Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями
За допомогою другого методу Ляпунова–Красовського одержано достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, стійкості в цілому, експоненціальної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем стохастичних дифузійних диференціально-функціональних рівнянь з марковським...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86273 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями / В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 77-91. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860002114266202112 |
|---|---|
| author | Ясинский, В.К. |
| author_facet | Ясинский, В.К. |
| citation_txt | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями / В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 77-91. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | За допомогою другого методу Ляпунова–Красовського одержано достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, стійкості в цілому, експоненціальної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем стохастичних дифузійних диференціально-функціональних рівнянь з марковськими перемиканнями, а також проілюстровано теорію на двох модельних задачах.
Using the second Lyapunov–Krasovskii method, sufficient conditions are obtained for the asymptotic stochastic global stability, global stability, and mean-square stability of trivial solutions to systems of diffusion stochastic functional-differential equations with Markovian switchings, and the theory is illustrated by giving two model problems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:36:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.217; 519.718; 519.837
Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ
ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ
ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ
Ñ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ È ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÅÐÅÊËÞ×ÅÍÈßÌÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ñèñòåìà ñ ïîñëå-
äåéñòâèåì, ìàðêîâñêîå âîçìóùåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ìåòîäà ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî äëÿ äèôôó-
çèîííûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé
(ÄÑÄÔÓ) ñ ó÷åòîì âíóòðåííèõ ïàðàìåòðîâ òèïà ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ è
âíåøíèõ âîçìóùåíèé òèïà öåïåé Ìàðêîâà ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ â ðàçëè÷íûõ ïîíÿòèÿõ,
êîòîðûå çàïèñàíû â âèäå íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ êîýôôèöèåíòû èñõîäíîãî
óðàâíåíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò ïðè èññëåäîâàíèè ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ â âèäå
ÄÑÄÔÓ òàê âûáèðàòü êîýôôèöèåíòû ýòèõ óðàâíåíèé, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü
ñòàáëèçàöèþ ðàáîòû.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïóñòü ( , , , , )� � � �F P� � �{ }t t 0 — âåðîÿòíîñòíûé áàçèñ [1, 15]; { }�( ),t t � 0 —
ðàçðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñî çíà÷åíèÿìè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Y
ñ ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòüþ P( , , )s y t ; ( , )� k k � 0 — öåïü Ìàðêîâà ñî çíà÷åíèÿ-
ìè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå H ñ ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòüþ íà k-ì øàãå
Pk h G( , ). Ðàññìîòðèì ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ äèô-
ôóçèîííîãî òèïà è ðåøèì âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ
â ðàçëè÷íûõ âåðîÿòíîñòíûõ îïðåäåëåíèÿõ.
Ïóñòü çàäàíî ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôóçèîííîå äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèî-
íàëüíîå óðàâíåíèå (ÄÑÄÔÓ) íà áàçèñå ( , , , )� � F P , êîòîðîå áóäåì íàçûâàòü äè-
íàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû [2] ñ ïîñëåäåéñòâèåì
dx t a t x t dt b t x t dw tt t( ) ( , , ( )) ( , , ( )) ( )� �� � , (1)
ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè
�x t x t x t g t x tt t k k k t k kk k
( )| ( ) ( ) ( , , ( ), )� � � � � , (2)
t S t n N tk n
n
n
� �
� ��
�
{ }, , lim ,
è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
� � � � �( ) , ([ , ], ), ,t y x ht m
m
k0 00 0
0 0�
�
� � �Y D D R , (3)
ãäå ïî îïðåäåëåíèþ x x tt m� �
{ }( ), [ , ]� � � 0 D — îòðåçîê òðàåêòîðèè
x t( , )� , Dm — ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà íåïðåðûâíûõ ñïðàâà ôóíêöèé, èìåþ-
ùèõ ëåâîñòîðîííèå ïðåäåëû [5].
Äîïóñòèì, ÷òî:
i) èçìåðèìûå ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ îòîáðàæåíèÿ a m
m: R D Y R� � �
;
b m
m m: R D Y R R� � �
� ; g m
m: R D Y H R� � � �
óäîâëåòâîðÿþò ïî âòîðî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 77
� Â.Ê. ßñèíñêèé, 2013
ìó àðãóìåíòó óñëîâèþ Ëèïøèöà
| ( , , ) ( , , )| | | ( , , ) ( , ,( ) ( ) ( ) ( )a t y a t y b t y b t y� � � �1 2 1 2 � )| | �
� � | ( , , , ) ( , , , )| | |( ) ( ) ( ) ( )g t y h g t y h� � � �1 2 1 2� (4)
� �t 0, y
Y, h
H, � � 0 è óñëîâèþ
| ( , , )| | | ( , , )| | | ( , , , )|a t y b t y g t y h c0 0 0� � � � �, t � 0, y
Y, h
H; (5)
ii) çàäàíà ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîìåíòîâ âðåìåíè
S t nn�
{ }, N , lim
t
nt
�
� �;
iii) w t w t R m( ) ( , )�
� — m-èçìåðèìûé ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ [3].
Íîðìó â ïðîñòðàíñòâå Ñêîðîõîäà Dm çàäàäèì àíàëîãè÷íî, êàê â ñëó÷àå ïðî-
ñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C ([ , ]) � 0 [4, 5, 16, 17], à èìåííî
| | ( )| | | ( )|� � � �
� �
�
� �
sup
0
.
Çàìåòèì, ÷òî ñ òàêîé íîðìîé ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà Dm ÿâëÿåòñÿ íå-
ïîëíûì ïðîñòðàíñòâîì. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ïîä Dm áóäåì ïîíèìàòü
ïðîñòðàíñòâî Ñêîðîõîäà
~
Dm , êîòîðîå ñîäåðæèò ïðåäåëû ôóíäàìåíòàëüíûõ ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòåé [5].
Îïðåäåëåíèå 1. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x t x t m( ) ( , )�
� R íàçîâåì ñèëüíûì
ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (1), (3) ñ ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè (2), åñëè x t( ) ñî-
ãëàñîâàí ñ ïîòîêîì �-àëãåáð { }� �t t, � �0 è ïðè t t� �0 0 óäîâëåòâîðÿåò ñ âå-
ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñòîõàñòè÷åñêîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ
x t x s a x d b x dw
s
t
s
t
( ) ( ) ( , , ( )) ( , , ( )) ( )� � �� �� � � � � � � �� �
(6)
äëÿ âñåõ s t tk k
�[ , )1 ; t s tk
�( , )1 , t tk � 0 , ïðè ýòîì
x t x t g t x tk k k t k kk
( ) ( ) ( , , ( ), )� � � � (7)
ïðè âñåõ t tk � 0 è k n t tn� �inf :{ }0 .
Ïîíÿòíî, ÷òî îïðåäåëåííûå âûøå óñëîâèÿ îòíîñèòåëüíî îòîáðàæåíèé
a b, è g ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå ñèëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3) ñ òî÷íîñ-
òüþ äî ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè ïðè ëþáûõ t0 0� , �0
Dm è çàäàííûõ
ðåàëèçàöèÿõ ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà { }�( ),t t t� �0 Y è öåïè Ìàðêîâà
{ }� k k k, � �0 H [5–7].
Ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèå ðåàëèçàöèé ñèëüíîãî ðåøåíèÿ x t x t m( ) ( , )�
� R
ÄÑÄÔÓ (1) îäíîçíà÷íî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ íà÷àëüíûõ äàííûõ (3), âåðîÿò-
íîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðåøåíèÿ x t( ) åñòåñòâåííî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ñ ïî-
ìîùüþ íà÷àëüíûõ äàííûõ � �( ) ,t y hk0 0
� � , xt0
� �0 , äàëåå åãî áóäåì îáîçíà-
÷àòü x t t y h( , , , , )0 0� .
