèé ñîäåðæèìûì íàêîïèòåëåé ïðîìûøëåí-
íûõ è áûòîâûõ ñòîêîâ. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ãåîìèãðàöèîí-
íûõ ïðîöåññîâ òðàäèöèîííî ðàçâèâàëîñü â ïðåäïîëîæåíèè íàñûùåííîñòè ìàññè-
âîâ ãåîïîðèñòîé ñðåäû ÷èñòîé âîäîé, îäíàêî â íàñòîÿùåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ ýêîëî-
ãè÷åñêèìè ïðèëîæåíèÿìè îñîáóþ àêòóàëüíîñòü ïðèîáðåòàþò èññëåäîâàíèÿ
â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèîííûõ ïðîöåñ-
ñîâ â ïîðèñòûõ ìàññèâàõ ãåîñðåäû, íàñûùåííûõ ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè. Âåäóòñÿ
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
� Â.Ì. Áóëàâàöêèé, Þ.Ã. Êðèâîíîñ, 2013
êîìïëåêñíûå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ ïðè ó÷åòå
ðåëàêñàöèîííûõ ñâîéñòâ æèäêîñòè è ïîðèñòîãî ñêåëåòà, íåèçîòåðìè÷íîñòè ïðî-
öåññà, âëèÿíèÿ ãåîõèìè÷åñêèõ ôàêòîðîâ è äð. [8–10].  ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [11]
ðàçðàáîòàíà íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè
ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîì ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãåîïîðèñòîì ìàñ-
ñèâå â óñëîâèÿõ ñèëüíîé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè. Óêàçàííàÿ ìîäåëü áàçèðóåò-
ñÿ íà ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðèè àíîìàëüíûõ ñóáäèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ [1, 2,
5–7] è âêëþ÷àåò ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïðîèçâîäíûìè äèñêðåòíîãî
äðîáíîãî ïîðÿäêà îò èñêîìûõ ôóíêöèé (ïîðîâîãî äàâëåíèÿ è êîíöåíòðàöèè).
 íàñòîÿùåé ñòàòüå âûïîëíåíî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè
ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìåíè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîé
ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãåîïîðèñòîé ñðåäå íà îñíîâå ñóáäèôôóçèîííîé ìîäåëè, îïè-
ñûâàåìîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà, ÷òî ïîçâîëÿåò ìîäåëè-
ðîâàòü ïðîöåññ â ðàìêàõ òåîðèè ñâåðõìåäëåííîé äèôôóçèèè [12–14]. Â ïîñòà-
íîâêå çàäà÷è ó÷òåíà òàêæå âðåìåííàÿ íåëîêàëüíîñòü ïðîöåññà ìåæôàçíîãî
ìàññîîáìåíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ È ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìå-
íè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííîé ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè ãåîïîðèñ-
òîé ñðåäå áàçèðóåòñÿ íà ñëåäóþùèõ îáîáùåíèÿõ çàêîíîâ Äàðñè è Ôèêà [11]:
u D
k p
x
C
x
x t� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�1 �
�
� , (1)
q D d
C
x
C
k p
x
C
x
t� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�1 �
�
� , (2)
ãäå ux — ñêîðîñòü ôèëüòðàöèè; q — ïëîòíîñòü äèôôóçèîííîãî ïîòîêà; C —
êîíöåíòðàöèÿ ñîëåé â æèäêîé ôàçå; p — ïîðîâîå äàâëåíèå; k — êîýôôèöèåíò
ôèëüòðàöèè; d — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè; � — êîýôôèöèåíò îñìîñà; � —
óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè; Dt
1� � — îïåðàòîð äðîáíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ Ðè-
ìàíà–Ëèóâèëëÿ [6] ïîðÿäêà 1� � ( )0 1
�� .
