Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии
Проаналізовано скінченноелементний метод Петрова–Гальоркіна із застосуванням зосереджених апроксимацій і відмічено, що у ряді випадків він може призводити до надмірного згладжування розв’язку та значних похибок. Показано, що таким чином можна вибрати вагові функції, при яких вказані недоліки практич...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86280 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии / С.В. Сирик // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 152-163. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860254282349019136 |
|---|---|
| author | Сирик, С.В. |
| author_facet | Сирик, С.В. |
| citation_txt | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии / С.В. Сирик // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 152-163. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Проаналізовано скінченноелементний метод Петрова–Гальоркіна із застосуванням зосереджених апроксимацій і відмічено, що у ряді випадків він може призводити до надмірного згладжування розв’язку та значних похибок. Показано, що таким чином можна вибрати вагові функції, при яких вказані недоліки практично не проявляються. Побудовано відповідні апроксимації у вигляді систем диференціальних рівнянь та різницевих схем. Теоретичні результати дослідження підтверджуються розрахунковими даними.
The Petrov–Galerkin finite-element method with a lumped mass matrix is analyzed and it is stated that sometimes it causes an excessive smoothing of solutions and large errors. It is shown that weighting functions can be chosen so that the mentioned drawbacks are not practically manifested. The corresponding approximations are constructed in the form of systems of ordinary differential equations and finite-difference schemes. The theoretical results obtained are confirmed by calculation data.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:46:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.63; 004.75
Ñ.Â. ÑÈÐÈÊ
ÀÍÀËÈÇ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÕ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÉ
 ÌÅÒÎÄÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÝËÅÌÅÍÒΠÏÐÈ ÐÅØÅÍÈÈ ÇÀÄÀ×
ÊÎÍÂÅÊÖÈÈ–ÄÈÔÔÓÇÈÈ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, ìåòîä Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà,
óðàâíåíèå êîíâåêöèè–äèôôóçèè, ñîñðåäîòî÷åííûå àïïðîêñèìàöèè, èñêóññòâåí-
íàÿ äèññèïàöèÿ è äèñïåðñèÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ïîäõîäîâ ê ïîñòðîåíèþ ÷èñëåííûõ àï-
ïðîêñèìàöèé äëÿ ðàçëè÷íûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ÿâëÿåòñÿ ìå-
òîä Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà â ôîðìå ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ) [1–4]. Ïðè
ýòîì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷è íàõîäèòñÿ â âèäå ýëåìåíòà íåêîòîðîãî êî-
íå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, îáðàçîâàííîãî ñîâîêóïíîñòüþ òàê íàçûâàåìûõ áà-
çèñíûõ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì (ôèíèòíûõ ôóíêöèé) [1–4], à êîýô-
ôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ îðòîãî-
íàëüíîñòè íåâÿçêè äðóãîìó ïðîñòðàíñòâó, îáðàçîâàííîìó ñîâîêóïíîñòüþ òàê
íàçûâàåìûõ âåñîâûõ ôèíèòíûõ ôóíêöèé. Íàäëåæàùèì âûáîðîì âåñîâûõ ôóíê-
öèé ìîæíî ãèáêî âëèÿòü íà ñâîéñòâà ïîëó÷àåìûõ ÷èñëåííûõ àïïðîêñèìàöèé
(íàïðèìåð, îáåñïå÷èâàòü èõ óñòîé÷èâîñòü ïðè èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé ñ
äîìèíèðóþùåé êîíâåêöèåé) [2, 4].
1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïðèìåíåíèå ÌÊÝ ê ðåøåíèþ íåêîòîðûõ òèïîâ íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷
âûçûâàåò îïðåäåëåííûå ñëîæíîñòè. Òàê, ïðè ïðîñòðàíñòâåííîé àïïðîêñèìàöèè
íåñòàöèîíàðíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî òèïà
ïîëó÷àåì ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÎÄÓ) âèäà [1–4]
M a F t a
� �� ( , )� (1)
îòíîñèòåëüíî âåêòîðà
�
a t( ) çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè t êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ
ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì. Çäåñü F — íåêîòîðàÿ âåê-
òîð-ôóíêöèÿ, M — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà (ìàòðèöà ìàññ), êîòîðàÿ â îáùåì ñëó-
÷àå îêàçûâàåòñÿ ðàçðåæåííîé [2]. Ìàòðèöà M íåñèììåòðè÷íà è íå ÿâëÿåòñÿ
äèàãîíàëüíîé. Ïîýòîìó äëÿ ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû (1) ê íîðìàëüíîìó âèäó Êîøè
(ñèñòåìå, ðàçðåøåííîé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ) ìàòðèöó M íåîáõîäèìî îá-
ðàùàòü. Ïðè çàìåíå â (1) ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè ðàçíîñòÿìè ñ ïîñëåäóþùèì
ïåðåõîäîì îò ÑÎÄÓ (1) ê ðàçíîñòíîé ñõåìå ââèäó íåäèàãîíàëüíîñòè M ñõåìà
ñòàíîâèòñÿ íåÿâíîé [2, 3].  ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ÌÊÝ ê îïðåäåëåííûì òèïàì
çàäà÷ ñàìà ìàòðèöà M ìîæåò îêàçàòüñÿ çàâèñèìîé îò âðåìåíè (ýòî îòíîñèòñÿ ê
íåêîòîðûì çàäà÷àì ðàñ÷åòà êîíâåêòèâíûõ ïðîöåññîâ ñ èçìåíÿþùèìèñÿ âî âðå-
ìåíè íàïðàâëåíèÿìè òå÷åíèé [1, 5], çàäà÷àì ñ ïîäâèæíûìè ãðàíèöàìè [1, 2] èëè
ýòî âîçìîæíî âñëåäñòâèå ïðèìåíåíèÿ ïîäâèæíûõ ñåòîê è êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ
[2, 4]). Òîãäà ìîæåò âîçíèêíóòü ñèòóàöèÿ, êîãäà íà êàæäîì øàãå èíòåãðèðîâà-
íèÿ ÑÎÄÓ (1) ïðèõîäèòñÿ îáðàùàòü ìàòðèöó M (èëè âûïîëíÿòü êàêóþ-ëèáî åå
ôàêòîðèçàöèþ) [2, 3], ÷òî ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå óçëîâ ñåòêè òðåáóåò
çíà÷èòåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò.
Âî èçáåæàíèå ýòèõ òðóäíîñòåé â âû÷èñëèòåëüíîé ïðàêòèêå ÌÊÝ äîâîëüíî
äàâíî [1, 2] ïðèìåíÿåòñÿ ïðèåì ñîñðåäîòî÷åíèÿ (mass lumping), ñâîäÿùèé
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
� Ñ.Â. Ñèðèê, 2013
ìàòðèöó M ê äèàãîíàëüíîé: âñå ýëåìåíòû êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû ñóììèðóþòñÿ
è ýòà ñóììà ïðèïèñûâàåòñÿ ýëåìåíòó ñòðîêè, êîòîðûé íàõîäèòñÿ íà ãëàâíîé
äèàãîíàëè. Âñåì îñòàëüíûì ýëåìåíòàì ñòðîêè ïðèïèñûâàåòñÿ íóëåâîå çíà÷åíèå.
Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ôîðìû è ðàçíîâèäíîñòè ýòîãî ïðèåìà [1, 6]. Åñòåñòâåííî,
÷òî ïðè ýòîì îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ ìàòðèö ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíîé è
ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ äàííûé ïðèåì ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ïðèâëåêàòåëüíûì.
