Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом
Запропоновано метод ідентифікації параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Досліджено періодограмні оцінки та доведено їх строгу конзистентність при умові, що шум є функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю, а функція регресії майже періодична. We pro...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86263 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом / П.С. Кнопов, Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 163-172. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859706287633203200 |
|---|---|
| author | Кнопов, П.С. Била, Г.Д. |
| author_facet | Кнопов, П.С. Била, Г.Д. |
| citation_txt | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом / П.С. Кнопов, Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 163-172. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Запропоновано метод ідентифікації параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Досліджено періодограмні оцінки та доведено їх строгу конзистентність при умові, що шум є функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю, а функція регресії майже періодична.
We propose a method to identify the parameters of the “signal plus noise” nonlinear regression model. We investigate the periodogram estimates and prove their strong consistency provided that the noise is a functional of a stationary Gaussian process with long-range dependence and the regression function is almost periodic.
|
| first_indexed | 2025-12-01T03:24:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Ï.Ñ. ÊÍÎÏÎÂ, Ã.Ä. ÁÈËÀ
ÏÅÐÈÎÄÎÃÐÀÌÌÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ Â ÌÎÄÅËßÕ
ÍÅËÈÍÅÉÍÎÉ ÐÅÃÐÅÑÑÈÈ Ñ ÑÈËÜÍÎÇÀÂÈÑÈÌÛÌ ØÓÌÎÌ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèëüíàÿ çàâèñèìîñòü, ïåðèîäîãðàììíàÿ îöåíêà, ãàóññîâñêèé
ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ, ñèëüíàÿ ñîñòîÿòåëüíîñòü.
 ïîñëåäíåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ ðîñòîì ïðèìåíåíèé âî ìíîãèõ åñòåñòâåííûõ è ñî-
öèàëüíûõ íàóêàõ âîçðîñ èíòåðåñ ê çàäà÷àì îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ, íåëèíåéíî
âõîäÿùèõ â ôóíêöèþ ðåãðåññèè èçâåñòíîãî âèäà. Ïîÿâèëîñü áîëüøîå êîëè÷åñ-
òâî ïóáëèêàöèé, â êîòîðûõ îöåíèâàþòñÿ ÷àñòîòû è àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé è ðàññìàòðèâàþòñÿ áîëåå îáùèå çàäà÷è îöåíèâàíèÿ íåëèíåéíîé
ôóíêöèè ðåãðåññèè, èñêàæåííîé ñëó÷àéíûì øóìîì, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïðîöåñ-
ñîì ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ. Ñðåäè íèõ ñëåäóåò îòìåòèòü ðàáîòû [1–4], â êîòî-
ðûõ èññëåäîâàíû ìåòîäû íàèìåíüøèõ ìîäóëåé, íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, à òàê-
æå äëÿ ðÿäà ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ òàê íàçûâàåìûå ïåðèîäîãðàììíûå îöåíêè óêàçà-
ííûõ âûøå ïàðàìåòðîâ.  äàííîé ñòàòüå èçó÷àþòñÿ àñèìòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà
ïåðèîäîãðàììíûõ îöåíîê íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîé ôóíê-
öèè â ðåãðåññèîííîé ìîäåëè «ñèãíàë ïëþñ øóì», ãäå øóì ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíà-
ëîì îò ãàóññîâñêîãî ñòàöèîíàðíîãî ïðîöåññà ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ.
Ðàññìîòðèì ðåãðåññèîííóþ ìîäåëü
y t g t t( ) ( , ) ( )� �� �0 , t T�[ , ]0 ,
ãäå g t À t( , ) ( ):� � �0
0 0� R R1 1� �� — èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò íå-
èçâåñòíîãî ïàðàìåòðà �0 �� , � �0
0 0� ( , )A , À0 0� , � 0 0� , � R 1— îãðà-
íè÷åííûé îòêðûòûé èíòåðâàë. Ñëó÷àéíûé øóì �( ) ( ( ))t G n t� , t R� 1, òàêîé,
÷òî E�( )0 0� , E�2 0 1( ) � .
 äàëüíåéøåì ïîòðåáóþòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëó-
÷àéíîãî ïðîöåññà n t( ) ôóíêöèé G è � .
