Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций
Розглянуто безсітковий метод розв’язання 3D нестаціонарних крайових задач теплопровідності, що реалізується завдяки ітераційнiй схемi на основі комбінації методу подвійного заміщення та методу фундаментальних рішень з використанням атомарних радіальних базисних функцій. Наданo підходи для побудови в...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86240 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций / В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 124-131. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860237459632160768 |
|---|---|
| author | Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. |
| author_facet | Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. |
| citation_txt | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций / В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 124-131. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто безсітковий метод розв’язання 3D нестаціонарних крайових задач теплопровідності, що реалізується завдяки ітераційнiй схемi на основі комбінації методу подвійного заміщення та методу фундаментальних рішень з використанням атомарних радіальних базисних функцій. Наданo підходи для побудови візуалізації шуканого розв’язку.
The authors consider a meshless method to solve 3D boundary-value problems of nonstationary heat conduction. It is implemented through an iterative scheme based on a combination of double substitution method and the method of fundamental solutions with the use of atomic radial basis functions. The approaches to the visualization of the desired solution are considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:25:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517. 95.4 + 530.1
Â.Ì. ÊÎËÎÄßÆÍÛÉ, Ä.À. ËÈÑÈÍ
ÁÅÑÑÅÒÎ×ÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÇÀÄÀ×
ÒÅÏËÎÏÐÎÂÎÄÍÎÑÒÈ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÀÒÎÌÀÐÍÛÕ
ÐÀÄÈÀËÜÍÛÕ ÁÀÇÈÑÍÛÕ ÔÓÍÊÖÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: áåññåòî÷íûé ìåòîä, àòîìàðíûå ôóíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåí-
íûõ, êðàåâûå çàäà÷è, íåñòàöèîíàðíûå çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå êðàòêî èçëîæåíà êîíöåïöèÿ áåññåòî÷íîãî ìåòîäà ðåøåíèÿ
íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè, ðåàëèçóåìîãî ñ èñïîëüçîâàíèåì àòî-
ìàðíûõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Îáçîðû ïî áåññåòî÷íûì ìåòîäàì ïðåä-
ñòàâëåíû â ñòàòüÿõ [1–5]. Âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ àòîìàðíûõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïå-
ðåìåííûõ è èõ ïðèìåíåíèå â áåññåòî÷íûõ ñõåìàõ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ èññëåäîâàëèñü â ðàáîòàõ [6–8].
 ìîäåëÿõ ñïëîøíîé ñðåäû äëÿ îïèñàíèÿ áàëàíñà òåïëà ðàññìàòðèâàåòñÿ
óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
c
u
t
u q
�
�
� �� � , (1)
ãäå u u t r� ( , ) — ïîëå òåìïåðàòóð, âðåìÿ t è ïðîñòðàíñòâî r x x x� ( , , )1 2 3 — íå-
çàâèñèìûå ïåðåìåííûå, c — òåïëîåìêîñòü, � — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíî-
ñòè, q — ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ è ñòîêîâ òåïëà.
Ðàññìîòðèì ðåøåíèå íà îòðåçêå âðåìåíè [ , ]t t0 1 , ñ÷èòàÿ, ÷òî îáëàñòü èçìå-
íåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ èìååò âèä G t r r t t( , ) ( ) [ , ]� �� 0 1 . Ïóñòü ãåîìåò-
ðè÷åñêàÿ ãðàíèöà îáëàñòè ðåøåíèÿ � � �
�
�� � i
i 1
3
, � � �
� �i j äëÿ i j� . Ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ýòîé çàäà÷è îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè êîìáèíàöèÿìè
ïîòîêîâ òåïëà è çíà÷åíèé ðåøåíèÿ íà ãðàíèöå:
u x u( )
�
� ,
�
x ���1,
q x q( )
�
�
,
�
x ��� 2 , (2)
q x h u u( ) ( )
�
�
� ,
�
x ��� 3 ,
ãäå q k u n� � �/ — ïîòîê òåïëà, n — âíåøíèé âåêòîð íîðìàëè; h — êîýôôèöè-
åíò òåïëîïðîâîäíîñòè; u� — òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû. Íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ ïðåäñòàâëåíû â âèäå
u x f x( , ) ( )
� �
0 � . (3)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â îãðàíè÷åííîé 3D îáëà-
ñòè � ( , , )x x x1 2 3 ñ ãðàíèöåé �� ( , , )x x x1 2 3 ôîðìóëèðóåòñÿ íåñòàöèîíàðíàÿ êðàå-
âàÿ çàäà÷à ñ íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.
Ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è áóäåì ðåàëèçîâûâàòü, ñëåäóÿ èòå-
ðàöèîííîé ñõåìå ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè
ñ èñïîëüçîâàíèåì áåññåòî÷íîãî ïîäõîäà íà îñíîâå ïðèìåíåíèÿ àòîìàðíûõ ðàäè-
àëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé.
Èñõîäíîå óðàâíåíèå íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè (1) ìîæåò áûòü ñâå-
äåíî ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîäèôèöèðîâàííûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé Ãåëüì-
124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
© Â.Ì. Êîëîäÿæíûé, Ä.À. Ëèñèí, 2013
ãîëüöà ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû äèñêðåòèçàöèè ïî âðåìåíè [9]:
�
�
�
�
2 2
2
1 11 1
� � �
� �
�
�
n n n n
n
t
u
k
g
g
k�
, (4)
ãäå �
�
�
n n nu u�
1 1, � — âåñîâîé êîýôôèöèåíò, u u x n tn � ( , )
�
� , �t — øàã
ïî âðåìåíè, � ���1/ �t , � �� k cp/ .
Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé èòåðàöè-
îííîé ñõåìå ðåàëèçóåòñÿ íà îñíîâå êîìáèíàöèè ìåòîäà äâîéíîãî çàìåùåíèÿ
è ìåòîäà ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé ñ èñïîëüçîâàíèåì àòîìàðíûõ ðàäèàëüíûõ
áàçèñíûõ ôóíêöèé. ×òîáû èçáåæàòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî îáëàñòè, èñïîëüçóåòñÿ
ìåòîä ÷àñòíûõ ðåøåíèé, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ðàçäåëåíèè ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ íà ÷àñòíîå è îäíîðîäíîå. Ìåòîä ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé èñïîëü-
çóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, à ìåòîä äâîéíîãî âçàèìîîáìåíà
ñ èñïîëüçîâàíèåì àòîìàðíûõ ðàäèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé — äëÿ ïîëó÷åíèÿ
÷àñòíîãî ðåøåíèÿ.  ðåçóëüòàòå òàêîãî ïîäõîäà ðåàëèçóåòñÿ ïîëíîñòüþ
áåññåòî÷íûé ìåòîä.
 áåññåòî÷íûõ ñõåìàõ èñêîìîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû áà-
çèñíûõ ôóíêöèé, ðàçìåùåííûõ â óçëàõ ñòðóêòóðèðîâàííîé èëè íåñòðóêòóðèðî-
âàííîé ñåòêè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü óçëû, â êîòîðûõ áóäóò ðàññòàâëåíû áà-
çèñíûå ôóíêöèè, íåîáõîäèìî ñãåíåðèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ñåòêó (íå ñâÿçàí-
íóþ ñ îáëàñòüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è). Êðîìå òîãî, äëÿ óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì íåîáõîäèìî ðàñïîëîæèòü áàçèñíûå ôóíêöèè òàêæå è â óçëàõ,
ðàñïîëîæåííûõ íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ ìîäåëè.
Ðåøåíèå � nñîãëàñíî ìåòîäó ÷àñòíûõ ðåøåíèé ðàçäåëÿåòñÿ íà îäíîðîä-
íîå �
h
n è ÷àñòíîå � p
n : � � �n
h
n
p
n� � . Óïðàâëÿþùåå óðàâíåíèå äëÿ ÷àñòíîãî ðå-
øåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
�
�
�
�
2 2
2
1 11 1
� � �
� �
�
�
p
n
p
n n n
n
t
u
k
g
g
k�
. (5)
×àñòíîå ðåøåíèå � p
n íå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü íèêàêîìó íàáîðó ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé.
Óïðàâëÿþùàÿ ñèñòåìà äëÿ îäíîðîäíîãî ðåøåíèÿ �
h
n ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ñëåäó-
þùåì âèäå:
�
� �
�
2 2 0� � �
� �
h
n
h
n
h
n
p
n
x x x
x u x x
( ) ( ) , ,
( ) ( ) ( ),
� � �
� � � �
�
x
q x q x q x x
kq h x
h
n
p
n
h
n
h
n
��
�
��
�
�
�
1
2
,
( ) ( ) ( ), ,
( )( )
� � � �
�
� �
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�kq x h x hu x xp
n
p
n( ) ( ) ( ), .
