Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле
За даною чотирьохвимірною послідовністю незалежних однаково розмiщених та незалежних між собою позитивних випадкових величин побудовано процес з диференціальним напівмарковським блуканням, яке затримується екраном в нулі. Знайдено явний вигляд перетворення Лапласа за часом, перетворення Лапласа–Стіл...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86241 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле / Т.И. Насирoва, М.Н. Микаилов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 132-141. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859635752514617344 |
|---|---|
| author | Насирoва, Т.И. Микаилов, М.Н. |
| author_facet | Насирoва, Т.И. Микаилов, М.Н. |
| citation_txt | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле / Т.И. Насирoва, М.Н. Микаилов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 132-141. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | За даною чотирьохвимірною послідовністю незалежних однаково розмiщених та незалежних між собою позитивних випадкових величин побудовано процес з диференціальним напівмарковським блуканням, яке затримується екраном в нулі. Знайдено явний вигляд перетворення Лапласа за часом, перетворення Лапласа–Стільтьєса ергодичного розподілу процесу з диференціальним напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі.
Given a four-dimensional sequence of independent identically located and positive random variables, a process with differential semi-Markov walk delayed by a screen at zero is considered. An explicit form of the Laplace transform in time, the Laplace–Stieltjes transform of the ergodic distribution of a process with differential semi-Markov walk with delaying screen at zero is found
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:15:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ò.È. ÍÀÑÈÐOÂÀ, Ì.Í. ÌÈÊÀÈËÎÂ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÑËÓ×ÀÉÍÎÃÎ ÏÐÎÖÅÑÑÀ
Ñ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÎÂÀÍÍÛÌ ÏÎËÓÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌ ÁËÓÆÄÀÍÈÅÌ
Ñ ÇÀÄÅÐÆÈÂÀÞÙÈÌ ÝÊÐÀÍÎÌ Â ÍÓËÅ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû, äèôôåðåíöèðîâàííîå áëóæäàíèå,
çàäåðæèâàþùèé ýêðàí, ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ýðëàíãîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ðàñïðåäåëåíèþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà è åãî îñíîâíûì ãðàíè÷íûì ôóíêöèîíàëàì
ïîñâÿùåíî ìíîãî ïóáëèêàöèé. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è áûëè èñïîëüçîâàíû
àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû, ôàêòîðèçàöèîííûå ìåòîäû è ò.ä. (íàïðèìåð, [1–3]).
 äàííîé ñòàòüå, ñóçèâ êëàññ ðàñïðåäåëåíèÿ áëóæäàíèÿ, íàéäåí ÿâíûé âèä ïðå-
îáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïî âðåìåíè, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ïî ôàçå
óñëîâíîãî, áåçóñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèé è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ýð-
ãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì
áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , (•))� F P çàäàíà ÷åòûðåõìåðíàÿ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü �� � � �
k k k k k
� � � �
�
�, , , } 1 — îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ è íåçàâèñèìûõ
ìåæäó ñîáîé ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �
k
� , �
k
� , �k
� , � k
� , k � �1, .
Èñïîëüçóÿ ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïîñòðîèì ñëåäóþùèå ïðîöåññû:
X t i
i
k
� �
�
�
� �( ) �
1
1
, åñëè � �i
i
k
i
i
k
t�
�
�
�
�
� ��
1
1
1
, k � �1, , �� 0
1
0
,
X t i
i
k
� �
�
�
� �( ) �
1
1
, åñëè � �i
i
k
i
i
k
t�
�
�
�
�
� ��
1
1
1
, k � �1, , �� 0
1
0
.
Ïðåäñòàâèì ýòè ïðîöåññû â âèäå
X t i
i
t
� �
�
�
�
�( )
( )
�
�
1
, X t i
i
t
� �
�
�
�
�( )
( )
�
�
1
,
ãäå
� � �( )t k, åñëè � �i
i
k
i
i
k
t�
�
�
�
�
� ��
1 1
1
,
� � �( )t k, åñëè � �i
i
k
i
i
k
t�
�
�
�
�
� ��
1 1
1
.
