Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом

Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом

Для загальної моделі сформульовано алгоритм моделювання «поправок», якщо експоненціальні розподіли замінити неекспоненціальними. Цей алгоритм використано для оцінки відхилення стаціонарних ймовірностей станів системи GI/G/m/r від відповідних ймовірностей системи M/M/m/r. Наведено чисельний приклад....

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2013
Автори: Кузнецов, Н.Ю., Шумская, А.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2013
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86270
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом / Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86270
record_format dspace
spelling Кузнецов, Н.Ю.
Шумская, А.А.
2015-09-11T19:58:48Z
2015-09-11T19:58:48Z
2013
Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом / Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86270
519.872
Для загальної моделі сформульовано алгоритм моделювання «поправок», якщо експоненціальні розподіли замінити неекспоненціальними. Цей алгоритм використано для оцінки відхилення стаціонарних ймовірностей станів системи GI/G/m/r від відповідних ймовірностей системи M/M/m/r. Наведено чисельний приклад.
An algorithm intended for the simulation of “corrections” to characteristics of a general model when exponential distributions are substituted by nonexponential distributions is proposed. This algorithm is used to evaluate the deviation of steady-state probabilities of system GI/G/m/r from steady-state probabilities of system M/M/m/r. A numerical example is given.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
Оцінка відхилення стаціонарних ймовірностей станів системи GI/G/m/r від ймовірностей станів системи M/M/m/r аналітико-статистичним методом
Evaluation of the deviation of steady-state probabilities of system GI/G/m/r from steady-state probabilities of system M/M/m/r by an analytical-statistical method
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
spellingShingle Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
Кузнецов, Н.Ю.
Шумская, А.А.
Системный анализ
title_short Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
title_full Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
title_fullStr Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
title_full_unstemmed Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом
title_sort оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы gi/g/m/r от вероятностей состояний системы m/m/m/r аналитико-статистическим методом
author Кузнецов, Н.Ю.
Шумская, А.А.
author_facet Кузнецов, Н.Ю.
Шумская, А.А.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2013
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
title_alt Оцінка відхилення стаціонарних ймовірностей станів системи GI/G/m/r від ймовірностей станів системи M/M/m/r аналітико-статистичним методом
Evaluation of the deviation of steady-state probabilities of system GI/G/m/r from steady-state probabilities of system M/M/m/r by an analytical-statistical method
description Для загальної моделі сформульовано алгоритм моделювання «поправок», якщо експоненціальні розподіли замінити неекспоненціальними. Цей алгоритм використано для оцінки відхилення стаціонарних ймовірностей станів системи GI/G/m/r від відповідних ймовірностей системи M/M/m/r. Наведено чисельний приклад. An algorithm intended for the simulation of “corrections” to characteristics of a general model when exponential distributions are substituted by nonexponential distributions is proposed. This algorithm is used to evaluate the deviation of steady-state probabilities of system GI/G/m/r from steady-state probabilities of system M/M/m/r. A numerical example is given.
issn 0023-1274
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86270
citation_txt Оценка отклонения стационарных вероятностей состояний системы GI/G/m/r от вероятностей состояний системы M/M/m/r аналитико-статистическим методом / Н.Ю. Кузнецов, А.А. Шумская // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 51-60. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kuznecovnû ocenkaotkloneniâstacionarnyhveroâtnosteisostoâniisistemygigmrotveroâtnosteisostoâniisistemymmmranalitikostatističeskimmetodom