Ñ ó÷åòîì (1), (2) èç óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè æèäêîé ôàçû è ìàòåðèàëüíîãî
áàëàíñà ìàññû ðàñòâîðåííîãî âåùåñòâà â ïðåäïîëîæåíèè íàëè÷èÿ óñëîâèé ñèëü-
íîé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè, à òàêæå ìàññîîáìåíà ìåæäó æèäêîé è òâåðäîé
ôàçàìè ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîäåëè â âèäå
D p C
p
x
C
x
t
( )�
� ��
�
�
�
�
�
2
2
2
2
, (3)
�
�
�� �D C D N d
C
x
k p
x
C
x
C
x
t t
( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
2
2
, (4)
ãäå N — êîíöåíòðàöèÿ âåùåñòâà â òâåðäîé ôàçå; C� — êîýôôèöèåíò êîíñî-
ëèäàöèè [8]; �
�� ��
C
k
; Dt
( )� — îïåðàòîð ðåãóëÿðèçîâàííîé äðîáíîé ïðîèç-
âîäíîé [6] ïîðÿäêà �; � — ïîðèñòîñòü ñðåäû.
Îáîáùåííîå íà ñëó÷àé âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè óðàâíåíèå êèíåòèêè ìàñ-
ñîîáìåíà ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ íåðàâíîâåñíîé îáðàòèìîé ñîðáöèè ïðè èçîòåðìå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 75
Ãåíðè çàïèøåì â âèäå
D N C Nt
( ) ( )� � � �� �0 0 , (5)
ãäå � 0 — êîýôôèöèåíò ðàâíîâåñíîãî ñîðáöèîííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, � 0 — êî-
ýôôèöèåíò ñêîðîñòè ñîðáöèè [15].
Òàêèì îáðàçîì, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàññìàòðèâàåìîãî ëîêàëüíî-íåðàâ-
íîâåñíîãî âî âðåìåíè ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì îñìîòè÷åñêèõ ÿâëå-
íèé â óñëîâèÿõ ìàññîîáìåíà áàçèðóåòñÿ íà ñèñòåìå óðàâíåíèé (3)–(5). Âèäîèçìå-
íÿÿ óðàâíåíèÿ ìîäåëè íà ñëó÷àé îïèñàíèÿ ñâåðõìåäëåííûõ ñóáäèôôóçèîííûõ
ïðîöåññîâ [12–14], ïîëó÷àåì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ãåîìèãðàöèè ñîëåâûõ
ðàñòâîðîâ â ãåîïîðèñòîé ñðåäå â óñëîâèÿõ âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè ñèñòåìó
óðàâíåíèé ñ ïðîèçâîäíûìè ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà âèäà
D p C
p
x
C
x
t
( )
� ��
�
�
�
�
�
2
2
2
2
, (6)
�
�
� D C D N d
C
x
k p
x
C
x
C
x
t t
( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
2
2
, (7)
D N C Nt
( ) ( ) � � �� �0 0 , (8)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå [14]:
D u D udt t
( ) ( )( ) � � �� �
0
1
, (9)
�( ) � 0 — âåñîâàÿ ôóíêöèÿ.
