Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях
Наведено дві узагальнені хвильові моделі. В першій розглядається вплив магнітного поля на пружне тіло з пустотною фракцією. Друга — нова узагальнена модель ферогідродинаміки, яка описує розповсюдження хвиль зі скінченними швидкостями. Досліджується наявність хвильових розв’язків The paper presents t...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86256 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях / И.Т. Селезов, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 97-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859516607322128384 |
|---|---|
| author | Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. |
| author_facet | Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. |
| citation_txt | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях / И.Т. Селезов, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 97-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Наведено дві узагальнені хвильові моделі. В першій розглядається вплив магнітного поля на пружне тіло з пустотною фракцією. Друга — нова узагальнена модель ферогідродинаміки, яка описує розповсюдження хвиль зі скінченними швидкостями. Досліджується наявність хвильових розв’язків
The paper presents two new generalized wave models. One considers the effect of magnetic field on the elastic solid with void fraction. The other is a new generalized ferrohydrodynamics model describing wave propagation with finite velocities. The existence of wave solutions is investigated.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:43:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 537.84
È.Ò. ÑÅËÅÇÎÂ, Þ.Ã. ÊÐÈÂÎÍÎÑ
ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÂËÈßÍÈß ÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß
ÍÀ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ ÂÎËÍ Â ÓÏÐÓÃÈÕ ÒÅËÀÕ
Ñ ÏÓÑÒÎÒÍÎÉ ÔÐÀÊÖÈÅÉ È Â ÔÅÐÐÎÆÈÄÊÎÑÒßÕ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàãíèòíîå ïîëå, óïðóãîå òåëî, ïóñòîòíàÿ ôðàêöèÿ, ôåððî-
æèäêîñòü, ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí, êîíå÷íàÿ ñêîðîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 äàííîé ñòàòüå ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå îáîáùåííûå âîëíîâûå ìîäåëè: ìîäåëü
âëèÿíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà óïðóãîå òåëî ñ ïóñòîòíîé ôðàêöèåé è íîâàÿ îáîá-
ùåííàÿ ìîäåëü ôåððîãèäðîäèíàìèêè. Ìîäåëü äåôîðìèðóåìîãî óïðóãîãî òåëà
ñ ïóñòîòàìè [1, 2] îáîáùàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ó÷èòûâàòü ìàãíèòîóïðó-
ãèå ýôôåêòû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñðåäà ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîïðîâîäÿùåé è ïîä-
âåðæåíà äåéñòâèþ âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè ýòîì ïóñòîòíàÿ ôðàêöèÿ
ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ óïðóãîé ìàòðèöåé. Îòìåòèì, ÷òî âíóòðè ïóñòîò ñðåäà
íåïðîâîäÿùàÿ [3]. Ïîêàçàíî ñèëüíîå âëèÿíèå ìàãíèòíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà è
ïîðèñòîñòè ïóñòîòíîé ôðàêöèè � íà ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêèõ âîëí â òåëå. Äî
íàñòîÿùåãî âðåìåíè ðàññìàòðèâàëèñü íåêîòîðûå äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è áåç ìàã-
íèòîóïðóãèõ âçàèìîäåéñòâèé [4, 5].
 íîâîé îáîáùåííîé ìîäåëè ôåððîãèäðîäèíàìèêè ó÷èòûâàþòñÿ ýôôåêòû
ñæèìàåìîñòè è òåïëîâîé ðåëàêñàöèè. Ñèñòåìà íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ëèíåàðèçó-
åòñÿ îòíîñèòåëüíî íåâîçìóùåííîãî ïîëÿ äàâëåíèÿ, ïëîòíîñòè, òåìïåðàòóðû, ñêî-
ðîñòè, íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ è íàìàãíè÷åííîñòè.  ðåçóëüòàòå èñõîä-
íûå óðàâíåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ñèñòåìå òðåõ ðàçðåøàþùèõ ñêàëÿðíûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ãèïåðáîëî-ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà. Ýòî
ïðåäñêàçûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, ÷òî îòëè÷àåò ñèñòåìó
îò òðàäèöèîííîé ìîäåëè. (Âîïðîñ î êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìó-
ùåíèé â æèäêèõ ñðåäàõ ðàññìàòðèâàëñÿ â [6–8].) Èññëåäóåòñÿ ðàçðåøèìîñòü ñîîò-
âåòñòâóþùèõ çàäà÷ î ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêèõ âîëí. Ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèÿ çàäà-
÷è î ðàñïðîñòðàíåíèè ñòàöèîíàðíûõ âîëí íå ñóùåñòâóåò. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ðàç-
ðåøèìîñòè â ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí.