� � � �
� � 3
(6)
 êà÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíêöèé äëÿ èíòåðïîëÿöèè ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ â óðàâ-
íåíèè (5) èñïîëüçóåì àòîìàðíûå ðàäèàëüíûå áàçèñíûå ôóíêöèè, ïîðîæäàåìûå
äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì ñïåöèàëüíîãî âèäà [10], ôîðìè-
ðóåìûì ïðè èñïîëüçîâàíèè äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà Ãåëüìãîëüöà:
�u x x x u x x x( , , ) ( , , )1 2 3
2
1 2 3
��
�
�
�
��� � � �
u x x x d u x x
S
[ ( ), ( ), ( )] ( , ,3 3 3 3 3 31 1 2 2 3 3 1 2 x3 ) , (7)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 125
ãäå �S — ñôåðà; � � �
1
2
2
2
3
2 4
9
� � � ; � �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2
2
2
2
2
3
2x x x
— îïåðàòîð Ëàïëàñà;
âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ �
, îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùåãî ñóùåñò-
âîâàíèå ôèíèòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7); � — ïàðàìåòð îïåðàòîðà Ãå-
ëüìãîëüöà. Èñêîìûå ðàäèàëüíûå áàçèñíûå ôóíêöèè, îáîçíà÷åííûå
Horp( , , )x x x1 2 3 , ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (7) òîëüêî ïðè âûáîðå ñëåäó-
þùèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ: �
�
� � �
�
�
��
�
��
3
8
2
3
2
5 3 i
i isin
,
�
�
� ��
8
3
2
35 i
isin .
Ôóíêöèÿ Horp( , , )x x x1 2 3 ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé ñ êîì-
ïàêòíûì íîñèòåëåì â ôîðìå øàðà è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íîðìèðîâêè, ò.å.
Horp( , , )x x x dx dx dx1 2 3 1 2 3 1��� � . Îíà ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü åå ïðåäñòàâëåíèå â êóáå [ , ] [ , ] [ , ]
�
�
1 1 1 1 1 1
ðÿäîì Ôóðüå
Horp( , , ) cos ( )cos (x x x a p x q xpqr
rqp
1 2 3 1
000
�
�
�
�
�
�
�
��� � � 2 3)cos ( )r x�
ñî ñëåäóþùèìè êîýôôèöèåíòàìè:
a000
1
8
� ;
a e d pp
ip
00 1
1
1
1
1
4
0 0
1
4
0 01� �
� Horp Horp( , , ) ~~ ( , , )� � ���
;
a e e d dpq
ip ip
0 1 2
1
1
1
1
1 2
1
2
0
1
1 2� �
�� Horp( , , )� � � ��� ��
2
0Horp~~ ( , , )p q� � ;
a e d qq
ip
0 0 2
1
1
2
1
4
0 0
1
4
0 02� �
� Horp Horp( , , ) ~~ ( , , )� � ���
;
a e e d dqr
ip ip
0 2 3 2 3
1
2
0
1
2
2 3� �
Horp Horp( , , ) ~~ (� � � ��� ��
0
1
1
1
1
, , )q r� �
�� ;
a e e d dp r
ip ip
0 1 3
1
1
1
1
1 3
1
2
0
1
1 3� �
�� Horp( , , )� � � ��� ��
2
0Horp~~ ( , , )p r� � ;
a e d rr
ip
00 3
1
1
3
1
4
0 0
1
4
0 03� �
� Horp Horp( , , ) ~~ ( , , )� � ���
;
a e e e dpqr
ip ip ip�
�� Horp( , , )� � � ��� �� ��
1 2 3
1
1
1
1
1 2 3
1 2 3
1
1
d d p q r� � � � ��
� Horp~~ ( , , ) ,
p q r, , , ,� 1 2 �
Ïðåäñòàâèì âèçóàëèçàöèþ ôóíêöèè Horp( , , )x x x1 2 3 (ðèñ. 1, à) è ôóíêöèè
( ) ( , , )�
�2
1 2 3Horp x x x ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé x3
(ðèñ. 1, á), ïîëó÷åííóþ îò äåéñòâèÿ íà ôóíêöèþ Horp( , , )x x x1 2 3 äèôôåðåíöè-
àëüíîãî îïåðàòîðà Ãåëüìãîëüöà.
126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
 ðàññìàòðèâàåìîé áåññåòî÷íîé ñõåìå ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíîé êðàåâîé çà-
äà÷è áàçèñíûå ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ðàäèàëüíûìè, èìåþùèìè êîíå÷íûé íîñèòåëü.