1. Ïóñòü { } { }n t t R n t( ), ( )� �1 — äåéñòâèòåëüíûé íåïðåðûâíûé â ñðåäíåì
êâàäðàòè÷åñêîì ñòàöèîíàðíûé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ ñèëüíîé çàâèñèìîñòüþ
(äëèííîé ïàìÿòüþ) [5], ñ En t( ) � 0 è êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèåé B t( ) :
B t n( ) ( ( )� cov 0 , n t
t
( ))
( )
�
�
1
1 2 � � �
, 0 1
� , t R� 1.
2. Íåëèíåéíàÿ áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ G R R: 1 1� òàêîâà, ÷òî
G u u du2 ( ) ( )�
�
��
�
, ãäå �
( ) /u e u� �1
2
2 2 , u R� 1.
Ïðè óñëîâèè 2 ôóíêöèþ G u( ) , u R� 1, ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä
G u
C
k
H uk
k
k( )
!
( )�
�
�
�
0
, C G u H u u duk k�
��
�
( ) ( ) ( )� , k � 0, 1, ... ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 163
© Ï.Ñ. Êíîïîâ, Ã.Ä. Áèëà, 2013
ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì ×åáûøåâà–Ýðìèòà
H u e
d
du
ek
k u
k
k
u( ) ( ) / /� � �1
2 22 2 , k � 0, 1, ... ,
â ïðîñòðàíñòâå L R u du2
1( , ( ) )� .
3. Ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî m � 1 òàêîå, ÷òî C Cm1 1 0� � ��� , Cm � 0 — êî-
ýôôèöèåíòû ïðè ðàçëîæåíèè ôóíêöèè G u( ) , u R� 1, ïî ïîëèíîìàì ×åáûøåâà–
Ýðìèòà. Öåëîå ÷èñëî m � 1íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâûì ðàíãîì ôóíêöèè G u( ) , u R� 1.
4. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíà ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ � ( )t âèäà
�
( )t c ek
i t
k
k�
���
�
� .
Äëÿ âåëè÷èí ck è
k âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
| |ck
k���
�
�
� ,
k � 0 ïðè k � 0 ,
ñ ñk k� � ,
k k� � � , | |
l k� � �� 0 ïðè l k� ,
| | | |ñ ñi i0
� ïðè i i� � 0 , i0 0� .
Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îöåíêå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà � �0
0 0� ( , )A ïî ðåçóëüòà-
òàì íàáëþäåíèé { }y t t T( ),0 � � â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äëèíà èíòåðâàëà T � � . Äëÿ
îöåíêè ïàðàìåòðà �0 �� áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðèîäîãðàììíûå îöåíêè.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë
Q
T
y t e dtT
i t
T
( ) ( )� ��
�
�
�
�
�
�
2
0
2
, � � 0 .
Ïåðèîäîãðàììíîé îöåíêîé �Ò äëÿ ÷àñòîòû � 0 íàçîâåì òî çíà÷åíèå � � 0 ,
ïðè êîòîðîì ôóíêöèÿ QT ( )� ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå íà [ , )0 � . Îöåíêîé
äëÿ À0 ìîæåò ñëóæèòü âåëè÷èíà À QÒ T T�
1
2 ( )� , èëè, êàê ïîêàçàíî íèæå, â ñëó-
÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 4 ïåðèîäîãðàììíàÿ îöåíêà
~
ÀT äëÿ àìïëèòóäû À0 îïðå-
äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
~
| | ( )A c QT i T T� �1
2 0
1
21 � .
 äàëüíåéøèõ äîêàçàòåëüñòâàõ áóäåò èñïîëüçîâàíà äèàãðàììíàÿ ôîðìó-
ëà [6]. Äàäèì íåîáõîäèìûå îáúÿñíåíèÿ.
Íàçîâåì äèàãðàììîé ïîðÿäêà ( , , )l lp1 � ãðàô � ñ ( )l lp1 � �� âåðøèíàìè,
åñëè:
— ìíîæåñòâî âåðøèí V ãðàôà � èìååò âèä V Wj
j
p
�
�1
� , ãäå W j lj � {( , ):
1 � �l l j } — j-é óðîâåíü ãðàôà �, 1 � �j p (äëÿ l j � 0 ñ÷èòàåì Wj � �);
— êàæäàÿ âåðøèíà èìååò ñòåïåíü 1;
— åñëè (( , ), ( , ))j l j l1 1 2 2 ��, òî j j1 2� , ò.å. ðåáðà ãðàôà � ìîãóò ïðîõîäèòü
òîëüêî ìåæäó ðàçíûìè óðîâíÿìè.