 ðàìêàõ íåêëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, áàçèðóþùåéñÿ íà ñèñòå-
ìå óðàâíåíèé (6)–(8), èññëåäîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé äàâëåíèé è êîíöåíòðàöèé
ïðè ãåîôèëüòðàöèè ñîëåâûõ ðàñòâîðîâ â óñëîâèÿõ ìàññîîáìåíà è âðåìåííîé íå-
ëîêàëüíîñòè ïðîöåññà â ñëó÷àå ìàññèâà êîíå÷íîé ìîùíîñòè l ñ ïðîíèöàåìîé
íèæíåé è íåïðîíèöàåìîé âåðõíåé ãðàíÿìè ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ â îáëàñòè
( , ) ( , )0 0l � �� ñèñòåìû óðàâíåíèé (6)–(8) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè
p t( , )0 0� , � �p l tx ( , ) 0, p x p( , )0 0� , (10)
C t C( , )0 0� , � �C l tx ( , ) 0, C x( , )0 0� , N x N( , )0 0� , (11)
ãäå p0 — íà÷àëüíîå ïîðîâîå äàâëåíèå â ìàññèâå, C0 — çàäàííîå çíà÷åíèå
êîíöåíòðàöèè ñîëåé íà âõîäå ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà, N 0 — çàäàííîå çíà÷å-
íèå íà÷àëüíîé êîíöåíòðàöèè âåùåñòâà â òâåðäîé ôàçå.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå è ïàðàìåòðû ñîîòíîøåíèÿìè
� �x
x
l
, � �
�
�
�
��t
C
l
t� �
2
1
, � �C
C
C0
, � �p
p
p0
, � �N
N
C0
, � �d
d
C�
,
� ��
�
�
C
C
0 , � �k
kp
C
0
� �
, � ��
�C
p
0
0
, � �N
N
C
0
0
0
, � ��
�
�
0
0
2l
C
. (12)
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Ïåðåõîäÿ â (6)–(11) ê áåçðàçìåðíûì ïåðåìåííûì ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì
(12) è îïóñêàÿ â äàëüíåéøåì çíàê øòðèõ íàä áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, ïîëó-
÷àåì â îáëàñòè ( , ) ( , )0 1 0� �� íåëèíåéíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó âèäà
D p
p
x
C
x
t
( ) ��
�
�
�
�
�
2
2
2
2
, (13)
� � D C D N d
C
x
k
p
x
C
x
C
x
t t
( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
, (14)
D N C Nt
( ) ( ) � � �� �0 0 , (15)
p t( , )0 0� , � �p tx ( , )1 0, p x( , )0 1� , (16)
C t( , )0 1� , � �C tx ( , )1 0, C x( , )0 0� , N x N( , )0 0� . (17)
ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È
È ÀËÃÎÐÈÒÌ ÐÀÑ×ÅÒÀ
Èçëîæèì êðàòêî ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà-
÷è (13)–(17), áàçèðóþùóþñÿ íà ñîâìåñòíîì èñïîëüçîâàíèè êîìáèíàöèè ÷èñ-
ëåííî-àíàëèòè÷åñêîãî è ÷èñëåííîãî ïîäõîäîâ. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì çàäà÷ó
(13), (16) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè p (ôóíêöèÿ C x t( , ) ïðè ýòîì ñ÷è-
òàåòñÿ èçâåñòíîé). Äëÿ ðåøåíèÿ óêàçàííîé çàäà÷è èñïîëüçóåì ïîäõîä, ñî÷å-
òàþùèé äâà ìåòîäà: äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûé è ñóììàðíûõ ïðåäñòàâëå-
íèé [15]. Ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ñåòî÷íóþ îáëàñòü
h i ix x ih� �{ :
( , )i m� �0 1 }, ãäå h — øàã ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðåìåííîé, ïðèìåíèì
ê èíòåãðàëó â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (13) ïðîñòåéøóþ êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó
òðàïåöèé ïî òðåì óçëàì: � 0 0� , �1 0 5� , , � 2 1� .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì çàäà÷ó
�2 1
1
2
2
2 0
2
2
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�p
t
D p
p
x
p
C
x
t , (18)
p t( , )0 0� , � �p tx ( , )1 0, p x( , )0 1� , (19)
ãäå 0
1
4
0� ( ), 1
1
2
1
2
�
�
�
�
� , 2
1
4
1� ( ).