ÌÎÄÅËÈ ÂËÈßÍÈß ÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß ÍÀ ÓÏÐÓÃÎÅ ÒÅËÎ
Ñ ÏÓÑÒÎÒÍÎÉ ÔÐÀÊÖÈÅÉ
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ óïðóãîé ñðåäû ñ ïóñòîòíîé ôðàêöèåé â ìàãíèòíîì
ïîëå. Óðàâíåíèÿ çàïèñàíû â ðàöèîíàëèçèðîâàííîé ñèñòåìå ÌÊÑ [9]:
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ óïðóãîé ìàòðèöû
G u G u
u
t
J B� � � � � � � �
�
�
� � � �2
1
2
2
� � � �
� � � �
( ) ( )� � � � , (1)
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïóñòîòíîé ôðàêöèè
� � �
�
�
�
�� �� �
�
�
�
�
�
� � � �2
1
2
2
k
t t
u
� �
, (2)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 97
© È.Ò. Ñåëåçîâ, Þ.Ã. Êðèâîíîñ, 2013
óðàâíåíèå èíäóêöèè
1 2
� �
�
�
� ���
�
�
��
�
���
�
�
� � �
H
H
t
u
t
H , (3)
óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
� � �
�
� �
�
� � � �
�� � �
�
�
�� � �
�
�
� � � � � �H J
D
t
E
B
t
D Bc, , ,� 0, (4)
êîíñòèòóòèâíûå óðàâíåíèÿ
� � �
� � ��ii iiK G� � � �3 20 0 0
2
0( ) ( )( ) , (5)
�
� �ik ik ij i j j i m i m jG i k U U U U� � � � �( ) , , . ( ), , , ,0
2 05 , (6)
B H H D E J E U Bi i i i i ijk j k� � � � �
�( ) , , ( � )
�
0 , (7)
h g u ui i kk ij i j j i� � � � � � ��� �� �� �� �, , ,, , ( ) / 2 , (8)
òåíçîð Ìàêñâåëëà
T H B E D H B E Dij i j i j ij k k k k� � � �� ( ) / 2 . (9)
 ñëó÷àå ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè óðàâíåíèÿ (5) è (6) ïðè-
âîäÿòñÿ ê âèäó
�� � � ���ij ij kk ij ijG� � �2 , � ij i j j iu u� �0 5. ( ), , , (10)
à óðàâíåíèÿ (7) — ê âèäó
� � � � � � � �
B H D E J E
u
t
B� � � �
�
�
�
��
�
�� �
0 0, , . (11)
 îòëè÷èå îò îáû÷íîé ìîäåëè ìàãíèòîóïðóãîñòè ñèñòåìà óðàâíåíèé (1)–(4),
(9)–(11) âêëþ÷àåò óðàâíåíèÿ (2) è (8), îïèñûâàþùèå ïóñòîòíóþ ôðàêöèþ � , ïðè
ýòîì (2) èìååò ÷ëåí �
� �
� � u, ñîîòâåòñòâóþùèé äèëàòàöèîííîìó âåêòîðíîìó ïîëþ,
à óðàâíåíèå ýëàñòîäèíàìèêè (1) èìååò ÷ëåí � �
�
� , ñîîòâåòñòâóþùèé ïóñòîòíîé
ôðàêöèè. Áåç ó÷åòà ìàãíèòîóïðóãèõ âçàèìîäåéñòâèé ñèñòåìà óðàâíåíèé (1), (2) —
ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà, îáùàÿ ñèñòåìà ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèé (1)–(4) îêàçûâà-
åòñÿ ñâÿçàííîé ãèïåðáîëî-ïàðàáîëè÷åñêîé ñèñòåìîé ââèäó äèññèïàöèè, îáóñëîâ-
ëåííîé êîíå÷íîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ.  ñèñòåìå (1)–(11) ïîä÷åðêíóòû ÷ëåíû
íåëèíåéíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðè ïîâòîðÿþùèõñÿ èíäåêñàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóì-
ìèðîâàíèå, çàïÿòàÿ îáîçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó
èíäåêñó.
Ðàññìîòðèì ñðåäó â ïðÿìîóãîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x x x1 2 3, ,
è ïîäâåðæåííóþ äåéñòâèþ ñèëüíîãî ïîñòîÿííîãî îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
H 20 ,
�
H H� ( , , )0 002 . Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (1)–(11) ëèíåàðèçóåòñÿ îòíîñè-
òåëüíî íåâîçìóùåííîãî ñîñòîÿíèÿ àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ðåàëèçàöèè ÌÃÄ-ñðåäû
è ìàãíèòîóïðóãîé ñðåäû [10].
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèÿ (1)–(3) ê âèäó
� � �
�
�
�� � � �
�
�
� � � � � �2 1
2
2
1
� � � �
� � � �
u
G
u
G
u
t G
H H
� �
( ) ( )
�
�
G
�
� , (12)
� �
�
�
�
�
�
� � � �2 1
2
2
�
�
�
� �
�
� �
�
�
�
�
k
t t
u
� �
, (13)
1 2
� �
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
H
H
t
u
t
H . (14)
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Ââåäåì áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû ïî ôîðìóëàì (çâåçäî÷êè â äàëüíåéøåì îïóñ-
êàþòñÿ)
x
x
l
t
c
l
t u
u
l G
e* * * * *, , , ,� � � � �
�
�
� � �
�
,
�
�
H
H
H
T
c
T cik ik
e
ik ik s
* * *, ( , ) ( , ),� � �
0 1
2
1
1
�
, (15)
c c c
c
c
c
c
c k
P
H
c
R cs s e
s e
s s
H
s
s
m
s
s
* *, , , ,� � � � � ��
� �
�
�1
0
2
1
2
l
,
ãäå cs è ce — ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ ñäâèãîâûõ è äèëàòàöèîííûõ âîëí
â óïðóãîì òåëå, c� — ñêîðîñòü ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ âîëí, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ñêîðîñòè óïðóãîãî òåëà ñ ïóñòîòíîé
ôðàêöèåé.
Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêèõ âîëí.
Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêèõ
âîëí, õàðàêòåðèçóåìûõ êîìïîíåíòîé
ïåðåìåùåíèÿ u u1 � , ïðè äåéñòâèè ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ H H02 0� (ðèñ. 1).
 ýòîì ñëó÷àå ëèíåàðèçîâàííàÿ ñèñòå-
ìà óðàâíåíèé (12)–(14) ñ ó÷åòîì (15) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
1
2 2
2
1
2
2
1
0
1
1u
x c
u
t
P
h
x x
s
H
s �
�
, (16)
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
2
1
1
2 2
2
2 1 2 3
1
1
1� �
�
�
� � �
�x c t t
u
x
, (17)
1
2
2
1
2
2
1
1
20
R
h
x
h
t x
u
t
H
m
s
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�� . (18)
Ïðè èäåàëüíîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòè (ìàãíèòíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà Rm ��)
ãèïåðáîëî-ïàðàáîëè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé âûðîæäàåòñÿ â ãèïåðáîëè÷åñêóþ
è â îòëè÷èå îò îáû÷íîé ìîäåëè ìàãíèòîóïðóãîñòè îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå
åùå îäíîãî òèïà âîëí, îáóñëîâëåííîãî íàëè÷èåì ïóñòîòíîé ôðàêöèè � . Ïðè
ýòîì ìàãíèòîóïðóãèå âîëíû è âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïóñòîòíîé ôðàêöèè, îêà-
çûâàþòñÿ âçàèìîñâÿçàííûìè, è äàæå ïðè Rm �� ñèñòåìà íå ñâîäèòñÿ ê
óðàâíåíèÿì èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû, êàê ýòî èìååò ìåñòî â êëàññè÷åñêîé ìàã-
íèòîóïðóãîñòè.
 ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí u x t( , ) �
� �u ei kx t
0
( )� â òåðìèíàõ «ôàçîâàÿ ñêîðîñòü cp — äëèíà âîëíû �» ( ,k �
2�
�
�
�
�
�
2
cp ) èç ñèñòåìû (8)–(11) ïîëó÷àåì äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå
D cp( ( ), )� � � 0 , (19)
êîòîðîå ïîñëå ðàçäåëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé ñâîäèòñÿ ê äâóì
âçàèìîñâÿçàííûì óðàâíåíèÿì:
Re D c
c R c c
c
R c
p
m e e
p
m p
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� ��4
2
2 2
2 1
2
2
24 4 1�
�
� �
�
2 2
21
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
c�
�
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 99
x3
x2
x1 � x
u3
u2
u1 � u
H03
H01
H02 � H0
Ðèñ. 1
� � �
�
�
�
��
� � ���
� � � �
�
�
1 02
2
1
2
2
0 3
2
2 21
4
( )P H V
R c
c
R RH
e
m e
p
m m Rm
�
�
�
��
�
�
�
��
� 0 , (20)
Im D c
c c
c
c R c c c
p
e
p
e m e e
� � � � � �4
2 2
2 1
2 2
2
2 2
2
2
1 1
4
1
2� �
� �
�
�
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
P H
c
H
e
02
2
2
1
�
+
� � � � � � �
�c
R
P H P Hp
m
H
e
H
e� �
�
�
� �
�
�
�
0 3
2
2 1
02
2 2
2 02
2 2
24
1
4 4
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��2 0 . (21)
Èç óðàâíåíèé (13), (14) âèäíî ñèëüíîå âëèÿíèå ýëåêòðîïðîâîäíîñòè Rm ~
è ìàãíèòíîãî ïîëÿ P HH ~
0
2 è ñâÿçàííîñòè ïîëåé óïðóãîñòè (ìàòðèöà) è ïî-
ðèñòîé ôðàêöèè, � � � �0 1~ , ~ .
Î äèôðàêöèè ìàãíèòîàêóñòè÷åñêèõ âîëí íà óïðóãîì öèëèíäðè÷åñêîì
ïðåïÿòñòâèè. Ðàññìîòðèì â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèÿ, îïè-
ñûâàþùèå çàäà÷ó äèôðàêöèè. Ðàíåå áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à äëÿ ñëó÷àÿ àáñî-
ëþòíî æåñòêîãî öèëèíäðà [10].  äàííîì ñëó÷àå öèëèíäðè÷åñêèå âîëíû ðàñ-
ïðîñòðàíÿþòñÿ îò èçëó÷àòåëÿ â ìàãíèòîàêóñòè÷åñêîé ñðåäå è äèôðàãèðóþò íà
óïðóãîì öèëèíäðå ñ ïóñòîòíîé ôðàêöèåé (ðèñ. 2). Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ â öè-
ëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ ðàññåèâàòåëåì:
— äëÿ âíåøíåé ìàãíèòîàêóñòè÷åñêîé ñðåäû [11] â îáëàñòè � e
�
� �
� �
� �
0
1
0
2
1
1 0
2
0
2
1 2
1�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
t
c
x
P R
t
c
x x
P RH m H m, � 2 , (22)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� � �
t x x
x
x
0
1 1
1 1
2
2
1
0( ) , (23)
1
0
1
1 1
1 1
2
2 1
3
2
2
3
1x x
h x
h
x x
h
x
h
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�( ) , ,� �1, (24)
1
0
1 1
1 1
2
2x x
e x
e
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �( ) ; (25)
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Ðèñ. 2
Ìàãíèòîàêóñòè÷åñêàÿ
ñðåäà
Ìàãíèòîóïðóãèé
ïîðèñòûé öèëèíäð
Âûõîäÿùàÿ âîëíà
Îòðàæåííàÿ âîëíà
O1
b
a
0x2 � �
x1
x r1 �
�e
�� x1
— äëÿ ìàãíèòîóïðóãîãî ïîðèñòîãî öèëèíäðà èç óðàâíåíèé (12) ïîëó÷àåì â
îáëàñòè ��
G u
u
r r
u
G
e
r
u Xr
r
r r� � �
�
�
��
�
��� �
�
�
� � �2
2 2 1
2
0�
�
� �( ) �� , (26)
G u
u
r r
u
G
r
e
u Xr� � �
�
�
��
�
��� �
�
�
� � �2
2 2 1
2 1
�
�
� �
�
�
�
�( ) �� 0 , (27)
e
r r
ru
r
u
r�
�
�
�
�
�
1 1
( ) �
�
, (28)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2 2
2
2
1 1
r r r r �
. (29)
Ñèñòåìà äîïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè (13) è (14).
Óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ, îòíåñåííûå ê íåâîçìóùåííîé ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà
äâóõ ñðåä � �e1, �� , îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè
� � �
n V V T T n i k
ik ik ik ik i� � � � � � � �( ) , [( ) ( )] , ,1 2 1 1 2 20 0 1
, ,2 3 , (30)
n H H n H H� �
�
�
�
�
�
� � � �
1
2
1 2 1 20 0
� � � � �
, ( ) , (31)
� � � � � �
n E E n E E� �
�
�
�
�
�
� � � �
1
2
1 2 1 20 0, ( ) . (32)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âèäà èçëó÷àåìîé âîëíû ñíà÷àëà ðåøàåòñÿ çàäà÷à èçëó÷å-
íèÿ âîëíû â ñèñòåìå êîîðäèíàò x x x1 2 3, , , ñâÿçàííîé ñ èçëó÷àòåëåì. Èñêîìûå
ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå f x x t f x x e i t( , , ) ( , )*
1 2 1 2� � � .
 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå æåñòêîãî öèëèíäðà ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííûå âûðàæå-
íèÿ äëÿ ïëîòíîñòè � :
Re exp ( )�
� ��
� � � �
�
�
�
�
�
� �
��
�
2
1
2
1
1
160 0
1
0
P R
c
b x
P RH m H m ��
�
�
�
�
�
� �
�2
� �
��
�
�� �cos sin ( cos )kb
P R
kb xH m
�� 0
21 2 , (33)
Im exp ( )�
��
� � � �
�
�
�
�
�
� �
��
�
2
1
2
1
1
160 0
1
0
P R
g c
b x
P RH m H m ��
�
�
�
�
�
� �
�2
� �
��
�
�� �sin cos ( cos )kb
P R
kb xH m
�� 0
21 2 . (34)
Èç âûðàæåíèé (33) è (34) ìîæíî óñòàíîâèòü ñèëüíîå âëèÿíèå íà äèôðàãèðîâàí-
íîå ïîëå ýôôåêòîâ äèññèïàöèè, ðàññòîÿíèÿ îò èçëó÷àòåëÿ b, âîëíîâîãî ÷èñëà kb
è P RH m , à â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà
âîëíîâîå ïîëå óïðóãèõ ñâîéñòâ ðàññåèâàòåëÿ ñ ó÷åòîì ïóñòîòíîé ôðàêöèè.
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈß ÂÎËÍ
 ÔÅÐÐÎÆÈÄÊÎÑÒÈ
Ìàãíèòíûå æèäêîñòè (ôåððîæèäêîñòè) áûëè âïåðâûå ïîëó÷åíû â ÑØÀ â ñåðå-
äèíå 60-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà. Îíè îáëàäàþò ðÿäîì ñóùåñòâåííûõ ïðåèìó-
ùåñòâ: ìàëûå ïîòåðè íà òðåíèå, ïîëíàÿ ãåðìåòè÷íîñòü, áåçûçíîñíîñòü, ýôôåêò
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 101
ñàìîâîññòàíîâëåíèÿ â ñëó÷àå àâàðèéíîãî
ïðîðûâà óïëîòíÿåìîé ñðåäû, âûñîêèå íà-
äåæíîñòü è äîëãîâå÷íîñòü, ïðîñòîòà â èçãî-
òîâëåíèè è îáñëóæèâàíèè [11]. Îäíàêî òåî-
ðåòè÷åñêèé àíàëèç ïîâåäåíèÿ ôåððîæèäêî-
ñòåé ñâÿçàí ñ áîëüøèìè òðóäíîñòÿìè ââèäó
ñëîæíîñòè óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïîâå-
äåíèå ìàãíèòíûõ æèäêîñòåé.
Ôåððîãèäðîäèíàìèêà èçó÷àåò ïîâåäå-
íèå ñóñïåíçèè, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç æèäêîñòè
è íàìàãíè÷èâàåìûõ ÷àñòèö — ôåððî÷à-
ñòèö (ðèñ. 3). Ôåððîæèäêîñòü (ìàãíèòíàÿ æèäêîñòü) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîëëîèä-
íûé ðàñòâîð, â êîòîðîì ñîäåðæàòñÿ ÷àñòèöû ðàçìåðîì 10 6� ìì, ðàñïîëîæåííûå
â âàêóóìíîì ìàñëå. Ïëîòíîñòü ÷àñòèö ðàâíà1023 íà ì 3 ñðåäû, â êîòîðîé èìåþò-
ñÿ âçâåøåííûå ìàëûå ôåððî÷àñòèöû.