Ïóñòü T T l lp� ( , , )1 � — ìíîæåñòâî äèàãðàìì � ïîðÿäêà ( , , )l lp1 � . Îáîçíà-
÷èì R V( ) ìíîæåñòâî ðåáåð ãðàôà � �T . Äëÿ ðåáðà � � �(( , ), ( , )) ( )j l j l R V1 1 2 2 ,
164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
j j1 2
, ïîëîæèì d j1 1( )� � , d j2 2( )� � . Íàçîâåì äèàãðàììó � ðåãóëÿðíîé, åñëè
åå óðîâíè ìîãóò áûòü ðàçáèòû íà ïàðû òàê, ÷òî íè îäíî ðåáðî íå ïðîõîäèò ìåæ-
äó óðîâíÿìè, ïðèíàäëåæàùèìè ðàçëè÷íûì ïàðàì. Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ äèà-
ãðàìì îáîçíà÷èì T T l lp
* ( , , )� 1 � . Åñëè p íå÷åòíî, òî T * � � . Åñëè äèàãðàììà
� �T T\ * , òî îíà íàçûâàåòñÿ íåðåãóëÿðíîé.
Ïóñòü ( , , )� �1 � p , p � 2 , — ãàóññîâñêèé âåêòîð ñ íóëåâûì ñðåäíèì,
� �� �i j B i j( , ) , i j p, , ...,�1 , à H x H xl lp1
( ), ..., ( ) — ïîëèíîìû ×åáûøåâà–Ýðìèòà
ïîðÿäêà ( , , )l lp1 � . Òîãäà äèàãðàììíàÿ ôîðìóëà èìååò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
� ��H B d dl j
j
p
R VT
j
( ) ( ( ), ( ))
( )
� � �
�1
1 2
�
, (1)
ãäå T T l lp� ( , , )1 � .
Ëåììà 1. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–4, òî
� �
�
�( ) sup ( )T
T
t e dt
R
i t
T
�
�
�
�
�
�
��
�
1
1
0
0
, T � � ,
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âåëè÷èíó
1 1
0
2
2
00
T
t e dt
T
t s e dtdsi t
T
i t s
T
� � �� �( ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
� � �
T
�
� � � �
�
1 1
2
00
2T
s u s e dsdu
T
s u s e dsi u
T uT
i u� � � �� �( ) ( ) ( ) ( )
u
T
T
du T T
�
� �
0
1 2
( ) ( ) .
Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî � � �| | ( | | ) /x x 2 1 2 äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû z s u s ds
T u
� �
�
� �( ) ( )
0
, íàõîäèì
� � � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
sup
�
� �
R
T uT
T T s u s ds du T
1
1
2
00
| ( )| ( ) ( ) �
2
0
1
2! ( )u du
T
,
ãäå !( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]u s u s t u t dsdt
T uT u
� � � �
��
� � � �
00
.
Ó÷èòûâàÿ äèàãðàììíóþ ôîðìóëó (1) è ðàçëîæåíèå ôóíêöèè �( ) ( ( ))t G n t�
â ðÿä ïî ïîëèíîìàì ×åáûøåâà–Ýðìèòà, ïîëó÷àåì
!( ) [ ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))]u G n s u G n s G n t u G n t ds
T uT
� � � �
��
00
u
dt
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
"
#��
�
�
�� �
C
l
H n
l
jjl l l l
l j
j
j
j!
( )
, , , 1
4
1 1
4
1 2 3 4
$
$
%
&
'
'
�
��
dsdt
T uT u
00
�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
��
C
l
B d d
l
jjl l l l
j
!