AT šumskaâaa ocenkaotkloneniâstacionarnyhveroâtnosteisostoâniisistemygigmrotveroâtnosteisostoâniisistemymmmranalitikostatističeskimmetodom
AT kuznecovnû ocínkavídhilennâstacíonarnihimovírnosteistanívsistemigigmrvídimovírnosteistanívsistemimmmranalítikostatističnimmetodom
AT šumskaâaa ocínkavídhilennâstacíonarnihimovírnosteistanívsistemigigmrvídimovírnosteistanívsistemimmmranalítikostatističnimmetodom
AT kuznecovnû evaluationofthedeviationofsteadystateprobabilitiesofsystemgigmrfromsteadystateprobabilitiesofsystemmmmrbyananalyticalstatisticalmethod
AT šumskaâaa evaluationofthedeviationofsteadystateprobabilitiesofsystemgigmrfromsteadystateprobabilitiesofsystemmmmrbyananalyticalstatisticalmethod
first_indexed 2025-11-24T21:10:42Z
last_indexed 2025-11-24T21:10:42Z
_version_ 1850497660550643712
fulltext ÓÄÊ 519.872 Í.Þ. ÊÓÇÍÅÖÎÂ, À.À. ØÓÌÑÊÀß ÎÖÅÍÊÀ ÎÒÊËÎÍÅÍÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌÛ GI G m r/ / / ÎÒ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌÛ M M m r/ / / ÀÍÀËÈÒÈÊÎ-ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÌ ÌÅÒÎÄÎÌ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé, àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä, ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà, äèñïåðñèÿ îöåíîê. Ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü â ïîñòðîåíèè êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê áëèçîñòè ïîêàçàòåëåé ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâà- íèÿ ñèñòåì ñ íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþùèìèñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè (òàêèå îöåíêè åùå íàçûâàþò îöåíêàìè íåïðåðûâíîñòè èëè óñòîé÷èâîñòè). Åñëè ïðè ýòîì èñ- êîìûå ïîêàçàòåëè îäíîé èç ñèñòåì âû÷èñëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêè, òî, ðàññ÷èòûâàÿ «ïîïðàâêè», ìîæíî äîñòè÷ü âûñîêîé òî÷íîñòè è äëÿ ïîêàçàòåëåé äðóãîé ñèñòå- ìû. Áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿëîñü ðàçâèòèþ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ [1–7]. Ñðå- äè ïîñëåäíèõ ðàáîò, íàïðàâëåííûõ íà ðàçâèòèå êîëè÷åñòâåííûõ ìåòîäîâ îöåíêè íåïðåðûâíîñòè è óñòîé÷èâîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì è ñåòåé ìàññîâîãî îáñëó- æèâàíèÿ, îòìåòèì [8–12].  òî æå âðåìÿ èõ ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå îãðàíè÷å- íî êàê ñëîæíîñòüþ ðåàëüíûõ ñèñòåì, òàê è íåäîñòàòî÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ ïîëó÷àåìûõ îöåíîê.  èíæåíåðíîé ïðàêòèêå íàèáîëåå øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èë ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî), îñíîâàííûé íà èìèòàöèîííîì ìîäåëèðîâàíèè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû è âû÷èñëåíèè òðåáóåìûõ ïîêàçàòåëåé ïóòåì óñðåäíåíèÿ ôóíêöèîíàëîâ îò òðàåêòîðèé ñèñòåìû. Îäíàêî äàííûé ïîäõîä íåïðèãîäåí äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ñ íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþùèìèñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè. Âåñüìà ïëîäîòâîðíîé îêàçàëàñü èäåÿ ñîâìåñòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ àíàëè- òè÷åñêîãî è ñòàòèñòè÷åñêîãî ïîäõîäîâ: âíà÷àëå äëÿ ðàçíîñòè èñêîìûõ õàðàêòåðèñòèê íàõîäÿò àíàëèòè÷åñêóþ ôîðìóëó, â êîòîðóþ âõîäÿò íåêîòîðûå ïàðàìåòðû, íå âû÷èñëÿþùèåñÿ â ÿâíîì âèäå; çàòåì ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñòðîÿò íåñìåùåííûå îöåíêè äëÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ è ïîäñòàâëÿþò èõ â àíàëèòè÷åñêóþ ôîðìóëó. Ïîäîáíûå ìåòîäû íàçûâàþòñÿ àíàëèòèêî- ñòàòèñòè÷åñêèìè. Äàííàÿ èäåÿ áûëà ðåàëèçîâàíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîëè÷å- ñòâåííûõ îöåíîê íåïðåðûâíîñòè öåïåé Ìàðêîâà îáùåãî âèäà [13, 14] (ñì. òàêæå [15]). Ïðèìåíåíèå àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêîãî ìåòîäà [9] ê âû÷èñëåíèþ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû GI G n/ / / 0, ó êîòîðîé âõîäÿùèé ïîòîê òðåáîâàíèé â îïðåäåëåííîì ñìûñëå áëèçîê ê ïóàññîíîâñêîìó, ðàññìîòðåíî â [16].  