Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения
Досліджено ігрову задачу зближення для нестаціонарних динамічних процесів, що функціонують в умовах невизначеності та протидії. При цьому термінальна множина представляє собою циліндричне багатозначне відображення. На основі методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри в класі...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86261 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения / Ю.Н. Онопчук, Ал.А. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 137-152. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860152789935587328 |
|---|---|
| author | Онопчук, Ю.Н. Чикрий, Ал.А. |
| author_facet | Онопчук, Ю.Н. Чикрий, Ал.А. |
| citation_txt | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения / Ю.Н. Онопчук, Ал.А. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 137-152. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Досліджено ігрову задачу зближення для нестаціонарних динамічних процесів, що функціонують в умовах невизначеності та протидії. При цьому термінальна множина представляє собою циліндричне багатозначне відображення. На основі методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри в класі квазі- та стробоскопічних стратегій для різних схем методу. Проведено порівняння гарантованих часів. Результати ілюструються на моделі з інтегральним блоком керування та ігрових задачах з простим рухом.
The game problem of pursuit is studied for dynamic processes evolving under uncertainty and counteraction. The terminal set is supposed to be a cylindrical set-valued mapping. The method of resolving functions is used to derive the sufficient conditions for the game termination in the class of quasi- and stroboscopic strategies for various schemes of the method. The guaranteed times are compared. The results are illustrated using the model with integral control unit and game problems with simple motion.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:52:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.977
Þ.Í. ÎÍÎÏ×ÓÊ, Àë.À. ×ÈÊÐÈÉ
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÍÅÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÈÃÐ ÑÁËÈÆÅÍÈß
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåñòàöèîíàðíàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà, ñòðîáîñêîïè÷åñ-
êàÿ ñòðàòåãèÿ, óñëîâèå Êàðàòåîäîðè, ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå, óñëîâèå
Ïîíòðÿãèíà, èçìåðèìûé ñåëåêòîð, óñëîâèå Ëàïïî–Äàíèëåâñêîãî, ôóíêöèîíàë
Ìèíêîâñêîãî, ôîðìóëà Êîøè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îïðåäåëåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ñîñòîÿíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ìîæíî ñî-
ñòàâèòü ïî ðåçóëüòàòàì ìîíîãðàôèé [1–8]. Â íèõ cîäåðæàòñÿ ìåòîäû èññëåäî-
âàíèÿ êîíôëèêíî-óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ, à òàêæå ðàçðàáîòàííûå íà èõ îñíî-
âå ïðàêòè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ [8].  íàñòîÿùåå âðåìÿ ðÿä èíæåíåðíûõ ñïîñî-
áîâ ïåðåõâàòà äâèæóùèõñÿ öåëåé îáîñíîâàí ñ ïîìîùüþ òåîðåòè÷åñêèõ
êîíñòðóêöèé. Òàê, ïðàâèëî ýêñòðåìàëüíîãî ïðèöåëèâàíèÿ Í.Í. Êðàñîâñêîãî [2]
äàåò îáîñíîâàíèå ïðåñëåäîâàíèÿ ïî ïîãîííîé êðèâîé Ë. Ýéëåðà [9], à ìåòîä
ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé [5] îáîñíîâûâàåò, â ÷àñòíîñòè, ìåòîä ñáëèæåíèÿ ïî
ëó÷ó, à òàêæå ïàðàëëåëüíîå ïðåñëåäîâàíèå [9]. Ïîñëåäíèé ïðèìåíÿåòñÿ ïðè
ðåøåíèè øèðîêîãî êðóãà çàäà÷ ãðóïïîâîãî è ïîî÷åðåäíîãî ïðåñëåäîâà-
íèé [5, 10–12, 30], ïðè èññëåäîâàíèè èìïóëüñíûõ ïðîöåññîâ è ñèñòåì ïåðå-
ìåííîé ñòðóêòóðû [13], ïðè èçó÷åíèè èãðîâûõ çàäà÷ äëÿ ñèñòåì äðîáíîãî ïî-
ðÿäêà [14] è ïðîöåññîâ ñ èíòåãðàëüíûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâëåíèÿ [15],
ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà ñîñòîÿíèÿ [5] è ïðè îòêàçå óïðàâëÿþùèõ
óñòðîéñòâ [16]. Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü è ðÿä
äðóãèõ ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷, âêëþ÷àÿ âàæíóþ ïðîáëåìó âçàèìîäåéñòâèÿ
ãðóïïèðîâîê óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ [5, 8, 10, 11, 31].
Óïîìÿíóòûé ìåòîä áàçèðóåòñÿ íà èñïîëüçîâàíèè îáðàòíûõ ôóíêöèîíàëîâ
Ìèíêîâñêîãî, ñïåöèàëüíûõ ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé è îáåñïå÷èâàåò ãàðàíòè-
ðîâàííûé ðåçóëüòàò äëÿ çàäà÷è ñáëèæåíèÿ. Êëþ÷åâàÿ èäåÿ ìåòîäà ñîñòîèò â ïî-
ñòðîåíèè ñïåöèàëüíûõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé, íàçâàííûõ ðàçðåøàþùèìè (ðåøàþ-
ùèìè èãðîâóþ çàäà÷ó), êîòîðûå îöåíèâàþò õîä äèíàìè÷åñêîé èãðû â ëþáîé ìî-
ìåíò. Âîçìîæíîñòü ñòðîèòü ýòè ôóíêöèè â àíàëèòè÷åñêîì âèäå ïîçâîëÿåò ðåøàòü
øèðîêèå êëàññû èãðîâûõ çàäà÷ â åäèíîé ñõåìå.
Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïðèìåíèòü ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé ê èññëåäî-
âàíèþ íåñòàöèîíàðíûõ èãðîâûõ çàäà÷. Îñîáåííîñòü íåñòàöèîíàðíûõ êâàçèëè-
íåéíûõ ïðîöåññîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî èõ ïàðàìåòðû (ìàòðèöà ñèñòåìû, îáëàñòè
óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ, òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî) çàâèñÿò îò âðåìåíè, è, çíàÿ õà-
ðàêòåð ýòèõ çàâèñèìîñòåé, íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè, êî-
òîðûå äîñòàòî÷íû äëÿ îêîí÷àíèÿ èãðû çà êîíå÷íîå âðåìÿ. Èññëåäîâàíèÿ êàñàþò-
ñÿ èãðîâîé ñèòóàöèè ñ îäíèì ïðåñëåäîâàòåëåì è îäíèì óáåãàþùèì. Òåì íå ìå-
íåå ÿñíî, ÷òî òåîðåòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ è â áîëåå îáùåé
ñèòóàöèè ñ ãðóïïàìè ó÷àñòíèêîâ.
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÎÁÙÀß ÑÕÅÌÀ ÌÅÒÎÄÀ
Ïóñòü äâèæåíèå îáúåêòà â êîíå÷íîìåðíîì âåùåñòâåííîì åâêëèäîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå R n îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé êâàçèëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé
� ( ) ( , , )z A t z t u� � � � , z t z( )0 0� , t t� �0 0 , (1)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 137
© Þ.Í. Îíîï÷óê, Àë.À. ×èêðèé, 2013
ãäå A t( ) — ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïîðÿäêà n, ýëåìåíòû êîòîðîé — èçìåðèìûå
ôóíêöèè, ñóììèðóåìûå íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå [ , ]t T0 , t T0 � � �� .
Ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ u è � âûáèðàþòñÿ èç îáëàñòåé óïðàâëåíèÿ
U t( ) è V t( ) , ïðè÷åì U t K R p( ) ( )� , V t K R q( ) ( )� è ÿâëÿþòñÿ èçìåðèìûìè êîì-
ïàêòíîçíà÷íûìè îòîáðàæåíèÿìè äëÿ t t� ��[ , )0 . Âåêòîð-ôóíêöèÿ � �( , , )t u —
áëîê óïðàâëåíèÿ — îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå [ , )t R Rp q
0 �� � � è óäîâëåòâî-
ðÿåò óñëîâèÿì Êàðàòåîäîðè: äëÿ âñåõ ôèêñèðîâàííûõ ( , )u R Rp q� � � èçìåðè-
ìà ïî t , t t� ��[ , )0 , è äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî t t� ��[ , )0 íåïðåðûâíà ïî
ñîâîêóïíîñòè ( , )u � íà R Rp q� . Òàêæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
|| ( , , || ( )� �t u a t
�u U t( ), � �V t( ), t t� ��[ , )0 , (2)
ãäå a t( ) — ñóììèðóåìà íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå [ , ]t T0 , t T0 � � �� ,
ôóíêöèÿ.
Êðîìå íåñòàöèîíàðíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (1) çàäàíî òåðìèíàëüíîå
ìíîæåñòâî M t* ( ) öèëèíäðè÷åñêîãî âèäà
M t M M t t t* ( ) ( ), [ , )� � � ��0 0 . (3)
Çäåñü M 0 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî èç R n , à M t( ) — èçìåðèìîå ìíîãî-
çíà÷íîå îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç K L( ) , ãäå L — îðòîãî-
íàëüíîå äîïîëíåíèå ê M 0 â R n .
Öåëü ïåðâîãî èãðîêà-ïðåñëåäîâàòåëÿ ( )u — ñ ïîìîùüþ âûáîðà ïàðàìåòðà
óïðàâëåíèÿ u â ðàìêàõ íàëîæåííûõ îãðàíè÷åíèé âûâåñòè òðàåêòîðèþ ïðîöåñà
(1) íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (2) çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ. Öåëü âòîðîãî èãðîêà —
óáåãàþùåãî ( )� — ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðà óïðàâëåíèÿ � îòêëîíèòü òðàåêòîðèþ
ïðîöåññà (1) îò âñòðå÷è ñ ìíîæåñòâîì M t* ( ) â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè, à åñëè
ýòî íåâîçìîæíî, òî ìàêñèìàëüíî îòòÿíóòü ìîìåíò ýòîé âñòðå÷è.
