Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле

За даною чотирьохвимірною послідовністю незалежних однаково розмiщених та незалежних між собою позитивних випадкових величин побудовано процес з диференціальним напівмарковським блуканням, яке затримується екраном в нулі. Знайдено явний вигляд перетворення Лапласа за часом, перетворення Лапласа–Стіл...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2013
Main Authors: Насирoва, Т.И., Микаилов, М.Н.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Subjects:
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86241
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле / Т.И. Насирoва, М.Н. Микаилов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 132-141. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859635752514617344
author Насирoва, Т.И.
Микаилов, М.Н.
author_facet Насирoва, Т.И.
Микаилов, М.Н.
citation_txt Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле / Т.И. Насирoва, М.Н. Микаилов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 132-141. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description За даною чотирьохвимірною послідовністю незалежних однаково розмiщених та незалежних між собою позитивних випадкових величин побудовано процес з диференціальним напівмарковським блуканням, яке затримується екраном в нулі. Знайдено явний вигляд перетворення Лапласа за часом, перетворення Лапласа–Стільтьєса ергодичного розподілу процесу з диференціальним напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі. Given a four-dimensional sequence of independent identically located and positive random variables, a process with differential semi-Markov walk delayed by a screen at zero is considered. An explicit form of the Laplace transform in time, the Laplace–Stieltjes transform of the ergodic distribution of a process with differential semi-Markov walk with delaying screen at zero is found
first_indexed 2025-12-07T13:15:35Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 519.8 Ò.È. ÍÀÑÈÐOÂÀ, Ì.Í. ÌÈÊÀÈËΠÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ Ñ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÍÛÌ ÏÎËÓÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌ ÁËÓÆÄÀÍÈÅÌ Ñ ÇÀÄÅÐÆÈÂÀÞÙÈÌ ÝÊÐÀÍÎÌ Â ÍÓËÅ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû, äèôôåðåíöèðîâàííîå áëóæäàíèå, çàäåðæèâàþùèé ýêðàí, ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ýðëàíãîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà è åãî îñíîâíûì ãðàíè÷íûì ôóíêöèîíàëàì ïîñâÿùåíî ìíîãî ïóáëèêàöèé. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è áûëè èñïîëüçîâàíû àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû, ôàêòîðèçàöèîííûå ìåòîäû è ò.ä. (íàïðèìåð, [1–3]).  äàííîé ñòàòüå, ñóçèâ êëàññ ðàñïðåäåëåíèÿ áëóæäàíèÿ, íàéäåí ÿâíûé âèä ïðå- îáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïî âðåìåíè, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ïî ôàçå óñëîâíîãî, áåçóñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèé è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ýð- ãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , (•))� F P çàäàíà ÷åòûðåõìåðíàÿ ïîñëå- äîâàòåëüíîñòü �� � � � k k k k k � � � � � �, , , } 1 — îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ è íåçàâèñèìûõ ìåæäó ñîáîé ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � k � , � k � , �k � , � k � , k � �1, . Èñïîëüçóÿ ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïîñòðîèì ñëåäóþùèå ïðîöåññû: X t i i k � � � � � �( ) � 1 1 , åñëè � �i i k i i k t� � � � � � �� 1 1 1 , k � �1, , �� 0 1 0 , X t i i k � � � � � �( ) � 1 1 , åñëè � �i i k i i k t� � � � � � �� 1 1 1 , k � �1, , �� 0 1 0 . Ïðåäñòàâèì ýòè ïðîöåññû â âèäå X t i i t � � � � � �( ) ( ) � � 1 , X t i i t � � � � � �( ) ( ) � � 1 , ãäå � � �( )t k, åñëè � �i i k i i k t� � � � � � �� 1 1 1 , � � �( )t k, åñëè � �i i k i i k t� � � � � � �� 1 1 1 . Ïðîöåññ X t X t X t1 ( ) ( ) ( )� �� � íàçîâåì ïðîöåññîì ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì. 132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 © Ò.