Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием
Досліджуються коливання в квазілінійних стохастичних системах з післядією і використання до конкретних задач. Обґрунтовано алгоритм переходу до системи в стандартній формі методом усереднення з малим параметром за наявністю «швидкого» часу. The paper investigates oscillations in quasilinear stochast...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86237 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-95. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859682264853512192 |
|---|---|
| author | Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| author_facet | Ясинский, В.К. Малык, И.В. |
| citation_txt | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-95. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджуються коливання в квазілінійних стохастичних системах з післядією і використання до конкретних задач. Обґрунтовано алгоритм переходу до системи в стандартній формі методом усереднення з малим параметром за наявністю «швидкого» часу.
The paper investigates oscillations in quasilinear stochastic systems with aftereffect and their application to specific problems. The algorithm of transition to a standard system with the help of the averaging method with small parameter in the presence of fast time is justified.
|
| first_indexed | 2025-11-30T18:32:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.217; 519.718; 519.837
Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ, È.Â. ÌÀËÛÊ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ Â ÊÂÀÇÈËÈÍÅÉÍÛÕ
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ
Ñ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ñèñòåìà ñ ïîñëå-
äåéñòâèåì, ïóàññîíîâñêîå âîçìóùåíèå.
 ðàáîòå [1] äîêàçàíà íåïðåðûâíîñòü ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó �� 0 ñèëüíîãî ðå-
øåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïóàñ-
ñîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè (ÑÄÔÓÏÂ). Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü çàìåíèòü ðåøå-
íèÿ ÑÄÔÓÏÂ íåêîòîðûì ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì [2–4]. Êàê ñëåäñòâèå íåïðå-
ðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏ îò ïàðàìåòðà �� 0 , â íàñòîÿùåé
ñòàòüå óñòàíîâëåíî óòâåðæäåíèå î áëèçîñòè ýòèõ ïðîöåññîâ íà àñèìïòîòè÷å-
ñêè áîëüøîì èíòåðâàëå âðåìåíè [ , / ]0 T � , êîòîðîå áóäåò áàçèðîâàòüñÿ íà ìåòî-
äå óñðåäíåíèÿ [5, 6]. Êðîìå òîãî, èçëîæåí ìåòîä ïðèâåäåíèÿ êâàçèëèíåéíîãî
ÑÄÔÓÏÂ âòîðîãî ïîðÿäêà ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå è äîêàçàíà òåîðåìà îá óñðåä-
íåíèè äëÿ ýòîé ñèñòåìû. Îïèñàí ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ, â êîòîðîì ïðîèçâîäÿ-
ùèé îïåðàòîð äåòåðìèíèðîâàííîé ÷àñòè ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íà âû-
áðàííîå ïðîñòðàíñòâî C ([ , ])�� 0 íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
êîíòóðíîãî èíòåãðàëà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè [7, 8].
Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � � � [9] çàäàí ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
R R� � �� 1, êàê ñèëüíîå ðåøåíèå [10–12] êâàçèëèíåéíîãî ÑÄÔÓÏÂ
dx t m x dt t dw t t u dt du f t dtt
U
( ) ( ) ( ) ( ) ( , )~ ( , ) ( )� � � � � � � (1)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
x0 � � �( ) ; �
� � 0 . (2)
Çäåñü x x tt : ( ),� � �
{ }� � � 0 ; m S R: ([ , ])� �� 0 1; S — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðî-
õîäà [13, 14]; ñëó÷àéíûå ïðîöåññû f R R: � � �� 1 ; � : R R� � �� 1 è ñëó÷àé-
íàÿ ôóíêöèÿ �: R U R� � � �� 1 òàêèå, ÷òî � � ��
t t T, [ , ]0 , T � 0 ,
� �| ( )| | ( )|f t dt t dt K
t
t
t
t
2 2� � � �
�
��
�
��
� , (3)
� | ( , )| ( ) ( )� t u du dt du K
Ut
t
U
2 � �� � � �
�
��
. (4)
Êðîìå òîãî, w t( ) — ñêàëÿðíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ; ~ ( , ): ( , ) ( , )� � �t A t A t A� �� —
öåíòðèðîâàííàÿ ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà [9, 10]; ��( , ) ( )t A t A� � ; w t( ) è ~( , )� t A —
íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.
Îáîçíà÷èì H t( ) ðåøåíèå äåòåðìèíèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ [7, 15]
dH t m H dtt( ) ( )� (5)
ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
H t
t
t
( )
, ,
, .
� �
�
�
�
�
1 0
0 0
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
© Â.Ê. ßñèíñêèé, È.Â. Ìàëûê, 2013
Ýòî ðåøåíèå, ñëåäóÿ [7], áóäåì íàçûâàòü ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì (5).
Äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà÷àëüíàÿ
ôóíêöèÿ (2) íåïðåðûâíà è äåòåðìèíèðîâàíà. Äëÿ ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ íåîáõî-
äèìî íà÷àëüíîå óñëîâèå
x0 0� . (6)
Ëåììà 1. Ïóñòü:
1) ñëó÷àéíûå ïðîöåññû �( ), ( )t f t è �( , )t u ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà íåïðå-
ðûâíû ïî t T
[ , ]0 ;
2) âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (3), (4).
Òîãäà ðåøåíèå ÑÄÔÓÏÂ (1), (6) èìååò âèä
x t H t s f s ds H t s s dw s H t s
t t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,� � � � � �
0 0
� � � u ds du
U
t
)~ ( , )�
0
. (7)
Äîêàçàòåëüñòâî íåòðóäíî ïðîâåñòè, ïîäñòàâëÿÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (7)
â ÑÄÔÓÏÂ (1), èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì îáîáùåííóþ ôîðìóëó Èòî [12].