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí [1] ïðåäëîæèë ðàññìàòðèâàòü çàäà÷è ñáëèæåííÿ–óêëîíåíèÿ â
îòäåëüíîñòè äëÿ óñòàíîâëåíèÿ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé âûèãðûøà ïåðâîãî èãðîêà (çà-
äà÷à ñáëèæåíèÿ) ëèáî óñëîâèé âûãðûøà âòîðîãî èãðîêà (çàäà÷à óêëîíåíèÿ). Áóäåì
ïðèäåðæèâàòüñÿ ýòîé èäåîëîãèè, ñîñðåäîòî÷èâ âíèìàíèå íà çàäà÷å ñáëèæåíèÿ.
Âïîëíå ïîíÿòíî, ÷òî èãðîâàÿ çàäà÷à (1)–(3) îõâàòûâàåò ñëó÷àé ïðåñëåäîâà-
íèÿ–óáåãàíèÿ [1–23] ïðè ðàçäåëåííûõ è íåçàâèñèìûõ äâèæåíèÿõ èãðîêîâ.
Äëÿ ïîëíîé ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ñáëèæåíèÿ íåîáõîäèìî òî÷íî îïðåäåëèòü
èíôîðìèðîâàííîñòü îáîèõ èãðîêîâ â ïðîöåññå èãðû. Ïðèìåì ñòîðîíó ïåðâîãî èã-
ðîêà è âûÿñíèì, êàêîé ðåçóëüòàò îí ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü ñåáå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
âòîðîé èãðîê â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ âûáèðàåò ïðîèçâîëüíûå èçìåðèìûå ôóíêöèè
ñî çíà÷åíèÿìè èç ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ V t( ) . Ïîñêîëüêó ýòî îòîáðàæåíèå
èçìåðèìî è çàìêíóòîçíà÷íî, òî ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå [24] ýòî
âîçìîæíî. Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ óïðàâëåíèé — èçìåðèìûõ ñåëåêòîðîâ îòîáðàæå-
íèÿ V t( ) — îáîçíà÷èì � E è áóäåì íàçûâàòü ïðîãðàììíûì óïðàâëåíèåì.
Åñëè ïåðâûé èãðîê â ìîìåíò ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ t , t t� 0 , èìååò èíôîðìà-
öèþ î íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ïðîöåññà ( , )t z0 0 , z z t0 0� ( ) , è ïðåäûñòîðèè óïðàâ-
ëåíèÿ óáåãàþùåãî
� � �t s s V s s t t( ) ( ): ( ) ( ), [ , ]� � � �{ }0 ,
ò.å. u t u t z t t( ) ( , , , ( ))� �0 0 � , òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îí èñïîëüçóåò êâàçèñòðàòå-
ãèþ. Åñòåñòâåííî, ôóíêöèÿ u t( ) îáÿçàíà áûòü èçìåðèìîé è ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ
èç îòîáðàæåíèÿ U t( ) . Åñëè ïåðâûé èãðîê ïðèíèìàåò ðåøåíèå â ìîìåíò t ëèøü
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
íà îñíîâå èíôîðìàöèè î íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè ïðîöåññà (1) ( , )t z0 0 è ìãíîâåí-
íîãî çíà÷åíèÿ óïðàâëåíèÿ óáåãàþùåãî �( )t , ò.å. u t u t z t t( ) ( , , , ( ))� 0 0 0 � , òî áó-
äåì ãîâîðèòü î êîíòðóïðàâëåíèè ïî Í.Í. Êðàñîâñêîìó [2], êîòîðîå íàçíà÷àåòñÿ
ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé Î. Õàéåêà [29].  êàæäîì èç óïîìÿíóòûõ âûøå
ñëó÷àåâ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðåñëåäîâàòåëþ òàêæå èçâåñòíû ïàðàìåòðû ïðîöåñ-
ñà (1), (3): ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ A t( ) , áëîê óïðàâëåíèÿ � �( , , )t u , ìíîãîçíà÷íûå
îòîáðàæåíèÿ U t V t M t( ), ( ), ( )* ïðè t t� 0 .
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ äëÿ êàæäîãî êëàññà ñòðàòåãèé íåîáõîäèìî íàéòè äîñòà-
òî÷íûå óñëîâèÿ îêîí÷àíèÿ èãðû (1)–(3) â ïîëüçó ïåðâîãî èãðîêà çà íåêîòîðîå ãà-
ðàíòèðîâàííîå âðåìÿ è óïðàâëåíèå ïðåñëåäîâàòåëÿ, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò åìó
ýòîò ðåçóëüòàò.
Çàìåòèì, ÷òî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (1) îïðåäåëÿåò ïàðà ( , )t z . Äèíàìè÷åñêàÿ
èãðà (1)–(3) ñ÷èòàåòñÿ çàêîí÷åííîé â ìîìåíò T t z( , )0 0 èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ
( , )t z0 0 , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ñåëåêòîð u t( ) ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðà-
æåíèÿ U t( ) , ÷òî äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà �( )t ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðà-
æåíèÿ V t( ) ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (1) z t z t z t ut t( ) ( , , , ( ), ( ))� � �0 0 �
ïîïàäåò íà ìíîæåñòâî M t* ( ) â ìîìåíò t T t z� ( , )0 0 .
Îòìåòèì, ÷òî òðàåêòîðèåé ñèñòåìû (1) ïðè âûáðàííûõ óïðàâëåíèÿõ èãðîêîâ
ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ z t( ) , êîòîðàÿ ïî÷òè âåçäå óäîâëåòâî-
ðÿåò óðàâíåíèþ (1), ýòî ðåøåíèå Êàðàòåîäîðè.
Ïåðåéäåì ê ñõåìå ìåòîäà ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3). Ïóñòü � — îðòîïðîåêòîð,
êîòîðûé äåéñòâóåò èç R n â L . Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
� � � � �( , ( ), ) ( , , ): ( ) , , ( )t U t t u u U t t t V t� � � �{ } 0 .
 ñèëó äîïóùåíèé î ïàðàìåòðàõ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåñà (1)–(3) è òåî-
ðåìû î ïðÿìîì îáðàçå [24] ýòî îòîáðàæåíèå èçìåðèìî ïî t è íåïðåðûâíî ïî �.
Ïóñòü òàêæå
W t t U( , , ) ( , ) ( , ( ), )� � � � � � � ��
, W t W t t t V
V
( , ) ( , , ), , ( )
( )
� � � � � �
� �
� � � �
�
� 0 .
Çäåñü
( , )t � — ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîé ñèñòåìû (1) — ìàòðèöà
Êîøè, èëè òàê íàçûâàåìûé ìàòðèöàíò [25–28]. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå Ëàï-
ïî–Äàíèëåâñêîãî [27], òî ìàòðèöàíò ìîæåò áûòü âûðàæåí ïîäîáíî ñòàöèîíàð-
íîìó ñëó÷àþ êàê ýêñïîíåíòà â ñòåïåíè èíòåãðàëà îò ìàòðèöû ñèñòåìû. Ìíî-
ãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , , )� � èçìåðèìî ïî � è íåïðåðûâíî ïî � , à îòîáðà-
æåíèå W t( , )� èçìåðèìî ïî � [24], ïðè÷åì â ñèëó íåðàâåíñòâà (2) ïðè
ôèêñèðîâàííîì t äëÿ êàæäîãî � ��W t( , ) ïðè ëþáîì � � t0 èìååì || || ( )� � b ,
ãäå b( )� ñóììèðóåìà íà êàêîì-ëèáî êîíå÷íîì èíòåðâàëå èç [ , )t0 �� .
Óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà. Ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå W t( , )� ïðèíèìàåò íåïóñ-
òûå çíà÷åíèÿ äëÿ t t0 � ��� .
Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå W t( , )� çàìêíóòîçíà÷íî è èçìåðèìî ïî � , òî â ñèëó
òåîðåìû îá èçìåðèìîì âûáîðå [24] ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäèí èçìåðèìûé ïî � ñå-
ëåêòîð � �( , )t , � � �( , ) ( , )t W t� , t t� �� 0 , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ñóììèðóåìîé ïî � íà
[ , ]t t0 ôóíêöèåé ïðè êàæäîì t.
Çàôèêñèðóåì åãî è îáîçíà÷èì
� � � � � �( , , , ( , )) ( , ) ( , )t z t t t t z t d
t
t
0 0 0 0
0
� � � �
.
Ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ôóíêöèîíàëà Ìèíêîâñêîãî [5] äëÿ çàìêíóòîãî ìíî-
æåñòâà X , X R n� ,
X p p X( ) :� � �sup{ }0 , 0� X , p R n� ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 139
ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
� � � �� � � �( , , , ) ( ( , , , ( , )))( , , ) ( , )t m m t z t tW t t� � �� 0 0 ,
t t� �� 0 , � ��V ( ) , m M t� ( ) .
 ñèëó ñâîéñòâ ôóíêöèè X p( ) , ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W t( , , )� � è ñå-
ëåêòîðà � �( , )t ôóíêöèÿ � �( , , , )t m èçìåðèìà ïî � è ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó
ïî m [5]. Ïîëîæèì � � � �( , , ) ( , , , )
( )
t t m
m M t
�
�
sup .