Èçâåñòíî [6, 1], ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ (ñîñðåäîòî-
÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé, lumped approximations) ïðîèñõîäèò âíåñåíèå â ÷èñëåííóþ
ñõåìó èñêóññòâåííîé äèññèïàöèè (îñîáåííî ýòî îòíîñèòñÿ ê íåñòàöèîíàðíûì çà-
äà÷àì). Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî ïðèâîäèò ê ñãëàæèâàíèþ ðåøåíèé ïðè ðàñ÷åòå ïîòî-
êîâ ñ ðåçêèìè ñêà÷êàìè è íåîäíîðîäíîñòÿìè (óäàðíûìè âîëíàìè) è, êàê ïðàâèëî,
ê óâåëè÷åíèþ çàïàñà óñòîé÷èâîñòè ïîëó÷àåìîé â ðåçóëüòàòå ñõåìû, ÷òî ÿâëÿåòñÿ
ïîëîæèòåëüíûì ñâîéñòâîì ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ (çàìåòèì, ÷òî èñêóññòâåííûå
äèññèïàöèè ñ ýòîé æå öåëüþ ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ â ãèäðîäèíàìèêå) [1, 4]. Ñ äðó-
ãîé ñòîðîíû, ïðèìåíåíèå ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ â ðÿäå ñëó÷àåâ (îñîáåííî â çàäà-
÷àõ ñ ïðåîáëàäàíèåì êîíâåêòèâíûõ ïðîöåññîâ) ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíûì ïîãðåø-
íîñòÿì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, ïîñêîëüêó îíî ââèäó âíåñåííîé èñêóññòâåííîé äèñ-
ñèïàöèè ìîæåò áîëåå òî÷íî àïïðîêñèìèðîâàòü ðåøåíèå ìîäèôèöèðîâàííîé
«ñãëàæåííîé» çàäà÷è, ÷åì èñõîäíîé [2, 4, 7]. Äîñòàòî÷íî ïîäðîáíûé îáçîð ðàáîò
â ïîëüçó èëè ïðîòèâ èñïîëüçîâàíèÿ ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé ïðèâåäåí â [7].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå íà ïðèìåðå íåñòàöèîíàðíîãî îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ êîí-
âåêöèè–äèôôóçèè ïðîèëëþñòðèðîâàíî âëèÿíèå ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ íà ïîãðåø-
íîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ïðè÷èíû âîçíèêíîâåíèÿ äàííûõ ïî-
ãðåøíîñòåé, ðàññìîòðåíà ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà è ïîñòðîåíû ñî-
îòâåòñòâóþùèå ÷èñëåííûå àïïðîêñèìàöèè â âèäå ÑÎÄÓ è ðàçíîñòíûõ ñõåì,
â êîòîðûõ èñïîëüçîâàíèå ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ íå ïðèâîäèò ê îïèñàííûì äåôåê-
òàì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî èìååòñÿ âîçìîæíîñòü òàêîãî âûáîðà âåñî-
âûõ ôóíêöèé â ìåòîäå Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîñðåäîòî÷åííûõ àï-
ïðîêñèìàöèé, ïðè êîòîðîé ðåçóëüòàò ðàñ÷åòà áóäåò ïðèáëèæåííî ñîâïàäàòü ñ ðå-
çóëüòàòîì ðàñ÷åòà ïî ìåòîäó Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ñ íàïåðåä çàäàííûìè âåñîâûìè
ôóíêöèÿìè, ãäå ñîñðåäîòî÷åííûå àïïðîêñèìàöèè íå èñïîëüçóþòñÿ. Ýòî ïîäòâåð-
æäàåòñÿ ÷èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè. Äàííûé âîïðîñ ñîñòàâëÿåò îñíîâó íàñòîÿùåé ðàáî-
òû. Äëÿ ïðåäëîæåííûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè.
2. ÏÎËÓÄÈÑÊÐÅÒÍÛÅ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÏÐÈ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÈ
ÏÐÈÅÌÀ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÈß
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå êîíâåêöèè–äèôôóçèè [8, 9]
�
�
�
�
�
�
�
�
u
t
t
u
x
u
x
� �( )
2
2
, u u x t� ( , ), x L L�[ ; ]1 2 , t T�[ ; ]0 , (2)
ãäå �( )t — íåêîòîðàÿ çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè t ôóíêöèÿ, � — ïîëîæèòåëüíàÿ
êîíñòàíòà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ (2) çàäàíî íà÷àëüíîå óñëîâèå
u x u x( , ) ( )0 0� , à â òî÷êàõ x L� 1 è x L� 2 çàäàíî îäíî èç ñòàíäàðòíûõ
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé [9].
Ïóñòü íà îòðåçêå [ ; ]L L1 2 çàäàíà ñèñòåìà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ òî÷åê
(óçëîâ) xi , i N�1, , ñ øàãîì h x xi i� ��1 , x L1 1� , x LN � 2 .  ñîîòâåòñòâèè ñ òåð-
ìèíîëîãèåé, ïðèíÿòîé â ÌÊÝ, êàæäûé îòðåçîê [ ; ]x xi i�1 áóäåì íàçûâàòü ýëåìåí-
òîì [1]. Ñ êàæäûì óçëîì xi ñâÿæåì íåïðåðûâíóþ êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôèíèòíóþ
áàçèñíóþ ôóíêöèþ N xi ( ) . Ôóíêöèÿ N xi ( ) îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî íà îòðåçêå
[ ; ]x xi i� �1 1 , ðàâíà íóëþ íà êîíöàõ îòðåçêà, ëèíåéíàÿ íà ýëåìåíòàõ [ ; ]x xi i�1 è
[ ; ]x xi i�1 è ðàâíà åäèíèöå â òî÷êå xi .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 153
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
 êà÷åñòâå âåñîâîé ôóíêöèè (ñîîòâåòñòâóþùåé óçëó xi ñåòêè) â ìåòîäå Ïåò-
ðîâà–Ãàë¸ðêèíà çàäàäèì ôóíêöèè âèäà
W x N x W xi i i i( ) ( ) ( )*� �� , (3)
çäåñü � i — íàñòðîå÷íûé ïàðàìåòð (êîýôôèöèåíò èçãèáà âåñîâîé ôóíêöèè),
W x
W x x h x x x
W x x h xi
i i i
i
* ( )
(( ) / ), [ ; ],
(( ) / ),�
� �
� � �
�
�
2
1
2
1 [ ; ],
, [ ; ],
x x
x x x
i i
i i
�
� ��
�
�
�
1
1 10
(4)
ãäå 2 3 1W ( ) ( )� � �
� [2, 3–5] .
Îñîáåííîñòè ïîñòðîåíèÿ ðàçëè÷íûõ âåñîâûõ ôóíêöèé, âûáîðà íàñòðîå÷íûõ
ïàðàìåòðîâ è òðåáîâàíèÿ ê íèì ïðèâåäåíû â [2–5]. Â äàííîé ñòàòüå äëÿ
îïðåäåëåííîñòè áûëè èñïîëüçîâàíû êâàäðàòè÷íûå âåñîâûå ôóíêöèè, îäíàêî
ïðèâåäåííûå íèæå âûêëàäêè áåç îñîáûõ çàòðóäíåíèé ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû íà
äðóãèå âåñîâûå ôóíêöèè è êëàññû òàêèõ ôóíêöèé.
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) áóäåì íàõîäèòü â âèäå
~( , ) ( ) ( )u x t a t N xj j
j
N
�
�
�
1
, (5)
ãäå
�
a t a tj j
N( ) ( )�
�
{ }
1
— âåêòîð èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïî
áàçèñíûì ôóíêöèÿì (ñì. òàêæå ñèñòåìó (1)). Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîöåäóðîé
ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà [1, 2] óìíîæèì óðàâíåíèå êîíâåêöèè–äèôôóçèè (2)
íà âåñîâóþ ôóíêöèþ W xi ( ), ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîèçâîëüíîìó óçëó ñåòêè i,
è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáëàñòè �
[ ; ]L L1 2 .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëàáóþ
ôîðìó [10, 4] óðàâíåíèÿ (2)
W Lu f dxi � � �� ( ~ ) 0
�
, (6)
ãäå L — äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ (2), f — åãî íåîäíîðîäíàÿ
ïðàâàÿ ÷àñòü (òîæäåñòâåííî íóëåâàÿ â äàííîì ñëó÷àå). Âèäíî, ÷òî ïîäñòàíîâêà
âìåñòî ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ~u èñòèííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îáðàùàåò (6) â
òîæäåñòâî (ïîñêîëüêó Lu f�
0), ÷òî âûðàæàåò âàæíîå ñâîéñòâî ñîãëàñî-
âàííîñòè [10] ÷èñëåííûõ àïïðîêñèìàöèé, ïîëó÷àåìûõ èç ñëàáîé ôîðìû.