Çàìå÷àíèå 1. Åñëè âìåñòî íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (6) çàäàòü íåíóëå-
âûå óñëîâèÿ (2), òî äëÿ ðåøåíèÿ ÑÄÔÓÏÂ (1) èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà Êîøè
x t y t H t s s dw s H t s s u ds du H( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )~ ( , ) (� � � � � �� � � t s f s ds
t
U
tt
� ) ( )
000
, (8)
ãäå y t( ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (5) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (2).
Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )� � � � ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ
x R R: � � �� 1, êîòîðûé çàäàí ÑÄÔÓÏ âòîðîãî ïîðÿäêà
d x t
dt
a
dx t
dt
b x tk
k
k k
k
N2
2
0
( ) ( )
( )�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � �� �
�
�� � �m t x x t x x
dw t
dt
t x x ut t t t t t( , , � ) ( , , � )
( )
( , , � , )
~ ( , )� �dt du
dt
U
(9)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x0 1� � , �x0 2� � , (10)
çäåñü 0 0 1� � � � � � �� � � �� N ; ôóíêöèîíàëû m� ��, : R S�� � �([ , ])� 0
� � �S R([ , ])� 0 1 , � � �� : ([ , ]) ([ , ])R S S U R� � � � � � �0 0 1 îãðàíè÷åííûå:
sup
� �
� � � � �
� �
( , )
| ( , , )| | ( , , )| | ( , ,
0
1 2 1 2 1 2
0
m t t t , )| ( )u du K
U
�
,
åñëè || || i K
1 , ãäå || ||� — íîðìà â ïðîñòðàíñòâå Ñêîðîõîäà, �0 — íåêîòîðàÿ
êîíñòàíòà.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åííàÿ ìåðà
òàêàÿ, ÷òî � �t 0 ,
�
�� �i i S, ([ , ])0 , i �1 2, , ïðè îãðàíè÷åííîé íîðìå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ðàâ-
íîìåðíî ïî � �
( , )0 0 :
1� ) | ( , , ) ( , , )| | ( , , ) ( , , )m t m t t t� � � �� � � � � � 1 1 2 2 1 1 2 2� � � |�
� �
� | ( , , , ) ( , , , )| ( ) [| ( ) (� � � � � � �� �t u t u du
U
1 1 2 2 1 1� )|�
�
�
0
� �| ( ) ( )| ] ( )� � �
�2 2 d ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 83
2� ) | ( , , )| | ( , , )| | ( , , , )| (m t t t u
U
� � �� � � � � 1 1
2
1 1
2
1 1
2� � � du )
� �
�
[ | ( )| | ( )| ] ( )1 1
2
2
2
0
� � � �
�d
t
;
3� ) äëÿ t � 0 , � � 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| ( , , ) ( , , )|
| ( , , , )
m s m s ds
s u
t
t
�
�
�
� �
� � �
1 1
0
1 1
1 1
0
� �
�
�
( , , , )| ( , )
| ( , , ) ( ,
s u du ds
s s
Ut
t
�
� � � �
�
� �
1 1
2
1 1 2
�
�
� �
�
, )| ( ) [ | ( )| | ( )| ] ( ), � � � �
�
�
�
2
2
1 1
0
1ds d
t
t�
�
� �
ãäå �( ) � 0 ïðè �� 0 .
Îáîçíà÷èì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì îäíîðîäíîãî äåòåðìèíèðî-
âàííîãî óðàâíåíèÿ
y t a y t b y tk k k k
k
N
( ) ( )( ) ( ( ) ( ))2 1
0
0� � � � �
�
� � � , (11)
êàê ôóíêöèþ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
L z z a z b ek k
z
k
N
k( ): ( )� � � �
�
�2
0
�
.
Ïóñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
L z( ) � 0 (12)
èìååò n ïàð ïðîñòûõ ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé
� � � � � �i i i n� � �1 2, � , (13)
îñòàëüíûå êîðíè ðàñïîëîæåíû â ïîëóïëîñêîñòè Re z
� �
0 .
Îò ÑÄÔÓÏÂ (9) ïåðåéäåì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
dx t x t dt( ) ( )� 1 ,
dx t a x t b x t dt m t x x dtk k k k t t
k
1 1 1( ) [ ( ) ( )] ( , , )� � � � � � �� � � �
�
�
0
N
� � � � � � �� �( , , ) ( ) ( , , , )~ ( , )t x x dw t t x x u dt dut t t t
U
1 1 .
Ýòó ñèñòåìó ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Êîøè (8) ìîæíî çàïèñàòü â èíòåãðàëüíîé
ôîðìå
� �
x t y t H t s m s x x ds H t s s xs s s( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ,� � � � �
� �
� �� �1 x dw ss
tt
1
00
) ( )� �
� �
�
H t s s x x u ds dus s
U
t
( ) ( , , , ) ~ ( , ),� � �
� 1
0
(14)
ãäå
�
x t x t x t T( ): ( ( ), ( ))� 1 ;
�
y t y t y t T( ): ( ( ), ( ))� 1 ; m s x xs s
�
�
( , , ):1 � ( ; ( , , ))0 1m s x xs s
T� ;
� �
� ��
�( , , ): ( ; ( , , ))s x x s x xs s s s
T1 10 ; � �
� ��
�( , , , ): ( ; ( , , , ))s x x u s x x us s s s
T1 10 .
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Çäåñü
�
y t( ) — ðåøåíèå (11), çàïèñàííîå â âèäå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (10).
Ëåììà 2. Ïóñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (12) èìååò n ïàð ïðîñòûõ
÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé (13), îñòàëüíûå êîðíè ðàñïîëîæåíû â ïîëóïëîñêîñòè
Re z
� �
0 .
Òîãäà ôóíêöèÿ H t( ) ðàñùåïëÿåòñÿ â âèäå ñóììû
H t G t G t G t G tn( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )� � � � �1 2 2 , (15)
ãäå
G t
i
z e dzzt
z
( ): ( )
Re
� �
��
1
2
1
�
, i:� �1 ,
ôóíêöèè G tk ( ) , k n�1 2, , ðàâíû âû÷åòó îò ôóíêöèè L z e zt�1 ( ) â ñîîòâåòñòâóþ-
ùåì êîðíå (13).