Íà ñåòêå
h ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å (18), (19) äèôôåðåíöèàëü-
íî-ðàçíîñòíóþ çàäà÷ó âèäà
2 1
1
2
2 3 0
1
2
d p t
dt
D p t
h
T Et
m
�
�( )
( ) ( )( )� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
p t
h
T E C tm( ) ( ) ( ),( )�
2 3
2 (20)
� �
p e( )0 � , (21)
ãäå îáîçíà÷åíî
�
p t p t p t p tm( ) [ ( ), ( ), ..., ( )]� 1 2
T ,
�
C t C t C t C tm( ) [ ( ), ( ), ..., ( )]� 1 2
T ,
�
�e � [ , , , ]1 1 1 T , u t u x ti i( ) ( , )� ( , )i m�1 , T m
3
( ) — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m,
îïðåäåëåííàÿ â [16], E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà m-ãî ïîðÿäêà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 77
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå P-òðàíñôîðìàöèè âåêòîðîâ
� � �
p C e, , ñîîòíîøåíèÿìè
� ( ) ( ), � ( ) ( ), �( ) ( ) ( )* * *� �
� � � �
p t P p t Ñ t P C t e P em m m� � �
3 3 3
, (22)
ãäå P m
3
( )* — òðàíñïîíèðîâàííàÿ ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå P m
3
( ) êâàäðàòíàÿ
ìàòðèöà ïîðÿäêà m, P m
3
( ) — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ïî îòíîøåíèþ
ê ìàòðèöå T m
3
( ) , îïðåäåëåííàÿ ñîîòíîøåíèåì [16]:
P p
m
k j
m
m
kj k j
m
3
3
1
2
2 1
2 1
2 1
( ) ( )
,
[ ] sin
( )
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� �
�
�
�k j
m
, 1
.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (22) è óìíîæàÿ (20), (21) ñëåâà íà ìàòðèöó P m
3
( )*
ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà [16]: T P Pm m m m
3 3 3 3
( ) ( ) ( ) ( )*� � , çäåñü �
3 1
3
2
3( ) ( ) ( )[ , ,m � �
... , ]( ) m
3 — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû T m
3
( ) ,
k
( )3 �
� � �2 2 1 2 1cos ( ( ) / ( ))� k m ( , )k m�1 , ïîëó÷àåì â èçîáðàæåíèÿõ çàäà÷ó Êîøè, çà-
ïèñàííóþ â ñêàëÿðíîé ôîðìå â âèäå
dp t
dt
D p t p t F ti
t i i i i
� ( )
� ( ) � ( ) � ( )� � �
�
�
�
�
�
1
2
( , )i m�1 , (23)
� ( ) �p ei i0 � ( , )i m�1 , (24)
ãäå
� ( ) ( ) � ( )( )F t
h
C ti i i� �
�
2
2
32 , �
i i
h
� � �
�
�
�
�
�
�
1 1
2
2
2
3
0( )( ) ,
� � 1
2
, � ( )e pi ki
k
m
�
�
� 3
1
( , )i m�1 . (25)
Ðåøåíèå çàäà÷è (23)–(25) ñîãëàñíî [6] çàïèøåì â âèäå
� ( ) � ( ) ( ) � ( )
, ; ,
p t e t G t F di i i i
t
i
� � ���
1
1
20
�
( , )i m�1 , (26)
ãäå
� �i
i
n
n
t
t
n
n
n
t( )
( )
!
( , )
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
1 1
1 1
1
1
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
$
t
n
n
t1 1
1 1
3
2
1
2
�
( , )
,
,
(27)
G z
z
n
n
n
i
i
n
n
1
1
2 0
1 1
1 1
1
1
2
, ; ,
( )
( )
!
( , )
, �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, (28)
1 1� ( )z — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Ðàéòà [6].
Âîçâðàùàÿñü â ñîîòíîøåíèÿõ (26) ê îðèãèíàëàì ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïåðå-
ìåííîé, ïîëó÷àåì ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîé çàäà÷è (20), (21) â âèäå
p t t t C di i ik k
t
k
m
( ) ( )� � ���
�
�
% ( ) ( )
01
( , )i m�1 , (29)
ãäå
� i i l
k
m
k l l
l
m
t p p t( ) ( )( ) ( )�
��
�� 3
1
3
1
� ( , )i m�1 , (30)
% ik i l k l l
l
m
t
h
p p G
l
( ) ( )( ) ( ) ( )
, ; ,
� � �
�
�
�
�2
2
3 3 3
1
1
1
2
2 ( )t �
( , ; , ).i m k m� �1 1 (31)
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå, àïïðîêñèìèðóÿ èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè
óðàâíåíèÿ (15) ñîãëàñíî êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå òðàïåöèé, ïîëó÷àåì äëÿ îïðåäå-
ëåíèÿ êîíöåíòðàöèè N x t( , ) çàäà÷ó
�
�
� � � �
�
�
�
�N
t
D N N C N x Nt � �
1
2
00~ , ( , ) , (32)
ãäå
~�
� �
� �
�0 0 0
2
, �
��
� 0
2
.
