Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей
Розглянуто емпіричну оцінку невідомого параметра однорідного у вузькому сенсі випадкового поля з неперервним часом та неперервними станами при спостереженнях на колі. Доведено сильну конзистентність оцінки, що розглядається. Знайдено умови слабкої збіжності розподілу отриманих оцінок до гаусівського...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86244 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей / Д.А. Гололобов, Е.И. Касицкая // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 160-167. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859990978857795584 |
|---|---|
| author | Гололобов, Д.А. Касицкая, Е.И. |
| author_facet | Гололобов, Д.А. Касицкая, Е.И. |
| citation_txt | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей / Д.А. Гололобов, Е.И. Касицкая // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 160-167. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто емпіричну оцінку невідомого параметра однорідного у вузькому сенсі випадкового поля з неперервним часом та неперервними станами при спостереженнях на колі. Доведено сильну конзистентність оцінки, що розглядається. Знайдено умови слабкої збіжності розподілу отриманих оцінок до гаусівського розподілу.
The empirical estimate of the unknown parameter of a homogenous (in restricted sense) random field with continuous time and continuous states observed in a circle is considered. The strong consistency of the estimate is proved. The conditions under which the estimates weakly converge to the Gaussian distribution are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:31:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Ä.À. ÃÎËÎËÎÁÎÂ, Å.È. ÊÀÑÈÖÊÀß
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÅÒÎÄÀ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÈÕ
ÑÐÅÄÍÈÕ ÄËß ÎÄÍÎÐÎÄÍÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÎËÅÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ, ñëó÷àéíîå ïîëå, âåðîÿòíîñòü,
ôóíêöèÿ, ìèíèìèçàöèÿ, íåïðåðûâíîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ìåòîä ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ [1–4] — îäèí èç íàèáîëåå ýôôåêòèâíûõ àïïðîê-
ñèìàöèîííûõ ìåòîäîâ â òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè.  çíà÷èòåëüíîé
ìåðå ýòî îáóñëîâëåíî åãî òåñíîé ñâÿçüþ ñ òåîðèåé ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâà-
íèÿ è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. Äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçâèòàÿ òåîðèÿ àñèìïòî-
òè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ ïðåäîñòàâëÿåò èíñòðóìåíòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñõîäè-
ìîñòè è ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàòèâíûõ ïðîöåäóð ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðî-
ãðàììèðîâàíèÿ, êðîìå òîãî, ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ïðèáëèæåííûå îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè-
÷åñêèõ ñèñòåì.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñòî-
õàñòè÷åñêèõ ñèñòåì íà îñíîâå íàáëþäåíèé ñëó÷àéíûõ ïîëåé â íåêîòîðîé
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÂÑÏÎÌÎÃÀÒÅËÜÍÛÅ ÑÂÅÄÅÍÈß
Ïóñòü { ( ) = ( ) }� � �
� � �
t t t m, , �R , m � 1 , — îäíîðîäíîå â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àé-
íîå ïîëå íà ïîëíîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� � P ñî çíà÷åíèÿìè â íå-
êîòîðîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ( ( ))Y Y, B . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðåàëèçàöèè
�( )
�
t íåïðåðûâíû íà R m ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Çàäàíà íåïðåðûâíàÿ íåîòðè-
öàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ b J Y: � � R, ãäå J — çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî R l , l � 1.
Èìåþòñÿ íàáëþäåíèÿ { ( ): }�
� �
t t T| | | |� , T � 0. Òðåáóåòñÿ íàéòè òî÷êè ìèíèìó-
ìà è ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè
F u f u u J( ) ( , ),
� �
�
�
�M �( )0 . (1)
Ñôîðìóëèðóåì íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå ïîíàäî-
áÿòñÿ â äàëüíåéøåì.
Òåîðåìà 1 [5]. Ïóñòü �( )
� �
t t, �R, — îäíîðîäíîå â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àé-
íîå ïîëå ñî çíà÷åíèÿìè â R; M( )�
�
t ) = 0, b t t s s( ) (
� �
� �
M� �) ( ). Ðåàëèçàöèè �( )
�
t
ïðåäïîëàãàþòñÿ èçìåðèìûìè ïî Ëåáåãó â R k ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Îáîçíà÷èì
X t dt B b t dt
t t
( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )
|| || || ||
� � � �
� �
� �
� �
� � � �
� �
�
�
� dt
t
�
�
|| || �
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
(ln )
| ( )|
�
� �
� � �
�2
0
1
2
0
1
k
B d d� �
�
�
�
�
�
�
�
� �.
Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èìååì
X ( )
( )
,
�
�
�
�
� � �0 .
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
� Ä.À. Ãîëîëîáîâ, Å.È. Êàñèöêàÿ, 2013
Òåîðåìà 2 [6]. Ïóñòü ( , , )� � P — âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, K — êîì-
ïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî íåêîòîðîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ñ íîðìîé | | | |� . Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî
{ ) = }Q s Q s K T TT T( ( , ) , ,� � � � �� R 0
åñòü ñåìåéñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëî-
âèÿì:
1) äëÿ ëþáûõ T S, ôóíêöèÿ Q sT ( , ),� ���, èçìåðèìà;
2) ïðè ôèêñèðîâàííûõ T è � ôóíêöèÿ Q s s KT ( , ),� � , íåïðåðûâíà;
3) äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà s K0 � ïðè êàæäîì s K� ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
P{ }lim ( , ) ( , )
T
TQ s s s
��
� � 0 1 ,
ãäå � �( , ) ( , )s s s s0 0 0� , s s� 0 ;
4) ñóùåñòâóþò � 0 0� è ôóíêöèÿ c( ),� � � 0; c( )� � 0, � � 0, òàêèå, ÷òî äëÿ
ëþáîãî ýëåìåíòà s K�� ïðè ëþáîì 0 0� �� � âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
P lim | ( ) ( )| ( )
|| ||T s s
T TQ s Q s c
�� � � �
� � �
�
�
�
�
�
�
sup
�
� 1 .
Äëÿ êàæäîãî T � 0 è ��� îïðåäåëèì ýëåìåíò s T s T K( ( , )) = � � ñ ïîìîùüþ
ñîîòíîøåíèÿ
Q s T Q sT
s K
T( ( ) min ( )) =
�
.
 ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ áîëåå îäíîé òî÷êè ìèíèìóìà ôóíêöèè QT , â êà÷åñ-
òâå s T( ) âîçüìåì ëþáóþ èç íèõ. Ôóíêöèþ s T T( , ),� � 0, ���, âûáåðåì òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî T è ïðîèçâîëüíîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè g g ( ):s
K � R îòîáðàæåíèÿ g( ( , ))s T � è Q s TT ( ( , ), )� � , ���, áûëè èçìåðèìûìè [7]. Òîãäà
P{ )| | ( | |}s T s� �0 0, Q s T s s TT ( ( ( , ), }))� �� � 0 0 1 .
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÑÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÑÒÈ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÎÖÅÍÊÈ
Çàäà÷ó (1) àïïðîêñèìèðóåì çàäà÷åé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè
F u
b u t dt
dt
u JT
t T
t T
( )
( , ( ))
,
|| ||
|| ||
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (2)
Îáîçíà÷èì
b t b t c1 1( ) ( , )
� �
�
� �
M Minf , ( )) inf , ( ))
|| || || ||
( (
� �
�
�
�
�
u c u c
f u t f f u� � 0
�
�
�
�
� �
� �
inf , ( )) inf , (
|| || || ||
( (
� �
�
�
�
�
u c u c
f u f f u� �0 0M ))
inf , ( )) inf ,
�
�
�
�
�
�
� �|| || || ||
( (
� �
�
�
�
u c u c
f u f f u� �0 M ( ))
�
0
2
�
�
�
�
�
,
b t b t u
f u t F u f u
2 2
0
( ) ( , )
( ( ( ))( (� �
�
�
�
� �
�
� �M , ( )) , ( ))� � F u
f u F u
( ))
( ( ( ))
�
�
�
�
M , ( ))� 0 2�
,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 161
b t b t K3 3( ) ( , , )
� �
�
� �M M M( ( , , ( )) ( , , ( )))( ( , , ( )) ( , K t K K K� � � � � � �
�
� �
0 0 , ( )))
( ( , , ( )) ( , , ( )))
�
� � � �
�
� �
0
0 0 2M M K K�
,
ãäå ( , , ) | ( ( |
, : || ||
K z f u f v
u v K u v
�
�
�
� � �
sup , z) , z)
� � � �
� �
.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñïðàâåäëèâû óñëîâèÿ:
1) äëÿ ëþáîãî c� 0 èìååì
M max ( ( )
|| ||
�
�
�
u c
f u
�
�
�
�
�
�
�
� �, ( ))� 0 2 ;
2) åñëè J íå îãðàíè÷åíî, òî äëÿ êàæäîãî z Y� èìååì
f u z u( , ) , | | | |
� �
�� � �;
3) ôóíêöèÿ (1) èìååò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ìèíèìóìà
�
u0 ;
4) ïðè âñåõ c� 0,
�
u J� äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K J! , � � 0 èìååì
(ln )
| ( )|
�
� �
� � �
�2
2
00
1
1
m iB d d��
�
�
�
�
�
�
�
� �, i 1 3, ,
ãäå B b t dt ii i
t
( ) ( ) , ,
|| ||
�
�
�
�
� �
�
1 3.
