Агрегирование покупателей
Розглянуто проблему агрегування економічних суб’єктів на прикладі моделі вибору покупців. Введено вимогу узгодженості індивідуальних і колективних функцій корисності. Доведено, що ця вимога виконується лише тоді, коли функції корисності у вихідних і колективних покупців незадовільні з економічних мі...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86282 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Агрегирование покупателей / В.И. Зоркальцев // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 178-180. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243780380131328 |
|---|---|
| author | Зоркальцев, В.И. |
| author_facet | Зоркальцев, В.И. |
| citation_txt | Агрегирование покупателей / В.И. Зоркальцев // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 178-180. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто проблему агрегування економічних суб’єктів на прикладі моделі вибору покупців. Введено вимогу узгодженості індивідуальних і колективних функцій корисності. Доведено, що ця вимога виконується лише тоді, коли функції корисності у вихідних і колективних покупців незадовільні з економічних міркувань.
The problem of aggregation of economic actors is illustrated by the example of aggregation of customers. The requirement of correctness of aggregation is introduced according to which the collective choice of benefits should be equal to the sum of individual choices. It is shown that this requirement is satisfied in only one case when collective and individual utility functions are quasi-equivalent and quasi homogeneous, i.e., are obviously unsatisfactory for economic reasons.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Â.È. ÇÎÐÊÀËÜÖÅÂ
ÓÄÊ 330.115 ÀÃÐÅÃÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÎÊÓÏÀÒÅËÅÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè, àãðåãèðîâàíèå, êðèâûå Ýíãåëÿ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èç-çà áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ëèö, çàäåéñòâîâàííûõ â ýêîíîìèêå, îãðîìíîãî
ìíîæåñòâà ðàçíîîáðàçèÿ âèäîâ áëàã, îñóùåñòâëÿåìûõ ýêîíîìè÷åñêèõ îïåðàöèé
íåîáõîäèìî àãðåãèðîâàíèå ïåðâè÷íûõ äàííûõ â óêðóïíåííûå ïîêàçàòåëè. Âû-
äåëèì òðè ñîñòàâëÿþùèå ïðîöåññà àãðåãèðîâàíèÿ: âî âðåìåíè; ýêîíîìè÷åñêèõ
ïîêàçàòåëåé; ýêîíîìè÷åñêèõ ñóáúåêòîâ.
 äàííîé ñòàòüå îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî òðåòüåé ñîñòàâëÿþ-
ùåé — àãðåãèðîâàíèåì ýêîíîìè÷åñêèõ ñóáúåêòîâ. Ðàññìîòðèì ýòó ïðîáëåìó íà
ïðèìåðå çàäà÷è àãðåãèðîâàíèÿ ïîêóïàòåëåé (ïîòðåáèòåëåé) áëàã.
ÈÑÕÎÄÍÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
Ïóñòü R n
� , R n
� � — ïîäìíîæåñòâà âåêòîðîâ R n ñ íåîòðèöàòåëüíûìè è âñåìè
ïîëîæèòåëüíûìè êîìïîíåíòàìè. Ïóñòü U Q( ) — ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè íåêîòî-
ðîãî ïîêóïàòåëÿ, çàâèñÿùàÿ îò ïîëó÷àåìûõ áëàã ñ íîìåðàìè j n�1, ..., , îáúå-
ìû êîòîðûõ ñîñòàâëÿþò âåêòîð Q R n� � .
Ñîãëàñíî âîççðåíèÿì ñîâðåìåííîé ýêîíîìè÷åñêîé òåîðèè âûáèðàåìûé íà-
áîð áëàã ïðåäñòàâèì â âèäå âåêòîð-ôóíêöèè îò âåêòîðà öåí P R n� � � , ðàñïîëàãàå-
ìûõ äåíåæíûõ ñðåäñòâ � � 0 è ôóíêöèè ïîëåçíîñòè:
Q P U U Q Q R P Qn
i
i
n
i( , , ) max ( ): ,� �� � ��
�
�arg { }
1
. (1)
Ïóñòü � — ìíîæåñòâî ôóíêöèé ïîëåçíîñòè U , äëÿ êîòîðûõ âåêòîð
Q P U( , , )� îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì (1) ïðè ëþáûõ P R n� � � , � � 0 .
Ïðè ýòîì âåêòîð-ôóíêöèÿ Q P U( , , )� íåïðåðûâíà ïî � (ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàí-
íîì âåêòîðå öåí P R n� � � ).
Ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè U �� íàçîâåì êâàçèîäíîðîäíîé, åñëè ïðè ëþáûõ
P R n� � �� � , ,� �0 0
Q P U Q P U( , , ) ( , , )�� � �� . (2)
Ôóíêöèè ïîëåçíîñòèU U,
~
èç � íàçîâåì êâàçèýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ïðè ëþ-
áûõ P R n� �� � , � 0 ñëåäóåò
Q P U Q P U( , , ) ( , ,
~
)� �� . (3)
ÒÐÅÁÎÂÀÍÈÅ ÑÎÃËÀÑÎÂÀÍÍÎÑÒÈ ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÛÕ
È ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÉ ÏÎËÅÇÍÎÑÒÈ
Ïóñòü U i — ôóíêöèè ïîëåçíîñòè èç � ñ íîìåðàìè i k� 0 1, , ... , ïðè íåêîòîðîì
k � 2 . Ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ñ íîìåðàìè i k�1, ..., íàçîâåì èíäèâèäóàëüíûìè,
ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè ñ íîìåðîì i � 0 — êîëëåêòèâíîé. Èíäèâèäóàëüíûå è
178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
© Â.È. Çîðêàëüöåâ, 2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5 179
êîëëåêòèâíóþ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè íàçîâåì ñîãëàñîâàííûìè, åñëè ïðè ëþáûõ
P R n� � � , � i � 0 , i k�1, ..., ,
Q P U Q P Ui
i
n
i i( , , ) ( , , )� �
�
� ��
1
0 . (4)
Ýòî òðåáîâàíèå ïîñòóëèðóåò, ÷òî ñóììà âûáèðàåìûõ êàæäûì èíäèâèäóóìîì
áëàã äîëæíà ñîñòàâèòü îáùèé âûáîð áëàã ðàññìàòðèâàåìîãî êîëëåêòèâà, åñëè
ïîëàãàåì, ÷òî ñóììà çàòðàò èíäèâèäóóìîâ ÿâëÿåòñÿ çàòðàòàìè äåíåã íà ïðèîá-
ðåòåíèå áëàã êîëëåêòèâà.
Òåîðåìà. Òðåáîâàíèå ñîãëàñîâàííîñòè èíäèâèäóàëüíûõ è êîëëåêòèâíîé ôóíê-
öèé ïîëåçíîñòè âûïîëíÿåòñÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âñå èíäèâèäóàëüíûå
è êîëëåêòèâíàÿ ôóíêöèè ïîëåçíîñòè êâàçèîäíîðîäíûå è êâàçèýêâèâàëåíòíûå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ôóíêöèè ïîëåçíîñòè êâàçèýêâèâàëåíòíûå, òî ïðè ëþ-
áûõ P R n� �� � , � 0 , èìååì
Q P U Q P U i( , , ) ( , , )� �0 � , i k�1, ..., . (5)
Èç êâàçèîäíîðîäíîñòè ñëåäóåò
Q P U Q P U( , , ) ( , , )� �0 01� . (6)
Èñïîëüçóÿ (5), çàòåì (6) è ñíîâà (5), ïîëó÷àåì
Q P U Q P U Q P Ui i
i
k
i
i
k
i
i
k
( , , ) ( , , ) ( , , )� � �
� � �
� � �� � �
1
0
1 1
01
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �� �i
i
k
i
i
k
Q P U Q P U
1
0
1
01( , , ) , , .
Èòàê, êâàçèîäíîðîäíîñòü è êâàçèýêâèâàëåíòíîñòü âëåêóò âûïîëíåíèå òðåáîâà-
íèÿ (4).
Îñòàëîñü äîêàçàòü îáðàòíîå: èç òðåáîâàíèÿ (4) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè ïîëåç-
íîñòè U i , i k� 0 1, , ..., , äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì (2), (3). Äëÿ ýòîãî ïðåä-
ñòàâèì îáúåì ïðèîáðåòåíèÿ îäíîãî èç áëàã (ñ íîìåðîì j) i-ì ïîêóïàòåëåì ïðè
ôèêñèðîâàííîì âåêòîðå öåí P â âèäå ôóíêöèè îò ðàñïîëàãàåìûõ äåíåæíûõ
ñðåäñòâ: f Q P Ui
i
j
i i( ) ( , , )� �� .
Äàííàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò êðèâóþ Ýíãåëÿ, õàðàêòåðèçóþùóþ çàâèñè-
ìîñòü îáúåìà ïîòðåáëåíèÿ j-ãî áëàãà îò ðàñïîëàãàåìûõ äîõîäîâ.
