Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом

Запропоновано метод ідентифікації параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Досліджено періодограмні оцінки та доведено їх строгу конзистентність при умові, що шум є функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю, а функція регресії майже періодична....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Кнопов, П.С., Била, Г.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86263
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом / П.С. Кнопов, Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 163-172. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86263
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-862632025-02-09T21:41:57Z Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом Періодограмні оцiнки в моделях нелінійної регресії з сильнозалежним шумом Periodogram estimates in the nonlinear regression models with strongly dependent noise Кнопов, П.С. Била, Г.Д. Системный анализ Запропоновано метод ідентифікації параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Досліджено періодограмні оцінки та доведено їх строгу конзистентність при умові, що шум є функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю, а функція регресії майже періодична. We propose a method to identify the parameters of the “signal plus noise” nonlinear regression model. We investigate the periodogram estimates and prove their strong consistency provided that the noise is a functional of a stationary Gaussian process with long-range dependence and the regression function is almost periodic. 2013 Article Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом / П.С. Кнопов, Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 163-172. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86263 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Кнопов, П.С. Била, Г.Д. Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом Кибернетика и системный анализ
description	Запропоновано метод ідентифікації параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Досліджено періодограмні оцінки та доведено їх строгу конзистентність при умові, що шум є функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю, а функція регресії майже періодична.
format	Article
author	Кнопов, П.С. Била, Г.Д.
author_facet	Кнопов, П.С. Била, Г.Д.
author_sort	Кнопов, П.С.
title	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
title_short	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
title_full	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
title_fullStr	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
title_full_unstemmed	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
title_sort	периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86263
citation_txt	Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом / П.С. Кнопов, Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 163-172. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT knopovps periodogrammnyeocenkivmodelâhnelineinoiregressiissilʹnozavisimymšumom AT bilagd periodogrammnyeocenkivmodelâhnelineinoiregressiissilʹnozavisimymšumom AT knopovps períodogramníocinkivmodelâhnelíníinoíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT bilagd períodogramníocinkivmodelâhnelíníinoíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT knopovps periodogramestimatesinthenonlinearregressionmodelswithstronglydependentnoise AT bilagd periodogramestimatesinthenonlinearregressionmodelswithstronglydependentnoise