Òîãäà ïðè âñåõ T � 0, �� �� , P( )�� 1 ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷-
êà ìèíèìóìà
� �
u T u T( ) ( , ) � ôóíêöèè (2). Äëÿ ëþáîãî T � 0 ôóíêöèþ
�
u T( , )� âû-
áåðåì �� -èçìåðèìîé, ãäå � �� � ! �{ }A A: � .
Äëÿ ëþáîé òî÷êè ìèíèìóìà
�
u T( ) èìååì
P{
� �
u T u( )� 0 , F u T F uT ( ( )) ( )
� �
� 0 , T �� } 1 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåïðåðûâíîñòè f è òåîðåìû Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðå-
õîäå ñëåäóåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè âñåõ T ôóíêöèÿ F u u JT ( ),
� �
� , íå-
ïðåðûâíà. Åñëè J íå îãðàíè÷åíî, òî ïî óñëîâèþ 2 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà äëÿ
ëþáîãî T èìååì F uT ( )
�
��, | | | |
�
u ��. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò " " �( , )T � 0,
äëÿ êîòîðîãî ïðè | | | |
�
u � " ïîëó÷àåì F u F uT T
( ) ( )
� �
� 0 , îòêóäà inf
�
�
u J T
F u
�
( )
� #
inf
� �
�
u J u T
F u
: || ||
( )
"
. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êàæäîì T � 0 è �� �� , P( )� � 1 íàéäåòñÿ
ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà ìèíèìóìà
� �
u T u T( ) ( , ) � ôóíêöèè (2). Èç èçìåðè-
ìîñòè ôóíêöèè F uT ( , )
�
� , �� �� , è ñâîéñòâ èçìåðèìûõ îòîáðàæåíèé [3] âûòåêà-
åò, ÷òî ìîæíî âûáðàòü
�
u T( , )� , �� �� , òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îòîáðàæåíèå áûëî
�� -èçìåðèìî.
Äàëåå ïîêàæåì, ÷òî ïðè íåîãðàíè÷åííîì J ñóùåñòâóåò c� 0 òàêîå, ÷òî ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî T , çàâèñÿùåãî îò �, âñå òî÷êè ìèíè-
ìóìà (2) ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó
K u J u cc � #{ }
� �
: | | | | .
Îáîçíà÷èì
� �( , ) ( , )
|| ||
c f u z
u c
�
inf
�
�
.
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
 ñèëó óñëîâèÿ 2 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè êàæäîì
�
t m�R èìååì
� �( , ( ))c t
�
��, c��.
Ñëåäîâàòåëüíî, M� �( , ( )) ,c c
�
0 �� � �.