Ñëó÷àéíûå ïåðåìåíû ñòðóêòóðû ïàðàìåòðà �( )t
Y â ÄÑÄÔÓ (1), êàê ïðà-
âèëî, áóäåì çàäàâàòü îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ [4, 7, 8].
Ñïîñîá 1. Ïóñòü �( )t
Y — ðàçðûâíûé ñêàëÿðíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ,
óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî äîïóñêàåò ðàçëîæåíèåå [9, 17, 22]
P{ }� �
( ) [ , ] / ( ) ( , , ) ( )t t t p t t o t�
� � � � �� � � � � ,
P{ }� �
� �
( ) , / ( ) ( , ) ( )� � � � � � �t t t t p t t o t� � �1 , (8)
78 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
ãäå P{ }� �/ — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü; �( )�t — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ âåëè÷èíà âû-
ñøåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè îòíîñèòåëüíî �t. Îòìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè ðåãóëÿð-
íîñòè ïî÷òè âñå ðåàëèçàöàöèè �( )t åñòü êóñî÷íî-ïîñòîÿíûìè íåïðåðûâíûìè
ñïðàâà ôóíêöèÿìè [5, 23] .
Ñïîñîá 2. Ñêàëÿðíûé ïðîöåññ �( )t — îäíîðîäíàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ êîíå÷íûì
÷èñëîì ñîñòîÿíèé Y � { }y y yk1 2, , ..., è îïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè qij ïðè óñëî-
âèè q q i j ki ij
j i
� �
�
� , , ,1 . Ïðè ýòîì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè äîïóñêàþò ðàçëîæåíèå
P{ }� �( ) / ( ) ( )t t y t y q t o tj i ij� � � � �� � � ,
P{ }� � � �( ) , / ( ) ( )� � � � � � �y t t t t y q t o ti i i� � �1 . (9)
Ñïîñîá 3. Â ìîìåíò � èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ñèñòåìû y yi j
îñóùåñòâ-
ëÿåòñÿ ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåíà ôàçîâîãî âåêòîðà x x( )� �0 , x z( )� � , äëÿ êîòîðîãî
çàäàíà óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü p zij ( , )� , à èìåííî
P{ }x z z dz x t x p z x dz o dzij( ) [ , ] / ( ) ( , / ) ( )� �
� � � �0 . (10)
Ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè ÄÑÄÔÓ (1) ñ ïàðàìåòðîì �( )t â [4]
óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p z xij ( , / )� ïðûæêîâ ôàçîâîãî âåêòîðà
íåïðåðûâíà ïî � è èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
h x t z h xt1 2| ( )| | | | | | |� � ; 0 1 2� �h h ; p z o zij ( , / ) ( )� 0 � .
Ýòè óñëîâèÿ èñêëþ÷àþò ïîïàäàíèå ïðîöåññà x t( ) â ðåçóëüòàòå ïðûæêà â òî÷êó
x � 0. Îäíàêî åñëè â äàííûé ìîìåíò t * èìååì x t( )* � 0, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ
åäèíèöà x t( ) � 0 ïðè âñåõ t t� * .
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâóþ îñîáåííîñòü îòíîñèòåëüíî ìîäåëèðîâàíèÿ ñèñ-
òåìû (1), êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ ïîä âëèÿíèåì âíóòðåííåãî (ïàðàìåòðè÷åñêîãî) âîç-
ìóùåíèÿ �( )t [2] ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè �( )t y0 �
Y, xt0 0� � (áåç ó÷åòà
âíåøíèõ ìàðêîâñêèõ ïåðåêëþ÷åíèé (2)).
Äîïóñòèì äëÿ óïðîùåíèÿ, ÷òî �( )t — ïðîñòàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ êîíå÷íûì
÷èñëîì ñîñòîÿíèé, ò.å. Y � { }y y yk1 2, , ..., (ñïîñîá 2). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðåàëèçà-
öèè �( )t èìåþò ïî÷òè ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, à ïåðåõîäû — ïåðåêëþ÷åíèÿ ñèñòå-
ìû — ïðîèñõîäÿò â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè.
Òîãäà íà ñëó÷àéíîì èíòåðâàëå t h
[ , )� � , ãäå �( )t yi�
Y, äâèæåíèå áóäåò
ïðîèñõîäèòü â ñèëó ÄÑÄÔÓ (1) äëÿ t h
[ , )� � :
dx t a t x y dt b t x y dw tt i t i( ) ( , , ) ( , , ) ( )� � , (11)
x h x( )� � , y h yi( )� � .
Äàëåå, åñëè � — ìîìåíò ïåðåõîäà çíà÷åíèÿ � �( ) �0 yi ê çíà÷åíèþ
� �( ) � �y yj i , òî íà ñëåäóþùåì èíòåðâàëå ïîñòîÿíñòâà � �( ) � y j ñëåäóåò ðåøàòü
ÄÑÄÔÓ (10) ñ çàìåíîé y j íà yi . Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ïðîáëåìà âûáîðà íà÷àëüíî-
ãî óñëîâèÿ � äëÿ íîâîãî ÄÑÄÔÓ íà îòðåçêå t h
�[ , ]� � 1 :
dx t b t x y dt b t x y dw t t ht i t i( ) ( , , ) ( , , ) ( ), [ , ]� �
�� � 1 . (12)
Âûáîð � íå ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðåäïîëîæåíèÿìè, à ïîëíîñòüþ
ïîä÷èíÿåòñÿ ðåàëüíûì ñâîéñòâàì îáúåêòà, êîòîðûé ìîäåëèðóåòñÿ [4, 18].
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå x t( ) óðàâíåíèÿ (1), ðàçðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ
�( )t è íà÷àëüíîå óñëîâèå (3) íà êàæäîì èíòåðâàëå ïîñòîÿíñòâà ïðîöåññà �( )t
îïðåäåëÿåò ìàðêîâñêèé ïðîöåññ { }x t t( ), ( )� [10], â êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâ-
ëÿþùàÿ x t m( )
D õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, à �( )t —
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 79
ñëó÷àéíûå èçìåíåíèÿ åå ñòðóêòóðû ñ ó÷åòîì öåïè Ìàðêîâà { }� k k, � 0 , êîòîðàÿ
âõîäèò êàê àðãóìåíò â ôóíêöèþ îòîáðàæåíèÿ g k( , , , )� � � � [20, 22].
Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ñèñòåìû (1) êàê ñèñòåìû ñëó÷àéíîé
ñòðóêòóðû.
Íàèáîëåå èíòåðåñíûìè â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå âàðè-
àíòû ïîâåäåíèÿ òðàåêòîðèè ñèëüíîãî ðåøåíèÿ ÄÑÄÔÓ (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâè-
åì �( )t y0 �
Y, xt0 0� � áåç ïðèñóòñòâèÿ âíåøíèõ ìàðêîâñêèõ ïåðåêëþ÷åíèé
{ }� k k, � 1 .
Â1.  ìîìåíò ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû �( )t ôàçîâûé âåêòîð
x t( ) èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, ò.å. â ìîìåíò � èçìåíåíèÿ
ñòðóêòóðû ñèñòåìû íå ïðîèñõîäèò:
x x( ) ( )� � �0 . (13)
Â2.  ìîìåíò � � t0 ñêà÷êîîáðàçíîãî èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ôàçîâûé âåêòîð
åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì, â êîòîðîì íàõîäèëàñü ñèñòåìà
íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä èçìåíåíèåì ñòðóêòóðû è ïåðåõîäîì îò ñîñòîÿíèÿ
� �( ) �0 yi â ñîñòîÿíèå � �( ) � y j .  ýòîì ñëó÷àå åñòåñòâåííî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
x x i jij( ) ( ( )),� � �� �0 , (14)
ãäå � ij
mC
( )R , ïðè÷åì � ii ( )0 0� .
Îñîáî îòìåòèì ñëó÷àé ëèíåéíîñòè ôóíêöèè � ij x( ), êîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå
ìàòðèöû Kij , ÷òî
x K xij( ) ( )� �� 0 . (15)
Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àé Â1 ñëåäóåò èç (15) ïðè K Iij � , ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàò-
ðèöà ïîðÿäêà m m� .
Â3. Íàèáîëåå îáùèì ñ÷èòàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà äëÿ ñëó÷àéíîãî ìîìåíòà � èç-
ìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ñèñòåìû (1) y yi j
ñëåäóåò ïðèìåíèòü óñëîâíûé çàêîí
ðàñïðåäåëåíèÿ (10) íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì x m( ) ,� �
�R R , �
� äëÿ èçìå-
íåííîé ñòðóêòóðû ÄÑÄÔÓ (1).
Çàìå÷àíèå 1. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïî÷òè âñå ðåàëèçàöèè ïàðû ïðîöåññîâ
{ }x t t( ), ( )� — íåïðåðûâíûå ñïðàâà.
Î÷åâèäíî, ÷òî ñëó÷àé (13), (14) âûòåêàåò èç (10), åñëè
p z x z xij ( , / ) ( )� �� èëè p z x z xij ij( , / ) ( ( ))� � �� , (16)
ãäå �( )z — �-ôóíêöèÿ Äèðàêà [11].
Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíèå ñèñòåìû ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû ñ âíåøíèìè
âîçìóùåíèÿìè òèïà öåïè Ìàðêîâà ïðåäóñìàòðèâàåò:
à) çàäàíèå ÄÑÄÔÓ (1) è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (3), �( )t y0 �
Y; xt0 0� � ;
� k h
0
� ;
á) âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàçðûâíîãî ïðîöåññà �( )t , êîòîðûå îïðå-
äåëÿþò ñëó÷àéíîå èçìåíåíèå ñòðóêòóðû ïî (8) (ñïîñîá 1); (9) (ñïîñîá 2) èëè
ÄÑÄÔÓ ñ ïóàññîíîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè [11–14], à èìåííî
d t a t t dt b t t dw t c t t u v dt� � � �( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ), )~ ( ,� � � du
U
)� ,
ãäå w t m( )
R — m-èçìåðèìûé âèíåðîâñêîé ïðîöåññ, íå çàâèñèìûé îò ñëó÷àé-
íîé ïóàññîíîâñêîé ìåðû
( , )dt du [5].
80 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÐÅØÅÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌ
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎ-ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Îáîçíà÷èì Pk y h G(( , ), )�� ïåðåõîäíóþ âåðîÿòíîñòü öåïè Ìàðêîâà ( ( ), )� �tk k
íà k-ì øàãå. Ñîîòâåòñòâåííî ê ïðèíÿòûì â òåîðèè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ
îáîçíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé [3] ââåäåì èíäåêñû òàê, ÷òîáû âûïîëíÿ-
ëèñü ðàâåíñòâà
P P
y h
t
k k k
k t G y h G
,
( ( ) , ) (( , ), )� �� �
� �1 1� � (17)
ïðè âñåõ t tk � 0 , y
Y, h
H è áîðåëåâñêèõ �
Y è G � H .
Äàëåå ââåäåì ôóíêöèþ
P Pk t y h
t
k k t ky h x G C x t t y h x C tk(( , , ), ) ( ( , , , , ) , (
,
�� � �
�1 � � �
1 1) , )� � k G (18)
ïðè âñåõ t S tk
�{ }0 , k
�N { }0 , xt m
D , y
Y, h
H è áîðåëåâñêèõ
C m� R , �� Y, G � H .
Îïðåäåëåíèå 2. Äèñêðåòíûé îïåðàòîð Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ( )( , , )lv x y hk t
íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçìåðèìûõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèîíàëîâ v x y hk t m( , , ):D Y� �
�
H R1, k
�N { }0 , äëÿ ÄÑÄÔÓ (1) ñ âíåøíèìè ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿ-
ìè (2) îïðåäåëÿþò ðàâåíñòâîì
( )( , , ) ( , , )( ) ( , ,lv x y h x y h dl du dz v l u zk t k k
m
� � �
� �
�� P
D Y H
1 ) ( , , ) v x y hk t . (19)
Îïðåäåëåíèå 3. Åñëè t kk � äëÿ âñåõ k
N è ïðè íåêîòîðîì � 0 îòîáðà-
æåíèÿ a b, è g íå çàâèñÿò îò t, ïðîöåññ �( )t è öåïü Ìàðêîâà � k�1 îäíîðîäíûå, òî
ñèñòåìó (1)–(3) íàçîâåì àâòîíîìíîé.
 ñëó÷àå àâòîíîìíîé ñèñòåìû (1)–(3) èíäåêñîì k â ôóíêöèè Pk y h x(( , , ),
�� �G C ) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è äèñêðåòíûé îïåðàòîð Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ñëå-
äóåò îïðåäåëèòü ðàâåíñòâîì äëÿ �
Dm
( )( , , ) ( , , )( ) ( , , ) (lv x y h y h dl du dz v l u z v xt
m
� � �
� �
� P
D Y H
� t y h, , ). (20)
Ïðè èñïîëüçîâàíèè âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ê ÄÑÄÔÓ (1)
ñ âíåøíèìè ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè (2) íåîáõîäèìû ñïåöèàëüíûå ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè âûøåóïîìÿíóòûõ ôóíêöèîíàëîâ v x y hk t( , , ), k
N.
Îïðåäåëåíèå 4. Ôóíêöèîíàëîì Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî äëÿ ñèñòåìû
ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ
ôóíêöèé { }v y h kk ( , , ),� � 0 , åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ïðè âñåõ k � 0, y
Y, h
H, �
Dm îïðåäåëåí äèñêðåòíûé îïåðàòîð Ëÿïó-
íîâà-Êðàñîâñêîãî ( )( , , )lv y hk � ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåíèÿ 2;
2) ïðè r
�
v r v y h
k y
h r
k( ) ( , , )
, ,
, || ||
�
��
�
inf
N Y
H �
� ; (21)
3) ïðè r
0 èìååì
v r v y h
k y
h r
k( ) ( , , )
, ,
, || ||
�
�
sup
N Y
H �
� 0; v r( )
0, (22)
ïðè÷åì v r( ) è v r( ) — íåïðåðûâíûå è ìîíîòîííûå.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ x � 0 ñèñòåìû
(1)–(3), ò.å. âûïîëíåíèÿ (5) ïðè c � 0 [6, 8, 15, 19].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 81
Îïðåäåëåíèå 5. Ñèñòåìó ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) íàçîâåì:
— óñòîé÷èâîé ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè äëÿ � ��1 0, �2 0� ìîæíî óêàçàòü òàêîå
�� 0, êîãäà èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
P{sup }
t t
x t t y h
�
� �
0
0 1 2| ( , , , )|�� � � (23)
ïðè âñåõ y
Y, h
H è t0 0� ;
— àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ïî âåðîÿòíîñòè, åñëè âûïîëíÿåòñÿ (23)
è ìîæíî óêàçàòü òàêèå �1 0� è �2 0� , ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà äëÿ ðåàëèçà-
öèé, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
sup
t t
x t t y h
�
�
0
0 1| | ( , , , , )| |� � ,
èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
lim | | ( , , , , )| |
t
x t t y h
�
�0 0�
ïðè âñåõ t0 0� , y
Y, h
H è | | | |� �� 2 ;
— àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâîé, åñëè îíà óñòîé÷èâà ïî âåðî-
ÿòíîñòè è äëÿ ëþáîãî �� 0 ñóùåñòâóåò �3 0� òàêîå, ÷òî
lim | ( , , , , )|
T t T
x t t y h
� �
� �P{sup }0 0� � (24)
ïðè âñåõ | | | |� �� 3 , y
Y, h
H è T t� �0 0.