Íà îñíîâå òðàäèöèîííîé ìîäåëè ïðîâîäèëèñü èññëåäîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ çà-
äà÷, âêëþ÷àÿ äèíàìèêó âçâåøåííûõ ôåððîìàãíèòíûõ ÷àñòèö â ñóñïåíçèè ïðè
äåéñòâèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ [12–15].
Óðàâíåíèÿ ôåððîãèäðîäèíàìèêè. Òðàäèöèîííûå óðàâíåíèÿ ôåððîãèäðî-
äèíàìèêè â ñëó÷àå âÿçêîé íåñæèìàåìîé ñðåäû ïðåäñòàâëÿþòñÿ â ñëåäóþùåì
âèäå [13–15]:
óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
~ [ / ( ) ] ~� � � � � �� � �� � � � �
� � � � � � � �
V t V V p V M Hd
2
0 ; (35)
óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè � �
� � �V 0 ; (36)
óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, â êîòîðîì ïîñëåäíèé ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëü-
íûé êâàäðàòó òåíçîðà ñäâèãîâûõ äåôîðìàöèé, õàðàêòåðèçóåò òåïëî,
îáóñëîâëåííîå âÿçêîñòüþ,
� � � �� � � �
�
�
�
�
�
��
�
��T t V T k T
ñ
V
x
V
x
t
k
p
i
k
k
i
/ ( )
� �
2
2
2
�
; (37)
óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ
~ [ ( )]� � �� � �0 01 T T ; (38)
óñëîâèå îòñóòñòâèÿ âíåøíåãî çàäàííîãî òîêà
� �
�� �H 0; (39)
óñëîâèå îòñóòñòâèÿ ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ
� � �
� � � �( )H M 0 ; (40)
óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå ñîñòîÿíèå ìàãíèòíîé æèäêîñòè
� �
M MH H� / ; (41)
M M K T T H H� � � � �0 0 0( ) ( )� . (42)
Ïðèâåäåííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (35)–(42) — ïàðàáîëè÷åñêè-ýëëèïòè÷åñêîãî
òèïà è îïèñûâàåò âîçìóùåíèÿ, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ñ áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòüþ,
äàæå åñëè íå ó÷èòûâàòü âÿçêîñòü.  äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìîäåëü áåç
ó÷åòà âÿçêîñòè, íî ñ ó÷åòîì ñæèìàåìîñòè è òåïëîâîé ðåëàêñàöèè [7].
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Ñëîé äèñïåðñíîãî
âåùåñòâà
Ìàãíåòèò
Ðèñ. 3
Îáîáùåííàÿ âîëíîâàÿ ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ìîäåëü ôåððîãèäðîäèíàìèêè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàññìîòðåíèå ïðîâîäèòñÿ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R 3
è âñå èñêîìûå ôóíêöèè ãëàäêèå, ò.å. ïðèíàäëåæàò êëàññó C � . Çàïèøåì ñîîòâåò-
ñòâóþùóþ çàìêíóòóþ ñèñòåìó îáîáùåííûõ óðàâíåíèé â ñëåäóþùåì âèäå:
óðàâíåíèå ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
~ ( ) ~ ( )�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� � ��
�
� � � � � � �V
t
V V p M H0 , (43)
îáîáùåííîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ
�
�
� � � � �
�
�
~p
t
K V K
T
t
� �
� , (44)
îáîáùåííîå ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà
�
�
� � �
�
�
� � �
T
t
k T
T
t
Vt
2
2
2
� �
� �
, (45)
óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
� � � � �
�� � � � � �H H M0 0, ( ) , (46)
ìàòåðèàëüíûå óðàâíåíèÿ
~ [ ( )],� � �� � � �0 01 T T M
H
H
M
�
�
, (47)
M M K T T H Hp� � � � �0 0 0( ) ( )� . (48)
 (43)–(48) ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: x x x x� ( , , )1 2 3 — ïðîñòðàíñòâåí-
íûå êîîðäèíàòû, t — âðåìÿ,
�
� — ãàìèëüòîíèàí, � 2 — ëàïëàñèàí, çíàêè � è �
îáîçíà÷àþò ñèìâîëû ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî, ~p —
äàâëåíèå, ~� — ïëîòíîñòü, T — òåìïåðàòóðà,
�
V — âåêòîð ñêîðîñòè,
�
H — âåê-
òîð íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ,
�
M — âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè, 0 —
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü, K — êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî ðàñøèðåíèÿ, � — êî-
ýôôèöèåíò îáúåìíîé òåìïåðàòóðíîé äèëàòàöèè, k t — êîýôôèöèåíò òåïëîïðî-
âîäíîñòè, � — âðåìÿ òåïëîâîé ðåëàêñàöèè, � — êîýôôèöèåíò òåðìîóïðóãîé
äèôôóçèè, K p — ïèðîìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, � — âîñïðèèì÷èâîñòü.
Ïðèâåäåííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (43)–(48) — ãèïåðáîëî-ýëëèïòè÷åñêîãî
òèïà è îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ â îòëè÷èå
îò òðàäèöèîííîé ñèñòåìû (35)–(42).