Âûáåðåì c0 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
M M� � � �( , ( )) ( , ( ))c u0 00 0
�
�
�
� . (3)
Ïî óñëîâèþ 4 ê ñëó÷àéíûì ïîëÿì � �( , ( ))c t
�
è f u t( , ( ))
�
�
0 � ïðèìåíèìà òåî-
ðåìà 1 . Òàêèì îáðàçîì, èç (3) ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî T , çà-
âèñÿùåãî îò �, èìååì
� � �( , ( )) ( , ( ))
|| ||
|| ||
c t dt
dt
f u t d
t T
t T
0 0
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
t
dt
F u
t T
t T
T
�
�
�
�
�
|| ||
|| ||
( )
�
�
�
�
0 . (4)
Ïîñêîëüêó
inf
|| ||
|| ||
|| |
( )
( , ( ))
�
�
�
�
� �
�
u c
T
t T
t
F u
c t dt
dt�
�
�
�
0
0� �
|�
�
T
,
èç (4) ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîå óòâåðæäåíèå.
Ïðîâåðèì ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèé òåîðåìû 2 äëÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé
{ }F K TT : ,� �� �� R 0 ,
ãäå K Kc
0
.
Óñëîâèÿ 1 è 2 âûïîëíåíû. Èç óñëîâèÿ 4 òåîðåìû 3 è òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî
äëÿ ëþáîãî
�
u J� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà F u F uT ( ) ( )
� �
� , T ��. Èç íåïðåðûâ-
íîñòè f è òåîðåìû Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå âûòåêàåò íåïðåðûâíîñòü ôóíê-
öèè F u( )
�
. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 3 òåîðåìû 3, ïîëó÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ 3
òåîðåìû 2.
Îáîçíà÷èì
� �
�
( , ) | ( ( |
, : || ||
z f u f v
u v K u v
�
� � �
sup , z) , z)
� � � �
� �
.
Ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà äëÿ ëþáûõ T � 0,
�
u K�� , � � 0 èìååì
�
� �
�
T
u K u u
T Tu F u F u( , ) | ( ) ( )|
(
: || ||
� � �
� � �
� � � #
� � � �
sup
, ( ))
|| ||
|| ||
�
� �
�
�
�
t dt
dt
t T
t T
�
�
�
�
. (5)
Ïî óñëîâèþ 4 ê ïîëþ � � �( , ( ))
�
t ïðèìåíèìà òåîðåìà 1, ò.å. äëÿ ëþáîãî � � 0
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïîëó÷àåì
� � �
� � �
( , ( ))
( , ( )),
|| ||
|| ||
� �
�
�
�
�
t dt
dt
T
t T
t T
�
�
�
�
� � �M 0 . (6)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 163
c( ) ( , ( ))� � � � �
M
�
0 , � � 0.
Èç ñîîòíîøåíèé (5), (6) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âñåõ
�
u K�� , � � 0 ïîëó÷àåì
P lim ( , ) ( )
T
T u c
��
� ��
�
�
�
�
�
� �
�
1 .
Èç íåïðåðûâíîñòè f è êîìïàêòíîñòè K èìååì
� �( , )z �0, � � 0.
Ïðèìåíèâ òåîðåìó î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå, ïîëó÷èì
c( )� � 0, � � 0.
Èòàê, âûïîëíåíî óñëîâèå 4 òåîðåìû 2.
Èç òåîðåìû 2 âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû 3.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè èññëåäóåìûõ îöåíîê.