Ðåøåíèå çàäà÷è (32) ñîãëàñíî [6] çàïèøåòñÿ â âèäå
N x t N R t G t C x d
t
( , ) ( ) ( ) ( , )
, ; ,~
� � ��0
1
1
20
�
�
, (33)
ãäå ôóíêöèè R G, îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì (27), (28) ñ ïðåäâàðè-
òåëüíîé çàìåíîé â ýòèõ ôîðìóëàõ � i íà ~�.
Òàêèì îáðàçîì, ÿâíûå çàâèñèìîñòè (29)–(31) è (33) îòêðûâàþò âîçìîæíîñòü íå-
ïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå çíà÷åíèé íåèç-
âåñòíûõ ïîëåé p è N ïðè èçâåñòíîì çíà÷åíèè ïîëÿ êîíöåíòðàöèè C íà ýòîì ñëîå.
Çàäà÷à äëÿ îòûñêàíèÿ ïîëÿ êîíöåíòðàöèé C ðåøàåòñÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûì
ìåòîäîì. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñåòî÷íóþ îáëàñòü
h i jx t� {( , ) :
x ihi � ( , )i m� �0 1 , t jj �
( , )}j n� 0 , çäåñü h,
— øàãè ñåòêè ïî ãåîìåòðè÷åñ-
êîé ïåðåìåííîé è âðåìåíè ñîîòâåòñòâåííî, è ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷å
(14), (17) ñèñòåìó ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííóþ â ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷å-
íèÿõ [17] â âèäå
� � � � & t xx xx
x x x x
C
d
C C kp C C C( ) ( � ) ( )( � ) ( �� � � � � �
2
1
2
0 0 0 0 0 C N�� 0 ) , (34)
ãäå
& t s
j
t
s
s
j
C C( ) ( ) ��
�
�
0
, �
�
�
� �s
j
s
jb d( ) ( )( )
( )
( )�
�� ' 2
0
1
,
b j s j ss
j( ) ( ) (( ) ( ) )�
� � �� � � � �� � �1 1 11 , C
C C
t
s
s s
�
��1
,
'( )� — ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà [18]. Îòìåòèì, ÷òî â êëàññå äîñòàòî÷íî ãëàä-
êèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå D Ct
( ) � & t C O( ) ( )
� .
Ðàñïèñûâàÿ â ñîîòíîøåíèè (34) ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíîñòíûå îïåðàòîðû
è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè-
÷åñêèõ óðàâíåíèé:
A C S C B C Fi
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
�
� �
�
�� � � �
1
1 1
1
1 ( , ; , )i m j n� �1 0 , (35)
ãäå îáîçíà÷åíî
A
h
d
hi
j
i
j� �
�
�
�
�
1
2
� , B
h
d
hi
j
i
j� �
�
�
�
�
1
2
� , S A Bi
j
i
j
i
j� �
�
�
�
�� ��
�
� 0 ,
� �i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
h
k p p C C� � � �
� � � �
1
4 1 1 1 1
( ( ) ( )), �
�
�
�
�
�
�
�
�
( )
( )
1
0
1
2'
d ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 79
F C
C C d
h
C Ci
j
i
j
s
j i
s
i
s
s
j
i
j
i
j� �
�
� �
�
�
�
���
�
� �
( ) (
1
0
1
2 1
2
2 � �
�
C
i
j
1
)
� � �
� �
�
� � �i
j
i
j
i
j
i
j
h
C C N
2 1 1 0 0( ) , ( )( �
�
�
�
s
j
0
1
0 ïðè j � 0.
Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (35) ÿâëÿþòñÿ òðåõòî÷å÷íûìè è ýôôåêòèâíî
ðåøàþòñÿ ìåòîäîì ïðîãîíêè [17], óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî ïðè ýòîì âûòåêàåò èç
ôàêòà äèàãîíàëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ â ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ ïðèâåäåííîé ñèñ-
òåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùèé êîìáèíèðîâàííûé àëãî-
ðèòì äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è (13)–(17):
1) çíàÿ çíà÷åíèÿ âåëè÷èí p è N íà ïðåäûäóùåì âðåìåííîì ñëîå, âû÷èñëÿåì
çíà÷åíèÿ C íà äàííîì âðåìåííîì ñëîå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçíîñòíîé ñõåìîé (34);
2) ñ ó÷åòîì íàéäåííûõ çíà÷åíèé C íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå âû-
÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ p è N íà íåì ñîãëàñíî ÿâíûì çàâèñèìîñòÿì (29) è (33);
3) çàâåðøåíèå ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ðàññìàòðèâàåìîì âðåìåííîì ñëîå.
Ïåðåõîäèì íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé ñëîé è ïîâòîðÿåì âû÷èñëåíèÿ íà÷èíàÿ ñ ï. 1.
×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå äèíàìèêè ïîëåé ôèëüòðàöèîííûõ äàâëåíèé è ïî-
ëåé êîíöåíòðàöèé â íàñûùåííîì ñîëåâûì ðàñòâîðîì ãåîïîðèñòîì ìàññèâå â ñî-
îòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì àëãîðèòìîì âûïîëíåíî îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ
ïåðåìåííûõ è ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòíîøåíèÿìè (12). Íåêîòîðûå èç ïî-
ëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèþ � � �( ) ( ) ( )� � �H H 1 , çäåñü
H — åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà [18], ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1, ãäå
ïîêàçàíà äèíàìèêà ïîëåé ïîðîâûõ äàâëåíèé (êðèâûå 1–5) è ïîëåé êîíöåíòðàöèé
C â æèäêîé ôàçå (êðèâûå � � �1 5 ) â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû áåçðàçìåðíîãî âðåìåíè t
(êðèâûå 1,1� ïðè t � 0 01, ; êðèâûå 2, 2� ïðè t � 0 05, ; êðèâûå 3 3, � ïðè t � 0 1, ; êðèâûå
4 4, � ïðè t � 0 2, ; êðèâûå 5 5, � ïðè t � 0 3, ).
Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñ-
ëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîçâîëÿ-
åò, â ÷àñòíîñòè, ñäåëàòü âûâîä
î òîì, ÷òî ïðèíÿòàÿ â ðàáîòå ìà-
òåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü è ðàçðàáî-
òàííûé àëãîðèòì ðàñ÷åòà àíî-
ìàëüíîãî ãåîìèãðàöèîííîãî ïðî-
öåññà â óñëîâèÿõ âðåìåííîé
íåëîêàëüíîñòè ïðèâîäÿò ê ôèçè-
÷åñêè íåïðîòèâîðå÷èâîé êàðòèíå
äèíàìèêè ðàññåèâàíèÿ ïîëÿ ïåð-
âîíà÷àëüíûõ ïîðîâûõ äàâëåíèé è
äèíàìèêè ðîñòà êîíöåíòðàöèè
ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ â íàñû-
ùåííîé ñîëåâûìè ðàñòâîðàìè
ãåîïîðèñòîé ñðåäå (ñì. ðèñ. 1).
Ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ãåîìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà ñîãëàñíî
ðàññìîòðåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåííîãî ïîðÿäêà êà÷åñòâåííî ñîãëàñó-
þòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ðàíåå [11] â ðàìêàõ ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíîé ãåî-
ìèãðàöèîííîé ìîäåëè äèñêðåòíîãî äðîáíîãî ïîðÿäêà.