( ( ), ( ))
, , , 1
4
1
1 2
1 2 3 4
� �
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
"
#
$
$
%
&
'
'R V
T uT u
T
dsdt
( )00�
, (2)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 165
ãäå ( , , , ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))n n n n n s u n s n t u n t1 2 3 4 � � � , � �T l l l l* ( , , , )1 2 3 4 , à äèàãðàì-
ìíóþ ôîðìóëó ïðèìåíÿåì äëÿ p � 4 . Òîãäà èìååì òðè ðàçíûõ ðàçáèåíèÿ
óðîâíåé ( , , , )1 2 3 4 íà ïàðû: à) ( , ), ( , )1 2 3 4 ; á) ( , ), ( , )1 3 2 4 ; â) ( , ), ( , )1 4 2 3 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîùíîñòü óðîâíåé ïåðâîé ïàðû êàæäîãî ðàçáèåíèÿ ðàâíà
r( )1 , à ìîùíîñòü óðîâíåé âòîðîé ïàðû r( )2 , ãäå r( )1 , r( )2 — ïîðÿäêè ïîëèíîìîâ
×åáûøåâà–Ýðìèòà â ëåâîé ÷àñòè äèàãðàììíîé ôîðìóëû (1). Òîãäà ïðîèçâåäåíèå
B d d
R V
( ( ), ( ))
( )
1 2� �
��
� (3)
äëÿ òðåõ ðàçáèåíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä: à) B ur r( ) ( ) ( )1 2� ; á) B s tr r( ) ( ) ( )1 2� � ;
â) B s t u B s t ur r( ) ( )( ) ( )1 2� � � � .
Ïîñêîëüêó èçâåñòíî, ÷òî r r( ), ( )1 2 1� , äëÿ ñëàãàåìûõ â ñóììå (2), êîòîðûå
ñîîòâåòñòâóþò âñåì ðåãóëÿðíûì äèàãðàììàì, íåîáõîäèìî îöåíèòü âåëè÷èíû:
�1
2
00
2 2( ) ( ) ( ) ( )u B u dsdt T u B u
T uT u
� � �
��
,
� 2
2
00
( ) ( )u B s t dsdt
T uT u
� �
��
,
� 3
00
( ) ( ) ( )u B s t u B s t u dsdt
T uT u
� � � � �
��
,
ò.å. äëÿ îöåíêè �
�
sup
�
R
T
1
1| ( )| íóæíî îöåíèòü èíòåãðàëû
1
2
0
1 2
T
u dui
T
� / ( )
, i �1 2 3, , .
Ðàññìîòðèì � 3 ( )u . Îáîçíà÷èâ b s t B s t u B s t uu ( ) ( ) ( )� � � � � � è âûïîëíèâ
â èíòåãðàëå � 3 ( )u çàìåíó ïåðåìåííûõ t
t
T
* � , s
s
T
* � , à çàòåì s t s* *� � , ïî-
ëó÷èì
� 3
2
0
1
0
1
( ) ( ( ))* * * *u T b T s t ds dtu
u
T
u
T
� � �
��
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
T
u
T
s
u
T
b Ts ds Tu
u
T
u
T
2
1
1
1 1
1
| |
( ) 2
1
1
1��
�
�
�
�
� �
�
u
T
b Ts dsu ( )
� ��
�
�
�
�
� � � �
"
#
$
$
%
&
'
'
�
T
u
T
B Ts u ds B Ts u ds2
0
1
1
0
1 ( ) ( ) .
Ïîñêîëüêó èç ÷åòíîñòè êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè B ñëåäóåò
B Ts u ds B Ts u ds( ) ( )� � �
�
1
0
0
1
,
èìååì
� 3
2
0
1
2 1( ) ( )u T
u
T
B Ts u ds� ��
�
�
�
�
� �
. (4)
166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Èç ñâîéñòâ ôóíêöèè B âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî � � 0 ïðè äîñòàòî÷íî áîëü-
øèõ T ïîëó÷àåì
B Ts u
Ts u s T s
B T( )
[ ( ) ] [ ]
( )� �
� �
�
�
� �1
1
1 1
1
1
2 2� � � � � � � �
� �
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
1 1
2 1
1 2 2
3
1
2 3
0
2
0
1
0
1 2
T
u du
T
T
u
T s
B T dsdu
T T
�
�
�
/ ( ) ( )
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
1 2
1 2
/
/ ( )B T .
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì îöåíêó äëÿ � 2 ( )u , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷à-
åì (4) ïðè u � 0 ïîä çíàêîì èíòåãðàëà:
� 2
2 2
0
1
22 1 2 1( ) ( ) ( )u T
u
T
B Ts ds T
u
T
B Ts d� ��
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
s
0
1
. (5)
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
1 2 2
3 12 2
0
1 2
1 2
1 2
T
u du B T
T
�
�
/
/
/( )
( )
( )
�
�
.
Èñïîëüçóÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ u
u
T
* � , ïîëó÷àåì
1 1
1
2 1
0
2
0 0
1
1 2
T
u du
T
T u B u du u B Tu
T T
� / ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *
� � � � du* �
�
� �
1
1 2( )( )
( )
� �
B T .
(6)
Èòàê, âñå ñëàãàåìûå â ñóììå (2), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðåãóëÿðíûì äèà-
ãðàììàì, ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè T � � .
Ðàññìîòðèì â ñóììå (2) ñëàãàåìûå ñ íåðåãóëÿðíûìè äèàãðàììàìè
� �T T\ * . Ïóñòü äèàãðàììà � �T T\ * ôèêñèðîâàíà. Òîãäà â ïðîèçâåäåíèè (3)
èìååì ìíîæèòåëü B s t( )� (ðåáðî ñîåäèíÿåò óðîâíè 1 è 2 èëè 3 è 4). Åñëè â äèà-
ãðàììå � íåò ðåáåð ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè, òî óðîâåíü 1 ñîåäèíÿåòñÿ ñ óðîâíåì 4,
óðîâåíü 2 — òîëüêî ñ óðîâíåì 3, à � ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé äèàãðàììîé, ÷òî ïðî-
òèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ.
Ïîñêîëüêó B ( )0 1� , ïðîèçâåäåíèå (3) ìàæîðèðóåòñÿ èëè B u( ) , èëè B s t( )� .
Òîãäà àíàëîãè÷íî (5) è (6) ïîëó÷èì
1 4
2 42
0
1 2 1 2
T
T u B u du B T
T
( ) ( )
( )( )
( )/ /� �
� �
� �
,
1 2 2
3 12
000
1 2
1T
B s t dsdt du
T uT uT
( )
( )
/
/
�
"
#
$
$
%
&
'
'
�
�
��
� 2
1 2B T/ ( ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 167
Èç ïðåäûäóùèõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî �
�
sup
�
R
T
1
1| ( )| ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
T � � . Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî �
�
sup
�
R
T
1
2| ( )| ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè
T � � . Ïîýòîìó � ��2 0( )T ïðè T � � .
Ïîëàãàÿ T nn �
�1
�
, n � 1 , 0 1
� ,
�1 , ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî èìååò ìåñòî
ñîîòíîøåíèå
�
�
�
�
� �2
1
( )Tn
n
. (7)
Ó÷èòûâàÿ ëåììó Áîðåëÿ–Êàíòåëëè, èç (7) ïîëó÷àåì, ÷òî
�( )Tn
n
�
��
0 (8)
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
( � � �
� � �
n
T T T
n
n n
T Tsup
1
| ( ) ( )|� �
� �
� � ��
sup sup
T T T R
i t
T
n
i t
n n
T
t e dt
T
t e dt
1
1
1 1
0 0�
� �� �( ) ( )
Tn
�
�
��
�
�
���
� �
�
�
��
�
�
�� �
� � ��
sup sup
T T T R n
i t
T
n n
n
T T
t e dt
1
1
1 1 1
0�
��( )
T
t e dti t
T
T
n
� �( )
�
�
��
�
�
���
� �
�
�
��
�
�
�� � � ( � (
�
�
T
T
T
T
t dtn
n
n
T
T
n n
n
n
1
11
1 1
� �( ) | ( ) | ( ) (2) .
Ïîñêîëüêó
T
T n
n
n n�
�
��
� �
�
�
�
�
�
�
� �
1
1
1
1
1
1
�
, �( )Tn
n
�
��
0
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, òî ( �
��
n
n
( )1 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Ðàññìîòðèì
� ( � �
"
#
$
$
%
&
'
'
� �
�
[ ] | ( )| [ ( ( )( )
n
T
T
n
T
t dt
T
G n t
n
n
2 2
2
2
1 11
� ) ( ( ))]G n s dtds
T
T
T
T
n
n
n
n ��
�
11
�
�"
#
$
%
&
' � � ��
�
�
�
�
� �
"
#
$
$
$
�
�
T T
T
G n
n
n n
n
1
2
2
1
0 1
1
1[ ( ( ))]
�
%
&
'
'
'
�
2
2
K
n
, K � const.