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÝÌÏÈÐÈ×ÅÑÊÎÉ ÎÖÅÍÊÈ
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3, à òàêæå ñëåäóþùèå:
1)
�
u0 — âíóòðåííÿÿ òî÷êà J;
2) ñóùåñòâóåò òàêàÿ çàìêíóòàÿ îêðåñòíîñòü S òî÷êè
�
u0 , ÷òî äëÿ ëþáîãî z Y�
ôóíêöèÿ f u z u S( , ),
� �
� , äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà;
3) ôóíêöèè
�
�
$f u z( , )0 , �( , ),
�
u z z Y0 � , íåïðåðûâíû íà Y , ãäå
$
f u z
df
du
u z
j
j
l( , ) ( , )
� �
1
; �( , ) ( , )
,
� �
u z
d f
du du
u z
j k
j k
l
2
1
;
� �
u u Sj j
l �
( )
1
, z Y� ;
4) M{ }max | | ( , ( ))| |
�
�
�
�
u S
f u
�
$ � �� 0 ;
5) äëÿ ëþáîãî T � 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
max | | ( , ( ))| |
|| ||
�
�
�
� �
u St T
u t dt
��
� � �� � ;
6) ôóíêöèÿ �( , )
�
u z íåïðåðûâíà â òî÷êå
�
u0 ðàâíîìåðíî ïî z Y� �;
P R{ äëÿ ëþáîãî }�( )
� �
t Y t m� � �
1;
7) ïîëå �( )
�
t óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ñèëüíîãî ïåðåìåøèâàíèÿ [4] ñ ïàðàìåòðîì
�( ) ( )d O d m � � , d ��, �� 0 ,
(ln )
| ( )|
�
� �
� � �
�2
0
1
2
0
1
m jkB d d� �
�
�
�
�
�
�
�
� �,
ãäå B b t dtjk jk
t T
( ) ( )
|| ||
�
�
�
� �
�
,
b tjk ( )
�
%
% %
�
%
% %
�
�
�
�
�
M M
2
0
2
0 0
f
u u
u t
f
u u
u
j k j k
( , ( )) ( , ( ))
�
�
�
�
� � �
�
%
% %
�
%
% %
�
�
�
�
�
2
0
2
00 0
f
u u
u
f
u u
u
j k j k
( , ( )) ( , ( ))
�
�
�
�
� �M �
�
%
% %
�
%
% %
�
�
�
�
M M
2
0
2
00 0
f
u u
u
f
u u
u
j k j k
( , ( )) ( , ( ))
�
�
�
�
� �
�
�
�
2
,
j k l, , 1 ;
164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
8) M| | ( , ( ))| |�
�
�
u0
20� � �;
9) ìàòðèöà A M0 �( , ( ))
�
�
u0 0� íåâûðîæäåííà;
10) äëÿ íåêîòîðîãî �
�
�
2m
èìååì M| | ( , ( ))| |
�
�
�
$ � �
f u0
20� � ;
11) ìàòðèöà g( )
�
0 íåâûðîæäåííà, ãäå g( ),
�
�R m , — ñïåêòðàëüíàÿ ïëîò-
íîñòü ïîëÿ { }
�
�
� �
$ �f u t t m( , ( )),0 � R .
Ïóñòü
�
u T( ) — òî÷êà ìèíèìóìà (2), ïðè÷åì ôóíêöèÿ
�
u T( , )� , �� �� , �� -èçìå-
ðèìà, P( )�� 1. Òîãäà
dt u T u
t T
�
� �
�
|| ||
( ( ) )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0
ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê N A Am( , ( ) ( ) ( )( ) )
� �
0 2 00
1
0
1� � �
g , T ��.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû òàêæå óñëîâèÿ:
12) äëÿ íåêîòîðîãî �
�
1
2
�
m
èìååì
M( ( , ( )))f u
�
�
0
2
0 1� �
� �;
13) g( )
�
0 0� , ãäå g1 ( )
�
,
�
�R m , — ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ïîëÿ { f u t( , ( ))
�
�
0 � ,
�
t m�R }.
Òîãäà
dt F u T F u
t T
T
�
� �
�
|| ||
( ( ( )) ( ))
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0
ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê N m( , ( ) ( ))
� �
0 2 01� g .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèé 2–4 è òåîðåìû Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå
ñëåäóåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà äëÿ ëþáîãî T � 0 ôóíêöèÿ F uT ( )
�
,
�
u S� ,
äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà S . Èìååì
�
�
�
�
�
�
�
$
%
% %
�
��
�F u
dt
f
u u
u tT
t T
j kt T
( ) ( , ( ))
|| ||
|| ||
1
2
� dt
�
; j k l, , 1 ;
�
u S� .
 ñèëó ñîñòîÿòåëüíîñòè
�
u T( ), ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñõîäÿùåéñÿ ê åäèíèöå ïðè
T ��,
�
u T( ) ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé S . Èñïîëüçóÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñ-
òðåìóìà, ïîëó÷àåì, ÷òî ñ òàêîé æå âåðîÿòíîñòüþ
�
�
�
$ F u TT ( ( )) 0. (7)
Ïðèìåíèâ ôîðìóëó Òåéëîðà, èç (7) ïîëó÷èì, ÷òî ïðè âñåõ T � 0, ��� ( )T ,
P( ( ))� T 1 , T ��, èìååì
�
� � �
�
$
� F u A T u T uT ( ) ( )( ( ) )0 0 0, (8)
ãäå
A T A T
F
u u
u TT
j k
j
j k
l( ) ( , ) ( ( , ), )
,
%
% %
� � �
2
1
�
,
� � � �
u T u T u T uj
j( , ) ( , )( ( , ) )� � � �
�0 0 , 0 1# #� �j T( , ) .