Ñâîéñòâî ðàäèàëüíîñòè áàçèñíûõ ôóíêöèé ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü çíà÷åíèå
ôóíêöèè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå, çàâèñÿùèì òîëüêî îò âåëè÷èíû ðàññòîÿíèÿ îò
ýòîé òî÷êè äî öåíòðà íîñèòåëÿ ôóíêöèè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëíîé
èíôîðìàöèè î áàçèñíîé ôóíêöèè äîñòàòî÷íî ñîõðàíÿòü åå çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ
âûáðàííîãî ïðîèçâîëüíîãî ðàäèóñà.
Ïóñòü F x
t
u
k
g
g
k
n n n
n
( )
�
�
�
�
1 1
2
1 1
� �
�
��
. Ïðèáëèæåííîå ÷àñòíîå ðåøå-
íèå êîíñòðóèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ àòîìàðíîé ðàäèàëüíîé áàçèñíîé ôóíêöèè
Horp( )
�
x . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ èòåðàöèÿ F xn ( )
�
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé
êîìáèíàöèè áàçèñíûõ ôóíêöèé:
F x F x xn n
i
n
i
i
N
( ) � ( ) ( )
� � �
� �
�
�� �
1
,
(8)
ãäå N — êîëè÷åñòâî òî÷åê êîëëîêàöèè, ôóíêöèè �i x( )
�
— ðåçóëüòàò âîçäåéñòâèÿ
îïåðàòîðà Ãåëüìãîëüöà íà ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè Horp i x( )
�
�Horp( )
� �
x xi
:
� �i i ix x x( ) ( ) ( )
� � �
�
Horp Horp�2 .
Ðåøàÿ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (8) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ � i
n , ïî-
ëó÷àåì çíà÷åíèå � ( )F xn �
. Îòìåòèì, ÷òî ìàòðèöà ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
áóäåò ïëîòíîé ëèáî ðàçðåæåííîé â çàâèñèìîñòè îò ðàäèóñà ëîêàëüíîãî íîñèòåëÿ
ôóíêöèè Horp i x( )
�
è ôèçè÷åñêèõ ðàçìåðîâ îáëàñòè ðåøåíèÿ.
Ïðè îïðåäåëåíèè çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ � i
n ÷àñòíîå ðåøåíèå � p
n ïðåäñòà-
âèòñÿ â âèäå
� �p
n
j
n
j
j
n
x x( ) ( )
� �
�
�
� Horp
1
. (9)
Êîîðäèíàòû óçëîâ
�
xi , ê êîòîðûì «ïðèâÿçàíû» áàçèñíûå ôóíêöèè Horp i x( )
�
,
ñòðîÿòñÿ ñòðóêòóðèðîâàííîé ñåòêîé, íàïðèìåð, ñ ðàâíîìåðíîé äèñêðåòèçàöèåé
ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Äëÿ ðåàëèçàöèè ïðîöåäóðû óäîâëåòâîðåíèÿ ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì íåîáõîäèìî ðàñïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèå óçëû íà ãðàíè÷íûõ ïî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 127
Ðèñ. 1. Âèçóàëèçàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû ìîäóëåé ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Horp( , , )x x x1 2 3 (à) è ôóíê-
öèè ( ) ( , , )�
�2
1 2 3Horp x x x (á)
à á
âåðõíîñòÿõ ìîäåëè. Äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ âûáèðàåì îáëàñòü � ( , , )x x x1 2 3
ðåøåíèÿ èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå êóáà (ðèñ. 2), èìåþùåãî åäèíè÷íûé
ðàçìåð ðåáðà: [ ; ] [ ; ] [ ; ]1 1 1 1 1 1� � .
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ óçëîâ íà ãðàíèöå �� ( , , )x x x1 2 3
îáëàñòè � ( , , )x x x1 2 3 èñïîëüçóåòñÿ
îäèí èç òðåõ ìåòîäîâ: ìåòîä, îñíî-
âàííûé íà ïîñòðîåíèè ðåçóëüòàòà
ïåðåñå÷åíèÿ ãåíåðèðóåìîé ðàâíî-
ìåðíîé ñåòêè ñ ïîâåðõíîñòüþ ìîäå-
ëè; ìåòîä, îñíîâàííûé íà àëãîðèòìå
èçìåëü÷åíèÿ ñåòêè íà îñíîâå âûïîë-
íåíèÿ òðèàíãóëÿöèè Äåëîíå
(ðèñ. 3, à)), è ìåòîä, îñíîâàííûé íà
ïîñòðîåíèè íà ãðàíèöå îáëàñòè ïî-
äîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèõ
îáùèé öåíòð âïèñàííûõ îêðóæíî-
ñòåé (ðèñ. 3, á)).