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2 âûòåêàåò èç ôîðìóëû Êîøè [8]. �
Ñëåäñòâèå 1. Ñîãëàñíî [1] êîîðäèíàòû ðåøåíèÿ
�
y t( ) ñîîòâåòñòâóþùåãî ìàò-
ðè÷íîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
y t B e B e y t
y t D e
j
i t
j
n
j
i t
j
n
j
i
j j
j
( ) ~ ( ),
( )
� � �
�
�
�
�
� �� �
�
1 1
1 t
j
n
j
i t
j
n
D e y tj� �
�
�
!
!
�
!
!
�
�
�
� �
1
1
1
� ~ ( ),
(16)
ãäå ~( ) ( )y t o e t� �
, ~ ( ) ( )y t o e t1 � �
ïðè t � �� , à ïîñòîÿííûå B j , B j , D j , D j ,
j n�1, , îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (10).
Òåîðåìà 1. Ðåøåíèå ñèñòåìû (14)
�
x t x t x t T( ) ( ( ), ( ))� 1 ïðåäñòàâèì â âèäå
x t u t u t
x t t t
i
i
n
i
i
n
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ),
� �
� �
�
�
!
!
�
!
!
�
�
�
�
1
1
1
� �
ãäå ïðîöåññû u t t u t t i ni i( ), ( ), ( ), ( ), ,� � �1 , óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå ÑÄÔÓÏÂ
du t t dt p m t u ui i
i t
j
t
j
n
t
j
t
j
n
( ) ( ) , ,� � � �
"
#
$
$
� �
� �� � � ��2
1 1
%
&
'
'
�dt
� � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
� �
� �2
1 1
p t u u dw ti t
j
t
j
n
t
j
t
j
n
� � � �� , , ( )
� � �
� �
� � 2
1 1
p t u u z dt dzi t
j
t
j
n
t
j
t
j
n
U
� � � � �� ( , , , )~ ( , ) ;
d t u t dt q m t u ui
i
i
i i t
j
t
j
n
t
j
t
j
� � � � � ��( ) ( ) , ,� � � � �
� �
�2
1 1
2
n
dt�
"
#
$
$
%
&
'
'
�
� � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
� �
� �2
1 1
� � � � ��
i i t
j
t
j
n
t
j
t
j
n
q t u u dw t, , ( )
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 85
� � �
"
#
$
$
%
&
'
'
� �
� � 2
1 1
� � � � � ��
i i t
j
t
j
n
t
j
t
j
n
U
q t u u z, , , ) ~ ( dt dz, ) ;
u t y t g t s m s u us
j
s
j
n
s
j
s
j
n
( ) ~ ( ) ( ) , ,� � � � �
"
#
$
$
%
� �
� �� � ��
1 1 &
'
'
�
0
t
� � � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
� �
� �g t s s u u dw ss
j
s
j
n
s
j
s
j
n
( ) , , ( )� � � ��
1 10
� � � �
"
#
$
$
%
&
'
'
� �
� � g t s s u u us
j
s
j
n
s
j
s
j
n
U
t
( ) , , , ~� � � �
1 10
( , )�ds du ;
� � � ��( ) ~ ( ) ( ) , ,t y t g t s m s u ut
j
s
j
n
t
j
s
j
n
� � � � �
"
#
$
� �
� �1
1
1 1
$
%
&
'
'
� ds
t
0
� � � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
� �
� �g t s s u u dw ss
j
s
j
n
t
j
s
j
n
1
1 10
( ) , , ( )� � � �
t
� � � �
"
#
$
$
%
&
'
'
� �
� � g t s s u u ut
j
s
j
n
t
j
s
j
n
U
t
1
1 10
( ) , , ,� � �� ~( , )� �ds du , i n�1, ,
ãäå p
L i
j
j
: Re
' ( )
�
�
�
!
�!
(
)
!
*!
1
det �
, q
L i
i
j
: Im
' ( )
�
�
�
!
�!
(
)
!
*!
1
det �
, j n�1, , g t( ):�
:
( )
Re
�
��
1
2�
i
e
L z
dz
zt
z
, g t
i
ze
L z
dz
zt
z
1
1
2
( ):
( )
Re
�
��
�
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ó÷èòûâàÿ ðàñùåïëåíèå ìàòðèöû H t( ) (15) è ñîîòíîøåíèå äëÿ
y t( ) , y t1 ( ) (16), ñèñòåìó (14) ìîæíî ðàñïèñàòü ïîêîîðäèíàòíî äëÿ x t( ) è x t1 ( ) :
x t B e B e y t
e
L
j
i t
j
n
j
i t
j
n i t s
j j
j
( ) ~ ( )
' (
( )
� � � �
�
�
�
�
� �� �
�
1 1 i
e
L i
g t s
m
j
i t s
jj
nt j
� �
�
�
) ' ( )
( )
( )
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
10
� �� � � � �( , , ) ( , , ) ( ) ( , , , )~ (s x x ds s x x dw s s x x zs s s s s s
1 1 1� � ds dz
x t D e D e y t
U
j
i t
j
n
j
i tj j
, ) ,
( ) ~ (
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�1
1
1� �
)
( ) ( )
( ) ( )
j
n
j
i t s
j
j
i t s
j
i e
L i
i e
L i
g
j j
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
1
�
�
�
�
� �
1
10
1
( )
( , , ) ( , ,
t s
m s x x ds s x x
j
nt
s s s s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �� � 1 1) ( ) ( , , , )~ ( , ) .dw s s x x z ds dzs s
U
� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
!
!
!
!
!
!
!
�
!
!
!
!
!
!
!
!