Äàííîå ñâîéñòâî ïîäðîáíî ðàññìîòðåíî íèæå.
Èñïîëüçîâàâ òåïåðü â (6) âûðàæåíèå (5) äëÿ ~u , ïîëó÷èì ÑÎÄÓ (òàê
íàçûâàåìóþ ïîëóäèñêðåòíóþ àïïðîêñèìàöèþ [2, 3, 11, 12]) îòíîñèòåëüíî
âåêòîðà íåèçâåñòíûõ
�
a t( ), i-å óðàâíåíèå êîòîðîé çàïèñàíî â âèäå
1
6 4
2
3
1
6 4
1 1�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� �� �
� �i
i i
i
ia a a� � �
� � � � � � � �� � � � �
� � � �i
i i i i i i i
h
a a a
h
a a
h
a a
2
2
2
21 1 1 1 2 1( ) ( ) ( ai�1 ) . (7)
Âîïðîñû ó÷åòà íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé èñõîäíîé íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è ïðè ðåøåíèè (7) èçëîæåíû â [2–5]. Èç (7) âèäíî, ÷òî ïðèìåíåíèå ìåòîäà
Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíîãî äèôôóçèîííîãî
÷ëåíà, âåëè÷èíà êîòîðîãî çàâèñèò îò ÷èñëà � i .
Èñïîëüçîâàâ ïðèåì ñîñðåäîòî÷åíèÿ, âìåñòî (7) ïîëó÷èì óðàâíåíèå
� ( ) (( )
( )
( ) ( ) ( ) (a
h
a a a
h
ai
L i
L
i
L
i
L
i
L
i
L� � � �
� � �
� � �
2
2
21 1 1
) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) .� � � �
� � �
a
h
a a a
i
L
i
L
i
L
i
L
1 2 1 1
2
�
(8)
Óðàâíåíèÿ (7) è (8), êàê âèäèì, îòëè÷àþòñÿ ïî ñòðóêòóðå. Âåðõíèå èíäåêñû
( )L ñâèäåòåëüñòâóþò îá îòëè÷èè çíà÷åíèé ýòèõ âåëè÷èí îò ñîîòâåòñòâóþùèõ
âåëè÷èí, êîãäà ïðèåì ñîñðåäîòî÷åíèÿ íå èñïîëüçóåòñÿ. Óñòîé÷èâîñòü
ïîëóäèñêðåòíûõ àïïðîêñèìàöèé ïðè ïðîñòðàíñòâåííîé êîíå÷íîýëåìåíòíîé
äèñêðåòèçàöèè (è ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ïðè ïðîñòðàíñòâåííî-
âðåìåííîé) íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ ðàññìîòðåíà â [2–4, 11, 12].
Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ïðèåì ââåäåíèÿ èñêóññòâåííûõ äèññèïàöèé ÷àñòî èñ-
ïîëüçóåòñÿ ïðè ðàñ÷åòå ðàçëè÷íûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ çàäà÷. Íî ïðè ýòîì êîíå÷-
íîýëåìåíòíûå àïïðîêñèìàöèè ìîãóò óæå íå óäîâëåòâîðÿòü ñâîéñòâó ñîãëàñîâàí-
íîñòè (consistency) (êîãäà òî÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è óæå íå óäîâëåòâîðÿåò
âîçìóùåííîé äèññèïàöèåé ñëàáîé ôîðìå çàäà÷è èëè ðåøåíèå âîçìóùåííîé äèñ-
ñèïàöèåé çàäà÷è íå óäîâëåòâîðÿåò ñëàáîé ôîðìå èñõîäíîé çàäà÷è). Êàê ïîêàçûâà-
þò èññëåäîâàíèÿ [10, 6, 7], ýòî ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíûì âû÷èñëèòåëüíûì ïî-
ãðåøíîñòÿì. Àïïðîêñèìàöèÿ Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà (7) â îòëè÷èå îò ñîñðåäîòî÷åí-
íîé àïïðîêñèìàöèè (8) ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîé â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå, ÷òî
âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç ñëàáîé ôîðìû (6) óðàâíåíèÿ (2).
Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè � i
L( ) â (8) è � i â (7), èñõîäÿ èç
óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ðåøåíèé ñèñòåì óðàâíåíèé (7) è (8), ò.å. âûïîëíåíèÿ
a t a ti i
L( ) ( )( )� � i, � t, ÷òî îáåñïå÷èëî áû ñîãëàñîâàííîñòü ñîñðåäîòî÷åííûõ
àïïðîêñèìàöèé. Âû÷èòàÿ (7) èç (8), ïîëó÷àåì
�
� � � � � � �� � � � �
1
6
2
4 2
21 1 1 1 1( � � � ) ( � � ) (a a a a a
h
ai i i
i
i i i
� �
a ai i i
L
i� ��1 )( )( )� � ,
îòêóäà
� �
�
�i
L
i
i i i i i ia a
h
h a a a
h( )
� � � � �
� �
�
�
� �
� �� � � �
2 2 6
2
2
1 1 1 1
2
�
� �� �a a a
h
i i i1 1
2
2
. (9)
Äàëåå èç (5) ïîëó÷àåì
~( , ) ( )u x t a ti i� ,
�
�
�
�
�
~ ( )
( )
u
t
da t
dt
N x
j
j
j
N
1
,
�
�
�
~
( , ) � ( )
u
t
x t a ti i .
Òàê êàê íåâÿçêà Lu f~ � ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (èìåííî îíà îðòîãîíàëèçèðóåòñÿ
â (6)) ïðè h � 0 (N ��) [1–4] è ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ
(îáåñïå÷èâàþùèì óñòîé÷èâîñòü àïïðîêñèìàöèé) ~u ñõîäèòñÿ ê òî÷íîìó ðåøå-
íèþ u çàäà÷è, òîãäà èìååì
� �a a
h x
u
t
i i
x xi
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
2
,
� � �a a a
h x
u
t
i i i
x xi
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
2
2
2
2
.
Òåîðåìû î áëèçîñòè òî÷íûõ è ïðèáëèæåííûõ êîíå÷íîýëåìåíòíûõ ðåøåíèé
è èõ ïðîèçâîäíûõ â ðàçëè÷íûõ íîðìàõ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ çàäà÷ äîñòàòî÷íî
îáùåãî âèäà ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [4, 13, 14]. Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî
a u x ui i i�
( ) (ñì. ïðèìå÷àíèå íèæå), òî ýòè àïïðîêñèìàöèè èìåþò âòîðîé
ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïî h.  ðåçóëüòàòå âìåñòî (9) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
� �
�
i
L
i
i
x x x
x
u
t
h
x
u
t
i( ) � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�2 6
2
2
�
� ��
� �
x
i i i
i
a a a
h
�
2
21 1
2
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 155
Èñõîäÿ èç ðàâåíñòâà a t a ti i
L( ) ( )( )� , íà îñíîâàíèè êîòîðîãî âûâîäèëèñü
ôîðìóëû äëÿ � i
L( ) , âåðõíèå èíäåêñû ( )L â êîýôôèöèåíòàõ ðàçëîæåíèÿ (5) ïî
áàçèñíûì ôóíêöèÿì â äàëüíåéøåì áóäåì îïóñêàòü. Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå
çíà÷åíèå � i
L( ) â óðàâíåíèå (8):
�a
h a a a
h
h
x
u
t
h
i
i i i i i
x xi
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �
�
� � �
2
2
2
1 1
2 6
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�x
u
t
x xi
� � � � �� � � �
� �
2
21 1 2 1 1
h
a a
h
a a ai i i i i( ) ( ).