first_indexed	2025-12-01T03:24:24Z
last_indexed	2025-12-01T03:24:24Z
_version_	1850274722033434624
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Ï.Ñ. ÊÍÎÏÎÂ, Ã.Ä. ÁÈËÀ ÏÅÐÈÎÄÎÃÐÀÌÌÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ Â ÌÎÄÅËßÕ ÍÅËÈÍÅÉÍÎÉ ÐÅÃÐÅÑÑÈÈ Ñ ÑÈËÜÍÎÇÀÂÈÑÈÌÛÌ ØÓÌÎÌ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèëüíàÿ çàâèñèìîñòü, ïåðèîäîãðàììíàÿ îöåíêà, ãàóññîâñêèé ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ, ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ ðîñòîì ïðèìåíåíèé âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ è ñî- öèàëüíûõ íàóêàõ âîçðîñ èíòåðåñ ê çàäà÷àì îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, íåëèíåéíî âõîäÿùèõ â ôóíêöèþ ðåãðåññèè èçâåñòíîãî âèäà. Ïîÿâèëîñü áîëüøîå êîëè÷åñ- òâî ïóáëèêàöèé, â êîòîðûõ îöåíèâàþòñÿ ÷àñòîòû è àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé è ðàññìàòðèâàþòñÿ áîëåå îáùèå çàäà÷è îöåíèâàíèÿ íåëèíåéíîé ôóíêöèè ðåãðåññèè, èñêàæåííîé ñëó÷àéíûì øóìîì, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðîöåñ- ñîì ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Ñðåäè íèõ ñëåäóåò îòìåòèòü ðàáîòû [1–4], â êîòî- ðûõ èññëåäîâàíû ìåòîäû íàèìåíüøèõ ìîäóëåé, íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, à òàê- æå äëÿ ðÿäà ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ òàê íàçûâàåìûå ïåðèîäîãðàììíûå îöåíêè óêàçà- ííûõ âûøå ïàðàìåòðîâ. Â äàííîé ñòàòüå èçó÷àþòñÿ àñèìòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïåðèîäîãðàììíûõ îöåíîê íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîé ôóíê- öèè â ðåãðåññèîííîé ìîäåëè «ñèãíàë ïëþñ øóì», ãäå øóì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíà- ëîì îò ãàóññîâñêîãî ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Ðàññìîòðèì ðåãðåññèîííóþ ìîäåëü y t g t t( ) ( , ) ( )� �� 0 , t T�[ , ]0 , ãäå g t À t( , ) ( ):� � �0 0 0� R R1 1� �� — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò íå- èçâåñòíîãî ïàðàìåòðà �0 �� , � �0 0 0� ( , )A , À0 0� , � 0 0� , � R 1— îãðà- íè÷åííûé îòêðûòûé èíòåðâàë. Ñëó÷àéíûé øóì �( ) ( ( ))t G n t� , t R� 1, òàêîé, ÷òî E�( )0 0� , E�2 0 1( ) � . Â äàëüíåéøåì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëó- ÷àéíîãî ïðîöåññà n t( ) ôóíêöèé G è � . 1. Ïóñòü { } { }n t t R n t( ), ( )� �1 — äåéñòâèòåëüíûé íåïðåðûâíûé â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ (äëèííîé ïàìÿòüþ) [5], ñ En t( ) � 0 è êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé B t( ) : B t n( ) ( ( )� cov 0 , n t t ( )) ( ) � � 1 1 2 � � � , 0 1 � , t R� 1. 2. Íåëèíåéíàÿ áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ G R R: 1 1� òàêîâà, ÷òî G u u du2 ( ) ( )� � �� , ãäå � ( ) /u e u� �1 2 2 2 , u R� 1. Ïðè óñëîâèè 2 ôóíêöèþ G u( ) , u R� 1, ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä G u C k H uk k k( ) ! ( )� � � � 0 , C G u H u u duk k� �� ( ) ( ) ( )� , k � 0, 1, ... , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 163 © Ï.Ñ. Êíîïîâ, Ã.Ä. Áèëà, 2013 ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì ×åáûøåâà–Ýðìèòà H u e d du ek k u k k u( ) ( ) / /� � �1 2 22 2 , k � 0, 1, ... , â ïðîñòðàíñòâå L R u du2 1( , ( ) )� . 3. Ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî m � 1 òàêîå, ÷òî C Cm1 1 0� � �� , Cm � 0 — êî- ýôôèöèåíòû ïðè ðàçëîæåíèè ôóíêöèè G u( ) , u R� 1, ïî ïîëèíîìàì ×åáûøåâà– Ýðìèòà. Öåëîå ÷èñëî m � 1íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâûì ðàíãîì ôóíêöèè G u( ) , u R� 1. 