òåîðèè íàäåæíîñòè è òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå èãðàåò îñîáóþ ðîëü. Èìåííî ýêñïîíåíöèàëüíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òåõ èëè èíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÷àñòî ÿâëÿåòñÿ ðåøàþùèì ôàêòîðîì äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÿâíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôîðìóë. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ââåäåíèå è èññëåäîâàíèå ïîíÿòèÿ áëèçîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ýêñïîíåíöèàëüíîå è íåýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèÿ.  íàñòîÿùåé ñòàòüå äàííîìó âîïðîñó óäåëÿåòñÿ áîëüøîå âíèìàíèå. Âíà÷àëå ïîäðîáíî ðàññìîòðåí ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 51 � Í.Þ. Êóçíåöîâ, À.À. Øóìñêàÿ, 2013 ïðèìåð, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà, ìîæåò ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ðàâíÿòüñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå (åñëè ïàðàìåòð ôîðìû ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå, òî óêàçàííàÿ âåðîÿòíîñòü òàêæå ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå). Çàòåì äëÿ äîñòàòî÷íî îáùåé ìîäåëè ïðèâåäåí àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ «ïîïðàâîê», åñëè ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ çàìåíèòü íåýêñïîíåíöèàëüíûìè. Ýòîò àëãîðèòì èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè îòêëîíåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû GI G m r/ / / îò õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû M M m r/ / / , êîòîðûå âû÷èñ- ëÿþòñÿ â ÿâíîì âèäå. Ïðåèìóùåñòâà ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà èëëþñòðèðóþòñÿ ÷èñëåííûì ïðèìåðîì. ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÂÅÉÁÓËËÀ ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÛÌ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÅÌ Íà ïðèìåðå ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà óòî÷íèì, î êàêîé àïïðîêñèìàöèè èäåò ðå÷ü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F x e x( ) � � �1 � , x � 0, � � 0 (îïðåäåëÿþùèé ìàñøòàá ìíîæèòåëü ïðåäïîëàãàåì ðàâíûì åäèíèöå). Ïîêàæåì, ÷òî èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå � � � �� h s( ; , , )0 1 � , (1) ãäå � � �0 1, , ,� s — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, P{ }� � 0 1� � � �x e x , x � 0, � � 0. Ïðè ýòîì P{ }� � � � 0 1 0. (2) Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ. 1. Ïóñòü � �1. Ýòî ñëó÷àé òàê íàçûâàåìîãî ñòàðåþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà îïàñíîñòü îòêàçà � � �( ) ( ) ( ) x f x F x x� � � � 1 1, x � 0, ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé (çäåñü f x( ) — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �). Îáîçíà÷èì x0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ � �( )x � , ò.å. x0 1 1 � � �� � �� �� � � . Êðîìå òîãî, îáîçíà÷èì � � ��1 0 1 0 0 0 ( ) , , , , x x x x x x � � � � � � � � � åñëè åñëè � � �1 1( ) ( )x x� � , x � 0 , à �1 è �1 — ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëÿåìûå îïàñíîñòÿìè îòêàçà �1 ( )x è �1 ( )x . Ïðè ýòîì � � �1 0 1� min ,{ }. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �1 èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ G x u du x x e x 1 1 0 0 1 0 0 1 ( ) exp ( ) , , � � � � � � �� � � � �� � � � � � �� åñëè [ ( )] , . x x x x x x � � �� � � � � � � �� 0 0 0åñëè Îáîçíà÷èì � 2 ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ G x u du u du x x 2 0 1 0 1 1 ( ) exp ( ) exp ( ) � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � �� � � � �� , x � 0, (3) 52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå G x e x x x x x 2 0 0 1 1 0 ( ) exp min , max , � � � � � � � � � � �{ { } { }} , x � 0 . Òîãäà � � � �� max , min ,{ { }}2 0 1 . (4) Ïàðàìåòð � ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèÿ P P{ } {{ } { }} {� � � � � �� � � � � � � �0 1 0 2 0 1 1 21 1� G x G x G x( ) [ ( )] [ ( )]} � �e dxx� � � � 0 � � � � �M{ }G G G1 0 1 0 2 01 1( ) [ ( )] [ ( )] min� � � � . ×èñëåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå �* ëåæèò â îêðåñòíîñòè åäèíèöû, ïðè÷åì � * 1 , åñëè � 1 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèì � � �1 1 n , n �1 2, , � Çíà÷åíèÿ P{ }� �� 0 ïðè � �� * è � �1 ïðè ðàçëè÷íûõ n ïðèâåäåíû â òàáë. 1. ×èñëåííûå äàííûå ïîêàçûâàþò, ÷òî çíà÷åíèÿ P{ }� �� 0 ïðè � �� * è � �1 îòëè÷àþòñÿ íåçíà÷èòåëüíî, ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü P{ }� �� 0 óáûâàåò ñ óáûâàíèåì �. Íåòðóäíî äîêàçàòü: åñëè ïîëîæèòü �* �1, òî P{ }� �� 0 0 ïðè � � �1 1, . Çàìå÷àíèå 1. Ôóíêöèÿ G x2 ( ), îïðåäåëÿåìàÿ ñîãëàñíî (3), äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòî âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé ëåììû. Ëåììà 1. Åñëè � 1 ( )x , x � 0, è � 2 0( ),x x � , — íåîòðèöàòåëüíûå èíòåãðèðóåìûå ôóíêöèè òàêèå, ÷òî � �1 2( ) ( )x x� , x � 0, è ôóíêöèÿ V x u du u du x x ( ) ( ) ( ) � � � � � 1 0 2 0 , x � 0, ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî íåóáûâàþùåé, òî W x u du u du x x ( ) exp ( ) exp ( ) � � � � � � �� � � � �� � � � � � 1 1 1 0 2 0 � � } }� � �� � � � �� , x � 0, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ (âîçìîæíî, íåñîáñòâåííîé). ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 53 n � * Çíà÷åíèå P{ }� �� 0 ïðè � �� * ïðè � � 1 1 1,13 0,6326 0,6339 5 1,07 0,2356 0,2405 10 1,04 0,1316 0,1353 Ò à á ë è ö à 1 Ïîñêîëüêó äîêàçàòåëüñòâî ëåììû íîñèò òåõíè÷åñêèé õàðàêòåð, ïðèâîäèòü åãî íå áóäåì. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî G2 0 0( ) � , G2 1( )� � . Î÷åâèäíî, ÷òî � �( ) ( )x x� 1 , x � 0. Êðîìå òîãî, ïðè � �1 ôóíêöèÿ � � � � � � ( ) ( ) min , max , u du u du x x x x x x x 0 1 0 0 0 0 � � � � �{ } { } ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ.  ñèëó óòâåðæäåíèÿ ëåììû G x2 ( ) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. 2. Ïóñòü 0 1� �� . Ýòî ñëó÷àé òàê íàçûâàåìîãî ìîëîäåþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êîãäà îïàñíîñòü îòêàçà ìîíîòîííî óáûâàåò. Òîãäà ôîðìóëà òèïà (4) íåïðèìåíèìà. Âîñïîëüçóåìñÿ äðóãèì ïîäõîäîì. Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó � ïðåäñòàâèì â âèäå � � � � � � � � � 0 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ ñ âåðîÿòíîñòüþ p q p , , ãäå � — íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à p�[ , ]0 1 — ñïåöèàëüíûì îáðàçîì ïîäîáðàííîå ÷èñëî.  ýòîì ñëó÷àå 1 1� � � �� �e p e q H xx x � �( ) ( ) , ò.å. H x q e pex x( ) ( )� � �� �1 1 � � . Î÷åâèäíî, ÷òî H ( )0 0� , H ( )� �1 . Ïàðàìåòð p ñëåäóåò âûáèðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû inf x H x � � � 0 0( ) . Îáîçíà÷èì: x p H x p p H x p p x * *( , ) arg inf ( ), ( ) sup{ : ( ( , )) },� � �� � � � � �0 0 * sup ( )� �� � 0 p . Ëåììà 2. Îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå p* � � äîñòèãàåòñÿ ïðè � �1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì � � � � � � � � � �H x q x e p ex x( ) 1 1� �� �� . Èç óñëîâèÿ inf x H x � � � 0 0( ) íàõîäèì p x e x x x( ) ( )� � � � �� � � � � �inf 0 1 . (5) Èìååì ( ) ( ) [ ]'x e x e x x ex x x x x� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � �� � � � �1 2 1 11 � ��x 0 . Çíà÷åíèå x * ( )� , íà êîòîðîì äîñòèãàåòñÿ infinum, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ � ��( )x x� � �1 1 . (6) 54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Ïðè 0 1� �� äàííîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Íàéäåì p p* ( )� � sup � � 0 . Äîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî p( )� �� äëÿ ëþáîãî � � 0. Çàòåì ïîêàæåì, ÷òî p( )� �� ïðè � �1. Ýòî è áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî p* � � ïðè � �1 . Èç ñîîòíîøåíèÿ (5) (åñëè x çàìåíèòü x * ( )� ) âûòåêàåò, ÷òî íåðàâåíñòâî p( )� �� ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó [ ( )] ( )* [ ( )] * ( )* * x e x ex x� � �� � � ��� �� . (7) Èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìóì âûðàæåíèÿ xe x� äîñòèãàåòñÿ ïðè x �1 . Âûÿñíèì, êàêàÿ èç äâóõ òî÷åê, � �x * ( ) èëè [ ( )]*x � � , ðàñïîëîæåíà áëèæå ê åäèíèöå. Åñëè � �1 , òî èç óðàâíåíèÿ (6) ñëåäóåò [ ( )] ( ) ( )* * *x x x� � � � � �� � � � � � 1 1 1 , åñëè �� 1 , òî [ ( )] ( ) ( )* * *x x x� � � � � �� � � � � � 1 1 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, â îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå (7). Åñëè � �1, òî x *( )� � 1. Ïîýòîìó p( )� �� . Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå p* � � äîñòèãàåòñÿ ïðè � �1. Ëåììà äîêàçàíà. ÎÁÙÈÉ ÀËÃÎÐÈÒÌ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß «ÏÎÏÐÀÂÎÊ»  ðàáîòå [14] (ñì. òàêæå [15]) ñôîðìóëèðîâàí àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ «ïî- ïðàâîê» ê õàðàêòåðèñòèêàì öåïè Ìàðêîâà ñïåöèàëüíîãî âèäà, åñëè ýêñïîíåí- öèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû çàìåíèòü ñëó÷àéíûìè âåëè÷è- íàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿì (1), (2). Ïåðåôîðìóëèðóåì äàííûé àëãîðèòì â áîëåå ïðîñòîì âèäå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � � � � ( , , , )( ) ( ) ( )1 2 � íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ïîâåäåíèå ñèñòåìû â çàäàííîì ïðî- ìåæóòêå âðåìåíè (èëè íà èíòåðâàëå çàíÿòîñòè). Çäåñü — ìîìåíò îñòàíîâêè, P{ } � � �1. Èñêîìóþ õàðàêòåðèñòèêó ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A � Ì� ( ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû { }� ( )i çàâèñÿò îò ìàëîãî ïà- ðàìåòðà �� 0 òàêèì îáðàçîì, ÷òî èõ ðàñïðåäåëåíèÿ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå áëèçêè ê ýêñïîíåíöèàëüíîìó, ò.å. � � � �( ) ( ) ( ) ( )( ; , , )i i i s ih i � 0 1 � , i � 1, (8) P{ }h i i s i i i ( ; , , )( ) ( ) ( ) ( )� � � � �0 1 0 0 0� � , i � 1, (9) ãäå � � � 0 1 ( ) ( ) ( ), , ,i i s i i � — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, P{ }� 0 ( )i x� � � � � 1 e ix� , x � 0, � i � 0. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 55 Òåîðåìà 1. Åñëè âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (8), òî äëÿ ëþáîãî �� 0 A A B C� � �0 , ãäå A0 0� M� ( ), � � � 0 0 1 0 2 0 0� ( , , , )( ) ( ) ( ) � , B I i i i v � � � � � � � � � � � �� � � � �� M � � �( ) ( ) ( ){ } =1 0� , C I i i i v � � � � � � � � � � � �� � � � �� M � � � ( ) ( ) ( ){ } =1 0 0 � , I ( )� — èíäèêàòîð ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì A I Ii i i v i i i � � � � � � � � � � � M � � � � �( ) }( ) ( ) ( ) ( ){ { } =1 0 1 0� v � � � � � � � � ! ! " # $ $ � � � �� � � � �� � = M � � �( ) }( ) ( ) 0 0 1 0 I Bi i i v { � � � � � � � � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � M M{ } {� � � �( ) ( ) }( ) ( ) 0 0 0 1 0 I i i i v � � �� � � � �B A B C0 . Òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå 2. Åñëè äîïîëíèòåëüíî âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (9), òî A0 ÿâëÿ- åòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A0 âû÷èñëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè), à ïî- ïðàâêè B è C âû÷èñëÿþòñÿ ìîäåëèðîâàíèåì, ïðè÷åì B � 0 0 è C � 0 0. Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê �B1 è �C1 â îäíîé ðåàëèçàöèè äëÿ B è C ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1. Ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ìîäåëèðóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � �0 0 1 0 2� ( , ,( ) ( ) � � , ) ( ) � 0 0 . 2. Âû÷èñëÿþò âåðîÿòíîñòè q ii i i� � �P{ }� � ( ) ( ) , , , 0 01 � , è Q q qi i i= v i i v i i � � � � � �� � � � �� � � � � � %P { }� �( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 1 1� � � � & % � 1 1 10 1 v j j i q( ) . 3.  êà÷åñòâå îöåíêè �C1 âûáèðàþò: � ( )C Q1 0� � . 4. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè �B1 ðåàëèçóþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó �, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå i ñ âåðîÿòíîñòüþ q q Qi j j i ( ) /1 1 1 � � � % . Ïóñòü � � i . 5. Ìîäåëèðóþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó � ( ) *i ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ H x x x xi i i i i( ) | ,( ) * ( ) ( ) ( )� � � � � �P P{ } { }� � � � 0 0 . 6. Ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ìîäåëèðóþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � ( ) ( ), ,i�1 � , ñîñòàâëÿþùèå «õâîñò» ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � � � �* ( , , , , ,( ) ( ) ( ) * ( )� � � 0 1 0 1 1 � � i i i � , )( )� . 