Òàê êàê � (
�
�
�
� [ ]( )
n
n
2 2
1
, â ñèëó ëåììû Áîðåëÿ–Êàíòåëëè âåëè÷èíà ( �
��
n
n
( )2 0
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ò.å. ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
( �
��
n
n
0 . (9)
168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Èç ñîîòíîøåíèé (8), (9) è íåðàâåíñòâà
| ( ) | | ( )|� �T Tn n� �(
ñëåäóåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà âåëè÷èíà ~�
�
T
T
i
�
0
ÿâëÿåò-
ñÿ ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà � 0 ïðè T � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå âåëè÷èíû QT ( )� ïðè ëþáîì ôèê-
ñèðîâàííîì � � 0 , T � � :
Q
T
g t t e dt
T
g t eT
i t
T
i( ) [ ( , ) ( )] ( , )� � � ��� �
�
�
�
�
�
� �
2 20
0
2
0 � ��t
T
Tdt I
0
2
�
�
�
�
�
� � ( ,
ãäå I
T
t e dt
T
g t e dtT
i t
T
i t
T
( ) ( ) Re ( , )� � �� ��
�
�
�
�
�
� �
2
2
4
0
2
2
0
0
�� �( )t e dti t
T
0
.
Èç óñëîâèÿ 4 ëåãêî âèäåòü, ÷òî
1 0
0
T
g t e dt Ñi t
T
( , )� �
�
�
�
�
�
� � , 0
�Ñ .
Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà sup| ( )|
�
�IT �0 ïðè
T � � .
Ïóñòü !Ò
i t
T
T
g t e dt( , ) ( , )� � � �0 0
0
2�
. Òîãäà, ñ ó÷åòîì âèäà ôóíêöèè
g t( , )�0 , t R� 1 , ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
!Ò k
k
i t
T
A
T
c e dtk( , )
(� �
� ����0 0
0
2
�
���
�
�
.
Ïóñòü 0
2
0
�
��
è | |
� � �i0 0 � � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî k i�
èìååò ìåñòî | |
� � �k 0 � � . Òîãäà äëÿ ëþáîãî l k� ñïðàâåäëèâî
| | | ( )
� �
� �l k0 0� � � � ( ) |
� �
� �l k l k� � � ��
�
� �
�
�� �0 0 0
1
2
1
2
� � . Ó÷èòû-
âàÿ óñëîâèå 4 è ëåììó 1, èìååì
lim ( ) lim
| | | |
T
T
T
i i
Q
�� �
� �
�� �
�
�sup sup
�
� � �
�
� �
�
0 0
0 0 0 0 �
�
�
� �| ( , )|!T
0 2
�
"
#
$
$
%
&
'
'�� �
� �
lim ( , )
| |
T
i t
T
i
T
g t e dtsup
�
� � �
��
0
0
0
0 0
2 �
�
�� �
� �
�
���
�
�lim
| |
( )
T
k
i t
k
i
k
À
T
c e dtsup
�
� � �
� �
0
0
0
0 0
0
2
T
"
#
$
$
%
&
'
'
�
2
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 169
�
�� �
� �
��
�
lim max | |
| |
(
T k i
k
i
i
kÀ c
T
esup
�
� � �
�
0
0
2 2
0 0
0
0
2 �)t
T
dt
0
2
�
�
�
�
�
�
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
)
*
+
,
+
-
.
+
/
+
�
�
��
4 4
0
2 2
0
2 2
0
0
À c À c
k i
k imax | | | | . (10)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî lim ( ) | | .
T
T i iQ À c
��
�
�
0 00 0
2 24
Òåïåðü ñèëüíóþ ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè ~�Ò äîêàçûâàåì ìåòîäîì îò ïðîòèâ-
íîãî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1 â ðàáîòå [7].
Ïîêàæåì, ÷òî ~� �Ò � 0 ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïóñòü � � { }e —
ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé,
0 � {e, lim ( )
T
TQ
�� �
sup
� �
�
!
lim ( )
T
T iQ L
��
�
�
0 0 , L
�} ,
ãäå !� �
� � �� � �{ }: i0 0 , �
�
� 0
2
.
 ñèëó ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé 1 �{ }0 1 . Òîãäà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
02 � �{e T, ~ / ,� � 0 T � �} . Âûáåðåì ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå å � 30 01 . Äëÿ
íåãî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü T ek ( ) � � ïðè k � � òàêàÿ, ÷òî
~ ( ) ~ ( )( )� � �Ò ek
e e� 4 � 0 .