Ïðîöåññ X t X t X t1 ( ) ( ) ( )� �� � íàçîâåì ïðîöåññîì ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì
ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì.
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
© Ò.È. Íàñèðoâà, Ì.Í. Ìèêàèëîâ, 2013
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
� �
k i
i
k
� �
�
� �
1
, k � � ��0 0
0
, , � , � �k i
i
k
� �
�
� �
1
, k � �0, , �0 0� � .
Ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû óïîðÿäî÷èì â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Ïîëó÷åííóþ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü îáîçíà÷èì { }
,
�k 1 � .
Ïóñòü
�
� � �
� � �
k
i k i
i k i
� �
�
�
�
� �
� �
, ,
, .
åñëè
åñëè
Ïîñòðîèì ñëåäóþùèé ïðîöåññ:
X t k( ) �
, åñëè � �k kt� �1, k � �1, , ïðè÷åì
�0 z ,
�
��k k kmax( , )0 1 � .
Íàçîâåì åãî ïðîöåññîì ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì
ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå.
Öåëü ñòàòüè — íàéòè ÿâíûé âèä ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ïî âðåìåíè, ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ïî ôàçå óñëîâíîãî, áåçóñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèé
è ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà
ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì
ýêðàíîì â íóëå.
Îáîçíà÷èì
R t x z P X t x X z( , | ) { ( ) | ( ) }� �0 , t � 0 , x � 0 , z � 0,
~
( , | ) ( , | )R x z e R t x z dtt
t
� �� �
�
�
�
0
, � � 0 ,
~~
( , | )
~
( , | )R z e R x z dxx
x
� � ��� �
�
�
�
0
, � � 0 ;
�
�
� �
1
1
�
�
� �
( ) Ee , � � 0.
ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÄËß
~~
( , | )R z� � È ÅÃÎ ÐÅØÅÍÈÅ
Äîêàæåì òåîðåìó îá èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè
~~
( , | )R z� � è ðåøèì ïîëó÷åí-
íîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå.
Òåîðåìà. Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , (•))� F P çàäàíà ÷åòû-
ðåõìåðíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }k=1� � � �
k k k k
� � � � �, , , — îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ
è íåçàâèñèìûõ ìåæäó ñîáîé ïîëîæèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �
k
� , �
k
� , �k
� , � k
� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî �
1
� èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðåîáðàçîâàíèå
~~
( , | )R z� � óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ:
~~
( , | ) { } { }R z e e P t P t dtz t
t
� � � �� �� � � �� � � �
�
�
� 1 1
0
� � � ��
�
�
� � �
�
�
�� �e e P t k P t dtz k
k
t
t
�
�
� � � �
11
1
0
( ) { ( ) } { }
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 133
� � � �� � � �
�
�
�
~~
( , | ) { } { } { }R P z e P t P t dtt
t
� � � � ��0 1 1 1
0
� � � � �
�
�
� � � ��
~~
( , | ) { } { } { }R y e P t dP t d P z y
y
t
y� � � � ��
0
1 1 1
t�
�
�
0
� � �� � �
�
�
�
�
���~~
( , | ) { ( ) } { }R e P t k dP t Pt
tk
� � � � � ��0 1
01
1 1
1
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
i
k
z
� �
�
�
� � �
�
�
�
�
� ��~~
( , | ) { ( ) } { }R y e P t k dP t d
y
t
tk
� � � ��
0
1
01
y
i
k
P y z� �
1 1
1
� �
�
� �
�
�
�
�
�
� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååì
P X t x X z P X t x t X z{ ( ) | ( ) } { ( ) , | ( ) } � � � � ��0 01�
� � � � � � ��
�
� P ds X s dy X z P X t s x X y
s
t
y
{ ; ( ) | ( ) } { ( ) | ( ) }�1
0
0 0
�
�
�
0
� � � �� �P z X t x ti{ ( ) , }�
� � � � �
��
�
� ��� P X t s x X y P z X s
s
t
y 00
10 0{ ( ) | ( ) } {max{ , ( ) }� y dP s} { }�1
� .
Îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ óìíîæèì íà e t�� è ïðîèíòåãðèðóåì îò íóëÿ
äî áåñêîíå÷íîñòè:
~
( , | ) { ( ) } { }R x z e P z X t x P t dtt
t
� ��� � � �� � �
�
�
� 1
0
� � �
�
�
�
�
�
� �� �
~
( , | ) {max{ , ( ) } }R x y d e P z X t y d
y
y
t
t
� ��
0 0
10 P t{ }�1
� .
Ïåðâîå ñëàãàåìîå óïðîñòèì:
e P z X t x P t dtt
t
� � �
�
�
� � �� � �{ ( ) } { }1
0
� �
�
�
��
�
�
�
��
� �� �
�
�
�
� �
�� e P z x P t dtt
i
i
t
t
�
�
� �
1
1
0
( )
{ }
� � �
�
�
�
�
�
�� �
�
� �
�
�
�
��e P z x t k P t dtt
i
i
k
kt
� � � �
1
1
00
, ( ) { }
�
� �
� � � �� � �
�
�
� e P z x t P t dtt
t
� � �{ , ( ) } { }0 1
0
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
� � �
�
�
�
�
�
�� �
�
� �
�
�
�
��e P z x t k P t dtt
i
i
k
kt
� � � �
1
1
10
, ( ) { }
�
� �
� � � � �� � �
�
�
�
� ��( ) { } { }x z e P t P t dtt
t
1 1
0
� �
�
�
�
�
�
� �� �
�
� �
�
�
��e P x z P t k P t dtt
i
i
k
kt
� � � �
1
1
1
{ ( ) } { }
�
�
�
0
.
Òîãäà ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå
~
( , | ) ( ) { } { }R x z x z e P t P t dtt
t
�
� ��� � � � ��
�
�
� ��
0
1 1
� �
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
��
�
� �� �� e P x z P t P tt
k
i
i
k
t
� � � �
1 10
1{ } { ( ) k dt} �
� � ��
�
�
�
�
� ���
~
( , | ) {max ( , ) } {R x y d e P z y P ty
t
ty
� � ��
00
1 1
0 } { }dP t�1
� �
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
��� �~
( , | ) max ,R x y d e P zy
t
tky i
k
� � ��
010
1
1
10 � � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
� y P t k dP t{ ( ) } { }.� �1
 ñèëó òîãî, ÷òî P z y y P z y{max( , ) } ( ) { }0 1 1� � �� ��
� , ñ ó÷åòîì îáîçíà-
÷åíèé
~
( , | )
~
( , | ),R z e d R x zx
x� � � ��� ��
�
� 0
0
,
ïîëó÷èì
~~
( , | ) { } { }R z e e P t P t dtz t
t
� � � �� �� � � �� � � �
�
�
� 1 1
0
� � � ��
�
�
� � �
�
�
�� �e e P t k P t dtz k
k
t
t
�
�
� � � �
11
1
0
( ) { ( ) } { }
� � � �� � � �
�
�
�
~~
( , | ) { } { } { }R P z e P t dP tt
t
� � � � ��0 1 1 1
0
(1)
� � � � �
�
�
� � � ��
~~
( , | ) { } { } { }R y e P t dP t d P z y
t
t
y� � � � ��
0
1 1 1
t�
�
�
0
� � � �� � � � �
�
�~~
( , | ) { ( ) } { }R e P t k dP t P zt
i i
i
k
� � � � � ��0 1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
tk 01
� � � �� � � � �
�
~~
( , | ) { ( ) } { }R y e P t k dP t d P y zt
y i i
i
� � � � � ��
1
1010
k
tkt
����
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 135
Óðàâíåíèå (1) áóäåì ðåøàòü â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû �
k
� , �
k
� ,
�k
� , � k
� , k � �1, , èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè � � , �� ,
� � , �� ñîîòâåòñòâåííî. Îäíàêî åãî ìîæíî ðåøèòü ïðè ýðëàíãîâñêîì ðàñïðåäåëå-
íèè ëþáîãî ïîðÿäêà, åñëè �
k
� èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû �
k
� , �
k
� , �k
� , � k
� , k � �1, , èìåþò ýêñïî-
íåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè � � , �� , � � è �� ñîîòâåòñòâåííî, òî
óðàâíåíèå (1) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
~~
( , | )
( )
R z e e dtz t
t
� � � � � �� �� � � �
�
�
� ��
0
� �� � � � �
�
�
�
�
�
� ���e e
t
k
dtz k t
k
tk
�
�
� � � �
�
1
01
( )
( )
!