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Ðèñ. 1
1'
2
3
4 5
5'4'3'
2'
1
p, C
x
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàññìîòðåííàÿ íåêëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ ëîêàëü-
íî-íåðàâíîâåñíîãî âî âðåìåíè ìèãðàöèîííîãî ïðîöåññà â íàñûùåííûõ ñîëå-
âûìè ðàñòâîðàìè ãåîïîðèñòûõ ñðåäàõ â óñëîâèÿõ ìàññîîáìåíà ïîçâîëÿåò òåî-
ðåòè÷åñêè èçó÷àòü äèíàìèêó àíîìàëüíûõ ìèãðàöèîííûõ ïîëåé â ðàìêàõ òåî-
ðèè ñâåðõìåäëåííîé äèôôóçèè [12–14] è ïðîèçâîäèòü ó÷åò âàæíûõ
äîïîëíèòåëüíûõ ôàêòîðîâ (íàïðèìåð, âðåìåííóþ íåëîêàëüíîñòü ñîñòàâëÿþ-
ùèõ ïðîöåññà ïåðåíîñà), òðàäèöèîííî íå ó÷èòûâàåìûõ â êëàññè÷åñêèõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ. Ó÷åò óêàçàííûõ ôàêòîðîâ ïðè ïîñòðîåíèè ñîâðåìåííûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ãåîìèãðàöèè îáóñëîâëåí íåîáõîäèìîñòüþ ïîâûøåíèÿ
ñòåïåíè àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåðàâíîâåñíûõ ïðîöåñ-
ñîâ ïåðåíîñà â ñëîæíûõ ãîðíî-ãåîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. M e t z l e r R . , K l a f t e r J . The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dy-
namics approach // Phys. Reports. — 2000. — 339. — P. 1–77.
2. Z a s l a v s k y G . M . Chaos, fractional kinetics and anomalous transport // Phys. Reports. — 2002.
— 371. — P. 461–580.
3. Õ à ñ à í î â Ì . Ì . , Á ó ë ã à ê î â à Ã . Ò . Íåëèíåéíûå è íåðàâíîâåñíûå ýôôåêòû â
ðåîëîãè÷åñêè ñëîæíûõ ñðåäàõ. — Ìîñêâà — Èæåâñê: Èí-ò êîìïüþò. èññëåä., 2003. — 288 ñ.
4. Ì å é ë à í î â Ì . Ì . , Ø è á à í î â à Ì . Ð . Îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïåðåíîñà
â ïðîèçâîäíûõ äðîáíîãî ïîðÿäêà // Æóðí. òåõí. ôèçèêè. — 2011. — 81, ¹ 7. — Ñ. 1–6.
5. G o r e n f l o R . , M a i n a r d i F . Random walk models for space-fractional diffusion procesess //
Fractional calculus and applied analysis. — 1998. — N 1. — P. 167–191.
6. K i l b a s A . A . , S r i v a s t a v a H . M . , T r u j i l l o J . J . Theory and applications of fractional
differential equations. — Amsterdam: Elsevier, 2006. — 523 p.
7. Ó ÷ à é ê è í Â . Â . Ìåòîä äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Óëüÿíîâñê: Èçä-âî «Àðòèøîê», 2008. —
512 ñ.
8. Á ó ë à â à ö ü ê è é  . Ì . , Ê ð è â î í î ñ Þ . à . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é  .  . Íåêëàñè÷í³
ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöåñ³â òåïëî- òà ìàñîïåðåíîñó. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 283 ñ.
9. Á î ì á à À . ß . , Á ó ë à â à ö ü ê è é  . Ì . , Ñ ê î ï å ö ü ê è é  .  . Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³
ìîäåë³ ïðîöåñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2007. — 292 ñ.
10. Á ó ë à â à ö ê è é  . Ì . , Ñ ê î ï å ö ê è é  .  . Íåêëàññè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå ìîäåëè
äèíàìèêè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ êîíñîëèäàöèîííûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2011. — ¹ 3. — Ñ. 78–87.