Îäíîðîäíîå ðåøåíèå �
h
n äèôôå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (6) ìîæ-
íî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷-
íûõ ãðàíè÷íûõ ìåòîäîâ ,
íàïðèìåð ìåòîäà ãðàíè÷íûõ ýëå-
ìåíòîâ, ìåòîäà Òðåôôòöà, ìåòîäà
ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé [11].
 ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èñ-
ïîëüçóåòñÿ ìåòîä ôóíäàìåíòàëü-
íûõ ðåøåíèé ââèäó åãî ñâîéñòâ
ñïåêòðàëüíîé ñõîäèìîñòè, à òàêæå
ââèäó òîãî, ÷òî â ñî÷åòàíèè ñ ìå-
òîäîì äâîéíîãî çàìåùåíèÿ ðåàëè-
çóåòñÿ ïîëíîñòüþ áåññåòî÷íûé
ìåòîä. Íà n-ì âðåìåííoì øàãå îä-
íîðîäíîå ðåøåíèå �
h
n ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíäàìåí-
òàëüíûõ ôóíêöèé:
� �
h
n
i
i
M
ix G x z( ) ( , )
� � �
�
�
�
1
, (10)
ãäå G x z e ri
r( , ) /
� �
�
� �4 — ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî
îïåðàòîðà Ãåëüìãîëüöà �
�2 , r x zi�
|| ||
� �
— åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷-
êàìè
�
x è
�
zi . Çäåñü { }
�
zi i
M — èñõîäíûå òî÷êè íà ïîâåðõíîñòè �� ôèêòèâíîé
îáëàñòè, ñîäåðæàùåé îáëàñòü � .
Âàæíî îïðåäåëèòü îïòèìàëüíîå ðàçìåùåíèå ãðàíèöû äëÿ ôèêòèâíîé îáëàñ-
òè. Ñóùåñòâóþò äâà ïîäõîäà ê ñîçäàíèþ òàêîé ãðàíèöû: ñòàòè÷åñêèé è äèíàìè-
÷åñêèé. Ïðè ñòàòè÷åñêîì ïîäõîäå, ïðèìåíÿåìîì â äàííîì èññëåäîâàíèè, òî÷êè
{ }
�
zi i
M âûáèðàþòñÿ çàðàíåå ïî îïðåäåëåííîé ñõåìå. Â ðàáîòàõ [12, 13] èññëåäî-
âàíû âåëè÷èíû ïîãðåøíîñòè äëÿ ñòàòè÷åñêîãî ïîäõîäà.  ÷àñòíîñòè, äëÿ çàäà÷è
Äèðèõëå ïîêàçàíî, ÷òî òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ìåòîäà ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøå-
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Ðèñ. 2. Ôîðìèðîâàíèå ìíîæåñòâà âíóòðåííèõ óçëîâ
â îáëàñòè �( , , )x x x1 2 3 ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è
Ðèñ. 3. Âèçóàëèçàöèÿ ïðîöåäóð ïîñòðîåíèÿ ãðàíè÷-
íûõ óçëîâ, îñíîâàííàÿ íà àëãîðèòìå èçìåëü÷åíèÿ
ñåòêè (à) è ðåàëèçàöèè ñõåì èñïîëüçîâàíèÿ ïîäîáíûõ
òðåóãîëüíèêîâ (á)
à á
Z
X
Y
íèé óëó÷øàåòñÿ ñ îòäàëåíèåì ôèêòèâíîé ãðà-
íèöû îò ôèçè÷åñêîé.  îáîèõ ðàáîòàõ ôèêòèâ-
íàÿ ãðàíèöà âûáèðàëàñü â ôîðìå îêðóæíîñòè â
äâóìåðíîì ñëó÷àå è ñôåðîé ñ öåíòðîì, ñîâïà-
äàþùèì ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì îáëàñòè �
ðåøåíèÿ (ðèñ. 4), äëÿ òðåõìåðíîé ìîäåëè. Òåî-
ðåòè÷åñêè îïòèìàëüíîé ôèêòèâíîé ãðàíèöåé
áûëà áû ñôåðà ñ áåñêîíå÷íûì ðàäèóñîì. Íà
ïðàêòèêå ðàäèóñ äîëæåí áûòü âûáðàí íàñòîëüêî
áîëüøèì, íàñêîëüêî ïîçâîëÿþò ïðåäåëû òî÷íîñ-
òè êîìïüþòåðà, íà ÷òî óêàçàíî â ðàáîòå [12].
Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ
ðåøåíèé G x zi( , )
� �
ïî îïðåäåëåíèþ óäîâëåòâîðÿ-
åò ìîäèôèöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ Ãåëüìãîëü-
öà. Êîýôôèöèåíòû � i îòáèðàþò òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû â âûáðàííûõ òî÷êàõ êîëëîêàöèè óäîâëåòâîðÿëèñü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ðå-
àëèçîâàâ êîëëîêàöèþ (10) â âûáðàííûõ òî÷êàõ íà ãðàíèöå, ïîëó÷èì
� �
�
i j i
i
M
j p
n
j
i
j
G x z u x x j M
G x
( , ) ( ) ( ), ;
( ,
� � � �
�
�
� �
� �
�
1
11
�
� �z
n
q x q x M j M
k
n
h G
i
i
M
j p
n
j
i
)
( ) ( ), ;
( ) (
�
�
� � �
�
�
�
�
�
1
1 21
�
� � � � �
x z kq x h x hu x M jj i
i
M
p
n
j p
n
j j, ) ( ) ( ) ( ),
�
�� �
� � �
1
2 1� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M ,
(11)
ãäå
�
x xj j
M� � �{ }
1 1
1 � ,
�
x xj j M
M� ��
�
{ }
1
2
1 2� , { }x j M
M
2 1 3�
��� . ×èñëî îáóñëîâ-
ëåííîñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé (11) óõóäøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà ðàñïîëî-
æåíèÿ ãðàíèöû ôèêòèâíîé îáëàñòè. Íåñìîòðÿ íà ïðîáëåìíóþ îáóñëîâëåí-
íîñòü, ðåøåíèå óñòîé÷èâî äî ìîìåíòà äîñòèæåíèÿ ìàøèííîé òî÷íîñòè.
Ðåøåíèå 3D íåñòàöèîíàðíîé êðàåâîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ÷åòûðåõ íå-
çàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ ( , , , )t x x x1 2 3 . Ýòî ïðåäóñìàòðèâàåò ðàçðàáîòêó ñïåöèàëüíûõ
ïîäõîäîâ äëÿ åãî âèçóàëèçàöèè.
 äàííîì ïîäõîäå ïðåäóñìîòðåíî
äâà âàðèàíòà âèçóàëèçàöèè ðåøå-
íèÿ. Ïåðâûé âàðèàíò îñíîâàí íà
äèíàìè÷åñêîé (çàâèñèìîé îò âðå-
ìåíè) âèçóàëèçàöèè ïî ñðåçó îá-
ëàñòè ðåøåíèÿ ïëîñêîñòüþ, ïåð-
ïåíäèêóëÿðíîé îñè x1, x2 èëè x3
(îäíà èç íåçàâèñèìûõ ïðîñòðà-
íñòâåííûõ ïåðåìåííûõ ôèêñèðóåò-
ñÿ). Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåí ñëó÷àé,
êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ïîñòðîåíèå
ïðîåêöèè èñêîìîãî ÷åòûðåõìåðíî-
ãî ðåøåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì
çíà÷åíèè ïåðåìåíîé, x3 � const ,
ò.å. u u t x x x� �( , , , )1 2 3 const .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 129
Ðèñ. 4. Ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ óçëîâ íà
ôèêòèâíîé ïîâåðõíîñòè, ïîñòðîåííîé
äëÿ îáëàñòè �
Ðèñ. 5. Âèçóàëèçàöèÿ ïðîåêöèè èñêîìîãî ðåøåíèÿ ïðè
ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé z
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Âòîðàÿ ñõåìà âèçóàëèçàöèè ðåøåíèÿ (ðèñ. 6) ðåàëèçóåò ïîñòðîåíèå òåìïåðà-
òóðíîãî ïîëÿ â èññëåäóåìîé îáëàñòè ïî ñîâîêóïíîñòè íåñêîëüêèõ ñðåçîâ, ÷òî ïî-
çâîëÿåò îòîáðàæàòü äèíàìèêó âàðèàöèè ïîëÿ â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè.