Ïðåäñòàâèì ìàãíèòíîå ïîëå â âèäå ñóììû íåâîçìóùåííûõ è âîçìóùåííûõ
êîìïîíåíò â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ñðåäà ïîêîèòñÿ:
~ ( , ) ( , ), ~ ( , ) ( , )p x t p p x t x t x t
� � � �
� � � �0 0� � � ,
� � � � � � �
V x t x t T x t T x t x t( , ) ( , ), ( , ) ( ) � ( , )� � � �0 0� , (49)
� � � � � � � � � � �
H x t H x h x t M x t M x m x t( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) ( , )� � � �0 0 .
Ïðåäïîëîæåíèå ìàëîñòè âîçìóùåííûõ âåëè÷èí ïî ñðàâíåíèþ ñ íåâîçìóùåí-
íûìè ïðèâîäèò ê ëèíåàðèçîâàííîé çàìêíóòîé ñèñòåìå óðàâíåíèé äëÿ ñêàëÿð-
íûõ ôóíêöèé �, �t è
� �
( , )
� � � �
�� ��h :
�
�
� � � �
�
�
�
�
� � �
�
�
�
2
2 0
2 2
0
2 0
0
0
1�
� �
�
�
t
c c
t
t t
� ( )
( )
� � �
� , (50)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 103
�
�
� � �
�
�
� �
2
2
2 2 21 1�
�
�t
t
c t
t
th � �
� , (51)
� � �2
�
K
t
p �, (52)
ãäå
c
K
0
0
�
�
, c
K
h �
�
.
Óðàâíåíèå (50) â ïðàâîé ÷àñòè èìååò ÷ëåí, ó÷èòûâàþùèé âëèÿíèå òåìïåðà-
òóðíîãî ïîëÿ è äèññèïàöèè, ñâÿçàííîé ñ ïîòåðÿìè â ìàãíèòíîé æèäêîñòè.
Óðàâíåíèå (51) âêëþ÷àåò ÷ëåí ñ ðåëàêñàöèåé âðåìåíè è ÷ëåí, ó÷èòûâàþùèé
âëèÿíèå äèëàòàöèîííîãî ïîëÿ. Êàê âèäíî èç óðàâíåíèÿ (50), ïîñëåäíèé ÷ëåí
íå ðàâåí íóëþ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà
�
� �
0 0 .
Ðàñïðîñòðàíåíèå ïëîñêèõ âîëí. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íàïðàâëåíèè îñè Ox
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïëîñêàÿ âîëíà.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé (50)–(52)
ïðåäñòàâèòñÿ â âèäå
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
2
2 0
2
2
2 0
2 0
0
0
1� �
�
�
�
t
c
x
c
t
t x
x
� ( )
( ) �
�
� �
2
x t
, (53)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2
2
2
1 1� � �t
t
c
t
x
t
t x
h � �
�
, (54)
�
�
�
�
�
2
2
�x
K t
x
p �
. (55)
Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîñòîÿííîãî íåâîçìóùåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ
H 0 � const :
0 0
0
0( )
( )
x H x
x
x
H� !
�
�
� . (56)
Óðàâíåíèÿ (53)–(55) äëÿ ñëó÷àÿ (56) ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ñëåäóþùåìó
óðàâíåíèþ:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 0
2
2
2
2
2
2
2
2t
c
x
t
t
c
t
x
t
t
h� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
��
�
� �
c H
K
q
p
q
t
m
0
2 0
0
0
1
���
� ���� ����
( )
�
�
� �
�
3
2
0
�
.
t
t x
(57)
Ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèå (57) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
� � �
�
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
4
4
2
0
2
4
2 2 0
2 2
4
4
3�
( )
� � �t
t
c c
t
t x
c c
t
x
t
h h
t
q q
t
t x
t m3
3
2
0� �
�
� �
�( )
�
. (58)
Ñòàöèîíàðíûå âîëíû. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âîëí ôóíêöèÿ �t
ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê
� ( , ) ( ) ( )t x t f x ct f� � � � , (59)
ãäå � — ôàçà.
 êëàññå ðåøåíèé (59) óðàâíåíèå (58) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó
"" � " � �f
a
a
f
a
a
f1
2
0
2
0, (60)
ãäå a c c c a c c q q a c c c
h t m h0
2
0
2 2
1
2
2
4
0
2 2� � � � � � �� �( ) , ( ), ( ) . Îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (60) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
f B e B e( )� � � � �� �1 2
1 2 , (61)
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
ãäå
�1 2
1
2
1
2
2 0
2
1
2
1
4
, ( )� # �
a
a
a
a
a
a
. (62)
Èç (62) ñëåäóåò, ÷òî äåéñòâèòåëüíûå êîðíè ñóùåñòâóþò ïðè óñëîâèÿõ
a a
1
2
04$ , c q qt m
2 � $ , â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (58), ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ðàñïðîñòðàíåíèþ ñòàöèîíàðíûõ âîëí (59), íå ñóùåñòâóåò.