Îáîçíà÷èì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 165
A T A T
A T T
T
1 1( ) ( , )
( , ), ( ),
\ ( ),
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
� �B,
ãäå B — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà.
Ïî óñëîâèþ 6 èìååì
A T
dt
u t dt
t T
t T
1 0
1
0( ) ( , ( ))
|| ||
|| ||
� �
�
��
��
�
� �
�
�
� � , T ��, ïî âåðîÿòíîñòè.
 ñèëó óñëîâèé 8, 9 ê ïîëþ �( , ( ))
�
�
u t0 � ïðèìåíèìà òåîðåìà 1. Èìååì
P
1
0 0
dt
u t dt A T
t T
t T
�
�
� �
�
�
|| ||
|| ||
( , ( )) ,
�
��
� � � �
�
�
&&
�
� �
&
&
�
�
&&
�
&
&
1 . (9)
Èç (9) âûòåêàåò, ÷òî
A T A T1 0( ) ,� ��, (10)
ïî âåðîÿòíîñòè.
 ñèëó (10) äëÿ âñåõ T � 0, ���1 ( )T , P( ( )) ,�1 1T T � � , ìàòðèöà A T1 ( )
íåâûðîæäåííà. Òîãäà èç (8) ñëåäóåò
dt u T u A T dt
t T
�
� �
�
� �
|| || ||
( ( ) ) ( ( ))
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
2
0 1
1
t T t T
f u t dt
|| || ||
( , ( ))
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
$
1
2
0
�
�
� �
�
� . (11)
Èç (10) âûòåêàåò, ÷òî ïî âåðîÿòíîñòè
( ( )) ( )A T A1
1
0
1� �� , T ��.
Ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå èìååì
�
�
� �
�
�
�
$ $ �M Mf u f u u S( , ( )) ( , ( )),� �0 0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, M
�
�
� �
$ f u( , ( ))� 0 0.
 ñèëó óñëîâèé 7, 11 òåîðåìû 4 ê ïîëþ
dt f u t dt
t T t T
�
�
�
� �
� �
|| || || ||
( , ( ))
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
$
1
2
0 � (12)
ïðèìåíèìà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà [8, ñ. 25], ò.å. (12) ñõîäèòñÿ ïî
ðàñïðåäåëåíèþ ê N m( , ( ) ( ))
� �
0 2 0� g ïðè T ��.
Òàêèì îáðàçîì, èç (11) ñëåäóåò ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Ïî òåîðåìå Òåéëîðà äëÿ âñåõ T � 0 , ��� ( )T , P( ( ))�1 1T , T ��, èìååì
dt F u T F u dt
t T
T
t
�
� �
�
� �
|| || || ||
( ( ( )) ( ))
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
$
�
�
�
�
�
�
�
�
�
T t T
f u t dt
1
2
0
�
�
� �
�
( , ( ))
|| ||
�
�
�
�
�
( ( ) )
� �
u T u0
166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
1
2
1
2
0 2dt u T u A T u T
t T
�
� � � �
�
|| ||
( ( ) ) ( )( ( ) u0 )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� dt f u t Ef u
t T
�
�
�
�
�
�
|| ||
( ( , ( )) ( , ( )
1
2
0 0 0� � ))
|| ||
�
�
t T
dt
�
� , (13)
ãäå
A T
f
u u
v T
j k j k
l
2
2
1
( ) ( ( , ), )
,
%
% %
�
�
�
�
�
�
�
�
� � ,
� � � �
v T u T u T u( , ) ( , )( ( , ) )� � �
�0 0' , 0 1� �'( , )T � .
 ñèëó öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû è óñëîâèé òåîðåìû 4
dt f u t Ef u
t T
�
�
�
�
�
�
|| ||
( ( , ( )) ( , ( ))
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
0 0 0� � )
|| ||
�
�
t T
dt
�
�
ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê N ( , ( ))
� �
0 2 01�g ïðè T ��.