Ñîãëàñíî òåîðåìå î ìàðãèíàëüíîì îòîáðàæåíèè [24] ôóíêöèÿ � �( , , )t èçìå-
ðèìà ïî � . Ïðè ýòîì îíà ïîëóíåïðåðûâíà ñâåðõó ïî � [5] è L B� -èçìåðèìà ïî ñî-
âîêóïíîñòè ( , )� � , � �[ , ]t t0 , � ��V ( ) , äëÿ ëþáûõ t , t� �� [20, 21].
Êðîìå òîãî, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A ( , , ) :[ ( , , ) ( , )] [ ( ) ( , , ,t W t t M t t z t� � � � � � � �� � � � �{ 0 0 0 ( , ))]t � ��} ,
t t� �� 0 , � ��V ( ) , A ( , , )t
R� � � �2 , (4)
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè �1
� � � �1 ( , , ) : ( , , )t t� �sup{ }A . (5)
Èç ïðåäûäóùèõ ïîñòðîåíèé âïîëíå î÷åâèäíî, ÷òî
� � � �( , , ) ( , , )t t� 1 , t t0 � ��� , � ��V ( ) .
Ôóíêöèþ � �( , , )t â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ðàçðåøàþùåé [5, 20]. Ïî-
ñêîëüêó äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1), (3) âûïîëíåíî óñëîâèå
Ïîíòðÿãèíà, òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � êîððåêòíî îïðåäåëåíî è
ïðèíèìàåò íåïóñòûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ. Ñëå-
äóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � ïîëó÷èì A ( , , ) [ , )t � � � ��0 è ñî-
îòâåòñòâåííî � �( , , )t � �� ïðè ëþáûõ � �[ , ]t t0 ñîãëàñíî ïðèâåäåííûì âûøå
ôîðìóëàì (4), (5).
Åñëè � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � , òî ôóíêöèÿ � �( , , )t ïðèíèìàåò êîíå÷íûå
çíà÷åíèÿ äëÿ t t0 � ��� , � ��V ( ) .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T t z t t t d
t
t
( , , ( , )) : ( , , ( ))
( )
0 0 0 1
0
� � � � �
�
� � � � �
� � �
�inf
�
�
�
�
��
�
�
�
��
. (6)
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ � �( , , )t ÿâëÿåòñÿ L B� -èçìåðèìîé ïî ñîâîêóïíîñòè (� , �)
ïðè êàæäîì t t� 0 íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, òî îíà è ñóïåðïîçèöèîííî
èçìåðèìà, à çíà÷èò, ñîîòâåòñâóþùèé èíòåãðàë â (6) èìååò ñìûñë.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � äëÿ íåêîòîðîãî t t� 0 , òî
inf
� �
� �
�
� ��
V
t
( )
( , , ) äëÿ � �[ , ]t t0 .  ýòîì ñëó÷àå çíà÷åíèå èíòåãðàëà â ñîîòíî-
øåíèè (6) åñòåñòâåííî ïîëîæèòü ðàâíûì �� , à ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî
âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè. Åñëè íåðàâåíñòâî â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â (6) íå âûïîë-
íÿåòñÿ äëÿ âñåõ t t� 0 , ïîëîæèì T t z( , , ( , ))0 0 � � � �� .
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1)–(3) âûïîëíå-
íî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà, îòîáðàæåíèå M t( ) âûïóêëîçíà÷íî, ò.å. M t M t( ) ( )� co
äëÿ t t� 0 .
Òîãäà åñëè äëÿ çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 íåñòàöèîíàðíîãî ïðî-
öåññà (1) ñóùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t , t t0 � ��� , ìíî-
ãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W t( , )� , ÷òî T t z( , , ( , ))0 0 � � � �� è T T t z� � �( , , ( , ))0 0 � , òî
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (3) â ìî-
ìåíò T ñ ïîìîùüþ óïðàâëåíèÿ âèäà
u t u t z t t( ) ( , , , ( ))� �0 0 � , t t T�[ , ]0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) , � � �( ) ( )�V , � �[ , ]t T0 , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìå-
ðèìàÿ ôóíêöèÿ, à � �( , )T , � �[ , ]t T0 , — ôèêñèðîâàííûé èçìåðèìûé ñåëåêòîð
îòîáðàæåíèÿ W t( , )� . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � .
Äëÿ ýòîãî ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t T d
t
t
( ) ( , , ( ))� � �1
0
� � � � , t t T�[ , ]0 .
Ôóíêöèÿ h t( ) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà êàê ôóíêöèÿ âåðõíåãî ïðåäåëà èíòåã-
ðàëà, à çíà÷èò, íåïðåðûâíà. Îíà íå âîçðàñòàåò, ïîñêîëüêó ïî ïîñòðîåíèþ ôóíê-
öèÿ � �( , , )T íåîòðèöàòåëüíà è ñîîòâåòñòâåííî èíòåãðàë êàê ôóíêöèÿ âåðõíåãî
ïðåäåëà åñòü ôóíêöèÿ íåóáûâàþùàÿ. Êðîìå òîãî, h t( )0 1� , à ïîñêîëüêó ïî îïðå-
äåëåíèþ h T( ) 0 , òî èç òåîðåìû Êîøè î íåïðåðûâíûõ ôóíêöèÿõ âûòåêàåò, ÷òî
ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò âðåìåíè t* , t t T* ( , ]� 0 , ÷òî h t( )* � 0. Î÷åâèäíî, ÷òî t*
çàâèñèò îò �( )� .
Ïðîìåæóòêè âðåìåíè [ , )*t t0 è [ , ]*t T â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü àêòèâ-
íûì è ïàññèâíûì ñîîòâåòñòâåííî. Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì
íà êàæäîì èç íèõ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì êîìïàêòíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U ( , )� � � (7)
� � � � �{u U T u T T M T t( ): ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) [ ( ) (� � � � � � � � � � �
0 , , , ( , ))]z T T0 � � } .
 ñèëó ñâîéñòâ ðàçðåøàþùåé ôóíêöèè � �( , , )T , åå L B� -èçìåðèìîñòè è
óñëîâèé, íàëîæåíûõ íà ïàðàìåòðû êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1)–(3),
èç òåîðåìû îá îáðàòíîì îáðàçå [24] âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèå U ( , )� � L B� -èç-
ìåðèìî ïðè � ��V ( ) , � �[ , ]t T0 . Ñîãëàñíî òåîðåìå èçìåðèìîãî âûáîðà ñóùåñ-
òâóåò õîòÿ áû îäèí L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u( , )� � îòîáðàæåíèÿ U ( , )� � . Êàê
óòâåðæäàåòñÿ â [20], îí ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé, ò.å.
u u( ) ( , ( ))� � � �� — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà àêòèâíîì
ó÷àñòêå ïîëîæèì ðàâíûì u( )� , � �[ , )*t t0 .
Ðàññìîòðèì ïàññèâíûé ó÷àñòîê âðåìåíè [ , ]*t T , ïîëàãàÿ â ôîðìóëå (7) ðàç-
ðåøàþùóþ ôóíêöèþ � �( , , )T � 0 ïðè � ��V ( ) � �[ , ]*t T . Ïîëó÷èì ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå
U u U T u T0 0( , ) ( ): ( , ) ( , , ) ( , )� � � � � � � � � �� � � �{ }
. (8)
Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, îòîáðàæåíèåU 0 ( , )� � êîìïàêòíîçíà÷íî è L B� -èç-
ìåðèìî, ïîýòîìó â íåì ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u0 ( , )� � . Óïðàâëåíèå
ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâíîì ó÷àñòêå âûáåðåì ðàâíûì u u0 0( ) ( , ( ))� � � �� ,
� �[ , ]*t T . Êàê è â ïðåäûäóùåé ñèòóàöèè, u0 ( )� — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ.
 ñëó÷àå � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì ïðî-
ìåæóòêå [ , ]t T0 âûáåðåì â âèäå u u0 0( ) ( , ( ))� � � �� , ãäå u0 ( , )� � — L B� -èçìåðè-
ìûé ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U 0 ( , )� � .
Ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûáîðå óïðàâëåíèé ïåðâûì èãðîêîì ïî óêàçàííûì ïðàâè-
ëàì òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) áóäåò ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî
M M T0 � ( ) â ìîìåíò T ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèÿõ âòîðîãî èãðîêà.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � . Èç ôîðìóëû Êîøè
äëÿ êâàçèëèíåéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì [25, 26] èìååì
� � � � � � � � � �z T T t z T u d
t
T
( ) ( , ) ( , ) ( , ( ), ( ))� � �
0 0
0
. (9)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 141
Èç ýòîé ôîðìóëû, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (7), (8), ïîëó÷èì âêëþ÷åíèå
� � � � � � �z T t z T T T d
t
t
( ) ( , , , ( , )) ( , , ( ))
*
� � �
�
�
!
"
#�0 0 1
0
#
� � � � � �( , , ( )) ( )
*
T M T d
t
t
0
. (10)
Ïîñêîëüêó M T( ) — âûïóêëûé êîìïàêò, à � � �( , , ( ))T — ïî ïîñòðîåíèþ íåîò-
ðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ è � � � �( , , ( ))
*
T d
t
t
0
1� � , òî � � � �( , , ( )) ( ) ( )
*
T M T d M T
t
t
0
� � .
Ó÷èòûâàÿ óïîìÿíóòûå âûøå ôàêòû, èç ñîîòíîøåíèÿ (10) èìååì
�z T M T( ) ( )� èëè z T M T( ) ( )*� .