Áåãóùèå âîëíû.  ñëó÷àå áåãóùèõ âîëí ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëí
� ( , ) ( )t x t ei kx t�� . (63)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (63) â óðàâíåíèå (58) ïîëó÷èì óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè
â âèäå
� � �
�
�
�
�
c c c c c c i c i q q cp h p h p t m p
4 2
0
2 2
0
2 2 3
2 2
0� � � � � � �( ) ( ) , (64)
ãäå c
k
p �
�
— ôàçîâàÿ ñêîðîñòü, �
�
�
�
2
cp — êðóãîâàÿ ÷àñòîòà, k �
2�
�
— âîë-
íîâîå ÷èñëî, � — äëèíà âîëíû.
 îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèå (64) èìååò äâå ïàðû êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ
êîðíåé. Íèæå ðàññìîòðèì äâà âûðîæäåííûõ ñëó÷àÿ: äëèííîâîëíîâîå ïðèáëèæå-
íèå è êîðîòêîâîëíîâîå ïðèáëèæåíèå.  ïåðâîì ñëó÷àå ïðè � �� (èëè � � 0)
ìåäëåííîå äâèæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé
c q q q qp m t m t� � $, . (65)
Âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè � � 0 óðàâíåíèå (64) âûðîæäàåòñÿ è ñâîäèòñÿ ê âèäó
c c c c c cp h p h
4 2
0
2 2
0
2 2 0� � � �( ) . (66)
Óðàâíåíèå (66) èìååò äâà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ, ÷òî äàåò óñëîâèÿ ðàçðåøèìî-
ñòè çàäà÷è: c cp h� è c cp � 0 , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò äâóì õàðàêòåðèñòèêàì.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ðàññìîòðåíû äâå îáîáùåííûå âîëíîâûå ìîäåëè.
— Ïðåäñòàâëåííàÿ êîíòèíóàëüíàÿ ìîäåëü ìàãíèòîóïðóãîé ñðåäû îïèñûâàåò âçà-
èìîäåéñòâèå ìàãíèòîóïðóãîãî ïîëÿ è ïîëÿ ïóñòîòíîé ôðàêöèè. Óïðóãàÿ ìàòðèöà
îïðåäåëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì (1), è äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáîáùåííîé ìîäåëè
èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå, ó÷èòûâàþùåå ïóñòîòíóþ ôðàêöèþ (2), êîòîðîå íåñìîòðÿ íà
íàëè÷èå äèññèïàòèâíîãî ìåõàíèçìà òàêæå îòíîñèòñÿ ê ãèïåðáîëè÷åñêîìó òèïó.  ðå-
çóëüòàòå ïîëó÷åíî îáîáùåííîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëî-ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà.
— Â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ ëèíåàðèçàöèè ñèñòåìà óðàâíåíèé ñâîäòèñÿ
ê òðåì ðàçðåøàþùèì óðàâíåíèÿì.
— Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ðàñïðîñòðàíåíèè ïëîñêèõ âîëí è ïðîâåäåí êà÷åñò-
âåííûé àíàëèç äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿ, ñâåäåííîãî ê âçàèìîñâÿçàííûì äåé-
ñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ. Ïîêàçàíî ñèëüíîå âëèÿíèå ìàãíèòîóï-
ðóãèõ ýôôåêòîâ è ïóñòîòíîé ôðàêöèè íà ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí.
— Ïðåäñòàâëåíû ñîîòíîøåíèÿ äëÿ çàäà÷è äèôðàêöèè ìàãíèòîàêóñòè÷åñêèõ
âîëí íà ìàãíèòîóïðóãîì öèëèíäðå ñ ïóñòîòíîé ôðàêöèåé, ðàññìîòðåííîé ðàíåå
äëÿ æåñòêîãî öèëèíäðà [10, 11].
— Îáîáùåííàÿ êîíòèíóàëüíàÿ ìîäåëü ôåððîãèäðîäèíàìèêè ó÷èòûâàåò ýô-
ôåêòû ñæèìàåìîñòè è òåïëîâîé ðåëàêñàöèè. Ñ ïîìîùüþ ìîäåëè, êîòîðàÿ îòíî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 105
ñèòñÿ ê ãèïåðáîëî-ýëëèïòè÷åñêîìó òèïó, ìîæíî îïðåäåëèòü ðàñïðîñòðàíåíèå
âîçìóùåíèé ñ êîíå÷íûìè ñêîðîñòÿìè â îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîé ìîäåëè.
— Â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîé ëèíåàðèçàöèè ñèñòåìà óðàâíåíèé áûëà ñâåäåíà
ê òðåì ðàçðåøàþùèì óðàâíåíèÿì.
— Íà îñíîâàíèè ïëîñêèõ ñòàöèîíàðíûõ è áåãóùèõ âîëí èññëåäîâàíà ðàçðå-
øèìîñòü çàäà÷è.
— Ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò íå ïðè âñåõ ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. C o w i n S . C . Thermodynamic model for porous materials with vacuous pores // J. Appl. Physics.
— 1972. — 43, N 6. — P. 2495–2497.
2. Co w i n S . C . , N u n z i a t o J . W . Linear elastic materials with voids // J. Elasticity. — 1983. —
13. — P. 125–147.
3. S e l e z o v I . T . Wave processes in fluids and elastic media // Int. J. Fluid Mechanics Research. —
2003. — 30, N 2. — P. 219–249.
4. C h a n d r a s e k h a r a l a h D . S . Complete solutions in the theory of elastic materials with voids //
Quart. J. Mech. and Appl. Math. — 1987. — 40, Pt. 3. — P. 401–414.