7.  êà÷åñòâå îöåíêè �B1 âûáèðàþò: � ( *)B Q1 � � . 56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 ÎÖÅÍÊÀ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌÛ GI G m r/ / / Ðàññìîòðèì ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ GI G m r/ / / , â êîòîðóþ ïîñòóïàåò ðåêóððåíòíûé ïîòîê òðåáîâàíèé, îïðåäåëÿåìûé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ). Äëÿ îáñëóæèâàíèÿ ïîñòóïàþùèõ òðåáîâàíèé èìååòñÿ m ïðèáîðîâ è r ìåñò äëÿ îæèäàíèÿ. Îáñëóæèâàíèå ïðîâîäèòñÿ â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ (äèñöèïëèíà FCFS); äëèòåëüíîñòü îáñëóæèâàíèÿ èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ G x( ). Åñëè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèÿ â ñèñòåìå óæå íàõîäÿòñÿ m r� òðåáîâàíèé, òî îíî òåðÿåòñÿ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè F x( ) è G x( ) àáñîëþòíî íåïðåðûâíû, ò.å. ñóùåñòâóþò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f x( ) è g x( ). Äàííîå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýðãîäè÷åñêîãî ðàñïðåäå- ëåíèÿ ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Öåëü èññëåäîâàíèÿ — ñòàöèîíàð- íûå âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé P S( ), S U m r' � �{ }0 1, , ,� . Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè íå ðåøàåòñÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà. Îáîçíà÷èì � ( )1 è � ( )2 ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâåííî ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) è G x( ) . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòè ôóíêöèè çàâèñÿò îò ìàëîãî ïàðàìåòðà �� 0 òàêèì îáðàçîì, ÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (8) è (9) ïðè i �1 2, . Åñëè ðàñïðåäåëåíèÿ îáùåãî âèäà F x( ) è G x( ) çàìåíèòü ýêñïîíåíöèàëüíûìè ñîîòâåòñòâåííî ñ ïàðàìåòðàìè �1 è � 2 , òî ïîëó÷èì ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ M M m r/ / / , ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè êîòîðîé íàõîäÿòñÿ â ÿâíîì âèäå [17]: P S P k k S 0 0( ) ( )� � & , � � � � 1 2 , P k k P k 0 0 0( ) ! ( )� � ( )1� �k m , P k m m P m k m r k k m0 0 0( ) ! ( ) ( )� � � � � � , P k m m m m k m r r r k m 0 1 0 1 0( ) ! ( ) ! ( ) � � � � � ! ! " # $ $ � � � & � � � � . Îïèøåì ïðîöåññ ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñòåìû GI G m r/ / / â òå÷åíèå îäíîãî ïå- ðèîäà ðåãåíåðàöèè (ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèÿ ïðè îòñóòñòâèè òðåáîâàíèé â ñèñòåìå ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì ðåãåíåðàöèè). Ïóñòü 0 0 1� � �� � �2 � � — ïîñëå- äîâàòåëüíîñòü ìîìåíòîâ ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé â ñèñòåìó GI G m r/ / / .  ìî- ìåíò � i i( )� 0 ìîäåëèðóþòñÿ äâå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: � ( , )1 i (äëè- òåëüíîñòü äî ñëåäóþùåãî ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèÿ) è � ( , )2 i (ïðîäîëæèòåëüíîñòü îáñëóæèâàíèÿ ïîñòóïèâøåãî òðåáîâàíèÿ) ñîîòâåòñòâåííî ñ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäå- ëåíèÿ F x( ) è G x( ) (åñëè â ìîìåíò � i â ñèñòåìå óæå ïðèñóòñòâóþò m r� òðåáîâà- íèé, òî ïîñòóïèâøåå òðåáîâàíèå òåðÿåòñÿ è � ( , )2 i ìîæíî íå ìîäåëèðîâàòü). Ñîñ- òîÿíèå ñèñòåìû â ìîìåíò � i �0 îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì � � � � �i i i � ( ; , , )1 � , ãäå � i — êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå, � j — âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ çàâåðøå- íèÿ îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèÿ íà j-ì ïðèáîðå (çàìåòèì, ÷òî òîëüêî ïåðâûå m òðåáîâàíèé îáñëóæèâàþòñÿ, à îñòàëüíûå — â î÷åðåäè).  íà÷àëüíûé ìîìåíò �0 0� . Ïðè èçâåñòíûõ � i , � ( , )1 i è � ( , )2 i ñîñòîÿíèå � i�1 îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Ìîìåíò îñòàíîâêè îïðåäåëÿåòñÿ òàê: �� �min :{ }i i 0 . Òàêèì îáðàçîì, ïîâå- äåíèå ñèñòåìû íà ïåðèîäå ðåãåíåðàöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëü- íîñòüþ � �� {( , ),( , ) ( , )1 0 2 0 � � , ( , )( , ) ( , )� � 1 1 2 1� � }. Îáîçíà÷èì � ( ; )S îáùåå âðåìÿ íàõîæäåíèÿ ñèñòåìû GI G m r/ / / âî ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé S ïðè ôèêñèðî- âàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè . Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 57 Òåîðåìà 2. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � ( )1 è � ( )2 óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (8), òî P S P S P B S C S P B C ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) � � � � � 0 1 0 1 0 0 1 0 � � , S U' , (10) ãäå B B U C C U� �( ), ( ), è B S S I i i i i( ) ( ; ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,� � � � � M � � � � � { } {1 0 1 0 1 2 0 2 � � i i m r i i ) : , , , } { } � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1 1� � , (11) C S S I i i i i( ) ( ; ) ( , ) ( , ) ( , ) (� � � � � M � � � � � 0 1 0 1 0 1 2 0 0 { } {� � 2 1 10 , ) : , , , i i m r i i } { } � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , (12) ãäå � � � � 0 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 2 1� � �{ }( , ), , ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) � , I ( )� — èíäèêàòîð ñîîòâåò- ñòâóþùåãî ñîáûòèÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñòàöèîíàðíûå âåðîÿòíîñòè { }P S( ) è { }P S0 ( ) óäîâëåò- âîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì P S S U ( ) ( ; ) ( ; ) � M M � � , P S S U 0 0 0 ( ) ( ; ) ( ; ) � M M � � . Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî M M� � ( ; ) ( ; ) ( ) ( )S S B S C S� � �0 , ãäå B S( ) è C S( ) îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî (11) è (12). Èñïîëüçîâàâ îáîçíà÷åíèÿ B B U C C U� �( ), ( ), èìååì P S S B S C S U B C P S U ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) � � � � � � �M M M� � � 0 0 0 0 B S C S U B C ( ) ( ) ( ; ) � � �M� 0 . Ñ ó÷åòîì P U 0 1 0 0 1 ( ) ( ; ) � � � M ïîëó÷èì ôîðìóëó (10). Òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå 3. Ìîäåëèðîâàíèå âåëè÷èí B S( ) è C S( ) îñóùåñòâëÿåòñÿ â ñîîò- âåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì, èçëîæåííûì â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. ×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ Ñðàâíèì îáúåìû âû÷èñëåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòåé { },P S( ) ìåòîäîì íåïîñðåäñòâåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû (10). Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, îïðåäåëÿåìóþ ñëåäóþùèìè ïàðàìåòðàìè: m � 2, r � 2 , F x e x( ) � � �1 � , x � 0, � � �1 1 n , G x e x( ) � � �1 � , x � 0, � � �1 1 2n , ãäå n �1 2, , � — öåëî÷èñëåííûé ïàðàìåòð. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ n ïðèâåäåíû â òàáë. 2–4. Âñå îöåíêè ïîñòðîåíû ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ 0,1% è äîñòîâåðíîñòüþ 0,99. Êîëè÷åñòâî ðåàëèçàöèé N i , íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè äëÿ âåðîÿò- íîñòè P i( ){ } òðåáóåìîé òî÷íîñòè, îïðåäåëÿëîñü ñîãëàñíî ôîðìóëàì èç [18]. 58 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 Ñðàâíåíèå ÷èñëåííûõ äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ n, ïîêàçûâàåò, ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðèìåíåíèå äâóõ ðàçíûõ ìåòîäîâ äàåò ïðàêòè÷åñêè îäíè è òå æå îöåíêè, ÷òî ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü îáîèõ ìåòîäîâ. Ïðè n �1 (òàáë. 2) íåïîñðåäñòâåííîå ìîäåëèðîâàíèå íåñêîëüêî ïðåäïî÷òèòåëüíåå. Îäíàêî óæå ïðè n �10 (òàáë. 3) çàìåòíî ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà «ïîïðàâîê». Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè n (òàáë. 4) êîëè÷åñòâî òðåáóåìûõ ðåàëèçàöèé ïðè íåïîñðåäñòâåííîì ìîäåëèðîâàíèè îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè îäíèì è òåì æå.  òî æå âðåìÿ ìåòîä «ïîïðàâîê» ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü èõ ÷èñëî (â íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ðàç), ïðè÷åì ñ ðîñòîì n áóäåò íàáëþäàòüñÿ äàëüíåéøåå óìåíüøåíèå N i . Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ïîâûñèòü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé â ñëó÷àå, êîãäà âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè èññëåäóåìîé ñèñòåìû â îïðåäåëåííîì ñìûñëå áëèçêè ê õàðàêòåðèñòèêàì ñèñòåìû, ïîêàçàòåëè êîòîðîé âû÷èñëÿþòñÿ ïî ÿâíûì àíàëèòè÷åñêèì ôîðìóëàì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 59 i Îáúåìû âû÷èñëåíèé äëÿ n � 1 íåïîñðåäñòâåííîå ìîäåëèðîâàíèå ìåòîä «ïîïðàâîê» P i( ){ } N i P i( ){ } N i 0 0,0899 3,67 �107 0,0899 4,49 �107 1 0,2315 9,15 �106 0,2313 9,53 �106 2 0,1748 4,73 �106 0,1747 5,49 �106 3 0,1604 5,00 �106 0,1605 5,49 �106 4 0,3434 1,17 �107 0,3435 1,14 �107 Ò à á ë è ö à 2 i Îáúåìû âû÷èñëåíèé äëÿ n � 10 íåïîñðåäñòâåííîå ìîäåëèðîâàíèå ìåòîä «ïîïðàâîê» P i( ){ } N i P i( ){ } N i 0 0,3139 8,71 �106 0,3140 4,11 �106 1 0,3586 3,35 �106 0,3587 1,96 �106 2 0,1851 8,06 �106 0,1851 4,15 �106 3 0,0936 2,76 �107 0,0936 1,72 �107 4 0,0487 7,61 �107 0,0487 5,46 �107 Ò à á ë è ö à 3 i Îáúåìû âû÷èñëåíèé äëÿ n � 100 íåïîñðåäñòâåííîå ìîäåëèðîâàíèèå ìåòîä «ïîïðàâîê» P i( ){ } N i P i( ){ } N i 0 0,3443 7,54 �106 0,3443 127060 1 0,3491 3,37 �106 0,3494 72745 2 0,1751 8,53 �106 0,1750 164926 3 0,1605 2,82 �107 0,0876 757886 4 0,0439 7,67 �107 0,0440 2,58 �106 Ò à á ë è ö à 4 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ç î ë î ò à ð å â  . Ì . Î íåïðåðûâíîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïîðîæäàåìûõ ðåêóððåíòíûìè ïðîöåäóðàìè // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1975. — 20, âûï. 4. — Ñ. 834–847. 2. Á î ð î â ê î â À . À . Òåîðåìû ýðãîäè÷íîñòè è óñòîé÷èâîñòè äëÿ îäíîãî êëàññà ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èõ ïðèìåíåíèÿ // Òàì æå. — 1978. — 23, âûï. 2. — Ñ. 241–262. 3. Ê à ë à ø í è ê î â  .  . Êà÷åñòâåííûé àíàëèç ïîâåäåíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì ìåòîäîì ïðîáíûõ ôóíêöèé. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 248 ñ. 4. Ê à ð ò à ø î â Í .  . Ñèëüíî óñòîé÷èâûå öåïè Ìàðêîâà // Ïðîáëåìû óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé. — Ì.: ÂÍÈÈÑÈ, 1981. — Ñ. 54–59. 5. Ê à ë à ø í è ê î â  .  . Êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè â òåîðèè íàäåæíîñòè. — Ì.: Çíàíèå, 1989. — 48 ñ. 6. Z o l o t a r e v V . M . , K a l a s h n i k o v V . V . Stability problems for stochastic models // Lect. Notes Math. — 1993. — N 1546. — 229 p. 7. K a l a s h n i k o v V . V . Mathematical methods in queueing theory. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994. — 392 p. 8. A s m u s s e n S . Applied probability and queues. — New York: Springer, 2003. — 438 p. 9. B e r d j o u d j L . , A i s s a n i D . Strong stability in retrial queues // Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé òà ìàò. ñòàòèñòèêà. — 2003. — Âèï. 68. — P. 11–17. 10. F o s s S . G . , K o n s t a n t o p o u l o s T . An overview of some stochastic stability methods // J. Oper. Res. Soc. Jap. — 2004. — 47, N 4. — P. 275–303. 11. M a c P h e e I . M . , M u l l e r L . J . Stability criteria for controlled two-queue systems // Queueing Systems. — 2006. — 52. — P. 215–229. 12. B r a m s o n M . Stability of queueing networks // Probability Surveys. — 2008. — 5. — P. 169–345. 13. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ê ðàñ÷åòó ïîïðàâîê ê õàðàêòåðèñòèêàì ÑÌÎ // Ïðîáëåìû óñòîé÷èâîñòè ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé. — Ì.: ÂÍÈÈÑÈ, 1986. — Ñ. 45–48. 14. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê íåïðåðûâíîñòè õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ è ðåçåðâèðîâàííûõ ñèñòåì. — Ì.: ÂÍÈÈÑÈ, 1986. — Ñ. 54–62. 15. Ê î â à ë å í ê î È . Í . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû ðàñ÷åòà âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1988. — 176 ñ. 16. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Íàõîæäåíèå ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé ñîñòîÿíèé ñèñòåìû GI G n/ / / 0 ñ âõîäÿùèì ïîòîêîì òðåáîâàíèé, áëèçêèì ê ïóàññîíîâñêîìó // Êèáåðíåòèêà. — 1984. — ¹ 2. — Ñ. 74–79. 17. à í å ä å í ê î Á .  . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — Èçä. 3-å, èñïð. è äîï. — Ì.: ÊîìÊíèãà, 2005. — 397 ñ. 18. Ê ð å é í Ì . , Ë å ì ó à í Î . Ââåäåíèå â ðåãåíåðàòèâíûé ìåòîä àíàëèçà ìîäåëåé. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 104 ñ. Ïîcòóïèëà 12.03.2013 60 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5

Схожі ресурси