Ïóñòü � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � . Òîãäà èç ôîðìóëû (9) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøå-
íèÿ (8) ïîëó÷èì � � �z T t z T T M T( ) ( , , , ( , )) ( )� � �0 0 .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Åñëè ìíîæåñòâî T t z( , , ( , ))0 0 � � � çàìêíóòî, òî ïîñêîëüêó T t z( , , ( , ))0 0 � � � �
� ��[ , )t0 , ñóùåñòâóåò åãî ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò
t t z t t T t zmin ( , , ( , )) min : ( , , ( , ))0 0 0 0� �� � � � � �{ } .
Çàìå÷àíèå 1. Ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà ìî-
æåò áûòü âûáðàíî â âèäå L B� -èçìåðèìîãî ñåëåêòîðà îòîáðàæåíèÿ U ( , )� � , ãäå â
ñîîòíîøåíèè (7) âìåñòî ôóíêöèè � �( , , )T ñòîèò ïðîèçâîëüíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ èç-
ìåðèìàÿ ôóíêöèÿ �( , )T òàêàÿ, ÷òî � �( , )T d
t
T
�� 1
0
, ïîñêîëüêó A ( , , ) [ , )T � � � ��0
äëÿ � ��V ( ) , � �[ , ]t T0 . Òàêèìè, íàïðèìåð, åñòü ôóíêöèè
1 0/ T t� , 2 2
0
2� / T t� , 3 2 3
0
3� / T t� , e e eT t� / � 0 , …
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 âèäíî, ÷òî ïåðâûé èãðîê â ìîìåíò t t t T, [ , ]� 0 ,
èñïîëüçóåò èíôîðìàöèþ î ïðåäûñòîðèè � t ( )� óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà, ïðè÷åì
îíà íåîáõîäèìà ëèøü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà t* , ÷òî åñòü íóëåì êîíòðîëüíîé
ôóíêöèè è ðàçäåëÿåò àêòèâíûé è ïàññèâíûé ïðîìåæóòêè. Íà ñàìèõ æå ïðîìå-
æóòêàõ ïåðâûé èãðîê èñïîëüçóåò êîíòðóïðàâëåíèå ïî Êðàñîâñêîìó, êîòîðîå íà-
çíà÷àåòñÿ ñòðîáîñêîïè÷åñêîé ñòðàòåãèåé Õàéåêà. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ïðåäñòàâëÿ-
åò èíòåðåñ âîïðîñ: êîãäà â òåîðåìå 1 äëÿ ðåàëèçàöèè ïðîöåññà ñáëèæåíèÿ ìîæíî
îãðàíè÷èòüñÿ êîíòðóïðàâëåíèÿìè, íå èñïîëüçóÿ èíôîðìàöèþ î ïðåäûñòîðèè
óïðàâëåíèÿ âòîðîãî èãðîêà?
Äëÿ òîãî ÷òîáû íà íåãî îòâåòèòü, ñôîðìóëèðóåì óñëîâèå.
Óñëîâèå 1. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � ìíîãî-
çíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )T � � ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîçíà÷íûì äëÿ � ��V ( ) ,
t T0 � , ò.å.
A ( , , ) [ , ( , , )]T T� � � �� 0 .
Çàìå÷àíèå 2. Óñëîâèå 1 âûïîëíåíî, åñëè îòîáðàæåíèå W T( , , )� � âûïóêëî-
çíà÷íî ïðè � ��V ( ) , � �[ , ]t T0 , à ìíîæåñòâî M T( ) — âûïóêëûé êîìïàêò. Ýòî
óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî ñâÿçíîñòè îáðàçîâ îòîáðàæåíèÿ A ( , , )T � � .
Óñëîâèå 2. Åñëè � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � è âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðå-
ìû 1, òî ôóíêöèÿ
� � �
� �
*
( )
( , ) ( , , )T T
V
�
�
inf , � �[ , ]t T0 ,
ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ïî � è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
inf inf
� � �
� � � � � �
( ) ( )
( , , ( )) ( , , )
� � �� ��
�E
T d T d
t
T
V
t
T
0 0
� .
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåñ-
ñà (1)–(3) âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà.
Òîãäà åñëè äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 ïðîöåññà (1) ñóùåñòâóåò òàêîé
èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �( , )t , t t0 � ��� , ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ
W t( , )� , ÷òî T t z( , , ( , ))0 0 � � � �� è T T t z� � �( , , ( , ))0 0 � , ïðè÷åì âûïîëíåíû óñëî-
âèÿ 1, 2 è ìíîæåñòâî M T( ) âûïóêëî, òî òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðè-
âåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (3) â ìîìåíò T ñ ïîìîùüþ êîíòðóïðàâëåíèÿ
âèäà
u t u t z t t( ) ( , , , ( ))� 0 0 � , t t T�[ , ]0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �( ) , � � �( ) ( )�V , � �[ , ]t T0 , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìå-
ðèìàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � . Ñ ó÷åòîì óñëî-
âèÿ 2 îáîçíà÷èì � �( ) ( , )*T T d
t
T
� �
0
è ïîëîæèì � �
*
( ) *( , ) ( , )T T
T
� 1 . Ïî-
ñêîëüêó ( )T � 1 ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (6) è âûïîëíåíî óñëîâèå 1, òî ôóíêöèÿ
�* ( , )T , óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâàì
� � � �*
*( , ) ( , ) ( , , )T T T , � �V , � �[ , ]t T0 ,
ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ñåëåêòîðîì äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ A ( , , )T � � ,
� ��V ( ) , � �[ , ]t T0 .
Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U * ( , )� � � (11)
� � �{ ( ): (T, ) ( , , ) (T, )u U u� � � � � � � �
� � � � �* (T, )[M(T)- ( , ))]}t , z ,T, (T0 0 .
Èç âûðàæåíèÿ (11) è ñâîéñòâ ïàðàìåòðîâ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåñ-
ñà (1), (3) âûòåêàåò, ÷òî îòîáðàæåíèåU * ( , )� � êîìïàêòíîçíà÷íî è L B� -èçìåðèìî
ïðè � ��V ( ) , � �[ , ]t T0 . Ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå [24] â íåì ñó-
ùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u* ( , )� � , êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ
ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà
ðàâíûì u u* *( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]t T0 .
 ñëó÷àå � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � âûáåðåì óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà
âñåì ïðîìåæóòêå [ , ]t T0 â âèäå u u0 0( ) ( , ( ))� � � �� , ãäå u0 ( , )� � — íåêîòîðûé
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿU 0 ( , )� � , êîòîðîå çàäàåò-
ñÿ ôîðìóëîé (8) è ñîâïàäàåò ñ îòîáðàæåíèåì U * ( , )� � ïðè �* ( , )T � 0 .
Ïîêàæåì, ÷òî â êàæäîì ñëó÷àå òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) áóäåò ïðèâåäåíà íà
òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî â ìîìåíò T .
Åñëè � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � , òî èç ôîðìóëû Êîøè, ó÷èòûâàÿ âûðàæå-
íèå äëÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ U * ( , )� � , ïîëó÷èì âêëþ÷åíèå
� � � � � �z T t z T T T d T
t
T
t
( ) ( , , , ( , ))[ ( , ) ] ( , )* *� � � ��0 0 1
0 0
T
M T d� ( ) � . (12)
Ïîñêîëüêó M T( ) — âûïóêëûé êîìïàêò, à �* ( , )T — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíê-
öèÿ òàêàÿ, ÷òî � �* ( , )T d
t
T
0
1� � , òî � �* ( , ) ( ) ( )T M T d M T
t
T
0
� � . Íà îñíîâàíèè
ýòîãî èç âêëþ÷åíèÿ (12) ïîëó÷èì �z T M T( ) ( )� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 143
 ñëó÷àå � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � ñ ó÷åòîì çàêîíà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïåð-
âûì èãðîêîì è ôîðìóëû Êîøè íåïîñðåäñòâåííî èìååì �z T M T( ) ( )� .
Óñëîâèå 1 ìîæåò áûòü ïîñëàáëåíî èëè çàìåíåíî íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèåé.
Óñëîâèå 3. Ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z T T M T0 0 � � ñóùåñòâóåò òàêîé èçìåðèìûé ñå-
ëåêòîð �( , )T , � � �( , ) ( , , )T T�A , � ��V ( ) , � �[ , ]t T0 , ÷òî íå çàâèñèò îò � è
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ � �( , )T d
t
T
�� 1
0
.
Ïîñëåäíåå óñëîâèå ïðèâîäèò ê íåêîòîðîé ìîäèôèêàöèè îñíîâíîé ñõåìû ìå-
òîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ äàåò, â íåêîòîðîé ñòåïåíè, èñ÷åðïûâàþ-
ùèé îòâåò íà âîïðîñ î ðàçðåøèìîñòè èãðîâûõ çàäà÷ ñáëèæåíèÿ â êëàññå
ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé.
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A A( , ) ( , , )
( )
t t
V
� � �
� �
�
�
� , t t� �� 0 .
Îíî èìååò íåïóñòûå îáðàçû, ïîñêîëüêó 0�A ( , , )t � � , � ��V ( ) , � �[ , ]t t0 ,
à òàêæå ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ïî � [24] è çàìêíóòîçíà÷íûì. Ââåäåì îïîðíóþ
ôóíêöèþ îòîáðàæåíèÿ A ( , )t � â íàïðàâëåíèè +1:
� �( , ) : ( , )t t� � �sup{ }0 A , t � �� 0 .
Ñîãëàñíî òåîðåìå îá îïîðíîé ôóíêöèè [24] îíà ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ïî � .
Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî
$( , , ( , )) : ( , )t z t t d
t
t
0 0 0 1
0
� � �� � � � ��{ } . (13)
Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî t � 0 � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � , òî î÷åâèäíî, ÷òî
A ( , ) [ , )t t� � ��0 , à �( , )t � �� äëÿ � �[ , ]t t0 è åñòåñòâåííî çíà÷åíèå
� �( , )t d
t
t
� ���
0
, ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâó â (13), ñ÷èòàòü âûïîëíåííûì àâ-
òîìàòè÷åñêè, ò.å. t t z� � �$( , , ( , ))0 0 � . Åñëè íåðàâåíñòâî â (13) íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ
ëþáîãî t t� 0 , òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî $( , , ( , ))t z0 0 � � � �� .
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåñ-
ñà (1)–(3) âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà è M t M t( ) ( )� co , t t� 0 .
Òîãäà åñëè äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 ñóùåñòâóåò èçìåðèìûé ïî
� ñåëåêòîð � �( , )t , � � �( , ) ( , )t W t� , t t0 � ��� , òàêîé, ÷òî $( , , ( , ))t z0 0 � � � ��
è $ $� � �( , , ( , ))t z0 0 � , òî òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà (1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà òåð-
ìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (3) â ìîìåíò $ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîãî êîíòðóïðàâëåíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóåì òðàäèöèîííóþ ñõåìó. Ïóñòü � �( ) , � � �( ) ( )�V ,
� �[ , ]t0 $ , — ïðîèçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
� �( , , ( , )) ( )t z M0 0 $ $� � .
Ââåäåì êîíòðîëüíóþ ôóíêöèþ
h t d
t
t
$ $( ) ( , )� � �1
0
� � , t t0 $ ,
êîòîðàÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà è íå âîçðàñòàåò, ïðè÷åì h t$ ( )0 1� , à
h$ $( ) 0 . Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîé ìîìåíò t* , t t* ( , ]� 0 $ , ÷òî h t$ ( )* � 0 .
Îïèøåì ñïîñîá óïðàâëåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì íà «àêòèâíîì» ó÷àñòêå [ , )*t t0 .
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
U u U u$
$( , ) ( ): ( , ) ( , , )� � � � � � � �� � �{
� � � �� � � � �( , ) ( , )[ ( ) ( , , ( , ))]$ $ $ $M t z0 0 },
� ��V ( ) , � �[ , ]t0 $ . (14)
Îòîáðàæåíèå U $ ( , )� � êîìïàêòíîçíà÷íî è â ñèëó òåîðåìû îá îáðàòíîì îáðàçå
— L B� -èçìåðèìî. Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå â ýòîì
îòîáðàæåíèè ñóùåñòâóåò L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u$ ( , )� � , êîòîðûé ÿâëÿåò-
ñÿ ñóïåðïîçèöèîííî èçìåðèìîé ôóíêöèåé. Ïîëîæèì u u$ $( ) ( , ( ))� � � �� è âû-
áåðåì åãî â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà íà èíòåðâàëå [ , )*t t0 .
Ïóñòü �( , )$ � 0 , � �[ , ]*t $ . Òîãäà èç ñîîòíîøåíèÿ (14) ïîëó÷èì ìíîãî-
çíà÷íîå îòîáðàæåíèå
U u U u$
$ $0 0( , ) { ( ): ( , ) ( , , ) ( , )� � � � � � � � � �� � � � } , (15)
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíîçíà÷íûì è L B� -èçìåðèìûì. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò
L B� -èçìåðèìûé ñåëåêòîð u$
0 ( , )� � . Óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà ïàññèâíîì
ó÷àñòêå âûáåðåì ðàâíûì u u$ $
0 0( ) ( , ( ))� � � �� , � �[ , ]*t $ .  ñëó÷àå �( , , ,t z0 0 $
� ( , )) ( )$ $� � M óïðàâëåíèå ïåðâîãî èãðîêà íà âñåì ïðîìåæóòêå [ , ]t0 $ âûáå-
ðåì â âèäå u$
0 ( )� .
Åñëè ïåðâûé èãðîê áóäåò ïðèäåðæèâàòüñÿ óêàçàííûõ ïðàâèë âûáîðà óïðàâ-
ëåíèÿ, òî èãðà (1)–(3) áóäåò çàêîí÷åíà â ìîìåíò $ ïðè ëþáîì ïðîòèâîäåéñòâèè
âòîðîãî èãðîêà. Ïîêàæåì ýòî.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé � �( , , , ( , )) ( )t z M0 0 $ $ $� � . Èç ôîðìóëû Êîøè è ñîîò-
íîøåíèé (14), (15) âûòåêàåò âêëþ÷åíèå
� � � � � �z t z d
t
t
t
t
( ) ( , , , ( , )) [ ( , ) ] ( , )
*
$ $ $ $ $� � � ��0 0 1
0 0
*
( )� M d$ � .
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà � �( , )
*
$ d
t
t
�� 1
0
, � �( , ) ( ) ( )
*
$ $ $M d M
t
t
��
0
, èìååì
�z M( ) ( )$ $� .
Ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z M0 0 $ $ $� � íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èì òàêîå æå âêëþ÷å-
íèå èç ôîðìóëû Êîøè ñîãëàñíî çàêîíó âûáîðà óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà. Ïðè
óñëîâèè, ÷òî $( , , ( , ))t z0 0 � � � — çàìêíóòîå ìíîæåñòâî ïîëóîñè R� , ââåäåì îáî-
çíà÷åíèå $ $min ( , , ( , )) min : ( , , ( , ))t z t t t t z0 0 0 0 0� �� � � � � � �{ } .
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1)–(3) âû-
ïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 è âûáðàííîãî ñîãëàñíî ñõå-
ìå ìåòîäà ñåëåêòîðà � ( , )� � èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
� �( , ) ( , )*t t , t t0 � ��� . (16)
Åñëè ïðè ýòîì âûïîëíåíî óñëîâèå 1, òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèé �( , )t è �* ( , )t
ñîâïàäàþò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ôóíêöèè èìåþò âèä
� � �
� �
*
( )
( , ) : ( , , )t t
V
� �
�
inf sup{ }A ,
� � �
� �
( , ) : ( , , )
( )
t t
V
� �
�
�
�
��
�
�
�
���
sup A� , t t0 � ��� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 145
 ñëó÷àå � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � èìååì
� �( , ) ( , )*t t� � �� , t t0 � .
Ïîýòîìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü ñëó÷àé � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � . Ïðè
ýòîì îòìåòèì, ÷òî ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíè-
åì ñ çàìêíóòûìè îáðàçàìè, à â äàííîì ñëó÷àå è êîìïàêòíîçíà÷íûì.
Îáîçíà÷èì �� ( , )t . Òîãäà ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ÿâëÿåòñÿ êîìïàêò-
íîçíà÷íûì, à V K R n( ) ( )� � äëÿ � � t0 , òî è îòîáðàæåíèå A A( , ) ( , , )
( )
t t
V
� � �
� �
� �
�
ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíîçíà÷íûì. Ïîýòîìó � ��A ( , , )t äëÿ êàæäîãî � ��V ( ) . Îòñþ-
äà âûòåêàåò, ÷òî � � �sup{ : ( , , )A t }
� %&'� V ,
à çíà÷èò,
� �
� �
�
�
inf sup{ }
V
t
( )
: ( , , )A .
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî íåðàâåíñòâî (16).
Âîçâðàòèìñÿ êî âòîðîé ÷àñòè óòâåðæäåíèÿ. Óñëîâèå 1 îçíà÷àåò, ÷òî
A ( , , ) [ , ( , , )]t t� � � �� 0 , � ��V ( ) , t t0 � ��� .
Ïðè ýòîì óñëîâèè äîêàæåì íåðàâåíñòâî � �* ( , ) ( , )t t , t t0 � ��� . Äåé-
ñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èâ �* * ( , )� t , ïîëó÷èì � �* ( , , )�A t
�� �V ( ) , à çíà-
÷èò, �* ( , )�A t è ñîîòâåòñòâåííî �* ( , ) t .
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1)–(3) âûïîë-
íåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 è ñåëåêòîðà {� ( , )� � èìåþò
ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
$( , , ( , )) ( , , ( , ))t z T t z0 0 0 0� �� � � � � , (17)
t t z t zmin min( , , ( , )) ( , , ( , ))0 0 0 0� �� � � �$ .
Åñëè âûïîëíåíî äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå 1 âûïóêëîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ
A ( , , )t � � , òî â ñîîòíîøåíèÿõ (17) íåðàâåíñòâî äëÿ ÷èñåë ïåðåõîäèò â ðàâåí-
ñòâî, à âêëþ÷åíèå äëÿ ìíîæåñòâ ñòàíîâèòñÿ ïîòî÷å÷íûì ðàâåíñòâîì.
Çàìå÷àíèå 3. Óñëîâèå âûïóêëîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ A ( , , )t � � , � ��V ( ) ,
� �[ , ]t t0 , ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ ñâÿçíîñòè åãî îáðàçîâ èëè çâåçäíîñòè îáðàçîâ
îòíîñèòåëüíî íóëÿ. Îäíèì èç äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé åãî âûïîëíåíèÿ åñòü çâåçä-
íîñòü îòíîñèòåëüíî íóëÿ, 0�L , ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ W t t( , , ) ( , )� � � �� ,
� ��V ( ) , � �[ , ]t t0 , ïî îäíîìó èç ëó÷åé êîíóñà con[ ( ) ( , , , ( , ))]M t t z t t� �� �0 0 .