Èç çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè FT ,
ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû è ñîîòíîøåíèÿ (13) âûòåêàåò âòîðîå óòâåðæäåíèå
òåîðåìû 4.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå èññëåäîâàíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå îöåíîê ìåòîäà ýìïèðè÷åñ-
êèõ ñðåäíèõ îäíîðîäíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, íàáëþ-
äàåìîãî íà êðóãå. Äîêàçàíà ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü ýìïèðè÷åñêîé îöåíêè.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè ÷èñëåííîì íàõîæäåíèè
è èññëåäîâàíèè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ìåòîäà ýìïèðè÷åñêèõ ñðåäíèõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðûõ êëàññîâ Ì-îöåíîê // Êèáåðíåòèêà è
ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1997. — ¹ 4. — Ñ. 10–27.
2. K n o p o v P . S . , K a s i t s k a y a E . J . Empirical estimates in stochastic optimization and identification.
— Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002. — 250 p.
3. K n o p o v P . S . On some classes of M-estimates for non-stationary regression models // Theory Stochastic
Processes. — 1997. — 3 (19), N 1–2. — P. 222–238.
4. Ê í î ï î â Ï . Ñ . , Ê à ñ è ö ê à ÿ Å . È . Î áîëüøèõ óêëîíåíèÿõ ýìïèðè÷åñêèõ îöåíîê â çàäà÷àõ
ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 4. — Ñ. 52–61.
5. Þ ð è í ñ ê è é  .  . Îá óñèëåííîì çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñëó÷àéíûõ ïîëåé // Ìàò. çàìåòêè. —
1974. — 16, ¹ 1. — Ñ. 141–149.
6. Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . Òåîðèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Êèåâ: Âèùà øê., 1982.
— 192 ñ.
7. Ë å î í å í ê î Í . Í . , È â à í î â À .  . Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ñëó÷àéíûõ ïîëåé. — Êèåâ: Âèùà øê.,
1986. — 216 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.01.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 3 167
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86244 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:31:24Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гололобов, Д.А. Касицкая, Е.И. 2015-09-10T19:11:48Z 2015-09-10T19:11:48Z 2013 Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей / Д.А. Гололобов, Е.И. Касицкая // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 160-167. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86244 519.21 Розглянуто емпіричну оцінку невідомого параметра однорідного у вузькому сенсі випадкового поля з неперервним часом та неперервними станами при спостереженнях на колі. Доведено сильну конзистентність оцінки, що розглядається. Знайдено умови слабкої збіжності розподілу отриманих оцінок до гаусівського розподілу. The empirical estimate of the unknown parameter of a homogenous (in restricted sense) random field with continuous time and continuous states observed in a circle is considered. The strong consistency of the estimate is proved. The conditions under which the estimates weakly converge to the Gaussian distribution are established. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей Асимптотичні властивості методу емпіричних середніх для однорідних випадкових полів Asymptotic properties of the method of empirical estimates for homogenous random fields Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей Гололобов, Д.А. Касицкая, Е.И. Системный анализ |
| title | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей |
| title_alt | Асимптотичні властивості методу емпіричних середніх для однорідних випадкових полів Asymptotic properties of the method of empirical estimates for homogenous random fields |
| title_full | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей |
| title_fullStr | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей |
| title_full_unstemmed | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей |
| title_short | Асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей |
| title_sort | асимптотические свойства метода эмпирических средних для однородных случайных полей |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86244 |
| work_keys_str_mv | AT gololobovda asimptotičeskiesvoistvametodaémpiričeskihsrednihdlâodnorodnyhslučainyhpolei AT kasickaâei asimptotičeskiesvoistvametodaémpiričeskihsrednihdlâodnorodnyhslučainyhpolei AT gololobovda asimptotičnívlastivostímetoduempíričnihseredníhdlâodnorídnihvipadkovihpolív AT kasickaâei asimptotičnívlastivostímetoduempíričnihseredníhdlâodnorídnihvipadkovihpolív AT gololobovda asymptoticpropertiesofthemethodofempiricalestimatesforhomogenousrandomfields AT kasickaâei asymptoticpropertiesofthemethodofempiricalestimatesforhomogenousrandomfields |