( )
� ��
� � � �
�
�
� � ��� � �� � � �
e R e dt
z t
t
~~
( , | )
( )
0
0
� � �
�
�
� � �
�
� � � ��� � � �� � � � �
e e dtR y d e dt
z y
y
z
y
t
t0 0
~~
( , | )
( )
�
� �
� ��
� � � �
�
�
�
�
� ���� � �
�
�� � �~~
( , | )
( )
!
{
( )
R e
t
k
dt P
t
k
tk
0
01
1
10
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
��� z dP i
i
k
} �
� �
�
�
� � � �
�
�
�
�
� �� � �� � �
�� � �~~
( , | )
( )
!
( )
R y e
t
k
dt
y
t
k
tk0 01
dy P z dP i
i
k
{ } .
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
��
�
�� 1
10
Ïîñëå íåêîòîðûõ âûêëàäîê èìååì
~~
( , | )R z
e z
� �
� � �
�
�
� �
�
�
� �
1 1
1� � �
� �
� � �
� �
� �
�
�
� ��
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�e z
k
k
( )
�
� �
��
� �
� �
�
� � �
� ��
e R
z ~~
( , | )0
� �
� � �
� �� �� �
� �
� �
�
� �
�� ��e e R y dy
z y
y
z
0
~~
( , | )
�
� � � �
�
�
��
�
�
��
�
� �
� �
� ��
�
�� �
�
� � �
� �
�
� � �
�
e R e
z
k
k
~~
( , | )0
1
( ) ( )
( )!
� �
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
�
0
1
1
z k
k
d
�
� � � �
�
�
��
�
�
�� ��
� � �
�
�
� ��
�
�
�
� � �
� �
�
� � �
~~
( , | )R y d y
y
k
k0 1
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �P y z
k
e d
k
y
{ }
( )
( )!
�
�
�
�
1
0
1
1
.
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Äàëåå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
~~
( , | )R z
e z
� �
� � �
�
�
� �
�
�
� �
� �
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�� � � � �
�1
1
( )
( )[ ( )]
e z
�
� �
��
� �
� �
�
� � �
� ��
e R
z ~~
( , | )0
�
� � �
� �� ��
� �
� �
�
�
� �
�� ��e e R y dy
z y
y
~~
( , | )
0
�
� � �
�
�
��
�
�
��
�
� �
� � �
� ��
�
� �
�
� � �
� �
� �
� �
�
e R
z
k
k
~~
( , | )
(
0
1
1 � � �� �� �
�
)k
�
� �
�� �
� � �
�
��
� �
� � �
� ��
e R y
y
y
~~
( , | )
0
�
� �
�
�
��
�
�
�� �
�
� �
� �
�
�
� �
�
� � �
� �
k k
y
dy e
k
( )
max( ,
( )!
1
0
1
�
�
�
�
�
�� �
zk
z
e d
)1
�
.