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ïðîñòîå äâèæåíèå â ïëîñêîñòè ñ íå çàâèñÿùèìè îò t
ïàðàìåòðàìè:
�z u� � � , z R� 2 , U t u u u u U( ) : || || : || ||� ( �{ } { }2 3 4 ,
V t( ) : || ||� { }� � 2 , M t M t M t t* ( ) ( ) { },� � � � �0 00 0 .
Çäåñü î÷åâèäíî, ÷òî A t( ) � 0 , L R� 2 , à � � E — îïåðàòîð òîæäåñòâåííîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûé çàäàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé. Òîãäà W t( , ) { }� � 0 ,
0 � ��� t , è óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà âûïîëíåíî. Àâòîìàòè÷åñêè èìååì
� �( , )t � 0 , 0 � ��� t . Ïóñòü z0 0 5� �( , ) , òîãäà
A A( , , ) : ( )t z U� � � �� � � � � �{ }0 0 .
Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � ïðèíèìàåò ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ èç R� è íå
çàâèñèò îò t è � , òî íåòðóäíî âû÷èñëèòü, ÷òî
146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
ïðè �( , )0 0 A ( ) [ ; / ] [ / ; / ]� � (0 2 5 3 5 4 5 ,
ïðè � � �( , )0 2 A ( ) { } [ / ; / ]� � (0 1 5 2 5 ,
ïðè � � ( , )0 2 A ( ) [ ; / ] [ ; / ]� � (0 4 5 1 6 5 ,
ïðè �
�
� �
�
( , ),
( , )
2 0
2 0
A ( ) { } [ / ; / ]� � (0 5 5 2 3 5 .
Íà îñíîâàíèè ýòèõ çíà÷åíèé ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî A ( , ) { }t � � 0 è ñîîòâåò-
ñòâåííî �( , )t � 0 , 0 � ��� t , à �* ( , ) /t � 2 5 , 0 � ��� t . Çíà÷èò,
$ ( , , )0 00z �� , à T z t t( , , ) : /0 0 5 20 � �{ } .  ñèëó ñèììåòðèè îáëàñòåé óïðàâëå-
íèÿ îòíîñèòåëüíî íóëÿ ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî $( , , )0 00z �� ,
T z t t z( , , ) : ||0 00 0� �{ ||/2} äëÿ âñåõ z0 , z0 0� .
 ýòîì ïðèìåðå îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîçíà÷íûì è ïî-
ýòîìó èãðà íå ìîæåò áûòü çàêîí÷åíà çà êîíå÷íîå ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ ñ ïî-
ìîùüþ ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé íè èç îäíîé òî÷êè z0 , z0 0� , íåñìîòðÿ íà
âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà. Ñ ó÷åòîì ïðåäûñòîðèè óïðàâëåíèÿ óáåãàþùå-
ãî, ò.å. êâàçèñòðàòåãèé, íàîáîðîò, ìîæíî çàêîí÷èòü èãðó çà ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ
èç ëþáûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé.
2. ßÂÍÛÉ ÂÈÄ ÐÀÇÐÅØÀÞÙÅÉ ÔÓÍÊÖÈÈ
Àíàëèçèðóÿ ñõåìó ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ
îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îêîí÷àíèÿ äèíàìè÷åñêîé èãðû ñáëèæåíèÿ (1)–(3) è ïî-
ñòðîåíèÿ çàêîíà óïðàâëåíèÿ ïåðâîãî èãðîêà òèïà (7) íåîáõîäèìî çíàòü ðàçðå-
øàþùóþ ôóíêöèþ � �( , , )t . Ñðåäñòâà âûïóêëîãî àíàëèçà äàþò âîçìîæíîñòü
ïðè îïðåäåëåííûõ äîïóùåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿ-
åìîãî ïðîöåññà íàéòè åå â ÿâíîì âèäå ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (4), (5).
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé âûïóêëûõ ïàðàìåòðîâ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìî-
ãî ïðîöåññà ñ öåëüþ èñïîëüçîâàíèÿ àïïàðàòà îïîðíûõ ôóíêöèé.
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ èãðîâîé çàäà÷è (1)–(3) âûïîëíåíî óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà,
à ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ M t( ) è W t( , , )� � , � ��V ( ) , t t0 � , ÿâëÿþòñÿ âû-
ïóêëîçíà÷íûìè. Òîãäà ïðè � �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � �
� � � � � �( , , ) inf ( ( , , ); ) ( ( , ), )
( )
t C W t p t p
p P t
� �
�
{ } , (18)
ãäå
P t p L C M t p t z t t p( ) : ( ( ); ) ( ( , , , ( , )), )� � � � � � �{ }� �0 0 1 . (19)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåïóñòîòà ïåðåñå÷åíèÿ â âûðàæåíèè (4) äëÿ ðàçðåøàþùåé
ôóíêöèè � �( , , )t â ñèëó çàìêíóòîñòè è âûïóêëîñòè ìíîæåñòâ, êîòîðûå
èñïîëüçóþòñÿ â ïåðåñå÷åíèè, íà ÿçûêå îïîðíûõ ôóíêöèé ïðè óñëîâèè
� �( , , , ( , )) ( )t z t t M t0 0 � � ýêâèâàëåíòíà íåðàâåíñòâó
C W t t C M t t z t( ( , , ); ) ( ( , ), ) [ ( ( ); ) ( ( , , ,� �
� �
� �� � � � 0 0 ( , )), )]t � �
0
�
L .
Ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ íóëü ïðèíàä-
ëåæèò èõ àëãåáðàè÷åñêîé ðàçíîñòè. Èíà÷å ãîâîðÿ,
� � � �
� �
� �
[ ( ( ); ) ( ( , , , ( , )), )] ( ( , , ); )C M t t z t t C W t0 0 � ( ( , ), )� �
t (20)
�
L .
Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íåîòðèöàòåëüíà äëÿ âñåõ
�L â ñèëó
óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà è íàäëåæàùåãî âûáîðà ñåëåêòîðà � �( , )t . Ïîýòîìó åñëè
C M t t z t t( ( ); ) ( ( , , , ( , )), )� � � �
� �
0 0 0 , òî äëÿ ëþáîãî � 0 íåðàâåíñòâî (20)
âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè. Íîðìèðóÿ p ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (19), èç íåðàâåí-
ñòâà (20) ïîëó÷èì ôîðìóëó (18).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 147
Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äàåò ïðîñòîé ñïîñîá äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàçðåøàþ-
ùåé ôóíêöèè.
Ëåììà 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (1)–(3) ìíîãîçíà÷-
íûå îòîáðàæåíèÿ W t( , , )� � è M t( ) øàðîîáðàçíû, ò.å.
W t r t S r t( , , ) ( , ) ( , )� � � � �� �1 2 , M t m t S( ) ( )� ,
ãäå S — åäèíè÷íûé øàð ñ öåíòðîì â íóëå; r t1 ( , )� , r t2 ( , )� — èçìåðèìûå ïî �
÷èñëîâûå ôóíêöèè, t t� �� 0 , � �S , ïðè÷åì r t r t1 2( , ) ( , )� �� , à � �( , )t — èç-
ìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ( ( , ) ( , ))r t r t S1 2� �� .
Òîãäà ïðè || ( , , , ( , )) || ( )� �t z t t m t0 0 � � ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ � �( , , )t ÿâëÿåò-
ñÿ á�ëüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
|| ( , ) ( , ) ( , , , ( , )) || ( , ) (r t t t z t t r t m2 0 0 1� � � � � � � � � � � � t) , t t� �� 0 , � �S ,
îòíîñèòåëüíî , � 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïðåäñòàâëåíèÿ (4) ïðè óñëîâèÿõ ëåììû èìååì
{ } {r t S r t t m t S t z t t1 2 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , , , ( ,� � � � � � �� � � � �))} ��,
t t� �� 0 , � �S .
Íåïóñòîòà ïåðåñå÷åíèÿ ýêâèâàëåíòíà âêëþ÷åíèþ
r t t t z t t r t m t2 0 0 1( , ) ( , ) ( , , , ( , )) ( ( , ) ( ))� � � � � � � � � � � � S .
Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå áóäåì èìåòü òîãäà, êîãäà âåêòîð ñëåâà ïîïàäåò íà
ãðàíèöó øàðà ïåðåìåííîãî ðàäèóñà, ò.å. êîãäà
|| ( , ) ( , ) ( , , , ( , )) || ( ( , )r t t t z t t r t m2 0 0 1� � � � � � � � � � � � ( ))t , t t� �� 0 , � �S .
Åñëè || ( , , , ( , )) || ( )� �t z t t m t0 0 � , òî î÷åâèäíî, ÷òî
� �( , , )t � ��, t t� �� 0 , � �S .
3. ÑËÓ×ÀÉ ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÃÎ ÁËÎÊÀ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ
� ( ) ( , ) ( , ( ), ( ))z A t z B t s s u s s ds
t
t
� � �
0
� � , (21)
u s U s( ) ( )� , �( ) ( )s V s� , z t z( )0 0� , t t� 0 ,
ãäå z R n� , ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ B t s( , ) èçìåðèìà ïî t è ñóììèðóåìà ïî s äëÿ
êàæäîãî êîíå÷íîãî t R� � . Ìàòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ A t( ) , áëîê óïðàâëåíèÿ
� �( , , )t u è ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ U t( ) , V t( ) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
ðàçä. 1, à òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî M t* ( ) èìååò âèä (3).
Äëÿ ïðîöåññà (21) è òåðìèíàëüíîãî ìíîæåñòâà (3) ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñáëèæåíèÿ
çà íåêîòîðîå ãàðàíòèðîâàííîå âðåìÿ â êëàññå êâàçè- è ñòðîáîñêîïè÷åñêèõ ñòðàòå-
ãèé. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè B t s t s E( , ) ( )� �� , ãäå �( )t s� — äåëüòà-ôóíêöèÿ
Äèðàêà, à E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, òî óðàâíåíèå (21) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå (1).