(17)
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Òîãäà äëÿ ïåðåìåííûõ u t t u t t i ni i( ), ( ), ( ), ( ), ,� � �1 , ïîëó÷èì 2 2n� óðàâíåíèÿ:
u t B e B e
e
L i
ej
j
i t
j
i t
i t s
j
i t s
j j
j j
( )
( )
( ) ( )
� � �
�
�
�
� � �
� �
� �
� L i
m s x x ds s x x d
j
t
s s s s
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
( )
( , , ) ( , , )
�
� �� �
0
1 1 w s s x x z ds dz
t D e
s s
U
j
j
( ) ( , , , )~ ( , ) ,
( )
� � � �
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
i t
j
i t j
i t s
j
j
i t s
j j
j j
D e
i e
L i
i e
L
� �
� �
�
�
�
� �
�
�
�
�
� � �( ) ( )
( ) (�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
i
m s x x ds s x x dw
j
t
s s s s
�
� � �� �
)
( , , ) ( , , ) (
0
1 1 s s x x z ds dz j ns s
U
) ( , , , )~ ( , ) , , ;�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
!
!
!
� � �� 1 1
!
!
�
!
!
!
!
!
!
u t y t g t s m s x x ds g t s s xs s
t
s( ) ~ ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , ,� � � � � � �� �1
0
x dw ss
t
1
0
) ( )� �
� � g t s s x x z ds dzs s
U
t
( ) ( , , , ) ~ ( , )� � �� 1
0
;
� � �� �( ) ~ ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ,t y t g t s m s x x ds g t s ss s
t
� � � � �
1
1
1
0
1 x x dw ss s
t
, ) ( )1
0
� �
� � g t s s x x z ds dzs s
U
t
1
1
0
( ) ( , , , ) ~ ( , )� � �� .
Äàëåå ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó òàê, ÷òîáû ïåðâûå 2n óðàâíåíèÿ èìå-
ëè âèä
du t t dt m t x x dt t x x dj j
j t s t s( ) ( ) [ ( , , ) ( , , )� � ��� � � �� �
2 1
1 1 w t
t x x z dt dz
d t u t
t s
U
j
j
j
( )
( , , , )~ ( , )],
( ) (
�
� � �
� �
�
�
�
� �
1
2 ) [ ( , , ) ( , , ) ( )
( ,
dt m t x x dt t x x dw t
t x
j t s t s� � �
�
� � � �
�
� �
�
2
1 1
t s
U
x z dt du, , )~ ( , )],1 � �
�
�
!
!
!!
�
!
!
!
!
(18)
ãäå j n�1, , à êîýôôèöèåíòû � k , k n�1 2, , îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
� �� � �2 1 2
2 2
j i t s i t s j i t s i
e e e ej j j� � � � � ��"
#
$
%
&
'� �
( ) ( ) ( ) �
� �
� �
i
j j
t s
i t s
j
i t s
j
e
L i
e
L i
( )
( ) ( )
( ) ( )
,
�
� � �
"
#
$
%
&
' �
�
�
� �
�
� �
�� � �2 1 2
2 2
j
j
i t s
j
i t s j i t s
e e ej j j� � � � �
�"
#
$
%
&
'�
( ) ( ) ( )
�"
#
$
%
&
' �
�
�
�
� �
� � �
e
i e
L i
i e
i t s
j
i t s
j
j
i t
i
j j
�
� �
�
�
�
( )
( ) (
( )
s
jL i
j n
)
( )
, , .
� �
�
�
�
!
!
!
!
�
!
!
!
!
�
1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 87
 ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷èì
�
�
2 1 2
1
j
jL i
� �
�
�
�
!
�!
(
)
!
*!
Re
( )
, � �
�
2 2
1
j j
jL i
� �
�
�
�
!
�!
(
)
!
*!
Im
( )
. (19)
Ïîäñòàâèâ (19) â ìàòðè÷íóþ ñèñòåìó (18), ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà. �
Çàìå÷àíèå 2.  äàëüíåéøèõ âûêëàäêàõ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî n �1 .
Òåîðåìà 2. Ïóñòü çàäà÷à (9), (10) èìååò îãðàíè÷åííîå â ñðåäíåì ðåøåíèå.
Òîãäà ñóùåñòâóåò C � 0 òàêîå, ÷òî äëÿ �
� �( , )0 0 , ãäå �0— äîñòàòî÷íî ìàëîå, è
�
�
��
�
��
t
T
0,
�
âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
|| ~ || || ~ ||/ /u y y CT T� � �
� �� �1 , (20)
ïðè ýòîì
|| || : ( )
[ , ]
/
� �T
t h T
E t�
"
#
$
$
%
&
'
'
�
sup 2
1 2
.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ñëó÷àéíûå ïðîöåññû:
u t y t t y t( ) ( )( ): ( ); ( ): ( );0 0 1� ��
u t y t g t s m s u un
s s
n
s s
n( ) ( ) ( )( ) ~ ( ) ( ) ( , , )� � � � �� �� � �� 1 1 1 1 ds
t
�
0
� � � � �� �
g t s s u u dw ss s
n
s s
n
t
( ) ( , , ) ( )( ) ( )� � � �� 1 1 1 1
0
� � � �� �
g t s s u u ds dus s
n
s s
n
U
t
( ) ( , , ) ~ ( ,( ) ( )� � � � �� 1 1 1 1
0
) ;
� � � ��( ) ( ) (( ) ~ ( ) ( ) ( , ,n
s s
n
s s
nt y t g t s m s u u� � � � �� �1
1
1 1 1 1) )ds
t
�
0
� � � � �� �
g t s s u u dw ss s
n
s s
n
t
1
1 1 1 1
0
( ) ( , , ) ( )( ) ( )� � � ��
� � � �� �
g t s s u u z dss s
n
s s
n
U
t
1
1 1 1 1
0
( ) ( , , , ) ~ (( ) ( )� � � � �� , )dz .
Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè èòåðàöèÿìè, îáîçíà÷àÿ
||• || || • || /� T � :
|| || || || ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
•
u u G t s m s dsn n n n� � �
�� �
1 1
0
� � � �� � � � G t s s dw s( ) ( ) ( )
•
�� ��
0
� � G t s s u ds du
U
( ) ( , ) ~ ( , )
•
�� � ��
0
,
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
ãäå
G t g t g t( ) ( ) ( )� � 1 ,
�m s m s u u m s u us s
n
s s
n
s s
n� � �� �( ) ( , , ) ( ,( ) ( ) (� � � � �� �1 1 1 1 1 � ��2 1 2) ( ), )� �s s
n ;
�� � � � �� � �( ) ( , , ) ( ,( ) ( ) (s s u u s u us s
n
s s
n
s s
n� � � � �� �1 1 1 1 1 � ��2 1 2) ( ), )� �s s
n ,
�� � � � �� � �( , ) ( , , , ) ( ,( ) ( )s z s u u z s us s
n
s s
n
s� � � � �� �1 1 1 1 1 u zs
n
s s
n( ) ( ), , )� ��2 1 2� � .
Äàëåå, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ 1� è óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè (3), (4), ïîëó÷àåì
îöåíêó
|| || || || ( ||( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (u u Ñ u un n n n n n� � �
�� � � �1 1
1
1 2� � � ) ( ) ( )|| || || )� �� �� �n n1 2 ,
ãäå C C T C K1 � � �( , , ) . Âûáåðåì � òàêèì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå C1 1�� .
Òîãäà ìîæíî óòâåðæäàòü î ñóùåñòâîâàíèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ u t( ) è �( )t ,
êîòîðûå çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
u t u t
n
n( ) lim ( )( )�
��
, � �( ) lim ( )( )t t
n
n�
��
,
ïðè÷åì u t u t( ) ( )+ , � �( ) ( )t t+ .
Äàëåå ïîëó÷èì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ
|| ~ || || ~ || || || ||( ) ( ) ( ) ( ) ( )u y y u u un n n n n� � �
� � �� �� 1 1 1 u u yn( ) ( )|| || ~ ||� � � � �2 1
�
� � � � � � �
� � �|| || || || || ~ ||( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �n n n n y1 1 2 1 1
�
� � � � �
�
�[( ) ]( || ~ || || ~ || )( ) ( )C C u y y K
Cn
1
1
1
1 1 1 1
1
� � �
�
�
C
K
C
C1
1
11�
�
�
�
�
,
ãäå K u y y: || ~|| || ~ ||( ) ( )� � � �1 1 1� .
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. �
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
dy t y t dt p m t y y dt p t y yi t t i t t
1 2 0 1 2 0 1 22 2( ) ( ) ( , , ) ( , ,� � �� � ) ( )
( , , , ) ~ ( , ),
( )
dw t
p t y y z dt dz
dy t
i t t
U
i
�
� � �
�
�
�
� �
2 0 1 2
2 2 1 0 1 2 0 1 22 2y t dt q m t y y dt q t y y di i t t i i t t( ) ( , , ) ( , , )� �� � � � w t
q t y y z dt dzi i t t
U
( )
( , , , ) ~ ( , ),
�
� � � �
�
�
�
�
!
!
!
�
!
!
! 2 0 1 2
(21)
êîòîðóþ èíîãäà íàçûâàþò ÷àñòè÷íî óñðåäíåííîé ñèñòåìîé îòíîñèòåëüíî ñèñ-
òåìû, ðàññìîòðåííîé â óòâåðæäåíèè òåîðåìû 1. Òîãäà ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé 1�– 3� èìååò ìåñòî îöåíêà
|| || || ||/ /x y x y CT T� � �
1 1 2
1� � � .
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó òåîðåìû 2 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
|| || || ||u y y Ct t t t
1 1 1 2� � �
� � .
Ýòî íåòðóäíî âûïîëíèòü, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ1�– 3� è íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëà.
Òåîðåìà 3 äîêàçàíà. �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 89
Äëÿ ñèñòåìû ÑÄÔÓÏÂ (21) ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ
r t y t y t( ) ( ( )) ( ( ))� �1 2
1
2
2 21
�
;
�
�( )
( )
( )
t
y t
y t
t� � �arctg
2
1
1 1 .
Îïðåäåëèì ôóíêöèè
f x x x
x
1 1 2 1
2 2
2
1
2
( , ) � �
�
, f t x x
x
x
t2 1 2
1
2
1 2
2 1( , , ) � � �arctg
�
� .
Òîãäà ñîãëàñíî ôîðìóëå Èòî–Ñêîðîõîäà [9, 10] äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ r t( )
è ( )t ïîëó÷èì ÑÄÔÓÏÂ
dr t( ) �
�
,
,
�
,
,
�
,
,
�
,
,
�
,
, ,
�
a
x
a
x
b
x
b
x
b b
x x
1
1
2
2
1
2 2
1
2
2
2 2
2
2 1 2
2
1 22 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
�!
�� �f x x
x y t x y t1 1 2
1
1
2
2( , )
( ), ( )
� � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t1
1
1
0 1 1 2
1 1
0 12 2� � � y z f y t y tt
U
1
1
1 2, )) ( ( ), ( ))� �
�
,
,
�
,
,
�
�
2 21
0 1 1
1
1 1
0 1 1
2
p t y y z
x
q t y y z
x
t t t t� � �( , , , ) ( , , , ) �
�
�
� �
�
�
�
�
�
(
)
!
*!
�� �f x x dz dt
x y t x y t1 1 2
1
1
2
2( , ) ( )
( ), ( )
�
�
,
,
�
,
,
�
�
�
�
�
� � �b
x
b
x
f x x dw t
x y t x y t1
1
2
2
1 1 2
1
1
2
2( , ) (
( ), ( )
) �
� � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t1
1
1
0 1 1 2
1 1
0 12 2� � � y zt
U
1, )) �
� f y t y t dt du1
1 2( ( ), ( ))]~ ( , )� � ;
d t
t
a
x
a
x
b
x
( ) �
,
,
�
,
,
�
,
,
�
,
,
�
�
�
�
�
�
�
!