Âîçüìåì � �
�
�
( ) min | ~ ( ) | ,e e i
4 ��
�
��
�
�
��0 0
0
2
�
. Òîãäà â ñèëó òîãî, ÷òî
lim ( ) lim (
( )
( )
( )
( )
( )
k T e
e
k T e
e
i
e
k k
Q Q
�� � ��
sup
� �
�
�
!
0 0 ) ,
èìååò ìåñòî
lim ( ( )) lim
( )
( )
( )
( ) ( )
(
k T e
e
T e
k T e
e
k k k
Q e Q
�� � ��
sup
� �
�
!
e
i
) ( )
�
0 0 ,
ïðè÷åì
lim ( )
( )
( )
k T e
e
iQ L
k��
�
�
0 0 , ãäå L Q e
k T e
e
T e
k k
�
��
lim ( ( ))
( )
( )
( )� .
Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, 1 �{ }01 0 è ~� �T � 0 ïðè T � �
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ëåììà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
lim ( ) lim ( ) | |
T T T
T T i iQ Q A c
�� ��
� ��
�
0 00 0
2 24 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ îöåíêè �Ò èçâåñòíî, ÷òî
Q Q
T T T i( ) ( )�
��
0 0 , ïîýòîìó
0
0 00 0� � � � �Q Q I I
T T T i T T T i( ) ( ) ( ) ( )�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 4
2
0
0
2
2
0
0
0 0
T
g t e dt
T
g t e dt
i t
T
i t
Ò i( , ) ( , )� ��
�
T
�
�
�
�
�
�
2
. (11)
170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
Èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî IT ( )� � 0 ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.
Òîãäà ïðè 0
2
0
�
��
èìååì
lim sup ( , ) ( , )
T
i t
T
T
g t e dt
T
g t e
�� �
�
�
�
�
�
� �4 4
2
0
0
0
2
2
0
�
�� �
i t
T
i dt
�
0 0
0
2
�
�
�
�
�
�
)
*
+
,
+
-
.
+
/
+
�
�
�
�
�
�
�� � �
�
lim max sup ( , )
| |T
i t
T
T
g t e dt
i
4
2
0
0
00 0
� � �
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
)
*
+
,
+
-
�
�
2
0
0
0
2
0 0
, sup ( , )
| |
� � �
�
��
i
g t e dti t
T
.
+
/
+
�
)
*
++
,
+
+
�
�
�
�
�
�
�
-
.
+
/
+
�
4
0
2
0
0
2
0 0
T
g t e dt
i t
T
( , )�
�
.
Òàêèì îáðàçîì, íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâ (10), (11) ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñ
âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
lim ( ) lim ( ) | |
T T T
T
T i iQ Q A c
�� ��
� ��
� 0 0
2 24
0
.
Ëåììà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
Ò T
i
�
�
0
0 0�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ïðè T � � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2 èçâåñòíî, ÷òî ïðè T � � ïðà-
âàÿ ÷àñòü (11) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òîãäà ïðè T � � ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà
2 20
0
2
0
0
0 0
T
g t e dt
T
g t e dt
i t
T
i t
T
Ò i( , ) ( , )� ��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
2
0 . (12)
Ðàññìîòðèì
lim ( , ) | | lim
T
i t
T
i
TT
g t e dt A c
e
Ò
�� ��
�
�
�
�
�
� �2
40
0
2
0
2 2
0
� �
i T
i Ò
Ò i
T
( )
( )
�
�
� �
�
�
�
0 0
0
1
0
2
.
Ïîñêîëüêó � 0 0� è �T � 0 , ñ ó÷åòîì ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñîîòíîøå-
íèå (12) ñïðàâåäëèâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè T � �
e
T
i T
i Ò
Ò i( )
( )
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
���
0 0
0
1
1
0
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4 171
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èëè, ÷òî òî æå,
sin( )
( )
� �
� �
i Ò
i Ò
T
T
0
0
0
0
1
�
�
� ïðè T � �
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ïîñëåäíåå âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
T T
i
�
�
0
0 0�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ïðè T � � ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçà-
íà ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè îöåíêè ~�T ê åå èñòèííîìó çíà÷åíèþ.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1–4. Òîãäà âåëè÷èíà
~
| |A cT i� ��1
2 0
1
�Q
T T
1 2/ ( )� ÿâëÿåòñÿ ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé ïàðàìåòðà A0 ïðè T � � .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 î÷åâèäíûì îáðàçîì âûòåêàåò èç ëåììû 2.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àíàíüºâà Î.Î. , ²âàíîâ Î.Â. Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íàéìåíøèõ ìîäóë³â ïàðàìåòðà íåë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿
// Íàóê. â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». Òåîðåò. òà ïðèêë. ïðîáë. ô³ç.-ìàò. íàóê. — 2009. — Âèï. 3. — Ñ. 138–142.