Îòñþäà, âûðàçèâ ïðîèçâîäíóþ
�
�
u
t
èç óðàâíåíèÿ (2), èìååì
�a
h a a a
h
u
x
h
i
i i i i
x x
i
i
� �
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�� �
�
� � �
2
21 1
2
2
2
� �
2 6
2 3
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h u
x x xi
� �
�
�
� � � � �
�
� � � �
h u
x h
a a
h
a a a
x x
i i i i i
i
2 4
4 1 1 2 1 1
6 2
2
� � �
( ) ( ). (10)
Àïïðîêñèìèðóåì ïðîèçâîäíóþ
�
� �
2
2
u
x x xi
âûðàæåíèåì
a a a
h
i i i� �� �1 1
2
2
(ñ òî÷íîñòüþ O h( )2 , åñëè a ui i� ). Òîãäà ïåðâûé ÷ëåí ïðàâîé ÷àñòè (10) îïóñòèì
è ïîëó÷èì óðàâíåíèå
�a
h h u
x
h u
x
i
i
x x x xi i
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
� � � �
2 6 6
2 3
3
2 4
4
� � � � �� � � �
� �
2
21 1 2 1 1
h
a a
h
a a ai i i i i( ) ( ). (11)
Êàê âèäèì, âìåñòî èñêóññòâåííîãî äèôôóçèîííîãî ñëàãàåìîãî â (8) â óðàâíå-
íèè (11) ïîÿâëÿþòñÿ èñêóññòâåííûé äèñïåðñèîííûé ÷ëåí ñ êîýôôèöèåíòîì
�
� � �
� �
h hi
2 6
2
è èñêóññòâåííàÿ äèññèïàöèÿ â ôîðìå ÷åòâåðòîé ïðîèçâîäíîé
ñ êîýôôèöèåíòîì �
�
� �
h2
6
. Âûðàæåíèå (11) ìîæíî óïðîñòèòü, îïóñòèâ ÷ëå-
íû âåëè÷èíû O h( )2 . Ýòî ìîæåò áûòü îáîñíîâàíî, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà
� i ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò h. Òîãäà
ïîëó÷àåì
� ( ) (a
h u
x h
a a
h
a a ai
i
x x
i i i i
i
� �
�
�
� � � � �
�
� � �
� � � �
2 2
2
3
3 1 1 2 1 i�1 ). (12)
Îòìåòèì, ÷òî íà îñíîâàíèè ïðåäñòàâëåííûõ â ðàçä. 4 ðàñ÷åòîâ óäàëåíèå ýòèõ
÷ëåíîâ ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîòåðå òî÷íîñòè.
Ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ çàïèñè ðàçíîñòíûõ ñõåì è ïðîâåäåíèÿ âûêëàäîê ïðè èñ-
ñëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè ââåäåì ñëåäóþùèå ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âûðà-
æåíèÿ ðàçíîñòíûõ ñîîòíîøåíèé îò íåêîòîðîé ñåòî÷íîé ôóíêöèè c îòíîñèòåëüíî
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
âûáðàííîãî óçëà i ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè [8, 15]: c
c c
h
s
i i
� �1 , c
c c
h
s
i i
��1 ,
c
c c
h
s
i i~
�� �1 1
2
. Èíäåêñ i èñêëþ÷èì, ïîñêîëüêó ðå÷ü èäåò î çíà÷åíèÿõ ôóíêöèè â
òåêóùåì óçëå i ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêè. Òîãäà ïðîèçâîäíûå
�
� �
3
3
c
x x xi
è
�
� �
4
4
c
x x xi
ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ôîðìóëàìè c
c c c c
h
s s s
i i i i~ �
� � �� � � �2 1 1 2
3
2 2
2
è
c
c c c c c
h
ssss
i i i i i�
� � � �� � � �2 1 1 2
4
4 6 4
ñîîòâåòñòâåííî, èìåþùèìè âòîðîé ïîðÿ-
äîê òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè. Òàêèì îáðàçîì, çàìåíèâ â óðàâíåíèÿõ (11) è (12)
òðåòüþ è ÷åòâåðòóþ ïðîèçâîäíûå íåèçâåñòíîãî òî÷íîãî ðåøåíèÿ u
ñîîòíîøåíèÿìè ~ ~us s s è ~ussss äëÿ ïðèáëèæåííîãî ~u , ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî
ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:
�a
h h a a a a
h
h
i
i i i i i� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�� � � �� � �
2 6
2 2
2
2
2 1 1 2
3
2�
6
� (13)
�
� � � �
� � �� � � �
� �
a a a a a
h h
a a
h
ai i i i i
i i i
2 1 1 2
4 1 1 2
4 6 4
2
� �
( ) ( � �� �1 12a ai i ),
�a
h a a a a
h
i
i i i i i� �
� � �
�� � � �� �
2
2 2
2
2 1 1 2
3
� � � � �� � � �
� �
2
21 1 2 1 1
h
a a
h
a a ai i i i i( ) ( ). (14)
Ïðåäñòàâëåííûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç (8),
ïîëîæèâ
� i
L( ) �
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� �
�� � � � �� � � �i i i i i i ih a a a a
h
a a
2 6
2 2
3
42 1 1 2 2 � � �
� �
� � �
� � �
1 1 2
1 1
6 4
2
a a a
h
a a a
i i i
i i i� ( )
èëè
�
� �
�i
L i i i i i
i i i
a a a a
h a a a
( ) ( )
( )
�
� � �
� �
� � � �
� �
2 1 1 2
1 1
2 2
2 2
ñîîòâåòñòâåííî (÷òî ìîæåò áûòü öåëåñîîáðàçíûì ïðè ïðîâåäåíèè êîìïüþòåð-
íûõ ðàñ÷åòîâ ñ ïîìîùüþ ÑÎÄÓ (8)). Èç óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî ìîæíî òàê
ïîäîáðàòü êîýôôèöèåíòû � i
L( ) èçãèáà âåñîâûõ ôóíêöèé â ìåòîäå Ïåòðîâà–
Ãàë¸ðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé, ÷òîáû ðåçóëü-
òàò ðàñ÷åòà ñîâïàäàë ñ ðåçóëüòàòîì ðàñ÷åòà ïî ñòàíäàðòíîìó ìåòîäó Ïåòðî-
âà–Ãàë¸ðêèíà (â êîòîðîì ñîñðåäîòî÷åííûå àïïðîêñèìàöèè íå èñïîëüçóþòñÿ)
ñ êîýôôèöèåíòàìè � i èçãèáà âåñîâûõ ôóíêöèé.