�!
1
1
2
2
1
2 2
1
22
�
,
,
�
,
, ,
�
�
�
� � �
b
x
b b
x x
f x x
x y t x y
2
2 2
2
2 1 2
2
1 2
2 1 2
2 1
1
2
( , )
( ), 2( )t
�
� � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t2
1
1
0 1 1 2
1 1
0 12 2� � � y z f y t y tt
U
1
2
1 2, )) ( ( ), ( ))� �
�
,
,
�
,
,
�
�
2 21
0 1 1
1
1 1
0 1 1
2
p t y y z
x
q t y y z
x
t t t t� � �( , , , ) ( , , , )�
�
�
��
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
�
�
�
�
�
(
)
!
*!
�� �f x x dz dt
x y t x y t2 1 2
1
1
2
2( , ) ( )
( ), ( )
�
�
,
,
�
,
,
�
�
�
�
�
� � �b
x
b
x
f x x dw t
x y t x y t1
1
2
2
2 1 2
1
1
2
2( , ) (
( ), ( )
) �
� � �[ ( ( ) ( , , , ), ( ) ( , ,f y t p t y y z y t q t yt t t2
1
1
0 1 1 2
1 1
0 12 2� � � y zt
U
1, )) �
� f y t y t dt du2
1 2( ( ), ( ))]~ ( , )� � ,
ãäå
a y t p m t y yi t t1
2 0 1 22� �( ) ( , , )� , a y t q m t y yi i i t t2
2 1 0 1 22� � �� � �( ) ( , , ) ,
b p t y yi t t1
0 1 22� � � ( , , ) , b q t y yi i t t2
0 1 22� �� � ( , , ) .
Ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëû dr t( ) è d t ( )
ïðèìóò âèä ïðè � �� 1 , p p� 1 , q q� 1:
dr t p t t q t t m t rt t( ) [ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( , , )� � � � �2 1� � � {
� � � � � �
1
2
2 2 2 2[ sin ( ( )) cos ( ( )) sin( ( ))p t t q t t pq t t� � � ] ( , , )�
1
2 t rt t �
� � � �
1
1
2 2 2 2 2
r t
t r z p t t q t
U
t t
( )
( , , , )[ sin ( ( )) cos (� � � ( ))t �
� � �pq t t dz dtsin ( ( ))] ( )� � }
� � � � �2 1� � � �( , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( )t r p t t q t t dw tt t
� � � �2 1� � � � �( , , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))]~ (t r z p t t q t t dtt t , )du
U
,
d t
r t
q t t p t t m t rt
�
� � ( )
( )
[ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( ,� � � � �
2
1{ , ) t �
� � � �
1
2 2 2 2 2
1
2 2 2
r t
t r p t t pq tt t
( )
( , , )[ sin ( ( )) cos(� � � ( ))t �
� � � q t t
r t
t r p t
U
t t
2 2
1
2 2 22 2
1
2sin ( ( ))]
( )
( , , )[ sin (� � � � �2 ( ))t
� � � � �2 2 22 2pq t t q t t n du dtcos ( ( )) sin ( ( ))] ( )� � � }
� � � � �
2
1
r
t r q t t p t t dw tt t� � � �( , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( )
� � � �
2
1
2
r
t r z q t t p t tt t� � � � �( , , , )[ cos ( ( )) sin ( ( ))]~ ( dt dz
U
, ) ,
ãäå
m t m t1 1 2
0
1 2( , , ): ( , , )� � � �� , � � � � � �1 1 2
0
1 2( , , ): ( , , )t t� ,
� � � � � �1 1 2
0
1 2( , , , ): ( , , , )t z t z� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 91
Èñõîäíûå ïðîöåññû x t( ) è �( )x t âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîöåññû r t( ) è ( )t ñëåäó-
þùèì îáðàçîì:
x t r t t t( ) ( )cos( ( ))� �� , �( ) ( ) sin( ( ))x t r t t t� � �� � .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíîãî ðåçóëüòàòà ðàáîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
x x t st ( ): ( )� � �{ , s
�[ , ]� 0 } , x x t s x tt : ( ) ( )� � �{ , s
�[ , ]� 0 } ,
m t x t m t xt
� �( , ( )) ( , )� , � �� �( , ( )) ( , )t x t t xt� , � �� �( , ( ), ) ( , , )t x t z t x zt� .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ÑÄÔÓÏÂ äëÿ � � 0 :
dx t m t x dt t x dw tt t
� � � � �� � � � � � �( ) ( , ( ( ))) ( , ( ( ))) ( )� � �
� � � � � �� �( , ( ( )), ) ~ ( , )t x z dt dzt
U
, (22)
êîòîðîå îïðåäåëÿåò «ìàëóþ» ÷àñòü óðàâíåíèÿ (9) è ÑÄÔÓÏÂ
dz t m t z t dt t z t dw t t z t� � � � � � �� � � �( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )� � � , ) ~ ( , )z dt dz
U
� � (23)
è çàäàåò íåêîòîðûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû ñôîðìóëèðóåì â ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèè.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü:
1) ôóíêöèîíàëû m� , � � è �� èç óðàâíåíèÿ (22) èçìåðèìû ïî âñåì ïåðåìåí-
íûì è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1�– 3� ;
2) ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (22) è (23) íåïðåðûâíû ñëåâà;
3) lim ( )
�
� �
�
�
0
0 è sup
�
� � � �E m s x ds Ks( ( , ( ( ))))2
0
�
� � � ;
4) ÑÄÔÓÏ (22), (23) ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.
Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì çíà÷åíèè �� 0 èìååò ìåñòî îöåíêà
- .
sup
t T
E x t z t
�
0
0 2
1
, /
| ( ) ( )| ( )
�
� � � , (24)
ãäå lim ( )
�
� �
�
�
0
1 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìàì 2 è 3 äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
- .
sup
t T
E x t z t
�
0
2
1
, /
| ( ) ( )| ( )
�
� � � � . (25)
Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü
E x t z t E m s x m s z s dss| ( ) ( )| ( ( , ( ( ))) ( , ( )))� � � � � �� � ��
�3
0
t
�
2
� � � 3
0
2
E s x s z s dw ss
t
( ( , ( ( ))) ( , ( ))) ( )� � � � �� � � �
� � 3
0
E s x z s z s z dt dzs
U
t
( ( , ( ( )), ) ( , ( ), )) ~ ( , )� � � � � �� � � �
2
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
�
"
#
$
$
%
&
'
'
� C E m s x m s z s dss
t
1
0
2
� � �� � � �( ( , ( ( ))) ( , ( )))
� � � E s x s z s dss
t
( ( , ( ( ))) ( , ( )))� � � �� � � � 2
0
� �
%
&
E s x z s z s z dz dss
U
t
( ( , ( ( )), ) ( , ( ), )) ( )� � � �� � � � 2
0
� '
'
,
ãäå C1 � � — íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, íå çàâèñÿùàÿ îò � .
Èñïîëüçóÿ óñëîâèå Ëèïøèöà 1� è óñëîâèå èíòåãðèðóåìîñòè 3� , ïîëó÷àåì
íåðàâåíñòâî
E x t z t KC C E x s s z
s
| ( ) ( )| | ( ) (
[ , ( )]
� �
� �
� ���
� � �
1 2
0
1
1
sup s s ds
t
� 1
0
)| ,
ãäå C C C K T2 2 1� � �( , , , )
.
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî
sup sup
t T t T
E x t z t KC C E x
�
�
[ , / ] [ , / ]
| ( ) ( )| |
0
1 2
0�
� �
�
�� ( ) ( )|t z t dt
T
�
�
0
.
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëó, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
sup
t T
C T
E x t z t KC e
�
[ , / ]
| ( ) ( )|
0
1
2
�
� � � ,
÷òî äîêàçûâàåò (25) è óòâåðæäåíèå òåîðåìû 4.
Òåîðåìà 4 äîêàçàíà. �
Çàìå÷àíèe 3. Ñ ïîìîùüþ òåîðåì 3 è 4 óäàëîñü óñðåäíèòü ñíîñ è ïåðåéòè îò
äèôôóçèè � � ( , )t xt ê äèôôóçèè � 0 ( , ( ))t x t è îò �� ( , , )t x zt ê �� ( , ( ), )t x t z , êîòî-
ðûå çàâèñÿò óæå íå îò îòðåçêà òðàåêòîðèè xt , à îò x t( ) . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëüíîå
ðåøåíèå ÑÄÔÓÏÂ (22) ìîæíî çàìåíèòü ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì [2–4].
Äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ áóäåì îïåðèðîâàòü ÷èñòî äèôôóçèîííûì
ÑÄÔÓÏÂ, ò.å. � ( , , )t u + 0 .
Îáîçíà÷èì
m t r p t t q t t m t rr t t( , , ): {[ cos( ( )) sin ( ( ))] ( , � � � � � �2 1 t t
t t
t
r
t r pq t t
m t r
, )
( , , )[ cos ( ( ))]
( , ,
� �
�
� � �
1
2 2
1
2 },
� � t t t
r
q t t p t t m t r): [ cos ( ( )) sin ( ( ))] ( , , )� � � � �
�
2
1{
1
2 2 2 2 2
1
2 2
r
t r p t t pq t tt t� � � ( , , )[ sin ( ( )) cos ( ( ))� � � � q t t
t r t r pr t t t t
2
1
2 2
2
sin ( ( ))] ,
( , , ): ( , , )[ cos(
�
� �
�
�
}
� �
� �
t t q t t
t r
r
t rt t t t
� � �
�
( )) sin( ( ))],
( , , ): ( , , )
2
1 [ cos( ( )) sin( ( ))].q t t p t t� � � � �
�
�
!
!
!
!
!
�
!
!
!
!
!
(26)
Ïåðåïèøåì äèôôåðåíöèàëû r t( ) è ( )t â îáîçíà÷åíèÿõ (26):
dr t m t r dt t r dw t
d t m t
r t t r t t( ) ( , , ) ( , , ) ( ),
( ) (
� �
�
� � �
� , , ) ( , , ) ( ).r dt t r dw tt t t t � � �
�
�
!
�!
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 93
Ïðèìåíèâ òåîðåìó 4 ê äàííîé ñèñòåìå, ïîëó÷èì ñëåäóþùee ÷àñòè÷íî óñðåä-
íåííîå ÑÄÔÓÏÂ:
dr t m r t t dt t r t t dw t
d t
r r( ) ( ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ),
( )
� �� � �
� �
�
�
� � � � m r t t dt t r t t dw t( ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ).
Ñîñòàâèì äëÿ ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèå Ôîêêåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà (ÔÏÊ)
äëÿ ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ � ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ r è [5, 12] :
,
� �
,
,
�
,
,
�
,
,
�
�
� �
� � � � �
dt r
m r m r
r
tr r( ( , ) ) ( ( , ) ) ( (
2
2
2 , , ))
( , , ) ( , , ) (
r
r
t r t rr
�
� � � �
��
�
�
,
, ,
�
,
,
2
2 2
2
2{ } { t r, , ) . }
 ýòîì óðàâíåíèè óñðåäíÿåì ïî ÿâíî âõîäÿùåìó âðåìåíè t òå êîýôôèöèåíòû
ïðè � , êîòîðûå åùå ñîäåðæàò t [ ]14 , à èìåííî
,
,
� �
,
,
�
,
,
�
,
,
�
� �
� � � � �
t r
m r m r
r
rr[ ( , ) ] [ ( , ) ] [ ( ,
2
2
2 )]�
�
,
, ,
�
,
,
2
2 2
2
2�
� � � �
� �
r
r r rr[ ( , ) ( , )] [ ( , )] .