Èç (1) ñëåäóåò, ÷òî
f i ( )0 0� . (7)
Ñîãëàñíî (4) ïðè ëþáûõ � i � 0 , i k�1, ..., , èìååì
f fi
i
k
i
i
k
i
0
1 1
� �
� �
� �
�
�
�
� ( ) . (8)
Èç (7), (8) ïðè � i � 0 äëÿ i t� ïðè ëþáîì � t � 0 ïîëó÷àåì
f ft
t
t
0 ( ) ( )� �� , t k�1, ..., . (9)
Èòàê, âñå ôóíêöèè f i , i k� 0, ..., , îäèíàêîâûå. Óñëîâèå êâàçèýêâèâàëåíòíîñ-
òè (3) âûïîëíÿåòñÿ.
Äîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáûõ � � 0 , � � 0 ñëåäóåò
f f0 0
( ) ( )� � � �� . (10)
Ïðè � �0 ýòî ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó (7). Ïðè � �1 îíî ÿâëÿåòñÿ òîæ-
äåñòâîì.
Ïî èíäóêöèè èç òîãî, ÷òî (10) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ öåëîãî � �1 , âûòåêàåò,
÷òî (10) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ � �1 . Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ (8), (9), èìååì
f f f f f f f0 1 2 0 0 0 01(( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � �� � � �� � � � � � � � ( ) ( )� ��1 0f .
Èç âûïîëíåíèÿ (10) äëÿ íàòóðàëüíûõ � ñëåäóåò, ÷òî (10) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ
�
�
�
1
, ãäå � — öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî,
1 1 1 1
0 0 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�( ( ) )f f f�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
f 0
1
�
� .
Èç äîêàçàííûõ ôàêòîâ íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì, ÷òî (10) âûïîëíÿåòñÿ ïðè
ëþáîì ðàöèîíàëüíîì íåîòðèöàòåëüíîì � .
Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà � âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèè f i äîëæíû áûòü íåïðå-
ðûâíûìè, ïîýòîìó èç (10) äëÿ ðàöèîíàëüíûõ � ñëåäóåò âûïîëíåíèå (10) äëÿ âñåõ
âåùåñòâåííûõ � � 0 .
Ñîîòíîøåíèå (10) îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè U 0 êâàçèîäíîðîäíàÿ.
 ñèëó êâàçèýêâèâàëåíòíîñòè òàêèìè æå áóäóò è îñòàëüíûå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè
U i , i k� �1, , .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ñîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå òðåáîâàíèå ñîãëàñîâàííîñòè èíäèâèäóàëüíûõ
ñ êîëëåêòèâíîé ôóíêöèåé ïîëåçíîñòè âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
âñå ýòè ôóíêöèè èç ýêîíîìè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ÿâíî íåóäîâëåòâîðèòåëüíû.
1. Â îäíîé è òîé æå öåíîâîé ñèòóàöèè ïðè îäíèõ è òåõ æå äåíåæíûõ ñðåä-
ñòâàõ âñå ïîêóïàòåëè äîëæíû äåëàòü îäèíàêîâûé âûáîð. Îäíèì èç îñíîâíûõ ìî-
òèâîâ ââåäåíèÿ â ñîâðåìåííóþ ýêîíîìè÷åñêóþ òåîðèþ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè è èõ
ðàçâèòèÿ â îòíîøåíèè ïðåäïî÷òåíèé áûëî ñòðåìëåíèå îòðàçèòü ðàçëè÷èÿ
ïîòðåáíîñòåé è âêóñîâ ðàçíûõ ëþäåé è èõ ãðóïï.
2. Êîððåêòíîå àãðåãèðîâàíèå âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè èçìåíåíèå äî-
õîäîâ êàæäîãî ïîêóïàòåëÿ âåäåò ê èçìåíåíèþ â òåõ æå ìàñøòàáàõ îáúåìîâ ïðèîáðå-
òåíèÿ âñåõ áëàã. Êðèâûå Ýíãåëÿ, âûðàæàþùèå çàâèñèìîñòü îáúåìîâ ïîòðåáëåíèÿ îò-
äåëüíûõ òîâàðîâ îò äîõîäîâ, ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè, âûõîäÿùèìè èç íà÷àëà êîîðäèíàò.
3. Êðèâûå Ýíãåëÿ äëÿ äàííûõ òîâàðîâ ó ðàçíûõ ïîêóïàòåëåé (ó âñåõ èñõîä-
íûõ è àãðåãèðîâàííîãî) îäèíàêîâûå.
Ïðèâåäåííàÿ òåîðåìà îïóáëèêîâàíà â [1]. Îíà ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíà íà ñëó-
÷àé îðäèíàëèñòñêîé êîíöåïöèè ïîëåçíîñòè. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëè-
âû äëÿ ïðîöåäóð àãðåãèðîâàíèÿ ïðîäàâöîâ. Ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå ïðîáëåì àãðå-
ãèðîâàíèÿ ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé áëàã â ðàìêàõ ñîâðåìåííîé ýêîíîìè÷åñêîé
òåîðèè èìååòñÿ â [2], ãäå ïðèâåäåí áîëåå ïîäðîáíûé ñïèñîê ëèòåðàòóðû.