11. Á ó ë à â à ö ê è é  . Ì . Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ãåîèíôîðìàòèêè äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè
ëîêàëüíî-íåðàâíîâåñíûõ ãåîôèëüòðàöèîííûõ ïðîöåññîâ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è
èíôîðìàòèêè. — 2011. — ¹ 6. — Ñ. 76–83.
12. C h e c h k i n A . V . , G o r e n f l o R . , S o k o l o v I . M . , G o n c h a r V . Y u . Distributed or-
der time fractional diffusion equation // Fractional Calculus and Appl. Analysis. — 2003. — N 6. —
P. 259–279.
13. N a b e r M . Distributed order fractional sub-diffusion // Fractals. — 2004. — 12. — P. 23–32.
14. K o c h u b e i A . N . Distributed order calculus and equations of ultraslow diffusion // J. Math. Anal.
Appl. — 2008. — 340, N 1. — P. 252–281.
15. Ë ÿ ø ê î È . È . , Ä å ì ÷ å í ê î Ë . È . , Ì è ñ ò å ö ê è é à . Å . ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷
òåïëî- è ìàññîïåðåíîñà â ïîðèñòûõ ñðåäàõ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1991. — 264.
16. Ï î ë î æ è é à . Í . ×èñëåííîå ðåøåíèå äâóõìåðíûõ è òðåõìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷
ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è ôóíêöèè äèñêðåòíîãî àðãóìåíòà. — Ê.: Âèùà øêîëà, 1962. — 161 ñ.
17. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 656 ñ.
18. A b r a m o v i t z M . , S t e g u n I . A . Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover,
1965. — 831 p.
Ïîñòóïèëà 10.05.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 81
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86236 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T13:08:31Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. 2015-09-10T18:53:17Z 2015-09-10T18:53:17Z 2013 Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка / В.М. Булавацкий, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86236 517.9: 519.6 Виконано математичне моделювання динаміки локально-нерівноважного у часі геоміграційного процесу в насиченому сольовим розчином геопористому середовищі на основі субдифузійної моделі, що описується системою рівнянь розподіленого порядку. The paper addresses the mathematical modeling of the dynamics of a locally nonequilibrium (in time) geomigration process in a geoporous environment saturated with a salt solution, on the basis of a sub-diffusion model described by a system of equations of distributed order. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка Математичне моделювання динаміки аномальних міграційних полів в рамках моделі розподіленого порядку Mathematical modeling of the dynamics of abnormal migration fields within the framework of the model of distributed order Article published earlier |
| spellingShingle | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка Булавацкий, В.М. Кривонос, Ю.Г. Системный анализ |
| title | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка |
| title_alt | Математичне моделювання динаміки аномальних міграційних полів в рамках моделі розподіленого порядку Mathematical modeling of the dynamics of abnormal migration fields within the framework of the model of distributed order |
| title_full | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка |
| title_fullStr | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка |
| title_full_unstemmed | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка |
| title_short | Математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка |
| title_sort | математическое моделирование динамики аномальных миграционных полей в рамках модели распределенного порядка |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86236 |
| work_keys_str_mv | AT bulavackiivm matematičeskoemodelirovaniedinamikianomalʹnyhmigracionnyhpoleivramkahmodeliraspredelennogoporâdka AT krivonosûg matematičeskoemodelirovaniedinamikianomalʹnyhmigracionnyhpoleivramkahmodeliraspredelennogoporâdka AT bulavackiivm matematičnemodelûvannâdinamíkianomalʹnihmígracíinihpolívvramkahmodelírozpodílenogoporâdku AT krivonosûg matematičnemodelûvannâdinamíkianomalʹnihmígracíinihpolívvramkahmodelírozpodílenogoporâdku AT bulavackiivm mathematicalmodelingofthedynamicsofabnormalmigrationfieldswithintheframeworkofthemodelofdistributedorder AT krivonosûg mathematicalmodelingofthedynamicsofabnormalmigrationfieldswithintheframeworkofthemodelofdistributedorder |