Îòìåòèì, ÷òî ýòîìó óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ àì-
ïëèòóäû è ôàçû
dr m r dt r d t r d t
d
r� � �
�
� � � � � � �
�
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),11 1 12 2
m r dt r d t r d t � � � � � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ),� �
�
�
� 12 1 22 2
ãäå �1 è � 2 — îäèíàêîâûå íåêîððåëèðîâàííûå «áåëûå øóìû» [ ]12 , à êîýôôè-
öèåíòû �11 , �12 , � 22 îïðåäåëÿþòñÿ èç ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà
� �
� �
� � �
� � �
11 12
12 22
2 2
2
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
r r
r
.
Ýòó ñèñòåìó íàçîâåì ïîëíîñòüþ óïðîùåííîé äëÿ ñèñòåìû (21).
 íàñòîÿùåé ðàáîòå èçëîæåíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: äîêàçàíî óòâåðæäå-
íèå î áëèçîñòè èñõîäíîé ñèñòåìû (9), «÷àñòè÷íî» óñðåäíåííîé ñèñòåìû (21) è
íåêîòîðîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, çàäàííîãî (23) ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ � íà áåñ-
êîíå÷íî âîçðàñòàþùåì èíòåðâàëå âðåìåíè [ , / ]0 T � .
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (9), íå òåðÿÿ
îáùíîñòè, ìîæåò áûòü çàìåíåíà íà íåêîòîðûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïðè ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ óñëîâèÿõ, íàëîæåííûõ íà êîýôôèöèåíòû m� , � � , �� è ïàìÿòü � �( ) .
Îòìåòèì, ÷òî ýòîò ïîäõîä ïðèìåíèì òàêæå è ê äèñêðåòíûì ñèñòåìàì ñî
ñëó÷àéíîé ïàìÿòüþ [4].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . , Ì à ë û ê È .  . Î íåïðåðûâíîñòè ïî ïàðàìåòðó ðåøåíèé ñòîõàñòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïóàññîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè // Êèáåðíå-
òèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 6 — Ñ. 45–61.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
2. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 861 ñ.
3. Ò è õ î í î â Â . È . , Ì è ð î í î â Ì . À . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1977. — 488 ñ.
4. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Stochastic systems in merging phase space. — Berlin: Springer,
2005 — 331 p.
5. Ì è ò ð î ï î ë ü ñ ê è é Þ . À . Ìåòîä óñðåäíåíèÿ â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1971. — 440 ñ.
6. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. —
Ðèãà: Çèíàòíå, 1989. — 421 ñ.
7. Á å ë ë ì à í Ð . , Ê ó ê Ê . Äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1967. — 548 ñ.
8. Ø à á à ò Á . Â . Ââåäåíèå â êîìïëåêñíûé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 576 ñ.
9. J a c o d J . , S h i r y a e v A . N . Limit theorems for stochastic processes. — Berlin: Springer,
1987. — 600 p.
10. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðè-
ëîæåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ.
11. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é  . Ê . Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíî-
ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ðèãà: Îðèåíòèð, 1992. — 314 ñ.
12. ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . ß ñ è í ñ ü ê è é ª .  . Çàäà÷³ ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì ç³
ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ. — Ê.: ÒÂÌÑ, 2005. — 578 ñ.
13. Á è ë ë è í ã ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 352 ñ.
14. J a k u b o v s k i A . A non-Skorohod topology on the Skorohod space// Electronic J. of Probability.
— 1997. — 42, N 18 — P. 1–21.
15. Á ó ê à ò à ð ü Ì . È . , Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Îá àâòîêîëåáàíèÿõ â ëàìïîâîì ãåíåðàòîðå ñ çàïàçäûâà-
þùåé îáðàòíîé ñâÿçüþ // Èçâåñòèå âóçîâ. — 1970. — ¹ 8. — Ñ. 1117–1125.
Ïîñòóïèëà 16.06.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86237 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T18:32:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ясинский, В.К. Малык, И.В. 2015-09-10T18:55:54Z 2015-09-10T18:55:54Z 2013 Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием / В.К. Ясинский, И.В. Малык // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-95. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86237 519.217; 519.718; 519.837 Досліджуються коливання в квазілінійних стохастичних системах з післядією і використання до конкретних задач. Обґрунтовано алгоритм переходу до системи в стандартній формі методом усереднення з малим параметром за наявністю «швидкого» часу. The paper investigates oscillations in quasilinear stochastic systems with aftereffect and their application to specific problems. The algorithm of transition to a standard system with the help of the averaging method with small parameter in the presence of fast time is justified. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием Дослідження коливань в квазілінійних стохастичних динамічних системах з післядією Investigation of oscillations in quasilinear stochastic dynamic systems with aftereffect Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием Ясинский, В.К. Малык, И.В. Системный анализ |
| title | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием |
| title_alt | Дослідження коливань в квазілінійних стохастичних динамічних системах з післядією Investigation of oscillations in quasilinear stochastic dynamic systems with aftereffect |
| title_full | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием |
| title_fullStr | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием |
| title_full_unstemmed | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием |
| title_short | Исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием |
| title_sort | исследование колебаний в квазилинейных стохастических динамических системах с последействием |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86237 |
| work_keys_str_mv | AT âsinskiivk issledovaniekolebaniivkvazilineinyhstohastičeskihdinamičeskihsistemahsposledeistviem AT malykiv issledovaniekolebaniivkvazilineinyhstohastičeskihdinamičeskihsistemahsposledeistviem AT âsinskiivk doslídžennâkolivanʹvkvazílíníinihstohastičnihdinamíčnihsistemahzpíslâdíêû AT malykiv doslídžennâkolivanʹvkvazílíníinihstohastičnihdinamíčnihsistemahzpíslâdíêû AT âsinskiivk investigationofoscillationsinquasilinearstochasticdynamicsystemswithaftereffect AT malykiv investigationofoscillationsinquasilinearstochasticdynamicsystemswithaftereffect |