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî
max ( , )
, ,
, ,
0
0
y z
y z
y z y z
� �
� �
�
�
ïîëó÷èì
~~
( , | )R z
e z
� �
� � �
�
�
� �
�
�
� �
� �
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�� � � � �
�1
1
( )
( )[ ( )]
e z
�
� �
��
� �
� �
�
� ��
�
� � �
� �� �
e e R y dy
z y
y
z
~~
( , | )
0
�
� � �
� ���
� �
�
� �
��e R
z ~~
( , | )0
�
� � � � �
��
� �
� �
� � � � �
� �
�
� � �
� �
� � � � � �
� ��
( )( )
~~
( , | )e R
z
0
�
� � � �
�
�
��
�� �
� �
�
�
�
� �
� ��
� �
� � �
� �
�
� � �
� �
e e R y
z y
y
z
~~
( , | )
0 �
�� �
�
�
�
k
k
dy
1
�
�
�� �
�
� �
�
� � �� e
k
e d
k
y y z
z( )
max( , )
( )!
� �
�
1
0
1
�
� � � �
�
�
��
�� �
� �
�
�
�
�
� �
� ��
� �
� � �
� �
�
� � �
� �
e e R y
z y
y
~~
( , | )
0 �
�� �
�
�
�
k
k
dy
1
�
�
� �
�
� �
�
�� � �� e
k
e d
k
y y z
( )
max( , )
( )!
� �
�
1
0
1
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èëè èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ
~~
( , | )R z� � , êîãäà ñëó-
÷àéíûå âåëè÷èíû �
k
� , �
k
� , �k
� , � k
� , k � �1, , èìåþò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
ñ ïàðàìåòðàìè � � , � � , �� , �� ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëå íåêîòîðûõ âûêëàäîê ïîëó÷èì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 137
~~
( , | )R z
e z
� �
� � �
�
�
� �
�
�
� �
� �
� � � � � � � �
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�� � � � �
�1
1
( )
( )[ ]
e z
�
� �
�
� �
�
� �
� �
�
�
� �
�� ��
�
� � �
� �
�
� � �
� � �
e e R y dy e
z y
y
z
0
~~
( , | ) � �z
R
~~
( , | )� � 0
�
� � � � �
�� � �
� � � � � � �
� �
� � �
� � � � � � � � �
� ��1
0
( )( )
~~
( , | )e R
z
�
� � � � � �
� � � �
� � � � � � � �
� � �
� � � �
� � � � � � � � � �
� �1
( )( )
~~
e e R
z y
( , | )� � y dy
y
z
�
� �
0
�
� � � � � �
� � � �
� � � � � � � �
�
�
� �
�
� � � �
� � � � � � � � � �
� � �
�1
( )( )
( )
e
� �� � �
z
�
�
�
� �
�
� � �
� �� e R y dy
y
y
( )
~~
( , | )
� � �
� � � � �
0
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
�
� ��
��
1
1
�
�
� �
�
� �
�
Ee , ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
äëÿ
~~
( , | )R z� � â ñëó÷àå ýêñïîíåíöèàëüíî-ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
�
k
� , �
k
� , �k
� , � k
� , k � �1, , ñ ïàðàìåòðàìè � � , � � , �� , �� ñîîòâåòñòâåííî:
~~
( , | )
( ) ( )
R z e z� �
� �
� � � � � � �
��
�
� � � �
��
� � � �
�
�
�
� � � �
�� � �
� � � � �
� �
� � �
� � � � � � �
� ��( )
( ) ( )
~~
( , | )e R
z
0
�
�
� � � �
� � �
� � � � �
� �� �
� � �
� � � � � � �
� �� �( )
( ) ( )
~~
( , |e e R y
z y
y�
� �
0
z
dy)
�
� � � � �
�� � � �
� � � � � � �
� � � �
� � � � � � � � �
1
( )( )
(2)
�
� � � � �
� � �
� � � � � � �
�
� �
� �
� �
� � �
� � � � � � � � �
� � �
� � �1
( )( )
( )
e
z
e R y dy
y
y
�
�
� �
�
� � �
� ��
( )
~~
( , | ) .
