Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием

Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием

Досліджуються коливання в квазілінійних стохастичних системах з післядією і використання до конкретних задач. Обґрунтовано алгоритм переходу до системи в стандартній формі методом усереднення з малим параметром за наявністю «швидкого» часу....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
Hauptverfasser: Ясинский, В.К., Малык, И.В.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:
Системный анализ
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86237
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-95. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86237
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-862372025-02-09T21:05:16Z Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием Дослідження коливань в квазілінійних стохастичних динамічних системах з післядією Investigation of oscillations in quasilinear stochastic dynamic systems with aftereffect Ясинский, В.К. Малык, И.В. Системный анализ Досліджуються коливання в квазілінійних стохастичних системах з післядією і використання до конкретних задач. Обґрунтовано алгоритм переходу до системи в стандартній формі методом усереднення з малим параметром за наявністю «швидкого» часу. The paper investigates oscillations in quasilinear stochastic systems with aftereffect and their application to specific problems. The algorithm of transition to a standard system with the help of the averaging method with small parameter in the presence of fast time is justified. 2013 Article Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-95. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86237 519.217; 519.718; 519.837 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Системный анализ
Системный анализ
spellingShingle Системный анализ
Системный анализ
Ясинский, В.К.
Малык, И.В.
Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
Кибернетика и системный анализ
description Досліджуються коливання в квазілінійних стохастичних системах з післядією і використання до конкретних задач. Обґрунтовано алгоритм переходу до системи в стандартній формі методом усереднення з малим параметром за наявністю «швидкого» часу.
format Article
author Ясинский, В.К.
Малык, И.В.
author_facet Ясинский, В.К.
Малык, И.В.
author_sort Ясинский, В.К.
title Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
title_short Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
title_full Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
title_fullStr Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
title_full_unstemmed Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
title_sort исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2013
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86237
citation_txt Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-95. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv AT âsinskiivk issledovaniekolebaniivkvazilineinyhstohastičeskihdinamičeskihsistemahsposledeistviem
AT malykiv issledovaniekolebaniivkvazilineinyhstohastičeskihdinamičeskihsistemahsposledeistviem
AT âsinskiivk doslídžennâkolivanʹvkvazílíníinihstohastičnihdinamíčnihsistemahzpíslâdíêû
AT malykiv doslídžennâkolivanʹvkvazílíníinihstohastičnihdinamíčnihsistemahzpíslâdíêû
AT âsinskiivk investigationofoscillationsinquasilinearstochasticdynamicsystemswithaftereffect
AT malykiv investigationofoscillationsinquasilinearstochasticdynamicsystemswithaftereffect
first_indexed 2025-11-30T18:32:16Z
last_indexed 2025-11-30T18:32:16Z
_version_ 1850241225693593600
fulltext ÓÄÊ 519.217; 519.718; 519.837 Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, È.Â. ÌÀËÛÊ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Â ÊÂÀÇÈËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ñ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ñèñòåìà ñ ïîñëå- äåéñòâèåì, ïóàññîíîâñêîå âîçìóùåíèå.  ðàáîòå [1] äîêàçàíà íåïðåðûâíîñòü ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó �� 0 ñèëüíîãî ðå- øåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïóàñ- ñîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè (ÑÄÔÓÏÂ). Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü çàìåíèòü ðåøå- íèÿ ÑÄÔÓÏ íåêîòîðûì ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì [2–4]. Êàê ñëåäñòâèå íåïðå- ðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏ îò ïàðàìåòðà �� 0 , â íàñòîÿùåé ñòàòüå óñòàíîâëåíî óòâåðæäåíèå î áëèçîñòè ýòèõ ïðîöåññîâ íà àñèìïòîòè÷å- ñêè áîëüøîì èíòåðâàëå âðåìåíè [ , / ]0 T � , êîòîðîå áóäåò áàçèðîâàòüñÿ íà ìåòî- äå óñðåäíåíèÿ [5, 6]. Êðîìå òîãî, èçëîæåí ìåòîä ïðèâåäåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî ÑÄÔÓÏ âòîðîãî ïîðÿäêà ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå è äîêàçàíà òåîðåìà îá óñðåä- íåíèè äëÿ ýòîé ñèñòåìû. Îïèñàí ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ, â êîòîðîì ïðîèçâîäÿ- ùèé îïåðàòîð äåòåðìèíèðîâàííîé ÷àñòè ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íà âû- áðàííîå ïðîñòðàíñòâî C ([ , ])�� 0 íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå êîíòóðíîãî èíòåãðàëà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè [7, 8]. Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � � � [9] çàäàí ñëó÷àéíûé ïðîöåññ R R� � �� 1, êàê ñèëüíîå ðåøåíèå [10–12] êâàçèëèíåéíîãî ÑÄÔÓÏ dx t m x dt t dw t t u dt du f t dtt U ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )~ ( , ) ( )� � � � � � � (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì x0 � � �( ) ; � � � 0 . (2) Çäåñü x x tt : ( ),� � � { }� � � 0 ; m S R: ([ , ])� �� 0 1; S — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðî- õîäà [13, 14]; ñëó÷àéíûå ïðîöåññû f R R: � � �� 1 ; � : R R� � �� 1 è ñëó÷àé- íàÿ ôóíêöèÿ �: R U R� � � �� 1 òàêèå, ÷òî � � �� t t T, [ , ]0 , T � 0 , � �| ( )| | ( )|f t dt t dt K t t t t 2 2� � � � � �� � �� � , (3) � | ( , )| ( ) ( )� t u du dt du K Ut t U 2 � �� � � � � �� . (4) Êðîìå òîãî, w t( ) — ñêàëÿðíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ; ~ ( , ): ( , ) ( , )� � �t A t A t A� �� — öåíòðèðîâàííàÿ ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà [9, 10]; ��( , ) ( )t A t A� � ; w t( ) è ~( , )� t A — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Îáîçíà÷èì H t( ) ðåøåíèå äåòåðìèíèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ [7, 15] dH t m H dtt( ) ( )� (5) ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ H t t t ( ) , , , . � � � � � � 1 0 0 0 82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 © Â.Ê. ßñèíñêèé, È.Â. Ìàëûê, 2013 Ýòî ðåøåíèå, ñëåäóÿ [7], áóäåì íàçûâàòü ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì (5). Äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ (2) íåïðåðûâíà è äåòåðìèíèðîâàíà. Äëÿ ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ íåîáõî- äèìî íà÷àëüíîå óñëîâèå x0 0� . (6) Ëåììà 1. Ïóñòü: 1) ñëó÷àéíûå ïðîöåññû �( ), ( )t f t è �( , )t u ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íåïðå- ðûâíû ïî t T [ , ]0 ; 2) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (3), (4). Òîãäà ðåøåíèå ÑÄÔÓÏ (1), (6) èìååò âèä x t H t s f s ds H t s s dw s H t s t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,� � � � � � 0 0 � � � u ds du U t )~ ( , )� 0 . (7) Äîêàçàòåëüñòâî íåòðóäíî ïðîâåñòè, ïîäñòàâëÿÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (7) â ÑÄÔÓÏ (1), èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì îáîáùåííóþ ôîðìóëó Èòî [12]. Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âìåñòî íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (6) çàäàòü íåíóëå- âûå óñëîâèÿ (2), òî äëÿ ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏ (1) èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà Êîøè x t y t H t s s dw s H t s s u ds du H( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )~ ( , ) (� � � � � �� � � t s f s ds t U tt � ) ( ) 000 , (8) ãäå y t( ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (5) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (2). Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � � � ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x R R: � � �� 1, êîòîðûé çàäàí ÑÄÔÓÏ âòîðîãî ïîðÿäêà d x t dt a dx t dt b x tk k k k k N2 2 0 ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � �m t x x t x x dw t dt t x x ut t t t t t( , , � ) ( , , � ) ( ) ( , , � , ) ~ ( , )� �dt du dt U (9) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x0 1� � , �x0 2� � , (10) çäåñü 0 0 1� � � � � � �� � � �� N ; ôóíêöèîíàëû m� ��, : R S�� � �([ , ])� 0 � � �S R([ , ])� 0 1 , � � �� : ([ , ]) ([ , ])R S S U R� � � � � � �0 0 1 îãðàíè÷åííûå: sup � � � � � � � � � ( , ) | ( , , )| | ( , , )| | ( , , 0 1 2 1 2 1 2 0 m t t t , )| ( )u du K U � , åñëè || || i K 1 , ãäå || ||� — íîðìà â ïðîñòðàíñòâå Ñêîðîõîäà, �0 — íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ïóñòü ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííàÿ ìåðà òàêàÿ, ÷òî � �t 0 , � �� �i i S, ([ , ])0 , i �1 2, , ïðè îãðàíè÷åííîé íîðìå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ðàâ- íîìåðíî ïî � � ( , )0 0 : 1� ) | ( , , ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )m t m t t t� � � �� � � � � � 1 1 2 2 1 1 2 2� � � |� � � � | ( , , , ) ( , , , )| ( ) [| ( ) (� � � � � � �� �t u t u du U 1 1 2 2 1 1� )|� � � 0 � �| ( ) ( )| ] ( )� � � �2 2 d ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 83 2� ) | ( , , )| | ( , , )| | ( , , , )| (m t t t u U � � �� � � � � 1 1 2 1 1 2 1 1 2� � � du ) � � � [ | ( )| | ( )| ] ( )1 1 2 2 2 0 � � � � �d t ; 3� ) äëÿ t � 0 , � � 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | ( , , ) ( , , )| | ( , , , ) m s m s ds s u t t � � � � � � � � 1 1 0 1 1 1 1 0 � � � � ( , , , )| ( , ) | ( , , ) ( , s u du ds s s Ut t � � � � � � � � 1 1 2 1 1 2 � � � � � , )| ( ) [ | ( )| | ( )| ] ( ), � � � � � � � 2 2 1 1 0 1ds d t t� � � � ãäå �( ) � 0 ïðè �� 0 . Îáîçíà÷èì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì îäíîðîäíîãî äåòåðìèíèðî- âàííîãî óðàâíåíèÿ y t a y t b y tk k k k k N ( ) ( )( ) ( ( ) ( ))2 1 0 0� � � � � � � � � , (11) êàê ôóíêöèþ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé L z z a z b ek k z k N k( ): ( )� � � � � �2 0 � . Ïóñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå L z( ) � 0 (12) èìååò n ïàð ïðîñòûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé � � � � � �i i i n� � �1 2, � , (13) îñòàëüíûå êîðíè ðàñïîëîæåíû â ïîëóïëîñêîñòè Re z � � 0 . Îò ÑÄÔÓÏ (9) ïåðåéäåì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé dx t x t dt( ) ( )� 1 , dx t a x t b x t dt m t x x dtk k k k t t k 1 1 1( ) [ ( ) ( )] ( , , )� � � � � � �� � � � � � 0 N � � � � � � �� �( , , ) ( ) ( , , , )~ ( , )t x x dw t t x x u dt dut t t t U 1 1 . Ýòó ñèñòåìó ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Êîøè (8) ìîæíî çàïèñàòü â èíòåãðàëüíîé ôîðìå � � x t y t H t s m s x x ds H t s s xs s s( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ,� � � � � � � � �� �1 x dw ss tt 1 00 ) ( )� � � � � H t s s x x u ds dus s U t ( ) ( , , , ) ~ ( , ),� � � � 1 0 (14) ãäå � x t x t x t T( ): ( ( ), ( ))� 1 ; � y t y t y t T( ): ( ( ), ( ))� 1 ; m s x xs s � � ( , , ):1 � ( ; ( , , ))0 1m s x xs s T� ; � � � �� �( , , ): ( ; ( , , ))s x x s x xs s s s T1 10 ; � � � �� �( , , , ): ( ; ( , , , ))s x x u s x x us s s s T1 10 . 84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Çäåñü � y t( ) — ðåøåíèå (11), çàïèñàííîå â âèäå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (10). Ëåììà 2. Ïóñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (12) èìååò n ïàð ïðîñòûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé (13), îñòàëüíûå êîðíè ðàñïîëîæåíû â ïîëóïëîñêîñòè Re z � � 0 . Òîãäà ôóíêöèÿ H t( ) ðàñùåïëÿåòñÿ â âèäå ñóììû H t G t G t G t G tn( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )� � � � �1 2 2 , (15) ãäå G t i z e dzzt z ( ): ( ) Re � � �� 1 2 1 � , i:� �1 , ôóíêöèè G tk ( ) , k n�1 2, , ðàâíû âû÷åòó îò ôóíêöèè L z e zt�1 ( ) â ñîîòâåòñòâóþ- ùåì êîðíå (13). Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 âûòåêàåò èç ôîðìóëû Êîøè [8]. � Ñëåäñòâèå 1. Ñîãëàñíî [1] êîîðäèíàòû ðåøåíèÿ � y t( ) ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàò- ðè÷íîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå y t B e B e y t y t D e j i t j n j i t j n j i j j j ( ) ~ ( ), ( ) � � � � � � � � �� � � 1 1 1 t j n j i t j n D e y tj� � � � ! ! � ! ! � � � � � 1 1 1 � ~ ( ), (16) ãäå ~( ) ( )y t o e t� � , ~ ( ) ( )y t o e t1 � � ïðè t � �� , à ïîñòîÿííûå B j , B j , D j , D j , j n�1, , îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (10). Òåîðåìà 1. Ðåøåíèå ñèñòåìû (14) � x t x t x t T( ) ( ( ), ( ))� 1 ïðåäñòàâèì â âèäå x t u t u t x t t t i i n i i n ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), � � � � � � ! ! � ! ! � � � � 1 1 1 � � ãäå ïðîöåññû u t t u t t i ni i( ), ( ), ( ), ( ), ,� � �1 , óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå ÑÄÔÓÏ du t t dt p m t u ui i i t j t j n t j t j n ( ) ( ) , ,� � � � " # $ $ � � � �� � � ��2 1 1 % & ' ' �dt � � � " # $ $ % & ' ' � � � � �2 1 1 p t u u dw ti t j t j n t j t j n � � � �� , , ( ) � � � � � � � 2 1 1 p t u u z dt dzi t j t j n t j t j n U � � � � �� ( , , , )~ ( , ) ; d t u t dt q m t u ui i i i i t j t j n t j t j � � � � � ��( ) ( ) , ,� � � � � � � �2 1 1 2 n dt� " # $ $ % & ' ' � � � � " # $ $ % & ' ' � � � � �2 1 1 � � � � �� i i t j t j n t j t j n q t u u dw t, , ( ) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 85 � � � " # $ $ % & ' ' � � � � 2 1 1 � � � � � �� i i t j t j n t j t j n U q t u u z, , , ) ~ ( dt dz, ) ; u t y t g t s m s u us j s j n s j s j n ( ) ~ ( ) ( ) , ,� � � � � " # $ $ % � � � �� � �� 1 1 & ' ' � 0 t � � � � " # $ $ % & ' ' � � � � �g t s s u u dw ss j s j n s j s j n ( ) , , ( )� � � �� 1 10 � � � � " # $ $ % & ' ' � � � � g t s s u u us j s j n s j s j n U t ( ) , , , ~� � � � 1 10 ( , )�ds du ; � � � ��( ) ~ ( ) ( ) , ,t y t g t s m s u ut j s j n t j s j n � � � � � " # $ � � � �1 1 1 1 $ % & ' ' � ds t 0 � � � � " # $ $ % & ' ' � � � � �g t s s u u dw ss j s j n t j s j n 1 1 10 ( ) , , ( )� � � � t � � � � " # $ $ % & ' ' � � � � g t s s u u ut j s j n t j s j n U t 1 1 10 ( ) , , ,� � �� ~( , )� �ds du , i n�1, , ãäå p L i j j : Re ' ( ) � � � ! �! ( ) ! *! 1 det � , q L i i j : Im ' ( ) � � � ! �! ( ) ! *! 1 det � , j n�1, , g t( ):� : ( ) Re � �� 1 2� i e L z dz zt z , g t i ze L z dz zt z 1 1 2 ( ): ( ) Re � �� � . Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ ðàñùåïëåíèå ìàòðèöû H t( ) (15) è ñîîòíîøåíèå äëÿ y t( ) , y t1 ( ) (16), ñèñòåìó (14) ìîæíî ðàñïèñàòü ïîêîîðäèíàòíî äëÿ x t( ) è x t1 ( ) : x t B e B e y t e L j i t j n j i t j n i t s j j j ( ) ~ ( ) ' ( ( ) � � � � � � � � � �� � � 1 1 i e L i g t s m j i t s jj nt j � � � � ) ' ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � 10 � �� � � � �( , , ) ( , , ) ( ) ( , , , )~ (s x x ds s x x dw s s x x zs s s s s s 1 1 1� � ds dz x t D e D e y t U j i t j n j i tj j , ) , ( ) ~ ( � � � � � � � � � � � � � �1 1 1� � ) ( ) ( ) ( ) ( ) j n j i t s j j i t s j i e L i i e L i g j j � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � 1 10 1 ( ) ( , , ) ( , , t s m s x x ds s x x j nt s s s s � � � � � � � � � � � � � � � �� � 1 1) ( ) ( , , , )~ ( , ) .dw s s x x z ds dzs s U � � � �� � � � � � � � � � � ! ! ! ! ! ! ! ! � ! ! ! ! ! ! ! ! (17) 86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Òîãäà äëÿ ïåðåìåííûõ u t t u t t i ni i( ), ( ), ( ), ( ), ,� � �1 , ïîëó÷èì 2 2n� óðàâíåíèÿ: u t B e B e e L i ej j i t j i t i t s j i t s j j j j ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � L i m s x x ds s x x d j t s s s s � � � � � � � � � � � � � ( ) ( , , ) ( , , ) � � �� � 0 1 1 w s s x x z ds dz t D e s s U j j ( ) ( , , , )~ ( , ) , ( ) � � � � � �� � � � � � � � � � 1 i t j i t j i t s j j i t s j j j j D e i e L i i e L � � � � � � � � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) (� � � � � � � � � � � � i m s x x ds s x x dw j t s s s s � � � �� � ) ( , , ) ( , , ) ( 0 1 1 s s x x z ds dz j ns s U ) ( , , , )~ ( , ) , , ;� � � � � � � � � � � � ! ! ! ! � � �� 1 1 ! ! � ! ! ! ! ! ! u t y t g t s m s x x ds g t s s xs s t s( ) ~ ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ,� � � � � � �� �1 0 x dw ss t 1 0 ) ( )� � � � g t s s x x z ds dzs s U t ( ) ( , , , ) ~ ( , )� � �� 1 0 ; � � �� �( ) ~ ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ,t y t g t s m s x x ds g t s ss s t � � � � � 1 1 1 0 1 x x dw ss s t , ) ( )1 0 � � � � g t s s x x z ds dzs s U t 1 1 0 ( ) ( , , , ) ~ ( , )� � �� . Äàëåå ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó òàê, ÷òîáû ïåðâûå 2n óðàâíåíèÿ èìå- ëè âèä du t t dt m t x x dt t x x dj j j t s t s( ) ( ) [ ( , , ) ( , , )� � ��� � � �� � 2 1 1 1 w t t x x z dt dz d t u t t s U j j j ( ) ( , , , )~ ( , )], ( ) ( � � � � � � � � � � � 1 2 ) [ ( , , ) ( , , ) ( ) ( , dt m t x x dt t x x dw t t x j t s t s� � � � � � � � � � � � 2 1 1 t s U x z dt du, , )~ ( , )],1 � � � � ! ! !! � ! ! ! ! (18) ãäå j n�1, , à êîýôôèöèåíòû � k , k n�1 2, , îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè � �� � �2 1 2 2 2 j i t s i t s j i t s i e e e ej j j� � � � � ��" # $ % & '� � ( ) ( ) ( ) � � � � � i j j t s i t s j i t s j e L i e L i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , � � � � " # $ % & ' � � � � � � � � �� � �2 1 2 2 2 j j i t s j i t s j i t s e e ej j j� � � � � �" # $ % & '� ( ) ( ) ( ) �" # $ % & ' � � � � � � � � � e i e L i i e i t s j i t s j j i t i j j � � � � � � ( ) ( ) ( ( ) s jL i j n ) ( ) , , . � � � � � ! ! ! ! � ! ! ! ! � 1 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 87  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷èì � � 2 1 2 1 j jL i � � � � � ! �! ( ) ! *! Re ( ) , � � � 2 2 1 j j jL i � � � � � ! �! ( ) ! *! Im ( ) . (19) Ïîäñòàâèâ (19) â ìàòðè÷íóþ ñèñòåìó (18), ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1. Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. � Çàìå÷àíèå 2.  äàëüíåéøèõ âûêëàäêàõ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî n �1 . Òåîðåìà 2. Ïóñòü çàäà÷à (9), (10) èìååò îãðàíè÷åííîå â ñðåäíåì ðåøåíèå. Òîãäà ñóùåñòâóåò C � 0 òàêîå, ÷òî äëÿ � � �( , )0 0 , ãäå �0— äîñòàòî÷íî ìàëîå, è � � �� � �� t T 0, � âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå || ~ || || ~ ||/ /u y y CT T� � � � �� �1 , (20) ïðè ýòîì || || : ( ) [ , ] / � �T t h T E t� " # $ $ % & ' ' � sup 2 1 2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ñëó÷àéíûå ïðîöåññû: u t y t t y t( ) ( )( ): ( ); ( ): ( );0 0 1� �� u t y t g t s m s u un s s n s s n( ) ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) ( , , )� � � � �� �� � �� 1 1 1 1 ds t � 0 � � � � �� � g t s s u u dw ss s n s s n t ( ) ( , , ) ( )( ) ( )� � � �� 1 1 1 1 0 � � � �� � g t s s u u ds dus s n s s n U t ( ) ( , , ) ~ ( ,( ) ( )� � � � �� 1 1 1 1 0 ) ; � � � ��( ) ( ) (( ) ~ ( ) ( ) ( , ,n s s n s s nt y t g t s m s u u� � � � �� �1 1 1 1 1 1) )ds t � 0 � � � � �� � g t s s u u dw ss s n s s n t 1 1 1 1 1 0 ( ) ( , , ) ( )( ) ( )� � � �� � � � �� � g t s s u u z dss s n s s n U t 1 1 1 1 1 0 ( ) ( , , , ) ~ (( ) ( )� � � � �� , )dz . Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè èòåðàöèÿìè, îáîçíà÷àÿ ||• || || • || /� T � : || || || || ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) • u u G t s m s dsn n n n� � � �� � 1 1 0 � � � �� � � � G t s s dw s( ) ( ) ( ) • �� �� 0 � � G t s s u ds du U ( ) ( , ) ~ ( , ) • �� � �� 0 , 88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 ãäå G t g t g t( ) ( ) ( )� � 1 , �m s m s u u m s u us s n s s n s s n� � �� �( ) ( , , ) ( ,( ) ( ) (� � � � �� �1 1 1 1 1 � ��2 1 2) ( ), )� �s s n ; �� � � � �� � �( ) ( , , ) ( ,( ) ( ) (s s u u s u us s n s s n s s n� � � � �� �1 1 1 1 1 � ��2 1 2) ( ), )� �s s n , �� � � � �� � �( , ) ( , , , ) ( ,( ) ( )s z s u u z s us s n s s n s� � � � �� �1 1 1 1 1 u zs n s s n( ) ( ), , )� ��2 1 2� � . Äàëåå, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ 1� è óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè (3), (4), ïîëó÷àåì îöåíêó || || || || ( ||( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (u u Ñ u un n n n n n� � � �� � � �1 1 1 1 2� � � ) ( ) ( )|| || || )� �� �� �n n1 2 , ãäå C C T C K1 � � �( , , ) . Âûáåðåì � òàêèì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå C1 1�� . Òîãäà ìîæíî óòâåðæäàòü î ñóùåñòâîâàíèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ u t( ) è �( )t , êîòîðûå çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè u t u t n n( ) lim ( )( )� �� , � �( ) lim ( )( )t t n n� �� , ïðè÷åì u t u t( ) ( )+ , � �( ) ( )t t+ . Äàëåå ïîëó÷èì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ || ~ || || ~ || || || ||( ) ( ) ( ) ( ) ( )u y y u u un n n n n� � � � � �� �� 1 1 1 u u yn( ) ( )|| || ~ ||� � � � �2 1 � � � � � � � � � � �|| || || || || ~ ||( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �n n n n y1 1 2 1 1 � � � � � � � �[( ) ]( || ~ || || ~ || )( ) ( )C C u y y K Cn 1 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � C K C C1 1 11� � � � � , ãäå K u y y: || ~|| || ~ ||( ) ( )� � � �1 1 1� . Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. � Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé dy t y t dt p m t y y dt p t y yi t t i t t 1 2 0 1 2 0 1 22 2( ) ( ) ( , , ) ( , ,� � �� � ) ( ) ( , , , ) ~ ( , ), ( ) dw t p t y y z dt dz dy t i t t U i � � � � � � � � � 2 0 1 2 2 2 1 0 1 2 0 1 22 2y t dt q m t y y dt q t y y di i t t i i t t( ) ( , , ) ( , , )� �� � � � w t q t y y z dt dzi i t t U ( ) ( , , , ) ~ ( , ), � � � � � � � � � ! ! ! � ! ! ! 2 0 1 2 (21) êîòîðóþ èíîãäà íàçûâàþò ÷àñòè÷íî óñðåäíåííîé ñèñòåìîé îòíîñèòåëüíî ñèñ- òåìû, ðàññìîòðåííîé â óòâåðæäåíèè òåîðåìû 1. Òîãäà ñïðàâåäëèâà òåîðåìà. Òåîðåìà 3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé 1�– 3� èìååò ìåñòî îöåíêà || || || ||/ /x y x y CT T� � � 1 1 2 1� � � . Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òåîðåìû 2 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî || || || ||u y y Ct t t t 1 1 1 2� � � � � . Ýòî íåòðóäíî âûïîëíèòü, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ1�– 3� è íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëà. Òåîðåìà 3 äîêàçàíà. � ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 89 Äëÿ ñèñòåìû ÑÄÔÓÏ (21) ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ r t y t y t( ) ( ( )) ( ( ))� �1 2 1 2 2 21 � ; � �( ) ( ) ( ) t y t y t t� � �arctg 2 1 1 1 . Îïðåäåëèì ôóíêöèè f x x x x 1 1 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) � � � , f t x x x x t2 1 2 1 2 1 2 2 1( , , ) � � �arctg � � . Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëå Èòî–Ñêîðîõîäà [9, 10] äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ r t( ) è ( )t ïîëó÷èì ÑÄÔÓÏ dr t( ) � � , , � , , � , , � , , � , , , � a x a x b x b x b b x x 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 22 2 � � � � � � � � � ! �! �� �f x x x y t x y t1 1 2 1 1 2 2( , ) ( ), ( ) � � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 12 2� � � y z f y t y tt U 1 1 1 2, )) ( ( ), ( ))� � � , , � , , � � 2 21 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 p t y y z x q t y y z x t t t t� � �( , , , ) ( , , , ) � � � � � � � � � � ( ) ! *! �� �f x x dz dt x y t x y t1 1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ), ( ) � � , , � , , � � � � � � � �b x b x f x x dw t x y t x y t1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2( , ) ( ( ), ( ) ) � � � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t1 1 1 0 1 1 2 1 1 0 12 2� � � y zt U 1, )) � � f y t y t dt du1 1 2( ( ), ( ))]~ ( , )� � ; d t t a x a x b x ( ) � , , � , , � , , � , , � � � � � � � ! �! 1 1 2 2 1 2 2 1 22 � , , � , , , � � � � � � b x b b x x f x x x y t x y 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 ( , ) ( ), 2( )t � � � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 12 2� � � y z f y t y tt U 1 2 1 2, )) ( ( ), ( ))� � � , , � , , � � 2 21 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 p t y y z x q t y y z x t t t t� � �( , , , ) ( , , , )� � � �� 90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 � � � � � ( ) ! *! �� �f x x dz dt x y t x y t2 1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( ), ( ) � � , , � , , � � � � � � � �b x b x f x x dw t x y t x y t1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2( , ) ( ( ), ( ) ) � � � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 12 2� � � y zt U 1, )) � � f y t y t dt du2 1 2( ( ), ( ))]~ ( , )� � , ãäå a y t p m t y yi t t1 2 0 1 22� �( ) ( , , )� , a y t q m t y yi i i t t2 2 1 0 1 22� � �� � �( ) ( , , ) , b p t y yi t t1 0 1 22� � � ( , , ) , b q t y yi i t t2 0 1 22� �� � ( , , ) . Ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëû dr t( ) è d t ( ) ïðèìóò âèä ïðè � �� 1 , p p� 1 , q q� 1: dr t p t t q t t m t rt t( ) [ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( , , )� � � � �2 1� � � { � � � � � � 1 2 2 2 2 2[ sin ( ( )) cos ( ( )) sin( ( ))p t t q t t pq t t� � � ] ( , , )� 1 2 t rt t � � � � � 1 1 2 2 2 2 2 r t t r z p t t q t U t t ( ) ( , , , )[ sin ( ( )) cos (� � � ( ))t � � � �pq t t dz dtsin ( ( ))] ( )� � } � � � � �2 1� � � �( , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( )t r p t t q t t dw tt t � � � �2 1� � � � �( , , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))]~ (t r z p t t q t t dtt t , )du U , d t r t q t t p t t m t rt � � � ( ) ( ) [ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( ,� � � � � 2 1{ , ) t � � � � � 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 r t t r p t t pq tt t ( ) ( , , )[ sin ( ( )) cos(� � � ( ))t � � � � q t t r t t r p t U t t 2 2 1 2 2 22 2 1 2sin ( ( ))] ( ) ( , , )[ sin (� � � � �2 ( ))t � � � � �2 2 22 2pq t t q t t n du dtcos ( ( )) sin ( ( ))] ( )� � � } � � � � � 2 1 r t r q t t p t t dw tt t� � � �( , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( ) � � � � 2 1 2 r t r z q t t p t tt t� � � � �( , , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))]~ ( dt dz U , ) , ãäå m t m t1 1 2 0 1 2( , , ): ( , , )� � � �� , � � � � � �1 1 2 0 1 2( , , ): ( , , )t t� , � � � � � �1 1 2 0 1 2( , , , ): ( , , , )t z t z� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 91 Èñõîäíûå ïðîöåññû x t( ) è �( )x t âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîöåññû r t( ) è ( )t ñëåäó- þùèì îáðàçîì: x t r t t t( ) ( )cos( ( ))� �� , �( ) ( ) sin( ( ))x t r t t t� � �� � . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ðàáîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ x x t st ( ): ( )� � �{ , s �[ , ]� 0 } , x x t s x tt : ( ) ( )� � �{ , s �[ , ]� 0 } , m t x t m t xt � �( , ( )) ( , )� , � �� �( , ( )) ( , )t x t t xt� , � �� �( , ( ), ) ( , , )t x t z t x zt� . Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ÑÄÔÓÏ äëÿ � � 0 : dx t m t x dt t x dw tt t � � � � �� � � � � � �( ) ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) ( )� � � � � � � � �� �( , ( ( )), ) ~ ( , )t x z dt dzt U , (22) êîòîðîå îïðåäåëÿåò «ìàëóþ» ÷àñòü óðàâíåíèÿ (9) è ÑÄÔÓÏ dz t m t z t dt t z t dw t t z t� � � � � � �� � � �( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )� � � , ) ~ ( , )z dt dz U � � (23) è çàäàåò íåêîòîðûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû ñôîðìóëèðóåì â ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèè. Òåîðåìà 4. Ïóñòü: 1) ôóíêöèîíàëû m� , � � è �� èç óðàâíåíèÿ (22) èçìåðèìû ïî âñåì ïåðåìåí- íûì è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1�– 3� ; 2) ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (22) è (23) íåïðåðûâíû ñëåâà; 3) lim ( ) � � � � � 0 0 è sup � � � � �E m s x ds Ks( ( , ( ( ))))2 0 � � � � ; 4) ÑÄÔÓÏ (22), (23) ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè �� 0 èìååò ìåñòî îöåíêà - . sup t T E x t z t � 0 0 2 1 , / | ( ) ( )| ( ) � � � � , (24) ãäå lim ( ) � � � � � 0 1 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìàì 2 è 3 äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4 äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî - . sup t T E x t z t � 0 2 1 , / | ( ) ( )| ( ) � � � � � . (25) Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü E x t z t E m s x m s z s dss| ( ) ( )| ( ( , ( ( ))) ( , ( )))� � � � � �� � �� �3 0 t � 2 � � � 3 0 2 E s x s z s dw ss t ( ( , ( ( ))) ( , ( ))) ( )� � � � �� � � � � � 3 0 E s x z s z s z dt dzs U t ( ( , ( ( )), ) ( , ( ), )) ~ ( , )� � � � � �� � � � 2 92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 � " # $ $ % & ' ' � C E m s x m s z s dss t 1 0 2 � � �� � � �( ( , ( ( ))) ( , ( ))) � � � E s x s z s dss t ( ( , ( ( ))) ( , ( )))� � � �� � � � 2 0 � � % & E s x z s z s z dz dss U t ( ( , ( ( )), ) ( , ( ), )) ( )� � � �� � � � 2 0 � ' ' , ãäå C1 � � — íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿ îò � . Èñïîëüçóÿ óñëîâèå Ëèïøèöà 1� è óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè 3� , ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî E x t z t KC C E x s s z s | ( ) ( )| | ( ) ( [ , ( )] � � � � � ��� � � � 1 2 0 1 1 sup s s ds t � 1 0 )| , ãäå C C C K T2 2 1� � �( , , , ) . Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî sup sup t T t T E x t z t KC C E x � � [ , / ] [ , / ] | ( ) ( )| | 0 1 2 0� � � � �� ( ) ( )|t z t dt T � � 0 . Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëó, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå sup t T C T E x t z t KC e � [ , / ] | ( ) ( )| 0 1 2 � � � � , ÷òî äîêàçûâàåò (25) è óòâåðæäåíèå òåîðåìû 4. Òåîðåìà 4 äîêàçàíà. � Çàìå÷àíèe 3. Ñ ïîìîùüþ òåîðåì 3 è 4 óäàëîñü óñðåäíèòü ñíîñ è ïåðåéòè îò äèôôóçèè � � ( , )t xt ê äèôôóçèè � 0 ( , ( ))t x t è îò �� ( , , )t x zt ê �� ( , ( ), )t x t z , êîòî- ðûå çàâèñÿò óæå íå îò îòðåçêà òðàåêòîðèè xt , à îò x t( ) . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëüíîå ðåøåíèå ÑÄÔÓÏ (22) ìîæíî çàìåíèòü ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì [2–4]. Äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ áóäåì îïåðèðîâàòü ÷èñòî äèôôóçèîííûì ÑÄÔÓÏÂ, ò.å. � ( , , )t u + 0 . Îáîçíà÷èì m t r p t t q t t m t rr t t( , , ): {[ cos( ( )) sin ( ( ))] ( , � � � � � �2 1 t t t t t r t r pq t t m t r , ) ( , , )[ cos ( ( ))] ( , , � � � � � � 1 2 2 1 2 }, � � t t t r q t t p t t m t r): [ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( , , )� � � � � � 2 1{ 1 2 2 2 2 2 1 2 2 r t r p t t pq t tt t� � � ( , , )[ sin ( ( )) cos ( ( ))� � � � q t t t r t r pr t t t t 2 1 2 2 2 sin ( ( ))] , ( , , ): ( , , )[ cos( � � � � � } � � � � t t q t t t r r t rt t t t � � � � ( )) sin( ( ))], ( , , ): ( , , ) 2 1 [ cos( ( )) sin( ( ))].q t t p t t� � � � � � � ! ! ! ! ! � ! ! ! ! ! (26) Ïåðåïèøåì äèôôåðåíöèàëû r t( ) è ( )t â îáîçíà÷åíèÿõ (26): dr t m t r dt t r dw t d t m t r t t r t t( ) ( , , ) ( , , ) ( ), ( ) ( � � � � � � � , , ) ( , , ) ( ).r dt t r dw tt t t t � � � � � ! �! ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 93 Ïðèìåíèâ òåîðåìó 4 ê äàííîé ñèñòåìå, ïîëó÷èì ñëåäóþùee ÷àñòè÷íî óñðåä- íåííîå ÑÄÔÓÏÂ: dr t m r t t dt t r t t dw t d t r r( ) ( ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ), ( ) � �� � � � � � � � � � � m r t t dt t r t t dw t( ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ). Ñîñòàâèì äëÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèå Ôîêêåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà (ÔÏÊ) äëÿ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ � ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ r è [5, 12] : , � � , , � , , � , , � � � � � � � � � dt r m r m r r tr r( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ( 2 2 2 , , )) ( , , ) ( , , ) ( r r t r t rr � � � � � �� � � , , , � , , 2 2 2 2 2{ } { t r, , ) . }  ýòîì óðàâíåíèè óñðåäíÿåì ïî ÿâíî âõîäÿùåìó âðåìåíè t òå êîýôôèöèåíòû ïðè � , êîòîðûå åùå ñîäåðæàò t [ ]14 , à èìåííî , , � � , , � , , � , , � � � � � � � � t r m r m r r rr[ ( , ) ] [ ( , ) ] [ ( , 2 2 2 )]� � , , , � , , 2 2 2 2 2� � � � � � � r r r rr[ ( , ) ( , )] [ ( , )] . Îòìåòèì, ÷òî ýòîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ àì- ïëèòóäû è ôàçû dr m r dt r d t r d t d r� � � � � � � � � � � � ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),11 1 12 2 m r dt r d t r d t � � � � � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),� � � � � 12 1 22 2 ãäå �1 è � 2 — îäèíàêîâûå íåêîððåëèðîâàííûå «áåëûå øóìû» [ ]12 , à êîýôôè- öèåíòû �11 , �12 , � 22 îïðåäåëÿþòñÿ èç ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà � � � � � � � � � � 11 12 12 22 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � r r r . Ýòó ñèñòåìó íàçîâåì ïîëíîñòüþ óïðîùåííîé äëÿ ñèñòåìû (21).  íàñòîÿùåé ðàáîòå èçëîæåíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: äîêàçàíî óòâåðæäå- íèå î áëèçîñòè èñõîäíîé ñèñòåìû (9), «÷àñòè÷íî» óñðåäíåííîé ñèñòåìû (21) è íåêîòîðîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, çàäàííîãî (23) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ � íà áåñ- êîíå÷íî âîçðàñòàþùåì èíòåðâàëå âðåìåíè [ , / ]0 T � . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (9), íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæåò áûòü çàìåíåíà íà íåêîòîðûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïðè ñîîòâåò- ñòâóþùèõ óñëîâèÿõ, íàëîæåííûõ íà êîýôôèöèåíòû m� , � � , �� è ïàìÿòü � �( ) . Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ïîäõîä ïðèìåíèì òàêæå è ê äèñêðåòíûì ñèñòåìàì ñî ñëó÷àéíîé ïàìÿòüþ [4]. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . , Ì à ë û ê È .  . Î íåïðåðûâíîñòè ïî ïàðàìåòðó ðåøåíèé ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïóàññîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè // Êèáåðíå- òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 6 — Ñ. 45–61. 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 2. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 861 ñ. 3. Ò è õ î í î â  . È . , Ì è ð î í î â Ì . À . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1977. — 488 ñ. 4. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Stochastic systems in merging phase space. — Berlin: Springer, 2005 — 331 p. 5. Ì è ò ð î ï î ë ü ñ ê è é Þ . À . Ìåòîä óñðåäíåíèÿ â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1971. — 440 ñ. 6. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ðèãà: Çèíàòíå, 1989. — 421 ñ. 7. Á å ë ë ì à í Ð . , Ê ó ê Ê . Äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1967. — 548 ñ. 8. Ø à á à ò Á .  . Ââåäåíèå â êîìïëåêñíûé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 576 ñ. 9. J a c o d J . , S h i r y a e v A . N . Limit theorems for stochastic processes. — Berlin: Springer, 1987. — 600 p. 10. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðè- ëîæåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ. 11. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíî- ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ðèãà: Îðèåíòèð, 1992. — 314 ñ. 12. ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . ß ñ è í ñ ü ê è é ª .  . Çàäà÷³ ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì ç³ ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ. — Ê.: ÒÂÌÑ, 2005. — 578 ñ. 13. Á è ë ë è í ã ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 352 ñ. 14. J a k u b o v s k i A . A non-Skorohod topology on the Skorohod space// Electronic J. of Probability. — 1997. — 42, N 18 — P. 1–21. 15. Á ó ê à ò à ð ü Ì . È . , Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Îá àâòîêîëåáàíèÿõ â ëàìïîâîì ãåíåðàòîðå ñ çàïàçäûâà- þùåé îáðàòíîé ñâÿçüþ // Èçâåñòèå âóçîâ. — 1970. — ¹ 8. — Ñ. 1117–1125. Ïîñòóïèëà 16.06.2010

Ähnliche Einträge