È. Íàñèðoâà, Ì.Í. Ìèêàèëîâ, 2013 Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: � � k i i k � � � � � 1 , k � � ��0 0 0 , , � , � �k i i k � � � � � 1 , k � �0, , �0 0� � . Ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû óïîðÿäî÷èì â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Ïîëó÷åííóþ ïî- ñëåäîâàòåëüíîñòü îáîçíà÷èì { } , �k 1 � . Ïóñòü � � � � � � � k i k i i k i � � � � � � � � � , , , . åñëè åñëè Ïîñòðîèì ñëåäóþùèé ïðîöåññ: X t k( ) � , åñëè � �k kt� �1, k � �1, , ïðè÷åì �0 z , � ��k k kmax( , )0 1 � . Íàçîâåì åãî ïðîöåññîì ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå. Öåëü ñòàòüè — íàéòè ÿâíûé âèä ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïî âðåìåíè, ïðåîá- ðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ïî ôàçå óñëîâíîãî, áåçóñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèé è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå. Îáîçíà÷èì R t x z P X t x X z( , | ) { ( ) | ( ) }� �0 , t � 0 , x � 0 , z � 0, ~ ( , | ) ( , | )R x z e R t x z dtt t � �� � � � � 0 , � � 0 , ~~ ( , | ) ~ ( , | )R z e R x z dxx x � � ��� � � � � 0 , � � 0 ; � � � � 1 1 � � � � ( ) Ee , � � 0. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄËß ~~ ( , | )R z� � È ÅÃÎ ÐÅØÅÍÈÅ Äîêàæåì òåîðåìó îá èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ~~ ( , | )R z� � è ðåøèì ïîëó÷åí- íîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå. Òåîðåìà. Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , (•))� F P çàäàíà ÷åòû- ðåõìåðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }k=1� � � � k k k k � � � � �, , , — îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ è íåçàâèñèìûõ ìåæäó ñîáîé ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � k � , � k � , �k � , � k � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî � 1 � èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðåîáðàçîâàíèå ~~ ( , | )R z� � óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ: ~~ ( , | ) { } { }R z e e P t P t dtz t t � � � �� �� � � �� � � � � � � 1 1 0 � � � �� � � � � � � � �� �e e P t k P t dtz k k t t � � � � � � 11 1 0 ( ) { ( ) } { } ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 133 � � � �� � � � � � � ~~ ( , | ) { } { } { }R P z e P t P t dtt t � � � � ��0 1 1 1 0 � � � � � � � � � � �� ~~ ( , | ) { } { } { }R y e P t dP t d P z y y t y� � � � �� 0 1 1 1 t� � � 0 � � �� � � � � � � ���~~ ( , | ) { ( ) } { }R e P t k dP t Pt tk � � � � � ��0 1 01 1 1 1 � � � � � � � � � � i k z � � � � � � � � � � � � ��~~ ( , | ) { ( ) } { }R y e P t k dP t d y t tk � � � �� 0 1 01 y i k P y z� � 1 1 1 � � � � � � � � � � � . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååì P X t x X z P X t x t X z{ ( ) | ( ) } { ( ) , | ( ) } � � � � ��0 01� � � � � � � �� � � P ds X s dy X z P X t s x X y s t y { ; ( ) | ( ) } { ( ) | ( ) }�1 0 0 0 � � � 0 � � � �� �P z X t x ti{ ( ) , }� � � � � � �� � � ��� P X t s x X y P z X s s t y 00 10 0{ ( ) | ( ) } {max{ , ( ) }� y dP s} { }�1 � . Îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ óìíîæèì íà e t�� è ïðîèíòåãðèðóåì îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè: ~ ( , | ) { ( ) } { }R x z e P z X t x P t dtt t � ��� � � �� � � � � � 1 0 � � � � � � � � � �� � ~ ( , | ) {max{ , ( ) } }R x y d e P z X t y d y y t t � �� 0 0 10 P t{ }�1 � . Ïåðâîå ñëàãàåìîå óïðîñòèì: e P z X t x P t dtt t � � � � � � � �� � �{ ( ) } { }1 0 � � � � �� � � � �� � �� � � � � � � �� e P z x P t dtt i i t t � � � � 1 1 0 ( ) { } � � � � � � � � �� � � � � � � � ��e P z x t k P t dtt i i k kt � � � � 1 1 00 , ( ) { } � � � � � � �� � � � � � e P z x t P t dtt t � � �{ , ( ) } { }0 1 0 134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 � � � � � � � � �� � � � � � � � ��e P z x t k P t dtt i i k kt � � � � 1 1 10 , ( ) { } � � � � � � � �� � � � � � � ��( ) { } { }x z e P t P t dtt t 1 1 0 � � � � � � � � �� � � � � � � ��e P x z P t k P t dtt i i k kt � � � � 1 1 1 { ( ) } { } � � � 0 . Òîãäà ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå ~ ( , | ) ( ) { } { }R x z x z e P t P t dtt t � � ��� � � � �� � � � �� 0 1 1 � � � � � � � � �� � � � �� � � �� �� e P x z P t P tt k i i k t � � � � 1 10 1{ } { ( ) k dt} � � � �� � � � � � ��� ~ ( , | ) {max ( , ) } {R x y d e P z y P ty t ty � � �� 00 1 1 0 } { }dP t�1 � � � � �� � � � � � � � � ��� �~ ( , | ) max ,R x y d e P zy t tky i k � � �� 010 1 1 10 � � � � � � � � � � �� � � � �� � y P t k dP t{ ( ) } { }.� �1  ñèëó òîãî, ÷òî P z y y P z y{max( , ) } ( ) { }0 1 1� � �� �� � , ñ ó÷åòîì îáîçíà- ÷åíèé ~ ( , | ) ~ ( , | ),R z e d R x zx x� � � ��� �� � � 0 0 , ïîëó÷èì ~~ ( , | ) { } { }R z e e P t P t dtz t t � � � �� �� � � �� � � � � � � 1 1 0 � � � �� � � � � � � � �� �e e P t k P t dtz k k t t � � � � � � 11 1 0 ( ) { ( ) } { } � � � �� � � � � � � ~~ ( , | ) { } { } { }R P z e P t dP tt t � � � � ��0 1 1 1 0 (1) � � � � � � � � � � �� ~~ ( , | ) { } { } { }R y e P t dP t d P z y t t y� � � � �� 0 1 1 1 t� � � 0 � � � �� � � � � � �~~ ( , | ) { ( ) } { }R e P t k dP t P zt i i i k � � � � � ��0 1 1 � � � � � � � � � � �� tk 01 � � � �� � � � � � ~~ ( , | ) { ( ) } { }R y e P t k dP t d P y zt y i i i � � � � � �� 1 1010 k tkt ���� � � � � �� � � � � � . Òåîðåìà äîêàçàíà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 135 Óðàâíåíèå (1) áóäåì ðåøàòü â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � k � , � k � , �k � , � k � , k � �1, , èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè � � , �� , � � , �� ñîîòâåòñòâåííî. Îäíàêî åãî ìîæíî ðåøèòü ïðè ýðëàíãîâñêîì ðàñïðåäåëå- íèè ëþáîãî ïîðÿäêà, åñëè � k � èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � k � , � k � , �k � , � k � , k � �1, , èìåþò ýêñïî- íåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè � � , �� , � � è �� ñîîòâåòñòâåííî, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä: ~~ ( , | ) ( ) R z e e dtz t t � � � � � �� �� � � � � � � �� 0 � �� � � � � � � � � � � ���e e t k dtz k t k tk � � � � � � � 1 01 ( ) ( ) ! ( ) � �� � � � � � � � � ��� � �� � � � e R e dt z t t ~~ ( , | ) ( ) 0 0 � � � � � � � � � � � � ��� � � �� � � � � e e dtR y d e dt z y y z y t t0 0 ~~ ( , | ) ( ) � � � � �� � � � � � � � � � ���� � � � �� � �~~ ( , | ) ( ) ! { ( ) R e t k dt P t k tk 0 01 1 10 � � �� � � � � � � � ��� z dP i i k } � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � �� � �~~ ( , | ) ( ) ! ( ) R y e t k dt y t k tk0 01 dy P z dP i i k { } . � � � � � � � � � � � �� � �� 1 10 Ïîñëå íåêîòîðûõ âûêëàäîê èìååì ~~ ( , | )R z e z � � � � � � � � � � � � � 1 1 1� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �e z k k ( ) � � � �� � � � � � � � � � �� e R z ~~ ( , | )0 � � � � � � �� �� � � � � � � � � �� ��e e R y dy z y y z 0 ~~ ( , | ) � � � � � � � �� � � �� � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � e R e z k k ~~ ( , | )0 1 ( ) ( ) ( )! � � � � � �� � � � � � � � 0 1 1 z k k d � � � � � � � �� � � �� �� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � ~~ ( , | )R y d y y k k0 1 � � � � � � � � � � � � � � �P y z k e d k y { } ( ) ( )! � � � � 1 0 1 1 . 136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Äàëåå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ~~ ( , | )R z e z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �1 1 ( ) ( )[ ( )] e z � � � �� � � � � � � � � � �� e R z ~~ ( , | )0 � � � � � �� �� � � � � � � � � �� ��e e R y dy z y y ~~ ( , | ) 0 � � � � � � �� � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � e R z k k ~~ ( , | ) ( 0 1 1 � � �� �� � � )k � � � �� � � � � � �� � � � � � � �� e R y y y ~~ ( , | ) 0 � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � k k y dy e k ( ) max( , ( )! 