Îïðåäåëåíèå 6. Ñèñòåìó ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) íàçîâåì:
— p-óñòîé÷èâîé (ïðè íåêîòîðîì p� 0), åñëè äëÿ � �� 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå
�� 0, êîãäà èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
E| ( , , , , )|x t t y h p
0 � �� (25)
ïðè âñåõ t t� 0 , t0 0� , y h
Y H, ;
— àñèìïòîòè÷åñêè p-óñòîé÷èâîé (ïðè íåêîòîðîì p� 0), åñëè ñèñòåìà
p-óñòîé÷èâàÿ è ñóùåñòâóåò òàêîå �1 0� , êîãäà èç íåðàâåíñòâà | | | |� �� 1 ñëåäóåò
lim | ( , , , , )|
,t y h
px t t y h
�
�sup
Y H
E 0 0� (26)
ïðè âñåõ t0 0� .
Çàìåòèì, ÷òî ïðè p � 2 èìååì óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì
(l.i.m.) (25) è àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü â l.i.m. (26).
Îïðåäåëåíèå 7. Ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåí-
öèàëüíî p-óñòîé÷èâîé ïðè íåêîòîðîì p� 0, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå �� 0, êîãäà èç
íåðàâåíñòâà | | | |� �� ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
E| ( , , , , )| | |
( )
x t t y h Mep t t p
0
0� ��� (27)
ïðè íåêîòîðûõ M � �0 0, � äëÿ ëþáûõ y
Y, h
H, t t t0 00� �, .
Çàìåòèì, ÷òî ïðè p � 2 áóäåì èìåòü ýêñïîíåíöèàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü â l.i.m.
Åñëè (23), (24) èëè (25) âûïîëíåíû äëÿ âñåõ x m
R , òî èìååòñÿ â âèäó
óñòîé÷èâîñòü â öåëîì.
3. ÎÁÙÈÅ ÒÅÎÐÅÌÛ ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÓÇÈÎÍÍÛÕ
ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ È Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ
ÏÅÐÅÊËÞ×ÅÍÈßÌÈ
Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ïîëó÷èì ñíà÷àëà îöåíêè ðåøåíèÿ çàäà÷è (1)–(3)
íà èíòåðâàëàõ [ , )t tk k�1 ïî çíà÷åíèÿì ðåøåíèÿ â òî÷êàõ t kk , � 0.
Ëåììà 1. Ïóñòü äëÿ ÄÑÄÔÓ âûïîëíÿþòñÿ:
— íåðàâåíñòâî Ëèïøèöà (ñì. (4));
— íåðàâåíñòâî ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè (ñì. (5)).
82 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
Òîãäà ïðè âñåõ k � 0 äëÿ ñèëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1)–(3) èìååò ìåñòî
íåðàâåíñòâî
E E{ sup }
t t t
t t k
k k
k
x x c t
� �
�
�
� � �
1
2 2 2 215 1 2 2| | | | ( )[ | | | | (� 1 �tk )]
� � � �exp{ (( ) )( )}5 42
1
2
1� t t t tk k k k . (28)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè âñåõ t t tk k
�[ , )1 , t tk � 0 , èç (6) ëåãêî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
| ( )| | ( )| | ( , ( ), ( )) ( , ( ), )|x t x t a x a dk
t
t
k
� � �� � � � � � � � �0 | ( , ( ), )|a d
t
t
k
� � � �0� �
� �� | | ( , ( ), ( )) ( , ( ), )| | ( ) | | ( , (b x b dw b
t
t
k
� � � � � � � � � � �0 ), )| | ( )0 dw
t
t
k
�� . (29)
Âîçâåäåì â êâàäðàò ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íåðàâåíñòâà (29):
a n ai
i
n
i
i
n
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2
1
,
âû÷èñëèì sup îò ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ, çàïèøåì íåðàâåíñòâî Êîøè–Áóíÿ-
êîâñêîãî äëÿ èíòåãðàëà Ðèìàíà è íåðàâåíñòâî äëÿ îöåíêè óñëîâíîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îò êâàäðàòà sup èíòåãðàëà Âèíåðà–Èòî [3, 13] è ñ èñïîëü-
çîâàíèåì íåðàâåíñòâà (4) è óñëîâèÿ (5) ïîëó÷èì
E E{ sup
t t t
t t k k
k k
k
x x c t t
� �
�
�
� � �
1
2 2 2
15 2| | / } [ | | | | ( )� ��
�2
1 4(( ) )]t tk k� � �
�
� � �
� E{ sup }
t t tt
t
k k
k
x d
1
2| ( )|� �� ��
.
(30)
Ïðèìåíÿÿ äàëåå ê (30) íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëà [5], ëåãêî óâèäåòü, ÷òî
E E{ sup F }tk
t t t
t k k
k k
k
x x c t t
� �
�
�
� �
1
2 2 2
15 2| | | | / [ | | | | ( )] .
(( ) )( )
e
t t t tk k k k5 42
1
2
1� � � �
(31)
Äëÿ t tk� �1 ñèëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1)–(3) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
E E E{| | | | / } [ {| ( ) / |} {| ( ,x x t g tt k kk�
� �� �1
2
1
2
13 2� �� �� �
x t tk k k( ), ( ), )� � � 1 1 1� �
�� � � � �g t t g t tk k k k k( , , ( ), )| / } {| ( , , (1 1 1
2
10 2 0� � �� ��
E 1 1
2 ��), )| / }]� k � ��
� �
!
"
#
$#
%
&
#
'#
�
(
)
*
*
+
,� � �
3 1 2 2 2 2
1
( ) sup | | /� E
t t t
t
k k
x c� ��
-
-
. (32)
Îáúåäèíèâ äâà ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì íóæíîå íåðàâåíñòâî (28)
ëåììû 1.
Çàìå÷àíèå 2. Âñþäó äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü c � 0, à òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå
k
k N t t t t
t t
k
0
0 0 1
10
�
� �
!
"
$
sup{ } äëÿ
0 ïðè
: ,
[ , ).
Òåîðåìà 1. Ïóñòü:
1) èìååò ìåñòî óñëîâèå Ëèïøèöà (ñì. (4));
2) ñóùåñòâóþò ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî v y hk ( , , )� è a y hk ( , , )� ,
k � 0, òàêèå, ÷òî â ñèëó ñèñòåìû (1) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
( )( , , ) ( , , )lv y h a y hk k� �� , k � 0; (33)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 83
3) äëèíû èíòåðâàëîâ [ , )t tk k�1 íå ïðåâûøàþò � � 0, ò.å. 0 1� ��| |t tk k �,
k � 0.