Ïðèìå÷àíèå. Ñîîòíîøåíèÿ (13), (14) ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü, àíàëèçèðóÿ è
ñðàâíèâàÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè ñîîòíîøåíèÿìè (7), (8) óðàâíåíèÿ (2) íà
åãî ðåøåíèè u x t( , ). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ÷àñòî àïïðîêñèìàöèþ ÷èñëåííûìè
ñõåìàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ çàäà÷ èññëåäóþò íà âûáðàííîì
êëàññå ôóíêöèé, îäíàêî äëÿ ñõîäèìîñòè ëèíåéíûõ ÷èñëåííûõ ñõåì äîñòàòî÷íî
àïïðîêñèìèðîâàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ëèøü íà åãî ðåøåíèè [15].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 157
Îáîçíà÷èì Lh ðàçíîñòíûé îïåðàòîð ñõåìû (7), à L
h
L( ) — ðàçíîñòíûé îïåðàòîð
ñõåìû (8). Äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð óðàâíåíèÿ (2) áóäåì, êàê è ðàíåå, îáîç-
íà÷àòü ñèìâîëîì L. Òîãäà ïîãðåøíîñòü � àïïðîêñèìàöèè îïåðàòîðîì Lh
îïåðàòîðà L íà ðåøåíèè u x t( , ) â òî÷êå ( , )x ti âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�� �L u Lu u u uh
i
i i
i
i
1
6 4
2
3
1
6 4
1 1� � � � � � �� �
� �i
i i i
h
u u u
2
21 1( )
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
� �
� �
2
21 1 2 1 1
2
h
u u
h
u u u
u
t
u
x
u
i i i i i( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
x xi
2
� �
�
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�� �
1
6 4
2
3
1
1
6 4
1 1
� �i
i i
i
iu u u� � � � � � � �� �
� �
�i
i i i
h
u u u
2
21 1( )
� �
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
� �� �
1
6 4
1
3
1
6 4 2
1 1
� � � �i
i i
i
i
iu u u
h
u� � � ( i i iu u� �� � �1 12 ) � ,
�
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
� �� �
� �
�
2
21 1
2
2 2 1
h
u u
u
x
u
x h
u ui i
x x x x
i
i
i
( ) ( i iu� ��1 )
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
h u
x
h u
x
O h
x x x xi i
2 3
3
2 4
4
4
6 12
( ).
Àíàëîãè÷íî äëÿ ïîãðåøíîñòè � ( )L àïïðîêñèìàöèè îïåðàòîðîì L
h
L( )
îïåðàòîðà L íà ðåøåíèè u x t( , ) â òî÷êå ( , )x ti ïîëó÷àåì
�
� � �( ) ( )
( )
� ( ) (L
h
L
i
i
L
i i i iL u Lu u
h
u u u
h
u
� � � � � �� � �
2
2
2
1 1 1 1� ��ui )
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
� �
h
u u u
u
t
u
x
u
x
i i i
x xi
2 1 1
2
2
2( ) � � � � �� �
� �
�i
L
i i i
h
u u u
( )
( )
2
21 1 .
Ñîïîñòàâëÿÿ ïîãðåøíîñòè � è � ( )L äëÿ îáû÷íîé ñõåìû (7) Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà
è «ñîñðåäîòî÷åííîé» ñõåìû (8), èìååì
1
6
1
3 4 2
21 1 1 1 1( � � ) � ( � � ) (u u u u u
h
u ui i i
i
i i i� � � � �� � � � � �
� �
i i i i
Lu� ��1 )( )( )� � ,
îòêóäà ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (9) (äëÿ ôóíêöèè u), ñ êîòîðîãî íà÷èíàëñÿ àíà-
ëèç. Âñå îñòàëüíûå âûêëàäêè ïðè ïîëó÷åíèè âûðàæåíèé (13), (14) îñòàþòñÿ
â ñèëå. Òàêèì îáðàçîì, àíàëèç ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé è ñîîòâåòñòâó-
þùèå âûêëàäêè, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ (13), (14), ìîãóò
òàêæå áûòü ïðîâåäåíû â ðàìêàõ ñðàâíåíèÿ è àíàëèçà ñòðóêòóðû ïîãðåøíîñòåé
� è � ( )L äèñêðåòèçàöèè ñèñòåìàìè (7) è (8) óðàâíåíèÿ (2) íà åãî ðåøåíèè.
3. ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÅ ÑÕÅÌÛ È ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Ââåäåì íà âðåìåííîì ïðîìåæóòêå [ ; ]0 T ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ñ óçëàìè t nn � � ,
ãäå — øàã ïî âðåìåíè, n M� 0, ,� , t0 0� , t TM � . Èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå
ñîêðàùåííûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ íåêîòîðîé âåëè÷èíû c c x t� ( , ) [15]: c c x ti
n
i n
( , )
(èëè ïðîñòî c â ñëó÷àå òåêóùåãî óçëà ( , ) ( , )i n x ti n
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåí-
158 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
íîé ñåòêè),
�
c ci
n
�1 (çíà÷åíèå íà ñëåäóþùåì âðåìåííîì ñëîå îòíîñèòåëüíî
òåêóùåãî n-ãî), c
c c c ñ
t
i
n
i
n
�
�
��1
�
(ïðîèçâîäíàÿ âïåðåä ïî âðåìåíè),
c c c( ) ( )
� �
�
1 , 0 1� �
.
Îò ïîëóäèñêðåòíûõ àïïðîêñèìàöèé ÑÎÄÓ (13) è (14) ìîæíî ïåðåéòè ê ïîë-
íîñòüþ äèñêðåòíûì (ïî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâó) ðàçíîñòíûì ñõåìàì, çàìåíèâ
ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè �a â òî÷êå xi (i-ì óçëå) ðàçíîñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè at íà
ñåòêå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñõåìû â áåçûíäåêñíîé çàïèñè:
a a a a at s ss s s s ssss
� � � �� � � �
( )
~
( ) ( )
~
( ) ( ) , (15)
a a a at s ss s s s
� � �� � �
( )
~
( ) ( )
~
( )
1 , (16)
ãäå � � � �
� �h hi / /( )2 62 , � � �1 2� h i / , � �� �h2 6/ , êîýôôèöèåíòû � è �1
ââèäó íàëè÷èÿ â íèõ � i çàâèñÿò îò íîìåðà óçëà i. Ïðåäñòàâèì ðàçâåðíóòóþ
çàïèñü ñõåì (15) è (16):
a a a a
h
a a
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n�
�
�
�
�
��
�
�
� �
�1
1
1
1
1
1
2
1
�
�
( ) ( ) ( ) i
n
i
n
i
n
i
n
h
a a a
h
� �
� �
�
�
�
� �
�1 1
1 1
1
1
22
2
�
� �
� �
�
� �
� � �
�
�
�
��
�
( )1
2 2 2
1 1
2
2
1
1
1a a a
h
a a a
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i 1
1
2
1
32
n
i
na
h
�
�
��
�
� �
� � �
�
�
� � � � �
�
�
�
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
a a a a
h
a a
( )1
2 2
2
4
2 1 1 2
3
2
1
�
� �
�
�
�
�� � �
�1
1 1
1
1
2
1
4
6 4n
i
n
i
n
i
na a a
h
� �
� � � �
� � � ��
( )1
4 6 4
2 1 1 2
4
a a a a a
h
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
, (17)
a a a a
h
a a
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n�
�
�
�
�
��
�
�
� �
�1
1
1
1
1
1
2
1
�
�
( ) ( ) ( ) i
n
i
n
i
n
i
n
h
a a a
h
� �
� �
�
�
�
� �
�1 1
1 1
1
1
22
2
�
� �
� �
�
� �
� � �
�
�
�
�
�
( ) ,1
2 2 2
1 1
2 1
2
1
1
1a a a
h
a a a
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
na
h
�
�
�
��
�1
1
2
1
32
� �
� � �
� � � ��
1
2 1 1 2
3
1
2 2
2
, ( )i
i
n
i
n
i
n
i
na a a a
h
. (18)
Ïðè
� 0 ïîëó÷àåì ïîëíîñòüþ ÿâíûå ñõåìû, ïðè
� 0 5, — ñèììåòðè÷íûå ñõå-
ìû òèïà Êðàíêà–Íèêîëñîíà [15], ïðè
�1 — ïîëíîñòüþ íåÿâíûå ñõåìû. Ïðè
� 0 èç (17), (18) ïîëó÷àåì ñèñòåìû ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âåëè-
÷èí íà ( )n�1 -ñëîå, êîòîðûå óäîáíî ðåøàòü c ïîìîùüþ ìåòîäà ïÿòèòî÷å÷íîé
ïðîãîíêè [8]. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè (17),
(18) óðàâíåíèÿ (2) ïî ïðîñòðàíñòâó ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé O h( ); äëÿ ñëó-
÷àÿ � i O h� ( ) ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïîâûøàåòñÿ äî âòîðîãî, ò.å. äî âåëè÷è-
íû O h( )2 . Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè ïî âðåìåíè ïðè
� 0 5, ÿâëÿåòñÿ âåëè-
÷èíîé O( ) , äëÿ ñõåìû Êðàíêà–Íèêîëñîíà (
� 0 5, ) ýòà ïîãðåøíîñòü ðàâíà
O( ) 2 (÷òî äåëàåò ïîäîáíûå ñõåìû âûãîäíûìè â ðàñ÷åòàõ [15]).