Ëåììà 3. Ïðè âûáðàííûõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèÿõ èãðîêîâ ðåøåíèå ñèñòå-
ìû (21) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå àíàëîãà ôîðìóëû Êîøè
z t t t z C t s s u s s ds
t
t
( ) ( , ) ( , ) ( , ( ), ( ))� � �
0 0
0
� � , (22)
ãäå
C t s t B s d
s
t
( , ) ( , ) ( , )� �
� � � ,
( , )t � — ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîé ñèñòåìû (21).
148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó Êîøè (4) ê ñèñòåìå (21), ïîëó÷èì
z t t t z t B s s u s s d
t
t
t
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ( ), ( ))� � � �
0 0
0 0
� � � �
�
sd� .
Èçìåíèâ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ, ñîãëàñíî ôîðìóëû Äèðèõëå èìååì
z t t t z t B s d s u s s
s
t
t
t
( ) ( , ) ( ( , ) ( , ) ) ( , ( ), (� � ��
0 0
0
� � � � � ))ds ,
îòñþäà âûòåêàåò ôîðìóëà (22).
Ïðèìåíèì ê èãðîâîé çàäà÷å (21), (3) ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé, èçëî-
æåííûé â ðàçä. 1, áàçèðóÿñü ïðè ýòîì íà ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (21)
â âèäå ôîðìóëû (22). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t C t UC ( , , ) ( , ) ( , ( ), )� � � � � � � �� , W t W tC C
V
( , ) ( , , )
( )
� � �
� �
�
�
� , t t� �� 0 .
Áóäåì ñ÷èòàòü âûïîëíåííûì àíàëîã óñëîâèÿ Ïîíòðÿãèíà
W tC ( , )� ��
� �t t� 0 . (23)
Ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå W tC ( , )� ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìûì ïî � è çàìêíóòîçíà÷-
íûì, òî ïî òåîðåìå îá èçìåðèìîì âûáîðå â íåì ñóùåñòâóåò èçìåðèìûé ïî
� ñåëåêòîð � �C t( , ) . Çàôèêñèðóåì åãî è îáîçíà÷èì
� � � � � �C C
t
t
t z t t t t t d( , , , ( , )) ( , ) ( , )0 0 0
0
� � � �
.
Ââåäåì ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
AC t( , , )� � �
� � � � � �{ � � � � � �0 0 0: [ ( , , ) ( , )] [ ( ) ( , , , ( , )W t t M t t z t tC C C )] ��} (24)
è åãî îïîðíóþ ôóíêöèþ â íàïðàâëåíèè �1
� � � �C Ct t( , , ) : ( , , )� �sup{ }A . (25)
Îíè èìåþò òå æå ñâîéñòâà, ÷òî è îòîáðàæåíèå A ( , , )t � � è ôóíêöèÿ � �( , , )t ,
ââåäåííûå â ðàçä. 1.
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
T t z t t t dC C
t
t
E
( , , ( , )) : ( , , ( ))
( )
0 0 0
0
� � � �
�
� � � �
� � �{ inf
�
� � 1}
è â ñëó÷àå åãî çàìêíóòîñòè ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ
t t z t t T t zC C( , , ( , )) min : ( , , ( , ))0 0 0 0� �� � � � � �{ } .
Òåîðåìà 4. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà ñ èíòåãðàëüíûì
áëîêîì óïðàâëåíèÿ (21), (3) âûïîëíåíî óñëîâèå (23) è ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæå-
íèå M t( ) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîçíà÷íûì.
Òîãäà åñëè äëÿ çàäàííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ( , )t z0 0 ñóùåñòâóåò òàêîé
èçìåðèìûé ïî � ñåëåêòîð � �C t( , ) , t t0 � ��� , ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ
W tC ( , )� , ÷òî T t zC ( , , ( , ))0 0 � � � �� è T T t zC C� � �( , , ( , ))0 0 � , òî òðàåêòîðèÿ ïðîöåñ-
ñà (21) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà íà òåðìèíàëüíîå ìíîæåñòâî (3) â ìîìåíò TC ñ ïî-
ìîùüþ óïðàâëåíèÿ, êîòîðîå íàçíà÷àåòñÿ íåêîòîðîé êâàçèñòðàòåãèåé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 149
Åñëè äëÿ ìîìåíòà TC , îòîáðàæåíèÿ AC CT( , , )� � è ôóíêöèè � �C CT( , , ) äî-
ïîëíèòåëüíî âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2, òî ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæåò áûòü äîñòèã-
íóò ñ ïîìîùüþ êîíòðóïðàâëåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâàì òåîðåì 1 è 2.
Çàìå÷àíèå 4. Äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (21), (3) îñòàåòñÿ
ñïðàâåäëèâûì àíàëîã òåîðåìû 3, ãäå â ìîäèôèöèðîâàííîé ñõåìå ôèãóðèðóþò
ìîìåíò TC , ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå
A AC C
V
t t( , ) ( , , )
( )
� � �
� �
�
�
� ,
åãî îïîðíàÿ ôóíêöèÿ â íàïðàâëåíèè +1
� �C Ct t( , ) : ( , )� � �sup{ }0 A
è ìíîæåñòâî
$C C C
t
t
t z t t t d( , , ( , )) : ( , )0 0 0
0
1� � �� � � � ��{ } .
Äëÿ èëëþñòðàöèè ïðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð.
Ïðèìåð 2. Ïóñòü äëÿ êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (21), (3)
A t( ) � 0 , B t s E( , ) � , � � �( , , )t u u� � ,
M t M M t* ( ) ( ) { }� � �0 0 , U t aS( ) � , a �1 ,
V t S( ) � , t0 0� .
Òàêèì îáðàçîì, òðàåêòîðèþ ïðîöåññà
� ( ( ) ( ))z u s s ds
t
� �� �
0
, u aS S� �, � , (26)
íåîáõîäèìî ïðèâåñòè â íà÷àëî êîîðäèíàò çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
 äàííîì ñëó÷àå L R n� , à îðòîïðîåêòîð � ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì òîæäåñòâåí-
íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è çàäàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé E .  ñâîþ î÷åðåäü, ïî-
ñêîëüêó A t( ) � 0 , òî
( , )t E� � , t � �� 0 , à çíà÷èò,
C t s t s E s t( , ) ( ) ,� � 0 .
Ìíîãîçíà÷íûå îòîáðàæåíèÿ
W t s t s aSC ( , , ) ( )( )� �� � � , W t s t s a SC ( , ) ( )( )� � �1 , t s� � 0 ,
è óñëîâèå Ïîíòðÿãèíà (23) âûïîëíåíû, ïîñêîëüêó a �1 .
 ñèëó òîãî, ÷òî 0�W t sC ( , ) , t s� � 0 , ïîëîæèì � C t s( , ) � 0 . Òîãäà èç ôîð-
ìóë (24) è (25) ñ èñïîëüçîâàíèåì ëåììû 2 ïîëó÷èì, ÷òî ðàçðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ
� �C t( , , ) ÿâëÿåòñÿ áo)ëüøèì ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
|| ( ) || ( )t s z t s a� � � ��
îòíîñèòåëüíî è èìååò âèä
� �C t s t s z( , , ) ( ) ( , )� � ,
ãäå
�
� � �
( , )
( , ) ( , ) || || ( || || )
|| ||
z
z z z a
z
�
� � �2 2 2 2
2
, t s� � 0 .
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìèíèìóì ôóíêöèè
�C t s( , , ) ïî � íà S äîñòèãàåòñÿ íà ýëåìåíòå � � �
z
z|| ||
è
min ( , , )
( )( )
|| |||| ||�
�
�
� �
1
1
C t s
t s a
z
.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ �C t s( , , ) íåïðåðûâíà ïî t , òî ìîìåíò t zC ( , , )0 0 ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì óðàâíåíèÿ
( )
|| ||
t s
a
z
ds
t
�
�
��
0
1
1
è èìååò âèä
t t z
z
a
C C� �
�
*
+
,
-
.
/( , , )
| | | |
/
0 0
2
1
1 2
,
ãäå z — ïðîèçâîëüíîå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïðîöåññà (26).
Çàìåòèì [5], ÷òî â ñëó÷àå ïðîñòûõ äâèæåíèé �z u� � �, u aS� , � �S , áåç èí-
òåãðàëüíîãî áëîêà óïðàâëåíèÿ, íî ñ òåìè æå ïàðàìåòðàìè ïðîöåññà, ÷òî è â äàí-
íîì ïðèìåðå, âðåìÿ ïîïàäàíèÿ â íà÷àëî êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
t t z
z
a
min min ( , , )
|| ||
� �
�
0 0
1
.
Âðåìÿ tC è âðåìÿ tmin ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé è çàâèñÿò îò || ||z è a.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ðàçâèòà ñõåìà ìåòîäà ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé äëÿ íåñòàöèîíàðíûõ êâàçèëèíåé-
íûõ ñèñòåì ñ ïåðåìåííûìè îáëàñòÿìè óïðàâëåíèé è òåðìèíàëüíûì ìíîæå-
ñòâîì. Äàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàâåðøåíèÿ èãðû â êëàññå êâàçè- è ñòðîáî-
ñêîïè÷åñêèõ ñòðàòåãèé. Èçó÷åíû ðàçëè÷íûå ñõåìû ìåòîäà, ïðèâåäåíî ñðàâíå-
íèå ãàðàíòèðîâàííûõ âðåìåí, â ÷àñòíîñòè ðàññìîòðåíû ïðîöåññû
ñ èíòåãðàëüíûì áëîêîì óïðàâëåíèÿ. Ðåçóëüòàòû èëëþñòðèðóþòñÿ íà ìîäåëü-
íèõ ïðèìåðàõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë . Ñ . Èçáðàííûå íàó÷íûå òðóäû. — Ì.: Íàóêà, 1988. — Ò. 2. — 576 ñ.