Íà îñíîâå ðàññìîòðåííîãî ïîäõîäà ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ïî áåññåòî÷íîé ñõå-
ìå ðàçðàáîòàíà ñèñòåìà êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ, ïîçâî-
ëÿþùàÿ èññëåäîâàòü êðàåâûå çàäà÷è â ãåîìåòðè÷åñêè ñëîæíûõ 3D îáëàñòÿõ.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå âûïîë-
íÿåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäîâ òåîðèè R-ôóíêöèé [14]. Òàêîå îïèñàíèå íåîáõî-
äèìî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ðàáîòû ìîäóëÿ ãåíåðàöèè òî÷åê äèñêðåòíîé ãåîìåòðè÷åñ-
êîé ìîäåëè. Â ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè îòûñêèâàëîñü ðåøåíèå íåñòàöèîíàðíîé çàäà-
÷è òåïëîïðîâîäíîñòè
�
�
�
u
t
u x x x t� ( )6
1
2
2
2
3
2 , x t� ��, 0 ,
u x( , )0 0� , x�� , t � 0 ;
u t x x x x t( , ) ( )� � �
1
2
2
2
3
2 , x��� , � �
�
� �
i
N
i
0
, t ! 0 .
Âûâîä ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà îñóùåñòâëÿëñÿ â âèäå âèçóàëèçàöèè ðåøåíèÿ
òåñòîâîé çàäà÷è â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
ïåðåìåííîé x3 â âèäå, ïðèâåäåííîì íà ðèñ. 7.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà áåññåòî÷íàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ 3D êðàåâîé çàäà-
÷è òåïëîïðîâîäíîñòè, íà îñíîâàíèè êîòîðîé ðåàëèçóåòñÿ ïîñòðîåíèå ñèñòåìû
êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì àòî-
ìàðíûõ ðàäèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé. Ïðèìåíåíèå ïðè ïîñòðîåíèè ïðèáëè-
æåííûõ ðåøåíèé ñåìåéñòâ àòîìàðíûõ ðàäèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé, ïîðîæ-
äàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñ èñïîëüçîâàíèåì
îïåðàòîðà Ãåëüìãîëüöà [15], ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòü ó÷åòà íå-
îäíîðîäíîñòè ñðåäû ðàñ÷åòíîé îáëàñòè.
Ðèñ. 6. Âèçóàëèçàöèÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ íà
îñíîâå ïîñòðîåíèÿ òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ ïî
íåñêîëüêèì ñðåçàì
Ðèñ. 7. Âèçóàëèçàöèÿ ïðîåêöèè ðåøåíèÿ òåñòîâîé
êðàåâîé çàäà÷è (ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
ïåðåìåííîé x3)
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B e l y t s c h k o T . , L u Y . Y . , G u L . Element-free Galerkin methods // Intern. J. for Numerical
Meth. in Engineering. — 1994. — 37. — P. 229–256.
2. M e s h l e s s methods: an overview and recently developments / T. Belytschko, Y. Rongauz,
D. Organ // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1996. — 139. — P. 3–47.
3. O n t h e c o m p l e t e n e s s of the meshfree particle methods / T. Belytschko, Y.K. Rongauz,
J. Doblaw // Int. J. for Numerical Meth. in Engineering. — 1998. — 43(5). — P. 785–819.
4. Ê î ë î ä ÿ æ í û é  . Ì . , Ë è ñ è í à Î . Þ . Áåññåòî÷íûå ìåòîäû â çàäà÷àõ ìîäåëèðîâàíèÿ
ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ // Ïðîáëåìû ìàøèíîñòðîåíèÿ. — 2010. — 13, ¹ 3. — Ñ. 67–74.
5. Ê î ë î ä ÿ æ í û é  . Ì . , Ë è ñ è í à Î . Þ . ×èñëåííûå ñõåìû ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ íà îñíîâå
áåññåòî÷íûõ ìåòîäîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÐÁÔ è ÀÐÁÔ // Òàì æå. — 2010. — 13, ¹ 4. —
Ñ. 49–57.
6. Ê î ë î ä ÿ æ í û é Â . Ì . , Ð â à ÷ å â Â . À . Àòîìàðíûå ôóíêöèè òðåõ ïåðåìåííûõ, èíâàðèàíòíûå
îòíîñèòåëüíî ãðóïïû âðàùåíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 6. —
Ñ. 118–130.
7. Ê î ë î ä ÿ æ í è é  . Ì . Ð â à ÷ î â  . Î . Ô³í³òí³ ðîçâ’ÿçêè ôóíêö³îíàëüíî-äèôåðåíö³àëüíèõ
ð³âíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2004. — ¹ 5. — Ñ. 17–22.
8. Ê î ë î ä ÿ æ í û é  . Ì . , Ð â à ÷ å â  . À . Àòîìàðíûå ôóíêöèè. Îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé ìíîãèõ
ïåðåìåííûõ è ïåðñïåêòèâíûå íàïðàâëåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé // Êèáåðíåòèêà
è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 6. — Ñ. 155–177.