� � �
� � � � �
0
Èç (2) ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
~~
( , | )
( ) ( ) ~~
( , | )�� �
� � �
� �
� �� � �
� �
R z R zz z� �
� � � � �
� � �
� �
�� �
� �� �
�
� �
� � �
� �
~~
( , | )R z
�
� �
� �
� �
� �
�( )( )� � � �
� � �
�e z
(3)
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
ñ îáùèì ðåøåíèåì
~~
( , | ) ( ) ( )
( ) ( )
R z c c
k k� � � �� �� � �1 2
1 2
�
� �
� � � �
� �
� �
�( )( )
( )( ( ))( ( ))
� � � �
� � � � � � �
�
k k
e z
1 2
, (4)
õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì
k k2 ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
�
� � � � �
� � �
�
� � �
� � �
�
� � �
� �
�
� �
�� � �
� �
� �
� �
0 , (5)
ãäå k1 ( )� , k2 ( )� — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
Èç (2) ïîëó÷èì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
~~
( , | )
( ) ( )
( )
(
R z� �
� �
� � � � � � �
� � �
� �
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �
� � �
� � � �
� � � �
� � � �
� � �
�
�
� � � �
� � � � �
� �
� � � �
� � � � � �
) ( )
~~
( , | )
(
R 0
1
) ( )
~~
( , | ) ,
~~
( )
� � � �
� �
� � �
� � �
� � �
�
�
� �
�
�
� �
� �
� �� e R y dy
y
y 0
� � �
�
� � � �
�
�
�
� � � �
� � � �
R ( , | )
( )
( ) ( )
( )� �
� � �
� � � � � � �
� � � �
0 6
� � � � � � � � � �
� �
� � �
�
� � � � � � �
� �
�
� � � � � �
�
�
�
1
0
( ) ( )
~~
( , | )
( )
R
� �
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� � � �
� � �
� �
� �
� �
� � � � � � �
� � �
{
~~
( , | )
( ) ( )
(
R 0
) ~~
( , | )}.
� � �
� �
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
R 0
Èç (4) è (6) ïîëó÷èì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ñ1 ( )� , ñ2 ( )� :
( )
( ) ( ) ( )
� � � � �
� � � �
� � � � � � �
� � �
� � � �
� � � �
� � �
� � � �
�
�
�
�
�k1
c
k
1
2
( )
( )
( ) ( ) ( )
�
� � � � �
� � � �
� � � � � � �
�
� � � �
� � � �� � �
� � � �
� � � �
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
c
k k
2
1
( )
( )( )
( ( ))(
�
�
� � �
� � � � �
� � � 2
1 1 2
( ))
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
� � � � � � � � � � � �{ } {� � � � � �� � � � � � �k c k � �
�
� � �
� � � � �
� � � �
}c
k k
2
1 2
( )
( )( )
( ( ))( ( )
�
� �
� �
� �
� �
�
� �
� � �
)
.
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
(7)
Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèÿ â (7) ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíå-
íèé ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè âåëè÷èíàìè. Çàòåì ïîñëå íåêîòîðûõ âûêëà-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 139
äîê, ïîëó÷èì
( )
( ) ( ) ( )
� � �
� � � � � � �
� �
� � � �
� �
� � � �
�
2
1k
� �
� � �
� �
�
� �
� � �
� �
� �
� �
k k
1
2
1( )
( ) ( )
( )
( )
(
�
� � � � �
� � �
�
� � �
� � �
�
)
( )
�
�
�
�
�
�c1
�
� �
� � � �
�� �
� � � �
( )
( ) ( ) ( )
� � �
� � � � � � �
2
2k
� �
� � �
� �
�
� �
� � �
� �
� �
� �
k k
2
2
2( )
( ) ( )
( )
( )
(
�
� � � � �
� � �
�
� � �
� � �
�
)
( )
�
�
�
�
�
�c2 0.