Òîãäà ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè
óñòîé÷èâà â öåëîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì � tk
ìèíèìàëüíóþ �-àëãåáðó, îòíîñèòåëüíî êî-
òîðîé èçìåðèìû �( )t ïðè âñåõ t t tk
[ , ]0 è � n ïðè n k� . Òîãäà óñëîâíîå ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå [13]
E{ }v x tk t k k tk k� � ��
�1 1 11
( , ( ), ) /� � �
� � �
� �
� �� P
D Y H
k k y t
m
k
y h dl du dz v l u z(( , , )( ) ( , , ))| ( ),� �
�
1
�
�
�
�
k
tk
x
,
. (34)
Äàëåå ïî îïðåäåëåíèþ äèñêðåòíîãî îïåðàòîðà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî
( )( , , )lv y hk � (ñì. (19)) èç ðàâåíñòâà (34) ñ ó÷åòîì (33) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E{ F }v x tk t k k tk k� � � � �1 1 1 1( , ( ), ) /� �
� � �v x t lv x t v xk t k k k t k k tk k k
( , ( ), ) ( )( , ( ), ) (| | )� � � � . (35)
Èç ëåììû 1 (èç ñóùåñòâîâàíèÿ âòîðîãî ìîìåíòà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïåð-
âîãî ìîìåíòà) è ñâîéñòâ ôóíêöèè v ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè-
÷åñêîãî îæèäàíèÿ ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (35).
Èñïîëüçóÿ (34), (35), çàïèøåì âäîëü ðåøåíèé (1)–( 3) äèñêðåòíûé îïåðàòîð
Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ( )( , , )lv y hk � ïî îïðåäåëåíèþ 2
lv x t v x tk t k k k t k k tk k k
( , ( ), ) ( , ( ), )) /� � � �� � � �E{ F }1 1 1
� �v x t a x tk t k k k t k kk k
( , ( ), ) ( , ( ), )� � � � 0. (36)
Òîãäà ïðè k � 0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
E{ }v x t v x tk t k k t k t k kk k k� � � �1 1 1( , ( ), ) / ( , ( ), )� � � �� .
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí v x tk t k kk
( , ( ), )� �
ïðåäñòàâëÿåò ñóïåðìàðòèíãàë îòíîñèòåëüíî Ftk
[1].
Äàëåå, âçÿâ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà (36), ïðî-
ñóììèðóåì ïî k îò n k� 0 ê N . Ïîëó÷èì
E E{ } { }v x t v x tN t N N n t n nN n� � ��
�1 1 11
( , ( ), ) ( , ( ), )� � � �
� � �
� �
�E E{ } { }lv x t a x tk t k k
k n
N
k t k k
k
k k
( , ( ), ) ( , ( ), )� � � �
n
N
� 0.
(37)
Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà sup
t t tk k
x t
� � � 1
2| ( )| íå çàâèñèò îò ñîáûòèé �-àëãåá-
ðû � tk
[13], òî
E E{ sup } { sup }
t t t
t t
t t t
t
k k
k
k k
x x
� � � �� �
�
1 1
2 2| | | | / | | | |� , (38)
ò.å. íåðàâåíñòâî (38) èìååò ìåñòî è äëÿ îáû÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
E E{ sup }
t t t
t
k k
x c e
� � �
� � �
1
22 2 2 2 515 1 2 2| | | | ( )[ | | | | ]� � �� ( )� �2 4� (38*)
ïðè c � 0, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ.
Äàëåå, ëåãêî âèäåòü, ÷òî
P P{sup } {sup sup
t t
t
n N t t
x t y h
k n�
�
� �
� 0 0 1
0 1| | ( , , , )| |� �
� �
� �
t
t
k n
x t y h
0
0 1| | ( , , , )| |� � }
84 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
� � �
�
P{sup }
n N
tx t y h
k n
| | ( , , , )| |
0 1 0 0 1� �
� �
� � � �
P{sup
n N
k n t k n k nv x t v
k n0 0 1 0 01 1 1 1( , ( ), ) (� � � )}. (39)
Åñëè sup| |x rtk
� , òî íà îñíîâàíèè (21) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
sup inf
k k
k t k k
k k y
h r
kv x t v
k
� �
�
�
0 0
( , ( ), )
, ,
, || |||
� �
�
Y
H
( , , ) ( )� y h v r� . (40)
Òåïåðü èñïîëüçóåì èçâåñòíîå íåðàâåíñòâî äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ ñóïåð-
ìàðòèíãàëîâ [1, 5] äëÿ îöåíêè ïðàâîé ÷àñòè (39):
P{sup
n N
k n t k n k nv x t v
k n
� � � �
�
0 0 1 0 01 1 1 1( , ( ), ) ( )� � � } �
� �
1
1 1
0v
v y h
v x
v
k
t
( )
( , , )
( )
( )�
�
�
.
(41)
Ñ ó÷åòîì (39) íåðàâåíñòâî (41) äàåò âîçìîæíîñòü ãàðàíòèðîâàòü âûïîëíåíèå
íåðàâåíñòâà (23) óñòîé÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì ñèñòåìû (1)–(3).
Èç íåðàâåíñòâà (37) ñëåäóåò îöåíêà
E{ }v x tN t N NN� � ��
�1 1 11
( , ( ), )� �
� �
�
�v y h a x t v y hk k t k k
k k
N
kk0
0
0
( , , ) ( , ( ), ) ( , , )� � � �E{ } (42)
ïðè âñåõ N k� 0 , y
Y, h
H, �
Dm .
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { }ak , k � 0, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî. Òîãäà äîëæíû ñóùåñòâîâàòü [20]
íåïðåðûâíûå ñòðîãî ìîíîòîííûå ôóíêöèè a r( ) è a r( ), êîòîðîå ðàâíû íóëþ ïðè
r � 0 è òàêèå, ÷òî
a a y h ak(| | | | ) ( , , ) (| | | | )� � �� � (43)
äëÿ �
k N , y
Y, h
H è �
Dm .
Òàêèì îáðàçîì, èç ñõîäèìîñòè ðÿäà â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (42) ñëåäóåò
ñõîäèìîñòü ðÿäà E
k k
ta x t y h
k
�
�
�
0
0{ }(| ( , , , )|� äëÿ � �t0 0, y
Y, h
H, �
Dm .
Òîãäà ñ ó÷åòîì a r( ) è ðàâåíñòâà a( )0 0� îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì
lim | ( , , , )|
k
tx t y h
k
�
�0 0� . (44)
Èç (44) ñëåäóåò ñòðåìëåíèå ê íóëþ ïî âåðîÿòíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
v x t y htk
(| ( , , , )| )0 � ïðè k
� äëÿ âñåõ t
0
0� , y
Y, h
H, �
Dm .
Òàêèì îáðàçîì, èç ñâîéñòâ ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî íåîòðèöà-
òåëüíûé ñóïåðìàðòèíãàë v t xk k k tk
( ( ), , )� � ïðè k
�� ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïî âå-
ðîÿòíîñòè íà âñåõ ðåàëèçàöèÿõ ïðîöåññà �( )t è ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � k .
Äàëåå, íåîòðèöàòåëüíûé, îãðàíè÷åííûé ñâåðõó ñóïåðìàðòèíãàë èìååò
ïðåäåë ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà [3]. Èç ëåììû 1 (íåðàâåíñòâî (28)) ïîëó÷èì
àñèìïòîòè÷åñêóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü â öåëîì ñèñòåìû (1)–(3) ïî
îïðåäåëåíèþ 5 (ñì. (24)). Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1, 2 òåîðåìû 1, à â ñèëó ñèñòåìû (1)–(3)
äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî { }v kk , � 0 ñïðàâåä-
ëèâî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî ( )( , , )lv y h xk t � 0 äëÿ �
k N , y
Y, h
H è xt m
D .
Òîãäà ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) óñòîé÷èâà ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 85
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 â íåðàâåíñòâàõ (37)–(41)
ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàëàñü íåïîëîæèòåëüíîñòü äèñêðåòíîãî îïåðàòîðà lvk , à íå
íåðàâåíñòâî (33). Ïîýòîìó âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 5 óñòîé÷èâîñòè
ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì (23). Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå èìåþò ìåñòî óñëîâèÿ 1–3 òåîðå-
ìû 1, ïðè÷åì ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî { }vk , { }ak , k � 0, óäîâëåòâî-
ðÿþò íåðàâåíñòâàì
c v y h ck1
2
2
20| ( )| ( , , ) | | | |� � �� � , (45)
c a y h ck3
2
4
20| ( )| ( , , ) | | | |� � �� � (46)
ïðè íåêîòîðûõ ci � 0, i �1 4, , äëÿ âñåõ k N
, y
Y, h
H, �
Dm .