2. Á ³ ë à à . Ä . Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ó ìîäåëÿõ ³ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì //
Òåîð³ÿ îïòèìàëüíèõ ð³øåíü: Çá. íàóê. ïðàöü. — Êè¿â: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ìåí³ Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ
Óêðà¿íè, 2012. — Ñ. 36–41.
3. Æ ó ð à ê î â ñ ü ê è é Á . Ì . , ² â à í î â Î .  . Êîíçèñòåíòí³ñòü îö³íêè íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ïàðàìåòð³â
ñóìè ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü ó ìîäåëÿõ ³ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Íàóê. â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». Òåîðåò.
òà ïðèêë. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. — 2010. — Âèï. 4. — Ñ. 60–66.
4. ² â à í î â Î .  . , Æ ó ð à ê î â ñ ü ê è é Á . Ì . Âëàñòèâîñò³ ïåð³îäîãðàìíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â
ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ó ìîäåëÿõ ðåãðåñ³¿ ç ñèëüíî çàëåæíèì øóìîì // Òàì æå. — 2012. — ¹ 4
(84). — Ñ. 59–65.
5. B e r a n J . Statistics for long-memory processes. — New York: Chapman & Hall, 1994. — 315 p.
6. È â à í î â À .  . , Ë å î í å í ê î Í . Í . Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ñëó÷àéíûõ ïîëåé. — Ê.: Âèùà øê., 1986.
— 216 ñ.
7. Ê í î ï î â Ï . Ñ . Îöåíèâàíèå íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ïðè íàëè÷èè
øóìà. ² // Êèáåðíåòèêà. — 1984. — ¹ 6. — Ñ. 83–87, 98.
Ïîñòóïèëà 14.01.2013
172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86263 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T03:24:24Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кнопов, П.С. Била, Г.Д. 2015-09-11T17:15:42Z 2015-09-11T17:15:42Z 2013 Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом / П.С. Кнопов, Г.Д. Била // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 163-172. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86263 519.21 Запропоновано метод ідентифікації параметрів нелінійної моделі регресії «сигнал плюс шум». Досліджено періодограмні оцінки та доведено їх строгу конзистентність при умові, що шум є функціоналом від гауссівського стаціонарного процесу із сильною залежністю, а функція регресії майже періодична. We propose a method to identify the parameters of the “signal plus noise” nonlinear regression model. We investigate the periodogram estimates and prove their strong consistency provided that the noise is a functional of a stationary Gaussian process with long-range dependence and the regression function is almost periodic. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом Періодограмні оцiнки в моделях нелінійної регресії з сильнозалежним шумом Periodogram estimates in the nonlinear regression models with strongly dependent noise Article published earlier |
| spellingShingle | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом Кнопов, П.С. Била, Г.Д. Системный анализ |
| title | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом |
| title_alt | Періодограмні оцiнки в моделях нелінійної регресії з сильнозалежним шумом Periodogram estimates in the nonlinear regression models with strongly dependent noise |
| title_full | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом |
| title_fullStr | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом |
| title_full_unstemmed | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом |
| title_short | Периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом |
| title_sort | периодограммные оценки в моделях нелинейной регрессии с сильнозависимым шумом |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86263 |
| work_keys_str_mv | AT knopovps periodogrammnyeocenkivmodelâhnelineinoiregressiissilʹnozavisimymšumom AT bilagd periodogrammnyeocenkivmodelâhnelineinoiregressiissilʹnozavisimymšumom AT knopovps períodogramníocinkivmodelâhnelíníinoíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT bilagd períodogramníocinkivmodelâhnelíníinoíregresíízsilʹnozaležnimšumom AT knopovps periodogramestimatesinthenonlinearregressionmodelswithstronglydependentnoise AT bilagd periodogramestimatesinthenonlinearregressionmodelswithstronglydependentnoise |