Ñ ó÷åòîì (5) èìååì 0 0 01 2� � � �c c( ) ( )� � . Òîãäà îäèí èç êîðíåé ñèñòåìû (7)
ìîæåì ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ. Íàïðèìåð, ïóñòü c2 0( )� � . Èç (7) íàõîäèì c1 ( )�
è ïîäñòàâèì åãî â (4). Ïîëó÷èì
~~
( , | )
( ) ( ) ( )
(
R z
k
� �
�
� � �
� �
� � � � � �
� �
� �
� �
�
� � �
��
� �
� �
� � �1
�
� �
�
)
( ( ))( ( ))
( )�
� � � �
�
k k
e
k
1 2
1
�
� �
� � � �
� �
� �
�( )( )
( )( ( ))( ( ))
� � � �
� � � � � � �
�
k k
e z
1 2
. (8)
Èòàê, ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ
~~
( , | )R z� � .
Ââèäó òîãî, ÷òî X ( , )0 � èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåò-
ðîì �� , ìîæíî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ
~~
( , )R � � .
Ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè èìååì
~~
( , )
~~
( , | ) { ( , ) }
~~
( , | )R R z dP X z R z e d
z� � � � � � � � �� � �
� �0 z
zz
.
�
�
�
�
��
00
Ñ ó÷åòîì (8) íàõîäèì
~~
( , )R � � � �
� �
�� �
� �
� �
� � �
2
( )
�
� � �� � �
1
1( ) ( )� � � � � �k
( )( )
( ( ))( ( ))
� � � � �
� � � �
� �
� �
� � �
k k1 2
1
1
2( ( ) )k � ��
�
�
�
� �
�
� �
�
� � �
2
( )
( )( )
( ( ))( ( ))
� � � �
� � � �
� �
� �
� �
k k1 2
1
2( )� �� �
. (9)
Åñëè E E E E� � � �
1 1 1 1
� � � �� èëè
�
�
�
�
�
�
�
�
(ñì. [4, ñ. 362]), òî ïðîöåññ X t( ) áó-
äåò ýðãîäè÷åñêèì. Òîãäà ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàóáåðîâîé òåîðåìîé:
~
( ) lim
~~
( , )R R� � � �
�
�
�0
. (10)
Ñ èñïîëüçîâàíèåì (9) è (10) ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà–Ñòèëüòüåñà
ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà X t( ):
~
( )
( )
.R �
� � � �
�
� �
� � � � � � �
� �
� �
� � �
� � � �
�
�
� � � � � �
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
Ïðåäåë ïðîöåññà X t( , )� ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ t îáîçíà÷èì � �( ). Òîãäà èìååì
~
( ) { ( ) }
( )
R e dP xx
x
� � �
� � � �
�
� �
� � �
�� � �
� �
�
�
�
�
� � � �
�
�
� �
�
0
� �� � � �� � � �
. (11)
Èçâåñòíî, ÷òî
E R� �( )
~
( ),� � � 0 D R R� �( )
~
( ) [
~
( )] .� �� � �0 0 2
Èç (11) íàõîäèì, ÷òî
~
( )
( )
[( ) ]
� � �
� � �
� � �
� � � �
�
� � �
� � � � � �
R �
� � � �
�
� � �
� � � � � � � 2
,
~
( )
( )( ) ( )
[( )
�� �
� � �
� �
� � � � � � �
�
� �
� � �
R �
� � � � � � �
�
� �
� � � �
2
� � �� � �� ]
.