4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíà ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ � ( )t âèäà � ( )t c ek i t k k� �� . Äëÿ âåëè÷èí ck è k âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: \| \|ck k�� , k � 0 ïðè k � 0 , ñ ñk k� � , k k� � � , \| \| l k� � �� 0 ïðè l k� , \| \| \| \|ñ ñi i0 � ïðè i i� � 0 , i0 0� . Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îöåíêå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà � �0 0 0� ( , )A ïî ðåçóëüòà- òàì íàáëþäåíèé { }y t t T( ),0 � � â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äëèíà èíòåðâàëà T � � . Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà �0 �� áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðèîäîãðàììíûå îöåíêè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë Q T y t e dtT i t T ( ) ( )� �� 2 0 2 , � � 0 . Ïåðèîäîãðàììíîé îöåíêîé �Ò äëÿ ÷àñòîòû � 0 íàçîâåì òî çíà÷åíèå � � 0 , ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ QT ( )� ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå íà [ , )0 � . Îöåíêîé äëÿ À0 ìîæåò ñëóæèòü âåëè÷èíà À QÒ T T� 1 2 ( )� , èëè, êàê ïîêàçàíî íèæå, â ñëó- ÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 4 ïåðèîäîãðàììíàÿ îöåíêà ~ ÀT äëÿ àìïëèòóäû À0 îïðå- äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé ~ \| \| ( )A c QT i T T� �1 2 0 1 21 � . Â äàëüíåéøèõ äîêàçàòåëüñòâàõ áóäåò èñïîëüçîâàíà äèàãðàììíàÿ ôîðìó- ëà [6]. Äàäèì íåîáõîäèìûå îáúÿñíåíèÿ. Íàçîâåì äèàãðàììîé ïîðÿäêà ( , , )l lp1 � ãðàô � ñ ( )l lp1 � �� âåðøèíàìè, åñëè: — ìíîæåñòâî âåðøèí V ãðàôà � èìååò âèä V Wj j p � �1 � , ãäå W j lj � {( , ): 1 � �l l j } — j-é óðîâåíü ãðàôà �, 1 � �j p (äëÿ l j � 0 ñ÷èòàåì Wj � �); — êàæäàÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 1; — åñëè (( , ), ( , ))j l j l1 1 2 2 ��, òî j j1 2� , ò.å. ðåáðà ãðàôà � ìîãóò ïðîõîäèòü òîëüêî ìåæäó ðàçíûìè óðîâíÿìè. Ïóñòü T T l lp� ( , , )1 � — ìíîæåñòâî äèàãðàìì � ïîðÿäêà ( , , )l lp1 � . Îáîçíà- ÷èì R V( ) ìíîæåñòâî ðåáåð ãðàôà � �T . Äëÿ ðåáðà � � �(( , ), ( , )) ( )j l j l R V1 1 2 2 , 164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 j j1 2 , ïîëîæèì d j1 1( )� � , d j2 2( )� � . Íàçîâåì äèàãðàììó � ðåãóëÿðíîé, åñëè åå óðîâíè ìîãóò áûòü ðàçáèòû íà ïàðû òàê, ÷òî íè îäíî ðåáðî íå ïðîõîäèò ìåæ- äó óðîâíÿìè, ïðèíàäëåæàùèìè ðàçëè÷íûì ïàðàì. Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ äèà- ãðàìì îáîçíà÷èì T T l lp * ( , , )� 1 � . Åñëè p íå÷åòíî, òî T * � � . Åñëè äèàãðàììà � �T T\ * , òî îíà íàçûâàåòñÿ íåðåãóëÿðíîé. Ïóñòü ( , , )� �1 � p , p � 2 , — ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ íóëåâûì ñðåäíèì, � �� i j B i j( , ) , i j p, , ...,�1 , à H x H xl lp1 ( ), ..., ( ) — ïîëèíîìû ×åáûøåâà–Ýðìèòà ïîðÿäêà ( , , )l lp1 � . Òîãäà äèàãðàììíàÿ ôîðìóëà èìååò âèä � � � � � � � � � � � �� H B d dl j j p R VT j ( ) ( ( ), ( )) ( ) � � � �1 1 2 � , (1) ãäå T T l lp� ( , , )1 � . Ëåììà 1. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–4, òî � � � �( ) sup ( )T T t e dt R i t T � � � � � � �� 1 1 0 0 , T � � , ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âåëè÷èíó 1 1 0 2 2 00 T t e dt T t s e dtdsi t T i t s T � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � T � � � � � � 1 1 2 00 2T s u s e dsdu T s u s e dsi u T uT i u� � � �� ( ) ( ) ( ) ( ) u T T du T T � � � 0 1 2 ( ) ( ) . Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî � � �\| \| ( \| \| ) /x x 2 1 2 äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è- íû z s u s ds T u � � � � �( ) ( ) 0 , íàõîäèì � � � � � � � � � � � � � � sup � � � R T uT T T s u s ds du T 1 1 2 00 \| ( )\| ( ) ( ) � 2 0 1 2! ( )u du T , ãäå !( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]u s u s t u t dsdt T uT u � � � � �� 00 . Ó÷èòûâàÿ äèàãðàììíóþ ôîðìóëó (1) è ðàçëîæåíèå ôóíêöèè �( ) ( ( ))t G n t� â ðÿä ïî ïîëèíîìàì ×åáûøåâà–Ýðìèòà, ïîëó÷àåì !( ) [ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))]u G n s u G n s G n t u G n t ds T uT � � � � �� 00 u dt � � � � � � � � � � � " #�� C l H n l jjl l l l l j j j j! ( ) , , , 1 4 1 1 4 1 2 3 4 $ $ % & ' ' � �� dsdt T uT u 00 � � � � � � � � �� C l B d d l jjl l l l j ! ( ( ), ( )) , , , 1 4 1 1 2 1 2 3 4 � � �� " # $ $ % & ' 'R V T uT u T dsdt ( )00� , (2) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 165 ãäå ( , , , ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))n n n n n s u n s n t u n t1 2 3 4 � � � , � �T l l l l* ( , , , )1 2 3 4 , à äèàãðàì- ìíóþ ôîðìóëó ïðèìåíÿåì äëÿ p � 4 . Òîãäà èìååì òðè ðàçíûõ ðàçáèåíèÿ óðîâíåé ( , , , )1 2 3 4 íà ïàðû: à) ( , ), ( , )1 2 3 4 ; á) ( , ), ( , )1 3 2 4 ; â) ( , ), ( , )1 4 2 3 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîùíîñòü óðîâíåé ïåðâîé ïàðû êàæäîãî ðàçáèåíèÿ ðàâíà r( )1 , à ìîùíîñòü óðîâíåé âòîðîé ïàðû r( )2 , ãäå r( )1 , r( )2 — ïîðÿäêè ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà–Ýðìèòà â ëåâîé ÷àñòè äèàãðàììíîé ôîðìóëû (1). Òîãäà ïðîèçâåäåíèå B d d R V ( ( ), ( )) ( ) 1 2� � �� (3) äëÿ òðåõ ðàçáèåíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä: à) B ur r( ) ( ) ( )1 2� ; á) B s tr r( ) ( ) ( )1 2� � ; â) B s t u B s t ur r( ) ( )( ) ( )1 2� � � � . Ïîñêîëüêó èçâåñòíî, ÷òî r r( ), ( )1 2 1� , äëÿ ñëàãàåìûõ â ñóììå (2), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò âñåì ðåãóëÿðíûì äèàãðàììàì, íåîáõîäèìî îöåíèòü âåëè÷èíû: �1 2 00 2 2( ) ( ) ( ) ( )u B u dsdt T u B u T uT u � � � �� , � 2 2 00 ( ) ( )u B s t dsdt T uT u � � �� , � 3 00 ( ) ( ) ( )u B s t u B s t u dsdt T uT u � � � � � �� , ò.å. äëÿ îöåíêè � � sup � R T 1 1\| ( )\| íóæíî îöåíèòü èíòåãðàëû 1 2 0 1 2 T u dui T � / ( ) , i �1 2 3, , . Ðàññìîòðèì � 3 ( )u . Îáîçíà÷èâ b s t B s t u B s t uu ( ) ( ) ( )� � � � � � è âûïîëíèâ â èíòåãðàëå � 3 ( )u çàìåíó ïåðåìåííûõ t t T * � , s s T * � , à çàòåì s t s* � � , ïî- ëó÷èì � 3 2 0 1 0 1 ( ) ( ( )) * * u T b T s t ds dtu u T u T � � � �� T u T s u T b Ts ds Tu u T u T 2 1 1 1 1 1 \| \| ( ) 2 1 1 1�� u T b Ts dsu ( ) � �� " # $ $ % & ' ' � T u T B Ts u ds B Ts u ds2 0 1 1 0 1 ( ) ( ) . Ïîñêîëüêó èç ÷åòíîñòè êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè B ñëåäóåò B Ts u ds B Ts u ds( ) ( )� � � � 1 0 0 1 , èìååì � 3 2 0 1 2 1( ) ( )u T u T B Ts u ds� �� . (4) 166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 Èç ñâîéñòâ ôóíêöèè B âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 ïðè äîñòàòî÷íî áîëü- øèõ T ïîëó÷àåì B Ts u Ts u s T s B T( ) [ ( ) ] [ ] ( )� � � � � � � �1 1 1 1 1 1 2 2� � � � � � � � � � . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå 1 1 2 1 1 2 2 3 1 2 3 0 2 0 1 0 1 2 T u du T T u T s B T dsdu T T � � � / ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � � �1 1 2 1 2 / / ( )B T . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ � 2 ( )u , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷à- åì (4) ïðè u � 0 ïîä çíàêîì èíòåãðàëà: � 2 2 2 0 1 22 1 2 1( ) ( ) ( )u T u T B Ts ds T u T B Ts d� �� s 0 1 . (5) Òàêèì îáðàçîì, èìååì 1 2 2 3 12 2 0 1 2 1 2 1 2 T u du B T T � � / / /( ) ( ) ( ) � � . Èñïîëüçóÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ u u T � , ïîëó÷àåì 1 1 1 2 1 0 2 0 0 1 1 2 T u du T T u B u du u B Tu T T � / ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * � � � � du* � � � � 1 1 2( )( ) ( ) � � B T . (6) Èòàê, âñå ñëàãàåìûå â ñóììå (2), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðåãóëÿðíûì äèà- ãðàììàì, ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè T � � . Ðàññìîòðèì â ñóììå (2) ñëàãàåìûå ñ íåðåãóëÿðíûìè äèàãðàììàìè � �T T\ * . Ïóñòü äèàãðàììà � �T T\ * ôèêñèðîâàíà. Òîãäà â ïðîèçâåäåíèè (3) èìååì ìíîæèòåëü B s t( )� (ðåáðî ñîåäèíÿåò óðîâíè 1 è 2 èëè 3 è 4). Åñëè â äèà- ãðàììå � íåò ðåáåð ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè, òî óðîâåíü 1 ñîåäèíÿåòñÿ ñ óðîâíåì 4, óðîâåíü 2 — òîëüêî ñ óðîâíåì 3, à � ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé äèàãðàììîé, ÷òî ïðî- òèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Ïîñêîëüêó B ( )0 1� , ïðîèçâåäåíèå (3) ìàæîðèðóåòñÿ èëè B u( ) , èëè B s t( )� . Òîãäà àíàëîãè÷íî (5) è (6) ïîëó÷èì 1 4 2 42 0 1 2 1 2 T T u B u du B T T ( ) ( ) ( )( ) ( )/ /� � � � � � , 1 2 2 3 12 000 1 2 1T B s t dsdt du T uT uT ( ) ( ) / / � " # $ $ % & ' ' � � �� 2 1 2B T/ ( ) . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 167 Èç ïðåäûäóùèõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî � � sup � R T 1 1\| ( )\| ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè T � � . Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî � � sup � R T 1 2\| ( )\| ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè T � � . Ïîýòîìó � ��2 0( )T ïðè T � � . Ïîëàãàÿ T nn � �1 � , n � 1 , 0 1 � , �1 , ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå � � � � � �2 1 ( )Tn n . (7) Ó÷èòûâàÿ ëåììó Áîðåëÿ–Êàíòåëëè, èç (7) ïîëó÷àåì, ÷òî �( )Tn n � �� 0 (8) ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ( � � � � � � n T T T n n n T Tsup 1 \| ( ) ( )\|� � � � � � �� sup sup T T T R i t T n i t n n T t e dt T t e dt 1 1 1 1 0 0� � �� ( ) ( ) Tn � � �� sup sup T T T R n i t T n n n T T t e dt 1 1 1 1 1 0� ��( ) T t e dti t T T n � �( ) � � �� ( � ( � � T T T T t dtn n n T T n n n n 1 11 1 1 � �( ) \| ( ) \| ( ) (2) . Ïîñêîëüêó T T n n n n� � �� 1 1 1 1 1 1 � , �( )Tn n � �� 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, òî ( � �� n n ( )1 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ðàññìîòðèì � ( � � " # $ $ % & ' ' � � � [ ] \| ( )\| [ ( ( )( ) n T T n T t dt T G n t n n 2 2 2 2 1 11 � ) ( ( ))]G n s dtds T T T T n n n n �� 11 � �" # $ % & ' � � �� " # $ $ $ � � T T T G n n n n n 1 2 2 1 0 1 1 1[ ( ( ))] � % & ' ' ' � 2 2 K n , K � const. Òàê êàê � ( � � � � [ ]( ) n n 2 2 1 , â ñèëó ëåììû Áîðåëÿ–Êàíòåëëè âåëè÷èíà ( � �� n n ( )2 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ò.å. ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ( � �� n n 0 . (9) 168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 Èç ñîîòíîøåíèé (8), (9) è íåðàâåíñòâà \| ( ) \| \| ( )\|� �T Tn n� �( ñëåäóåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà âåëè÷èíà ~� � T T i � 0 ÿâëÿåò- ñÿ ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà � 0 ïðè T � � . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå âåëè÷èíû QT ( )� ïðè ëþáîì ôèê- ñèðîâàííîì � � 0 , T � � : Q T g t t e dt T g t eT i t T i( ) [ ( , ) ( )] ( , )� � � �� 2 20 0 2 0 � ��t T Tdt I 0 2 � � � � � � � ( , ãäå I T t e dt T g t e dtT i t T i t T ( ) ( ) Re ( , )� � �� 2 2 4 0 2 2 0 0 �� ( )t e dti t T 0 . Èç óñëîâèÿ 4 ëåãêî âèäåòü, ÷òî 1 0 0 T g t e dt Ñi t T ( , )� � � � � � � � � , 0 �Ñ . Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà sup\| ( )\| � �IT �0 ïðè T � � . Ïóñòü !Ò i t T T g t e dt( , ) ( , )� � � �0 0 0 2� . Òîãäà, ñ ó÷åòîì âèäà ôóíêöèè g t( , )�0 , t R� 1 , ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî !Ò k k i t T A T c e dtk( , ) (� � � ��0 0 0 2 � �� . Ïóñòü 0 2 0 � �� è \| \| � � �i0 0 � � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî k i� èìååò ìåñòî \| \| � � �k 0 � � . Òîãäà äëÿ ëþáîãî l k� ñïðàâåäëèâî \| \| \| ( ) � � � �l k0 0� � � � ( ) \| � � � �l k l k� � � �� 0 0 0 1 2 1 2 � � . Ó÷èòû- âàÿ óñëîâèå 4 è ëåììó 1, èìååì lim ( ) lim \| \| \| \| T T T i i Q �� sup sup � � � � � � � � 0 0 0 0 0 0 � � � � �\| ( , )\|!T 0 2 � " # $ $ % & ' '�� lim ( , ) \| \| T i t T i T g t e dtsup � � � � �� 0 0 0 0 0 2 � � �� lim \| \| ( ) T k i t k i k À T c e dtsup � � � � � � 0 0 0 0 0 0 2 T " # $ $ % & ' ' � 2 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 169 � �� lim max \| \| \| \| ( T k i k i i kÀ c T esup � � � � � 0 0 2 2 0 0 0 0 2 �)t T dt 0 2 � � � � � � " # $ $ $ % & ' ' ' ) * + , + - . + / + � � �� 4 4 0 2 2 0 2 2 0 0 À c À c k i k imax \| \| \| \| . (10) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî lim ( ) \| \| . T T i iQ À c �� 0 00 0 2 24 Òåïåðü ñèëüíóþ ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè ~�Ò äîêàçûâàåì ìåòîäîì îò ïðîòèâ- íîãî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1 â ðàáîòå [7]. Ïîêàæåì, ÷òî ~� �Ò � 0 ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïóñòü � � { }e — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, 0 � {e, lim ( ) T TQ �� sup � � � ! lim ( ) T T iQ L �� 0 0 , L �} , ãäå !� � � � �� { }: i0 0 , � � � 0 2 . Â ñèëó ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé 1 �{ }0 1 . Òîãäà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî 02 � �{e T, ~ / ,� � 0 T � �} . Âûáåðåì ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå å � 30 01 . Äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü T ek ( ) � � ïðè k � � òàêàÿ, ÷òî ~ ( ) ~ ( )( )� � �Ò ek e e� 4 � 0 . Âîçüìåì � � � � ( ) min \| ~ ( ) \| ,e e i 4 �� 0 0 0 2 � . Òîãäà â ñèëó òîãî, ÷òî lim ( ) lim ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T e e k T e e i e k k Q Q �� sup � � � � ! 0 0 ) , èìååò ìåñòî lim ( ( )) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k T e e T e k T e e k k k Q e Q �� sup � � � ! e i ) ( ) � 0 0 , ïðè÷åì lim ( ) ( ) ( ) k T e e iQ L k�� 0 0 , ãäå L Q e k T e e T e k k � �� lim ( ( )) ( ) ( ) ( )� . Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, 1 �{ }01 0 è ~� �T � 0 ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ëåììà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå lim ( ) lim ( ) \| \| T T T T T i iQ Q A c �� 0 00 0 2 24 . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ îöåíêè �Ò èçâåñòíî, ÷òî Q Q T T T i( ) ( )� �� 0 0 , ïîýòîìó 0 0 00 0� � � � �Q Q I I T T T i T T T i( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � 4 4 2 0 0 2 2 0 0 0 0 T g t e dt T g t e dt i t T i t Ò i( , ) ( , )� �� T � � � � � � 2 . (11) 170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî IT ( )� � 0 ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òîãäà ïðè 0 2 0 � �� èìååì lim sup ( , ) ( , ) T i t T T g t e dt T g t e �� 4 4 2 0 0 0 2 2 0 � �� i t T i dt � 0 0 0 2 � � � � � � ) * + , + - . + / + � � � � � � �� lim max sup ( , ) \| \|T i t T T g t e dt i 4 2 0 0 00 0 � � � � �� ) * + , + - � � 2 0 0 0 2 0 0 , sup ( , ) \| \| � � � � �� i g t e dti t T . + / + � ) * ++ , + + � � � � � � � - . + / + � 4 0 2 0 0 2 0 0 T g t e dt i t T ( , )� � . Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâ (10), (11) ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà lim ( ) lim ( ) \| \| T T T T T i iQ Q A c �� 0 0 2 24 0 . Ëåììà äîêàçàíà. Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå Ò T i � � 0 0 0� � � � � � � � � � ïðè T � � . Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2 èçâåñòíî, ÷òî ïðè T � � ïðà- âàÿ ÷àñòü (11) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òîãäà ïðè T � � ñ âå- ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà 2 20 0 2 0 0 0 0 T g t e dt T g t e dt i t T i t T Ò i( , ) ( , )� �� 2 0 . (12) Ðàññìîòðèì lim ( , ) \| \| lim T i t T i TT g t e dt A c e Ò �� 2 40 0 2 0 2 2 0 � � i T i Ò Ò i T ( ) ( ) � � � � � � � 0 0 0 1 0 2 . Ïîñêîëüêó � 0 0� è �T � 0 , ñ ó÷åòîì ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñîîòíîøå- íèå (12) ñïðàâåäëèâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè T � � e T i T i Ò Ò i( ) ( ) � � � � � � � � � �� 0 0 0 1 1 0 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 171 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èëè, ÷òî òî æå, sin( ) ( ) � � � � i Ò i Ò T T 0 0 0 0 1 � � � ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà T T i � � 0 0 0� � � � � � � � � � ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçà- íà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè îöåíêè ~�T ê åå èñòèííîìó çíà÷åíèþ. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà âåëè÷èíà ~ \| \|A cT i� ��1 2 0 1 �Q T T 1 2/ ( )� ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà A0 ïðè T � � . Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàåò èç ëåììû 2. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Àíàíüºâà Î.Î. , ²âàíîâ Î.Â. Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íàéìåíøèõ ìîäóë³â ïàðàìåòðà íåë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ // Íàóê. â³ñò³ ÍÒÓÓ «ÊÏ²». Òåîðåò. òà ïðèêë. ïðîáë. ô³ç.-ìàò. íàóê. — 2009. — Âèï. 3. — Ñ. 138–142. 2. Á ³ ë à Ã . Ä . Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ó ìîäåëÿõ ³ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü: Çá. íàóê. ïðàöü. — Êè¿â: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ìåí³ Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2012. — Ñ. 36–41. 3. Æ ó ð à ê î â ñ ü ê è é Á . Ì . , ² â à í î â Î . Â . Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ïàðàìåòð³â ñóìè ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü ó ìîäåëÿõ ³ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Íàóê. â³ñò³ ÍÒÓÓ «ÊÏ²». Òåîðåò. òà ïðèêë. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. — 2010. — Âèï. 4. — Ñ. 60–66. 4. ² â à í î â Î . Â . , Æ ó ð à ê î â ñ ü ê è é Á . Ì . Âëàñòèâîñò³ ïåð³îäîãðàìíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ó ìîäåëÿõ ðåãðåñ³¿ ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Òàì æå. — 2012. — ¹ 4 (84). — Ñ. 59–65. 5. B e r a n J . Statistics for long-memory processes. — New York: Chapman & Hall, 1994. — 315 p. 6. È â à í î â À . Â . , Ë å î í å í ê î Í . Í . Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ñëó÷àéíûõ ïîëåé. — Ê.: Âèùà øê., 1986. — 216 ñ. 7. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ïðè íàëè÷èè øóìà. ² // Êèáåðíåòèêà. — 1984. — ¹ 6. — Ñ. 83–87, 98. Ïîñòóïèëà 14.01.2013 172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4

Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом

Institution

Ähnliche Einträge