9. I n g b e r M . S . , C h e n C . S . , T a n s k i J . A . A mesh free approach using radial basis functions
and parallel domain decomposition for solving three-dimensional diffusion equations // Intern. J. for
Numerical Meth. in Engineering. — 2004. — 60, N 13. — Ð. 2183–2201.
10. Ë ³ ñ ³ í à Î . Þ . Ïîáóäîâà 3D àòîìàðíèõ ðàä³àëüíèõ áàçèñíèõ ôóíêö³é, ùî ïîðîäæóþòüñÿ
îïåðàòîðîì Ãåëüìãîëüöÿ // ³ñíèê Êè¿â. íàö. óí-òó ³ì. Òàðàñà Øåâ÷åíêà. — 2009. — ¹ 11. —
Ñ. 123–129.
11. I n g b e r M . S . A triple reciprocity boundary element method for transient heat conduction analysis
/ C.A. Brebbia , A.J. Kassab (eds). Boundary Element Technology. — Amsterdam: Elsevier Applied
Sci. — 1994. — vol. IX. — P. 41–49.
12. B o g o m o l n y A . Fundamental solutions method for elliptic boundary value problems // SIAM J. on
Numerical Analysis. — 1985. — 22. — P. 644–669.
13. C h e n g R . S . C . Delta-trigonometric and spline methods using the single-layer potential representa-
tion / Ph.D. Dissertation, University of Maryland. — 1987. — 72 p.
14. Ð â à ÷ å â Â . Ë . Òåîðèÿ ôóíêöèé è íåêîòîðûå åå ïðèëîæåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. —
552 ñ.
15. Ê î ë î ä ÿ æ í è é  . Ì . , Ë ³ ñ ³ í à Î . Þ . Ùîäî óòâîðåííÿ ñ³ìåéñòâ àòîìàðíèõ ðàä³àëüíèõ
áàçèñíèõ ôóíêö³é // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2011. — ¹ 8. — Ñ. 16–22.
Ïîñòóïèëà 16.11.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 131
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86240 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:25:41Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. 2015-09-10T19:00:42Z 2015-09-10T19:00:42Z 2013 Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций / В.М. Колодяжный, Д.А. Лисин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 124-131. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86240 517.95.4+530.1 Розглянуто безсітковий метод розв’язання 3D нестаціонарних крайових задач теплопровідності, що реалізується завдяки ітераційнiй схемi на основі комбінації методу подвійного заміщення та методу фундаментальних рішень з використанням атомарних радіальних базисних функцій. Наданo підходи для побудови візуалізації шуканого розв’язку. The authors consider a meshless method to solve 3D boundary-value problems of nonstationary heat conduction. It is implemented through an iterative scheme based on a combination of double substitution method and the method of fundamental solutions with the use of atomic radial basis functions. The approaches to the visualization of the desired solution are considered. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций Безсітковий метод розв’язання нестаціонарних задач теплопровідності з використанням атомарних радіальних базисних функцій Meshless method to solve nonstationary heat conduction problems using atomic radial basis functions Article published earlier |
| spellingShingle | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций Колодяжный, В.М. Лисин, Д.А. Системный анализ |
| title | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций |
| title_alt | Безсітковий метод розв’язання нестаціонарних задач теплопровідності з використанням атомарних радіальних базисних функцій Meshless method to solve nonstationary heat conduction problems using atomic radial basis functions |
| title_full | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций |
| title_fullStr | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций |
| title_full_unstemmed | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций |
| title_short | Бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций |
| title_sort | бессеточный метод решения нестационарных задач теплопроводности с использованием атомарных радиальных базисных функций |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86240 |
| work_keys_str_mv | AT kolodâžnyivm bessetočnyimetodrešeniânestacionarnyhzadačteploprovodnostisispolʹzovaniematomarnyhradialʹnyhbazisnyhfunkcii AT lisinda bessetočnyimetodrešeniânestacionarnyhzadačteploprovodnostisispolʹzovaniematomarnyhradialʹnyhbazisnyhfunkcii AT kolodâžnyivm bezsítkoviimetodrozvâzannânestacíonarnihzadačteploprovídnostízvikoristannâmatomarnihradíalʹnihbazisnihfunkcíi AT lisinda bezsítkoviimetodrozvâzannânestacíonarnihzadačteploprovídnostízvikoristannâmatomarnihradíalʹnihbazisnihfunkcíi AT kolodâžnyivm meshlessmethodtosolvenonstationaryheatconductionproblemsusingatomicradialbasisfunctions AT lisinda meshlessmethodtosolvenonstationaryheatconductionproblemsusingatomicradialbasisfunctions |