Òîãäà ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà
â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (36) äëÿ n k� 0 , â ñèëó (45) ëåãêî
ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâà
E E{ } { }| | | | ( , ( ), )x
c
v x tt N t N NN N� �
� �� � �1 1
2
1
1 1 1
1
� �
� �
1
1
2
1
2
0 0 0c
v t
c
c
k k kE{ }( , ( ), ) | | | |� � � �
(47)
äëÿ âñåõ N k� 0 , k N0
, x m
D è íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíîãî
âåêòîðà { }� �( ),tk k0 0
.
Îòñþäà ïî îïðåäåëåíèþ 6 (ñì. (25)) ñëåäóåò p-óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû
ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) èëè óñòîé÷èâîñòü â l.i.m. (ïðè p � 2).
Ñ èñïîëüçîâàíèåì (37), (45) è (46) ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî
E E{ } { }| | | | ( , ( ), )x
c
a tt
k k
N
k k
N
k k kN�
� �
� �� �
1
0 0
2
3
1
� � �
� �
1
3
2
3
2
0 0 0c
v t
c
c
k k k tE{ }( , ( ), ) | | | |� � � � .
Ýòî íåðàâåíñòâî ãàðàíòèðóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà, ÷ëåíàìè êîòîðîãî âûñòóïàþò
E{ }| | | |xtN� 1
2 äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ xtk0
� � è íà÷àëüíûõ ðàñïðåäåëå-
íèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà { }� �( ),tk k0 0
.
Òàêèì îáðàçîì,
lim | ( , , , )|
,k y h
tx t y h
k
�
�sup { }
Y H
E 0
2 0�
ïðè âñåõ t0 0� , ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 3.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2 è èìååò ìåñòî íåðà-
âåíñòâî (45), òî ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) óñòîé÷èâà â l.i.m. â öåëîì.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü èìåþò ìåñòî óñëîâèÿ òåîðåìû 3 è ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî
�1 0� , ÷òî
| |t tk k� �1 1� (48)
ïðè âñåõ k N
.
Òîãäà ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (1)–(3) ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâà
â l.i.m. â öåëîì.
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó íåðàâåíñòâà (28) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
íåðàâåíñòâî (38*) âûïîëíåíî äëÿ �
� Dm ïðè âñåõ t S
, ïîñêîëüêó äëÿ
t t tk k
�[ , )1 , k n� , èç îïðåäåëåíèÿ k0 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
e e e
t t t tk k k
�
� � �( ) ( )0 0 � . (49)
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
Äàëåå, âîñïîëüçóåìñÿ îáîçíà÷åíèÿìè òåîðåìû 1 è ðàíåå äîêàçàííûì ðàâåíñòâîì
E{ }v x t v x tk t k k t k t k kk k k� � � � � �1 1 1 1( , ( ), ) / ( , ( ), ) (� � � �� lv x tk t k kk
)( , ( ), )� � (50)
äëÿ ëþáûõ k N
, t � 0 è íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé xt0 0� � , � �( ),t k0 0
.
Èç óñëîâèé òåîðåìû 4 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
( )( , , ) ( , , ) | | | | ( , , ).lv y h a y h c
c
c
v y hk k k� � � �� � � 3
2 3
2
Òîãäà èç íåðàâåíñòâà (49) ëåãêî ïîëó÷èòü îãðàíè÷åííîñòü ñâåðõó ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî îæèäàíèÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
E E{ { }}v x t
c
c
k t k k tk k� � �� �
�
�
�
��
�
�
1 1 1
3
2
1
1( , ( ), ) /
!
� � � E{ }v x tk t k kk
( , ( ), )� � .
Åñëè k0 1� , òî èç ïîñëåäíåé îöåíêè äëÿ � �k k0 ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
E E E{ { }} {v x t
c
c
vk t k k t
k k
kk k
( , ( ), ) /� � � �
�
�
��
�
�
1 3
2
0
0
( , ( ), )x tt k kk0 0 0
� � } .
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 3, èìååì
E{ }| ( , , , )|x t y ht kk 0
2� �
� �
�
�
�
1
1
1
2
1
3
2
0c
v t x t y h x
c
c
c
c
k k t k tk
E{ }( ( ), , ( , , , , ))� � � �
�
�
k k0
2| | | |� .
Î÷åâèäíî, íå òåðÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ïîëîæèòü c c2 3� . Òîãäà 1 0 13
2
�
�
��
�
�
c
c
( , ).
Îñòàåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì (49), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 4.
Ìîäåëüíàÿ çàäà÷à 1. Ðàñ-
ñìîòðèì çàäà÷ó î âåðîÿòíîñòíîé
óñòîé÷èâîñòè ýëåêòðè÷åñêîé ñõå-
ìà [4], êîòîðàÿ èçîáðàæåíà íà
ðèñ. 1. Â ïîäîáíîì ðåæèìå ðàáî-
òàþò áîëüøèíñòâî ýëåìåíòîâ ðå-
ëåéíûõ êîíòàêòíûõ ñõåì. Îòìå-
òèì, ÷òî àíàëîãè÷íûå ñõåìû îïè-
ñûâàþò èçìåíåíèå ñèëû òîêà
â àâàðèéíûõ ðåæèìàõ.
Îáîçíà÷èì i t1 ( ) òîê â âåòêå ãåíåðàòîðà L1, i t2 ( ) — òîê â âåòêå ãåíåðàòîðà L2 .
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîñëå çàìûêàíèÿ êëþ÷à K èìåþò âèä
L
di
dt
r i1
1
1 1� � U; L
di
dt
r i2
2
2 2 0� � . (51)
Ïîñëå ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à K òîê i t1 ( ) è òîê i t2 ( ) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
( ) ( )L L
di
dt
r r i1 2
1
1 2 1� � � � U; i i2 1� . (52)
Äîïóñòèì, ÷òî ïðîöåññ çàìûêàíèÿ è ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à K ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîé
ìàðêîâñêîé öåïüþ �( )t ñ äâóìÿ âîçìîæíûìè ñîñòîÿíèÿìè: �1 0( )t � (êëþ÷
çàìêíóò) è �2 1( )t � (êëþ÷ ðàçîìêíóò). Ïðè ýòîì çàäàíû èíòåíñèâíîñòè
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 87
Ðèñ. 1
r1 r
2
L1 L2
U
K
ïåðåõîäîâ q q12 21, . Òîãäà ñèñòåìû (51), (52) ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíó ñèñòåìó
ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû
( ( ) ) ( ( ) )L t L
di
dt
r t r i1 2
1
1 2 1� � � �� � U;
(53)
( ( ) ) ( ( ) ) ( )L t L
di
dt
r t r i t2 1
2
2 1 2� � � �� � � U. (54)
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ èçìåíåíèÿ ñèëû òîêîâ i i t1 1� ( ), i i t2 2� ( ) íåîáõîäèìî
çàäàòü óñëîâèå êîììóòàöèè, ò.å. íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â ìîìåíò èçìåíåíèÿ
ñòðóêòóðû öåïè.