5. S c a l i a A . Shock waves in viscoelastic materials with voids // Wave Motion. — 1994. — 19. —
P. 125–133.
6. M a x w e l l J . C . On the dynamical theory of gases // Phil. Trans. Roy. Soc. — 1967. — 157. —
P. 49–89.
7. S e l e z o v I . T . On wave hyperbolic model for disturbance propagation in magnetic fluid. Ser. Op-
erator Theory. Advances and Applications. — Basel: Birkhauser Verlag, 2009. — 191. —
P. 221–225.
8. C o l o s q u i G . , C h e n H . , S h a n X . , S t a r o s e l s k y I . Propagation high-frequency shear
waves in simple fluids // Physics of Fluids. — 2009. — 21. — P. 013105-1–013105-8.
9. J a c k s o n J . D . Classical electrodynamics. — New York; London: John Wiley & Sons, Inc.,
1962. — Ðóñ. ïåð.: Äæåêñîí Äæ. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. — Ì.: Ìèð, 1965. — 703 ñ.
10. Ñ å ë å ç î â È . Ò . , Ê ð è â î í î ñ Þ . à . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â çàäà÷àõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ
è äèôðàêöèè âîëí. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2012. — 232 ñ.
11. Ñ å ë å ç î â È . Ò . , Ê ð è â î í î ñ Þ . Ã . , ß ê î â ë å â Â . Â . Ðàññåÿíèå âîëí ëîêàëüíûìè íåîä-
íîðîäíîñòÿìè â ñïëîøíûõ ñðåäàõ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1985. — 136 ñ.
12. Ñ à ì î é ë å í ê î Þ . È . Ïðîáëåìû è ìåòîäû ôèçè÷åñêîé êèáåðíåòèêè // Ïðàö³ ²í-òó ìàòåìà-
òèêè ÍÀÍÓ. — 2006. — 56. — 642 ñ.
13. N e u r i n g e r J . L . , R o s e n s w e i g R . E . Ferrohydrodynamics // Phys. Fluids. — 1964. — 7,
N 12. — P. 1927–1937.
14. R o s e n s w e i g R . E . Ferrohydrodynamics. — Cambridge University Press, 1985. — Ðóñ. ïåð.:
Ðîçåíöâåéã Ð. Ôåððîãèäðîäèíàìèêà. — Ì.: Ìèð, 1989. — 356 ñ.
15. B e r k o v s k y B . , M e d v e d e v V . , K r a k o v M . Magnetic fluids: engineering applications.
— Oxford University Press, 1993. — Ðóñ. ïåð.: Áåðêîâñêèé Á.Ì., Ìåäâåäåâ Â.Ô., Êðàêîâ Ì.Ñ.
Ìàãíèòíûå æèäêîñòè. — Ì.: Õèìèÿ, 1989. — 240 ñ.
Ïîñòóïèëà 23.01.2013
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86256 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:43:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. 2015-09-11T17:01:07Z 2015-09-11T17:01:07Z 2013 Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях / И.Т. Селезов, Ю.Г. Кривонос // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 97-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86256 537.84 Наведено дві узагальнені хвильові моделі. В першій розглядається вплив магнітного поля на пружне тіло з пустотною фракцією. Друга — нова узагальнена модель ферогідродинаміки, яка описує розповсюдження хвиль зі скінченними швидкостями. Досліджується наявність хвильових розв’язків The paper presents two new generalized wave models. One considers the effect of magnetic field on the elastic solid with void fraction. The other is a new generalized ferrohydrodynamics model describing wave propagation with finite velocities. The existence of wave solutions is investigated. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях Моделювння впливу магнітного поля на розповсюдження хвиль у пружних тілах з порожнинною фракцією і в ферорідинах Modeling of the effect of magnetic field on wave propagation in ferrofluids and elastic bodies with void fraction Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях Селезов, И.Т. Кривонос, Ю.Г. Системный анализ |
| title | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях |
| title_alt | Моделювння впливу магнітного поля на розповсюдження хвиль у пружних тілах з порожнинною фракцією і в ферорідинах Modeling of the effect of magnetic field on wave propagation in ferrofluids and elastic bodies with void fraction |
| title_full | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях |
| title_fullStr | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях |
| title_full_unstemmed | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях |
| title_short | Моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях |
| title_sort | моделирование влияния магнитного поля на распространение волн в упругих телах с пустотной фракцией и в феррожидкостях |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86256 |
| work_keys_str_mv | AT selezovit modelirovanievliâniâmagnitnogopolânarasprostranenievolnvuprugihtelahspustotnoifrakcieiivferrožidkostâh AT krivonosûg modelirovanievliâniâmagnitnogopolânarasprostranenievolnvuprugihtelahspustotnoifrakcieiivferrožidkostâh AT selezovit modelûvnnâvplivumagnítnogopolânarozpovsûdžennâhvilʹupružnihtílahzporožninnoûfrakcíêûívferorídinah AT krivonosûg modelûvnnâvplivumagnítnogopolânarozpovsûdžennâhvilʹupružnihtílahzporožninnoûfrakcíêûívferorídinah AT selezovit modelingoftheeffectofmagneticfieldonwavepropagationinferrofluidsandelasticbodieswithvoidfraction AT krivonosûg modelingoftheeffectofmagneticfieldonwavepropagationinferrofluidsandelasticbodieswithvoidfraction |