2. Ê ð à ñ î â ñ ê è é Í . Í . Èãðîâûå çàäà÷è î âñòðå÷å äâèæåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1970. – 420 ñ.
3. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Î ñ ò à ï å í ê î Â . Â . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1992. — 260 ñ.
4. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ì . Ñ . Ïåðâûé ïðÿìîé ìåòîä Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà â äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ. —
Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1984. — 65 ñ.
5. C h i k r i i A . A . Conflict controlled processes. — Boston; London; Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1997. — 424 p.
6. Ñ ó á á î ò è í À . È . , × å í ö î â À . à . Îïòèìèçàöèÿ ãàðàíòèè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ. — Ì.:
Íàóêà, 1981. – 288 ñ.
7. À é ç å ê ñ Ð . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû. — Ì.: Ìèð, 1967. – 480 ñ.
8. S i o u r i s G . M . Missile guidance and control systems. — New York: Springer-Verlag,
2004. — 666 p.
9. Ë î ê ê À . Ñ . Óïðàâëåíèå ñíàðÿäàìè. — Ì.: Ãîñ. èçä-âî òåõí.-òåîðåò. ëèò., 1957. — 775 ñ.
10. à ð è ã î ð å í ê î Í . Ë . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ íåñêîëüêèìè äèíàìè÷åñêèìè
ïðîöåññàìè. — Ì.: ÌÃÓ, 1980. — 198 ñ.
11. Á ë à ã î ä à ò ñ ê è õ À . È . , Ï å ò ð î â Í . Í . Êîíôëèêòíîå âçàèìîäåéñòâèå ãðóïï óïðàâëÿåìûõ
îáúåêòîâ. — Èæåâñê: Óäìóðò. óí-ò, 2009. — 266 ñ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 151
12. × è ê ð è é À ë . À . Î ïðîáëåìå ãðóïïîâîãî ïðåñëåäîâàíèÿ // Äîêë. ÍÀÍ Óêðàèíû. — 1997. —
¹ 6. — Ñ. 28–32.
13. Ê ð è â î í î ñ Þ . à . , Ì à ò è ÷ è í È . È . , × è ê ð è é À . À . Äèíàìè÷åñêèå èãðû ñ ðàçðûâíûìè
òðàåêòîðèÿìè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. — 220 ñ.
14. C o n t r o l of fractional-order dynamic systems under uncertainty / A.A. Chikrii, I.I. Matychyn,
K. Gromaszek, A. Smolarz // Modelling and Optimization / Ed. by J. Sikora.— Lublin: Publ. Lublin
Univ. of Technology (Poland), 2011. — P. 3–56.
15. × è ê ð è é À . À . , Á å ë î ó ñ î â À . À . Î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èãðàõ ñ èíòåãðàëüíûìè
îãðàíè÷åíèÿìè // Òð. Èí-òà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè Óð. îòä. ÐÀÍ, 2009. –– 15, ¹ 4. ––
Ñ. 290–301.
16. Î í î ï ÷ ó ê Þ . Í . , × è ê ð è é À ë . À . Îá îäíîé èãðîâîé çàäà÷å ñáëèæåíèÿ ïðè îòêàçå
óïðàâëÿþùèõ óñòðîéñòâ // Ìàòåð³àëè XIII ̳æíàð. íàóê. êîíô. ç àâòîìàòè÷. óïðàâë³ííÿ
«Àâòîìàòèêà-2006» (25–28 âåðåñ. 2006 ð.). — ³ííèöÿ: ÂÍÒÓ, 2006. — Ñ. 34.
17. × è ê ð è é À ë . À . Î íåñòàöèîíàðíîé çàäà÷å ïðåñëåäîâàíèÿ // Òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ
ðåøåíèé. — 1995. — Ñ. 34–39.
18. × è ê ð è é À ë . À . Îá îäíîì êëàññå íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ ïðåñëåäîâàíèÿ // Ïðîáëåìû
óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 1995. — ¹ 4. — Ñ. 64–74.
19. Î í î ï ÷ ó ê Þ . Í . , × è ê ð è é À ë . À . Íåñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì
â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè // Òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé. — 2008. — ¹ 7. — Ñ. 17–24.
20. × è ê ð è é À . À . Îá îäíîì àíàëèòè÷åñêîì ìåòîäå â äèíàìè÷åñêèõ èãðàõ ñáëèæåíèÿ //
Òð. ÌÈ ÐÀÍ èì. Â.À. Ñòåêëîâà. — 2010. — 271. — Ñ. 76–92.
21. × è ê ð è é À . À . , Ð à ï ï î ï î ð ò È . Ñ . Ìåòîä ðàçðåøàþùèõ ôóíêöèé â òåîðèè êîíôëèêòíî-
óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 4. — Ñ. 40–64.
22 Ê ó í ö å â è ÷ Â . Ì . Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðîâàííûå ðåçóëüòàòû
â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 2006. — 264 ñ.
23. × è ê ð ³ é Î . À . Íåñòàö³îíàðí³ ïðîöåñè êåðóâàííÿ â óìîâàõ íåâèçíà÷åíîñò³: Àâòîðåô. äèñ. ...
êàíä. ô³ç.-ìàò. íàóê / IK iì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍÓ. — Êè¿â, 2010. — 156 ñ.
24. A u b i n J . - P . , F r a n k o w s k a H . Set-valued analysis. — Boston; Basel; Berlin: Birkhauser,
1990. — 461 p.
25. Ã à é ø ó í È . Â . Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì. — Ìèíñê: Èí-ò
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Áåëàðóñè, 1999. — 409 ñ.
26. Ã à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1967. — 575 ñ.
27. Ë à ï ï î - Ä à í è ë å â ñ ê è é È . À . Ïðèìåíåíèå ôóíêöèé îò ìàòðèö ê òåîðèè ñèñòåì îáûêíîâåí-
íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ì.: ÃÈÒÒË, 1957. — 235 ñ.
28. Ì î ð î ç î â Â . Ì . , Ê à ë ¸ í î â à Â . È . Îöåíèâàíèå è óïðàâëåíèå â íåñòàöèîíàðíûõ ëèíåéíûõ
ñèñòåìàõ. — Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1988. — 144 ñ.
29. H a j e k O . Pursuit games. — New York: Acad. Press, 1975. — 12. — 266 p.
30. × è ê ð è é À . À . Äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû ñ íåñêîëüêèìè ïðåñëåäîâàòåëÿìè // Òð. Ìåæäóíàð.
ìàò. öåíòðà èì. Ñ. Áàíàõà, Âàðøàâà. — 1985. — 14. — Ñ. 81–107.
31. S i o u r i s G . Aerospace anionics systems // A Modern Synthesis. — San Diego: Acad. Press,
1993. — 466 p.
Ïîñòóïèëà 15.11.2012
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86261 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:52:07Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Онопчук, Ю.Н. Чикрий, Ал.А. 2015-09-11T17:12:51Z 2015-09-11T17:12:51Z 2013 Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения / Ю.Н. Онопчук, Ал.А. Чикрий // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 137-152. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86261 517.977 Досліджено ігрову задачу зближення для нестаціонарних динамічних процесів, що функціонують в умовах невизначеності та протидії. При цьому термінальна множина представляє собою циліндричне багатозначне відображення. На основі методу розв’язуючих функцій отримано достатні умови завершення гри в класі квазі- та стробоскопічних стратегій для різних схем методу. Проведено порівняння гарантованих часів. Результати ілюструються на моделі з інтегральним блоком керування та ігрових задачах з простим рухом. The game problem of pursuit is studied for dynamic processes evolving under uncertainty and counteraction. The terminal set is supposed to be a cylindrical set-valued mapping. The method of resolving functions is used to derive the sufficient conditions for the game termination in the class of quasi- and stroboscopic strategies for various schemes of the method. The guaranteed times are compared. The results are illustrated using the model with integral control unit and game problems with simple motion. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения Аналітичний метод розв’язання нестаціонарних диференціальних ігор зближення Analytic method for solving nonstationary differential games of pursuit Article published earlier |
| spellingShingle | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения Онопчук, Ю.Н. Чикрий, Ал.А. Системный анализ |
| title | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения |
| title_alt | Аналітичний метод розв’язання нестаціонарних диференціальних ігор зближення Analytic method for solving nonstationary differential games of pursuit |
| title_full | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения |
| title_fullStr | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения |
| title_full_unstemmed | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения |
| title_short | Аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения |
| title_sort | аналитический метод решения нестационарных дифференциальных игр сближения |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86261 |
| work_keys_str_mv | AT onopčukûn analitičeskiimetodrešeniânestacionarnyhdifferencialʹnyhigrsbliženiâ AT čikriiala analitičeskiimetodrešeniânestacionarnyhdifferencialʹnyhigrsbliženiâ AT onopčukûn analítičniimetodrozvâzannânestacíonarnihdiferencíalʹnihígorzbližennâ AT čikriiala analítičniimetodrozvâzannânestacíonarnihdiferencíalʹnihígorzbližennâ AT onopčukûn analyticmethodforsolvingnonstationarydifferentialgamesofpursuit AT čikriiala analyticmethodforsolvingnonstationarydifferentialgamesofpursuit |