Ïóñòü � ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû y y2 1
(çàìûêàíèå êëþ-
÷à). Òîãäà ïî çàêîíàì êîììóòàöèè [9] ñëåäóåò ðàâåíñòâî
i i i i1 2 1 20 0( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � � . (55)
Áîëåå ñëîæíîé ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèÿ ïðè ðàçìûêàíèè êëþ÷à K. Ïîñêîëüêó
â ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàåò âîëüòîâà äóãà, íàäî ðàññìàòðèâàòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ
ïî òàê íàçûâàåìûì íåêîððåêòíûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì [9]. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ
ìàãíèòíîãî ïîòîêîñöåïëåíèÿ ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó óñëîâèþ êîììóòàöèè:
åñëè � ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à K ( y y1 2
), òî
i i
L i L i
L L
1 2
1 1 2 2
1 2
0 0
( ) ( )
( ) ( )
� �
� �
� �
�
�
. (56)
Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòó ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû (ðèñ. 1) îïðåäåëÿåì ñèñòåìîé
ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû (53), (54). Ïðè ýòîì ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íà÷àëüíûå
äàííûå äëÿ êàæäîé ñòðóêòóðû çàäàþòñÿ óñëîâèÿìè (55), (56).  ýòîì ñëó÷àå
ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à K òîêè i1 ( )� , i2 ( )� èçìåíÿþòñÿ íåïðåðûâíî, à ïðè ðàç-
ìûêàíèè êëþ÷à K òîêè i1 ( )� , i2 ( )� èçìåíÿþòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî.
Ïîëó÷èì àëãîðèòì èññëåäîâàíèÿ âåðîÿòíîñòíîé óñòîé÷èâîñòè ýëåêòðè÷å-
ñêîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñëó÷àéíîé
ñòðóêòóðû (53) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (55), (56).
Ïóñòü ïîñòðîåí âåðîÿòíîñòíûé áàçèñ ( , , , , )� � � �F P� � �{ }t t 0 . Îáîçíà-
÷èì
~
( ),
~
( )i t i t1 2 óñòàíîâëåííûé ðåæèì â öåïè (ñì. ðèñ. 1). Ïóñòü òàêæå
x i t i tt
1 1 1
( ) ( )
~
( )� , x i t i tt
2 2 2
( ) ( )
~
( )� . Òîãäà (53), (54) áóäåò èìåòü âèä
dx t A t x t dt( ) ( ( )) ( )� � , (57)
ãäå x t x t x t T( ) ( ( ), ( ))� 1 2 ;
A t
r t r
L L
r t r
L L
( ( ))
( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
(
)
*
*
*
*
+
,
-
-
-
1 2
1 2
2 1
1 2
0
0
-
;
�( )t — ïðîñòàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè: �1 0� (êëþ÷ çàìêíóò) è
�2 1� (êëþ÷ ðàçîìêíóò) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè èíòåíñèâíîñòÿìè ïåðåõîäîâ q q12 21, .
Óñëîâèå êîììóòàöèè (55) ñëåäóåò çàïèñàòü â âèäå x K xij( ) ( )� �� 0 , ãäå
K
L L
L L
L L
12
1 2
1 2
1 2
1
�
�
(
)
*
+
,
- ; K I21
1 0
0 1
� �
(
)
*
+
,
- .
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
a
r
L
b
r
L
� �1
1
2
2
; ; c
L
L
� 1
2
; e
ac b
c
�
�
�1
; A A y
c
ac
b
1 1
1
1
0
0
� �
�
�
�
��
�
�
( ) ;
A A y eI2 2� � ( ) . (57*)
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà v x y y xi i( , ) ( )| | | |� � 2 ; � �i iy� �( ) 0. Òîãäà
d v
dt
x
c
ac
b c
c c
cy
TE{ }
�
� �
�
�
�
�
�
��
�
�
� �
�
�
�
�
1
2
1
0
0
2
1 1
1 2
2 �
�
(
)
*
*
+
,
-
-
!
"
#
$#
%
&
#
'#
�1 12Iq x;
d v
dt
x eI q I x
y
TE{ }
{ }
�
� � �
�
� �
2
2 2 1 2 21( ) .
Åñëè îáîçíà÷èòü � � ��
1 2
1, òî äëÿ îòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè
êâàäðàòè÷íûõ ôîðì â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ïîñëåäíèõ äâóõ ðàâåíñòâ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
ïðè íåêîòîðîì � � 0 âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà
2
1
2
1
2
1
12
2 12
1
2
12
q
c
b
c
q c
ac
c
q
( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(
)
*
*
+
,
-
-
� � �� 1 21q . (58)
Îòìåòèì, ÷òî ýòè óñëîâèÿ ïîçâîëÿþò, íàïðèìåð, ïî çàäàííûì çíà÷åíèÿì
ïàðàìåòðîâ a b c, , (ñì. (57*)) îïðåäåëèòü îáëàñòü àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè
ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ q12 , q21. Äëÿ óïðîùåíèÿ
ñëåäóåò ïðèíÿòü r r1 2� .
Ïðîâåðêà óñëîâèé òåîðåìû 4 ïîçâîëÿåò âûïèñàòü â ïëîñêîñòè ( , )q q12 21
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì íåðàâåíñòâàìè
( ) ( )( )c q q b c q q b � � � � �1 2 1 2 8 02
12 21 12 21 ;
q q12 210 0� �, . (59)
Îòìåòèì, ÷òî îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ïî âå-
ðîÿòíîñòè ìîæåò áûòü øèðå îáëàñòè, èçîáðà-
æåííîé íà ðèñ. 2 [4]. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
èñïîëüçîâàíû òîëüêî äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
óñòîé÷èâîñòè ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì.
Âîïðîñ î íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ îñòàåòñÿ
îòêðûòûì [4].
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïàðàìåòðîâ q12 , q21 èç
ïîëó÷åííîé çàøòðèõîâàííîé îáëàñòè (ñì.
ðèñ. 2) èìååò ìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíàÿ óñòîé÷è-
âîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì [4] (òåîðå-
ìà 4), ïîñêîëüêó ïðîâåðêà óñëîâèé (4)–(5) ïðèâîäèò ê ïîëó÷åíèþ óñëîâèé (59).
Ìîäåëüíàÿ çàäà÷à 2. Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , ,� � F �
� � �{ }� �t t, , )0 P çàäàíà ëèíåéíàÿ àâòîíîìíàÿ ñèñòåìà ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû
dx t a x t dt b x t dw tt t( ) ( , ( )) ( , ( )) ( )� �� � (1*)
ñ âíåøíèìè ìàðêîâñêèìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè (2) è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (3).
Íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû (1*), (2),
(3) ïî âåðîÿòíîñòè â öåëîì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 89
Ðèñ. 2
q
12
q21
0
Ðåøåíèå. Íàéäåì îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè qij ïðîöåññà �( )t
è íà ïåðåõîäíóþ âåðîÿòíîñòü
~
( , )P hk � íà k-ì øàãå äèñêðåòíîé öåïè Ìàðêîâà
{ }� k , k N
, [3]. Èñïîëüçóåì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà [4] âèäà
v x i c x bt i t( , ) | | | | ,� � � 2 . (60)
Ïðåäïîëîæèì, â îòëè÷èå îò (60), ÷òî ìàòðèöà ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé
ìàðêîâñêîé öåïè �( )t ñèììåòðè÷íàÿ, ò.å.
q q i j kij ji� �, , ,1 ; i j� . (61)
Îöåíèì lv x i( , ):
( )( , ) | | ( )lv x i x c a b c c qi i j i ij
j i
k
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2
1
!
"
#
$#
%
&
#
'#
. (62)
Óñëîâèå ñèììåòðè÷íîñòè (61) îáóñëîâëèâàåò
( )c c q c q q cj i ij
j i
k
j ji ij i
j i
k
�
� �
� � , (63)
ãäå q qi ij
j i
k
�
�
� .