1 0 1 � � � � � �� � zk z e d )1 � . Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî max ( , ) , , , , 0 0 y z y z y z y z � � � � � � ïîëó÷èì ~~ ( , | )R z e z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �1 1 ( ) ( )[ ( )] e z � � � �� � � � � � � �� � � � � � �� � e e R y dy z y y z ~~ ( , | ) 0 � � � � � ��� � � � � � ��e R z ~~ ( , | )0 � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ( )( ) ~~ ( , | )e R z 0 � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � e e R y z y y z ~~ ( , | ) 0 � �� � � � � k k dy 1 � � �� � � � � � � � �� e k e d k y y z z( ) max( , ) ( )! � � � 1 0 1 � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � e e R y z y y ~~ ( , | ) 0 � �� � � � � k k dy 1 � � � � � � � � �� � �� e k e d k y y z ( ) max( , ) ( )! � � � 1 0 1 . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ~~ ( , | )R z� � , êîãäà ñëó- ÷àéíûå âåëè÷èíû � k � , � k � , �k � , � k � , k � �1, , èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè � � , � � , �� , �� ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëå íåêîòîðûõ âûêëàäîê ïîëó÷èì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 137 ~~ ( , | )R z e z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �1 1 ( ) ( )[ ] e z � � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � � � � � e e R y dy e z y y z 0 ~~ ( , | ) � �z R ~~ ( , | )� � 0 � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1 0 ( )( ) ~~ ( , | )e R z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1 ( )( ) ~~ e e R z y ( , | )� � y dy y z � � � 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1 ( )( ) ( ) e � �� � � z � � � � � � � � � � �� e R y dy y y ( ) ~~ ( , | ) � � � � � � � � 0 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � � �� �� 1 1 � � � � � � � � Ee , ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ~~ ( , | )R z� � â ñëó÷àå ýêñïîíåíöèàëüíî-ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � k � , � k � , �k � , � k � , k � �1, , ñ ïàðàìåòðàìè � � , � � , �� , �� ñîîòâåòñòâåííî: ~~ ( , | ) ( ) ( ) R z e z� � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��( ) ( ) ( ) ~~ ( , | )e R z 0 � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� �( ) ( ) ( ) ~~ ( , |e e R y z y y� � � 0 z dy) � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 ( )( ) (2) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1 ( )( ) ( ) e z e R y dy y y � � � � � � � � � �� ( ) ~~ ( , | ) . � � � � � � � � 0 Èç (2) ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ~~ ( , | ) ( ) ( ) ~~ ( , | )�� � � � � � � � �� � � � � R z R zz z� � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � ~~ ( , | )R z � � � � � � � � � �( )( )� � � � � � � �e z (3) 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 ñ îáùèì ðåøåíèåì ~~ ( , | ) ( ) ( ) ( ) ( ) R z c c k k� � � �� �� � �1 2 1 2 � � � � � � � � � � � �( )( ) ( )( ( ))( ( )) � � � � � � � � � � � � k k e z 1 2 , (4) õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì k k2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � 0 , (5) ãäå k1 ( )� , k2 ( )� — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Èç (2) ïîëó÷èì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ~~ ( , | ) ( ) ( ) ( ) ( R z� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ) ( ) ~~ ( , | ) ( R 0 1 ) ( ) ~~ ( , | ) , ~~ ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� e R y dy y y 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � R ( , | ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � 0 6 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 ( ) ( ) ~~ ( , | ) ( ) R � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � { ~~ ( , | ) ( ) ( ) ( R 0 ) ~~ ( , | )}. � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � R 0 Èç (4) è (6) ïîëó÷èì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ñ1 ( )� , ñ2 ( )� : ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �k1 c k 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c k k 2 1 ( ) ( )( ) ( ( ))( � � � � � � � � � � � � � 2 1 1 2 ( )) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � �{ } {� � � � � �� � � � � � �k c k � � � � � � � � � � � � � � � }c k k 2 1 2 ( ) ( )( ) ( ( ))( ( ) � � � � � � � � � � � � � � � ) . � � � � � �� � � � � � � � (7) Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèÿ â (7) ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíå- íèé ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè âåëè÷èíàìè. Çàòåì ïîñëå íåêîòîðûõ âûêëà- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 139 äîê, ïîëó÷èì ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 1k � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k k 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � ) ( ) � � � � � �c1 � � � � � � � �� � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � 2 2k � � � � � � � � � � � � � � � � � � � k k 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � ) ( ) � � � � � �c2 0. Ñ ó÷åòîì (5) èìååì 0 0 01 2� � � �c c( ) ( )� � . Òîãäà îäèí èç êîðíåé ñèñòåìû (7) ìîæåì ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ. Íàïðèìåð, ïóñòü c2 0( )� � . Èç (7) íàõîäèì c1 ( )� è ïîäñòàâèì åãî â (4). Ïîëó÷èì ~~ ( , | ) ( ) ( ) ( ) ( R z k � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �1 � � � � ) ( ( ))( ( )) ( )� � � � � � k k e k 1 2 1 � � � � � � � � � � � �( )( ) ( )( ( ))( ( )) � � � � � � � � � � � � k k e z 1 2 . (8) Èòàê, ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ ~~ ( , | )R z� � . Ââèäó òîãî, ÷òî X ( , )0 � èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåò- ðîì �� , ìîæíî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ~~ ( , )R � � . Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååì ~~ ( , ) ~~ ( , | ) { ( , ) } ~~ ( , | )R R z dP X z R z e d z� � � � � � � � �� � � � �0 z zz . � � � � �� 00 Ñ ó÷åòîì (8) íàõîäèì ~~ ( , )R � � � � � � �� � � � � � � � � 2 ( ) � � � �� � � 1 1( ) ( )� � � � � �k ( )( ) ( ( ))( ( )) � � � � � � � � � � � � � � � � k k1 2 1 1 2( ( ) )k � �� � � � � � � � � � � � � 2 ( ) ( )( ) ( ( ))( ( )) � � � � � � � � � � � � � � k k1 2 1 2( )� �� � . (9) Åñëè E E E E� � � � 1 1 1 1 � � � �� èëè � � � � � � � � (ñì. [4, ñ. 362]), òî ïðîöåññ X t( ) áó- äåò ýðãîäè÷åñêèì. Òîãäà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàóáåðîâîé òåîðåìîé: ~ ( ) lim ~~ ( , )R R� � � � � � �0 . (10) Ñ èñïîëüçîâàíèåì (9) è (10) ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà X t( ): ~ ( ) ( ) .R � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 Ïðåäåë ïðîöåññà X t( , )� ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ t îáîçíà÷èì � �( ). Òîãäà èìååì ~ ( ) { ( ) } ( ) R e dP xx x � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � 0 � �� � � �� � � � . (11) Èçâåñòíî, ÷òî E R� �( ) ~ ( ),� � � 0 D R R� �( ) ~ ( ) [ ~ ( )] .� �� � �0 0 2 Èç (11) íàõîäèì, ÷òî ~ ( ) ( ) [( ) ] � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � R � � � � � � � � � � � � � � � � 2 , ~ ( ) ( )( ) ( ) [( ) �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � R � � � � � � � � � � � � � � � 2 � � �� � �� ] . 3 Èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïðè � � 0 ïîëó÷èì E� � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � , D� � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � 2 2 . ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â äàííîé ñòàòüå èññëåäîâàíî ðàñïðåäåëåíèå ïðîöåññà ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå è íàéäåíî ìà- òåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Á î ð î â ê î â À . À . Îá àñèìïòîòèêå ðàñïðåäåëåíèé âðåìåí ïåðâîãî ïðîõîæäåíèÿ // Ìàò. çàìåòêè. — 2004. — 75, ¹ 3. — Ñ. 350–359. 