Èññëåäóåì ïîëó÷åííûå ðàçíîñòíûå ñõåìû (15) è (16) íà óñòîé÷èâîñòü, ïðåä-
ïîëàãàÿ ïðè ýòîì, ÷òî èõ êîýôôèöèåíòû ïîñòîÿííû ïî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâó.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 159
Îãðàíè÷èìñÿ èññëåäîâàíèåì óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (èç óñòîé÷è-
âîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì ïðè âåñüìà ñëàáûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñëåäóåò óñòîé÷è-
âîñòü ïî ïðàâîé ÷àñòè [15, 8]). Ââåäåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ çàäàííûõ íà
ïðîñòðàíñòâåííîé ñåòêå ñåòî÷íûõ ôóíêöèé y è v, ( , )y v y v hk k
k
� � , è íîðìó
| | | | ( , )y y y� , ÿâëÿþùèõñÿ ñåòî÷íûìè àíàëîãàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è íîð-
ìû â L2 [15]. Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ äëÿ óïðîùåíèÿ
âûêëàäîê ïðîâîäèòñÿ â áåñêîíå÷íîé ïî ïðîñòðàíñòâó îáëàñòè [8], ïðåäïîëàãàÿ ñó-
ùåñòâîâàíèå è îïðåäåëåííîñòü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî
ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå ñåòî÷íûå ôóíêöèè çà ïðåäåëàìè íåêîòîðîé îá-
ëàñòè ïðåíåáðåæèìî ìàëû èëè ôèíèòíû, êàê â [8]. Ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü
ðàçíîñòíóþ ñõåìó êàê îïåðàòîð, çàäàííûé íà ïðîñòðàíñòâå ñåòî÷íûõ ôóíêöèé, îá-
ðàùàþùèõñÿ â íóëü â ãðàíè÷íûõ óçëàõ ñåòêè [15]. Ñëåäóÿ [8], áóäåì ñ÷èòàòü ðàñ-
ñìàòðèâàåìûå ñåòî÷íûå ôóíêöèè ôèíèòíûìè. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà äàåò äîñòàòî÷-
íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñõåì (15) è (16).
Òåîðåìà. Ïóñòü
1
2
, � 0, � � 0, à � è � — ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà. Òîãäà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà a a a a at s ss s s s ssss
� � � �� � � �
~
( ) ( )
~
( ) ( ) ñòðîãî ðàâíî-
ìåðíî óñòîé÷èâà â íîðìå | | | | ( , )a a a� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Óìíîæèâ ñêàëÿðíî óðàâíåíèå a a a at s ss s s s
� � � �� � �
~
( ) ( )
~
( )
� �
a
ssss
( ) íà âûðàæåíèå a ( )
, ïîëó÷èì ( , ) ( , ) ( , )( )
~
( ) ( ) ( ) ( )a a a a a at s ss
� �� � �
� �� �
( , ) ( , )~
( ) ( ) ( ) ( )a a a a
s s s ssss
. Ðàññìîòðèì êàæäîå ñëàãàåìîå. Ïðåäñòàâèì a ( )
â âèäå a at
( , ) ( , )0 5 0 5� �
, òîãäà ( , ) ( , ) ( , ( , ) )( ) ( , )a a a a a at t t t
� � � �0 5 0 5
� � �
1
2
0 52 2(| | | | ) ( , ) | | | |a at t
, òàê êàê ( , ) , (| | | |( , )a a
a a a a
at
0 5 2
2
1
2
�
� ��
�
�
�
�
� � �
� �
�
� �| | | | ) (| | | | )a a t
2 21
2
. Â äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàçíîñòíûå àíàëîãè
ôîðìóë èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì è ôîðìóë Ãðèíà [15]: ( , ) ( , )u v u vs s� � ,
( , ) ( , )u v u vs s� � , ( , ) ( , )u v u vss ss� . Òîãäà, èñïîëüçóÿ êîñîñèììåòðè÷íîñòü
îïåðàòîðà öåíòðàëüíîé ðàçíîñòè, ïîëó÷àåì
( , ) (( , ) ( , )) ((~
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a
s s s s
� � �
1
2
1
2
( ) ( ) ( ) ( ), ) ( , ))
a a as� � 0.
Òàêæå èìååì � � �
( , ) ( , ) | | | |( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a
ss s s s
� � � � 2 .
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
( , ) ( , ) (( ,~
( ) ( )
~
( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a
s s s s s s ss s
� � � �
1
2
) ( , ))( ) ( )� �a a
ss s
� � � �
1
2
0(( , ) ( , ))( ) ( ) ( ) ( )a a a a
ss s s ss
.
Íàêîíåö, èìååì � � �
( , ) ( , ) | | | |( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a a a
ssss ss ss ss
� � 2 .
 ðåçóëüòàòå âñåõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
1
2
0 52 2 2(| | | | ) ( , ) | | | | | | | | | | |( ) ( )a a a at t s ss
� � � �
� �
| 2 0� . (19)
 ñèëó óñëîâèé òåîðåìû èìååì ( , ) | | | |
� 0 5 02at , �
| | | |( )a
s
2 0 ,
� �
| | | |( )a
ss
2 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (19) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðè
160 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
1
2
1
2
02 2 2(| | | | ) (| | | | | | | | )a a at � � �
�
. Ýòî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó | | | | | | | |
�
a a� ,
âûðàæàþùåìó ñòðîãóþ ðàâíîìåðíóþ óñòîé÷èâîñòü [15] ðàçíîñòíîé ñõåìû
a a a a at s ss s s s ssss
� � � �� � � �
~
( ) ( )
~
( ) ( ) ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ â íîðìå | | | | ( , )a a a� .
4. ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÏÐÈÌÅÐÛ
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (2) ñ èçâåñòíûì
àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì u x t
t
x t
t
( , )
( )
exp
( / ( ))
( )
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 1
3 5 1
4 1
2
�� �
ïðè
�( )t �1, � � �10 3 íà îòðåçêå x �[ ; ]0 1 . Íà÷àëüíîå óñëîâèå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
ïîëó÷àåì èç âûïèñàííîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ïóòåì íåïðåðûâíîãî ïðîäîë-
æåíèÿ íà ãèïåðïëîñêîñòè ïðè t � 0 è x � 0, x �1 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ðàñ÷åòàõ
èñïîëüçîâàëîñü N � 200 áàçèñíûõ è âåñîâûõ ôóíêöèé, âñå êîýôôèöèåíòû � i
ïîñòîÿííû è ðàâíû 0 5, . Äëÿ îöåíêè óêëîíåíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ~u îò àíàëè-
òè÷åñêîãî ðåøåíèÿ u èñïîëüçóåì âåëè÷èíó err u x t u x t
i N
i imax max | ~ ( , ) ( , )|� �
� �1
.
Íà ðèñ. 1 è 2 ïîêàçàíû ãðàôèêè ðàñ÷åòîâ çàäà÷è â ìîìåíò âðåìåíè t � 0 35, .