Äîïóñòèì, ÷òî p t p t p tk
T( ) ( ( ), ..., ( )) ,� 1 ãäå p t y t yi i( ) ( ) / ( )� �P{ }� 0 . Òîãäà
p ti ( ) óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà [15]
dp
dt
q p q pi
i i ji
j i
k
j� �
�
� . (64)
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ qij � 0, ñèñòåìà (64) èìååò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå
pi
* � const, êîòîðîå ñëåäóåò íàõîäèòü èç óðàâíåíèé
q p q pji
j i
k
j i i
�
� � 0 , i k� 1 . (65)
Ýòî ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå pi
* óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì pi
* � 0 è pi
i
k
* �
�
� 1
1
.
Ïóñòü a i ai( ) � , b i bi( ) � , ïðè ýòîì
a
b
i
i �
2
�
(66)
äëÿ � �i k1, , �� 0.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé âûáîðà ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòè
~
( , )P hk � öåïè Ìàðêîâà
{ }� k k N,
, ñ ó÷åòîì êîíñòðóêöèè g â (2) òàêîé, ÷òî
| ( , , , )|
~
( , ) | | | |x g t x z h P h dz xk t k� ��
H
2 . (67)
Åñëè c pi i� * , òî ñ ó÷åòîì (66), (67) ïîëó÷èì
( )( , )
( )
| | | |
*
lv x i
p
xi�
�
�
� 1
2
0.
Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 2 äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè ïî
âåðîÿòíîñòè â öåëîì ñèñòåìû (1*), (2), (3) ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿ (61), (66) è (67).
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ìåòîä ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ïîçâîëèë ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â öåëîì, ýñïîíåíöè-
àëüíîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì â öåëîì òðèâèàëüíîãî ðåøå-
íèÿ äèôôóçèîííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ ñ ìàðêîâñêèìè âîçìóùåíèÿìè. Ýòà òåîðèÿ ïðèìåíåíà â äâóõ ðåàëüíûõ
ìîäåëüíûõ çàäà÷àõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ:  2 ò. — Ì.:
Ôèçìàòãèç, 1994. — Ò. 1. — 544 ñ .
2. Æ à ê î ä Æ . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïðåäåëüíûå òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ:  2 ò. — Ì.:
Ôèçìàòãèç, 1994. — Ò. 2. — 473 ñ .
3. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1969. — 859 ñ.
4. Ê à ö È . ß . Ìåòîä ôóíêöèé Ëÿïóíîâà â çàäà÷àõ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè ñèñòåì
ñëó÷àéíîé ñòðóêòóðû. — Åêàòåðèíáóðã: ÓÃÀÏÑ, 1998. — 222 ñ.
5. Á è ë ë è í ã ñ ë è Ï . Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 352 ñ.
6. à è õ ì à í È . È . Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ê.:
Íàóê. äóìêà, 1968. — 354 ñ.
7. Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1987. — 328 ñ.
8. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ
âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 367 ñ.
9. Ò è õ î í î â Â . È . , Ì è ð î í î â Ì . À . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì. : Íàóêà, 1981. — 423 ñ.
10. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é  . Á . , Í î ñ î â  . Ð . Óñòîé÷èâîñòü è ïåðèîäè÷åñêèå ðåæèìû
ðåãóëèðóåìûõ ñèñòåì ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 448 ñ.
11. Ä à í ô î ð ä Í . , Ø â à ð ö Ä æ . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû. — Ì.: ÈË, 1962. — Ò. 1. — 895 ñ.
12. à è õ ì à í È . È . Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ê.: Íàóê. äóìêà,
1977. — 252 ñ.
13. à è õ ì à í È . È . Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ
ïðèìåíåíèÿ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ.
14. ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . , ß ñ è í ñ ü ê è é ª .  . Çàäà÷³ ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ äèíàì³÷íèõ
ñèñòåì ç³ ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿ䳺þ. — Ê.: Ò³ÌÑ, 2005. — 580 ñ.
15. Ä ó á Ä æ . Âåðîÿòíîñòíûå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — 605 ñ.
16. ß ñ è í ñ ü ê è é  . Ê . , ß ñ è í ñ ü ê è é ª .  . , Þ ð ÷ å í ê î ² .  . Ñòàá³ë³çàö³ÿ ó äèíàì³÷íèõ
ñèñòåìàõ âèïàäêîâî¿ ñòðóêòóðè. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2011. — 738 ñ.
17. Ê ó ø í å ð à . Ä æ . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü è óïðàâëåíèå. — Ì.: Ìèð, 1969. — 200 ñ.
18. Ë ÿ ï ó í î â À . Ì . Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè. — Õàðüêîâ: Õàðüê. ìàò. îáùåñòâî, 1892.
— 250 ñ.
19. C h u n g K . L . Lectures from Markov processes to brownian. — New York: Springer, 1982. — 235 ñ.
20. K o r o l y u k V . S . , L i m n i o s N . Stochastic systems in merging phase space. — London; Sin-
gapore; Hong Kong: World Scientific, 2005. — 332 p.
21. M i z e l V . , T r u t z e r V . Stochastic hereditary equations: existence and asymptotic stability //
J. Integral Equations . — 1984. — 7. — P. 1–72.
22. S h u r e n k o v V . M .On the theory of Markov renewal // Theor. Probab. Appl. — 1984. — 19,
N 2. — P. 247–265.
23. Y a s i n s k y V . , B e r e z a V . The asymptotic uniform stability of solutions of neutral stochastic
differential-functional equations with Poisson switchingsy // Theory of Stochastic Processes. —
2003. — 29(25), N 3–4. — P. 211–217.
Ïîñòóïèëà 14.03.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 91
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86273 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:36:42Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ясинский, В.К. 2015-09-11T20:04:15Z 2015-09-11T20:04:15Z 2013 Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями / В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 77-91. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86273 519.217; 519.718; 519.837 За допомогою другого методу Ляпунова–Красовського одержано достатні умови асимптотичної стохастичної стійкості в цілому, стійкості в цілому, експоненціальної стійкості в середньому квадратичному тривіального розв’язку систем стохастичних дифузійних диференціально-функціональних рівнянь з марковськими перемиканнями, а також проілюстровано теорію на двох модельних задачах. Using the second Lyapunov–Krasovskii method, sufficient conditions are obtained for the asymptotic stochastic global stability, global stability, and mean-square stability of trivial solutions to systems of diffusion stochastic functional-differential equations with Markovian switchings, and the theory is illustrated by giving two model problems. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями Про стійкість стохастичних динамічних систем випадкової структури з післядією та марківськими перемиканнями Stability of stochastic dynamic systems with random structure and aftereffect and Markov switchings Article published earlier |
| spellingShingle | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями Ясинский, В.К. Системный анализ |
| title | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями |
| title_alt | Про стійкість стохастичних динамічних систем випадкової структури з післядією та марківськими перемиканнями Stability of stochastic dynamic systems with random structure and aftereffect and Markov switchings |
| title_full | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями |
| title_fullStr | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями |
| title_full_unstemmed | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями |
| title_short | Об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями |
| title_sort | об устойчивости стохастических динамических систем случайной структуры с последействием и марковскими переключениями |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86273 |
| work_keys_str_mv | AT âsinskiivk obustoičivostistohastičeskihdinamičeskihsistemslučainoistrukturysposledeistviemimarkovskimipereklûčeniâmi AT âsinskiivk prostíikístʹstohastičnihdinamíčnihsistemvipadkovoístrukturizpíslâdíêûtamarkívsʹkimiperemikannâmi AT âsinskiivk stabilityofstochasticdynamicsystemswithrandomstructureandaftereffectandmarkovswitchings |