Áëèçêèé ê óêàçàííîé òåîðåìå ðåçóëüòàò ðàíåå áûë ïîëó÷åí Â. Ãîðìàíîì [3].
Ïðîáëåìó àãðåãèðîâàíèÿ ïîêóïàòåëåé îí ðàññìàòðèâàë â íåñêîëüêî èíîé ïîñòà-
íîâêå — ÷åðåç ñîãëàñîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ óðîâíåé ôóíêöèé ïîëåçíîñòè. Ïðè
ýòîì èñïîëüçîâàëèñü áîëåå ñèëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ î ñâîéñòâàõ ôóíêöèé ïîëåç-
íîñòè, ÷åì ïðèâåäåííûå çäåñü òðåáîâàíèÿ ê ôóíêöèÿì èç ìíîæåñòâà �.  èòîãå
ðåçóëüòàò Ãîðìàíà áëèçêèé ê ïðèâåäåííîé çäåñü òåîðåìå, íî áîëåå ñëàáûé. Ñîã-
ëàñíî ðåçóëüòàòàì åãî èññëåäîâàíèé ôóíêöèè ïîëåçíîñòè áóäóò ñîãëàñîâàííû-
ìè, åñëè êðèâûå Ýíãåëÿ äëÿ îäíîãî è òîãî æå òîâàðà — ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ó
ðàçíûõ ñóáúåêòîâ. Èç íàøèõ èññëåäîâàíèé âûòåêàåò, ÷òî ýòè êðèâûå äîëæíû
áûòü îäèíàêîâûìè ïðÿìûìè ó ðàçíûõ ñóáúåêòîâ.
ÑÏÈÑOÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ç î ð ê à ë ü ö å â  . È . Ïðîáëåìû àãðåãèðîâàíèÿ â ýêîíîìèêå: åñòü ëè ëîãè÷åñêàÿ ñîâìåñòèìîñòü
ìèêðîýêîíîìèêè è ìàêðîýêîíîìèêè: Ïðåïð. / ÈÑÝÌ ÑÎ ÐÀÍ. — Èðêóòñê, 1997. — 51 ñ.
2. Ç î ð ê à ë ü ö å â  . È . Ïðîáëåìà àãðåãèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñóáúåêòîâ // Âåñò. Íîâîñèáèðñê. ãîñ.
óí-òà. Ñåð. Ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèå íàóêè. — 2010. — 10, âûï. 1. — Ñ. 107–118.
3. G o r m a n W . N . Community preference fields // Econometrica. — 1953. — 5, N 1. — P. 63–80.
Ïîñòóïèëà 19.09.2012
180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86282 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зоркальцев, В.И. 2015-09-11T20:21:06Z 2015-09-11T20:21:06Z 2013 Агрегирование покупателей / В.И. Зоркальцев // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 178-180. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86282 330.115 Розглянуто проблему агрегування економічних суб’єктів на прикладі моделі вибору покупців. Введено вимогу узгодженості індивідуальних і колективних функцій корисності. Доведено, що ця вимога виконується лише тоді, коли функції корисності у вихідних і колективних покупців незадовільні з економічних міркувань. The problem of aggregation of economic actors is illustrated by the example of aggregation of customers. The requirement of correctness of aggregation is introduced according to which the collective choice of benefits should be equal to the sum of individual choices. It is shown that this requirement is satisfied in only one case when collective and individual utility functions are quasi-equivalent and quasi homogeneous, i.e., are obviously unsatisfactory for economic reasons. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Краткие сообщения Агрегирование покупателей Агрегування покупців Aggregation of consumers Article published earlier |
| spellingShingle | Агрегирование покупателей Зоркальцев, В.И. Краткие сообщения |
| title | Агрегирование покупателей |
| title_alt | Агрегування покупців Aggregation of consumers |
| title_full | Агрегирование покупателей |
| title_fullStr | Агрегирование покупателей |
| title_full_unstemmed | Агрегирование покупателей |
| title_short | Агрегирование покупателей |
| title_sort | агрегирование покупателей |
| topic | Краткие сообщения |
| topic_facet | Краткие сообщения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86282 |
| work_keys_str_mv | AT zorkalʹcevvi agregirovaniepokupatelei AT zorkalʹcevvi agreguvannâpokupcív AT zorkalʹcevvi aggregationofconsumers |