3
Èç ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïðè � � 0 ïîëó÷èì
E� �
� � �
� � � � �
( )
( )
( )
� �
�
�
� � �
� � � � �
,
D� �
� � �
� � � � �
� � � � �
�
( )
( )
( )
( )
� �
�
�
� �� � �
� � � � �
� � � � �
�
2
2
.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 äàííîé ñòàòüå èññëåäîâàíî ðàñïðåäåëåíèå ïðîöåññà ñ äèôôåðåíöèðîâàííûì
ïîëóìàðêîâñêèì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæèâàþùèì ýêðàíîì â íóëå è íàéäåíî ìà-
òåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Á î ð î â ê î â À . À . Îá àñèìïòîòèêå ðàñïðåäåëåíèé âðåìåí ïåðâîãî ïðîõîæäåíèÿ // Ìàò. çàìåòêè. —
2004. — 75, ¹ 3. — Ñ. 350–359.
2. Á î ð î â ê î â À . À . Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. — Ì.: Íàóêà, 2009 — 656 ñ.
3. Ë î ò î â  . È . Î äîñòèæåíèè âûñîêîãî óðîâíÿ ñëó÷àéíûì áëóæäàíèåì ñ çàäåðæêîé â íóëå // Ñèáèð.
ìàò. æóðíàë. — 1990. — ¹ 1. — Ñ. 1306–1318.
4. Ë î ò î â  . È . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû â îäíîé ãðàíè÷íîé çàäà÷å äëÿ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé //
Òàì æå. — 1999. — ¹ 5. — Ñ 1095–1108.
5. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ò. 2. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 640 ñ.
Ïîñòóïèëà 07.06.2011
Ïîñëå äîðàáîòêè 27.07.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 141
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86241 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:15:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Насирoва, Т.И. Микаилов, М.Н. 2015-09-10T19:02:07Z 2015-09-10T19:02:07Z 2013 Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле / Т.И. Насирoва, М.Н. Микаилов // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 132-141. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86241 519.8 За даною чотирьохвимірною послідовністю незалежних однаково розмiщених та незалежних між собою позитивних випадкових величин побудовано процес з диференціальним напівмарковським блуканням, яке затримується екраном в нулі. Знайдено явний вигляд перетворення Лапласа за часом, перетворення Лапласа–Стільтьєса ергодичного розподілу процесу з диференціальним напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі. Given a four-dimensional sequence of independent identically located and positive random variables, a process with differential semi-Markov walk delayed by a screen at zero is considered. An explicit form of the Laplace transform in time, the Laplace–Stieltjes transform of the ergodic distribution of a process with differential semi-Markov walk with delaying screen at zero is found ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле Дослідження розподілу випадкового процесу з диференційованим напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі Analysis of the distribution of a process of differentiable semi-Markov walk with delaying screen at zero Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле Насирoва, Т.И. Микаилов, М.Н. Системный анализ |
| title | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле |
| title_alt | Дослідження розподілу випадкового процесу з диференційованим напівмарковським блуканням з затриманим екраном в нулі Analysis of the distribution of a process of differentiable semi-Markov walk with delaying screen at zero |
| title_full | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле |
| title_fullStr | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле |
| title_full_unstemmed | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле |
| title_short | Исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле |
| title_sort | исследование распределения случайного процесса с дифференцированным полумарковским блужданием с задерживающим экраном в нуле |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86241 |
| work_keys_str_mv | AT nasirovati issledovanieraspredeleniâslučainogoprocessasdifferencirovannympolumarkovskimbluždaniemszaderživaûŝimékranomvnule AT mikailovmn issledovanieraspredeleniâslučainogoprocessasdifferencirovannympolumarkovskimbluždaniemszaderživaûŝimékranomvnule AT nasirovati doslídžennârozpodíluvipadkovogoprocesuzdiferencíiovanimnapívmarkovsʹkimblukannâmzzatrimanimekranomvnulí AT mikailovmn doslídžennârozpodíluvipadkovogoprocesuzdiferencíiovanimnapívmarkovsʹkimblukannâmzzatrimanimekranomvnulí AT nasirovati analysisofthedistributionofaprocessofdifferentiablesemimarkovwalkwithdelayingscreenatzero AT mikailovmn analysisofthedistributionofaprocessofdifferentiablesemimarkovwalkwithdelayingscreenatzero |