Çäåñü è äàëåå íà ðèñóíêàõ æèðíîé ëèíèåé îáîçíà÷åí ãðàôèê âû÷èñëåííîãî
ðåøåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû x, òîíêîé — ãðàôèê
èçâåñòíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ðàñ÷åòà
ìåòîäîì Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé
(ñèñòåìà óðàâíåíèé (8)). Êàê âèäèì, ÷èñëåííîå ðåøåíèå çíà÷èòåëüíî
îòêëîíÿåòñÿ îò èñòèííîãî, errmax ,�101 , àìïëèòóäà âîëíû óìåíüøàåòñÿ, ÷òî
îáóñëîâëåíî íàëè÷èåì èñêóññòâåííîãî äèôôóçèîííîãî ñëàãàåìîãî â óðàâíåíèè
(8), âåëè÷èíà êîòîðîãî ðåãóëèðóåòñÿ ïàðàìåòðîì �. ×åì áîëüøå ïàðàìåòð �, òåì
ñèëüíåå ýôôåêò çàòóõàíèÿ è ðàçìûâàíèÿ ðåøåíèÿ (òàê, ïðè � �1 errmax ,�1 7).
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ðàñ÷åòà çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû óðàâíåíèé
(13), errmax ,� 0 035. Ãðàôèê ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû (14)
ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ãðàôèêîì íà ðèñ. 2 è ïîòîìó çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ, â
ýòîì ñëó÷àå errmax ,� 0 07 (ò.å. ïîãðåøíîñòü âîçðàñòàåò). Êàê âèäèì,
ïðåäëîæåííûå ÷èñëåííûå ñõåìû íà îñíîâå ìåòîäà Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà
îáåñïå÷èâàþò âåñüìà õîðîøóþ òî÷íîñòü, à ãðàôèêè ÷èñëåííîãî è
àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèé íà ðèñ. 2 âèçóàëüíî ïðàêòè÷åñêè ñëèâàþòñÿ. Ãðàôèê
ðåøåíèÿ ïðè ðàñ÷åòå çàäà÷è ìåòîäîì Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà áåç èñïîëüçîâàíèÿ
ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé (ñèñòåìà óðàâíåíèé (7)) ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò
ñ ãðàôèêîì íà ðèñ. 2, ïîýòîìó çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ (äëÿ íåãî errmax ,� 0 034).
Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ÑÎÄÓ èñïîëüçîâàëèñü ÿâíûå ñòàíäàðòíûå ìåòîäû Ðóí-
ãå–Êóòòû 4-ãî ïîðÿäêà [2, 3, 16] è ìåòîäû, èçëîæåííûå â ñòàòüå [16], øàã ïî âðå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 161
Ðèñ. 1. Ãðàôèê ðàñ÷åòà ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé (ïðèìåð 1)
u
x
Ðèñ. 2. Ãðàôèê ðàñ÷åòà ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû
óðàâíåíèé (13) (ïðèìåð 1)
u
x
ìåíè � �10 4 . Ðàñ÷åò çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ðàçíîñòíûõ ñõåì (17) è (18) ïðè âûïîëíå-
íèè óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ïîêàçûâàåò ïðàêòè÷åñêè àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû.
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ (2) ñ èçâåñò-
íûì àíàëèòè÷åñêèì ðåøåíèåì u x t x bt ct t( , ) ( / )� � � �3 23 2� ïðè �( )t bt c� �2 ,
b �100, c �100, � � �10 3 íà îòðåçêå x �[ ; ]0 5 . Âñå îñòàëüíûå ïàðàìåòðû ðàñ÷åòà
òàêèå æå, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå.
Ñòàíäàðòíûé (êëàññè÷åñêèé) ïîëóäèñêðåòíûé ìåòîä Ãàë¸ðêèíà â äàííîì
ñëó÷àå äàåò íåóñòîé÷èâûå (îñöèëëèðóþùèå) ðåçóëüòàòû (ðèñ. 3), ÷òî ñâÿçàíî
ñ äîìèíèðîâàíèåì êîíâåêòèâíûõ ïðîöåññîâ â äàííîé çàäà÷å (îòíîøåíèå �( )t ê
êîýôôèöèåíòó � — âåëè÷èíà ïîðÿäêà105). Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé çàäà÷å äëÿ îáåñ-
ïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñ÷åòà (óäàëåíèÿ ëîæíûõ îñöèëëÿöèé) òðåáóåòñÿ ïðèìåíÿòü
ìåòîä Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ñ íåíóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè � i [2, 3]. Ïóñòü � �1,
t � 0 025, . Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåí ðåçóëüòàò ðàñ÷åòà ìåòîäîì Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé (ñèñòåìà óðàâíåíèé (8)). Êàê è
â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ÷èñëåííîå ðåøåíèå çíà÷èòåëüíî îòêëîíÿåòñÿ îò èñòèííîãî,
errmax ,� 0 07. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ðàñ÷åòà çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ñèñòåì (13) è
(14), ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâû, errmax ,� 0 002. Äëÿ ìåòîäà
Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà áåç èñïîëüçîâàíèÿ
ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé ïî-
ãðåøíîñòü errmax ,� 0 05.
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûå
ïðèìåðû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî
ñòàíäàðòíûå ñõåìû Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêè-
íà ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè àïïðîêñèìàöè-
ÿìè äàþò ÷èñëåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå
çíà÷èòåëüíî îòêëîíÿåòñÿ îò èñòèííîãî
ââèäó ÷ðåçìåðíîãî ñãëàæèâàíèÿ ðåøå-
íèÿ ïîä äåéñòâèåì èñêóññòâåííîé
(ñõåìíîé) äèññèïàöèè. Â òî æå âðåìÿ ïî-
ñòðîåííûå â äàííîé ðàáîòå ÷èñëåííûå
ñõåìû (13)–(18) íà îñíîâå ìåòîäà Ïåòðî-
âà–Ãàë¸ðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèåìà
ñîñðåäîòî÷åíèÿ ñâîáîäíû îò óêàçàííûõ íåäîñòàòêîâ, ïðèñóùèõ ðàññìîòðåííûì
ñòàíäàðòíûì ñõåìàì è ìåòîäàì, à èõ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò ñ ðåøåíèåì,
ïîëó÷àåìûì ìåòîäîì Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñîñðåäîòî÷åíèÿ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîàíàëèçèðîâàíî âëèÿíèå ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ â êî-
íå÷íîýëåìåíòíîì ìåòîäå Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà íà òî÷íîñòü è êà÷åñòâåííûå
ñâîéñòâà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ êîí-
âåêöèè–äèôôóçèè (2). Îòìå÷åíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ïðèåìà ìîæåò
ïðèâåñòè ê çíà÷èòåëüíûì ïîãðåøíîñòÿì â ÷èñëåííîì ðåøåíèè, ÷òî ñâÿçàíî
162 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
Ðèñ. 3. Ãðàôèê ðàñ÷åòà ñ èñïîëüçîâàíèåì
ìåòîäà Ãàë¸ðêèíà (ïðèìåð 2)
u
Ðèñ. 4. Ãðàôèê ðàñ÷åòà ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñîñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé (ïðèìåð 2)
x
u
x
Ðèñ. 5. Ãðàôèê ðàñ÷åòà ñ ïîìîùüþ ñèñòåì (13)
è (14) (ïðèìåð 2)
x
u
ñ âíîñèìîé èì èñêóññòâåííîé äèññèïàöèåé â ÷èñëåííûå ñõåìû, ïðèâîäÿùåé
ê ÷ðåçìåðíîìó ñãëàæèâàíèþ ðåøåíèÿ, è íàðóøåíèåì ñâîéñòâà ñîãëàñîâàííîñòè
÷èñëåííûõ àïïðîêñèìàöèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü âûáîðà êî-
ýôôèöèåíòîâ âåñîâûõ ôóíêöèé â ìåòîäå Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà (ñ èñïîëüçîâàíè-
åì ïðèåìà ñîñðåäîòî÷åíèÿ) è ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷èñëåííûõ àïïðîê-
ñèìàöèé â âèäå ÑÎÄÓ (13), (14) è ðàçíîñòíûõ ñõåì (15)–(18), êîãäà ÷èñëåí-
íûå ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ñâîáîäíû îò äàííûõ íåäîñòàòêîâ. Ýòî äîñòèãàåòñÿ
çà ñ÷åò ââåäåíèÿ â ñõåìó ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè àïïðîêñèìàöèÿìè èñêóññòâåí-
íîãî äèñïåðñèîííîãî (è äèññèïàòèâíîãî, íî áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè)
÷ëåíà âìåñòî èñõîäíîãî äèññèïàòèâíîãî ÷ëåíà, êîòîðûì ïðåèìóùåñòâåííî è
îáóñëîâëèâàëèñü ñãëàæèâàþùèå ñâîéñòâà ñõåìû. Äëÿ ñåìåéñòâà ðàçíîñòíûõ
ñõåì (15)–(18) äîêàçàíà òåîðåìà, äàþùàÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè.
Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå, ïîäòâåðæäàþòñÿ ðàñ÷åòàìè.
Òåìàòèêîé äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ äåòàëüíîå èçó÷åíèå ìåðû
óêëîíåíèÿ ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííûõ â ðàáîòå ÷èñëåííûõ
àïïðîêñèìàöèé, îò ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî ñ ïîìîùüþ ñîãëàñîâàííûõ àïïðîêñèìà-
öèé Ïåòðîâà–Ãàë¸ðêèíà, èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ïðè ðàçëè÷-
íûõ ñïîñîáàõ àïïðîêñèìàöèè äèññèïàòèâíûõ/äèñïåðñèîííûõ ÷ëåíîâ â óðàâíåíè-
ÿõ (11), (12), à òàêæå èñïîëüçîâàíèå ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ê èññëåäîâàíèþ ñî-
ñðåäîòî÷åííûõ àïïðîêñèìàöèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýôôåêòèâíûõ êîíå÷íîýëåìåíòíûõ
ìåòîäîâ èíòåãðèðîâàíèÿ áîëåå ñëîæíûõ, íåëèíåéíûõ è ìíîãîìåðíûõ çàäà÷ (â îñî-
áåííîñòè çàäà÷ ãèäðîäèíàìèêè è ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè).
Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü êàíäèäàòó òåõíè÷åñêèõ íàóê Íèêîëàþ Íèêî-
ëàåâè÷ó Ñàëüíèêîâó çà ïëîäîòâîðíîå îáñóæäåíèå ðàáîòû è öåííûå çàìå÷àíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Z i e n k i e w i c z O . Z . , T a y l o r R . L . The finite element method. — Vol. 3: Fluid Dynamics.
— Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. — 334 p.
2. F i n l a y s o n B . A . Numerical methods for problems with moving fronts. — Seattle, Washington
USA: Ravenna Park Publishing, Inc., 1992. — 613 p.
3. Ô ë å ò ÷ å ð Ê . ×èñëåííûå ìåòîäû íà îñíîâå ìåòîäà Ãàë¸ðêèíà: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ìèð,
1988. — 352 ñ.
4. R o o s H . - G . , S t y n e s M . , T o b i s k a L . Robust numerical methods for singularly perturbed
differential equations. — Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — 604 p.
5. Ñ è ð è ê Ñ .  . , Ñ à ë ü í è ê î â Í . Í . ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ Áþðãåðñà
ìåòîäîì Ïåòðîâà-Ãàë¸ðêèíà ñ àäàïòèâíûìè âåñîâûìè ôóíêöèÿìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è
èíôîðìàòèêè. — 2012. — ¹ 1. — C. 94–110.
6. Z i e n k i e w i c z O . Z . , T a y l o r R . L . The finite element method. — Vol. 1: The basis. — Ox-
ford: Butterworth-Heinemann, 2000. — 690 p.
7. W e n d l a n d E . , S c h u l z H . E . Numerical experiments on mass lumping for the advection-dif-
fusion equation // Revista Minerva. — 2005. — 2, N 2. — P. 227–233.
8. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , Ï î ï î â Þ . Ï . Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ãàçîâîé
äèíàìèêè: Èçä. 5-å. — Ì.: Ëèáðîêîì, 2009. — 424 ñ.
9.  ë à ä è ì è ð î â  . Ñ . Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 512 ñ.
10. F r i e s T . P . , M a t t h i e s H . G . A review of Petrov-Galerkin stabilization approaches and an ex-
tension to meshfree methods. — Germany; Brunswick: Technische Universitàt Braunschweig,
Informatikbericht-Nr., 2004. — 71 p.
11. Ë ÿ ø ê î À . Ä . , Ô å ä î ò î â Å . Ì . Ïðåäåëüíûå ñõåìû Ãàë¸ðêèíà–Ïåòðîâà äëÿ óðàâíåíèÿ
êîíâåêöèè-äèôôóçèè // Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — 2009. — 45, ¹ 7. — Ñ. 1042–1052.
12. Ô å ä î ò î â Å . Ì . Íåêîìôîðìíûå ñõåìû ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ íåëèíåéíûõ
ãèïåðáîëè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ // Òàì æå. — 2011. — 47, ¹ 8. — Ñ. 1183–1195.
13. T h o m e e V . Galerkin finite element methods for parabolic problems. — Berlin; Heidelberg:
Springer-Verlag, 2006. — 382 p.
14. G r o s s m a n n C . , R o o s H . - G . , S t y n e s M . Numerical treatment of partial differential
equations. — Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. — 596 p.
15. Ñ à ì à ð ñ ê è é À . À . , à ó ë è í À .  . Óñòîé÷èâîñòü ðàçíîñòíûõ ñõåì. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 416 ñ.
16. Ñ ê â î ð ö î â Ë . Ì . Ïðîñòûå ÿâíûå ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ æåñòêèõ îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Âû÷èñë. ìåòîäû è ïðîãðàììèðîâàíèå. — 2008. — Ò. 9. —
Ñ. 154–162.
Ïîñòóïèëà 29.08.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 163
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86280 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:46:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сирик, С.В. 2015-09-11T20:17:18Z 2015-09-11T20:17:18Z 2013 Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии / С.В. Сирик // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 152-163. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86280 519.63; 004.75 Проаналізовано скінченноелементний метод Петрова–Гальоркіна із застосуванням зосереджених апроксимацій і відмічено, що у ряді випадків він може призводити до надмірного згладжування розв’язку та значних похибок. Показано, що таким чином можна вибрати вагові функції, при яких вказані недоліки практично не проявляються. Побудовано відповідні апроксимації у вигляді систем диференціальних рівнянь та різницевих схем. Теоретичні результати дослідження підтверджуються розрахунковими даними. The Petrov–Galerkin finite-element method with a lumped mass matrix is analyzed and it is stated that sometimes it causes an excessive smoothing of solutions and large errors. It is shown that weighting functions can be chosen so that the mentioned drawbacks are not practically manifested. The corresponding approximations are constructed in the form of systems of ordinary differential equations and finite-difference schemes. The theoretical results obtained are confirmed by calculation data. Автор выражает благодарность кандидату технических наук Николаю Николаевичу Сальникову за плодотворное обсуждение работы и ценные замечания. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии Аналіз застосування зосереджених апроксимацій у методі скінченних елементів при розв’язанні задач конвекції–дифузії Analysis of mass lumping in finite element method for convection–diffusion problems Article published earlier |
| spellingShingle | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии Сирик, С.В. Системный анализ |
| title | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии |
| title_alt | Аналіз застосування зосереджених апроксимацій у методі скінченних елементів при розв’язанні задач конвекції–дифузії Analysis of mass lumping in finite element method for convection–diffusion problems |
| title_full | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии |
| title_fullStr | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии |
| title_full_unstemmed | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии |
| title_short | Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии |
| title_sort | анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при решении задач конвекции–диффузии |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86280 |
| work_keys_str_mv | AT siriksv analizprimeneniâsosredotočennyhapproksimaciivmetodekonečnyhélementovprirešeniizadačkonvekciidiffuzii AT siriksv analízzastosuvannâzoseredženihaproksimacíiumetodískínčennihelementívprirozvâzannízadačkonvekcíídifuzíí AT siriksv analysisofmasslumpinginfiniteelementmethodforconvectiondiffusionproblems |