2. Á î ð î â ê î â À . À . Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. — Ì.: Íàóêà, 2009 — 656 ñ. 3. Ë î ò î â  . È . Î äîñòèæåíèè âûñîêîãî óðîâíÿ ñëó÷àéíûì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæêîé â íóëå // Ñèáèð. ìàò. æóðíàë. — 1990. — ¹ 1. — Ñ. 1306–1318. 4. Ë î ò î â  . È . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû â îäíîé ãðàíè÷íîé çàäà÷å äëÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé // Òàì æå. — 1999. — ¹ 5. — Ñ 1095–1108. 5. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ò. 2. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 640 ñ. Ïîñòóïèëà 07.06.2011 Ïîñëå äîðàáîòêè 27.07.2012 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 141
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86241
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T13:15:35Z
publishDate 2013
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Насирoва, Т.И.
Микаилов, М.Н.
2015-09-10T19:02:07Z
2015-09-10T19:02:07Z
2013
Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле / Т.И. Насирoва, М.Н. Микаилов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 132-141. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86241
519.8
За даною чотирьохвимірною послідовністю незалежних однаково розмiщених та незалежних між собою позитивних випадкових величин побудовано процес з диференціальним напівмарковським блуканням, яке затримується екраном в нулі. Знайдено явний вигляд перетворення Лапласа за часом, перетворення Лапласа–Стільтьєса ергодичного розподілу процесу з диференціальним напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі.
Given a four-dimensional sequence of independent identically located and positive random variables, a process with differential semi-Markov walk delayed by a screen at zero is considered. An explicit form of the Laplace transform in time, the Laplace–Stieltjes transform of the ergodic distribution of a process with differential semi-Markov walk with delaying screen at zero is found
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
Дослідження розподілу випадкового процесу з диференційованим напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі
Analysis of the distribution of a process of differentiable semi-Markov walk with delaying screen at zero
Article
published earlier
spellingShingle Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
Насирoва, Т.И.
Микаилов, М.Н.
Системный анализ
title Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
title_alt Дослідження розподілу випадкового процесу з диференційованим напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі
Analysis of the distribution of a process of differentiable semi-Markov walk with delaying screen at zero
title_full Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
title_fullStr Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
title_full_unstemmed Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
title_short Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
title_sort исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86241
work_keys_str_mv AT nasirovati issledovanieraspredeleniâslučainogoprocessasdifferencirovannympolumarkovskimbluždaniemszaderživaûŝimékranomvnule
AT mikailovmn issledovanieraspredeleniâslučainogoprocessasdifferencirovannympolumarkovskimbluždaniemszaderživaûŝimékranomvnule
AT nasirovati doslídžennârozpodíluvipadkovogoprocesuzdiferencíiovanimnapívmarkovsʹkimblukannâmzzatrimanimekranomvnulí
AT mikailovmn doslídžennârozpodíluvipadkovogoprocesuzdiferencíiovanimnapívmarkovsʹkimblukannâmzzatrimanimekranomvnulí
AT nasirovati analysisofthedistributionofaprocessofdifferentiablesemimarkovwalkwithdelayingscreenatzero
AT mikailovmn analysisofthedistributionofaprocessofdifferentiablesemimarkovwalkwithdelayingscreenatzero